KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat, karunia dan hidayahNya, bahan ajar modul mata kuliah Statistik Probabilitas ini dapat terselesaikan. Modul yang di susun ini diharapkan digunakan sebagai sebagai sumber belajar pokok mahasiswa. Dalam Modul ini akan dipelajari tentang bagaimana cara menyelesaikan Masalah probabilitas sebagai alat pengambil keputusan, alat-alat statistik yang dibutuhkan untuk melakukan pengkajian terhadap masalah yang dihadapi. Serta senagaoi dasar berpikir selanjutnya dalam mencari terobosan baru (policy) guna memecahkan masalah yang dihadapi. Adapun isi dari mata kuliah Statistik Probabilitas ini adalah sebagai berikut : Teori probabilitas, Distribusi Probabilitas Diskret, Teori Keputusan, Metode dan Distribusi Sampling, Hipotesa, Uji Chi Kuadrat Modul yang merupakan sumber bahan belajar ini untuk membekali kompetensi mahasiswa, namun demikian, karena dinamika perubahan sain dan teknologi di industri begitu cepat terjadi, maka modul ini masih akan selalu dimintakan masukan untuk bahan perbaikan atau direvisi agar selalu relevan dengan kondisi lapangan. Dengan adanya modul ini di harapkan kepada mahasiswa agar lebih mudah dan mengerti didalam pemahaman materi - materi yang ada, karena di susun menggunakan bahasa yang sederhana, dan mudah – mudahan dapat mengaplikasikan dalam kehidupan sehari – hari. Demikian, semoga modul dapat bermanfaat bagi kita semua, khususnya para mahasiswa STMIK TRIGUNA DHARMA. Adapun saran dan kritik dari para praktisi sangat diharapkan dalam meningkatkan kualitas modul ini
Medan, April 2010 Nana Kartika, ST
1
CHAPTER 1 Pertemuan 1 Perkenalan Dengan Statistika Probabilitas A. DESKRIPSI
Membahas berbagai macam konsep (teori) maupun metode statistika, yang selanjutnya dapat digunakan untuk melakukan interpretasi terhadap berbagai macam data penelitian dan sekaligus mengetahui alat-alat analisa apa saja yang dibutuhkan sesuai dengan masalah yang dihadapi. Tujuan mata kuliah ini adalah memberi pengetahuan kepada mahasiswa tentang: a. Masalah probabilitas sebagai alat alat pengambil pengambil keputusan. b. Alat-alat statistik statistik yang dibutuhkan untuk melakukan pengkajian terhadap masalah masalah yang dihadapi. c. Dasar berpikir selanjutnya dalam mencari terobosan baru (policy) guna memecahkan masalah yang dihadapi. B. PRASYARAT : STATISTIKA I
C. MATERI
1. Teori probabilitas 1.1. Pengertian dan manfaat probabilitas 1.2. Pendekatan probabilitas 1.3. Konsep Dasar dan Hukum Probabilitas Prob abilitas 1.4. Teorema Bayes 1.5. Beberapa prinsip menghitung dalam probabilitas 2. Distribusi Probabilitas Diskret 2.1. Pengertian distribusi probabilitas 2.2. Distribusi probabilitas pr obabilitas Binomial 2.3. Distribusi probabilitas pr obabilitas Hipergeometrik 2.4. Distribusi probabilitas Poisson 3. Distribusi probabilitas normal 3.1. Pengertian dan karakteristik Distribusi Probabilitas Normal 3.2. Distribusi Probabilitas Normal 3.3. Penerapan Distribusi Probabilitas Normal Standar 3.4. Pendekatan Normal terhadap Binomial 3.5. Faktor koreksi kontinuitas 4. Teori Keputusan 4.1. Elemen-elemen Keputusan Kep utusan 4.2. Keputusan dalam d alam keadaan berisiko 4.3. Keputusan dalam d alam kondisi ketidak pastian 2
5. Metode dan Distribusi Sampling 5.1. Pengertian populasi popula si dan sample 5.2. Metode penarikan pe narikan sample 5.3. Distribusi Sampel rata-rata dan proporsi 5.4. Distribusi Sampel Selisih rata-rata dan proporsi 5.5. Factor Koreksi untuk populasi terbatas 6. Hipotesa 6.1. Pengertian dan Pengujian Hipotesa 6.2. Prosedur pengujian hipotesa 6.3. Menguji hipotesa Rata-rata dan Proporsi Sampel Besar 6.4. Menguji hipotesa Selisih Rata-rata dan Proporsi Sampel Besar 6.5. Jenis Kesalahan Kes alahan I dan I 7. Uji Chi Kuadrat 7.1. Pendahuluan 7.2. Uji Chi-Kuadrat untuk Keselarasan 7.3. Uji Chi-Kuadrat untuk Kenormalan Ke normalan 7.4. Uji Chi-Kuadrat untuk independensi independ ensi D. Materi Dalam Petemuan
1 2
Pendahuluan, Perkenalan dengan Statistika Probabilitas Konsep Dasar Probabilitas
3
Konsep Dasar Dan Hukum Probabilitas
4
Teorema Bayes
5 6 7
Quiz Karakteristik Distribusi Kurva Normal Distribusi Probabilitas Diskret
8 9 10 11 12 13 14 15 16
UTS Teori Keputusan Metode dan Distribusi Sampling Hipotesa Menguji Hipotesa Rata – Rata Sampel Besar Quiz Pengujian Hipotesa Sampel Kecil Uji Chi-Kuadrat UAS
E. Textbook :
1. 2. 3. 4.
Bambang Yuwono, 2006, Bahan Kuliah Statistika, UPN “Veteran” Yogyakarta J. Supranto, 2000, Statistik Statistik Teori dan Aplikasi, Erlangga, Erlangga, Jakarta Sudjana, 1992, Metode statistika, Tarsita Bandung Zanzawi soeyuti, 1990, Metode statistika, UT, Jakarta 3
F. Acuan/Referensi :
1. Ronald E Walpole, 1992, Pengantar Statistika, Gramedia, Jakarta 2. Murray R Spiegel, 1994, Statistika, Erlangga, Jakarta 3. Richard Lungan, 2006, Aplikasi Statistika dan Hitung Peluang,Graha Ilmu, Yogyakarta 4. Samsubar Saleh, 1988, Statistik Induktif, AMP YKPN Yogyakarta 5. Samsubar Saleh, 1986, Statistik Deskriptif, AMP YKPN, Yogyakarta 6. Suharyadi dan Purwanto, 2003, Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern, Salemba, Jakarta G. Penilaian :
1. 2. 3. 4.
Absen 10% Quiz & Tugas 20 % UTS 30% UAS 40%
4
CHAPTER 2 Pertemuan 2 KONSEP DASAR PROBABILITAS A. PENDAHULUAN
Secara sederhana probabilitas dapat diartikan sebagai sebuah peluang untuk suatu kejadian. 1. Manfaat mempelajari probabilitas
sangat berguna untuk pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, sehingga diperlukan untuk mengetahui berapa besar probabilitas suatu peristiwa akan terjadi. Probabilitas dinyatakan dalam angka pecahan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase. Contoh:
Seluruh mahasiswa Panca Budi harus memiliki sertifikat computer untuk program microsoft exel. Di kota Medan sendiri banyak terdapat tempat kursus computer diantaranya LP3I, Medicom, Tricom dll. Maka akan muncul kebingungan dalam memilih tempat kursus. Untuk menentukan pilihan biasanya mahasiswa akan bertanya kepada teman-teman, mereka kursus dimana? Dari ratusan mahasiswa mungkin anda bertanya hanya pada 20 orang mahasiswa. Yang paling banyak diminati anda akan memilih tempat tersebut untuk kursus. Dari contoh tersebut dapat dilihat bahwa keputusan diambil hanya dari beberapa contoh atau sampel dari populasi keseluruhan. 2. Pengertian probabilitas
Lind (2002) dalam mendefenisikan probabilitas sebagai: “Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event ) akan terjadi dimasa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase” Tiga hal penting dalam membicarakan probabilitas: a. Percobaan (experiment ) 5
Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperthatikan peristiwa mana yang akan terjadi b. Hasil (outcome) suatu hasil dari sebuah percobaan. Dalam hasil ini semua kejadian akan dicatat atau dalam artian seluruh peristiwa yang akan terjadi dalam sebuah percobaan. Misalnya dalam mengikuti ujian semester maka hasil yang akan diperoleh ada mahasiswa yang lulus dan ada yang tidak lulus. Ada yang lulus memuaskan ada yang tidak memuaskan c. Peristiwa (event ) kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan Contoh:
Percobaan
Pertandingan sepak bola antara Fakultas Ekonomi UNPAB dan Fakultas Pertanian UNPAB
Hasil
Fakultas Ekonomi menang, Fakultas Ekonomi kalah Seri, tidak ada yang kalah dan tidak ada yang menang
Peristiwa
Fakultas Ekonomi Menang
Probabilitas dinyatakan dalam bentuk pecahan dari 0 sampai 1. probabilitas 0 menunjukkan sesuatu yang tidak mungkin terjadi, sedangkan probabilitas 1 mununjukkan peristiwa pasti terjadi. Contoh penulisan probabilitas dalam desimal atau persentase: 1. Pada hari Jumat adalah penutupan bursa saham, maka kebanyakan investor berusaha meraih keuntungan melalui penjualan saham atau yang biasanya diistilahkan profit taking , sehingga probabilitas menjual mencapai 0,7 sedangkan membeli 0,3. 2. melihat kondisi kesiapan mahasiswa yang mengikuti ujian Statistika II, maka mahasiswa yang mempunyai probabilitas untuk lulus 70% dan kalah 30% 6
Probabilitas kejadian dengan nilai 0 berarti peristiwa yang tidak mungkin terjadi, seperti seorang anak balita melahirkan seorang bayi. Sedangkan probabilitas dengan nilai 1 adalah peristiwa yang pasti terjadi, seperti semua manusia pasti akan meninggal. B. PENDEKATAN PROBABILITAS
Untuk menentukan tingkat probabilitas suatu kejadian, maka ada tiga pendekatan yaitu pendekatan klasik, pendekatan relatif dan pendekatan subjektif. 1. Pendekatan klasik
Diasumsikan bahwa semua peristiwa mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi (equally likely ) Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai rasio antara jumlah kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil (rasio peristiwa terhadap hasil)
Probabilitas
umlah kemungkina n hasil (peristiwa) jumlah total kemungkina n hasil
Contoh:
Pada kegiatan mahasiswa belajar semua hasil ada yang sangat memuaskan, memuaskan dan terpuji. Jumlah hasil ada 3 dan hanya 1 peristiwa yang terjadi, maka probabilitas setiap peristiwa adalah 1/3. Pada suatu percobaan hanya 1 peristiwa yang terjadi, dan peristiwa lain tidak mungkin terjadi pada waktu yang bersamaan maka dikenal sebagai peristiwa saling lepas. ”Peristiwa saling lepas (mutually exclusive ) adalah terjadinya suatu peristiwa sehingga peristiwa yang lain tidak terjadi pada waktu yang bersamaan” Pada suatu percobaan atau kegiatan semua hasil mempunyai probabilitas yang sama, dan hanya satu peristiwa yang terjadi maka peristiwa ini dikenal dengan lengkap terbatas kolektif ( collection exhaustive ).
