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Programación por objetivos o metas.
Introducción.
Programación por metas aparece como una técnica apropiada, útil y flexible de análisis de decisión para problemas de decisión con múltiples objetivos en conflicto.
Es un modelo de optimización altamente efectivo cuando se busca obtener resultados factibles en determinadas operaciones que involucren varios objetivos a la vez.
Los procesos de toma de decisiones se analizan tradicionalmente sobre la base de un paradigma que puede esquematizarse de la siguiente forma. En primer lugar, se establece el conjunto de soluciones posibles o factibles del problema de decisión analizado fundándose en un criterio se asocia a cada solución o alternativa un número que representa el grado de deseabilidad que tiene cada alternativa se establece una ordenación de las soluciones factibles. Seguidamente utilizando técnicas matemáticas más o menos sofisticadas se procede a buscar entre las soluciones factibles aquella que posee un mayor grado de deseabilidad. Dicha alternativa es la solución óptima.
Este sencillo marco de análisis es el que subyace a cualquier problema de decisión investigado dentro del paradigma tradicional de la optimización. Los problemas de decisión abordados por medios de la programación matemática se ajustan a este tipo de estructura teórica. En esta clase de problemas las soluciones posibles se ordenan con arreglo a un cierto criterio que representa las preferencias del centro decisor. Esta función de criterio recibe el nombre de función objetivo. Recurriendo a técnicas matemáticas relativamente sofisticadas se establece la solución óptima como aquella solución factible para la que la función objetivo alcanza un valor óptimo.
Desde un punto de vista de contenido el marco teórico presenta importantes debilidades que lo desvía considerablemente de los procesos reales de tomas de decisiones. En efecto en muchos casos de la vida cotidiana las decisiones no están interesados en ordenar las soluciones factibles con arreglo a un único criterio, sino que desean efectuar esta tarea con arreglos a diferentes criterios que reflejan sus particularidades y preferencias.
Marco Teórico.
Antecedentes. La mayoría de las situaciones de decisión real sean personales o profesionales se caracterizan por metas (atributos) y objetivos múltiples más que por un simple objetivo. Estas metas pueden ser complementarias, pero frecuentemente son conflictivas entre sí.
La Programación meta es una técnica de resolución de problemas multicriterio que permite escoger las variables que ofrecen una mejor solución al problema planteado teniendo la gran ventaja que permite trabajar con metas medidas en distintas unidades e incluso contrapuestas.
Los principales pioneros fueron, A. Chames y W.W. Cooper, que desarrollaron el concepto de "Programación por metas". Este concepto surgió primero como un resultado de problemas de programación lineal sin solución. Chantes y Cooper explican:
Bastante relacionado con el análisis de contradicciones en problemas sin solución está el resultado que llamaremos "Alcanzar una meta". La gerencia algunas veces pone tales metas, aun cuando ellas sean inalcanzables dentro de los límites de recursos disponibles, por una variedad de razones. Por ejemplo, tales metas pueden ser establecidas para proporcionar incentivos o para juzgar méritos o ellas pueden ser usadas como una defensa para asegurar que consideraciones a largo plazo no sean borradas o destruidas por objetivos alcanzables de inmediatos etc. Cualquier restricción incorporada en la función será llamada una "meta". Ya sea que las metas sean alcanzables o no, se debe establecer en objetivo en el cual la optimización da resultados, los cuales vienen a ser "lo más aproximado" a lo que indican las metas.
Entre la mitad de la década de los 60 y la mitad de la década de los 70 divulgan estas ideas Ijiri (1965), Lee (1972) e Ignizio (1976). A partir de entonces son numerosísimos los trabajos publicados desarrollando aspectos teóricos, aplicaciones prácticas y posibles extensiones de la Programación por Metas.
¿Qué es? Es una modificación y extensión de programación lineal. La aproximación de programación por metas admite una solución simultánea de un sistema de objetivos complejos en lugar de un objetivo simple. En otras palabras, programación por metas es una técnica que es capaz de manejar problemas de decisión que tratan con una meta simple con múltiples submetas, así como problemas con metas múltiples con múltiples submetas. Además, la función objetivo del modelo de programación por metas puede estar compuesto de unidades no homogéneas de medida, tales como libras y dólares, en lugar de un solo tipo de unidad.
