Antología de la materia de Investigación Investigación de Operaciones II
UNIDAD 5.- PROGRAMACIÓN POR METAS. 5.1.- DEFINICIÓN E IMPORTANCIA. Hasta ahora solo se han analizado modelos que pueden aplicarse a problemas que tienen un solo objetivo, como el de maximizar utilidades o minimizar costos. in embargo, existen muchas problemas con objetivos m!ltiples, como la simult"ne simult"neaa maximizac maximización ión de utilidade utilidades, s, maximiza maximización ción de participa participación ción en el mercado, mercado, minimiza minimización ción de costos, costos, maximización de la calidad del producto # maximización de la satis$acción de los clientes. %on $recuencia, estos objetivos m!ltiples m!ltiples entran en con$licto entre sí, #a que toman direcciones di$erentes & por ejemplo, minimización minimización de costos contra maximización del servicio al cliente '. (ara resolver este tipo de problemas, se han desarrollado modelos de programación matem"tica de criterios m!ltiples, # uno de estos modelos lo constitu#e la programació por m!"a#. )a programación por metas maneja los objetivos &metas' como restricciones, # utiliza en la $unción objetivo un sistema de prioridades para satis$acerlos. Adem"s, maneja variables de desviación, que son las que indican si se logra alcanzar o no las metas propuestas. )a $unción objetivo busca entonces minimizar las variables de desviación, es decir, el $allo en el logro de cada meta. )as variables de desviación se denotan como d * &variable en de$ecto', para indicar que la meta no se alcanzó, # + d &variable en exceso' para indicar que la meta se sobrepasó. n base a lo anterior, todos los problemas de (rogramación por -etas son de minimización, # no dan una solución óptima en el logro de las metas, sino que encuentran el punto que satis$ace lo mejor posible a cada una de ellas. )as prioridades indican la importancia de cada uno de los objetivos, es decir, el orden en que deben lograrse.
5.$.- FORMU%ACIÓN DE PRO&%EMAS CON PROGRAMACIÓN POR METAS. (ara poder resolver cualquier problema de programación por metas, es necesario plantearlo adecuadamente. (ara ello se ver" el siguiente ejemplo %ierta compa/ía $abrica dos tipos de c"maras $otogr"$icas de 01 mm., la est"ndar # la de lujo. )os requerimientos de producción para ambos tipos de c"maras se muestran en la siguiente tabla 2I(O 3 %4-A5A 2483A5 3 )9:O H5. 3I(. (O5 -A8A
3(2O. 6 &H5.' 7 ;
3(2O. 7 &H5.' 0 0
<=
<=
)as <= horas de tiempo disponible por semana en cada departamento es un $actor un tanto restrictivo, #a que la compa/ía tiene como política general evitar el tiempo extra, si es posible. )as utilidades del $abricante son de >0= por cada c"mara est"ndar # >;= por cada c"mara de lujo, # los administradores administradores de la compa/ía se han $ijado las siguientes metas, en orden de importancia (6 evitar las operaciones de tiempo extra en cada departamento, si es posible. (7 los registros previos de ventas se/alan que, en promedio, puede venderse un promedio de 6= c"maras de cada tipo por semana. A los administradores les gustaría alcanzar estas metas, pero es recomendable ponderar las ventas ventas de acuerdo a la la contribución de las utilidades utilidades de cada tipo de c"mara, es decir, decir, >0= # >;=, respectivamente. (0 -aximizar las utilidades. %omo se mencionó anteriormente, antes de poder solucionar este problema es necesario plantearlo, # para ello se deben de$inir las variables estructurales a utilizar ?6 @ cantidad de c"maras est"ndar a $abricar. ?7 @ cantidad de c"maras de lujo a $abricar. e plantean primero las restricciones estructurales del problema, seguidas de las restricciones de meta & los objetivos como restricciones ' laborado por el Ing. :os Alberto strada Beltr"n.
6
Antología de la materia de Investigación de Operaciones II
525I%%IO8 259%295A) 525I%%IO8 3 -2A
7 ?6 + ; ?7 0 ?6 + 0 ?7 ?6 ?7 0= ?6 + ;= ?7
≤ ≤ ≥ ≥ ≥
<= <= 6= 6= 6,7==
vender 6= o m"s c"maras est"ndar. vender 6= o m"s c"maras de lujo. maximizar utilidades &meta supuesta'.