7
”lengkap terbatas kolektif (collection exhaustive ) adalah sedikitnya satu dari seluruh hasil yang ada pasti terjadi pada setiap percobaan atau kegiatan yang dilakukan” 2. Pendekatan Relatif
Probabilitas suatu kejadian tidak dianggap sama, tergantung dari berapa banyak suatu kejadian terjadi, yang dinyatakan sebagai berikut:
Probabilitas kejadian relatif
Jumlah peristiwa yang terjadi jumlah total percobaan
Contoh:
Dari kegiatan belajar mahasiswa dapat dilihat hasilnya pada Wisuda Sarjana Universitas Panca Budi tahun 2007 sebanyak 800 orang mahasiswa. 500 orang lulus dengan memuaskan, 200 orang dengan sangat memuaskan dan 100 orang dengan prediket terpuji. Maka probabilitas lulus memuaskan adalah 500/800 = 0.625; lulus dengan sangat memuaskan 200/800 = 0.25 dan lulus dengan terpuji 100/800 = 0.125.
3, Pendekatan Subjektif
Yang dimaksud dengan pendekatan subjektif adalah menentukan besarnya probabilitas suatu peristiwa didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan. Contoh:
Menurut pengamat politik, Susilo Bambang Yudoyono akan menang dalam Pemilu Indonesia tahun 2009
8
CHAPTER 3 Pertemuan 3 KONSEP DASAR DAN HUKUM PROBABILITAS Dalam teori probabilitas, probabilitas kejadian dilambangkan dengan “P”, apabila kejadian jual saham dilambangkan dengan huruf “A”, maka probabilitas jual saham dilambangkan dengan P (A). Sebaliknya apabila kejadian beli saham dilambangkan dengan “B”, maka probabilitas beli saham dilambangkan dengan P (B). A. Hukum Penjumlahan
Hukum penjumlahan menghendaki peristiwa yang saling lepas (mutually exclusive ) yaitu apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi
pada saat bersamaan. Hukum ini dilambangkan sebagai: P (A atau B) = P (A) + P(B)
Untuk kejadian yang lebih banyak dilambangkan sampai n yaitu: P(A atau ... n) = P(A) + P(B) + ......+P(n) Contoh:
Berikut adalah kegiatan perdangan saham di BEJ untuk tiga perusahaan perbankan dengan jumlah total sebanyak 200 transaksi Jenis Transaksi
Volume Transaksi
Jual saham (A)
120
Beli saham (B)
80
Jumlah Total transaksi
200
Penyelesaian: Dari data diatas diketahui bahwa: Probabilitas Jual = P(A) = 120/200 = 0.60 Probabilitas Beli = P(B) = 80/200 = 0.40 Sehingga probabilitas A atau B, 9
P(A atau B) = P(A) + P(B) = 0.6 +0.4 = 1.0 1. Peristiwa atau Kejadian Bersama
Pada peristiwa bersama dua atau lebih peristiwa dapat terjadi secara bersamasama, peristiwa bersama tersebut dapat lebih mudah dilihat dengan diagram Venn seperti berikut:
A
AD
D
Penjumlahan probabilitas dengan adanya unsur kegiatan bersama, maka rumus penjumlahan dirumuskan kembali menjadi sebagai berikut: P(A atau D) = P(A) + P(D) – P(AD) Dimana: P(A atau D) : probabilitas terjadinya A atau D atau A dan D bersama- sama P(A)
: probabilitas terjadinya A
P(D)
: probabilitas terjadinya D
P(AD)
: probabilitas terjadinya A dan D bersama-sama
2. Kejadian saling lepas (mutually exclusive)
Kejadian saling lepas terjadi apabila hanya satu dari dua atau lebih peristiwa yang dapat terjadi. Dapat digambarkan dengan diagram Venn:
A
D
Maka P(AB) = 0
Oleh sebab itu, untuk peristiwa yang saling lepas, probabilitas kejadian A atau B yang dinyatakan P(A atau B) P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(AB)
10
Karena P(AB) = 0 maka P(A atau B) = P(A) + P(B) – 0
Sehingga: P(A atau B) = P(A) + P(B) Contoh:
Cobalah hitung berapa probabilitas kejadian jual saham dan beli saham P(AB) dan probabilitas kejadian untuk saham BCA, BII dan BNI (P(DEF). Perusahaan
Kegiatan
Jumlah
BNI (C)
BII (D)
BCA (E)
Jual (A)
30
50
40
120
Beli (B)
40
30
10
80
Jumlah
70
80
50
200
Penyelesaian: Probabilitas kejadian A dan B adalah kejadian yang saling lepas, maka P(AB)=0. maka hukum penjumlahan untuk peristiwa saling lepas adalah: P(A atau B)
= P(A) + P(B) – P(AB) = 0.6 + 0.4 = 1.0
probabilitas kejadian ketiga saham juga merupakan kejadian saling lepas, maka hukum penjumlahannya adalah: P (C atau D atau E) = P(C) + P(D) + P(E) – P(CDE) = 0.35 + 0.40 + 0.25 – 0 = 1.0 probabilitas P(C atau D) P(C atau D)
= P(C) + P(D) – P(CD) = 0.35 + 0.40 = 0.75
B. Hukum Perkalian.
11
Dalam hukum perkalian dikehendaki setiap peristiwa independent yaitu suatu peristiwa terjadi tanpa harus menghalangi peristiwa lain terjadi. “Peristiwa independent adalah terjadinya peristiwa atau kejadian tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa lain.” Dapat dinyatakan dalam bentuk: (P(A dan B) = P(A) x P(B)
1. Probabilitas bersyarat (Condicional Probability )
Probabilitas bersyarat adalah probabilitas statu peristiwa akan terjadi, dengan ketentuan peristiwa lain telah terjadi. Hukum perkalian untuk probabilitas bersyarat bahwa peristiwa B terjadi dengan syarat peristiwa A telah terjadi dinyatakan sebagai berikut: P(A dan B) = P(A) x (P(B|A)
2. Peristiwa Pelengkap (Complementary Event )
Peristiwa pelengkap menunjukan bahwa apabila ada dua peristiwa A dan B yang saling melengkapi, sehingga jika peristiwa A tidak terjadi, maka peristiwa B pasti terjadi. Maka probabilitas keduanya dapat dirumuskan sebagai berikut: P(A) + P(B) = 1 atau P(A) = 1 – P(B)
Dalam bentuk diagram Venn dapat digambarkan sebagai berikut A B
C. Diagram pohon probabilitas
Tahapan dalam menyusun diagram pohon: 1. Tahap 1 adalah langkah awal kegiatan, kita mulai dengan tanda titik atau bulatan dengan angka, tahap 1 diumpamakan sebagai pohonnya dengan pohon 12
utamanya berupa kegiatan dibursa saham. Nilai probabilitas pada tahap 1 adalah 1. 2. Tahap 2, membuat cabang. Kegiatan di bursa ada 2 yaitu kegiatan jual dan kegiatan beli saham. Probabilitas jual = 0,6 dan probabilitas beli 0,4. nilai probabilitas pada cabang = 0,6 + 0,4 = 1,0 3. Tahap 3 membuat ranting. Pada setiap cabang baik jual maupun beli ada 3 ranting jenis saham yaitu BCA, BLP dan BNI. Nilai probabilitas setiap ranting = 0,35 + 0,40 + 0,25 = 1 4. Tahap 4, menghitung probabilitas bersama ( joint probability ) antara kejadian pertama A dan B dengan kejadian kedua D, E dan F. kita bisa menghitung probabilitas P(D|A) atau P(E|B) secara langsung. Nilai probabilitas keseluruhan pada tahap 4 juga harus sama dengan 1. Contoh: Hasil penelitian di Yakarta menunjukan bahwa 60 % dari usa Kecil dan menengah (UKM) tidak berbadan hukum, sedang sisanya berbadan hukum. Bank sebagai lembaga pembiayaan dengan memerhatikan aspek kehati-hatian memberikan probabilitas 80% lepada UKM berbadan hukum untuk mendapatkan kredit, sedangkan yang tidak berbadan hukum masih memopunyai desempatan sebesar 20% untuk mendapatkan kredit. Hitunglah berapa persen probabilitas UKM mendapat kredit dari bank? Penyelesaian:
BCA Beli (0,4)
BLP BNI
1 BCA
Jual (0,6)
BLP BNI 13
CHAPTER 4 Pertemuan 4 Teorema Bayes Teorema ini dikembangkan oleh Thomas Bayes pada abad ke-18. Bayes seorang pendeta, bertanya apakah Tuhan ada dengan memerhatikan fakta-fakta yang ada di bumi. Jadi bila Tuhan ada, maka ada fakta sebagai ciptaan Tuhan. Apabila fakta dilambangkan P(A1) untuk suatu fakta dan P(A2) untuk fakta lain, sedang keberadaan Tuhan dinyatakan dengan P(B), maka teorema Bayes dinyatakan sebagai:
1B P A
1P B A1 P A
1P B A1 P A 2 P B A 2 P A
Rumus diatas merupakan probabilitas bersyarat, suatu kejadian terjadi setelah kejadian lain ada. P(A1|B) menyatakan bahwa fakta-fakta di bumi akan ada apabila Tuhan ada. Karena banyak fakta tersebut maka rumus Bayes diperluas:
1B P A
1P B A1 P A
1P B A1 P A 2 P B A 2 ..... P Ai PB Ai P A
BEBERAPA PRINSIP MENGHITUNG A. FAKTORIAL
Faktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu kelompok. Contoh konvensional, apabila kita mempunyai tiga bank yaitu BCA, BII dan BNI ada berapa cara menyusun uratan ketiga bank tersebut? Secara sederhana dapat kita lakukan dengan mengurut ketiga bank sebagai berikut: BCA, BII, BNI
BCA, BNI, BII
BII, BCA, BNI
BII, BNI, BCA
BNI, BII, BCA
BNI, BCA, BII
14
Dari uraian diatas dapat kita ketahui bahwa terdapat 6 cara mengurutkan nama bank tersebut, namun apabila jumlah bank tersebut 100 buah bank, tentu kita akan kewalahan dalam mengurutkan. Maka dapat dilakukan dengan pendekatan faktorial, Apabila bank berjumlah tiga maka cara menurutkan nama bank: 3! = 3 x 2 x 1 = 6
B. PERMUTASI
Digunakan untuk mengetahui sejumlah kemungkinan susunan (arrangement ) jika terdapat satu kelompok objek. Pada permutasi ini kita berkepentingan dengan susunan atau urutan dari objek, permutasi dirumuskan sebagai berikut: n! P n r n r ! dimana : P : Jumlah permutasi atau cara objek disusun n : Jumlah total objek yang disusun r
: Jumlah objek yang digunkan pada saat bersamaan, jumlah r dapat sama dengan n atau lebih kecil
!