Programación de Metas: El planteamiento utilizado para resolver un problema de optimización de objetivos múltiples como un programa lineal que equilibre los pros y los contras de los objetivos en conflicto.
Meta: Valor objetivo numérico específico establecido para un fin en un programa de metas.
Penalización: Valor relativo que se usa para representar insatisfacción con cada unidad que un objetivo esté por debajo de su meta si el objetivo es maximizar y por encima de la meta si lo que se busca es minimizar.
Los problemas de metas se tienen objetivos múltiples, en este caso se encontrarán problemas con múltiples metas sin prioridades y/o con prioridades y en todos los casos se pudiesen tener problemas con ponderación y sin ponderación.
No se sacrifica una meta de mayor prioridad por una de menor prioridad pero dentro de una misma prioridad la desviación con mayor ponderación puede ser desplazada por la de menor ponderación si esta última logra un valor que compense dicha ponderación.
Esquema básico de la programación meta. Dependiendo del problema y de la meta en sí, se podrá tener interés en minimizar la desviación positiva, la negativa o ambas.
Una ventaja importante de la programación meta es su flexibilidad en el sentido de que permite al tomador de decisiones experimentar con una multitud de variaciones de las restricciones y de prioridades de las metas cuando se involucra con un problema de decisión de objetivos múltiples.
La forma del modelo de programación lineal sigue siendo la misma en programación por meta se tiene una función objetivo que se busca optimizar sujeta a una o más restricciones. Sin embargo, dentro de este marco de referencia se agregarán dos conceptos nuevos. El primero es el de las restricciones de meta en lugar de las restricciones de recurso. El segundo concepto es el de rango de prioridad entre las funciones de objetivo.
A menudo las metas múltiples de la gerencia están en conflicto o son realizadas solamente con el sacrificio de otras metas. Además, esas metas no se pueden medir. Entonces la solución del problema requiere de establecer una jerarquización de importancia entre esas metas incompatibles, así que las metas de menor orden son consideradas únicamente después de que las metas de mayor orden son satisfechas o haya sido alcanzado el punto más allá del cual ninguna mejora adicional sea deseada.
Si la gerencia puede proporcionar una clasificación ordinal de metas en términos de sus contribuciones o importancia para la organización y todas las restricciones de las metas son lineales, el problema puede ser solucionado por medio de programación por metas.
¿Cómo puede una función objetivo ser determinada y expresada en forma algebraica cuando existen metas múltiples, no medibles y en conflicto?
Una respuesta simple puede ser sugerida, una función objetivo compuesta de metas múltiples. Esto es esencialmente lo que programación por metas encierra. En programación por metas en lugar de tratar de maximizar o minimizar la función objetivo directamente como en programación lineal, lo que se va a minimizar son desviaciones entre las metas y como pueden ser realizadas dentro del conjunto dado de restricciones.
Las características que distinguen la programación de Meta son:
La Función Objetivo siempre busca minimizar.
Por cada meta existirá una restricción meta.
Que las metas se satisfacen en una secuencia ordinal que las metas que deben clasificarse en orden de prioridad por el tomador de decisiones son satisfechas secuencialmente por el algoritmo de solución.
Las metas con prioridad baja se consideran solamente después de que las metas de prioridad alta se han cumplido.
La Programación de metas es un proceso de satisfacción en el sentido de que el tomador de decisiones tratará de alcanzar un nivel satisfactorio en vez del mejor resultado posible para un solo objetivo.
La noción fundamental de la Programación Meta comprende incorporar todas las metas gerenciales en la formulación del modelo del sistema.
En la programación Meta en vez de intentar minimizar o maximizar la Función Objetivo directamente como en la programación lineal se minimizan las desviaciones entre las metas y los límites logrables dictados por el conjunto dado de restricciones en los recursos.
Estas variables de desviación que se denominan de "holgura" o "sobrantes" en programación lineal, toman un nuevo significado en la Programación Meta. Ellas se dividen en desviaciones positivas y negativas de cada una de las submetas o metas. El objetivo se convierte entonces en la minimización de estas desviaciones dentro de la estructura prioritaria asignada a estas desviaciones.
Las metas se satisfacen en el orden de prioridad establecido por el tomador de decisiones.
Las metas no necesitan satisfacerse exactamente sino tan cerca como sea posible.
