Mdl10 Distr Probabilitas Normal

MODUL PERKULIAHAN

Statistika

dan

Probabilitas Distribusi Probabilitas (lanjutan) Distribusi Normal akultas Ilmu Ko Komputer

Pro!ram

"ata#

Studi

Muka

Teknik Informatika

&'

Kod$ MK MK

Disu sus sun Ol Ol

%$MK''*

Drs. Sumardi Hs., M.Sc.

Abstra+t

Kom#$t$nsi

Modul ini membahas pengertian himpunan, himpunan, notasi-notasi, notasi-notasi, rumus-rumus, diagram ven, dan contoh-contoh soal jawab penerapan penerapan rumus rumus khususnya khususnya pada himpunan bilangan riil.

Mahasiswa dapat memahami pengertian himpunan, notasi-notasi, rumus-rumus, diagram ven, dan contohcontoh soal-jawab penerapan rumus khususnya pada himpunan bilangan riil agar dapat menerapkan pada soal-soal yang diberikan.

& DISTRIBUSI PELUANG/PROBABILITAS II NORMAL

I. PENGERTIAN SEBARAN NORMAL

•

Peubah acak X yang menyebar secara normal dengan fungsi kepekatan peluang:

2

1 σ 2π

x −μ  − 1    2  σ  e ,−∞ < x < ∞

f!" #

•

f$" #

1 2 z e 2 ,

−

1 2π

x −μ

Z=

Peubah acak normal baku :

σ

fungsi peluang no!al" menjadi :

−∞ < z < ∞

%ilai harapan peubah acak X # µ dan ragam σ&, sedangkan peubah acak ' mempunyai nilai harapan # ( dan ragam # ).

X

- σ

-)

μ

σ

(

)

'

*ambar ). +urva peubah acak normal X dan peubah acak normal baku '. ,& -

2

Distribusi Probabilitas (Lanjutan)

rs. umardi s. M.c.

Pusat .a%an Ajar dan $L$arnin! http://www.mercubuana.ac.id

P( a

− − < X < b ) = P  a μ < Z < b μ   = P( Z1 < Z < Z2 ) σ   σ Z 1

=

a − μ σ

, Z 2

=

b - μ σ

P')0'0'&" ditentukan dengan menggunakan tabel normal baku. #onto$ soal%

iketahui X menyebar secara normal dengan

µ #

1( dan

σ #)(.

2arilah peluang bahwa

X mendapat nilai antara 31 dan 4&. Petunjuk: 5abel )((6"

P ( 45 < X < 62) = P ( − 0,5 < Z < 1,2)

= P ( Z < 1,2 ) − P ( Z < −0,5) = 0,8849 − 0,3085 = 0,5764 7uktikan dg tabel 1(6" II. &IRAN NORMAL TER&ADAP BINOMIAL

7ila X peubah acak 7inom dengan nilai tengah µ = np dan 8 # ) 9 p maka ragam / varians σ 2 = npq maka bentuk limit sebaran normal baku: Z=

X − np

σ

, bila n → ∞

#onto$ soal%

uatu ujian pilihan ganda terdiri atas &(( soal masing-masing dengan 3 pilihan dan hanya satu jawaban yang benar. 5anpa memahami soal sedikitpun masalahnya dan hanya dengan menerka saja, berapakah peluang seorang mahasiswa menjawab &1 sampai dengan ( soal dengan benar, untuk ;( dari &(( soal< Petunjuk :

,& -

3




P ( 25 < X < 30 ) = P ( 24,5 < X < 30,5) = P (1,16 < Z < 2,71)

= 0,1196

#onto$ Soal.

).

=ntuk sebaran normal dengan µ # 1( dan σ # )(. itunglah peluang bahwa X mengambil nilai antara 31 dan 4&. >awab. %ilai-nilai $ adalah untuk !) # 31 dan !& # 4& adalah: Z 1

=

Z 2

=

x1 − µ σ

x2 − µ σ

= =

45 − 50 10 62 − 50 10

P!) 0 ! 0 ! &"

= −0,5 = 1,2

# P$) 0 $ 0 $)"

P31 0 ! 0 4&" # P-(,1 0 & 0 ),&" # P$0),&" 9 P$0-(,1" # (,;;3? 9 (,(;1 P31 0 ! 0 4&" # (,1@43

(,1

(

'

),& X

1

&.