: tanda dari faktorial
Contoh:
Dari 20 kelas di Universitas Panca budi, ingin dikelompokkan menjadi beberapa kelompok. Jika satu kelompok terdiri dari 5 kelas, ada berapa susunan kelompok yang dapat dibuat? Jawab
20! 20 19 18 17 16 15! 1.860.480 P5 20 20 5 ! 15!
15
C. KOMBINASI
Kombinasi digunakan apabila kita tertarik pada berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memerhatikan urutannya. Misalnya ada 10 bank dan kita hanya akan mengambil 3 bank, maka ada beberapa kombinasi bank yang dapat diambil tanpa memerhatikan urutan atau susunannya. Dirumuskan sebagai berikut: n! C n r r! n r ! Contoh:
Ada 5 orang siswa mendaftar sebagai pembawa acara dalam suatu kegiatan hiburan. Pihak penyelengara hanya akan memilih 2 orang yang dapat dijadikan pasangan. Ada berapa kombinasi pasangan yang dapat dipilih oleh panitia?
5 C2
5! 10 2! 5 2 !
16
CHAPTER 5 Pertemuan 6 KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL Kurva normal bentuk simentris, masing-masing sisi sama
1. Kurva berbentuk genta (= Md= Mo) 2. Kurva berbentuk simetris 3. Kurva normal berbentuk asimptotis 4. Kurva mencapai puncak pada saat X= 17
5. Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri. Distribusi probabilitas dan kurva mempunyai persamaan matematika yang sangat tergantung pada nilai tengah () dan standar deviasi ( ). Distribusi probabilitas dan kurva normal dari suatu variable acak (X) yang nilainya terletak -
sampai
dinyatakan dengan lambang X ~ N(X; , ). Bila X suatu pengubah acak normal dengan nilai tengah , dan standar deviasi , maka persamaan kurva normalnya adalah:
Ν (X;μ, σ)
1 2ππ2
e
1/2 x μ/σ
2 ,untuk X
Jenis-jenis probabilitas Normal
Jenis-jenis probabilitas normal sangat dipengaruhi oleh nilai rata-rata hitung dan standar deviasinya, maka distribusi probabilitas kurva normal diantaranya: a. Distribusi probabilitas dan Kurva Normal dengan
dan
Berbeda.
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 m
Keterangan:
Me s o ku r tic
Pla ty ku r tic
Le p to ku r tic
1. Mesokurtik Kurva normal ini mempunyai = Md dan Mo yang sama , namun berbeda 2. Platykurtik
18
Nilai semakin tinggi dan kurva semakin pendek. Nilai tinggi menunjukkan bahwa nilai data semakin menyebar dari nilai tengahnya () 3. Leptokurtik Nilai semakin rendah dan kurva semakin runcing. Niali rendah ini menunjukkan data semakin mengelompok pada nilai tengahnya (). b. Distribusi probabilitas dan Kurva Normal dengan
Berbeda dab
sama
Bentuk distribusi probabilitas dan kurva normal dengan berbeda dan sama mempunyai jarak antara kurva yang berbeda, namun bentuk kurva tetap sama. Gambar diatas menunjukan nilai rata-rata berbeda dengan standar deviasi yang sama. Pada contoh dapat dilihat mangga dikelompokkan menjadi mutu ”A” dengan berat rata-rata 450
gram,
mutu
”B”
dengan
300
gram
dan
mutu
”C”
dengan
150
gram. c. Distribusi Probabilitas dan Kurva normal dengan
Berbeda dan
berbeda
Kurva dengan berbeda dan berbeda mempunyai titik pusat yang berbeda pada sumbu mendatar dan bentuk kurva berbeda karena mempunyai standar deviasi yang berbeda. Kurva seperti ini relatif sering terjadi karena antara populasi terdapat perbedaan atau setiap populasi juga mempunyai keragaamn yang berbeda.
19
d. Distribuís probabilitas Normal Baku
Distribuís normal baku adalah distribusi probabilitas acak normal dengan nilai tengah nol dan simpangan baku 1. Beberapa hal yang perlu dilakukan dalam rangka distribusi probabilitas normal baku adalah mengubah atau membakukan distribusi aktual dalam bentuk distribusi normal baku yang dikenal dengan nilai Z atau skor Z. Rumus niali Z adalah:
Ζ
X μ σ
dimana: Z = skor Z atau nilai normal baku X = Nilai dari statu pengamatan atau pengukuran
= Nilai rata-rata hitung suatu distribusi = standar deviasi suatu distribusi e. Luas dibawah Kurva Normal
Kurva normal juga mengikuti hukum empirik. Untuk distribusi simetris, dengan distribusi frekuensi berbentuk lonceng seperti kurva normal diperkirakan 68,26% data akan berada pada kisaran rata-rata hitung ditambah dua kali standar devíasi, (X 1 ), (X 2) dan semua data atau 99,74 % akan berada pada kisaran rata-rata hitung ditambah tiga kali standar deviasi, (X 3).
20
68,26% 95,44% 99,74%
3
2
=x
1
Z=0
+1
+2
+3
+1
+2
+3
•
Luas antara nilai Z (-1
•
Berapa luas antara Z antara 0 dan sampai Z = 0,76 atau biasa dituis P(0
•
Dapat dicari dari tabel luas di bawah kurva normal. Nilainya dihasilkan = 0,2764
f. Pendekatan Normal Terhadap Binomial
Pada distribusi probabilitas binomial, dengan semakin besarnya nilai n, maka semakin mendekati nilai distribusi normal.
0 .6 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1 0 0
1
r
0
1
2
3
r
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
r
Apabila kita perhatikan suatu distribusi probabilitas binomial, dengan semakin besarnya nilai n, maka semakin mendekati nilai distribusi normal. Gambar berikut menunjukkan distribusi probabilitas binomial dengan n yang semakin membesar. Pada saat n = 20 terlihat bahwa distribusi probabilitas binomial mendekati distribusi probabilitas normal yaitu kurva berbentuk lonceng, memiliki puncak tunggal dan simetris. Dalil pendekatan normal terhadap binomial. Bila nilai X adalah distribusi acak binomial dengan nilai tengah =np dan standar deviasi =npq, maka nilai Z untuk distribusi normal adalah:
21
Ζ
di mana n
X np npq
dan nilai p mendekati 0,5
g. Faktor Koreksi Kontinuitas
Untuk mengubah pendekatan dari binomial ke normal (menurut Lind 2002) diperlukan faktor koreksi selain syarat binomial terpenuhi yaitu: a. hanya terdapat dua peristiwa b. peristiwa bersifat independen c. besar probabilitas sukses dan gagal sama setiap percobaan d. data merupakan hasil perhitungan apabila telah memenuhi syarat binomial, maka kita menggunakan faktor koreksi yang besarnya 0,5. Faktor koreksi ini diperlukan untuk mentransformasi dari binomial menuju normal yang merupakan variabel acak kontinu. Contoh: Sudan merupakan pedagang buah di pusat pasar Medan. Setiap hari membeli 300 kg jeruk. Probabilitas buah laku dijual adalah 80% dan 20% tidak laku atau busuk. Berapa probabilitas buah sebanyak 250 kg laku dan tidak busuk? Jawab: n = 300; probabilitas laku p = 0,8 dan q = 0,2
= np = 300 x 0,80 = 240 = npq = 6,93 diketahu X = 250, dikurang factor koreksi 0,5 sehingga X = 250 – 0,5 = 249,5 dengan demikian nilai Z menjadi; Z = (249,5 – 240)/6,93 = 1,37 dan P(Z < 1,37) = 0,4147 22
Jadi probabilitas lkau hádala = 0,5 + 0,4147 = 0,9147 Jadi harapan buah laku 250 kg hádala 91,47%
23
CHAPTER 6 Pertemuan 7 DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET
Untuk mempermudah mengetahui probabilitas banyak kejadian atau percobaan dapat dilakukan dengan bantuan distribusi probabilitas. Dimana distribusi probabilitas memberikan keseluruhan kemungkinan nilai yang mungkin muncul atau terjadi dari sebuah kejadian atau percobaan. A. Pengertian Distribusi Probabilitas
Distribusi probabilitas menunjukan hasil yang diharapkan terjadi dari suatu kegiatan dengan nilai probabilitas masing-masing hasil tersebut. Distribusi probabilitas
adalah sebuah daftar dari keseluruhan hasil suatu
percobaan kejadian yang disertai dengan nilai probabilitas masing-masing hasil (event ). Contoh:
Ada tiga orang mahasiswa yang akan memilih mata kuliah pada semester genap tahun 2007/2008. Mata kuliah tersebut adalah Stasistika (STK) dan matematika (MTK). Ketiga mahasiswa tersebut bebas memilih mata kuliah mana yang akan diikuti, bisa memilih STK semua, STK dan MTK atau MTK semua. Berikut adalah kemungkinan dari ketiga pilihan mahasiswa tersebut Kemungkinan pilihan 1 2 3 4 5 6 7 8
A STK STK STK STK MTK MTK MTK MTK
mahasiswa B STK STK MTK MTK STK STK MTK MTK
C STK MTK STK MTK STK MTK STK MTK
Jumlah pilihan STK 3 2 2 1 2 1 1 0
dari tabel dapat dilihat kemungkinan mahasiswa tidak memilih STK sama sekali ada satu kejadian, mahasiswa hanya satu yang memilih STK ada3 kejadian, mahasiswa ada 24
2 orang yang memilih STK ada 3 kejadian. Mahasiswa ada 3 orang yang memilih STK ada 1 kejadian. Dari ke 8 kejadian tersebut kita dapat menyusun distribusi probabilitas sebagai berikut: Distribusi probabilitas Jumlah STK di Jumlah Total pilih mahasiswa frekuensi kemungkinan Hasil P(r) 0 1 8 1/8 0,125 1 3 8 3/8 0,375 2 3 8 3/8 0,375 3 1 8 1/8 0,125 Jumlah Atoatal Distribusi Probabilitas 1,000 Dari tabel distribusi probabilitas kita dapat dengan mudah menentukan berapa probabilitas ketiga mahasiswa akan memilih mata kuliah Statistik yaitu 0,125. Dalam bentuk grafik poligon dapat digambarkan sebagai berikut:
Grafik Distribusi Probabilitas Pilihan Mahasiswa
0,375
0,4
0,375
0,3 0,2
0,125
0,125
0,1 0
0
1
2
3
Jumlah Pilihan
B. Variabel Acak/Random
a. Variabel Acak Variabel acak didefenisikan sebagai sebuah ukuran atau besaran yang merupakan hasil suatu percobaan atau kejadian yang terjadi secara acak atau untung-untungan dan mempunyai nilai yang berbeda-beda Contoh: Petani menimbang berat setiap semangka yang telah dipanen. Dari lima semangka beratnya berturut-turut 3.56; 3.80; 2.79; 3.60 dan
4.05 kg. Maka penimbangan
berat adalah percobaan acak dan nilai berat setiap semangka adalah variabel acak. b. variabel acak diskret
25
variabel acak diskret merupakan hasil dari percobaan yang bersifat acak dan mempunyai nilai tertentu yang terpisah dalam suatu interval. Variabel acak diskret ini biasanya berupa bilang bulat dan berasal dari hasil perhitungan. Contoh: jumlah mahasiswa 800 orang, jumlah buah jeruk 20 buah, jumlah telur 300 butir dan sebagainya c. variabel acak kontinu variabel acak kontinu mempunyai nilai yang menempati pada seluruh interval hasil percobaan, biasanya dihasilkan dari hasil pengukuran dan bukan penjumlahan. Semua nilai yang dihasilkan dari kegiatan pengukuran baik bulat maupun pecahan merupakan variabel acak kontinu. Contoh: pada buah semangka jumlah buah semangka 10 buah adalah variabel acah diskret, tapi berat semangka misalnya 3,56 kg ini merupakan variabel acak kontinu C. Rata-rata hitung, Varians, dan Standar deviasi a. Nilai Rata-rata Hitung
Nilai rata-rata hitung merupakan nilai harapan ( expected
value)
yang
dilambangkan E(x) Rumus nilai rata-rata hitung:
= E(x) = ∑ (X). P(X) dimana:
: Nilai rata-rata hitung distribusi pobabilitas
E(x)
: Nilai harapan ( expected value )
X
: Kejadian
P(X)
: Probabilitas suatu kejadian
∑
: Lambang operasi penjumlahan
b. Varians dan Standar deviasi
Varian dan standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yaitu mengukur seberapa besar data menyebar dari nilai tengahnya. Semakin kecil sebaran data, maka semakin baik, karena menunjukkan data mengelompok pada nilai rata-rata hitung. Varian dan standar deviasi dirumuskan sebagai berikut
26
Varians σ 2 X μ2 .PX
StandarDeviasi σ σ 2 Dimana:
2
: Varians
: Standar deviasi
X
: Nilai suatu kejadian
: Nilai rata-rata hitung distribusi probabilitas
P(X) : Probabilitas suatu kejadian X ∑
: Lambang operasi penjumlahan
Contoh:
Hitunglah nilai rata-rata hitung, Standar deviasi dan Varian pada kasus pilihan tiga mahasiswa pada mata kuliah Statistika pada contoh terdahulu? Penyelesaian: X 0 1 2 3
P(X) 0,125 0,375 0,375 0,125
X.P(X) 0,000 0,375 0,750 0,375
X- - 1,500 - 0,500 0,500 1,500
1,500
2
(X - )2 2,250 0,250 0,250 2,250
(X - )2 P(X) 0,281 0,094 0,094 0,281 0,750
Dari data diatas dapat dilihat bahwa:
Rata-rata hitung adalah sebesar 1,500 menunjukan bahwa ada 1,5 mahasiswa yang mengambil mata kuliah Statistika. Namun karena orang tidak dalam bentuk pecahan, maka bisa didekatkan pada 1 atau 2 orang.