Ahora es necesario agregar, en lugar de variables de holgura, variables de desviación 7 ? 6 + ; ? 7 + d 6* * d 6+ @ <= * + 0 ?6 + 0 ?7 + d7 * d 7 @ <= ?6 + d0* * d0+ @ 6= ?7 + d ;* * d ;+ @ 6= 0= ?6 + ;= ?7 + d1* * d1+ @ 6,7== para toda ?i ≥ =, para toda d i* ≥ =, para toda d i+ ≥ =. )a $unción objetivo ser" la minimización de la sumatoria de las variables de desviación que se quiera que disminu#an su valor, de acuerdo a las metas, multiplicadas por su prioridad respectiva minimizar z @ ( 6 d6+ + (6 d7+ + 0= ( 7 d0* + ;= ( 7 d;* + (0 d1* donde d6+ @ es la variable que indica m"s de las <= horas permitidas de trabajo en el departamento 6, # se debe minimizar. + d 7 @ es la variable que indica m"s de las <= horas permitidas de trabajo en el departamento 7, # se debe minimizar. * d 0 @ es la variable que indica que no se alcanza la meta de ventas de 6= c"maras est"ndar, # se debe minimizar. d;* @ es la variable que indica que no se alcanza la meta de ventas de 6= c"maras de lujo, # se debe minimizar. d1* @ es la variable que indica que no se alcanza la meta de utilidades de 6,7==, # se debe minimizar. Cinalmente, reacomodando el problema tenemos min. z @ ( 6 d6+ + (6 d7+ + 0= ( 7 d0* + ;= ( 7 d;* + (0 d1* sujeto a 7 ? 6 + ; ? 7 + d 6* * d 6+ @ <= * + 0 ?6 + 0 ?7 + d7 * d 7 @ <= ?6 + d0* * d0+ @ 6= ?7 + d ;* * d ;+ @ 6= 0= ?6 + ;= ?7 + d1* * d1+ @ 6,7== para toda ?i ≥ =, para toda d i* ≥ =, para toda d i+ ≥ =. (ara solucionar gr"$icamente este problema, se deben llevar a cabo los siguientes pasos
laborado por el Ing. :os Alberto strada Beltr"n.
7
Antología de la materia de Investigación de Operaciones II
5.'.- SO%UCIÓN GR(FICA DE PRO&%EMAS CON PROGRAMACIÓN POR METAS. 6.* Dra$icar todas las restricciones estructurales para identi$icar la región $actible. 7.* Dra$icar las restricciones de meta. 0.* Identi$icar la solución de ma#or prioridad, determinando el punto o puntos de la región $actible que satis$a* cen la meta de ma#or prioridad. ;.* (asar a la meta con la siguiente prioridad m"s alta # determinar la o las mejores soluciones, de $orma que estas no degraden las soluciones #a alcanzadas para las metas de ma#or prioridad. 1.* 5epetir el paso ; hasta que se ha#an investigado todos los niveles de prioridad. ?7
525I%%IO8
6
7 ?6 + ; ?7 @ <=
259%295A)
7
0 ?6 + 0 ?7 @ <=
525I%%IO8 3 -2A
0 ; 1
0
?6 @ =, ?7 @ 7= ?6 @ ;=, ?7 @ =
00 * 0= * 7F * 7; *
@ 6= ?7 @ 6= 0= ?6 + ;= ?7 @ 6,7==
?6 @ =, ?7 @ 7E.EE ?6 @ 76.EE, ?7 @ =
?6
? 6 @ =, ?7 @ 0= ?6 @ ;=, ?7 @ =
76 * A 6
) (982O O(2I-O %, GA 9 %9-() %O8 )A (5I-5A %9A25O 525I%%IO8 G A3-4 ) (982O -A %5%A8O A) 45A CA%2IB) 3 )A 525I%%I8 8o. 1.
6< * 61 *
B 1
67 *
% H
;
J* D
3
E* 0*
7 C 0
E
J
67
61
6<
76
7;
7F
0=
00
0E
0J
?6
l punto % est" en el cruce de las restricciones 6 # 7 K usando el mtodo de eliminación, encontramos las coordenadas de dicho punto, que son ?6 @ ;=L0 O)9%I8 ?7 @ ;=L0 (2I-A Otro ejemplo 9na empresa $abrica dos productos, A # B. %ada producto requiere tiempo en dos departamentos de producción, de acuerdo a la siguiente tabla (5O39%2O A B H5. 3I(. (O5 3(2O.
