FACULTAD DE INGENIERÍA CARRERA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL TITULO
: CALCULO DE TRANSITO PEATONAL EN EL PUENTE VILLASOL (OPTIMIZACION)
DOCENTE
: ENRIQUE DÍAZ VEGA
CURSO
: CALCULO I - 6327
AUTORES
:
CRUZ CABRERA, STEVEN ESPINOZA ABAD, ALEJANDRO FERNANDEZ PIMENTEL, RICARDO PIMENTEL, RICARDO GAMARRA MATIAS, MELISSA ROMERO BEJARANO, DANFER
LIMA – PERÚ PERÚ 2017
CALCULO I
DEDICATORIA Les dedicamos este trabajo a nuestros padres y hermanos que siempre creyeron en nosotros y nos apoyaron en todo momento,
este
no hubiera sido posible sin ellos.
2
proyecto
CALCULO I
INDICE CARATULA ..................................................................................... 1 DEDICATORIA ................................................................................ 2 INTRODUCCIÓN............................................................................. 4 1.1. SITUACION PROBLEMÁTICA .............................................. 4 1.3.1 PROBLEMA GENERAL .................................................... 4 1.3.2 PROBLEMA ESPECIFICÓ................................................ 4 1.2. JUSTIFICACIÓN DEL PROBLEMA ....................................... 5 1.3. OBJETIVOS........................................................................... 5 1.3.1 OBJETIVO GENERAL ...................................................... 5 1.3.2 OBJETICO ESPECÍFICO.................................................. 5 FUNDAMENTO TEORICO .............................................................. 6 2.1. CONCEPTOS Y DEFINICIONES BASICAS .......................... 7 2.2. MARCO TEÓRICO ................................................................ 9 APLICACIÓN MATEMÁTICA MATEMÁTICA ........................................................ 12 3.1. RECOLECCIÓN DE DATOS ............................................... 12 3.2. ELABORACION DE GRAFICOS ......................................... 13 3.3. PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN MATEMÁTICA ........... 15 3.4. RESULTADOS .................................................................... 16 CONCLUSIONES .......................................................................... 21 RECOMENDACIONES ................................................................. 22 REFERENCIAS ............................................................................. 22 ANEXOS ....................................................................................... 23
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CALCULO I
I. INTRODUCCIÓN Uno de los principales problemas en la ciudad de Lima es la congestión peatonal como en paraderos, mercados o zonas turísticas. Determinamos que existe una zona de Los Olivos donde este problema existe a una escala mayor y es en el paradero Villa Sol, siendo un lugar muy transitado, ya que al existen distintas Universidades, Academias, Colegios y Fabricas. Y esto genera la acumulación de peatones en dicho paradero, donde la demanda de tiempo crece y la incomodidad de transcurrir dicha zona se vuelve incomoda.
1.1. SITUACION PROBLEMÁTICA 1.3.1 PROBLEMA GENERAL En el paradero de Villa Sol de la Avenida Panamericana Norte, se presenta una situación caótica en la circulación de peatones que transitan por el puente Villa Sol. So l. Observamos que el tiempo que se demoran para cruzar el puente es excesivo. 1.3.2 PROBLEMA ESPECIFICÓ
Los estudiantes de la UPN Lima Norte tienen que luchar con el deficiente tránsito peatonal en las horas de ingreso y de salida.
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CALCULO I
1.2. JUSTIFICACIÓN DEL PROBLEMA El trabajo realizado llega a tener una gran utilidad, ya que como se dijo anteriormente permite demostrar la cantidad de peatones que transitan día a día por el paradero Villa Sol. Este proyecto tiene como finalidad darte a conocer la demanda de peatones mediante análisis y ecuaciones matemáticas, lo cual nos mostrara un panorama actual del tránsito
peatonal
en
el
Puente
Villa
Sol.
Gracias a los temas tratados en el curso de Cálculo podremos hallar una cantidad aproximada de peatones, utilizando el tema de funciones se podrá lograr este proyecto y de esta manera poder brindar comodidad y evitar el caos peatonal la cual es nuestro objetivo principal.
1.3. OBJETIVOS 1.3.1 OBJETIVO GENERAL
Modelar el tiempo de cruce de un peatón por el puente Villa Sol 1.3.2 OBJETICO ESPECÍFICO
Determinar las horas exactas exactas donde hay mayor mayor tráfico de personas.
Calcular el flujo de personas en el puente Villa Sol en una hora promedio.