La programación meta también es aplicable en las siguientes áreas, entre otras:
MERCADEO: Donde las metas conflictivas podrían ser: maximizar la participación del mercado minimizar los costos de publicidad, maximizar el margen de ganancia por artículo vendido.
CONTROL DE INVENTARIOS: Donde es necesario minimizar el número de faltantes y minimizar el costo de almacenaje.
PRODUCCION: Donde es necesario minimizar el costo de fabricación maximizar el control de calidad y maximizar la utilización de recursos.
FORMULACIÓN: La formulación de un modelo de Programación Meta es similar al modelo de Programación Lineal (P.L). El Primer paso es definir las variables de decisión después se deben de especificar todas las metas gerenciales en orden de prioridad.
Una característica de la Programación de Meta es que proporciona solución para los problemas de decisión que tengan metas múltiples, conflictivas e inconmensurables arregladas de acuerdo a la estructura prioritaria de la administración.
La formulación de un modelo de programación por metas consiste en fijar los atributos que se consideran relevantes para el problema que se está analizando. Una vez establecidos los atributos se pasa a determinar el nivel de aspiración que corresponde a cada atributo, es el nivel de logro que el centro decisor desea alcanzar.
Seguidamente se conecta el atributo con el nivel de aspiración por medio de la introducción de las variables de desviación negativa y positiva respectivamente:
n: variable de desviación negativa cuantifica la falta de logro de una meta
p: variable de desviación positiva cuantifica el exceso de logro de una meta.
En general, la meta del atributo i-ésimo se escribe como:
Los valores de las variables de desviación son siempre positivas o cero, al menos una de las dos variables de desviación que definen la meta tendrá que ser cero.
Las dos variables de desviación tomarán el valor cero cuando la meta alcance exactamente su nivel de aspiración una variable de desviación se dice que es no deseada cuando al centro decisor le conviene que la variable en cuestión alcance su valor más pequeño (cero).
Pasos a seguir.
En conclusión, se puede decir que los pasos para la formulación de problemas de Programación de Metas son:
Identificación de las variables de decisión: En el cual se definen además 2 nuevas variables para cada objetivo una para representar la cantidad en el cual el objetivo se pasa del objetivo especificado y la otra para representar la cantidad que está por debajo de la meta.
Identificación de las restricciones.
Identificación de la Función Objetivo: En la programación de metas el objetivo es minimizar la penalización total por no haber logrado las dos metas. Aplicando la descomposición se tiene el siguiente resultado:
Penalización Total= (Penalización por no alcanzar la meta) + (Penalización por exceder la meta).
Ejercicio de Metas Con Prioridad: Considera la situación de Bicicletas Arturito en donde la administración desea alcanzar varias metas la administración desea ordenar dichas metas en orden de importancia y que la meta más importante tiene prioridad absoluta sobre la siguiente meta más importante y así sucesivamente.
Para lograr que las metas de baja prioridad se consideren solamente después de lograr las metas de alta prioridad se clasifican las metas en k rangos y las variables de desviación asociadas con las metas se les asigna un número prioritario Pj (j = 1,2,..., k). Los factores de prioridad satisfacen
P1>>>P2>>>...Pj>>>Pj+1.
Las relaciones de prioridad implican que la multiplicación por n, no importa que tan grande sea n, no puede hacer una meta de baja prioridad tan importante como una meta de alta prioridad (por ejemplo: (Pj>nPj+1).
Ejemplo 1.
Ahora supongamos que la división de bicicletas de Arturito, además de lograr sus $600.00 de meta primaria de utilidad desea utilizar completamente sus departamentos de ensamblaje y terminación durante la reorganización que se avecina una meta secundaria la división desea minimizar el tiempo ocioso. La formulación del modelo es:
Minimizar Z = P1 (d1- + d1+) + P2(d2-+d3-)
15x1 +25x2 + d1-d1+ = 600
x1 + 3x2 + d2-d2+ = 60
x1 + x2 + d3-d3+ = 40
x1 x2 di-di+ = 0
Donde:
x1 = Número de bicicletas de 3 velocidades producidas por día.
x2 = Número de bicicletas de 10 velocidades producidas por día.
d1- = Cantidad por debajo de la utilidad perseguida.
d1+ = Cantidad por encima de la utilidad perseguida
d2- = Tiempo ocioso diario en el departamento de ensamble
d2+ = Tiempo extra diario en el departamento de ensamble
d3- = Tiempo ocioso diario en el departamento de terminación.
d3+ = Tiempo extra diario en el departamento de terminación.