3(2O. 6 &H5.' 3(2O. 7 &H5.' 7= 6= 6= 6= E= ;=
)a contribución de los dos productos a las utilidades es de > ;= # > <=, respectivamente. )os administradores de la empresa se han $ijado las siguientes metas, en orden de importancia (6 satis$acer las metas de producción de dos unidades para cada producto. (7 maximizar las utilidades. )as variables estructurales a utilizar en este problema ser"n ?6 @ cantidad de productos A a producir. laborado por el Ing. :os Alberto strada Beltr"n.
0
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?7 @ cantidad de productos B a producir. l problema #a planteado quedaría de la siguiente $orma min. z @ ( 6 d0* + (6 d;* + (7 d1* sujeto a 7= ?6 + 6= ? 7 + d6* * d6+ @ E= * + 6= ?6 + 6= ?7 + d7 * d 7 @ ;= ?6 + d0* * d0+ @ 7 * + ?7 + d; * d; @ 7 ;= ?6 + <= ?7 + d1* * d1+ @ <== para toda ?i ≥ =, para toda d i* ≥ =, para toda di+ ≥ =. 5esolviendo gr"$icamente el problema tenemos
?7 * 67 * * * 6= * * * < * * * E* * * ;* * * 7* * *
1 0 6 (982O (2I-O & ?6 @ 7, ?7 @ 7 ' ; 7 7
;
E
<
6=
67
6;
6E
?6
)a solución óptima ocurre en ? 6 @ 7 # ? 7 @ 7, #a que es el punto que mejor cumple con todas las restricciones.
laborado por el Ing. :os Alberto strada Beltr"n.
;
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5.).- SO%UCIÓN ANA%*TICA DE PRO&%EMAS CON PROGRAMACIÓN POR METAS (ara solucionar analíticamente los problemas de programación por metas, se deben llevar a cabo los siguientes pasos 6.* stablezca la tabla del simplex modi$icada inicial. sta tabla incluir" un renglón & z j * c j ' para cada nivel de prioridad. n la columna de la solución, respecto a las prioridades ( M , se anotar" la cantidad que hace $alta para lograr la meta de que se trate. l resto de las columnas se llenan como & z j * c j '. Cijar M @ 6, donde M es el identi$icador del renglón & z j * c j ' asociado con el nivel de prioridad ( M . Na#a al paso 7. 7.* Neri$ique si #a se tiene la solución óptima examinando el valor del lado derecho del renglón & z j * c j ' para la prioridad ( M . i existe un cero, entonces se ha alcanzado la meta de prioridad ( M , # va#a al paso E. i no existe un valor de cero, va#a al paso 0. 0.* 3etermine la nueva variable que entra examinando el renglón & z j * c j ' para la prioridad (M . xamine cada uno de los coe$icientes positivos de ese renglón & los negativos # ceros no importan '. Identi$ique el ma#or de los coe$icientes positivos para el cual no existan coe$icientes negativos con una ma#or prioridad en esa columna. )a variable de esa columna, asociada con el ma#or coe$iciente positivo, es la variable que entra. )os empates se rompen arbitrariamente. i no existe ning!n coe$iciente positivo en el renglón ( M que satis$aga las condiciones anteriores, va#a al paso E. i no es así, va#a al paso ;. ;.* )a variable que sale se determina utilizando el procedimiento normal del mtodo simplex. 1.* labore una nueva tabla, utilizando el procedimiento normal del simplex. Na#a al paso 7. E.* val!e el siguiente nivel de prioridad m"s baja, $ijando M @ M + 6 . i #a se llegó al !ltimo nivel de prioridad, el problema termina # la solución es óptima. i todavía no se llega al !ltimo nivel de prioridad, se debe examinar el renglón & z j * c j ', por lo que es necesario ir al paso 7. jemplo 5etomando el ejemplo de la compa/ía $abricante de c"maras $otogr"$icas, tenemos minimizar z @ ( 6 d6+ + (6 d7+ + 0= ( 7 d0* + ;= ( 7 d;* + (0 d1* sujeto a 7 ? 6 + ; ? 7 + d 6* * d 6+ @ <= * + 0 ?6 + 0 ?7 + d7 * d 7 @ <= ?6 + d0* * d0+ @ 6= ?7 + d ;* * d ;+ @ 6= 0= ?6 + ;= ?7 + d1* * d1+ @ 6,7== para toda ?i ≥ =, para toda d i* ≥ =, para toda d i+ ≥ =. n este problema tenemos n @ 67 variables # m @ 1 ecuaciones. Haciendo n * m @ 67 * 1 @ F variables iguales a cero & mtodo simplex ', por conveniencia, toda ? i @ = # toda d i+ @ =, la tabla inicial ser"
laborado por el Ing. :os Alberto strada Beltr"n.
