1 KONS KONSEP EP DAS DASAR AR PRO PROBA BABI BILI LIT TAS Tujuan Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa diharapkan mampu : Mendefinisikan terminologi- terminologi penting dalam probabilitas dan menjelaskan bagaimana probabilitas kejadian sederhana ditentukan. Memahami dan menjelaskan konsep-konsep mengenai kejadian-kejadian bersyarat, bebas dan mutually exclusive. exclusive. Menggunakan dengan benar dan tepat aturan perkalian dan penjumlahan dalam melakukan perhitungan probabilitas. Memahami dan menggunakan analisis kombinatorial untuk kejadian kompleks : permutasi dan kombinasi.
Pokok Bahasan : 1. 2. !. '.
Kons Konsep ep dan dan Defi Defini nisi si Dasa Dasar r Prob Probab abil ilit itas as Peri Perist sti iaa Maje Majem muk "eknik knik #num #numer eras asii $ pen% pen%a% a%ah ahan an & (oal-soal )atihan
1.1 1.1 Konse onsep p Das Dasar ar #ksperimen Probabilitas $ probab $ probability ility experiment & (egala kegiatan dimana suatu hasil*keluaran$outcome hasil*keluaran$ outcome&, &, tanggapan$response tanggapan$response&& ataupun ukuran $measurement $measurement & diperoleh. +uang (ampel $ sample $ sample space & impunan yang memuat seluruh kemungkinan hasil, tanggapan ataupun ukuran dari eksperimen. Peristia*kejadian $ event & & (egala himpunan bagian dari hasil, tanggapan ataupun ukuran dalam ruang sampel.
Contoh 1.1 da ! buah sekering yang akan kita periksa kondisinya $ baik atau putus& satu-persatu se%ara berurutan. +uang sampel pada eksperimen probabilitas pemeriksaan sekering tersebut adalah ( / 000, 00P, 0P0, P00, 0PP, P0P, PP0, PPP ika adalah peristia dimana diperoleh satu buah sekering yang rusak maka / 00P, 0P0, P00 , untuk memudahkan pengertian diatas dapat diilustrasikan dengan bantuan diagram 3en 3enn n sbb,
S A
4ambar 1.1 Diagram Diagra m 3en 3en Probabilitas
1.2 1.2 Defi Defini nisi si Pro Proba babi bili lita tas s Probabilitas adalah sebuah bilangan yang terletak antara 5 dan 1 yang berkaitan dengan suatu peristia*kejadian $ e6ent & tertentu. ika peristia itu pasti terjadi maka probabilitas peristia tersebut adalah 1, namun jika peristia itu mustahil terjadi maka probabilitas peristia tersebut adalah 5. da ! definisi probabilitas yang biasa digunakan, yaitu Definisi Klasik ika sebuah peristia dapat terjadi dengan f %ara dari sejumlah total 7 %ara yang mutually e8%lusif dan memiliki kesempatan yang sama untuk terjadi, maka probabilitas terjadinya peristia yang dinotasikan dengan P$& adalah P$-&
=
f 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
, sedangkan probabilitas tidak terjadinya peristia peris tia atau komplemen $ kegagalan & dinyatakan dengan
( ) = P( 9 ) = P( − ) = 7 − f = 1 − P( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)
P
7
ontoh 1.2.1 Dalam satu set kartu bridge yang terdiri dari ;2 kartu terdapat ' kartu s, maka probabilitas pengambilan satu kartu mendapatkan kartu s adalah P$s& '*;2 1*1! 5,5<< Definisi =rekuensi relatif ika suatu eksperimen dilakukan sebanyak 7 kali $ jumlah banyak sekali mendekati tak terhingga & terjadi ter jadi kejadian sebanyak sebanyak f kali, maka nilai limit dari frekuensi relatif f *7 didefinisikan sebagai probabilitas kejadian atau P$&, dapat ditulis sbb.
P$&
= 7lim →∞
f 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)
, definisi ini yang paling populer dan memungkinkan untuk diterapkan pada masalah-masalah praktis dimana definisi klasik tidak dapat digunakan.
4ambar 1.1 Diagram Diagra m 3en 3en Probabilitas
1.2 1.2 Defi Defini nisi si Pro Proba babi bili lita tas s Probabilitas adalah sebuah bilangan yang terletak antara 5 dan 1 yang berkaitan dengan suatu peristia*kejadian $ e6ent & tertentu. ika peristia itu pasti terjadi maka probabilitas peristia tersebut adalah 1, namun jika peristia itu mustahil terjadi maka probabilitas peristia tersebut adalah 5. da ! definisi probabilitas yang biasa digunakan, yaitu Definisi Klasik ika sebuah peristia dapat terjadi dengan f %ara dari sejumlah total 7 %ara yang mutually e8%lusif dan memiliki kesempatan yang sama untuk terjadi, maka probabilitas terjadinya peristia yang dinotasikan dengan P$& adalah P$-&
=
f 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
, sedangkan probabilitas tidak terjadinya peristia peris tia atau komplemen $ kegagalan & dinyatakan dengan
( ) = P( 9 ) = P( − ) = 7 − f = 1 − P( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)
P
7
ontoh 1.2.1 Dalam satu set kartu bridge yang terdiri dari ;2 kartu terdapat ' kartu s, maka probabilitas pengambilan satu kartu mendapatkan kartu s adalah P$s& '*;2 1*1! 5,5<< Definisi =rekuensi relatif ika suatu eksperimen dilakukan sebanyak 7 kali $ jumlah banyak sekali mendekati tak terhingga & terjadi ter jadi kejadian sebanyak sebanyak f kali, maka nilai limit dari frekuensi relatif f *7 didefinisikan sebagai probabilitas kejadian atau P$&, dapat ditulis sbb.
P$&
= 7lim →∞
f 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)
, definisi ini yang paling populer dan memungkinkan untuk diterapkan pada masalah-masalah praktis dimana definisi klasik tidak dapat digunakan.
ontoh 1.2.2 (eseorang membeli sepeda motor baru merek >?@. Probabilitas mendapatkan motor yang %a%at sulit diketahui jika menggunakan definisi klasik, karena harus diketahui jumlah seluruh populasi produk baru baru >?@ dan jumlah yang %a%at. Dengan memakai definisi frekuensi relatif, P$? % &
= 7lim →∞
f ? % 7
, maka perlu dilakukan
pemeriksaan terhadap sampel motor >?@ sebanyak mungkin menuju tak terhingga banyaknya, namun kajian tersebut biasanya mahal dan kurang efektif $biaya dan aktu& aktu& sehing sehingga ga %ukup %ukup dengan dengan menggu menggunak nakan an sampel sampel yang yang memadai memadai dan dapat dapat diper%aya tetapi %ukup ekonomis untuk menentukan frekuensi relatif tersebut. Definisi (ubyektif $ Antuitif& Definisi probabilitas yang ukurannya berdasarkan >derajat keyakinan@ yang dimiliki oleh seseorang, karena itu sifatnya sangat subyektif dan merupakan definisi yang paling luas digunakan dan diperlukan jika sulit diketahui diketahui besarnya ruang sampel maupun jumlah peristia yang dikajiataupun sulit dilakukan pengambilan sampel dari populasinya. ontoh 1.2.! 1. (uatu (uatu strategi strategi perang perang misalny misalnya, a, ada dua alterna alternatif, tif, menjatu menjatuhka hkan n bom atau atau tidak di daerah musuh. musuh. Dampak Dampak yang yang timbulkan timbulkan jelas akan berbeda, berbeda, karena karena masing-masing alternatif tersebut tidak bisa diuji %oba se%ara eksperimen maka kita harus per%aya pada >penilaian dari ahli $e8pert judgement&@ untuk menentukan probabilitas dari akibat yang akan mun%ul. 2. Dalam suatu suatu turnamen turnamen sepakb sepakbola ola kita kita juga sulit sulit meramalka meramalkan n siapa yang yang akan akan menjadi juara karena interpretasi klasik dan frekuensi tidak akan banyak gunanya, gunanya, penilaian yang yang subyektif subyektif dari pengamat sepakbola sepakbola yang yang handal handal sering kali lebih diperlukan dalam hal ini.