Nota: Puesto que d1- y d1+ se incluyen en la función objetivo el modelo intentará lograr exactamente la utilidad diaria perseguida de $600 minimizando tanto las desviaciones positivas como las negativas.
Con d2+ d3+ y eliminados de la función objetivo sin embargo el modelo no se preocupará del tiempo extra en el departamento de ensamble o terminación e intentará minimizar solamente el tiempo ocioso en estos departamentos.
Debido a que la utilidad perseguida es más importante que la meta de minimización del tiempo ocioso esta se le asigna prioridad P1. El modelo intentará lograr esta meta hasta donde más le sea posible antes de considerar la meta secundaria de minimizar el tiempo ocioso de producción.
Ejemplo 2.
Considérese una planta manufacturera que tiene una capacidad normal de operación de 500 horas por día. Con esta capacidad, la compañía fabrica dos productos: el A y el B. La producción de cualquiera de los dos productos requiere de una hora en la planta. A causa de la demanda limitada, solo pueden venderse 300 unidades del producto A es de $10, y la que deja la venta del producto B es $5.
El presidente de la compañía ha hecho una lista de las siguientes metas en orden de importancia:
Evitar la subutilización de la capacidad de producción.
Vender tantas unidades como sea posible; sin embargo, como la utilidad que deja la venta del producto A es igual al doble del producto B, tiene doble preferencia por lograr la meta de ventas del producto A en relación con el producto B.
Reducir el tiempo extra.
El presidente de esta compañía debe escoger una estrategia que lo acerque al logro de todas sus metas lo más posible.
Como se puede trabajar tiempo extra, la producción puede tomar más de las 500 horas de tiempo de operación. La capacidad de operación puede expresarse como sigue:
x1+x2 +d1 -d1 =500
en donde x1= unidades del producto A que han de fabricarse.
X2= unidades del producto B que han de fabricarse.
d1 = tiempo ocioso cuando la producción de los productos A y B no agota la capacidad de producción.
d1 =operación en tiempo extra.
El número de productos que pueden venderse para A y B, se expresara como sigue:
x1+ d2 = 300
x2+ d3 = 400
en donde d2 = sublogro de las metas de ventas para el producto A.
d3 = sublogro de las metas de ventas para el producto B.
Además de estas variables y restricciones, deben asignarse factores de prioridad a las desviaciones que ocurren respecto a las metas, como sigue:
P1 -la prioridad más alta asignada por la gerencia a la subutilización de la capacidad de producción: d1 .
P2 -el factor de prioridad asignado a la subutilización de la capacidad de ventas: d2 y d3 . También, la gerencia desea asignar el doble de importancia a d2 sobre asignada a d3 .
P3 -el factor de prioridad asignado al tiempo extra utilizado en la operación de la producción: d1 .
Con base en las restricciones anteriores, es posible formular el modelo de programación por metas:
Minimizar: Z=P1d1 + 2P2d2+ P2d3 + P3d1
Sujeta a: x1+x2+d1 -d1 = 500
x1 +d2 = 300
x2 +d3 = 400
x1,x2,d1 ,d2 ,d3 ,d4 0
El objetivo es la minimización de las desviaciones respecto a las metas. Por tanto, la función objetivo se expresa solo en función de las variables de desviación. La variable de desviación asociada con la prioridad más alta debe minimizarse primero al grado más completo posible. Cuando no se puede lograr mayor mejora en el grupo de orden de prioridad más alto, se minimizan las desviaciones asociadas con la siguiente prioridad más alta. La solución óptima al problema anterior puede obtenerse aplicando el método simplex de programación lineal.
Ejemplo 3.
Una Compañía textil produce dos tipos de materiales de lino un material fuerte para tapicería y un material regular para vestido. El material para tapicería es producido de acuerdo a órdenes directas de fabricantes de muebles. El material para vestido, por otro lado, es distribuido a tiendas fabricantes al menudeo. Las razones de producción promedio para el material para tapicería y para el material para vestido son idénticos: 1,000 yardas por hora. Trabajando dos turnos, la capacidad operacional de la planta es de 80 horas por semana.