Varians = 2 = 0,75, maka standar deviasi = = 2 = 0.75 = 0,87. Ini menunjukan bahwa standar penyimpangan data dari nilai tengahnya adalah 0,87.
D. Distribusi Probabilitas Binomial
Ini menggambarkan data yang dihasilkan oleh suatu percobaan yang dinamakan Bernoulli. 27
Ciri-ciri Percobaan Bernouli:
•
Setiap percobaan menghasilkan dua kejadian: (a) kelahiran anak: laki-laki-perempuan; (b) transaksi saham: jual- beli, (c) perkembangan suku bunga: naik–turun dan lain-lain.
•
Probabilitas suatu kejadian untuk suskes atau gagal adalah tetap untuk setiap kejadian. P(p), peluang sukses, P(q) peluang gagal, dan P(p) + P(q)= 1.
•
Suatu percobaan dengan percobaan bersifat bebas.
•
Data yang dihasilkan adalah data perhitungan.
Pembentukan Distribusí Binomial
Hal yang diperlukan dalam membentuk distribusí binomial: a. banyaknya atau jumlah dari percobaan atau kegiatan b. Probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal Dapat dinyatakan sebagai berikut:
Pr
n! pr . qnr r! n r !
Dimana: P (r) : Nilai probabilitas binomial P
: Probabilitas sukses suatu kejadian dalam setiap percobaan
r
: Banyaknya peristiwa sukses suatu kejadian untuk keseluruhan percobaan
n
: Jumlah total percobaan
q
: Probabilitas gagal suatu kejadian yang diperoleh dari q = 1 – p 28
!
: Lambang faktorial
Contoh: PT Sari Buah Lestari mengirim buah-buah segar setiap harinya kepada sebuah swalaya terkenal di kota Medan. Dengan jaminan kualitas buah yang segar, 80% buah yang dikirim lolos seleksi oleh swalayan tersebut. PT Sari Buah Lestari mengirim 10 buah Melon setiap harinya Permintaan: a. Berapa probabilitas 10 buah diterima b. Berapa probabilitas 8 buah diterima c. Berapa probabilitas 7 buah diterima Penyelesaian: a. probabilitas 100 buah diterima semua n = 10
p = 0,8
r = 10
q = 0,2
n! pr . qnr r! n r ! 10! Pr 0,810 . 0,21010 10! 10 10! 10! Pr 0,810 . 0,21 10! 0 ! Pr 1. 0,107374 . 0,2 Pr 0,021475 Pr
Distribusi probabilitas Hipergeometrik
•
Dalam distribusi binomial diasumsikan bahwa peluang suatu kejadian tetap atau konstan atau antar-kejadian saling lepas.
•
Dalam dunia nyata, jarang terjadi hal demikian. Suatu kejadian sering terjadi tanpa pemulihan dan nilai setiap kejadian adalah berbeda atau tidak konstan.
29
•
Distribusi dengan tanpa pemulihan dan probabilitas berbeda adalah Distribusi Hipergeometrik.
Pada kasus dimana terjadi percobaan tanpa pengembalian pada populasi yang terbatas, dan jumlah sampel terhadap polpulasinya lebih 5%, distribusi hipergeometrik lebih tepat digunakan. Distribusi hipergeometrik dinyatakan sebagai berikut: C C s r N s n r Pr N Cn Dimana: P (r) : Nilai probabilitas hipergeometrik dengan kejadian r sukses N
: Jumlah populasi
s
: Jumlah suskses dalam populasi
r
: Jumlah suskses yang menjadi perhatian
n
: Jumlah sampel dari populasi
C
: Simbol kombinasi
Distribusi Probabilitas Poisson
•
Dikembangkan oleh Simon Poisson
•
Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan baik, namun untuk n di atas 50 dan nilai P(p) sangat kecil akan sulit mendapatkan nilai binomialnya.
•
Rumus: μx e μ PΧ Χ!
dimana P(X) : Nilai probabilitas distribusi poisson 30
e X P !
: Rata-rata hitung dari jumlah nilai sukses; dimana = n.p : Bilangan konstsan = 2,71828 : Jumlah nilai sukses : probabilitas sukses suatu kejadian : Lambang faktorial
31
CHAPTER 7 Pertemuan 9 TEORI KEPUTUSAN Setiap hari kita harus mengambil keputusan, baik keputusan yang sederhana maupun keputusan jangka panjang. Untuk membantu dalam pengambilan keputusan, ilmu statistika telah mengembangkan cabang statistika baru yaitu teori keputusan statistika. Ilmu ini berkembang sejak tahun 1950-an yang sebenarnya telah dipelopori sejak abad ke-18 oleh pendeta Thomas Bayes. Contoh:
Keputusan yang diambil suatu perusahaan: • Barang dan jasa apa yang akan diproduksi, • Metode apa yang dipakai untuk memproduksi, • Untuk siapa barang dan jasa di produksi, • Bagaimana strategi pemasaran dan promosinya, • Apakah perusahaan membutuhkan tenaga pemasaran, • dan lain-lain. 1. Elemen-elemen Keputusan • Kepastian (certainty ): informasi untuk pengambilan keputusan tersedia dan valid.
•
Risiko (risk ): informasi untuk pengambilan keputusan tidak sempurna, dan ada probabilitas atas suatu kejadian.
•
Ketidakpastian (uncertainty ): suatu keputusan dengan kondisi informasi tidak sempurna dan probabilitas suatu kejadian tidak ada.
•
Konflik (conflict ): keputusan di mana terdapat lebih dari dua kepentingan.
Setiap keputusan dalam atatistika mempunyai tiga elemen atau ko mponen penting 1. Pilihan atau alternatif yang terjadi bagi setiap keputusan. 2. States of nature yaitu peristiwa atau kejadian yang tidak dapat dihindari atau dikendalikan oleh pengambil keputusan. 3. Hasil atau payoff dari setiap keputusan. Hubungan elemen keputusan menurut Lind (2002)
32
Peristiwa
Ketidakpastian berkenaan dengan kondisi mendatang. Pengambil keputusan tidak mempunyai kendali terhadap kondisi mendatang.
Tindakan
Dua atau lebih alternatif dihadapi pengambil keputusan. Pengambil keputusan harus mengevaluasi alternatif dan memilih alternatif dengan kriteria tertentu.