1
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2AB)A I8I%IA) % b = = 0= (7 ;= (7 (0 j * % j
% j N. B. O). d6* <= * d7 <= * d0 6=
= ?6 7 0 6
= ?7 ; 0 =
= d6* 6 = =
(6 d6+ *6 = =
= d7* = 6 =
(6 d7+ = *6 =
0= (7 d0* = = 6
= d0+ = = *6
;= (7 d;* = = =
= d;+ = = =
(0 d1* = = =
= d1+ = = =
d;*
6=
=
6
=
=
=
=
=
=
6
*6
=
=
d1* (0 (7 (6
6,7== 6,7== F== =
0= 0= 0= =
;= ;= ;= =
= = = =
= = = *6
= = = =
= = = *6
= = = =
= = * 0= =
= = = =
= = * ;= =
6 = = =
*6 *6 = =
n la tabla inicial se observa que el valor de la prioridad m"s importante & ( 6 ' es cero, lo que indica que #a se alcanzó esta meta, es decir, no se est"n trabajando horas extras. sto es lógico, pues se inicia el problema haciendo ? 6 @ = # ?7 @ = # todas las d i+ @ = para encontrar la olución B"sica Cactible Inicial. ntonces, como #a se cumplió la primera meta, se incrementa el valor de M @ 6 + 6 @ 7. Ahora se analiza ( 7 # se observa que $alta disminuir el valor en F== para alcanzar el valor de cero. Analizando el renglón de ( 7 , el coe$iciente m"s positivo es ;=, correspondiente a la columna de ? 7 , por lo que ? 7 es la variable que debe entrar a la base. (ara determinar la variable que sale de la base, se dividen los trminos independientes &solución' entre los respectivos coe$icientes de la columna ? 7 , # el menor cociente es la variable que debe salir de la base. n este caso, el menor cociente es 6=, por lo que d ;* es la variable que debe salir de la base. %omo el renglón pivote #a es uno &6', es necesario hacer ceros en el resto de la columna, para encontrar la nueva solución &simplex normal', lo que nos lleva a la segunda tabla D983A 2AB)A % j % b = = 0= (7 = (0 j * % j
N. B. O) . * d6 ;= * d7 1= d0* 6= ?7 d1* (0 (7 (6
6= <== <== 0== =
=
=
=
(6
=
(6 d7+
0= (7 d0*
?6
?7
d6*
d6+
d7*
7 0 6
= = =
6 = =
*6 = =
= 6 =
= *6 =
= 0= 0= 0= =
6 = = = =
= = = = =
= = = = *6
= = = = =
= = = = *6
=
=
(0
=
d0+
;= (7 d;*
d;+
d1*
d1+
= = 6
= = *6
*; *0 =
; 0 =
= = =
= = =
= = = = =
= = = * 0= =
6 * ;= * ;= * ;= =
*6 ;= ;= = =
= 6 = = =
= *6 *6 = =
n la segunda tabla se observa que ( 7 todavía no tiene un valor de cero & no se ha alcanzado la meta', por lo que se busca en el renglón ( 7 el coe$iciente m"s positivo. 3icho coe$iciente es 0=, que corresponde a la columna de la variable ? 6 , por lo que ? 6 entra a la base. Al analizar los cocientes respectivos de esta columna, se ve que el menor es 6=, que corresponde a la variable b"sica d0* , por lo que d 0* sale de la base. 3e nueva cuenta, como el elemento pivote #a es uno &6', se hacen ceros el resto de los elementos de la columna &simplex normal', lo que nos lleva a la tercera tabla
laborado por el Ing. :os Alberto strada Beltr"n.