4&

=ntuk sebaran normal dengan µ # (( dan σ # 1(. itunglah peluang bahwa peubah acak X meng-ambil suatu nilai yang lebih besar dari 4&. >awab. P! A !)" # P$ A $ )"

,& -

4




x −µ Z1 = 1

σ

P! A (4&"

=

362 − 300 50

= 1,24

# P$ A ),&3" # P$ A ),&3" # ) 9 P$ 0 ),&3" # ) 9 (,;?&1 # (,)(@1

:(( (

.

:4&

X

),&3

'

iberikan sebuah sebaran normal dengan µ # 3( dan σ # 4. itunglah nilai X yang: a.

Buas daerah dibawahnya ada ;6

b.

Buas daerah diatasnya 16

>awab.

Z

= x − µ → x = σ z + µ σ

a.

P$ 0 .<.."

# (,; lihat tabel C.3 walpole.

P$ 0 - (,)"

# (,;

X # σ$ D µ

# 4-(,)" D 3(

$ # - (,)

# -),;4 D 3( # ;,)3 b.

P$ A .<.."

# (,(1

P$ 0 ),431"

# (,?1

' # ),431

,& -

5

P$ 0 .<.." # (,?1

X # 4),431" D 3( # 3?,;@




(,:; (,(1 3(

X

3(

(

'

(

-(,:)

X ),431

'

III. PENERAPAN SEBARAN NORMAL

3. uatu jenis aki mencapai umur rata-rata ,( tahun dengan simpangan baku (,1 tahun. 7ila umur aki itu menyebar normal, hitunglah peluang bahwa sebuah aki tertentu akan mencapai umur kurang dari &, tahun >awab.

µ

# ,( E σ

P! 0 &,"

# F<

P! 0 !)"

# P$ 0 $)"

Z 1

=

x1 − µ σ

P! 0 &," ∴P!

1.

# (,1

0 &,"

=

2,3 − 3,0 0,5

= −1,4

# P$ 0 ),3" # (,(;(; 5abel C.3"

&,:

:,(

X

-),3

(

'

ebuah perusahaan alat listrik memproduksi bohlam yang umurnya menyebar normal dengan nilai tengah ;(( jam dan simpangan baku 3( jam. itunglah peluang sebuah bohlam hasil produksi-nya akan mencapai umur antara @@; dan ;3 jam.

,& -

6




>awab.

X) # @@;, X& # ;3 E

µ #

;(( E σ # 3(

PX) 0 X 0 X &" # P') 0 ' 0 '&" Z 1

=

Z 2

=

x1 − µ σ

x 2

− µ σ

=

778 − 800

=

40 834 − 800 40

= −0,55 = 0,85

P@@; 0 ! 0 ;3" # P-(,11 0 $ 0 (,;1" # P$ 0 (,;1" 9 P$ 0 -(,11" # (,;(& 9 (,&?)? # (,1)))

4.

@;

;((

;:3

X

-(,11

(

(,;1

'

Pada suatu ujian, nilai rata-ratanya adalah @3 dan simpangan bakunya @. 7ila )&6 diantara peserta ujian akan diberi nilai C dan nilai itu mengikuti sebaran normal. 7erapakah batas nilai terkecil bagi C dan batas nilai tertinggi bagi 7< >awab.

µ #

@3 E σ # @

Gumus X # σ' D µ

' dilihat pada tabel C.3.

P' 0 .<.." # (,

(,;; (,)& @3

P' 0 ),)@1" # (,;;

' # ),)@1

X # @),)@1" D @3 X # ;,&&1 D @3 X # ;&,&&1 ,& -






X

@.