La capacidad de producción está limitada a 80 horas trabajando dos turnos. Sin embargo, como el tiempo extra de la planta es permitido hasta cierta extensión, la restricción puede ser expresada como:
Introduciendo variables de desviación a la restricción ésta puede ser expresada como:
donde:
x1= Número de horas usadas para producir el material para tapicería.
x2= Número de horas usadas para producir el material para vestido»
d1-= Baja utilización de la capacidad de producción fijada a 80 horas de operación.
d2+= Sobre utilización de la capacidad de producción normal más allá de 80 horas.
Debe notarse, como se discutió en el Capítulo I, que d^ toma un valor solamente cuando d1- es cero y viceversa. Por lo tanto, el producto de (d1-) (d1+) siempre es cero.
Ejemplo 4.
Una empresa tiene que determinar cuántos televisores a color y videocaseteras debe mantener en existencia. La compra de un televisor cuesta $300 y de una videocasetera $200. Un televisor requiere de tres yardas cuadradas de espacio de almacenamiento y una videocasetera necesita una yarda cuadrada de espacio. La venta de un televisor le proporciona una utilidad de $150 y la venta de una videocasetera da una utilidad de $100. Se ha fijado los siguientes objetivos:
Se puede ganar un máximo de $25,000 en la compra de los aparatos.
Debe gastar por lo menos $11,000 en utilidades.
Los televisores y las videocaseteras deben abarcar no más de 200 yardas cuadradas de espacio de almacenamiento.
X1= número de televisores a color.
X2= número de videocaseteras.
Min z= d1+d2+d3+
300x1+200x2+d1-d1+=25,000
150x1+100x2+d2-d2+=11,000
3x1+x2+d3-d3+=200
Xi 0 dj-dj+ 0
Resultado.
X1=60 d1-=0 d1+=0
X2=20 d2-=0 d2+=0
d3-=0 d3+=0
Con esto entendemos que se deben de tener en existencia 60 televisores y 20 videocaseteras.
Ahora analizando nuestro objetivo número 1 tenemos que gastamos el máximo de $25,000 para la compra de nuestros aparatos, porque en nuestras variables de desviación en las dos obtuvimos cero.
Objetivo número 2 vemos que nos hemos gastado por lo menos los $11,000 de las utilidades, por igual motivo que de las variables de desviación dan cero que quiere decir que no nos faltan ni nos sobra.
Objetivo número 3 nuestros televisores y videocaseteras abarcaran exactamente las 200 yardas cuadradas de almacenamiento.
Método de Metas Con Ponderaciones: El método de las ponderaciones se puede utilizar para generar el conjunto eficiente, aunque no resulta muy adecuado para obtener la representación completa del citado conjunto. Para llevarlo a cabo hay que considerar de forma sistemática una serie de conjuntos de pesos positivos. Usualmente se empieza por la optimización individual de cada objetivo que equivale a tomar los pesos para después introducir una variación sistemática de estos con una tasa de aumento prefijado que hay que estimar como adecuada.
Planteamiento del Método.
Matemáticamente el método de las ponderaciones se formula mediante el problema
Max Z(x)= kZk(x) Sujeto a: x Є F
Con λk peso asociado al objetivo Zk denominamos a este problema p(λ) donde (λ1….λp) El problema multiobjetivo ha quedado transformado en un problema de optimización con un único objetivo. El peso λk para el objetivo Zk se interpreta como la importancia o peso relativo del k-ésimo objetivo en relación con el resto de los objetivos.
De esta forma, si los pesos λ1…..λp expresan las referencias del decisor y este es capaz de asignarlos de una manera coherente, la solución óptima de p(λ) es la solución de mejor compromiso para él.
La solución óptima del problema p (λ) es eficiente si los pesos λk son positivos. Si se tomaran pesos negativos ello es equivalente a transformar el problema p (λ) en uno de minimización para el que se tendría un conjunto eficiente distinto.
Método de Metas y Penalización: Este método se aplica a problemas con dos o más objetivos contrapuestos.
Para alcanzar una decisión optima se procede a identificar:
Una Meta: En la forma de un valor objetivo numérico especifico que se desee lograr.
Una Penalización: En la forma de un valor para cada unidad que el objetivo se encuentre por debajo (si es maximización) o por encima si es (minimización) de la meta.