1.3 Probab Probabili ilitas tas Perist Peristiwa iwa Majemu Majemuk k 1.3. 1.3.1 1 Defi Defini nisi si Peris Peristi tia a majem majemuk uk $Compound Compound event & adal adalah ah peris peristi tia a yang meru merupa paka kan n gabu gabung ngan an * kombinasi dua atau lebih peristia sederhana $ simple event &seperti &seperti definisi yang terdahulu.
1.3.2 Probabilitas Bersyarat ( Conditional probability Probabilitas bersyarat adalah probabilitas dari sebuah peristia yang akan terjadi jika sebuah peristia yang lainnya telah terjadi, seperti diilustrasikan pada gambar 1.! berikut.
A
B
B
A ∩ B
4ambar 1.!. +uang sampel probabilitas bersyarat Peristia 0 yang telah terjadi lebih dahulu akan mengubah $mengurangi& besarnya probabilitas peristia yang harus dipertimbangkan. Probabilitas bersyarat peristia akan terjadi jika peristia 0 telah terjadi didefinisikan sebagai :
P - 0
=
(
P -∩0
)
( ) 〉 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4)
P 0
( )
P 0
ontoh 1.!.1 (ebuah perusahaan pembuat P omputer melengkapi produknya dengan program-program siap pakai. umlah produk yang dilengkapi dengan program word processor B5C, dan yang dilengkapi dengan program spreadsheet ada '5C, sedang yang dilengkapi program duaduanya ada !5C. Misalkan seseorang membeli komputer di perusahaan tsb dan komputer telah dilengkapi dengan program spreadsheet , maka probabilitas komputer itu juga dilengkapi dengan wordprocessor adalah probabilitas bersyarat P$0 & dan dapat dihitung sbb. Misal :
adalah komputer yang dilengkapi dengan word processor , 0 adalah komputer yang dilengkapi dengan spreadsheet , maka
P$& 5,B P 0
=
P$0& 5,' dan
P ( ∩ 0 P ( 0)
) = 5,! = 5,<; 5,'
A #,3
P$ ∩ 0 & 5,!
B #,3 #,1
B A ∩ B #,1 #,3
Gambar 1.3.1 uan! sampel probabilitas bers"arat 1.3.3 Peristi!a Salin" Bebas #an Ti#a$ Salin" Bebas (aling 0ebas $ independent & jika terjadinya peristia tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya peristia 0, maka akan berlaku
P$0& P$& dan juga P$0 & P$0& . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5) sebaliknya jika terjadinya peristia mempengaruhi peristia 0 maka peristia tersebut tidak saling bebas $dependent &.
1.3.% Peristi!a &'t'ally E)l'si*e ( Salin" &enia#a$an Peristia dan0 adalah mutually exclusive $disjoint events& jika terjadinya salah satu peristia tersebut dalam sebuah eksperimen probabilitas men%egah terjadinya peristia yang lainnya selama berlangsungnya eksperimen probabilitas yang sama. tau peristia dan 0 tidak mungkin terjadi se%ara bersamaan, dan berlaku P $ dan 0 & P $
A
∩ 0 & 5 artinya juga
P$0& 5 P$0 & 5. . . . . . . (6)
A
B
Mutually Exclusive
B
Tidak Mutually Exclusive
4ambar 1.!. 2 Peristia Mutually #8%lusi6e dan "idak Mutually #8%lusi6e
1.3.+ ,'$'-/'$'- Probabilitas Peristi!a &a0e-'$ 1. ukum Perkalian $ Multiplication Law&
Peristia (aling 0ebas $ Independent Event & ukum perkalian menyatakan baha jika ,0,. . . . . adalah peristia peristia yang saling bebas, maka probabilitas baha seluruh peristia itu terjadi $probabilitas gabungan*joint probability& P $ ∩ 0 ∩ . . . . & adalah produk $perkalian& dari probabilitas masing-masing peristia. P$ dan 0 dan dan . . . .& P $
∩ 0 ∩ . . . .
&
P$& ⋅ P$0& ⋅ P$& . . . . atau se%ara matematis ditulis P(
n i
i ) = P( 1 ∩ 2
n
∩ ...... n −1 ∩ n ) = ∏ P( i ) . . . . . . . . . . (7) i =1
ontoh 1.!.2 Diketahui !5C mesin %u%i buatan pabrik >?@ memerlukan perbaikan selagi masih dalam masa garansi, sementara pada kondisi yang sama15C mesin pengering buatannya memerlukan perbaikan. 0erapakah probabilitas kedua mesin tersebut memerlukan perbaikan selama masih dalam masa garansiE Penyelesaian : peristia mesin %u%i memerlukan perbaikan → P$&5,! K peristia pengering memerlukan perbaikan → P$K&5,1 P$ dan K& P $ ∩ K & P$& ⋅P$K& $5,!&$5,1& 5,5! ontoh 1.!.!
Fntuk menghubungkan sumber listrik di bagian depan sebuah pesaat militer ke peralatan-peralatan yang menggunakan listrik dibagian belakang, digunakan ! buah kabel yang dihubungkan se%ara paralel dengan jalur masing-masing berbeda, melalui rangka pesaat. ika diketahui probabilitas sebuah kabel terputus adalah 5,51 untuk setiap satu jam tempur, berapakah probabilitas putusnya hubungan ke ! kabel dalam satu jam tempurE Penyelesaian : P $ K 1 ∩ K 2 ∩ K ! & P$K 1&⋅P$K 2& ⋅P$K !& $5,51&$5,51&$5,51&15 B
Peristia "idak (aling 0ebas $ Dependent Event & ukum perkalian untuk dua peristia dan 0 yang tidak saling bebas dapat ditulis sbb, P$ dan 0& P$ ∩ 0& P$ 0&⋅P$0& P$0&⋅P$& . . . . . . . . (8) Dengan : P$0& probabilitas bersyarat terjadinya peristia setelah 0 terjadi. P$0& probabilitas bersyarat terjadinya peristia 0 setelah terjadi. ontoh 1.!.' (ebuah kotak berisi 15 kelerang arna merah, 1G kelerang arna hijau dan 22 kelereng arna kuning, ke%uali arna kondisi kelereng ketiganya identik. Kemudian isi kotak diaduk agar merata. (eseorang denganmata tertutup disuruh mengambil sebuah kelerang se%ara a%ak.