Pada suatu ujian, nilai rata-ratanya adalah @3 dan simpagan bakunya @. 7ila nilai itu mengikuti sebaran normal, tentukan 4 # desil ke 4. >awab. PX 0 .<.." # (,4( ' # (,&1

P' 0 .<.." # (,4(

P' 0 (,&1" # (,4(

Pakai rumus : X # σ' D µ

4 # X # @ (,&1" D @3 4 # X # ),@1 D@3 # @1,@1 ∴4

# @1,@1

4(6 # (,4

@3

;.

4

X

Gata-rata tinggi anjing pudel jenis tertentu adalah ( cm, dan simpangan bakunya 3) cm. 7erapa 6 banyaknya anjing pudel jenis tersebut yg tingginya melebihi 1 cm, bila tinggi itu menyebar normal dan dapat diukur sampai ketelitian berapapun< >awab.

µ#

( E

σ #

P ( Z > 35)

3,)

35 − 30   = P  Z >  = P ( Z > 1,22) 4,1  

P' A ),&&"

# ) 9 P' 0 ),&&" # ) 9 (,;;;; tabel C.)" # (,)))&

>adi 6 banyaknya X A 1 adalah )),)&6.

,& -

!




?.

:,(

:1

X

(

) &&

'

Gata-rata tinggi anjing pudel jenis tertentu adalah ( cm, dan simpangan bakunya 3,) cm. itunglah persentase anjing pudel yang tingginya melebihi 1 cm bila tingginya di ukur sampai sentimeter ter-dekat< >awab. X # 1 Z

=

X # 1,1

35,5 − 30 4,1

PX A 1,1"

= 1,34 # P' 0 ),3" # ) - P' 0 ),3" # ) 9 (,?(??

∴ PX

A 1,1" # (,(?()

∴ 7anyaknya

6 anjing pudel yang melebihi 1 cm adalah ?,()6.

:,(

:1,1

X

),:3

'

)(. %ilai mutu rata-rata %MG" (( mahasiswa tingkat persiapan mengikuti suatu sebaran normal dengan nilai tengah &,) dan simpangan baku (,;. 7erapa banyaknya mahasiswa tersebut yang mencapai %MG antara &,1 dan ,1 inklusif bila %MG itu dihitung sampai persepuluhan terdekat. >awab. ,& -

"




+arena dicatat sampai persepuluhan terdekat maka nilai &,1 ,1

X)#&,31 dan nilai

X& # ,11.

Z 1

=

Z 2

=

x1 − µ σ

− µ

x2

σ

2,45 − 2,1

=

0,8

=

3,55 − 2,1 0,8

= 0,44 = 1,81

P&,31 0 X 0 ,11" # P(,33 0 ' 0 ),;)" # P' 0 ),;)" 9 P' 0 (,33" # (,?43? 9 (,4@(( # (,&?3? ∴ >adi

banyak mahasiswaa yang %MGnya antara &,1 dan ,1 inklusif # (,&?3? ! ((

# ;; mahasiswa.

ampiran normal terhadap sebaran binom. )). Peluang bahwa seorang pasien dapat sembuh dari suatu penyakit darah tinggi adalah (,4. 7ila )(( orang diketahui menderita penyakit ini, berapa peluang bahwa kurang dari separuhnya akan dapat sembuh< >awab. X # pasien yang dapat sembuh  0 H . )(( " Gumus :

Z=

x

−µ σ

untuk lampiran normal. X # 3?,1 E µ # np # )(((,4" # 4( σ

=

Z =

npq =

(100)(0,6)(0,4) = 4,9

49,5 − 60 4,9

= −2,14

49

P ( x < 50) = ∑ b( x;100,0,6) = P ( z < −2,14) x =0

= 0,0162

,& -

#$




σ

=1

&,)3

(

'

3?,1

4(

X

)&. ebuah ujian terdiri atas &(( pertanyaan pilihan berganda, masing-masing dengan 3 kemungkinan jawaban, tetapi hanya satu yang benar. 7erapa peluang seorang yang menjawab secara acak ;( diantara &(( soal yang sama sekali tidak diketahuinya, mendapatkan dari &1 sampai ( jawaban yang benar< >awab. n # ;(E Gumus : Z = µ # σ=

p # I E 8 # )- p # J x −µ

σ

; µ = np; σ =

npq

np # ;(" I" # &(E npq =

(80)( 1 )( 3 ) = 3,87 4

4

ecara langsung dengan binom

P (25 < x < 30) =

30

∑ b( x;80,

1 4

)

x =25

engan hampiran normal: P&3,1 0 ! 0 (,1"

# P),)4 0 $ 0 &,@)" # P$ 0 &,@)" 9 P$ 0 ),)4" # (,??44 9 (,))3 # (,))?4

(

,& -

##

),)4

&,@)




Soal 'Tugas/ Lati$an. PR Gan(il/Genap !asing)% * soal. ).

