P. NINA N INA MADIAWATI., MADIAWATI., MT
Pengertian Probabilitas Probabilitas
1.
Probabilitas : Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) yang akan terjadi di masa m asa mendatang. mendatang. Tiga iga hal hal pent pentin ing g yang ang berk berkai aita tan n deng dengan an probabilitas probabilitas : Percobaan (Experiment): pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan terjadinya min minimal 2 peristiwa tanpa mem memperhatikan peristiwa man mana yang mungkin akan terjadi.
Pengertian Probabilitas Probabilitas
1.
Probabilitas : Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) yang akan terjadi di masa m asa mendatang. mendatang. Tiga iga hal hal pent pentin ing g yang ang berk berkai aita tan n deng dengan an probabilitas probabilitas : Percobaan (Experiment): pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan terjadinya min minimal 2 peristiwa tanpa mem memperhatikan peristiwa man mana yang mungkin akan terjadi.
PROBABILITAS 2. Hasil (Outcome) (Outcome) selu seluru ruh h kemu kemung ngki kina nan n peri perist stiw iwa a yang yang akan akan terjadi akibat adanya suatu percobaan atau kegiatan. 3. Peristiwa (Event) kump kumpul ulan an dari dari bebe bebera rapa pa hasi hasill yang ang terja terjadi di pada sebuah sebuah percobaa percobaan n atau kegiatan. kegiatan.
CONTOH
PROBABILITAS
Percobaan
Kegiatan
melempar dadu
Hasil
1. 2. 3.
Kegiatan
produksi
barang
1. 2.
Perlombaan penelitian karya ilmiah mahasiswa
1. 2. 3.
Muncul mata dadu 1 Muncul mata dadu 2 Dst
Barang rusak Barang baik Juara 1 Juara 2 Juara 3
PENDEKATAN TEORI PROBABILITAS 1.
Pendekatan Matetatis
Probabilitas dari suatu kejadian dapat di hitung secara pasti.
Besarnya ukuran dari nilai probabilitas adalah 0 sampai 1. Probabilitas dinyatakan dalam bentuk pecahan atau persentase
Kemungkinan
atau probabilitas terjadinya suatu peristiwa dinotasikan dengan P, sedangkan kemungkinan tidak terjadinya suatu peristiwa dinotasikan dengan Q yang diperoleh dari 1-P
Secara ekstrim nilai atau harga probabilitas dinyatakan sebagai berikut:
- Jika P(A) = 0, maka peristiwa A tidak pernah terjadi - Jika P(A) = 1, maka peristiwa A akan selalu / pasti terjadi. 2. Pendekatan Empiris merupakan pendekatan merupakan suatu hasil beberapa kali pengujian .
yang sifatnya uji coba dari
HUBUNGAN ANTARA PERISTIWA 1.
Mutually Exclusive (kejadian yang saling lepas)
Merupakan suatu peristiwa yang terjadi apabila peristiwa lain tidak terjadi ( tidak pernah terjadi peristiwa secara bersama ± sama)
P (A B) = 0
Contoh : Pengambilan Hadiah secara acak
A
B
2. Independent ( Saling Bebas) Terjadinya suatu peristiwa tertentu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi oleh peristiwa lain, antara peristiwa yang satu dengan yang lain dapat terjadi secara bersama ± sama maupun tidak. kejadian yang bersifat independent, Untuk pada peristiwa yang saling bebas berlaku kata ³Dan³, sedangkan yang tidak saling bebas berlaku kata ³ atau ³. Contoh: jika dalam keranjang terdapat 12 buah kelereng berwarna merah, 8 buah kelereng berawarna putih, dan 10 buah kelereng warna hijau, yang kemudian dilakukan pengambilan secara acak sebanyak 6 buah berturut ± turut.
3. Peristiwa yang bersifat kondisional atau bersyarat
Terjadinya suatu peristiwa didahului dengan peristiwa tertentu, atau suatu peristiwa akan terjadi dengan ketentuan peristiwa lain telah terjadi.
Contoh: peristiwa pengambilan sebuah produk yang rusak yang dihasilkan oleh suatu mesin tertentu pada perusahaan.
4.
Exhaustive (bersifat terbatas)
Peristiwa yang terjadi jumlahnya terbatas, artinya banyaknya macam peristiwa yang terjadi adalah terbatas.
Contoh: sebuah mata uang logam hanya mempunyai 2 peristiwa, karena mempunyai 2 permukaan.