0erapa peluang akan terambil kelereng arna merah atau kuningE P$ atau &E Kemudian dari kotak diambil kelereng 2 kali, tiap kali sebuah kelereng dan kelereng yg sudah terambil tidak dikembalikan. ika yg pertama terambil kelereng merah, berapakah peluang mengambil kelereng hijau pada pengambilan yg kedua. P$0&E
aab : Misal terambil kelereng arna merah, 0 terambil kelereng arna hijau, 0 terambil kelereng arna kuning. Ketiga peristia tsb saling ekslusif → P$& 15*$15H1GH22& 15*;5 5,2 P$0& 1G*$15H1GH22& 1G*;5 5,!B P$& 22*$15H1GH22& 22*;5 5,'' P$ atau & P$& H P$& 5,25 H 5.'' 5,B' P$0& 1G*$IH1GH22& 1G*'I ontoh 1.!.; Dari gejala yang ditunjukkan pada komputer yang akan diperbaiki, seorang ahli perangkat keras komputer memastikan baha kerusakan disebabkan oleh hanya salah satu dari empat blok rangkaian pada mainboard n ya. Fntuk itu dia beren%ana memeriksa satu persatu ke ' blok tsb. 0erapakah probabilitas baha
sekurang-kurangnya mekanik tsb harus melakukan pemeriksaan ! blok rangkaian sampai dia dapat menentukan blok rangkaian yang rusak. Penyelesaian : ? / pemeriksaan pertama memperoleh blok tidak rusak J / pemeriksaan kedua memperoleh blok tidak rusak P$?& P$J?& 2*! Pemeriksaan ke ! harus dilakukan setelah pemeriksaan pertama dan kedua mendapatkan blok yang tidak rusak. Dari hukum perkalian didapatkan : P $? dan J& P$?
∩J& H P$J? &⋅P$?& $2*!&$!*'& B*12 5,;
ukum perkalian untuk peristia tidak saling bebas yang ditunjukkan oleh persamaan (8) dapat diperluas untuk peristia majemuk yang terdiri dari beberapa peristia yang terjadi se%ara berturutan, misalnya untuk tiga peritia 1, 2, ! : P$1∩ 2∩ !& P$!1∩2&⋅P$1∩2& P$!1∩2&⋅P$21&⋅P$1& . . . . . . . . . . . . (9) 2. ukum Penjumlahan $ Addition Law& ukum penjumlahan pada probabilitas peristia majemuk dinyatakan sebagai : P$atau0& P$∪0& P$&HP$0&-P$∩0& . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10) Persamaan diatas menunjukkan probabilitas peristia atau peristia 0 atau keduaduanya sama-sama terjadi. dan 0 tidak perlu saling bebas, selama diketahui probabilitas gabungannya P$ ∩ 0&. ika peristia dan 0 adalah mutually exclusive, maka P$ ∩0& 5, sehingga P$atau0& P$∪0& P$& H P$0& . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (11) Persamaan $15& dapat digeneralisasi untuk berapapun jumlah peristia dengan penerapan kembali berlanjut $ %ontinued reappli%ation&, seperti P$ atau 0 atau &
P $ ∪ 0 ∪ & P$& H P$0& H P$& - P$ ∩ 0 & L P $
∩ & L P $ 0 ∩ &
H P $ ∩ 0 ∩ &. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$ 12& ontoh 1.!.; Perhatikan struktur yang di las pada gambar berikut. Kegagalan dari struktur terjadi jika salah satu atau lebih dati ketiga sambungan las tsb putus. ika probabilitas dari putusnya masing-masing sambungan las P$)1& P$)2& P$)!& 5,551 dan diasumsikan sambungan saling bebas, maka $1
%$$3
4ambar 1.!.!. Probabilitas kegagalan pada struktur P$)1 atau )2 atau )!& P$)1∪)2 ∪ )!& P$)1& H P$)2& H P$)!& - P$)1 ∩ )2 & L P $) 1 ∩ )! & L P $) 2 ∩ )! & H P $ )1 ∩ )2 ∩ )! & 5,551H5,551H5,551-$5,551&$5,551&$5,551&$5,551&- $5,551&$5,551& H $5,551&$5,551&$5,551& 5,55! ontoh 1.!.B Tin!kat 3 *T3+ Tin!kat 1 *T1+
(
Tin!kat % *T%+
A
)ulai
Selesai C
&
'
B G
4ambar 1.!.' Probabilitas pada sistem bertingkat (ebuah sistem sembarang seperti yang ditunjuk pada gambar 1.!.' tersusun atas tiga tingkat. (istem ini bekerja dengan baik jika ke ! tingkatnya berjalan dengan baik. Misal seluruh unit dalam setiap tingkat saling bebas dan masing-masing probabilitas diketahui sbb, P$& 5,<
P$0& 5,<
P$=& 5,B
P$4& 5,B
P$& 5,I
P$D& 5,G
P$#& 5,B
adi : P$"1& P$ atau 0& P$ ∪ 0& P$& H P$0& L P$ ∩ 0& P$& H P$0& - P$& P$0& 5,< H 5,< L $5,<&$5,<& 5,I1 P$"2& P$ dan D& P$ ∩ D& P$& ⋅P$D& $5,I&$5,G& 5,<2 P$"!& P$# atau = atau 4& P$# ∪ = ∪ 4& P$#& H P$=& H P$4& L P$#
∩ =& - P$# ∩ 4& - P$= ∩ 4&
H P$#∩=∩4&& P$#& H P$=& H P$4&-P$#& P$=& - P$#& P$4& - P$=&P$4& H P$#& P$=& P$4& 5,B H 5,B H 5,B L $5,B&$5,B& - $5,B&$5,B&- $5,B&$5,B& H $5,B&$5,B&$5,B& 5.I!B Maka diperoleh : P$sistem berjalan& P$"1 dan "2 dan"!& P$"1 ∩ "2 ∩"!& P$"1&⋅P$ "2&⋅P$"!& $5,I1&$5,<2&$5,I!B& 5,B1!