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CALCULO I
II. FUNDAMENTO TEORICO Según afirma el científico especialista en tráfico Michael Schrekkenberg,
de
la
universidad
de
Duisburgo-Essen
(Alemania), el transito es el concepto que utilizamos en nuestra lengua para denominar a aquel movimiento y flujo de vehículos que circulan en la calle, una ruta, una autopista o cualquier otro tipo de camino, así como también el peatón, quien es el más vulnerable. Los peatones deberán circular siempre por el centro de las aceras, ni muy pegados al borde de la calzada, para evitar sin atropellados por algún vehículo, ni muy pegados a las casas, por si hubiera entradas o salidas de garajes. Tampoco caminarán por el bordillo ni invadirán nunca la calzada, salvo para cruzarla. Si la calle por la que se camina no tuviera acera o existiese algún obstáculo y fuera totalmente imprescindible pasar por ese tramo, se circulará lo más pegado posible a la pared y a ser posible de cara al tráfico, de esta forma se podrá podr á ver de frente a los vehículos que
se
aproximan.
Hay muchas formas de mejorar la calidad del servicio peatona, por ejemplo, en vías con alta demanda, al aumentar la capacidad de red vial, se induce una mejora en la calidad del servicio percibida por los peatones. Mediante ese diseño urbanístico, el paisajismo, la disposición adecuada del uso del suelo, señalización, demarcación, protección contra el clima, disposición de plazas, paseaos peatonales, entro otros, se logra este objetivo.
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CALCULO I
2.1. CONCEPTOS Y DEFINICIONES BASICAS
FUNCION En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. De forma más abstracta, el concepto general de función se refiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo se gundo conjunto.
OPTIMIZACIÓN Muchos de los problemas que se presentan en la práctica diariamente, están relacionados de una forma u otra, con encontrar los valores máximos y mínimos de una función, y más aún, determinar para qué valores de la variable independiente se alcanzan estos. Estos problemas se llaman,
en
general,
problemas
de
optimización.
En términos generales, un problema de optimización consiste en encontrar el valor mínimo o minimizar, o encontrar el valor máximo o maximizar, una cierta función, de tal forma que satisfagan ciertas condiciones dadas. La solución o soluciones óptimas son aquellas para las cuales se satisfacen las restricciones del problema y el valor de la función sea mínimo o máximo.
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CALCULO I
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN DOMINIO El dominio de una función son los valores para los cuales la función está definida o, en otras palabras, es el conjunto de todos los posibles valores que la función acepta. Por ejemplo: Si la función f(x) = x al cuadrado, se le dan los valores x = {1,2, 3…} entonces {1,2, 3…} es el dominio.
RANGO El rango de una función es el conjunto de todos los valores de salida de una función o es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a omar Por ejemplo: Si a la función f(x) = x2 se le dan valores x= {1,2, 3…} entonces el rango será {1,4, 9…}
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CALCULO I
2.2. MARCO TEÓRICO DERIVADAS MÁXIMOS Y MÍNIMOS Cálculo de máximos y mínimos usando derivadas. De la derivada primera obtenemos el crecimiento y decrecimiento de una función y los posibles máximos y mínimos relativos.
VALORES DE LA PRIMERA DERIVADA f ′(x) = 0 → Puede haber maximos maximos o minimos minimos relativos relativos
f ′(x) > 0 → Funcio Funcionn creci crecient entee en ese interv intervalo alo f ′(x) < 0 → Funcio Funcionn decrec decrecien iente te en ese intera interalolo FUNCIÓN POLINÓMICA Observa los pasos y las aplicaciones de las derivadas para calcular el crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos de una función polinómica. Dada la función f(x)=x3-6x+9x+4, estudia su crecimiento y decrecimiento. ¿Tiene f(x) máximos o mínimos?. Si los tiene halla sus coordenadas.
1. Derivada primera de la función Hacemos la derivada primera de la función. La igualamos a 0 y resolvemos la ecuación resultante. Si la ecuación tiene solución, en esos puntos de x puede haber máximos o mínimos locales. También se llaman extremos relativos, puntos singulares o puntos críticos.
f (x) = x − 6x +9x+4 9
CALCULO I Derivada
⇒ f ′(x) = 3x −12x+9
primera
Igualamos la derivada a 0 y resolvemos la ecuación.
3x −12x+9 ⇒ x − 4 x + 3 = 0 −4.1.4 x = 3 ( ) √ 4 ± −4 x= = {x = 1 2 En estos puntos puede haber máximos o mínimos relativos.