Kesimpulan:
Berdasarkan 3 peristiwa yang pertama dapat diperoleh harga (nilai probabilitas), sedangkan yang terakhir akan diperoleh banyaknya peristiwa yang diharapkan terjadi.
Rumus Dasar Probabilitas berdasarkan Hubungan Peristiwa Yang terjadi
Rumus
dasar menentukan harga probabilitas: P ( A )
!
Q ( A )
!
x n
;0
e
P ( A )
e
1
1 P ( A ) atau P ( A ' )
!
1 P ( A )
Di mana :
P(A) : probabilitas peristiwa A Q(A) atau P(A¶) : probabilitas tidak terjadinya peristiwa A X : frekuensi (banyaknya) terjadinya peristiwa A n : peristiwa terjadinya seluruh peristiwa
1.
Mutually Exclusive ( saling meniadakan)
Untuk kejadian (peristiwa) yang lebih banyak (lebih dari dua), dapat dilambangkan sampai n, yaitu: P(A atau B) = P(A U B) P(A U B) = P A + PB P(A U B U «n) = PA + PB + « + Pn
Contoh
Kegiatan
produksi yang dilakukan oleh seorang karyawan di sebuah perusahaan sepatu, per hari dalam satu pasang
Jenis sepatu Jenis Kegiatan Produk baik (B) Produk rusak ( R ) Jumlah Produksi
A
B
C
Jumlah Produksi
100 50 150
50 25 75
20 5 25
170 80 250
Tentukan probabilitas dari masing ² masing jenis sepatu
Jawaban :
Probabilitas produksi sepatu A : P(A) = 150/250 = 0,60
Probabilitas produksi sepatu B: P(B) = 75/250 = 0,30
Probabilitas produksi sepatu C: P(C) = 25/250 = 0,10
Tentukan besarnya probabilitas A atau B atau C : P (A U B U C) = P(A)+ P(B) + P( C) P (A U B U C) = 0,60 + 0,30 + 0,10 P (A atau B atau C) = 1,00 Berapakah besarnya probabilitas kejadian produksi sepatu A atau sepatu C : P (A atau C) = P(A) + P(C) = 0,60 +0,10 = 0,70
2.
Independent (Bersifat bebas)
Probabilitas terjadinya peristiwa secara bersamaan, misalnya A ³dan´ B adalah: P ( A B ) = P A x PB
Probabilitas terjadinya peristiwa secara tidak bersamaan, misalnya A terjadi ³atau´ B terjadi adalah: P ( A U B) = P A+PB - P(A B) P (A U B U C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)
P(AC) ± P(BC) ± P(ABC)
±
Contoh 1. Berapa probabilitas sebuah kartu yang dipilih secara random dari tumpukan kartu standar adalah raja hati ( the king of heart) ? Jawaban: Jumlah kartu standar : 52 kartu Jumlah kartu raja: 4 kartu P(A) = 4/52 Jumlah kartu hati: 13 kartu P(B) = 13/52 Raja dan Hati : P(A dan B) = 1/52 P(A atau B) = P(A) + P(B) ± P(A dan B) P(AUB) = 4/52 + 13/52 ± 1/52 = 16/52= 0,3077
Contoh
Dari tabel diatas, dapat diketahui bahwa kegiatan produksi barang baik dan sepatu jenis A sebanyak 100 pasang, kegiatan produksi barang rusak dan sepatu jenis B sebanyak 25 pasang. Tentukanlah probabilitas barang baik dari jenis A. Jawaban:
P(B) = 170/250 = 0,68 P(A) = 150/250 = 0,60 P(BA) = P(B) x P(A) = 0,68 x 0,60 = 0, 4080
3.
Bersifat bersyarat ( kondisional)
Misalkan ada dua peristiwa, yaitu peristiwa A dan peristiwa B, jika peristiwa B (kedua) terjadi setelah peristiwa A (pertama). Penulisan : P A : probabilitas peristiwa yang pertama P(BI A) : probabilitas B akan terjadi dengan syarat A terjadi lebih dulu. ( garis tegak lurus berarti ³ syarat ³). P ( A dan B) = P(A) x P(BI A)
Contoh
a. b. c.
