Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Economía Programación Programación Lineal Avalos Domínguez Irving Javier Problema del Empresario: Empresario: Sea la situación siguiente: Un pequeño empresario posee un taller artesanal donde produce partes y piezas que ofrece a una gran compañía. De acuerdo con la tecnología de que dispone el pequeño empresario, en el taller se pueden elaborar 7 diferentes tipos de partes y piezas, para lo cual se utilizan 3 tipos de materias primas, y determinadas cantidades cantidades de obreros calificados y operarios. En el cuadro que se inserta a continuación se muestran las informaciones informaciones que permiten determinar las funciones de producción de cada parte y pieza posible de elaborar, así como las disponibilidades de cada materia prima (medida en unidades físicas y las disponibilidades de trabajadores calificados y operarios (medidas en horas hombre/día).
En virtud del contrato que tiene suscrito el pequeño empresario con la compañía industrial a la cual surte de partes y piezas, las ofertas mínimas diarias están sujetas a las restricciones siguientes: a. El total de partes y piezas de los tipos 2, 3 y 4 deberán ser ofrecidos, como mínimo, en la cantidad conjunta de 320 unidades. b. El total de partes y piezas de los tipos 1,3, 4, 5 y 7 deberán ser ofrecidos, como mínimo en la cantidad de 600 unidades. c. En ambos casos, si en algunos de los grupos departes y piezas el pequeño empresario ofrece ofrece cantidades por encima de los límites mínimos pactados, la compañía industrial adquirirá a los precios convenidos las cantidades ofrecidas en exceso. d. Los límites anteriores, bajo cualquier circunstancia, deberán ser cumplimentados estrictamente. En el caso de que el pequeño empresario no pueda ofrecer las cantidades mínimas pactadas, perderá el contrato con la compañía, sin derecho a reclamación. El empresario conoce que para poder operar en condiciones normales, su ingreso por día no debe ser inferior a los 10 000 pesos. En estas condiciones su política es la de adquirir las cantidades de materias primas de todos los tipos que sean necesarias para poder cumplimenta
sus obligaciones y alcanzar la meta de ingreso mínimo diario. Sin embargo, su aversión a las organizaciones obreras lo lleva a preferir no contratar más operarios, según su criterio, para evitar conflictos sindicales, pero sí está dispuesto a contratar más obreros calificados si resultara imprescindible. El pequeño empresario lo ha contratado a Usted para que le prepare un programa de producción que le permita alcanzar todos los objetivos mínimos bajo los cuales quisiera operar. En estas condiciones: a. ¿Cuáles serían sus conclusiones? b. ¿Podría el pequeño empresario alcanzar todos sus objetivos en forma simultánea? c. Considerando que su objetivo fundamental deberá ser el de mantener su contrato con la compañía industrial, ¿Cuál sería el programa de acción que Usted le recomendaría al pequeño empresario? d. ¿Cuál o cuáles de sus objetivos resultan incompatibles con las condiciones del problema?