2. C Crecimiento recimiento y Decrecimiento Trazamos una recta y marcamos los valores de x que me anulan la derivada, la recta queda dividida en intervalos. Tomamos los valores de x comprendidos en cada intervalo, los sustituimos en la derivada y vemos su signo.
f´(x) > 0 → Funcio Funcionn crec crecien iente te en ese interv intervalo alo f´( f´(x) < 0 → decre decrecie ciente nte en ese interv intervalo alo La función es creciente en aquellos intervalos donde el signo de la función derivada es positivo. Es decreciente en el intervalo donde la función derivada es negativa
3. Máximos y Mínimos Deducimos si es máximo o minimo estudiando el crecimiento y decrecimiento. Máximo local → creciente - decreciente En ese valor de x donde
f´(x) = 0 hay hay un maximo maximo
Máximo local → decreciente – creciente En ese valor de x donde 10
f´(x) = 0 hay hay un un minim minimoo
CALCULO I Si sale creciente-creciente o decreciente-decreciente no hay máximos no mínimos
x = 1 ⇒ crec crecieiennte − decr decrec ecieient ntee ⇒ maximo maximo local local o relati relativo vo f (1) = 8 ⇒ Coor Coorde dena nada dass (1 ; 8) X = 3 ⇒ decr decrec ecieiennte − crec creciiente ente ⇒ minimo minimo local local o relativo relativo f (3) = 4 ⇒ Coor Coorde dena nada dass (3 ; 4)
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CALCULO I
III APLICACIÓN MATEMÁTICA 3.1. RECOLECCIÓN DE DATOS Mediante la observación diaria en diferentes horas, en cada día de la semana, se pudo hacer un cuadro donde se aproxima la cantidad de peatones que cruzan el puente Villa Sol con la ayuda de Excel2016 se realizaron las siguientes graficas con su ecuación polinómica: HORAS 07:0008:00 08:0009:00 09:0010:00 10:0011:00 11:0012:00 12:0013:00 13:0014:00 14:0015:00 15:0016:00 16:0017:00 17:0018:00 18:0019:00 19:0020:00 20:0021:00 21:0022:00
LUNES
MARTES
MIERCOLES
JUEVES
VIERNES
3398
3520
3290
3250
3484
2100
1980
2305
2023
2008
1854
1760
1205
1923
1808
1100
980
1205
1010
1108
1220
1090
1385
1563
1765
2250
1680
2215
2173
2788
3150
2970
2990
2570
3050
4084
3905
4120
4050
3989
1924
1480
1629
1729
1226
1451
946
1465
1726
1346
1340
1292
1528
1766
1963
4250
3920
3890
3576
4150
5984
4689
5145
5930
4989
2790
1750
2125
2373
2568
2178
1660
2218
2493
2149
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CALCULO I
3.2. ELABORACION DE GRAFICOS LUNES 7000
y = -7.633x3 + 331.34x2 - 4440. 4440.2x 2x + 20569 20569
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0 0
5
10
15
20
25
MARTES 6000
y = -7.99x3 + 344.43x2 - 4644. 4644.6x 6x + 21517 21517
5000
4000
3000
2000
1000
0 0
5
10
15
13
20
25
CALCULO I
MIERCOLES 6000 y = -6.8868x3 + 296.48x2 - 3952 3952.7x .7x + 18437 18437
5000
4000
3000
2000
1000
0 0
5
10
15
20
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JUEVES 7000 y = -6.7283x3 + 293.98x2 - 3957 3957.7x .7x + 18581 18581
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0 0
5
10
15
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CALCULO I
VIERNES 6000 y = -6.162x3 + 266.69x 2 - 3574. 3574.1x 1x + 17087 17087 5000
4000
3000
2000
1000
0 0
5
10
15
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3.3. PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN MATEMÁTICA
Según
el concepto del dominio y rango se analizan
todos los valores valores posibles que puedan tomar “X”, luego despejando, se determina “Y” y se analizan todos los valores posibles que puedan tomar “Y” en este caso:
Dom(x) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 …22, 23 ,24. Siendo las horas del día. Ran(x) = 0, 1, 2, 3, 4, …, 5000…, 6000. Numero de peatones (transeúntes).