Jika dalam keranjang terdapat 12 buah kelereng berwarna merah, 8 buah kelereng berwarna putih, dan 10 buah kelereng berwarna hijau, yang kemudian dilakukan pengambilan secara acak sebanyak 6 buah berturut ± turut tanpa pengembalian, maka berapakah probabilitasnya bahwa: Kelereng yang terambil adalah 2 warna merah, 3 warna putih, dan sisanya hijau. Enam ± enamnya berwarna putih Empat berwarna hijau dan sisanya merah
Jawaban
Jumlah kelereng seluruhnya adalah 30 buah, maka probabilitas masing ± masing kelereng adalah:
P(Merah) : 12/30
P(Putih) : 8/30
P(Hijau) : 10/30
a. Kelereng
yang terambil adalah 2 merah, 3 putih, dan 1 hijau.
12 11 8 7 6 10 x x x x x P ( M M P P P H ) ! 30 29 28 27 26 25 P ( M M P P P H ) ! 0,00104
b. Enam ± enamnya berwarna putih
8 7 6 5 4 3 P ( p p p p p p) ! x x x x x 30 29 28 27 26 25 P (6 berwarna putih) ! 0,000047 c. Empat berwarna hijau dan sisanya merah
10 9 8 7 12 11 P ( H H H H M M ) ! x x x x x 30 29 28 27 26 26 P ( H H H H M M ) ! 0,0016
Teorema BAYES
Sebuah formulasi teorema yang didasarkan pada kemungkinan ± kemungkinan terjadinya peristiwa yang saling ketergantungan antara yang satu dengan yang lainnya.
( ) x P ( B- A1 ) P ( A1- B ) ! P ( A1 ) x P ( B- A1 ) P ( A2 ) x P ( B- A2 ) P A1
P(A1IB) : kejadian A1 dapat terjadi jika kejadian B diketahui
Contoh
Dari 200 orang Dosen dan Karyawan suatu Perguruan Tinggi Swasta, yang bergelar Sarjana Ekonomi ada sebanyak 80 orang, sedangkan jumlah struktural dikampus tersebut ada sebanyak 20 orang, jika ada keharusan bahwa yang menjadi struktural sekurang ± kurangnya 60% yang menyandang gelar Sarjana Ekonomi, maka berapakah probabilitasnya bahwa dosen dan karyawan yang duduk sebagai tenaga struktural di perguruan tinggi tersebut?
Jawaban
Diketahui: N = 200 orang Dosen & Karyawan Karyawan & Dosen yang bergelar S.E (B1) : 80 orang Yang tidak bergelar S.E (B2) : 200 ± 80 = 120 orang Jumlah Dosen & Karyawan yang duduk di struktural (A1) : 20 orang Ada keharusan bahwa 60% dari karyawan dan dosen yang duduk di struktural bergelar S.E (B1I A1) = 0,6 x 20 = 12 orang Jumlah karyawan & dosen yang bergelar SE, tetapi tidak duduk sebagai struktural (B1I A2) = 80 ± 12 = 68 orang. Jumlah karyawan & dosen yang duduk di struktural tetapi tidak menyandang gelar SE (B2 IA1 ) = 20 ± 12 = 8 orang
Jumlah karyawan & Dosen yang tidak menyandang gelar SE dan tidak duduk di struktural (B2IA2) = 120 ± 8 = 112 orang Peristiwa P(B1) P(B2) Jumlah
P(A1) 12 8 20
20 P ( A1 ) ! 200 12 P ( B1- A1 ) ! 20
P(A2) 68 112 180
Jumlah 80 120 200
180 P ( A2 ) ! 200 68 P ( B1- A2 ) ! 180
( ). ( ) P ( A1 I B ) ! P ( A1 ) P ( B1 I A1 ) P ( A2 ) P ( B1 I A2 ) ¨ 20 ¸¨ 12 ¸ © ¹© ¹ 0,06 200 ºª 20 º ª P ( A1 I B ) ! ! ! 0,15 0 , 4 ¨ 20 ¸¨ 12 ¸ ¨ 180 ¸¨ 68 ¸ © ¹© ¹ © ¹© ¹ ª 200 ºª 20 º ª 200 ºª 180 º P A1 P B1 I A1
Maka probabilitas Dosen & Karyawan yang duduk Sebagai tenaga struktural di perguruan tinggi tersebut Adalah 0,15
Rumus Permutasi
Merupakan penyusunan objek ± objek sejumlah n yang tiap-tiap kali diambil sejumlah r dengan memperhatikan tata susunan yang terjadi.