Solución: Las restricciones de recursos tal cual se muestran en la tabla anterior en forma matemática son las siguientes: Recurso 1: Recurso 2: Recurso 3: Obr. Cal: Operad:
0.2*x1+0.1*x2+0.3*x3+0*x4+0.4*x5+0*x6+0.2*x7<=150; 0.1*x1+0*x2+0.6*x3+0.2*x4+0*x5+0.1*x6+0.5*x7<=220; 0.4*x1+0.3*x2+0.2*x3+0.1*x4+0.5*x5+0.6*x6+0.3*x7<=300; 0.2*x1+0.15*x2+0.3*x3+0.15*x4+0.3*x5+0.4*x6+0.2*x7<=18; 0.6*x1+0.5*x2+0.3*x3+0.7*x4+0.5*x5+0.45*x6+0.25*x7<=160;
Por otro lado, las metas a cumplir son las siguientes: a. El total de partes y piezas de los tipos 2, 3 y 4 deberán ser ofrecidos, como mínimo, en la cantidad conjunta de 320 unidades. x2+x3+x4>=320
b. El total de partes y piezas de los tipos 1,3, 4, 5 y 7 deberán ser ofrecidos, como mínimo en la cantidad de 600 unidades. x1+x3+x4+x5+x7>=600;
Por último, si “el empresario conoce que para poder operar en condiciones normales, su ingreso
por día no debe ser inferior a los 10 000 pesos. En estas condiciones su política es la de adquirir las cantidades de materias primas de todos los tipos que sean necesarias para poder cumplimenta sus obligaciones y alcanzar la meta de ingreso mínimo diario”, entonces la siguiente restricción es la que determina la posibilidad o no de operación de las demás restricciones: 5*x1+2*x2+3*x3+4*x4+6*x5+5*x6+4.5*x7>=10000
Con lo anterior el problema resulta ser un problema de maximización de la ecuación anterior sujeta a las 5 restricciones de recursos y las 2 metas. Sin embargo, su aversión a las organizaciones obreras lo lleva a preferir no contratar más operarios, según su criterio, para evitar conflictos sindicales, pero sí está dispuesto a contratar más obreros calificados si resultara imprescindible. Por lo que esta se convierte en otra condición a tomar en cuenta al maximizar la ecuación anterior. Max= 5*x1+2*x2+3*x3+4*x4+6*x5+5*x6+4.5*x7 s.a 1) 0.2*x1+0.1*x2+0.3*x3+0*x4+0.4*x5+0*x6+0.2*x7<=150 2) 0.1*x1+0*x2+0.6*x3+0.2*x4+0*x5+0.1*x6+0.5*x7<=220 3) 0.4*x1+0.3*x2+0.2*x3+0.1*x4+0.5*x5+0.6*x6+0.3*x7<=300 4) 0.2*x1+0.15*x2+0.3*x3+0.15*x4+0.3*x5+0.4*x6+0.2*x7>=18 5) 0.6*x1+0.5*x2+0.3*x3+0.7*x4+0.5*x5+0.45*x6+0.25*x7<=160 6) x2+x3+x4>=320 7) x1+x3+x4+x5+x7>=600 ¿Cuáles serían sus conclusiones? Con base a los resultados del Software Lingo, no existe una posible solución bajo las condiciones que el empresario señala. ¿Podría el pequeño empresario alcanzar todos sus objetivos en forma simultánea? No, no podría ya que las restricciones son muy estrictas por lo que el modelo del empresario no es factible, por lo que es recomendable modificar ciertas restricciones a fin de mantener el contrato con la compañía industrial. c. Considerando que su objetivo fundamental deberá ser el de mantener su contrato con la compañía industrial, ¿Cuál sería el programa de acción que Usted le recomendaría al pequeño empresario?
Dado que el empresario se encuentra en una situación de imposibilidad bajo sus condiciones, lo más recomendable será flexibilizar algunas restricciones, en especial el de la no contratación de más operadores. Para dar una solución factible será necesaria la utilización del método de programación por metas, el cual determinará las cantidades necesarias para resolver el problema inicial de manera simultánea. Por lo tanto, se parte de la reformulación de las restricciones colocando variables de holgura en cada una de ellas a fin de saber que tan por encima o por debajo de la cantidad inicial se posiciona la solución y además se adiciona como una nueva restricción la ecuación objetivo de la maximización anterior a fin de mantener la restricción de los 10000 o más pesos necesarios para poder operar el conjunto de restricciones. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
0.2*x1+0.1*x2+0.3*x3+0*x4+0.4*x5+0*x6+0.2*x7+a1-a2=150 0.1*x1+0*x2+0.6*x3+0.2*x4+0*x5+0.1*x6+0.5*x7+b1-b2=220 0.4*x1+0.3*x2+0.2*x3+0.1*x4+0.5*x5+0.6*x6+0.3*x7+c1+c2=300 0.2*x1+0.15*x2+0.3*x3+0.15*x4+0.3*x5+0.4*x6+0.2*x7+d1+d2=18 0.6*x1+0.5*x2+0.3*x3+0.7*x4+0.5*x5+0.45*x6+0.25*x7+e1+e2=160 x2+x3+x4+f1+f2=320 x1+x3+x4+x5+x7+g1+g2=600 5*x1+2*x2+3*x3+4*x4+6*x5+5*x6+4.5*x7+h1+h2=10000
Ahora bien, en el problema anterior se trata de minimizar las variaciones que existen entre el valor inicial de las restricciones propuestas por lo que tendremos que minimizar todas las variables de holgura sujetas a las restricciones anteriores.