1.3. or-'lasi Bayes Merupakan pengembangan dari probabilitas bersyarat $conditional probability& dan aturan hukum perkalian $multiplication&. ndaikan terdapat sekelompok peristia 0 1, 02, 0!. . . . . 0n yang mutually exclusive dan exhaustive $ menyeluruh&, artinya masing-masing peristia tidak memiliki keluaran $out%ome& yang sama se%ara bersama-sama memuat keseluruhan keluaran didalam ruang sampel. n
Peristia tersebut ditulis se%ara matematis
∑ P( 0 ) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . $ 13& i
i =1
Didalam peristia2 0i tersebut ada sebuah peristia yang ada pada peristia2 0i. Karena peristia 0i bersifat e8hausti6e maka peristia pasti beririsan dengan satu atau lebih peristia 0i. Fntuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi gambar berikut B
1
B
2
A
B
B
3
i
4ambar 1.!.; Alustrasi hubungan peristia Mutually #8%lusi6e dan #8hausti6e dengan peristia lain pada ruang sampel yang sama
A
B
A
1
A
B
3
A
B
i
B
2
4ambar 1.!.B Pengurangan ruang sampel jika sudah terjadi Probabilitas dapat dihitung dengan :
P( )
n
n
= ∑ P( ∩ 0 i ) = ∑ P i =1
0i
⋅ P( 0 i ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$ 14&
i =1
Misalkan n ', maka kalau diilustrasikan dalam gambar diatas terdiri dari ∩01, ∩02, ∩0!, dan ∩0', maka
P( )
n
n
i =1
i =1
= ∑ P( ∩ 0 i ) = ∑ P
0i
⋅ P( 0 i )
P$∩01&H P$∩02&H P$∩0!&H P$∩0'& P$01&⋅P$01&H P$02&⋅P$02&H P$0!&⋅P$0!&H P$0'&⋅P$0'& ika diasumsikan peristia telah terjadi, bagaimana %ara menentukan probabilitas masingmasing peristia 0i juga terjadiE ika telah terjadi maka ruang sampel menjadi berkurang seperti pada gambar 1.!.B, maka
=
P 0i
P( 0 i
∩ )
P( )
=
P( 0 i ) P 0i n
=
P( 0i ) P 0 i n
∑ P( 0 ∩ ) ∑ P( 0 ) P 0 i
j=1
i
. . . . . . . . . . . . . .$ 15& i
j=1
ontoh 1.!.< eather fore%asting information is sent using one of four routes. )et + i denote the e6ent that route i is used for sending a message $ i1,2,!,'&. "he probabilities of using the four routes are 5.1, 5.2, 5.!, and 5.' respe%ti6ely . =urther, it is knon that the probabilities of an error being introdu%ed hile transmitting messages are 5.15, 5.1;, 5.25, and 5.2; for routes 1,2,! and ', respe%ti6ely. Ansending a message an error o%%ured. e no ant to %ompute the probability that route 2 as used for transmission. Af the e6ent of an erroneous message is denote by #, e ha6e the folloing %onditional probbilities P$ #+ 1& 5.1,
P$ #+ 2& 5.1;
P$ #+ !&5.25
P$ #+ '& 5.2;
P( # )
'
= ∑ P( + i )P j=1
# + i 5.1 8 5.15 H 5.2 8 5.1; H 5.!85.25 H 5.'85.2;
5.51 H 5.5! H 5.5B H 5.1 5.2 P + 2 #
=
P( + 2
∩ #)
P( # )
=
P( + 2 ) P # + 2 5.2
=
5.2 8 5.1; 5.2
=
5.5! 5.25
= 5.1;
1.4 Teknik numerasi "ujuannya untuk memudahkan dalam menentukan probabilitas peristia-peristia majemuk yang kompleks. 1. Pohon Probabilitas B1
A1
P*A1+
B% B3
P*B1A1+ P*B%A1+ P*B3A3 +
A %
P*A%+
P*A1 ∩ B1+ P*A1 ∩ B%+ P*A1 ∩ B3+
P*A% ∩ B1+
B1
P*B1A%
B%
+ P*B%A%
P*A% ∩ B%+
B3
+ P*B3A%+
P*A% ∩ B3+
P $1 ∩ 01& P$1&⋅ P $011& P $1 ∩ 02& P$1&⋅ P $021& P $1 ∩ 0!& P$1&⋅ P $0!1& . . . . . dst ontoh 1.'.1 Menurut data penerbangan sistem na6igasi pro%essor pengindra posisi $yang merupakan bagian dari sistem na6igasi suatu pesaat udara& gagal berfungsi sekali dalam setiap dua ratus penerbangan, sehingga perlu diadakan pengujian. asil tes menunjukkan baha saat sistem na6igasi gagal berfungsi, I5C disebabkan kerusakan pro%essor pengidera posisi dan 15C oleh sebab lain.(ementara itu saat sistem na6igasi berfungsi baik, IIC pro%essor pengindra posisi dalam kondisi baik dan hanya 1 C sistem na6igasi tetap berfungsi dengan pro%essor yang rusak. Dengan asumsi, 1 sistem na6igasi gagal berfungsi, 2 sistem na6igasi berfungsi baik, 01 pro%essor rusak, 02 pro%essor baik, maka pohon probabilitas peristia-peristia tsb, dapat digambar sbb.: A1
B1
P*B1A1+#-1##
B%
P*B%A1+1#-1##
B
P*B A +1-1##
P*A1+ 1-%##
P*A +
P*A1∩B1+-%###,##/0
P*A1∩B%+1-%####,###0
P*A%∩B1+1-%#####,##0
ika suatu ketika, dalam sebuah penerbangan, pro%essor utama dalam rangkaian elektronika pengindra posisi rusak, maka probabilitas sistem na6igasi gagal berfungsi → P( 1 ∩ 01 ) P( 1 ∩ 01 ) 5.55'; P 1 01 = = = = 5.!11'2 P( 01 ) P$1 ∩ 01 & + P$ 2 ∩ 01 & 5.55'; + 5.55II; 2. nalisis Kombinatorial Prinsip Dasar ika suatu peristia dapat terjadi dengan salah satu dari n1 %ara berlainan dan apabila masing-masing %ara bisa terjadi dengan n2 %ara yg berlainan pula, maka banyaknya %ara yang mungkin bagi peristia tsb untuk bisa terjadi adalah n 1n2. Permutasi (uatu permutasi dari n obyek yang berbeda dimana pada setiap pemilihan diambil sebanyak >r@ obyek dari >n@ obyek tsb, dengan memperhatikan susunsnnya, didefinisikan sebagai :
n
Pr
= P( n, r ) = Pn, r = Pr n =
nN
( n − r )N dengan, nN n $n-1&$n-2&. . .
Kombinasi (uatu kombinasi dari >n@ obyek yg berbeda dimana pada setiap pemilihan diambil sebanyak >r@ obyek adalah suatu %ara penyusunsn r obyek dari n obyek tsb tanpa memperhatikan susunannya, didefinisikan : n
: r
= :( n, r ) = : n, r = : nr =
nN
rN( n − r )N
ontoh 1.'.2 : 15 buah katup akan digunakan dalam sebuah sistem pemipaan. 7amun diketahui ! diantaranya rusak. Kemudian se%ara a%ak dipilih ! katup dari 15 katup tsb. 0erapa probabilitas baha yg terpilih sekurang-kurangnya 2 katup rusak, maka dapat dihitung sengan %ara sbb. 0anyaknya seluruh %ara memilih ! katup dari 15 katup yg ada $urutan tidak diperhatikan& merupakan ukuran sampel : n$(& = 15 : !
=
15N
!N(15 − !)N
=
15N !N
= 125 %ara
ika : Peristia /terpilih sekurang-kurangnya 2 katup rusakdapat berupa peristia 0 /terpilih ! katup dan 5 katup baik atau /terpilih 2 katup rusak 1 katup baik Maka : 0anyaknya %ara memilih ! katup rusak dan 5 katup baik yang artinya memilih ! katup dari ! katup yg rusak dan 5 katup dari < katup yg baik merupakan banyaknya peristia 0 :
n$0& = ( ! : ! )( < : 5 )
0anyaknya %ara memilih 2 katup rusak dan 1 katup baik yang artinya memilih 2 katup dari ! katup yg rusak dan 1 katup dari < katup yg baik merupakan banyaknya peristia : n$:&
(ehingga probabilitas yg terpilih sekurang-kurangnya 2 katup rusak adalah :
= P$0 ∪ :& = P$0& + P$:& − P$0 ∩ :& → P$0 ∩ :& = 5 $mutually e8%lusi6e& P$-& = P$0 ∪ :& = P$0& + P$:& P$-&
=
n$0& n$(&
+
n$:& n$(&
=
1 125
+
21 125
=
22 125
=
11 B5
2 DISTRIBSI PROBABILITAS "ujuan Pembelajaran (etelah mempelajari bab ini, mahasisa diharapkan mampu : Mengidentifikasi dan membedakan 6ariabel a%ak diskrit dan kontinyu.. Memahami dan menggunakan konsep-konsep distribusi probabilitas diskrit, fungsi probabilitas, dan fungsi distribusi kumulatif 6ariabel diskrit. Memahami dan menggunakan konsep-konsep distribusi probabilitas kontinyu, fungsi kepadatan probabilitas, dan fungsi distribusi kumulatif 6ariabel kontinyu. Memahami dan menggunakan distribusi probabilitas dengan parameter. Memahami dan menggunakan konsep nilai harapan $ harapan matematik &. Pokok 0ahasan : 1. 2. !. '.
3ariabel %ak Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi Probabilitas Kontinyu 7ilai arapan $ arapan matematik&
;.