E
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25%5A 2AB)A % j % b = = = = (0 j * % j
N. B. O) . d6* 7= d7* 7= ?6 6= ?7 6= d1* 1== (0 1== (7 = (6 =
=
=
=
(6
=
(6 d7+
0= (7 d0*
?6
?7
d6*
d6+
d7*
= = 6 = = = = =
= = = 6 = = = =
6 = = = = = = =
*6 = = = = = = *6
= 6 = = = = = =
= *6 = = = = = *6
*7 *0 6 = * 0= * 0= * 0= =
=
=
(0
=
d0+
;= (7 d;*
d;+
d1*
d1+
7 0 *6 = 0= 0= = =
*; *0 = 6 * ;= * ;= * ;= =
; 0 = *6 ;= ;= = =
= = = = 6 = = =
= = = = *6 *6 = =
n la tercera tabla, debido a que el valor de ( 7 #a es cero & #a se alcanzó la meta', se incrementa de nuevo el valor de M @ 7 + 6 @ 0, por lo que ahora se analiza la siguiente prioridad & ( 0 '. n el renglón ( 0 , el elemento m"s positivo es ;=, que corresponde a la columna de la variable d ;+ por lo que d ;+ entra a la base. l menor cociente de dividir los trminos independientes entre los elementos de la columna de d ;+ , respectivamente, es 1, que corresponde a la variable d 6* , por lo que d 6* sale de la base. %omo ahora el elemento pivote es ;, se debe multiplicar todo el renglón de d 6* por & 6L;' para hacerlo uno &6', # hacer ceros en el resto de la columna. sto nos lleva a la cuarta tabla %9A52A 2AB)A % j % b = = = = (0 j * % j
N. B. O) . d;+ 1 d7* 1 ?6 6= ?7 61 d1* 0== (0 0== (7 = (6 =
=
=
=
(6
=
(6
?6
?7
d6*
d6+
d7*
= = 6 = = = = =
= = = 6 = = = =
= 6 = = = = = =
6L; * 6L; * 0L; 0L; = = 6L; * 6L; * 6= 6= * 6= 6= = = = *6
d7+
0= (7 d0*
= *6 = = = = = *6
* 6L7 * 0L7 6 * 6L7 * 6= * 6= * 0= =
=
=
(0
=
d0+
;= (7 d;*
d;+
d1*
d1+
6L7 0L7 *6 6L7 6= 6= = =
*6 = = = = = * ;= =
6 = = = = ;= = =
= = = = 6 = = =
= = = = *6 *6 = =
)os siguientes candidatos a entrar a la base son d 6+ # d0+ , pero como d 6+ tiene un negativo en su columna, relacionado con ( 6 & una prioridad m"s importante ', al tratar de hacerlo cero el valor de ( 6 se incrementar", lo que har" que deje de alcanzarse esta meta m"s importante. (or lo anterior, es mejor hacer que d 0+ entre a la base. l menor cociente de la columna de d 0+ es 6=L0 , por lo tanto d 7* sale de la base. )o anterior nos lleva a la quinta tabla 9I82A 2AB)A % j
=
=
=
(6
=
% b = =
N. B. d;+ d0+
O). 6=L0 6=L0
?6 = =
?7 = =
d6* d6+ d7* 6L7 * 6L7 * 6L0 * 6L7 6L7 7L0
=
?6
;=L0
6
=
* 6L7
6L7
=
?7
;=L0
=
6
6L7
* 6L7 * 6L0
laborado por el Ing. :os Alberto strada Beltr"n.
7L0
(6 d7+ 6L0 * 7L0 * 7L0 6L0
0= (7 d0* = *6
=
=
(0
=
d0+ = 6
;= (7 d;* *6 =
d;+ 6 =
d1* = =
d1+ = =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= F
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(0 d1* <==L0 = = *1 1 *7=L0 7=L0 = = = = 6 *6 j (0 <==L0 = = *1 1 *7=L0 7=L0 = = = = = *6 * (7 = = = = = = = * 0= = * ;= = = = % j (6 = = = = *6 = *6 = = = = = = )os siguientes candidatos a entrar a la base son d 6+ # d 7+ , pero ambos tienen un coe$iciente negativo en su columna relacionado con ( 6 & prioridad m"s importante ', por lo que el tratar de hacerlos cero har" que la meta de la prioridad ( 6 vuelva a tomar valor positivo, cosa que no conviene. (or lo anterior, la solución de la quinta tabla es la mejor, # su interpretación es la siguiente Interpretación de la solución ?6 @ ;=L0 de c"maras est"ndar a producir. ?7 @ ;=L0 de c"maras de lujo a producir. d0+ @ 6=L0 indica que rebasamos la meta de producir 6= c"maras est"ndar con 6=L0 de c"mara. d;+ @ 6=L0 indica que rebasamos la meta de producir 6= c"maras de lujo con 6=L0 de c"mara. d1* @ <==L0 indica que nos $altaron > <==L0 para alcanzar la meta $ijada de > 6,7== 0= & ;=L0 ' + ;= & ;=L0' @ 67==L0 + 6E==L0 @ 7<==L0. 6,7== @ 0,E==L0 * 7,<==L0 @ <==L0
CA)2A82.