Hasil / Payoff
Laba, impas (break even ), rugi
2. Keputusan dalam Keadaan Beresiko
Pengambilan keputusan dalam keadaan berisiko berarti bahwa terdapat informasi Namur tidak sempurna, dan ada probabilitas terhadap statu kejadian. Ada beberapa langkah yang diperlukan dalam pengambilan keputusan berisiko yaitu: 1. Mengidentifikasi berbagai macam alternatif yang ada dan layak bagi suatu keputusan. 2. Menduga probabilitas terhadap setiap alternatif yang ada. 3. Menyusun hasil/payoff untuk semua alternatif yang ada 4. Mengambil keputusan berdasarkan hasil yang baik
Contoh: H. Ibrahim merupakan petani modern, dan menginvestasi sebagain keuntungan untuk membeli saham. Pada tahun 2007 ia berinvestasi sebesar Rp. 10.000.000,-. Ada tiga saham perusahaan yang sedang dipelajari yaitu saham LPBN, saham Mega dan Saham BBCA. Berikut hasil atau payoff dari ketiga saham tersebut: Kondisi baik Kondisi Buruk Kode Juml Peru Harga ah Devid Devid Total Total sa saham saha en/ en/ deviden deviden haan m lbr lbr LPB 9.000 1.111 400 444.44 250 277.77 N 4 8 MEG 18.500 541 2.000 1.081.0 300 162.16 A 81 2 BBC 30.000 333 4.463 1.487.6 185 61.667 A 67 Beberapa metode dalam statistika yang digunakan untuk pengambilan keputusan dalam keadaan berisiko: A. Nilai yang diharapkan ( Expected Value) EV = Payoff x Probabilitas Suatu Kejadian 33
SAHAM BAIK P= BURUK Perhitungan EV 0,5 P = 0,5 LPBN 444.444 277.778 (444.444 x 0,5) + (277.778 x 0,5) MEGA 1.081.081 162.162 BBCA 1.487.667 61.667
Nilai EV 361.111
Nilai EV yang terbesar merupakan keputusan yang terbaik. Dari EV tersebut, maka keputusan investasi H. Ibrahim adalah membeli saham BBCA B. Expected Opportunity Loss • Metode lain dalam mengambil keputusan selain EV • EOL mempunyai prinsip meminimumkan kerugian karena pemilihan bukan
keputusan terbaik. • Hasil yang terbaik dari setiap kejadian diberikan nilai 0, sedangkan untuk hasil yang lain adalah selisih antara nilai terbaik dengan nilai hasil pada peristiwa tersebut. EOL = Opportunity Loss x Probabilitas Suatu Peristiwa
SAHAM OL BAIK OL P= 0,5 BURUK Perhitungan EV P = 0,5 LPBN 1.043.223 0 (1.043.223 x 0,5) + (0 x 0,5) MEGA 406.586 115.616 BBCA 0 216.111
Nilai EV 521.612
Nilai OL untuk alternatif terbaik adalah nol, maka kondisi baik adalah BBCA = 0 dan kondisi terburuk LPBN = 0. nilai OL terendah adalah untuk BBCA maka dapat direkomendasikan untuk dibeli oleh investor. C. Ecpected value of Perfect Information
Hasil yang diharapkan dalam informasi sempurna merupakan perbedaan antara hasil maksimum dalam kondisi kepastian dan hasil maksimum dalam kondisi ketidak pastian • Setiap keputusan tidak harus tetap setiap saat. Keputusan dapat berubah untuk mengambil kesempatan yang terbaik. • Pada kasus harga saham, pada kondisi baik, saham BBCA adalah pilihan terbaik, namun pada kondisi buruk, maka saham MEGA lebih baik. • Apabila hanya membeli saham BBCA maka EV = 1.487.667 x 0,5 + 61.667 x 0,5 = 774.667 • Apabila keputusan berubah dengan adanya informasi yang sempurna dengan membeli harga saham BBCA dan MEGA EVif = 1.487.667 x 0,5 + 277.778 x 0,5 = 822.723 34
Nilai EVif lebih tinggi dari EV dengan selisih: = 822.723 -774.667 = 108.056. Nilai ini mencerminkan harga dari sebuah informasi. • Nilai informasi ini menunjukkan bahwa informasi yang tepat itu berharga -- dan menjadi peluang pekerjaan -- seperti pialang, analis pasar modal, dan lain-lain. •
D. Pengambilan Keputusan dalam Kondisi Ketidakpastian
Keputusan dalam ketidakpastian menunjukkan tidak adanya informasi yang sempurna, juga tidak adanya probabilitas atau informasi tentang probabilitas suatu kejadian. Ada beberapa kriteria yang telah dikembangkan dalam pengambilan keputusan untuk kondisi ketidakpastian: 1. Kriteria Laplace Probabilitas semua kejadian diasumsikan sama, dan hasil perkalian antara hasil dengan probabilitas yang tertinggi tertinggi adalah keputusan terbaik. 2. Kriteria Maximin Keputusan didasarkan pada kondisi pesimis atau mencari Nilai maksimum pada kondisi pesimis (lakukan yang terbaik dalam situasi terburuk) 3. Kriteria Maximax Keputusan didasarkan pada kondisi optimis dan mencari nilai maksimumnya. 4. Kriteria Hurwicz Keputusan didasarkan pada perkalian hasil dan koefisien optimisme. Koefisien ini nilainya antara 0 sampai 1. nilai 0 untuk kondisi yang sangat pesimis dan nilai 1 untuk kondisi yang sangat optimis. Koefisien ini merupakan perpaduan antara optimis dan pesimis. Alternatif yang terbaik adalah nilai yang tertinggi dari hasil perkalian antara hasil atau payoff dengan koefisien optimisme. 5. Kriteria (Minimax) Regret
Keputusan didasarkan pada nilai regret minimum. Nilai regret diperoleh dari nilai OL (opportunity Loss ) pada setiap kondisi dan dipilih yang maksimum. Alternatif keputusan yang diambil adalah nilai regret yang minimum. Contoh Berikut adalah deviden yang dibagikan oleh tiga perusahaan yang ada di BEJ yaitu LPBN, MEGA dan BBCA. Deviden dibedakan dalam krisis, normal dan Boom. Perusahaan LPBN MEGA BBCA
Kondisi Perekonomian Boom Normal Krisis 1.180 488 250 2.000 1.356 300 4.463 1.666 185
a. Kriteria Laplace 1. EV (LPBN) = 1/3 X 1.180 + 1/3 X 488 + 1/3 X 250 = 639 2. EV (MEGA) = 1/3 X 2.000 + 1/3 X 1.356 + 1/3 X 300 = 1.219 3. EV (BBCA) = 1/3 X 4.463 + 1/3 x 1.666 + 1/3 x 185 = 2.015 Berdasarkan kriteria Laplace, keputusan terbaik adalah membeli saham BBCA.
35
b. Kriteria Maximim Berdasarkan kriteria Maximin, alternatif yang memberikan nilai maksimum pada kondisi terburuk adalah MEGA. Maka keputusan terbaik adalah membeli saham MEGA. c. Kriteria maximax Berdasarkan kriteria Maximax, alternatif yang memberikan nilai maksimum pada kondisi terbaik adalah BBCA. Maka keputusan terbaik adalah membeli saham BBCA. d. Kriteria Hurwicz • Menggunakan koefisien optimisme (a) dan koefisien pesimisme (1- a). •
Koefisien ini anda dapat diperoleh melalui hasil penelitian atau pendekatan relatif dari data tertentu.
Contoh:
Koefisien optimisme didasarkan pada probabilitas terjadinya kondisi boom dibandingkan dengan kondisi krisis. Berdasarkan data diperoleh koefisien optimisme sebesar 0,63 sehingga koefisien pesimisme adalah 1 – 0,63 = 0,37. Emiten
Boom
Krisis
Perhitungan
EV
LPBN
1.180
250
(1.180x0.63) + (250x0.37)
836
MEGA
2.000
300
(2.000x0.63) + (300x0.37)
1.371
BBCA
4.463
185
(4.463x0.63) + (185x0.37)
2.880
Berdasarkan nilai EV, maka keputusan yang terbaik adalah membeli saham BBCA yaitu yang memiliki nilai EV tertinggi. e. Kriteria minimax regret • Langkah pertama adalah mencari nilai OL. • Langkah kedua adalah memilih nilai maksimum dari nilai OL setiap keadaan. • Nilai OL yang minimum adalah keputusan yang terbaik. Perusahaan LPBN MEGA BBCA
Kondisi Perekonomian Boom Normal Krisis 3.283 1.178 50 2.463 310 0 0 0 115
Perusahaan LPBN MEGA
Nilai Regret Maksimum 3.283 2.463 36
BBCA
115
Berdasarkan kriteria minimax regret, keputusan yang terbaik adalah membeli saham BBCA yaitu yang memiliki nilai regret terendah. E. Analisis Pohon Keputusan
Pohon keputusan berguna untuk menyusun bebrapa alternatif dengan hasil bersyarat (conditional payoff ), keputusan yang terbaik adalah dengan nilai EV yang tertinggi. Keputusan
EV 836 (1)
Membeli Saham LPBN
2.880
1.371 (2) Membeli Saham MEGA
Probabilitas Probabilitas Ekonomi Boom (0,63) Probabilitas Ekonomi Krisis (0,37)
payoff 1.180
250
Probabilitas Ekonomi Boom (0,63)
2.000
Probabilitas Ekonomi Krisis (0,37)
300
Probabilitas Ekonomi Boom (0,63)
4.463
2.880 (3) Membeli Saham BBCA
Probabilitas Ekonomi Krisis (0,37)
185
37
CHAPTER 8 Pertemuan 10 METODE DAN DISTRIBUSI SAMPLING Populasi dan sampel merupakan aspek penting dalam mempelajari statistika induktif. Populasi adalah kumpulan dari semua kemungkinan orang-orang, benda-benda
dan ukuran lain yang menjadi objek perhatian atau kumpulan seluruh objek yang menjadi perhatian. Sampel adalah suatu bagian dari populasi tertentu yang menjadi perhatian.
Hubungan populasi dan sample dapat digambarkan sebagai berikut:
Populasi
Sampel
Populasi dapat dikelompokkan menjadi dua, yaitu: a. Populasi terbatas (finite) yaitu populasi yang ukurannya terbatas berukuran N. contoh: semua bank yang ada misalnya 138 Bank. b. Polpulasi tidak terbatas (infinite) yaitu populasi yang mengalami proses secara terus menerus sehinga usuran N menjadi tidak terbatas perubahan nilainya. Contohnya Pelanggan jamu Sidomuncul. Sampel dapat dibedakan menjadi dua yaitu:
Sampel probabilitas
Merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari populasi sehingga masing-masing anggota populasi memiliki probabilitas atau peluang yang sama untuk dijadikan sampel.
Sampel nonprobabilitas
Merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari populasi sehingga setiap anggota tidak memiliki probabilitas atau peluang yang sama untuk dijadikan sampel.
38
A. Metode penarikan sample Metode Penarikan Sampel
Sampel Nonprobabilitas ( Nonprobabil Nonprobabil ity Sampling )
Sampel Probabilitas ( Probability Sampling )
1.Penarikan sampel acak sederhana ( imple random sampling) 2. Penarikan sampel acak terstruktur (stratified random sampling ) 3. Penarikan sampel cluster ( cluster (cluster sampling )
1.Penarikan sampel sistematis (systematic (systematic sampling) 2. Penarikan sampel kuota (kuota (kuota sampling ) 3. Penarikan sampel purposive sampel purposive ( purposive sampling )
1. Penarikan Sampel Acak Sederhana
Merupakan pengambilan sampel dari populasi secara acak tanpa memperhatikan strata yang ada dalam populasi dan setiap anggota populasi memiliki kesempatan yang sama untuk dijadikan sampel. Ada dua cara pengambilan sampel acak sederhana: 1. Sistem Kocokan
Sistem sampel acak sederhana dengan cara sama sistem arisan. 2. Menggunakan tabel acak
Memilih sampel dengan menggunakan suatu tabel. Dalam penggunaannya ditentukan terlebih dahulu titik awal ( starting point ). ). 2. Penarikan sampel acak terstruktur :
Penarikan sampel acak terstruktur dilakukan dengan membagi anggota populasi dalam beberapa sub kelompok k elompok yang disebut strata, lalu suatu sampel dipilih dari masing-masing stratum.
Populasi terstrata
Populasi tidak berstrata
Contoh menentukan jumlah stratum setiap kelompok Stratum
Kelompok
Juml Jumlah ah anggota
1
Bulat
1
Per Persen sentase ase dari total
Jumlah sam sampel pel per stratum
4
0 (0,04 x 10)
39
Dari table diatas terlihat bahwa jumlah sample setiap stratumnya didasarkan pada jumlah proporsi persentsae setiap stratum terhadap terhadap jumlah totalnya. 3. Penarikan sample Cluster ( cluster sampling )
Penarikan cluster adalah teknik memilih sampel dari kelompok unit-unit kecil ( cluster ) dari sebuah populasi yang relatif besar dan tersebar luas. Anggota dalam setiap cluster bersifat tidak homogen berbeda dengan penarikan p enarikan sampel terstruktur.