(oal-soal )atihan
2.1 !"#$"%& "C"K
simbol '
dalah 6ariabel yang memiliki sebuah nilai tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas.
(SP(4)(5 P6BAB4$4TAS
($7AA5
54$A4 57)(4 *an!ka-bilan!an+ CACA8A5-84T75GA5 8AS4$ P(5G77A5
)ihat %ontoh 1.1 Pemeriksaan pada ! buah sekering yang akan kita lihat kondisinya $ baik atau putus& satu persatu se%ara berurutan. +uang sampel pada eksperimen probabilitas pemeriksaan sekering tersebut adalah ( / 000, 00P, 0P0, P00, 0PP, P0P, PP0, PPP 0ila kita hanya tertarik pada jumlah sekering yang baik, maka nilai numerik 5,1,2 dan ! dapat diberikan pada setiap titik sampel → bilangan 5,1,2 dan ! merupakan besaran a%ak yang nilainya ditentukan oleh hasil per%obaan. ( / 5, 1, 2, ! 3ariabel a%ak : suatu fungsi yg nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel.
da 2 ma%am 6ariabel a%ak : 3ariabel a%ak diskrit : 6ariabel a%ak yang memiliki nilai yang dapat di%a%ah $%ountable& 3ariabel a%ak kontinyu: 6ariabel a%ak yang memiliki nilai yang tak dapat di%a%ah$%ountable&
2.2 DISTRIBSI PROBABILITAS DISKRIT 2.2.1 'n"si Probabilitas P$? 8& p$8& dengan syarat :
→ probabilitas ? menyandang nilai 8 a. 5 O p$8& O 1 b. ∑ p$8& 1
ontoh : #ksperimen melempar sepasang dadu, maka hasil yang mungkin : 1,1 1,2 1,! 1,' 1,; 2,1 2,2 2,! 2,' 2,; !,1 !,2 !,! !,' !,; ',1 ',2 ',! ',' ',; ;,1 ;,2 ;,! ;,' ;,;
1,B 2,B !,B ',B ;,B
B,1
B,2
B,!
B,'
B,;
B,B
? 6ariebel a%ak diskrit yang menyatakan jumlah mata dadu yang mungkin mun%ul → ? / 2,!,',;,B,<,G,I,15,11,12 Distribusi probabilitas untuk masing-masing nilai 6ariabel ? membentuk fungsi probabilitas sbb.: P$?2& p$2& 1*!B P$?!& p$!& 2*!B P$?'& p$'& 2*!B P$?;& p$;& '*!B
P$?B& p$B& ;*!B P$?<& p$<& B*!B P$?G& p$G& ;*!B P$?I& p$I& '*!B
P$?15& p$15& !*!B P$?11& p$11& 2*!B P$?12& p$12& 1*!B
2.2.2 'n"si Distrib'si K'-'latif =( 8 )
=
P( ?
≤ 8) =
∑ p( ) ≤ 8
→
adalah jumlah dari seluruh nilai ? ≤ 8.
df sering ditampilkan dalam bentuk grafik tangga ontoh : 1 =( 2 ) = p ( 8 ) = p( 2) = !B 8 ≤2 1 + 2 = ! =( !) = p ( 8 ) = p( 2 ) + p( !) = !B !B !B 8 ≤! 1 + 2 =( ' ) = p ( 8 ) = p( 2) + p( !) + p( ') = !B !B 8 ≤'
∑ ∑ ∑
+
! !B
=
; .......dst !B
Dua ukuran penting yang meakili ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran yg paling banyak digunakan n
Mean distribusi : Q 8
= ∑ 8 i p( 8 i ) i =1
$2&$1*!B&H$!&$2*!B&H$'&$2*!B&H. . . . H$11&$2*!B&H$12&$1*!B& < 2
n
3arians dari distribusi : R
2 8
= ∑ ( 8 i − Q 8 ) p( 8 i ) i =1
$2-<&2$1*!B&H$!-<&2$2*!B&H. . . . . . . H$12-<& 2$1*!B& ;,G!
2.3 DISTRIBSI PROBABILITAS KONTIN4 2.3.1 'n"si Ke5a#atan Probabilitas P( a
≤ ? ≤ b ) = p ( a ≤ 8 ≤ b ) = ∫ a f ( 8 )d8 . . . . . . . . . . . . b
atau se%ara umum probabilitas sebuah 6ariabel a%ak kontinyu ? mengambil nilai pada siautu inter6al antara 8 dan 8Hd8, ditulis se%ara matematis : P( 8
≤ ? ≤ 8 + d8 ) = ∫ f ( 8 )d8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dengan syarat : 1. =ungsi kepadatan probabilitas $pdf& : f$8& ≥5 $non-negatif& ∞ 2. Antegral ∫ ∞ f ( 8 )d8 = 1 $luas total daerah di baah kur6a =$8&1
ontoh 2.!.1: Dalam suatu proses obat-obatan , suatu bahan kimia harus dipanaskan dalam o6en dulu sebelum diproses lebih lanjut.S6en dapat dipergunakan setiap selang aktu ; menit. 7amun karena 6ariasi aktu dalam persiapannya, bahan kimia tsb tidak selalu tersedia pada saat yg bersamaan dg saat o6en siap dipakai. adi jika terlambat bahan kimia tsb harus menunggu sampai aktu o6en siap kembali digunakan. ika ? 6ariebel a%ak kontinyu yg menyatakan aktu tunggu bahan kimia s ampai bisa dipanaskan dalam o6en, maka himpunan nilai ? yg mungkin adalah ?/5 ≤8≤;.(alah satu fungsi kepadatan probabilitas $pdf& bagi ? adalah : 1*;
5 ≤ 8 ≤ ;
5
yg lain
=$8&
4rafik dari pdf di atas ditunjukkan pada gambar '.'. Dari grafik jelas baha f$8& baah kur6anya adalah $;&$1*;& 1 Probabilitas aktu tunggu bahan kimia selama 1-! menit adalah : P$1 ≤ ?
!
!