(6 @ =
indica que se logró la meta de trabajar cero tiempo extra.
(7 @ =
indica que se alcanzó la meta de ventas de 6= c"maras de cada tipo.
(0 @ <==L0 indica que $altaron > <==L0 para alcanzar la meta de utilidades que era de > 6,7==.
Otro ejemplo resolviendo analíticamente el segundo ejemplo resuelto por el mtodo gr"$ico, tenemos ?6 @ cantidad de artículos A a producir. ?7 @ cantidad de artículos B a producir. minimizar z @ ( 6 d0* + (6 d;* + (7 d1* sujeto a * + 7= ?6 + 6= ? 7 + d6 * d6 @ E= 6= ?6 + 6= ?7 + d7* * d7+ @ ;= * + ?6 + d0 * d0 @ 7 ?7 + d;* * d;+ @ 7 ;= ?6 + <= ?7 + d1* * d1+ @ <== para toda ?i ≥ =, para toda d i* ≥ =, para toda d i+ ≥ =. n este caso, tenemos n @ 67 variables # m @ 1 restricciones. Haciendo n * m @ 67 * 1 @ F variables iguales a cero, por conveniencia, toda ? i @ = # toda d i+ @ =, la tabla inicial ser"
laborado por el Ing. :os Alberto strada Beltr"n.
<
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2AB)A I8I%IA) % b = = (6 (6 (7 j * % j
% j N. B. O) . * d6 E= * d7 ;= d0* 7 * d; 7 * d1 <== (7 <== (6 ;
= ?6
= ?7
= d6*
= d6+
= d7*
= d7+
(6 d0*
= d0+
(6 d;*
= d;+
(7 d1*
= d1+
7= 6= 6 = ;= ;= 6
6= 6= = 6 <= <= 6
6 = = = = = =
*6 = = = = = =
= 6 = = = = =
= *6 = = = = =
= = 6 = = = =
= = *6 = = = *6
= = = 6 = = =
= = = *6 = = *6
= = = = 6 = =
= = = = *6 *6 =
n esta tabla se observa que a!n no se ha logrado la meta 6, #a que tiene un valor di$erente de cero en ( 6 . (ara elegir la variable que debe entrar a la base, se elige el coe$iciente m"s positivo, pero se observa que existe un empate entre ?6 # ? 7 , #a que ambos coe$icientes son 6K sin embargo, como el artículo B tiene ma#or utilidad & orientado a ( 7 ', conviene que ? 7 entre a la base. )a variable con menor cociente es d ;* , por lo que d ;* sale de la base. )a segunda tabla queda entonces D983A 2AB)A % b = = (6 = (7 j * % j
% j N. B. O) . * d6 ;= * d7 7= * d0 7 ?7 7 * d1 E;= (7 E;= (6 7
= ?6
= ?7
= d6*
= d6+
= d7*
= d7+
(6 d0*
= d0+
(6 d;*
= d;+
(7 d1*
= d1+
7= 6= 6 = ;= ;= 6
= = = 6 = = =
6 = = = = = =
*6 = = = = = =
= 6 = = = = =
= *6 = = = = =
= = 6 = = = =
= = *6 = = = *6
* 6= * 6= = 6 * <= * <= *6
6= 6= = *6 <= <= =
= = = = 6 = =
= = = = *6 *6 =
%omo a!n no se logra la meta ( 6 , la variable que entra es ? 6. Ga que se quieren vender dos unidades de cada producto, la variable que sale es d 0*. )a tercera tabla queda entonces 25%5A 2AB)A % b = = = = (7 j * % j
% j N. B. O) . * d6 = * d7 = ?6 7 ?7 7 * d1 1E= (7 1E= (6 =
= ?6
= ?7
= d6*
= d6+
= d7*
= d7+
(6 d0*
= d0+
(6 d;*
= d;+
(7 d1*
= d1+
= = 6 = = = 6
= = = 6 = = =
6 = = = = = =
*6 = = = = = =
= 6 = = = = =
= *6 = = = = =
* 7= * 6= 6 = * ;= * ;= *6
7= 6= *6 = ;= ;= =
* 6= * 6= = 6 * <= * <= *6
6= 6= = *6 <= <= =
= = = = 6 = =
= = = = *6 *6 =
Ga que a!n no se logra que ( 7 valga cero, la variable que entra es d ;+. 3ebido al menor cociente, la variable que sale es d 6*. ntonces, la cuarta tabla queda laborado por el Ing. :os Alberto strada Beltr"n.