&.

7ila diberikan sebuah sebaran normal dengan µ # 1( dan σ # ;, hitunglah a.

Buas daerah dibawah @

b.

Buas daerah diatas 34

c.

Buas daerah antara 3 dan 4)

d.

%ilai X yang luas daerah dibawahnya 316

e.

%ilai X yang luas daerah diatasnya )46

iberikan sebuah peubah acak X dengan nilai tengah ); dan simpangan baku &,1. itunglah

.

a.

PX 0 )1"

b.

P)@ 0 X 0 &)"

c.

%ilai k yang bersifat PX 0k" # (,&1@;

d.

%ilai k yang bersifat PX A k" # (,)1?

iameter bagian dalam ring piston menyebar normal dengan nilai tengah )(cm dan simpangan baku (,(cm. a. 7erapa proporsi ring yang diameter bagian dalamnya lebih dari )(,(@1 cm< b. 7erapa peluang diameter bagian dalam ring antara ?,?@ dan )(,( cm< c. ibawah nilai berapa terdapat )16 ring yang diproduksi<

3.

ebuah mesin minuman ringan diatur sedemikian rupa sehingga mengeluarkan ratarata ;((ml per gelas. 7ila banyaknya minuman yang dikeluarkan itu menyebar normal dengan simpangan baku )1ml. a. 7erapa banyaknya gelas dalam pecahan atau persentasi" yang berisi lebih dari &&3ml. b. 7erapa peluang sebuah gelas berisi antara )?) dan &(?ml< c. 7erapa gelas diantara )((( gelas berikutnya yang akan tumpah meluap bila gelas-gelas itu berukuran &(ml< d. ibawah nilai berapa kita akan dapatkan &16 gelas-gelas yang berisi paling sedikit<

1.

7ila nilai ujian statistika kira-kira menyebar normal dengan nilai tengan 3@ dan simpangan baku @,?. itunglah a. %ilai terendah bagi  bila )(6 nilai terendah diantara seluruh peserta ujian mendapat nilai K<

,& -

#2




b. %ilai tertinggi bagi 7 bila 16 mahasiswa men-dapat nilai C< c. %ilai terendah bagi 7 bila )(6 tertinggi men-dapat C dan &16 berikutnya mendapat 7< 4.

alam sebuah ujian matematika, nilai rata-ratanya adalah ;& dan simpangan bakunya 1. Mahasiswa yang mendapat nilai dari ;; sampai ?3 mendapat 7. 7ila nilai ujian itu menyebar normal dan ; orang mendapat 7. 7erapa banyak mahasiswa yang mengikuti ujian.

@.

5inggi )((( mahasiswa menyebar normal dengan nilai tengah )@3,1cm dan simpangan baku 4,?cm. 7ila tinggi dicatat sampai setengah cm terdekat, berapa banyak diantara mahasiswa itu yang memiliki tinggi:

;.

a.

+urang dari )4(,1 cm<

b.

Cntara )@),1 dan );&,( cm inklusif

c.

ama dengan )@1,( cm<

d.

Bebih besar atau sama dengan );;,( cm<

ebuah perusahaan membayar karyawannya dengan rata-rata L@,&1 per jam dengan simpangan baku 4( sen. 7ila gaji itu kira-kira menyebar normal dan dibayar sampai sen terdekat, a. 7erapa persentase karyawan yang menerima antara L4,@1 dan L@,4? per jam inklusif b. 16 gaji tertinggi lebih besar dari berapa<

?.