1
1
1 d8 ;
≤ !& = ∫ f$8&d8 = ∫
8 =;
= 8 = ; 8 =1
≥ 5 dan luas di
2 ;
Probabilitas aktu tunggu bahan kimia tsb lebih dari !,; menit adalah : P$!,;
≤ ?& =
∞
;
!,;
!,;
1
∫ f$8&d8 = ∫ ; d8
8 =;
= 8 = ! ; 8 =!,; 15
9*+
9*+
P (1 ≤ ? 1-0
1-0 #
≤ !) = ∫ 1! f ( 8 ) d8
0
#
1
3
4ambar : =ungsi kepadatan probabilitas $pdf &
0
2.3.2 'n"si Distrib'si K'-'latif Fntuk setiap fungsi kepadatan probabilitas f$8& terdapat sebuah fungsi terkait
( ) = P( ? ≤ 8 ) = ∫ ∞ f ( t )dt 8
= 8
ubungan se%ara geometris antara grafik =$8& dan f$8& dapat dilihat pada gambar berikut,
( ≤ 8 ≤ % ) = ∫ ∞ f ( t )dt - ∫ ∞ f ( t )dt = =$%& − =$b& %
P b
b
ontoh 2.!.2 : • Misalkan pdf dari besarnya beban dinamik ? pada sebuah jembatan $dalam k7& dinyatakan sebagai fungsi :
1 + ! 8 f$?& = G G 5
5≤ 8≤2 yang lain
Maka untuk sembarang nilai 8 antara 5 dan2, fungsi distribusi kumulatif $%df& beban dinamik tsb adalah : =$8&
adi :
=
∫
8
∞
f$t&dt
8
= ∫ 5
8
1 + ! t dt = 1 t + ! t 2 = 1 8 + ! 8 2 G 1B 5 G 1B G G
8<5
5 1 ! =$8& = 8 + 8 2 G 1B 1 •
5≤8≤2 2<8
Probabilitas beban dinamik pada jembatan antara 1 sampai 1,; k7 adalah : P$1 ≤ 8
≤ 1,;& = =$1,;& − =$1& 1 ! ! 1 = $1,;& + $1,;& 2 − $1& + $1& 1 1B 1B G G = 1I = 5,2I< B'
9*+
'*+
-2 '*1,0
+
'*1+ 1-2 #
1
1, 0
%
#
1
1, 0
%
Dua ukuran penting yang meakili ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran yg paling banyak digunakan Mean Distribusi : Q = 8.f ( 8 )d8
∫
3arians dari distribusi : R 28
= ∫ ( 8 - Q 8 ) 2 f ( 8 ) d8
2.3.3 ,isto"ra- Distrib'si Probabilitas istogram distribusi frekuensi→ histogram distribusi probabilitas, yang perlu diperhatikan : ketinggian sebuah batang histogram merupakan nilai fungsi kepadatan probabilitas untuk seluruh nilai 6ariabel a%ak sepanjang inter6al yg diakili batang tsb $ luas dari sebuah batang histogram merupakan nilai fungsi probabilitas dari 6ariabel a%ak antara batas-batas kelasnya& "inggi istogram = ( 8 lb
≤ 8 ≤ 8 ub ) =
≤ 8 ≤ 8 ub ) 8 ub − 8 lb
p( 8 lb
dengan : 8lb batas baah nyata $loer boundary& interfal kelas 8ub batas atas nyata $upper boundary& interfal kelas
0erikut adalah data mentah hasil pengujian breaking stress dari 155 spe%imen suatu logam ? $k7*m2& "abel 1. Data mentah hasil pengujian breaking stress dari 155 spe%imen suatu logam ? $k7*m2& 11<1
11GB
12B'
125;
1!1B
1'!<
11G;
11;5
1!!G
12I5
15'2 121G 11'1 12IG 15G! 122; I!I 15<< 12<;
1115 11G1 15'5 11G; 11I< 15I; 112' 15B; 1'B'
11I2 12
11IB 1525 11<; 121G 12!1 12;5 15;G 1'1B 125G
1'5B 15'2 12
11B1 11!B 11B! 15;; 1!I! 11;2 15I' 1!II 125I
1'I2 12!! 12!; 15G1 1!52 1'G2 12;' I2' 11'B
11<5 11;G I!1 11B2 12'I 152G 11B5 1!B1 12<'
12;G 12!! 12<5 1!!! 1!BG 1!'1 11'1 121B 11;B
11;2 1!12 12'B 12G; 1!2< 115B 15B2 12GI 15I5
(etelah disusun menjadi data dg urutan menaik $ as%ending& dg menggunakan program spreadsheet Mi%rosoft #8%el : I2! I2' I!1 I!I 1525 1521 152G 15'5 15'2
15;1 15;1 15;; 15;; 15;G 15B2 15B; 15<< 15G1
15I5 15I' 15I; 115B 1115 112' 11!! 11!B 11'1
11'1 11'B 11'B 11;5 11;2 11;2 11;B 11;G 11B5
11B2 11B! 11<5 11<1 11<; 11G1 11G; 11G; 11GB
11IB 11I< 1255 125; 125G 125I 121B 121< 121G
122; 12!1 12!! 12!! 12!; 12'B 12'I 12;5 12;'
12B' 12<5 12
1!52 1!5! 1!12 1!1' 1!1B 1!2< 1!!! 1!!G 1!'1
1!BG 1!I! 1!II 1'5B 1'1B 1'!< 1''I 1'B' 1'G2
15'2
15G!
11'1
11B1
11I2
121G
12;G
12IG
1!B1
1'I2
7o.
1 2 ! ' ; B
reakin! "tress
umlah
Persentase
$k7*m2&
$f&
$ f*n8155C&
I55 - III 1555 -15II 1155 - 11II 1255 - 12II 1!55 - 1!II 1'55 - 1'II
' 1I 2I 2G 1! <
'C 1IC 2IC 2GC 1!C
"otal 7
155
155C
ika dg data tsb akan dibuat suatu distribusi probabilitasnya, maka harus dilakukan perubahan ketinggian batang histogram sesuai persamaan di atas. (ebagai %ontoh kita tinjau inter6al kelas 1155 L 11II dg frekuensi 2I maka pd inter6al kelas tsb : • ?lb 15II,; • ?ub 11II,; • P$8lb ≤ 8 O 8ub& p $815II,; ≤ 8 O 811II,;& ratio frekuensi kelas $815II,; ≤ 8 O 811II,;& 2I*155 5,2I • Maka tinggi histogram probabilitasnya : h ( 8 15II,;
≤ 8 ≤ 8 11II,; ) =
p( 8 15II,;
≤ 8 ≤ 8 11II,; ) 5,2I = = 5,552I 11II,; − 15II,; 155
asil perhitungan untuk inter6al kelas lainnya ditunjukkan pada tabel berikut : reakin! "tress
umlah
Probabilitas
"inggi istogram
$k7*m2&
$f&
p$8lb≤8≤8ub&
h$8lb≤8≤8ub&
1
I55 - III
'
5.5'
5.555'
2 !
1555 -15II 1155 - 11II
1I 2I
5.1I 5.2I
5.551I 5.552I
'
1255 - 12II
2G
5.2G
5.552G
;
1!55 - 1!II
1!
5.1!
5.551!
B
1'55 - 1'II
<
5.5<
5.555<
"otal 7
155
1
7o.
2.3.% NILAI ,ARAPAN (,ARAPAN &ATE&ATIK Fntuk 6ariabel diskrit n
= ∑ 8 i p( 8 i )
#$?&
i =1
7ntuk ;ariabel kontin"u #$?&
= ∫ 8
( )
f 8 d8
3arians :
R 28
= # ( ? 2 ) − ( #( ? ) 2
Pemakaian suatu alat berat semisal e8%a6ator yg berjalan lan%ar $tanpa kerusakan&memberi keuntungan +p.;.555.555,-, sedangkan jika ada gangguan ringan memberikan keuntungan +p.1.555.555,-dan apabila kerusakan yg terjadi dalam kategori berat maka akan memberikan kerugian +p.2.555.555,-. 0erdasarkan pengalaman diketahui probabilitas alat berjalan normal 5,B, dengan gangguan ringan 5,! dan gangguan berat 5,1. 0erapakan harapan keuntungan pengusaha sesuai kondisi tsb. Penyelesaian : ? 6ariabel a%ak diskrit yg merupakan keuntungan $dlm juta& dg nilai 8 1 ;, 82 1 dan 8! - 2, dg probabilitas p$81& 5,B p8 2& 5,! dan p$8 !& 5,1 → #$?& =
!
∑ 8 p( 8 ) = 8 p( 8 ) + 8 p( 8 i
i
1
1
2
2
) + 8 p( 8 )
i =1
= $;&$5,B& + $1&$5,!& + $−2&$5,1& = !,1
!
!