Jika n = r, maka:
Jika n < r, maka: nPr =
nPr
= nx(n-1)x(n-2)x«! = n!
n x (n-1) x (n-2)x«x(n-r+1)
P r !
n
n!
(n r )!
Jika sejumlah n objek dibedakan m macam kelompok, masing ± masing terdiri dari r 1,«,r m objek yang sama sehingga: r 1 + r 2 + « + r m = n
Maka : ( r 1 , r 2 ,..., r m ) n P
!
n!
! xr 2! x... xr !
r 1
m
Contoh
Ada berapa kemungkinan susunan yang terjadi dari tiga buah bank, yaitu BNI, Bank Permata (BP), Bank Bukopin (BB), apabila setiap susunan terdiri atas dua bank.
Jawaban:
n!
3! ! !6 3 P 2 ! (n r )! (3 2)!
Rumus Kombinasi
Sejumlah cara untuk memilih r ojek dari suatu kelompok n objek tanpa mengindahkan susunan / urutan
Rumus
: n
C r
!
n!
!(n r )!
r
Contoh
Jika terdapat 4 buah bank, yaitu BNI, Bank Exim (BE), Bank Permata (BP), dan BCA, akan melakukan penggabungan. Penggabungan dilakukan antara dua bank yang berbeda. Berapa kemungkinan yang terjadi dalam peristiwa ini jika kita menggunakan kombinasi:
Jawaban
4! 4! ! !6 4 C 2 ! 2!(4 2)! 2!.2!
Distribusi Probabilitas
Suatu daftar keseluruhan hasil suatu percobaan yang disertai dengan probabilitas masing-masing hasil tersebut. Distribusi frekuensi yang didalam interval kelas-interval kelasnya merupakan variabel random, dan sering digunakan sebagai pengganti distribusi sebenarnaya.
Sample Space The Sample Space is the collection of all possible events e.g. All 6 faces of a die:
e.g. All 52 cards of a bridge deck:
Chap 4-35
Variabel 1.
2.
Random
Variabel Random Diskrit : merupakan bilangan yang berbentuk bilangan bulat, seperti: jumlah orang, banyaknya kendaraan bermotor, dll. Beberapa distribusi yang dibentuk: Binomial, Poisson, Multinomial, Hipergeometrik. Variabel Random Kontinu : hasil pengukuran dan atau bilangan sembarang dalam interval tertentu, seperti: besarnya curah hujan, nilai mata uang, umur seseorang,dll. Beberapa distribusi yang dibentuk: Normal, distribusi t, Fisher, Chi squere.
Distribusi Variabel Random Diskrit
Distribusi Binomial : distribusi kemungkinan teoritis
Ciri ± ciri :
1.
Probabilitasnya Independent (saling bebas)
2.
Hasil percobaanya mempunyai dua ³outcomes´ nilai yang mungkin terjadi, yaitu : sukses & gagal.
3.
Jumlah percobaan biasanya tertentu(n) Rata-rata
() = n.p
Standar deviasi ( ) = ¥n.p.q
Menentukan Nilai Kemungkinan ) ! P ( x / n, p)! n C x . p x (1 p) n x n! x n x x n x p (1 p) ! n C x p q P ( sukses ) ! x!( n x)! p q ! 1 atau q ! 1 p (
P sukses
Dimana: n : banyaknya sampel x : banyaknya sukses/gagal dalam sampel P : Probabilitas sukses q : Probabilitas gagal (1-P) C : simbol kombinasi
Contoh
a. b. c.
