\
SERIE DE COlvlPENDIOS SCHA UM
TEORIA y PROBLEMAS DE
PROBABILIDAD POR
SEYMOUR LIPSCHUTZ, Ph.D. Prof esor A sociado de Mat emáticas Universidad de T emple
•
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T RA D UCC IO N y A DA PT,I C ION A U ' Il EDO F ER RO D U()UE
Profeso r de la Universidad Nac ional de Colombia. Bogo tá
• McGJ~AW-H/U
UBROS ,\U- \ I l ' \..)
f .-\ .' -\ ,\I.-\ LONDR ES
,\IAOR/D
BúGOTA
TORONTO
SIDNEY
S ..\O PAllO
.' u.E\A YO RK.
JOHANNES8UR G
DUSSELDORF SINGAPUR AUCKLAND
Pról ogo
co~~:rinciPios
sigIO~' ~~
La teoría de la probabilidad tuvo sus del mo resultado de investigacionl:s sobre diversos juegos de az~7~~"~1;~o->n~es acá han contribui~6erfeccionamiento muchos matemúticos y científicos céle_bres; ~ero a pesa r de <;u larga y activa historia, sólo se axioma' . d 1.J'p,° d este 1 4h . I t IZO ur a nte 1as tercera y cuarta d'ecauas slg o. Este desarrollo axiomático, llamado teoría moderna de la probabilidad, precisó los conceptos de la probabilidad y los colocó so bre una firme base matcIllática, La importancia de la probabilidad ha crecido enormemente en los últimos años, y hoy aparecc, junto con su disciplina gemela, la estadística, en casi todos los campos , como la física, la química, la biología, la medicina, la sicología, la sociología, la -.:iencia política, la educación, la economía, los negocios, la invesligación operativa y todos los ramos de la ingeniería. El presente libro se ha preparado para un curso de introducción a la probabilidad y sólo exige como conocimiento previo el álgebra de secundaria, Puede servir como texto para dicho curso, o como suplemento para cua lquier texto comparable. También puede servir como complemento para textos y cursos de estadística, Además, como es completo en sí mismo, se presta fáci lmente para estudiar por cue nta propia. Com ienza con un capítulo sobre conjuntos y sus operaciones, y continúa con uno sobre permutaciones y Olras lécn icas de contaL Vienen luego un capítulo de espacios probabilísticos y otro de probabilidad condicional e independencia. El quinto, que es el principal , trata sobre variables aleatorias, Allí dellnimos la esperanza, varianza y desviación estándar, y probamos la desigualdad de Tchebycheff y la ley de los grandes números . Aunque no se requieren conocimientos de cálculo, se estudian las variables aleatorias, tanto discretas como co ntinuas. Seguimos con un capítulo aparte sobre las distribucione s I)illomial, normal y de Poisson, Aquí se da el teorema central del límite en el contexto de la aproximación normal a la distribución binomial. El séptimo y último capítulo ofrece un desarrollo ekmental completo de las cadenas de Markov con aplicaciones. Cada capítulo comienza con enunciaLlos claros de las correspondientes definiciones, principios y teoremas, co n ilu straciones y otros materiales descriptivos. A esto siguen grupos ordenados de problemas resueltos y propuestos. Los problemas resueltos sirven para ilustrar y ampliar la teoría, arrojan plena lu z so bre aquellos sutiles puntos sin cuya explicación el estudiante se sentirá continuamente sohre terreno movedizo, y constituyen repetición de los principios básicos, que es cosa tan vital para un aprendizaje efectivo. En los problemas resueltos se incluyen demostraciones de la mayor parle de los Ll:üremas, Los problema s propuesto s sirven como un repaso completo del material de cada capítulo. Deseo agradecer al Dr. Martin Silverstein sus valiosas recomendaciones y su revisión crítica del manu scrito. También deseo expresar mi reconocimiento a Daniel Schaum y Nicola Monti por su excelent e coo per¡¡cióll. SEYMOUR LIpSCllUT Z
TABLA DE MATERIAS Pág. Capitulo
1
TEORIA DE CONJUNTOS Introducci ón. Conjuntos, ekmento s. Operacionc:s con co njuntos. Conjuntos finitos y contables . Conjunto produ cto . Clases de co njuntos .
Capítulo
2
TECNICAS DE CONTAR
16
Introducción. Principio fund amental del conteo. Notación factorial. Permutaciones. Permutaciones con n:petición . Pruebas ordenadas. Coeficientes del binomio y teorema. Combinaciones. Parti• ciones ordenadas. Diagramas de árbol.
Capítulo
3
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD .
38
Introducción . Espacio muestral y sucesos. Axiomas de probabilidad. Espacios finitos de probabilidad. Espaci os equiprob ables finitos. Es pacios muestralcs infinitos.
Capítulo
4
PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
54
Probabilidad condicional. Teorema de la multiplicaci ón para probabilidad condicional. Procesos estocásticos finito s y diagramas de árbol. Particiones y teorema de Bayes. Independencia . Pruebas repet idas o independ ientes .
Capítulo
5
VAIHABLES ALEATORIAS
74
Int roducc ión . Distribución y espaanza de un a va riable a leat oria finita . Varianza y desviación estúndar. Di stribuci ón conjunta . Variables alea tor ias independientes. Funciones de una variable ale:.ttoria. Variables aleatorias discreta s en gencral. Variables aleatorias continuas. Función de distribución acumulativa . Desigua ldad d" Tchebychdf. Ley de los números grandes .