Sampel Terstruktur
Sampel Cluster
Pemilihan sampel pada metode ini adalah dengan metode acak sederhana, dengan harapan akan mengurangi biaya penarikan sampel populasi yang tersebar pada area geografis yang terlalu besar.
4. Penarikan sampel secara sistematis ( systematic Random Sampling ) Sampling )
Penarikan dikatakan sampel sistematis apabila setiap unsur atau anggota dalam populasi disusun dengan cara tertentu-Secara alfabetis, dari besar kecil atau sebaliknya-kemudian dipilih titik awal secara acak lalu setiap anggota ke K dari populasi dipilih sebagai sampel. 40
Sebagai contoh apabila akan dipilih 5 perusahaan reksadana, maka perusahaan mana yang akan menjadi sampel dengan menggunakan metode sistematis, beberapa langkah yang harus dilakukan adalah: a. memberikan nomor urutan misalnya dari aset terbesar sampai terkecil atau sebaliknya b. jumlah populasi misalnya 59, dan jumlah jumlah sampel 5, maka jarak jarak antara sampel adalah 12 c. nomor sampel adalah 1, 13, 25, 37, dan 49 (setiap sampel berjarak berjarak secara sistematis yaitu 12)
5. penarikan sampel Kuota ( Kuota sampling )
Penarikan sampel kuota adalah pengambilan sampel dari populasi yang mempunyai ciri-ciri tertentu sampai jumlah atau kuota yang diinginkan. Tujuan penarikan sampel kuota adalah untuk memperbaiki keterwakilan seluruh komponen dalam populasi. Sebagai contoh apabila akan dilakukan penelitian terhadap tingkat kehadiran mahasiswa yang mengambil matakuliah statistika dari populasi 150 orang ditentukan kuota 20 orang. Kalau pengumpulan data belum mencapai 20 orang maka penelitian belum dianggap selesai. 6. penarikan sampel purposive ( purposi ( purposive ve sampling sampling ) purposive adalah penarikan sampel dengan pertimbangan tertentu. Penarikan sampel purposive Pertimbangan tersebut berdasarkan pada kepentingan atau tujuan penelitian. Penarikan sampel dengan purposive ada dua cara: a. convenience sampling yaitu penarikan sampel berdasarkan keinginan peneliti sesuai dengan tujuan penelitian. b. Judment sampling yaitu penarikan sampel berdasarkan penilaian terhadap karakteristik anggota sampel yang disesuaikan dengan tujuan penelitian. B. Kesalahan penarikan sampel ( sampling error )
Merupakan perbedaan antara nilai statistik sampel dengan nilai parameter dari populasi. Dalam pemilihan sampel, dimana jumlah sampel adalah sebagian dari populasi, mungkin akan terdapat perbedaan antara rata-rata hitung dan standar deviasi sampel terhadap rata-rata hitung dan standar deviasi populasi. Perbedaan nilai statistik ini yang dikenal dengan kesalahan penarikan sampel (sampling error ). ). Dengan menggunakan sampel bisa ditemukan kesalahan penarikan sampel pada saat hasil sampel tersebut digunakan untuk menduga parameter suatu populasi. Untuk menentukan tingkat keyakinan akan hasil menggunakan sampel untuk menduga parameter dapat dipahami dengan mentusun mentusun distribusi sampel (sampling distribution ) dan rata-rata hitung sampel ( sampel means). C. Distribusi Sampel rata-rata dan proporsi 41
Distribusi sampel dari rata-rata hitung sampel dan populasi adalah suatu distribusi probabilitas yang terdiri dari seluruh kemungkinan rata-rata hitung sampel dari suatu ukuran sampel tertentu yang dipilih dari populasi, dan probabilitas terjadinya dihubungkan dengan setiap rata-rata hitung sampel. a. Distribusi sampel rata-rata dan porposi menpunyai nilai hitung rat-rata:
1
x
C Nn
p
1 C Nn
p
b. Distribusi sampel rata-rata dan porposi mempunyai standar deviasi Sx
1
C Nn
X x
2
S p
p p 2 C Nn
c. Hubungan antara standar deviasi sampel x dan porposi pada kondisi sampel terbatas Sx
n
N n
Sp
N 1
P1 P n
x
N n N 1
d. Hubungan standar deviasi sampel x dan porposi pada kondisi sampel tidak terbatas Sx
Sp
n
P1 P n
d. Distribusi sampel rata-rata dan porposi merupakan distribusi normal, sehingga dapat diketahui nilai Znya yaitu x
Z
Z
s
p P s p
D. Distribusi Sampel Selisih rata-rata dan proporsi
Distribusi sampel selisih apabila terdapat dua atau lebih populasi yang diambil sebagai sampel a. Distribusi sampel selisih rata-rata 1. Nilai rata-rata X
x1 x 2
x 1 x 2 1 2
2. Nilai standar deviasi S
x1 x 2
S
2 x1
3. Nilai Z Z
x
1
x
2
S
2 x2
1
S 2x1 n1
S 2x 2 n2
2
S x1 x 2
42
b. Distribusi sampel selisih proporsi 1. Nilai rata-rata P
p1 p 2
P1 P2 P1 P2
2. Nilai standar deviasi S
2 2 S p1 S p 2 p1 p 2
P1 1 P1 n1
P2 1 P2 n2
3. Nilai Z Z
p1 p 2 P1 P2 S p1 p 2
. E. Faktor Koreksi untuk populasi terbatas
Faktor koreksi adalah usaha untuk memperbaiki hasil dugaan parameter dan diterapkan jika rasio n/N lebih besar dari 0,05. faktor koreksi terhadap standar deviasi dirumuskan sebagai berikut Sx
N n n N 1
sedang untuk standar deviasi proporsi S p
p (1 p) N n n
N 1
43
CHAPTER 9 Pertemuan 11 HIPOTESA A. Hipotesa
Hipotesa adalah suatu pernyataan mengenai nilai suatu parameter populasi yang dimaksudkan untuk pengujian dan berguna untuk pengambilan keputusan. Hipotesa sebenarnya disusun berdasarkan data, akan tetapi karena data tersebut dihasilkan dari sample yang mempunyai probabilitas, sehingga hasilnya bisa saja benar dan mungkin saja salah. Oleh sebab itu sebuah hipotesa sebelum menjadi keputusan haruslah diuji terlebih dahulu dengan menggunakan data observasi. Menurut Nasir (1988) hipotesa yang baik mempunyai cirri-ciri: a. menyatakan hubungan b. sesuai dengan fakta c. sederhana dan dapat diuji d. dapat menerangkan fakta dengan baik B. Pengujian Hipotesa
Pengujian hipotesa adalah prosedur yang didasarkan pada bukti sampel yang dipakai untuk menentukan apakah hipotesa merupakan suatu pernyataan yang wajar dan oleh karenanya tidak ditolak, atau hipotesa tersebut tidak wajar dan oleh karena itu harus ditolak. C. Prosedur Pengujian Hipotesa Langkah 1. Merumuskan Hipotesa (Hipotesa nol (H 0) dan Hipotesa Alternatif (H 1))
Langkah 2. Menentukan Taraf Nyata (Probabilitas menolak hipotesa)
Langkah 3. Menentukan Uji statistik 2 (Alat uji statistik, uji Z, t, F, X dan lain-lain)
Langkah 4. Menentukan Daerah Keputusan (Daerah di mana hipotesa nol diterima atau ditolak))
Langkah 5. Mengambil Keputusan
Menolak H 0
Menolak H 0 Menerima H1
44
Langkah 1 Merumuskan Hipotesa
Perumusan hipotesa dikembangkan oleh Fisher yang dikenal sebagai Bapak Ststistik, yang membedakan hipotesa menjadi nol dan hipotesa alternative. Hipotesa nol (Ho) Satu pernyataan mengenai nilai parameter populasi Hipotesa alternative (H1) Suatu pernyataan yang diterima jika data sampel memberikan cukup bukti bahwa hipotesa nol adalah salah Contoh: 1. Rata-rata hasil investasi reksadana sama dengan 13,17%, maka Ho : = 13,17% H1 : 13,17% 2. rata-rata IPK mahasiswa diatas 3 Ho : IPK > 3 H1 : IPK < 3 Langkah 2. menentukan taraf nyata
Taraf nyata adalah Probabilitas menolak hipotesa nol apabila hipotesa nol tersebut adalah benar. Taraf nyata adalah nilai kritis yang digunakan sebagai dasar untuk menerima atau menolak hipotesa nol. Taraf nyata dilambangkan dengan α, dimana α = 1 – C. C adalah tingakat keyakinan, apabila C = 0,95 maka taraf nyata 0,05. semakain tinggi tingkat keyakinan maka semakin kecil taraf nyata. Kebiasaan yang sering digunakan untuk pertanian dan ekonomi adalah taraf nyata 5% atau tingkat keyakinan 95%. Langkah 3. menentukan Uji Statistik
Suatu nilai yang diperoleh dari sampel dan digunakan untuk memutuskan apakah akan menerima atau menolak hipotesa. Pada bagain ini akan dibahas uji Z, yang diperoleh dari rumus berikut: Ζ
Χ μ σΧ
dim ana :
Nilai Z X Rata rata hitung sampel Rata rata hitung populasi Sx
s tan dar error sampel S x /
n
Langkah 4. Menentukan daerah Keputusan
45
Daerah Keputusan Uji Satu Arah
Daerah penolakan Ho Daerah tidak menolak Ho Skala z 1,65 Probabilitas 0,95 Probabilitas
Daerah Keputusan Uji Dua Arah
Daerah penolakan Ho
Daerah penolakan Ho
0,025 -1,95
Daerah tidak menolak Ho 0,95 0
0,025 1,95
Pengujian satu arah
Adalah daerah penolakan Ho hanya satu yaitu terletak di ekor sebelah kanan saja atau ekor sebelah kiri saja. Karena hanya satu daerah penolakan berarti luas daerah penolakan tersebut sebesar taraf nyata yaitu a, dan untuk nilai kritisnya biasa ditulis dengan Za. Sedangkan pengujian dua arah
Adalah daerah penolakan Ho ada dua daerah yaitu terletak di ekor sebelah kanan dan kiri. Karena mempunyai dua daerah, maka masing-masing daerah mempunyai luas ½ dari taraf nyata yang dilambangkan dengan ½a, dan nilai kritisnya biasa dilambangkan dengan Z ½a. Langkah 5. mengambil Keputusan
Keputusan ditentukan dengan melihat nilai Z, apabila terletak pada daerah yang menerima Ho maka hipotesa dapat diterima atau sebaliknya apabila nilai Z tidak terletak pada daerah yang meneriam Ho maka hipotesa ditolak
CONTOH MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA SAMPEL BESAR
Perusahaan reksadana menyatakan bahwa hasil investasinya rata-rata mencapai 13,17%. Untuk menguji apakah pernyataan tersebut benar, maka lembaga konsultan CESS mengadakan penelitian pada 36 perusahaan reksadana dan didapatkan hasil 46
bahwa rata-rata hasil investasi adalah 11,39% dan standar deviasinya 2,09%. Ujilah apakah pernyataan perusahaan reksadana tersebut benar dengan taraf nyata 5%.