J
Antología de la materia de Investigación de Operaciones II
%9A52A 2AB)A % b =
% j N. B. O) . + d; =
= ?6
= ?7
= d6*
=
=
6L6=
= = =
d7* ?6 ?7
= 7 7
= 6 =
= = 6
(7 j * % j
d1* (7 (6
1E= 1E= =
= = 6
= = =
= d6+
* 6L6= *6 6 = = 6L6= * 6L6= *< < *< < = =
= d7*
= d7+
(6 d0*
= d0+
(6 d;*
= d;+
(7 d1*
= d1+
=
=
*7
7
*6
6
=
=
6 = =
*6 = =
6= 6 *7
* 6= *6 7
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
67= * 67= 67= * 67= *6 =
= = *6
= = =
6 = =
*6 *6 =
3e esta tabla, el coe$iciente m"s positivo es 67=, que corresponde a d 0* , pero tiene un coe$iciente negativo en su columna asociado a ( 6 , por lo que se descarta. n su lugar, d 6+ entra a la base. )a variable que sale es d 7*. )a quinta tabla queda 9I82A 2AB)A % b =
% j N. B. O) . + d; =
= ?6
= ?7
= d6*
= d6+
= d7*
=
=
=
=
6L6=
= = =
d6+ ?6 ?7
= 7 7
= 6 =
= = 6
*6 = =
6 = =
(7 j * % j
d1* (7 (6
1E= 1E= =
= = 6
= = =
= = =
= = =
= d7+
(6 d0*
= d0+
(6 d;*
= d;+
(7 d1*
= d1+
* 6L6= 6 *6 = = 6L6= * 6L6= *< < *< < = =
*6
6
*6
6
=
=
6= 6 *6
* 6= *6 6
= = =
= = =
= = =
= = =
;= ;= *6
* ;= * ;= =
= = *6
= = =
6 = =
*6 *6 =
%omo a!n no se cumple la meta ( 7 , la variable que entra es d 7+ # sale d1* . sto nos da la sexta tabla, que queda como sigue ?2A 2AB)A % b = = = = = j * % j
% j N. B. O) . + d; F d6+ F= ?6 7 ?7 J + d7 F= (7 = (6 =
= ?6
= ?7
= d6*
= d6+
= d7*
= d7+
(6 d0*
= d0+
(6 d;*
= d;+
(7 d1*
= d1+
= = 6 = = = 6
= = = 6 = = =
= *6 = = = = =
= 6 = = = = =
= = = = *6 = =
= = = = 6 = =
* 6L7 61 6 * 6L7 1 = *6
6L7 * 61 *6 6L7 *1 = =
*6 = = = = = *6
6 = = = = = =
6L<= 6L< = 6L<= 6L< *6 =
*6L<= * 6L< = *6L<= * 6L< = =
3ebido a que en esta sexta tabla #a se cumplieron los objetivos & cero en ( 6 # en (7 ', # adem"s #a no existen coe$icientes positivos en ( 7 , esta tabla es el mejor resultado. )a interpretación es la siguiente laborado por el Ing. :os Alberto strada Beltr"n.
6=
Antología de la materia de Investigación de Operaciones II
?6 @ 7
unidades del producto A a producir.
?7 @ J
unidades del producto B a producir.
d6+ @ F= indica que se trabajaron F= horas extras en el departamento 6. d7+ @ F= indica que se trabajaron F= horas extras en el departamento 7. d;+ @ F
indica que la meta de producir 7 unidades del artículo B se sobrepasó con F unidades, #a que se pro* dujeron J en total.
laborado por el Ing. :os Alberto strada Beltr"n.
66