Una vez identificadas las metas y las penalizaciones deben encontrarse una solución que minimice las penalizaciones totales asociadas a los objetivos.
Propiedades:
Se utilizan metas y penalizaciones para permitir que las restricciones sean violadas si hay una mejora significativa en el logro de otras metas.
Los diferentes objetivos pueden combinarse en solo objetivo general.
Los objetivos pueden catalogarse en orden de importancia.
La obtención de las metas, las penalizaciones, las funciones de utilidad o clasificaciones de los objetivos está cargada de un alto grado de subjetividad.
Procedimiento:
Por cada objetivo se identifica una meta.
Por cada meta identificada se definen dos variables no negativas adicionales: la variable 1 representa la cantidad en que el objetivo supera la meta y la variable, 2 representa la cantidad en que la meta supera el objetivo.
Por cada objetivo se formula una restricción de meta asociada.
Se establece una sola función objetivo de minimización de la penalización total por no cumplir con las metas.
Se resuelve el programa lineal con un solo objetivo.
Método Preventivo o de jerarquías.
En este tipo de método el tomador de decisiones clasifica las metas del problema en orden de importancia. Dada una situación de n metas los objetivos del problema se escriben como
Minimizar G1 = r1 (Máxima prioridad)
Minimizar Gn = rn (Mínima prioridad)
La variable pi es el componente de las variables de desviación que representan la meta i. por ejemplo pi = .
El procedimiento de solución se inicia con la optimización de la prioridad máxima, G1, y termina con la optimización de la prioridad mínima, Gn. El método preventivo está diseñado de modo que una solución de menor prioridad nunca degrade a una solución de alta prioridad.
La programación de metas presenta un método simplex "especial" que garantiza la no degradación de soluciones de alta prioridad. El método utiliza la regla de eliminación de columnas que exige eliminar una variable xj no básica con un costo reducido diferente de cero (zj 2 cj Z 0) de la tabla óptima de metas Gk antes de resolver el problema de la meta Gk+1.
La regla reconoce que tales variables no básicas si se elevan por encima del nivel cero en las optimizaciones de metas subsiguientes, pueden degradar (pero nunca mejorar) la calidad de una meta de mayor prioridad. El procedimiento requiere incluir las funciones objetivo de todas las metas en la tabla simplex del modelo.
La modificación propuesta de eliminación de columnas complica sin necesidad la programación de metas se pueden alcanzar los mismos resultados de una manera más simple dando los siguientes pasos:
Paso 0: Identifique las metas del modelo y clasifíquelas en orden prioridad:
Establezca i =1
Se puede argumentar que la regla de eliminación de columnas ofrece una ventaja ya que hace el problema sucesivamente más pequeño al eliminar variables en tanto que el procedimiento lo hace más grande al agregar nuevas restricciones. Considerando la naturaleza de las restricciones adicionales (pi = pi* ) podemos modificar el algoritmo simplex para implementar la restricción adicional implícitamente sustituyendo pi = pi* .
La sustitución (que afecta sólo a la restricción en la que aparece pi) reduce el número de variables a medida que el algoritmo se mueve de una meta a la siguiente. De otra manera podemos utilizar el método simplex acotado reemplazando las restricciones adicionales se toman en cuenta de manera tácita. Al respecto la regla de eliminación de columnas aparte de su atractivo teórico no parece ofrecer una ventaja en particular.
Ejemplo: Método Preventivo.
En el siguiente problema se resuelve por método preventivo. Suponga que la meta de exposición tiene la prioridad más alta.
La solución óptima es x1= 5 minutos, x2= 2.5 minutos, S1= 5millones de personas con las variables restantes iguales a cero. La solución muestra que 5 millones de personas violan la meta de exposición, G1. La restricción adicional que se añade al problema G2 es S1= 5 (o lo que es lo mismo, s1 5).
Regla de eliminación de columnas: Utiliza el método preventivo para optimizar los objetos en lugar de satisfacer las metas.
Las metas se pueden formular como:
La solución óptima es X1= 0, X2= 5 con P1= 40 lo que se demuestra que la exposición que podemos obtener es de 40 millones de personas.
La solución óptima de la PL2 es P2= $96,000, x1= 6 minutos y X2= 2 minutos. Esto da por resultado la misma exposición (P1 = 40millones de personas) pero a un costo menor en donde se busca satisfacer en lugar de optimizar las metas.