Min=a1+a2+b1+b2+c1+c2+d1+d2+e1+e2+f1+f2+g1+g2+h1+h2 s.a 1) 0.2*x1+0.1*x2+0.3*x3+0*x4+0.4*x5+0*x6+0.2*x7+a1-a2=150 2) 0.1*x1+0*x2+0.6*x3+0.2*x4+0*x5+0.1*x6+0.5*x7+b1-b2=220 3) 0.4*x1+0.3*x2+0.2*x3+0.1*x4+0.5*x5+0.6*x6+0.3*x7+c1+c2=300 4) 0.2*x1+0.15*x2+0.3*x3+0.15*x4+0.3*x5+0.4*x6+0.2*x7+d1+d2=18 5) 0.6*x1+0.5*x2+0.3*x3+0.7*x4+0.5*x5+0.45*x6+0.25*x7+e1+e2=160 6) x2+x3+x4+f1+f2=320 7) x1+x3+x4+x5+x7+g1+g2=600 8) 5*x1+2*x2+3*x3+4*x4+6*x5+5*x6+4.5*x7+h1+h2=10000 Utilizando el software Lingo se obtienen los siguientes resultados:
Cómo se observa en los resultados, existen tres desviaciones por encima de los valores iniciales, denominados C2, D2 y E2, que corresponden a las restricciones 3, 4 y 5 del planteamiento anterior por lo que es necesario relajar dichas restricciones para resolver el problema de manera simultánea, para hacer esto se deben agregar las cantidades propuestas en el modelo a los valores iniciales. Por lo que las restricciones modificadas según el modelo de programación por objetivos serían las siguientes: 3) 0.4*x1+0.3*x2+0.2*x3+0.1*x4+0.5*x5+0.6*x6+0.3*x7+c1+c2=300+740 4) 0.2*x1+0.15*x2+0.3*x3+0.15*x4+0.3*x5+0.4*x6+0.2*x7+d1+d2=18+677 5) 0.6*x1+0.5*x2+0.3*x3+0.7*x4+0.5*x5+0.45*x6+0.25*x7+e1+e2=160+821 Al maximizar la ecuación objetivo al modificar los valores de las restricciones anteriores el resultado es el siguiente: Max= 5*x1+2*x2+3*x3+4*x4+6*x5+5*x6+4.5*x7 s.a 1) 0.2*x1+0.1*x2+0.3*x3+0*x4+0.4*x5+0*x6+0.2*x7<=150 2) 0.1*x1+0*x2+0.6*x3+0.2*x4+0*x5+0.1*x6+0.5*x7<=220 3) 0.4*x1+0.3*x2+0.2*x3+0.1*x4+0.5*x5+0.6*x6+0.3*x7<=1040 4) 0.2*x1+0.15*x2+0.3*x3+0.15*x4+0.3*x5+0.4*x6+0.2*x7<=695 5) 0.6*x1+0.5*x2+0.3*x3+0.7*x4+0.5*x5+0.45*x6+0.25*x7<=981 6) x2+x3+x4>=320 7) x1+x3+x4+x5+x7>=600
Estos resultados demuestran que no se produce ninguna pieza de los componentes X1 y X2, mientras que solo se producen 46 de X3, 275 de X4, 337 de X5, 1344 de X6 y 7 de X7 y por otro lado el objetivo del empresario de obtener $10,000 pesos o más se está cumpliendo con un superávit de $9.57 pesos, por lo que este modelo es factible de llevarse a cabo de manera simultánea.
La recomendación final sería qué si el empresario quiere mantener su contrato con la compañía industrial, debe replantearse la aversión a los problemas sindicales y permitir la contratación de más operarios, de lo contrario no se podrá producir las cantidades mínimas pactadas y por ende perderá el contrato con la compañía industrial. d. ¿Cuál o cuáles de sus objetivos resultan incompatibles con las condiciones del problema?
La incompatibilidad del modelo radicaba en la restricción en la contratación de operarios, por lo que al relajar dicha restricción el modelo se pudo resolver de manera simultánea.