3 DISTRIBSI A6AK DISKRIT "ujuan Pembelajaran (etelah mempelajari bab ini, mahasisa diharapkan mampu : Mengidentifikasi dan menghitung distribusi probabilitas teoritis 6ariabel a%ak diskrit : distribusi bernoulli, binomial, geometrik, poisson Menentukan statistik deskriptif : ukuran-ukuran pemusatan, penyebaran, kemen%engan dan kerun%ingan pada distribusi probabilitas 6ariabel diskrit. Menggunakan Pokok 0ahasan : 1. 2. !. '.
Distribusi 0ernoulli Distribusi 0inomial Distribusi Poisson (oal-soal )atihan
3.1 DISTRIBSI BERNOLLI 3.1.1 'n"si Distrib'si Berno'lli (yarat yg harus dipenuhi untuk distribusi 0ernoulli adalah : Keluaran $out%ome&yg mungkin hanya salah satu dari >sukses@ atau >gagal@ ika probabilitas sukses p maka probabilitas gagal T 1- p =ungsi probabilitas 0ernoulli :
p0 $8p&
p $1-p& T 5
81 85 8 ≠ 5 atau 1
. . . . . . . . . . . . $!.1&
atau p0 $8p& p8 $1-p&1-8
8 5,1 5 ≤ p ≤ 1
. . . . . . . . . . . . $!.2&
→ merupakan fungsi dg satu parameter >p@
ontoh !.1 Pada aal tahun ajaran baru, mahasisa =" biasanya membeli rapido untuk tugas menggambar teknik. Di koperasi ada 2 jenis rapido, yaitu rapido yang dapat diisi ulang dan yg tidak. 0erdasarkan %atatan pd tahun-tahun sebelumnya diketahui !5C mahasisa memilih rapido yg dapat diisi ulang. ika 8 mahasisa yg membeli rapido isi ulang, maka distribusi probabilitas 0ernoulli : 1 → mahasisa beli rapido isi ulang ? 5 → mahasisa beli rapido tanpa isi ulang
p$1& P$ ? 1 & 5,! p$5& P$ ? 5& 1 - 5,! 5,< p$8≠5 atau1& P$? ≠5 atau1& 5 Maka fungsi probabilitasnya adalah fungsi 0ernoulli dengan satu parameter p 5,! dapat dinotasikan sbb : 5,! 5,< 5
p0 $ 8 5,!&
81 85 8 ≠ 5 atau 1
atau p0 $ 8 5,! & $5,!& 8 $5,<&1-8 8 5,1 pB*< #,3+ pB *< #,3+ *#,3+ *#,+1= <
1
#, 1
#,
#,3 #
1
%
3
4ambar Distribusi Probabilitas 0ernoulli
3.1.2 Statisti$ Des$ri5tif Distrib'si berno'lli Mean $ 7ilai arapan& : µ8 # $?& p 3arians : σ82 p$1-p& pT Kemen%engan $ (keness &: p (1 − p ) + −2= β 1 = α !2 = p (1 − p )
# p
Kerun%ingan $ Kurtosis &:
β 2
= α ' =
(
1 − B p 1 − p p
(1 − p )
p
+ −2 #
) + ! = 1 − B p# + ! p#
3.2 DISTRIBSI BINO&IAL Distribusi ini sering digunakan dalam analisis statistik. Di bidang teknik banyak diaplikasikan pada pengendalian kualitas $ Tuality %ontrol &. Distribusi 0inomial disebut juga per%obaan atau proses 0ernouli, yang mengambil anggapan sbb, 1. (etiap per%obaan hanya menghasilkan 2 kemungkinan yang saling meniadakan $mutually e8%lusi6e& yaitu sukses atau gagal, 2. Peluang sukses $p& dari satu per%obaan ke per%obaan berikutnya adalah tetap. Peluang gagal $T& adalah 1 U p, !. Masing-masing per%obaan merupakan peristia independent, artinya peristia yang satu tidak mempengaruhi terjadinya peristia yang lain.
3.2.1 'n"si Distrib'si Probabilitas Bino-ial 0ila suatu ulangan binom mempunyai peluang keberhasilan p dan peluang kegagalan T 1 U p, maka distribusi peluang bagi 6ariabel a%ak binom ?, yaitu banyaknya keberhasilan dalam n ulangan yang bebas, adalah : p b $8 n, p& = n : 8 p 8 (1 − p )
n−8
= n : 8 p 8 T n − 8
n 8 n − 8 p T , = 8
untuk 8
= 5, 1, 2,........, n
= 1,2,!,.... .... 5 ≤ p ≤ 1 n
dengan :
n
8 kombinasi dari n obyek dimana untuk setiap pemilihan diambil 8 obyek n jumlah per%obaan, 8 jumlah sukses yang diharapkan, p peluang sukses, T peluang gagal.
=ungsi Distribusi Kumulatif :
(
x
$ x n, p
x
) = ∑ p ( k n, p ) = ∑ k = 5
b
k = 5
n
(
C k p k 1 − p
)
n − k
= ∑ n C k p k # n− k
= 5,1,2,.........n b = 1,2,!,......... 5 ≤ p ≤ 1
x
ontoh : 1. (uatu kuis terdiri dari ; soal pilihan ganda dengan ' buah jaaban alternatif. ika seseorang yang tidak mengetahui jaaban pasti dari semua soal tsb tetap menjaab dengan %ara menerka maka dia telah melakukan eksperimen binomial. Fntuk soal tsb n jumlah per%obaan jumlah soal ; p probabilitas sukses menjaab $jaaban benar& V T probabilitas gagal menjaab $ jaaban salah& 1-p . Pada soal ini 6ariabek a%ak diskrit $?& adalah jaaban yg benar yg dapat ditentukan dg %ara sbb : =ungsi probabilitasnya: p b $8D n, p& = p b ( 8 D ;, ' ) = ; : 8 1
( ) ()− 1
'
8
! ; 8 '
untuk 8
= 5, 1, 2,!,',;
=ungsi Distribusi Kumulatifnya :
(
= 8D n, p
8
) = =( 8D;, ) = ∑ p ( kD;, ) 1
1
b
'
8
'
k = 5
= 5,1,2,!,', ;
Distribusi probabilitasnya P $? 5& p b $5;,V& ;5 $V&5 $&; 5,2!
5
≤ 5 ) = = b ( 5D;, ' ) = ∑ p b ( kD;, 1' ) = p b ( 5D;, 1' ) = 5,2!
k = 5 1
≤ 1) = = b (1D;, ' ) = ∑ p b ( kD;, 1' ) = p b (1D;, 1' ) + p b ( 5D;, 1' ) 1
k = 5
= 5,!I;; + 5,2!
2
≤ 2 ) = = b ( 2D;, 1' ) = ∑ p b ( kD;, 1' ) = p b ( 5D;, 1' ) + p b (1D;, 1' ) + p b ( 2D;, 1' ) k = 5
= 5,2!
!
≤ !) = = b ( !D;, ' ) = ∑ p b ( kD;, 1' ) = p b ( 5D;, 1' ) + p b (1D;, 1' ) + p b ( 2D;, 1' ) + p b ( !D;, 1' ) 1
k = 5
= 5,2!
'
≤ ' ) = = b ( 'D;, 1' ) = ∑ p b ( kD;, 1' ) = p b ( 5D;, 1' ) + ......... + p b ( 'D;, 1' ) k = 5
= 5,2!
;
≤ ;) = = b (;D;, ' ) = ∑ p b ( kD;, 1' ) = p b ( 5D;, 1' ) + . . . . . . . .p b ( ;BD;, 1' ) 1
k = 5
= 5,2!