Dari 100 uni unit bara barang ng yang ang dipro iprodu duks ksii oleh leh mesi mesin n I diperki rkiraka rakan n gaga agal sebe sebesa sarr 15 %, selanjutnya seorang manajer dari perusahaan itu ingin mengetahui kebenaran tersebut dan kemudian diambil sampel sebanyak 10 buah unit baran arang g yang diha ihasil silkan kan dari prod roduks ksii mesin I untuk diteliti. Berapakah probabilitas dari 10 unit nit barang ang ter tersebut akan berada dalam kondisi: Rusak sebanyak 6 buah Tidak ada satupun yang baik Setidaknya ada sebanyak 7 buah yang rusak
Jawaban
Sampel (n) = 10, p(rusak) = 0,15, q(baik) = 1 ± p = 1 - 0,15 = 0,85
a. Kondisi rusak sebanyak 6 buah P(x=6) p ( X ! x ) ! n C x p x (1 p ) n x
10! (0,15) 6 (0,85) 4 ! p ( x ! 6) !10 C 6 (0,15) (1 0,15) 6!(10 6)! p ( x ! 6) ! (210 )(0,15) 6 (0,85) 4 ! 0,00125 6
10 6
b. Tidak ada satupun yang baik p(x=10) 10
p ( x ! 10) !10 C 10 0,15
(0,85)10 10
10! (0,15)10 (0,85) 0 p ( x ! 10) ! 10!(10 10)! p ( x ! 10) ! (1)(0,0000000058 )(1) ! 58.10
10
c. Paling sedikit ada 7 buah yang rusak p(x 7 )
p( x ! 0) p( x ! 1) p( x ! 2) ... p( x !10) ! 1 p( x u 7) !1{ p( x ! 7) p( x ! 8) p( x ! 9) p( x !10)}
10! p ( x ! 7) !10 C 7 (0,15) (0,85) ! (0,15) 7 (0,85)3 7!(10 7)! p ( x ! 7) ! (120)(0,15) 7 (0,85) 3 ! 0,000126 10! 8 2 p ( x ! 8) ! (0,15) (0,85) ! 0,0000083 8!(10 8)! p ( x ! 9) ! 0,00000032 p ( x ! 10) ! 0,000000058 P ( p ( x ! 7 ) p ( x ! 8) ... p ( x ! 10)) ! 0,00005213 p ( x u 7) ! 1 (0,00005213) ! 0,999 7
3
Distribusi Multinomial
Perluasan dari distribusi Binomial.
Ciri ± cirinya:
1.
Peristiwanya Independen
2.
Setiap percobaan tunggal mempunyai hasil kejadian lebih dari 2 dan semuanya disebut sukses.
3.
Peluang terjadinya setiap outcomes disebut p1,p2,p3,«,pn sehingga p(n) = 1
4.
Digunakan pada percobaan tertentu.
Rumus
p(k 1, k 2 ,...,k n ) !
n! k 1!k 2!...k 3!
Dimana: p : probabilitas k : kejadian yang mungkin
k 1
k 2
p1 p2
...p
k n n
Contoh
Dalam sebuah kotak, terdapat sebanyak 15 % bola merah, 50 % bola putih, dan sisanya bola biru. Dari kotak diambil sampel sebanyak 10 buah bola secara random. Berapakah probabilitasnya dari sampel tersebut jika:
a.
3 buah bola merah, 1 buah bola putih, dan sisanya bola biru.
b.
Satu merah dan sisanya putih
Jawaban
Diketahui : p(merah) = 0,15, p(putih) = 0,50, p(biru) = 0,35
a.
Probabilitas 3 merah, 1 putih, dan sisanya biru.
10! p (3,1, 6 ! 10 ) ! ( 0 ,15 ) 3 ( 0 ,50 )1 ( 0 ,35 ) 6 ! 0 ,0026 3!1!6! b.
Probabilitas 1 merah, dan sisanya putih.
10! p (1,9,0 ! 10 ) ! (0,15)1 (0,50 ) 9 (0,35) 0 1!9!0!
!
0,00293
Distribusi Hipergeometrik
a. b.
c.
Suatu bentuk distribusi yang diperoleh dari hasil percobaan dengan pengambilan sekaligus secara acak (random) dan tanpa pengembalian. Ciri ± cirinya: Hanya terdapat dua kemungkinan hasil Percobaan tidak bersifat independen, sehingga nilai probabilitas suksesnya tidak sama untuk setiap percobaan Distribusi merupakan hasil dari suatu perhitungan jumlah sukses pada sejumlah percobaan tertentu
Rumus
( )!
P r
( S C )( N S C n ) r
r
N C n
Dimana: N : besarnya populasi S : jumlah sukses dalam populasi r : jumlah sukses yang menjadi perhatian. ( nilainya adalah 0,1,2,3,«) n : besarnya sampel atau banyaknya percobaan C : simbol Kombinasi
Contoh
Misalnya 50 alat penerima diproduksi selama minggu ini. 40 produk diantaranya dapat beropersi secara sempurna, dan 10 produk mempunyai sekurang ± kurangnya sebuah kecacatan. Sebuah sampel berukuran 5 dipilih secara acak. Dengan menggunakan formulasi geometrik, berapa probabilitas 4 dari 5 akan beroperasi secara sempurna?