7obot badan sejumlah anjing pudel kira-kira menyebar normal dengan nilai tengah ; kg dan simpangan baku (,? kg. 7ila pengukurannya dicatat sampai persepuluhan kg terdekat, hitunglah proporsi banyaknya anjing pudel itu yang berbobot a.

Bebih dari ?,? kgE

b.

Paling tinggi ;,4 kgE

c.

Cntara @, dan ?,) kg inklusif

)(. aya regang suatu komponen logam tertentu menyebar normal dengan nilai tengah )(.((( kg per cm& dan simpangan baku )(( kg per cm&. emua pengukuran dicatat sampai 1( kg per cm& terdekat. a. itunglah proporsi komponen itu memiliki daya regang melebihi )(.)1( kg per cm&<

,& -

#3




b. 7ila dikehendaki semua komponen itu memiliki daya regang antara ?.;(( dan )(.&(( kg per cm& inklusif )). 7ila segugus pengamatan menyebar normal berapa persentase pengamatan yang berbeda dari nilai tengahnya sebesar : a.

Bebih dari ),1

b.

+urang dari (,1&σ <

ampiran normal terhadap sebaran binom. 4

)&. itunglah galat yang terjadi akibat menghampiri

∑ x

b( x;20,0,1) dengan

kurva

=1

normal ). ekeping uang logam dilemparkan 3(( kali. *unakan lampiran kurva normal untuk menghitung peluang mendapatkan a.

Cntara );1 dan &)( sisi gambar inklusifE

b.

5epat &(1 sisi gambar

c.

+urang dari )@4 atau lebih dari &&@ sisi gambar<

)3. Peluang seorang selamat dari suatu operasi jantung yang rumit adalah (,?. iantara )(( pasien yang menjalani operasi ini, berapa peluang bahwa a.

Cntara ;3 dan ?1 orang inklusif selamat<

b.

+urang dari ;4 orang selamat<

)1. eorang pemburu burung pegar mengatakan bahwa @16 diantara tembakannya mengenai sasaran. ari ;( tembakan berikutnya, berapa peluang bahwa a. ekurang-kurangnya 1( ekor berhasil terbang menyelamatkan diri b. ebanyak-banyaknya 14 ekor berhasil ditembak jatuh< )4. 7ila &(6 penduduk disebuah kota lebih menyukai telepon warna putih dari warnawarna lainnya. 7erapa peluang bahwa diantara )(( telepon yang dipasang berikutnya dikota itu. a. Cntara )@( dan );1 inklusif akan berwarna putih< b. ekurang-kurangnya &)( tetapi tidak lebih dari &&1 akan berwarna putih< )@. eperenam jumlah mahasiswa laki-laki yang memasuki sebuah perguruan tinggi berasal dari luar propinsi. 7ila pengaturan masuk ke asrama ditentukan secara acak, ,& -

#4




);( mahasiswa pergedung asrama, berapa peluang bahwa disuatu gedung asrama sekurang-kurangnnya seperlima meru-pakan mahasiswa dari luar propinsi< );. ebuah perusahaan obat-obatan mengetahui bahwa secara rata-rata, 16 diantara sebuah jenis pil tertentu bahan-bahannya dibawah syarat minimum, sehingga sesungguhnya tidak dapat diterima. 7erapa peluang bahwa kurang dari )( pil diantara sebuah contoh &(( pil sesungguhnya tidak dapat diterima<

Dafta Pustaka ). 7oediono, G, ayan +oster, G.Nr. M.M.: 5C5N5N+C dan PGO7C7NBN5C,

P5.Gemaja Gosdakarya, 7andung, &((3. &. udjana Prof. G. M.C, M.c. : M5OC 5C5N5N+C, Penerbit 5CGN5O 7andung.

&((1. . upranto, >: 5C5N5N+ 5eori dan Cplikasi", disi +eenam, Penerbit rlangga,

>akarta, &((1. 3. chaumQs : PGO7C7NBN5R S 5C5N5N2, Mc*raw-ill, %ew-Rork.

1. 7rowsing Nnternet.

,& -

#5




Mdl10 Distr Probabilitas Normal

Recommend Documents