Fungsi Distr ibusi u!ulati"
0.45 0.4 0.35 4 / 0.3 1 , 0.25 5 ; x 0.2 ( p 0.15 0.1 0.05 0
1.2 1 4 / 1 , 5 ; x ( F
0.# 0.6 0.4 0.2 0
1
2
3
4 X
5
6
1
2
3
4
5
6
X
2. Dalam suatu kajian ketangguhan mesin suatu jenis mobil diketahui baha B
kalinya. 12 mobil ybs dipilih se%ara a%ak dan jarak tempuh rata-rata sampai turun mesin diperiksa. #ksperimen tsb merupakan eksperimen binomial dg n 12, p 5.B<, T 5.!! (tatistik Deskriptif 0inomial 7ilai arapan µ8 #$?& np 3arians σ82 np $ 1-p & Kemen%engan X1
= W !2 =
(1 − p) + np
(
p
n 1 − p
)
2
T
n
np
− =
+
p nT
Kurtosis X2
= W' =
(
1 − Bp 1 − p
(
np 1 − p
)
) + ! = 1 − BpT + ! npT
−
2 n
in!kasan &istribusi &iskrit
Distribusi
Parameter
P$8&p8T1-8 5
0ernoulli
5≤ p≤1
0inomial
n 1,2,... 5≤ p≤1
85,1 lainnya
n 8 n − 8 = p T 8
p( 8 )
5 P$8&pT8-1 5
4eometrik
5≤ p≤1
Pas%al $0inomial 7egatif&
5≤ p≤1 r 1,2,... $r Y 5&
71,2,.. ipergeometrik n 1,2,..7 D 1,2,..7
8-1
8
5 p( 8 )
=
α Y5
p$8&
=
5,1,2,...
= r, r + 1, r + 2,...
3arian
7 n
r 8 − r p T
8
=ungsi Pembangkit momen
p
pT
pet H T
np
npT
$pet H T&n
1*p
T*p2
pet*$1-Tet&
r*p
rT*p
2
lainnya
D 7 − D 8 n − 8
e
=
lainnya 8 1,2,..... lainnya
( ) = p r T 8 −r r -1
p 8
8
= 1,2,... n
D 7
n
D 1 − D 7 − n 7 7 7 − 1
pe t 1 − Te t
r
)ihat kendall dan (tuart $1II!&
min $n,D& lainnya
5 Poisson
+atarata
=ungsi Probabilita: p$8&
−W ( W ) 8 8N
5
8
= 5,1,2,....
α
α
e
(
)
W e t −1
lainnya
S6A$=S6A$ $AT48A5
1. B misi ruang angkasa ke bulan diterbangkan se%ara bebas. Diperkirakan probabilita sukses pada setiap misi adalah 5,I;. 0erapakah probabilita paling sedikit lima misi diterbangkan akan suksesE aab : dari soal tsb, diketahui n B p 5,I; 8 ;, maka
B p( 8 ≥ ;) = 5,I;;5,5;1 + ;
B 5,I;B5,5;5 = . . . . B
2. (uatu perusahaan telah meren%anakan penaaran kepada 12 orang langganan utama. Probabilita penerimaan sebuah pesanan sebagai hasil penaaran diperkirakan 5,;. 0erapakah probabilita penerimaan ' atau lebih pesananE aab : dari soal tsb, diketahui n 12 p 5,; 8 ≥ ', maka
12 p( 8 ≥ ') = 5,; '5,;G + '
12 5,;;5,;< + . . + 12 5,;12 5,; 5 = . . . . ; 12
S6A$=S6A$ $AT48A5
1. B misi ruang angkasa ke bulan diterbangkan se%ara bebas. Diperkirakan probabilita sukses pada setiap misi adalah 5,I;. 0erapakah probabilita paling sedikit lima misi diterbangkan akan suksesE aab : dari soal tsb, diketahui n B p 5,I; 8 ;, maka
B p( 8 ≥ ;) = 5,I;;5,5;1 + ;
B 5,I;B5,5;5 = . . . . B
2. (uatu perusahaan telah meren%anakan penaaran kepada 12 orang langganan utama. Probabilita penerimaan sebuah pesanan sebagai hasil penaaran diperkirakan 5,;. 0erapakah probabilita penerimaan ' atau lebih pesananE aab : dari soal tsb, diketahui n 12 p 5,; 8 ≥ ', maka
12 p( 8 ≥ ') = 5,; '5,;G + '
12 5,;;5,;< + . . + 12 5,;12 5,; 5 = . . . . ; 12
Atau
12 p( 8 ≥ ') = 1 −/ 5,;!5,;I + !
12 2 15 12 1 11 5,; 5,; + 5,; 5,; = . . . . 2 1
!. +ata-rata %urah hujan di%atat ke perseratusan %m yang terdekat, di 0andung pada bulan Sktober adalah I,22 %m. 0ila dimisalkan distribusinya normal denga simpangan baku 2,G! %m, hitunglah peluang $probabilita& baha bulan Sktober yang akan datang 0andung akan mendapat hujan, a. Kurang dari 1,G' %m, b. )ebih dari ; %m tetapi kurang dari < %m, %. )ebih dari 1!,G %mE aab : dari soal tsb, diketahui Z I,22 R 2,G!, maka a. P$8O1,G' %m&
[=
1,G' − I,22 = -2,B5<<<' , lihat tabel kur6a normal → 2,G!
P$8O1,G' %m& 5,55'; 5,';C b. P$ ; O 8 O < & 5,21<< L 5,5BG1 5,1'IB
; − I,22 [ = = -1,'I →5.5BG1 1 2,G!
[
< − I,22 = = -5,
%. P$8 Y 1!,G %m& 1- 5,I'<' 5,5;2B
[=
1!,G − I,22 = 1,B1G' → 5,I'<' 2,G!
'. (uatu
mesin minuman diatur sedemikian rupa sehingga mengeluarkan rata-rata $Z& 25< ml per %angkir. 0ila banyaknya minuman berdistribusi normal dengan simpangan baku $R&1; ml, a. 0erapa %angkir yang akan berisi lebih dari 2!1 ml b. 0erapa peluang suatu %angkir berisi antara 1IG dan 21B mlE %. 0erapa %angkir yang akan kepenuhan $ sampai tumpah& bila digunakan 1555 %angkir berukuran 2!< mlE d. Di baah nilai berapakah terdapat 2;C dari jumlah %angkir dengan isi terke%il. dari soal tsb, diketahui Z 25< R 1;, maka P$8Y2!1&
[=
2!1 − 25<
= -1,B , lihat tabel kur6a normal →
1; P$8Y2!1& 1- 5,I';2 5,5;'G ;,'GC P$ 1IG O 8 O 21B & 5,<2;< L 5,2<'! 5,';1'
[ = 1 [
21B − 25< 1;
= 5,B →5.<2;<
1IG − 25< = = −5,B →5.2<'! 2 1;
;. Manajer personalia sebuah perusahaan besar membutuhkan pelamar pekerjaan yang mengikuti ujian tertentu dan men%apai nilai ;55. ika nilai ujian itu berdistribusi normal dengan rata-rata 'G; dan standar de6iasi 25, berapa C pelamar yang lulus ujian tersebutE B. +ata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba di pelabuhan adalah 15. Pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak 1; tanker sehari.0erapakah peluang pada suatu hari tertentu tanker terpaksa disuruh pergi karena pelabuhan tak mampu melayani. <. (eorang sur6eyor lalulintas melaporkan baha <;C kendaraan yang melintai suatu daerah pemeriksaan berasal dari DKA. 0erapa peluang baha paling sedikit tiga dari lima kendaraan mendatang yang melalui pemeriksaan tersebut berasal dari luar DKAE