15
CALCULO I
3.4. RESULTADOS Resolviendo con el tema de optimización logramos hallar lo siguiente: Las hora puntas donde encontraremos la mayor congestión peatonal en el puente villasol. DÍA
LUNES
y = -7.633x3 + 331.34x2 - 4440.2x + 20569
= -22.899x2 + 662.68x ′
4440.2 = 0
–
x1 = 18,40
18H : 24m (máximo)
Reemplazando en función:
y = -7.633(18,40)3 + 331.34(18,40)2 - 4440.2(18,40) + 20569 y = 3497.98 x2 =
10,53
y = 3498 (Peatones)
10H
:32m (mínimo)
Reemplazando en función:
y = -7.633(10.53)3 + 331.34(10.53)2 - 4440.2(10.53) + 20569 y = 1640,86
y = 1641 (Peatones)
Segunda derivada:
= -45.798x + 662.68 = 0 ′′
x = 14.47 14H : 28m
16
CALCULO I DÍA
MARTES
y = -7.99x3 + 344.43x2 - 4644.6x + 21517
′= -23.97x2 + 688.86x – 4644.6 = 0 x1 = 17,93
17H : 59m (máximo)
Reemplazando en función: y = -7.99(17,93)3 + 344.43(17,93)2 - 4644.6(17,93) + 21517 y = 2912.21
x2 = 10,80
y = 2912.21 (Peatones)
10H :48m (mínimo)
Reemplazando en función: y = -7.99(10,80)3 + 344.43(10,80)2 - 4644.6(10,80) + 21517 y = 1464.53
y = 1465 (Peatones)
Segunda derivada: ′′=
-23.97x + 688.86 = 0
x = 28.74
28H : 44m
17
CALCULO I DÍA
MIÉRCOLES
y = -6.8868x3 + 296.48x2 - 3952.7x + 18437
= -20.66x2 + 592.96x – 3952.7 = 0 ′
= 18,17
18H : 10m (máximo)
Reemplazando en función:
y = -6.8868(18.17)3 + 296.48(18.17)2 – 3952.7(18.17) + 18437 y = 3186.41
10.53
y = 3186 (Peatones)
10H :32m (mínimo)
Reemplazando en función:
y = -6.8868(10.53)3 + 296.48(10.53)2 – 3952.7(10.53) + 18437 y = 1648.17
y = 1648 (Peatones)
Segunda derivada:
= -41.32x + 592.96 = 0
′′
x = 14.35
14H : 26m
18
CALCULO I DÍA
JUEVES
y = -6.7283x3 + 293.98x2 - 3957.7x + 18581 3957.7 = 0 = -20.18x2 + 587.96x – 3957.7 ′
x1 = 18,58
18H : 35m (máximo)
Reemplazando en función: y = -6.7283(18.58)3 + 293.38(18.58)2 – 3957.7(18.58) 3957.7(18.58) + 18581 y = 3170.39
x2 = 10.55
y = 3170 (Peatones)
10H
: 33m (mínimo)
Reemplazando en función: y = -6.7283(10.55)3 + 293.38(10.55)2 – 3957.7(10.55) 3957.7(10.55) + 18581 y = 1580.54
y = 1581 (Peatones)
Segunda derivada:
= -40.36x + 587.96 = 0 ′′
x = 14.56 14H : 34m
19
CALCULO I DÍA
VIERNES
y = -6.7283x3 + 293.98x2 - 3957.7x + 18581 3957.7 = 0 = -20.18x2 + 587.96x – 3957.7 ′
x1 = 18,58
18H : 35m (máximo)
Reemplazando en función: y = -6.7283(18.58)3 + 293.38(18.58)2 – 3957.7(18.58) 3957.7(18.58) + 18581 y = 3170.39
x2 = 10.55
y = 3170 (Peatones)
10H
: 33m (mínimo)
Reemplazando en función: y = -6.7283(10.55)3 + 293.38(10.55)2 – 3957.7(10.55) 3957.7(10.55) + 18581 y = 1580.54
y = 1581 (Peatones)
Segunda derivada:
= -40.36x + 587.96 = 0 ′′
x = 14.56 14H : 34m
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CALCULO I Pregunta: ¿Cuál será la hora menos favorable para realizar un tránsito más libre? Se determinó que las horas donde comienza un tránsito peatonal menos favorable en el puente villa sol son:
Dias de la semana Horas menos optimas Lunes
18H : 24m
Martes
17H : 59m
Miercoles
18H : 10m
Jueves
18H : 35m
Viernes
18H : 16m
IV CONCLUSIONES Se
logró realizar el cálculo de las horas exactas donde se
podrá encontrar la mayor congestión en el puente Villa Sol. Se
confirmó co nfirmó con la optimización las horas con máxima
congestión Se
pudo hallar la ecuación polinómica con la ayuda de Excel
2016
21
CALCULO I
V. RECOMENDACIONES Si llegamos a presentar nuestro proyecto ante las autoridades gubernamentales correspondientes hay la posibilidad de que tomen en cuenta nuestro proyecto y puedan construir un mejorado paradero Villa Sol, ya que la cantidad de alumnos de la upn está en constante crecimiento y por ende su uso es vital para el desplazamiento. Finalmente, tendremos que seguir utilizando dicho paradero, ya que es el más cercano, tenemos que cuidarlo y respetar su capacidad especialmente en las horas de entrada y salida.
VI. REFERENCIAS Diccionario ABC – SOCIAL – TRANSITO (2017). Recuperado de: http://www.definicionabc.com/social/transito.php Disposiciones legales de transporte o tránsito (2013). Recuperado
de:
http://www.mtc.gob.pe/portal/home/publicaciones_arch/pr o_renat4_ ana_t1.pdf Jhony Velazco – Tránsito peatonal (2000). Recuperado de: File:///C:/Users/John7Downloads/77-389-2-PB.pdf Monografías
–
TRAMSITO
(2015).
Recuperado
de:
http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml
22
CALCULO I
VII. ANEXOS
23