Langkah 1 Merumuskan hipotesa. Hipotesa yang menyatakan bahwa rata-rata hasil investasi sama dengan 13,17%. Ini merupakan hipotesa nol, dan hipotesa alternatifnya adalah rata-rata hasil investasi tidak sama dengan 13,17%. Hipotesa tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut: H0 : m = 13,17%. H1 : m ¹ 13,17%.
Langkah 2 Menentukan taraf nyata. Taraf nyata sudah ditentukan sebesar 5%, apabila tidak ada ketentuan dapat digunakan taraf nyata lain. Taraf nyata 5% menunjukkan probabilitas menolak hipotesa yang benar 5%, sedang probabilitas menerima hipotesa yang benar 95%. Nilai kritis Z dapat diperoleh dengan cara mengetahui probabilitas daerah keputusan H0 yaitu Z/2 = /2 – 0,5/2 = 0,025 dan nilai kritis Z dari tabel normal adalah 1,96.
Langkah 3 Melakukan uji statistik dengan menggunakan rumus Z. Dari soal diketahui bahwa rata-rata populasi = 13,17%, rata-rata sampel 11,39% dan standar deviasi 2,09%. Mengingat bahwa standar deviasi populasi tidak diketahui maka diduga dengan standar deviasi sampel, dan standar error sampel adalah sx = s/n sehingga nilai Z adalah
Langkah 4 Menentukan daerah keputusan dengan nilai kritis Z=1,96
47
Daerah penolakan H0
Daerah penolakan H0
0,95 0,025
0,025 Z=-5,11
-1,96
1,96
Langkah 5 Mengambil Keputusan. Nilai uji Z ternyata terletak pada daerah menolak H0. Nilai uji Z = –5,11 terletak disebelah kiri –1,96. Oleh sebab itu dapat disimpulkan bahwa menolak H0, dan menerima H1, sehingga pernyataan bahwa hasil rata-rata investasi sama dengan 13,17% tidak memiliki bukti yang cukup kuat.
CONTOH UJI SIGNIFIKANSI MENGGUNAKAN TANDA LEBIH BESAR DAN LEBIH KECIL (Satu Arah)
1.
Ujilah beda rata-rata populasi, misalkan hipotesanya adalah rata-rata hasil investasi lebih kecil dari 13,17%. Maka perumusan hipotesanya menjadi: H0 : m £ 13,17 H1 : m > 13,17 Untuk tanda £ pada H0 menunjukkan daerah penerimaan H0, sedang tanda > pada H1 menunjukkan daerah penolakan di sebelah ekor kanan seperti Gambar A.
2.
Ujilah beda selisih dua rata-rata populasi, misalkan hipotesanya adalah selisih dua rata-rata populasi lebih besar sama dengan 0. H0 : mpa– mpl ³ 0 H1 : mpa– mpl < 0 Untuk tanda ³ pada H0 menunjukkan daerah penerimaan H0, sedang tanda < pada H1 menunjukkan daerah penolakan di sebelah ekor kiri seperti Gambar B.
48
Daerah penolakan H0
Daerah penolakan H0
Tidak menolak H0
Tidak menolak H0
1,65
Gambar A H0 : x 13,17 H1 : x > 13,17
1,65
Gambar B H0 : pa – pl 0 H1 : pa – pl < 0
49
CHAPTER 10 Pertemuan 12 MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA SAMPEL BESAR CONTOH PENGUJIAN DUA ARAH
1. Ujilah nilai rata-rata sama dengan 13,17%. Maka hipotesanya dirumuskan sebagai berikut: H0 : m = 13,17%. H1 : m ¹ 13,17%. 2. Ujilah nilai koefisien untuk b sama dengan 0. Maka hipotesanya dirumuskan sebagai berikut: H0 : b = 0 H1 : b ¹ 0.
0,5
Daerah penolakan H0
Daerah penolakan H0
Tidak menolak H 0
0,4750
-1,96
0,95
1,96
MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA DAN PROPORSI SAMPLE BESAR
Ada Tiga hal yang terkait dengan pengujian hipotesa rata-rata dan porposi sample besar yaitu: a. Proses pengujian hipotesa, dimana pengujiannya tetap mengikuti 5 langkah b. Yang diuji dalam hal ini adalah rata-rata populasi dan proporsi dari populasi c. Sample besar. Sample besar adalh sample yang berjumlah 30 atau lebih. Dengan menggunakan sample besar diharapkan akan mendekati distribusi normal sehingga dapat digunakan nilai dan uji Z. CONTOH MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA SAMPEL BESAR
Perusahaan reksadana menyatakan bahwa hasil investasinya rata-rata mencapai 13,17%. Untuk menguji apakah pernyataan tersebut benar, maka lembaga konsultan 50
CESS mengadakan penelitian pada 36 perusahaan reksadana dan didapatkan hasil bahwa rata-rata hasil investasi adalah 11,39% dan standar deviasinya 2,09%. Ujilah apakah pernyataan perusahaan reksadana tersebut benar dengan taraf nyata 5%. Langkah 1
Merumuskan hipotesa. Hipotesa yang menyatakan bahwa rata-rata hasil investasi sama dengan 13,17%. Ini merupakan hipotesa nol, dan hipotesa alternatifnya adalah rata-rata hasil investasi tidak sama dengan 13,17%. Hipotesa tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut: H0 : m = 13,17%. H1 : m ¹ 13,17%. Langkah 2
Menentukan taraf nyata. Taraf nyata sudah ditentukan sebesar 5%, apabila tidak ada ketentuan dapat digunakan taraf nyata lain. Taraf nyata 5% menunjukkan probabilitas menolak hipotesa yang benar 5%, sedang probabilitas menerima hipotesa yang benar 95%. Nilai kritis Z dapat diperoleh dengan cara mengetahui probabilitas daerah keputusan H0 yaitu Za/2 = a/2 – 0,5/2 = 0,025 dan nilai kritis Z dari tabel normal adalah 1,96. Langkah 3
Melakukan uji statistik dengan menggunakan rumus Z. Dari soal diketahui bahwa ratarata populasi = 13,17%, rata-rata sampel 11,39% dan standar deviasi 2,09%. Mengingat bahwa standar deviasi populasi tidak diketahui maka diduga dengan standar deviasi sampel, dan standar error sampel adalah sx = s/Ön sehingga nilai Z adalah
X
Sx
X S/ n
11,39 13,17 2,09 / 36
5,11
Langkah 4
Menentukan daerah keputusan dengan nilai kritis Z=1,96
Daerah penolakan H0
Daerah penolakan H0 Tidak menolak H0
0,025 Z=-5,11
-1,96
0,95
0,025 1,96
51
Langkah 5
Mengambil Keputusan. Nilai uji Z ternyata terletak pada daerah menolak H0. Nilai uji Z = –5,11 terletak disebelah kiri –1,96. Oleh sebab itu dapat disimpulkan bahwa menolak H0, dan menerima H1, sehingga pernyataan bahwa hasil rata-rata investasi sama dengan 13,17% tidak memiliki bukti yang cukup kuat. MENGUJI HIPOTESA PROPORSI SAMPEL BESAR
Rumus uji Z untuk proporsi adalah
p P P (1 P) n
dimana: Z = Nilai uji Z p = Proporsi sampel P = Proporsi populasi N = jumlah sampel MENGUJI HIPOTESA SELISIH RATA-RATA SAMPEL BESAR
Distribusi sampling dari selisih rata-rata proporsi memiliki distribusi normal dan mempunyai standar deviasi sebagai berikut:
12 22 X1 X 2 n1
n2
Di mana: x1-x2 : Standar deviasi selisih dua populasi 1 : Standar deviasi populasi 1 2 : Standar deviasi populasi 2 n1 : Jumlah sampel pada populasi 1 n2 :Jumlah sampel pada populasi 2 sedangkan untuk rumus Z adalah sebagai berikut: Z
Z
x
1
x
2
1
2
S x1 x 2
: Nilai uji statistik 52
x1 -x 2 1 - 2 S x1-x2
: Selisih dua rata-rata hitung sampel 1 dan sampel 2 : Selisih dua rata-rata hitung populasi 1 dan populasi 2 : Standar deviasi selisih dua populasi
standar deviasi selisih dua sampel adalah: S X1 X 2
s12 n1
s 22 n2
Di mana:
S x1-x2 s1 s2 n1 n2
: Standar deviasi selisih dua populasi : Standar deviasi populasi 1 : Standar deviasi populasi 2 : Jumlah sampel pada populasi 1 :Jumlah sampel pada populasi 2
MENGUJI HIPOTESA SELISIH PROPORSI SAMPEL BESAR
Untuk standar deviasi proporsi populasi dirumuskan sebagai berikut: S p1 p 2
p1 (1 p1 ) n1
p 2 (1 p 2 ) n2
sedangkan nilai uji Z dirumuskan sebagai berikut: Z
p1 p 2 P1 P2 S p1 p 2
standar deviasi selisih dua sampel S p1 p 2
p (1 p)
n 1 1
p
(1 p n 2 1
)
53
CHAPTER 11 Pertemuan 1 PENGUJIAN HIPOTESA SAMPEL KECIL Pada sampel kecil yaitu kasus dimana jumlah sampel kurang dari 30, maka nilai standar deviasi (s) berfluktuasi relatif besar, sehingga nilai uji Z tidak bersifat normal. Oleh karena itu, untuk sebaran distribusi sampel kecil dikembangkan suatu distribusi khusus yang dikenal sebagai distribusi t atau t-student. Nilai distribusi t dinyatakan sebagai berikut
t
X s/ n
dimana: t = Nilai distribusi t = nilai rata-rata populasi x = nilai rata-rata sampel s = standar deviasi sampel n = jumlah sampel
CIRI-CIRI DISTRIBUSI t-STUDENT a. Distribusi t-student seperti distribusi Z merupakan sebuah distribusi kontinu, di
mana nilainya dapat menempati semua titik pengamatan. b. Distribusi t-student seperti distribusi Z berbentuk genta atau lonceng dan simetris dengan nilai rata-rata sama dengan 0. c. Distribusi t-student bukan merupakan satu kurva seperti kurva Z, tetapi keluarga dari distribusi t. Setiap distribusi t mempunyai rata-rata hitung sama dengan nol, tetapi dengan standar deviasi yang berbeda-beda, sesuai dengan besarnya sampel (n). Ada distribusi t untuk sampel berukuran 2, yang b erbeda dengan distribusi untuk sampel sebanyak 15, 25 dan sebagainya. Apabila sampel semakin besar maka distribusi t akan mendekati normal. Tahap menguji rata-rata hitung populasi dalam sampel kecil:
(a) Merumuskan hipotesa nol dan hipotesa alternatif (H0 dan H1), (b) Menentukan taraf nyata apakah 1%, 5% atau pada taraf lainnya serta mengetahui titik kritis berdasarkan pada tabel t-student , (c) Menentukan uji statistik dengan menggunakan rumus uji-t, 54
(d) menentukan daerah keputusan yaitu daerah tidak menolak H0 dan daerah menolak H0, dan (e) Mengambil keputusan untuk menolak dan menerima dengan membandingkan nilai kritis taraf nyata dengan nilai uji-t. CIRI DISTRIBUSI F
1. Distribusi F lebih mirip dengan distribusi t, yaitu mempunyai “keluarga” distribusi F. df(29,28) df(20,7) df(5,5)
Pada gambar di atas terlihat bahwa distribusi dengan derajat bebas pembilang 5 dan penyebut 5 yang ditulis df(5,5) mempunyai distribusi F yang berbeda dengan distribusi df(20,7) dan df(29,28). 2. Distribusi F tidak pernah mempunyai nilai negatif sebagaimana pada distribusi Z. Distribusi Z mempunyai nilai positif di sisi kanan dan negatif sisi kiri nilai tengahnya. Distribusi F seluruhnya adalah positif atau menjulur ke positif ( positively skewed ) dan merupakan distribusi kontinu yang menempati seluruh titik di kurva distribusinya. 3. Nilai distribusi F mempunyai rentang dari tidak terhingga sampai 0. Apabila nilai F meningkat, maka distribusi F mendekati sumbu X, namun tidak pernah menyentuh sumbu X tersebut. 4. Distribusi F juga memerlukan syarat yaitu: (a) populasi yang diteliti mempunyai distribusi yang normal, (b) populasi mempunyai standar deviasi yang sama, dan (c) sampel yang ditarik dari populasi bersifat bebas serta diambil secara acak.