Jawaban
Diketahui: N : 50 ( jumlah alat penerima yang dihasilkan ). n: 5 ( besarnya sampel) S : 40 ( jumlah alat penerima dalam populasi yg beropersi dengan sempurna) r : 4 ( jumlah dlm sampel yg beroperasi dg sempurna )
P
(4) !
( 40 C 4 )( 50 40 C 5 4 ) 50 C 5
!
( 40 C 4 )( 10 C 1 ) 50 C 5
40 ! 10 ! ( )( ) 91390 . 10 4! ( 40 4 )! 1! (10 1)! P ( 4 ) ! ! ! 0 , 431 50 ! 2118760 5! ( 50 5 )!
Distribusi Poisson
Distribusi ini digunakan sebagai model yg menggambarkan distribusi kesalahan pada pemasukan data, ketidaksempurnaan, jumlah komponen cacat, jumlah pelanggan yg menunggu pelayanan. Syaratnya : probabilitasnya(P) 0,01 dan jumlah percobaan/ sampel (n) 50
Rumus
Rata
± rata () = n . P
Standar deviasi () = ¥ n.p.q
Rumus Distribusi Poisson : P ( x) !
P x e
P
x!
Dimana: e : bilangan konstan 2,71828 x : jumlah kemunculan (sukses)
Contoh
Probabilitas bahwa akan terdapat telur yg pecah dalam sebuah keranjang telur diperkirakan sebanyak 0,7% dan apabila selanjutnya diambil sampel sebanyak 1 keranjang yg berisi 200 butir telur untuk dilakukan penelitian terhadap prakiraan di atas, berapakah kemungkinannya akan terdapat 3 butir yg rusak?
Jawaban
Diketahui : p = 0,7 % = 0,007 = n.p = (200)(0,007) = 1, 4 3 1, 4
(1,4) e P (3) ! 3! P (3) ! 0,1128
3
(1,4) (2,71828) ! 3!
1, 4
Distribusi Variabel Random Kontinu
Distribusi Normal
Karakteristik
Distribusi Normal:
1. Kurva
normal berbentuk lonceng dan memiliki satu puncak yang terletak tepat di tengah distribusi
2.
Grafik distribusi normal selalu berada diatas sumbu x dan tidak pernah memotong sumbu x tersebut (asimptotis).
Nilai Distribusi Normal Z !
x Q W
Dimana : x : nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran tertentu : rata ± rata hitung dari distribusi : standar deviasi dari distribusi
Diagram Kurva Distribusi Normal
Skala Z
0,5000
0,5000
Contoh
a. b. c.
Dari hasil pengamatan terhadap 500 buah kopi, menunjukan bahwa rata-rata diameter buah kopi tersebut 15,1 mm dengan standar deviasi sebesar 15 mm. Dengan asumsi bahwa biji kopi yang diamati tersebut memiliki diameter berdistribusi normal, diantara biji ± biji kopi tersebut: Berapa yang memiliki diameter antara 12,0mm sampai dengan 15,5mm Berapa biji kopi yang memiliki diameter setidaknya 15,5 mm Berapa biji kopi yang memiliki diameter paling tinggi 12,8
Jawaban Diketahui : N = 500 ; =
15,1 ; = 15,0 mm
a. Nilai probabilitas biji kopi dengan diameter 12,0 s.d 15,5 mm P(12,0 x 15,5)
12 ,0 15 ,1 15 ,5 15 ,1 e Z e p (12 ,0 e x e 15 ,5 ) ! 15 ,0 15 ,0 p ( 0 , 207 e Z e 0 ,027 ) ! Z 0 , 207 0 Z 0 0 , 027 p ( 0 , 207 e Z e 0 ,027 ) ! 0 ,0832 0 ,0120 ! 0 ,0952
Jadi jumlah biji kopi yg berdiameter antara 12,0-15,5 mm, adalah : 0,0952 x 500 = 47,6 48 buah
b. Nilai probabilitas biji kopi yang memiliki diameter setidaknya 15,5 mm P(x 15,5)
15,5 15,1 ! 0,027 p ( x u 15,5) ! Z u 15,0 p ( Z u 0,027 ) ! 0,500 0,0120 ! 0, 488 Jadi banyaknya biji kopi yang diameternya lebih dari 15,5 mm adalah: 0,488 x 500 = 244 buah