Método de los pesos
Suponga que el modelo de programación de metas tiene n metas y que la meta i-ésima se da como
La función objetivo combinada utilizada en el método de pesos se define entonces como:
Los parámetros wi, i = 1,2,...,n son pesos positivos que reflejan las preferencias de la toma de decisiones con respecto a la importancia relativa de cada meta. Por ejemplo, wi= 1,para todas las i, significa que todas las metas tienen una misma importancia. La determinación de los valores específicos de estos pesos es subjetiva. En realidad, los procedimientos analíticos aparentemente complejos, desarrollados en la literatura aún están arraigadas en evaluaciones subjetivas.
Ejemplo: Método de pesos.
La Pizzería Tommy ubicada en el centro de Pachuca, con 10 empleados, firmó un contrato para promover un nuevo producto (pizza). Como una nueva opción de marketing la pizzería puede hacer publicidad por facebook e instagram. La siguiente tabla proporciona la cantidad de personas alcanzadas diariamente por cada tipo de anuncio publicitario, así como los requerimientos de costos y mano de obra. El contrato prohíbe utilizar
Facebook
Instagram
Exposición (en millones de personas)/min
4
8
Costo (en miles de dólares)/min
8
24
Empleados asignados/min
1
2
más de 6 minutos de publicidad por Facebook. Además, los anuncios de facebook e instagram tienen que llegar al menos a 45 millones de personas. La pizzería Tommy tiene una meta presupuestaria de $100,000 para el proyecto. ¿Cuántos minutos de anuncios de facebook e instagram debe utilizar la pizzería Tommy? Sean x1 y x2 los minutos asignados a los anuncios de facebook e instagram. La formulación de la programación de metas para el problema se da como
Minimizar G1-= Si- (Satisfacer la meta de exposición)
Minimizar G2+= Si+ (Satisfacer la meta de presupuesto)
sujeto a
La gerencia de Tommy estima que la meta de exposición es dos veces más importante que la meta de presupuesto. Por lo tanto, la función objetivo combinada se convierte en
La solución óptima es z = 10, x1= 5 minutos, x2= 2.5 minutos, s1-= 5 millones de personas, S1-=0, y S2-=0.
El hecho de que el valor óptimo de z no sea cero indica que al menos una de las metas no se cumple. Específicamente, S1-=5 significa que la meta de exposición (de al menos 45 millones de personas) falla por 5 millones de personas. Por otra parte, la meta de presupuesto (de no exceder $100,000) no se viola porque S2+=0.
Comentarios. La programación de metas busca sólo una solución eficiente, más que óptima, al problema. Por ejemplo, la solución x1= 6 y x2= 2 produce la misma exposición (4*6+ 8*2) = 40 millones de personas) pero cuesta menos (8*6+24*2)= $96,000).En esencia, lo que la programación de metas hace es hallar una solución que satisfaga las metas del modelo sin tomar en cuenta la optimización. La falla de no hallar la solución óptima levanta dudas sobre la viabilidad de la programación de metas como una técnica de optimización.
Conclusión.
El modelo de programación por metas simplemente proporciona la mejor solución bajo la estructura de prioridades y restricciones dadas. Por lo tanto, algunas cuestiones para investigar concernientes a la identificación, definición y clasificación de metas todavía se requieren.
Referencias
Flores, I. E. (Octubre de 1982). "UN MODELO DE PROGRAMACION POR METAS PARA DISTRIBUCION DE RECURSOS ACADEMICOS". Obtenido de "UN MODELO DE PROGRAMACION POR METAS PARA DISTRIBUCION DE RECURSOS ACADEMICOS": http://eprints.uanl.mx/33/1/1020070103.PDF
TAHA, H. A. (2012). INVESTIGACION DE OPERACIONES. Mexico: PEARSON.
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Aguado, A. M. (1998). PROGRAMACIÓN ESTOCÁSTICA POR METAS. TEORIA Y APLICACIONES ECONÓMICAS. Obtenido de PROGRAMACIÓN ESTOCÁSTICA POR METAS. TEORIA Y APLICACIONES ECONÓMICAS.: http://biblioteca.ucm.es/tesis/19972000/S/2/S2024301.pdf