55
CHAPTER 12 Pertemuan 15 UJI CHI-KUADRAT A. Statistika nonparametrik:
Statistik yang tidak memerlukan pembuatan asumsi tentang bentuk distribusi atau bebas distribusi, sehingga tidak memerlukan asumsi terhadap populasi yang akan diuji Kapan kita dapat menggunakan statistik nonparametrik? 1. Apabila ukuran sampel sedemikian kecil sehingga distribusi sampel atau populasi tidak mendekati normal, dan tidak ada asumsi yang dapat dibuat tentang bentuk distribusi populasi yang menjadi sumber populasi. 2. Apabila hasil pengukuran menggunakan data ordinal atau data berperingkat. Data ordinal hanya menyatakan lebih baik, lebih buruk atau sedang atau bentuk ukuran lainnya. Data ini sama sekali tidak menyatakan ukuran perbedaan. 3. Apabila hasil pengukuran menggunakan data nominal. Data nominal hanya merupakan “kode” dan tidak mempunyai implikasi atau konsekuensi apa-apa. Jenis kelamin diberikan kode “laki-laki” dan “perempuan”, pengkodean tersebut tidak berimplikasi lebih rendah atau lebih tinggi, hanya sekadar kode. B. Chi Kuadrat untuk Uji Goodness of Fit
Uji goodness of fit dikembangkan oleh Karl Pearson pada tahun 1900 dan ada yang menyebutnya dengan uji keselarasan. Rumus yang dikembangkan oleh Pearson adalah:
2
(fo fe) 2 fe
dimana: X 2 = nilai chi-Kuadrat fo = Frekuensi yang diperoleh fe = frekuensi yang diharapkan distribusi Chi-kuadrat berbeda dengan distribusi t dan F. Distribusi t dan F mempunyai distribusi probabilitas tunggal. Distribusi Chi-kuadrat merupakan suatu keluarga dari kurva bermacam distribusi yang bentuknya ditentukan oleh derajat bebasnya (df), dimana df tergantung dari jumlah sampel (n) dan jumlah variabel (k), df = n-k. Semakin besar nilai n maka distribusi chi-kuadrat akan mendekati kurva normal. Pada gambar dapat dilihat semakin banyak jumlah sampel maka kurva semakin mendekati normal.
56
0,35 0,3 s a t i l i b a b o r P
0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 -0,05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Nilai Chi-Kuadrat
df=3
df =5
df =10
df =38
C. Uji Keselarasan (Goodness of Fit)
Uji keselarasan adalah untuk menguji seberapa tepatkah frekuensi yang teramati (observed frequencies, fo) cocok atau sesuai dengan frekuensi yang diharapkan (expected frequencies, fe). Uji keselarasan dimaksudkan apakah ada kecocokan atau kesesuaian antara harapan dengan kenyataan.pada uji ini ada dua hal penting a) frekuensi yang diharapkan sama, apabila setiap data pengamatan nilai frekuensi yang diharapkan sama b) frekuensi yang diharapkan tidak sama D. Uji keselarasan dengan Frekuensi Harapan sama
Hasil perdagangan saham pada minggu pertama 2004 adalah sebagai berikut:
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Perusahaan Prosentase Perubahan Harga Aneka Tambang 4 Asahimas Flat Glass 10 Astra Agro Lestari 56 Astra Otoparts -3 Bank Danamon 3 Berlian Laju Tangker 29 Berlina -3 Bimantara 9 Dankos 10 Darya Varia 7
57
Untuk melakukan pengujian memerlukan beberapa tahapan atau langkah yaitu: 1. Menentukan hipotesa
Hipotesa yang disusun adalah hipotesa nol (H0) dan hipotesa alternatif (H1). Hipotesa nol, H0, menyatakan bahwa tidak ada perbedaan antara nilai atau frekuensi observasi atau teramati dengan nilai atau frekuensi harapan. Sedangkan hipotesa alternatif, H1, menyatakan bahwa ada perbedaan antara nilai atau frekuensi teramati dengan nilai atau frekuensi yang diharapkan. Hipotesa selanjutnya dinyatakan sebagai berikut: H0 : fo = fe H1 : fo fe 2. Menentukan Taraf Nyata dan Nilai Kritis
Untuk kasus ini, nilai n adalah kategori atau sampel yaitu 10, sedang k adalah variabel, dimana k= 1, jadi derajat bebasnya adalah df= 10 - 1= 9. Setelah menemukan nilai df dan taraf nyata, maka dapat dicari nilai kritis chi-kuadrat dengan menggunakan tabel chi-kuadrat sebagai berikut:
Df
s a b b e b t a j a r e d
1 2 3
Taraf Nyata 0,1 0,05 0.02 0.01 2.706 3.841 5.412 6.635 4.605 5.991 7.824 9.210 6.251 7.815 9.837 11.345
… 7 12.017 14.067 16.622 18.475 8 13.362 15.507 18.168 20.090 9 14.684 16.919 19.679 21.666 …. 29 39.087 42.557 46.693 49.588 30 40.256 43.773 47.962 50.892
3. Uji Statistik Chi-kuadrat fo
4 10 (x 2 ) 56 -3 3 29 -3
fe
13 (f 0 13fe) 2 fe 13 13 13 13 13
(fo – fe)
(fo-fe)2
(fo-fe)2/fe
-9 -3 43 -16 -10 16 -16
83.8 9.8 1820.7 261.6 106.8 242.5 258.5
6.4 0.8 140.1 20.1 8.2 18.7 19.9 58
9 10 7
13 13 13
-4 -3 -6
19.8 10.5 40.1
X2= X (fo-fe)2/fe
1.5 0.8 3.1 219.5
4. Menentukan Daerah Keputusan
Terima Ho
Tolak Ho
X kritis= 16,919
X hitung=219,5
Skala X
5. Menentukan Keputusan
Langkah kelima adalah menentukan keputusan. Berdasarkan aturan pada langkah ke-4, diketahui nilai chi-kuadrat hitung adalah 219,5 dan nilai chi-kuadrat kritis 16,919 berarti nilai chi-kuadrat hitung > dari chi kuadrat kritis. Dengan demikian Ho ditolak dan H1 diterima. Jadi terdapat cukup bukti untuk menolak Ho, sehingga antara kenyataan yang terjadi dengan harapan dari analisis adalah tidak sama. E. Uji Chi-Kuadrat untuk uji Kenormalan Beberapa tahapan untuk uji kenormalitasan: 1. Membuat distribusi frekuensi, sebagaimana dikemukakan dalam bab 2, buku jilid 1. 2. Menentukan nilai rata-rata hitung dan standar deviasi dengan menggunakan data berkelompok, sebagaimana dikemukakan pada bab 3 dan 4, buku jilid 1. 3. Menentukan nilai Z dari setiap kelas, dimana Z = (X - )/ 4. Menentukan probabilitas setiap kelas dengan menggunakan nilai Z. 5. Menentukan nilai harapan dengan mengalikan nilai probabilitas dengan jumlah data. 6. Menentukan pengujian chi-kuadrat untuk menentukan apakah suatu distribusi bersifat normal atau tidak.
F. Uji chi-kuadrat untuk uji Independensi
Langkah-langkah yang harus dilakukan: 1. Menyusun hipotesa. Hipotesa Ho biasanya menyatakan tidak ada hubungan antara dua variabel, sedangkan H1 menyatakan ada hubungan antara dua variabel. 59
2. Mengetahui nilai 2 kritis dengan taraf nyata dan derajat bebas df=(r - 1) x (c - 1) 3. Menentukan frekuensi harapan (fe) dimana fe untuk setiap sel dirumuskan Fe
Jumlah menurut baris x Jumlah menurut kolom
2
Jumlah tot al
4. Menentukan nilai X dengan rumus (X ) 2
(fo fe) 2 fe
5. Menentukan daerah kritis yaitu daerah penerimaan Ho dan penolakan Ho 6. Menentukan keputusan apakah menerima Ho atau menolak Ho. Contoh Soal:
Ada keyakinan bahwa apabila IPK tinggi. maka akan mendapatkan penghasilan tinggi. Berdasarkan keyakinan tersebut. Nani dari CESS tahun 2003 melakukan penelitian terhadap 751 sarjana dari berbagai PT yang bekerja disektor perbankan di Jakarta. Berikut adalah hasilnya: IPK >3.5 2.753.5 <2.75
<0.8 22 67 124 213
Tingkat Penghasilan (jutaan) 0,8-1.5 1,5-3,5 31 31 80 73 161 272
122 226
Total >3.5 8 17
92 237
15 40
422 751
Dari data tersebut. apakah keyakinan adanya hubungan antara IPK dengan tingkat penghasilan dapat dibenarkan? fo 22 67 127 31 80 161 31 73 122 8 17 15
fe 26 67 120 33 86 153 28 71 127 5 13 22 2 2 = (fo - fe) /fe
(fo-fe) /fe 0,64 0,00 0,45 0,16 0,40 0,44 0,40 0,04 0,20 1,96 1,52 2,49 8,68
1. Hipotesa. Ho: tidak ada hubungan antara acara tingkat penghasilan dengan IPK. H1 ada hubungan antara tingkat penghasilan dengan IPK. 2. Menentukan nilai kritis. df= (c - 1)(r - 1)= (3 - 1)(4 - 1) = 6 dengan taraf nyata 5% adalah 12.596 60
