Definisi : Probabilitas bersyarat. Ditentukan set B dan set A. Probabilitas terjadinya A sa sama dengan syarat bahwa B sudah terjadi atau akan terjadi. Ditulis : P ( A |B ) =
P (A
∩
B)
P(B)
dimana dimana P(B) P(B) > 0. Dengan Dengan kata kata lain lain kejadian B merupakan syarat terjadinya kejadian A. Jika yang menjadi syarat adalah kejadian A maka dapat ditulis sebagai berikut : P (B | A) =
Contoh 5 :
P(A ∩ B) P(A)
Misalkan A mewakili 2000 mahasiswa lama (=a). dan B mewakili 3500, mahasiswa putri(=b). Sedangkan 800 dari 3500 mahasiswa putri merupakan mahasiswa lama (=c). Maka P (
A| B) =
c b
=
800 3500
= 0,23
(merupakan perbandingan mahasiswa lama putri dengan seluruh mahasiswa putri ). Kejadian P ( B | A ) berarti kejadian yang memiliki mahasiswa putri dengan syarat bahwa mereka mahasiswa lama.
Definisi : Kalau A dan B merupakan kejadian bebas, maka
P ( A P(A)
∩
B ) = P (A) P(B) = P(B)
Hal ini ekuivalen dengan : P ( A | B ) = P (A) P (B)
dan P ( B | A ) =
Dalil Penjumlahan : Aturan umum probabilitas P(A
∪
B ) = P (A) + P (B) - P ( A
Contoh 6 :
dari
∩
B)
penjumlahan
Diambil suatu kartu secara acak dari kartu bridge. A dapat kartu As, B dapat kartu wajit. Hitung P(A ∪ B). Penyelesaian P (A ) = 4/52, P (B) = 13/52, P(A B ) = 1/52 (As - wajit) P(A ∪ B) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 0,31 ∩
Maka P (A | B) =
P(A ∩ B ) P(B)
1 1 = 52 = 13 13 52
dan P(B | A ) =
P(A ∩ B) P(A)
1 1 = 52 = 4 4 52
Contoh 7 :
Misalkan jumlah pelamar menjadi dosen pada suatu universitas ada sebanyak 100 orang. Tiap orang mempunyai probabilitas diterima sama = 0,01. Berdasarkan data yang masuk ke sekretariat dapat ditabelkan sebagai berikut : Pria Wanita
Sudah menikah 3 10
Belum menikah 12 8
Belum bergelar doktor Pria Wanita
Sudah menikah Belum menikah 3 12 10 8
Telah bergelar doktor Jika
W, M, D menyatakan kejadian
bahwa pelamar adalah Wanita, Menikah dan Doktor
Carilah : a. P(W), P(M), P(D) b.
_
_
_
P(W ), P(M), P(D )
Contoh 8 : Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak dua kali, x = jumlah mata dadu dari hasil lemparan ter-sebut. Jika A = { x | x < 5} dan B = { x | x ε bilangan ganjil } Cari P ( A | B) dan P ( B | A )
Tabel dari dua kali lemparan 2 3 4 5 6 I II 1 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 4 5 6
(3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
s = 36 titik sampel = 36 kali hasil percobaan Kejadian A = { 1,1=2; 1,2=3; 1,3=4; 2,1=3; 2,2=4; 3,1=4 } atau a = 6 Kejadian B = { 2,1; 4,1; 6,1; 1,2; 3,2; 5,2; 2,3; 4,3; 6,3; 1,4; 3,4; 5,4; 2,5; 4,5; 6,5; 1,6; 3,6; 5,6 } atau b = 18 A ∩ B = 2 titik sampel yaitu (1,2) dan (2,1) atau c = 2
Maka P ( A / B )
=
P ( A B ) P ( B )
=
2 18
=
1 9
dan
P ( B / A)
=
P ( A B ) P ( A)
=
2 6
=
1 3
Probabilitas Kejadian Interseksi P ( A ∩ B ) = P(A) P( B | A ) = P(B) P( A | B) artinya probabilitas bahwa A dan B terjadi secara simultan. Contoh 9 : Misalkan : S = {set kartu = N = 52}
A = pengambilan pertama As (a=4) P(A) = 4/52 B|A = pengambilan kedua juga As dengan syarat pengambilan pertama As (b=3, N=51) P(B|A) = 3/51
Maka P(A∩B) = P(A) P(B|A) =
4
.
3
52 51
=
12 2652
= 0,0045
Untuk tiga kejadian A , B dan C maka P(A ∩ B ∩ C) = P(A) P(B|A) P(C|A ∩ B)