Capítulo
6
DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
105
Distribución binomial. Distribució n normal. Aproximación normal a la distribución binomi al. Teorema ce ntr al dd límite. Distribución de Poisson . Distribu ció n multinomial.
Capítulo
7
CADENAS DE MARKOV
126
Introducción . Vector probabilidad , matrices estocásticas . Matrices estocásticas regulares. Puntos fijo s y matrices estocásticas regulares. Cadenas de Mark ov. Probabilidades de transición de orden superior. Distribución estacionaria dc cadenas regulares de Markov. Estados absorbentes.
INDlCE
152
Capítulo 1 Teoría de conjuntos INTIWDUCCION
Estc capítulo trat a alguna s ue las ideas y conct:ptos elementales de la teoría dc conjuntos que son necesarios rara una introducción moderna a la teoría de la probabilidad.
CONJUNTOS, ELEMENTOS
Se llama cunjul/to una li sta o colección bi t:n definida de objetos; los objetos comprendidos en un conjunto son llamado s sus elemel/tos o miemb ros . Escribimos P E A
SI
P es un clemt:nto del conjunto A
Si cada demento ele A pertcnece también a un co njunto B, esto es, si p E A implica p E B, entonces se dice que A es sub col/junto de B, o que está cOl/tel/ido en B; esto se denota por
AeB
o
B:::JA
Do s co njunto s son iguales si cada lino está contenido en el otro; esto es,
Las negaciones dt: p E
A=B A, A e n
si y sólo si y A
=
AeB
y
BeA
B se escriben p El A, A
ct
B Y A =1= B respectivamente.
b pecili ca mo s un conjunto particular, o por la li sta de sus elementos o estableciendo las propieI L dades 4ue caraclt:rizan dicho s elementos. Por ejemplo, ' _ éN.ll1 f P..J\~o S"u'} L u-r"--<-t(;.,l A {1, 3, 5, 7, 9} e:. . ' ' -r, 1 f} '''ViI '<.l'...,\~ l h,1 ~ )llli'\S/,,;'¡ v i AtsuG.W" sigllilica que A es el co njunto formado por los números 1, 3, 5, 7 Y 9; y ¡ - -B _ (x : x es un número primo , x < 15) - ~ &r¡PILl..IH .. :'N
)(.. e ) L~ p~".\:. iJ /\-0 signitica que B es el conjunto cle los números primos menores que 15 . A menos que se es tablezca otra cosa, todos los conjuntos en una investigaclOn se suponen subconjuntos de un conjunto lijo llamado conjunto universal denotado (en este capítulo) por U. También us a mos el símbolo lO para indicar el conjunto vacío o 1/1110, esto es, el conjunto que no contiene elementos; este conjunto se considera como un subconjunto de cual4uier otro conjunto. Así para cualqlller cOlljunto A, tenemos lOcAeU. Ejemplo 1. 1: Los conjuntos ,.¡ y B a nteri ores pueden ta mhié n escribirse como
A N o l~se
=
{x: x es un número impar, x
< lO} Y B
=
{2, 3, 5, 7, 11, 13}
qu e <) E A pc::ro ') fl R. Y 1I E B pero 11 fl A. mientra s que J E A Y 3 E B. Y 6 fl A Y 6 fl B .
"J 'ltJr..I;
2
[CAP
TEORIA DE CONJUNTOS
1 I
Ejemplo 1.2: Usamos los símbolos es peciales s iguientes: N =
\
conjunto de los entero s positivo s: l. 2. J.
Z
=
conjunto de los enteros:
R
=
conjunto eJe los núm eros reales.
Así tenemos N
e
Z
,
\
. -- 2, --- 1, 0, 1, 2,
e R.
Ejemplo 1.3: Los ;nrerl'alOI sobre la línea rcal, definidos a co ntinu ación , aparecen muy frecuentem e nte en matemáticas. Aquí a y h son números rcales con a < b.
=
{x : a < x < b}
Int e rvalo abierto de a a b
(a, b)
Intervalll cerrado de a a h
[a, b]
{x : a
x
~
b}
Int erva lo ahierto-cerrado de a a b
(a, b]
{x : a < x
~
b}
[a, b)
{x : a
Intervalo cerrado-abierto de a a h
~
~
x < b}
Los int e rvalos ahierto- ce rrado 'f cerrad o- abierto son también llamad os interv a los sem;-ah;('({os. Ejemplo 1.4:
En estudios de población. el C0njunto universal está formado por toda s la s persona s del mundo.
Ejemplo J 5: Sea
e=
{x . x ' = 4. x es im par}. Entonces
e = 0. ()
sea que
e es
el conjunto vacío.
Apliquemos el siguiente teorema: Teorema 1.1: Sean A. B Y e unos conjuntos. Además: (i) A A = B, Y (iii) si A e B y B e e entonces A e Hacemos énrasis en que A
e
e
A; (ii)
SI
e
A
e
By';
e
A entonces
B no excluye la posibilidad de A = B. Sin embargo, si A
e
B pero
A =/: B, entonces decimos que A es un subconj/lnto propio de B. (Algunos autores usan el símbolo ~
para un subconjunto y
e
solamente para un subconjunto propio.)
OPERACIONES CON CONJUNTOS
Sean A Y B conjuntos arbitrarios. La rellnlón de A y B expresada por A U B, es el conjunto de elementos que pertenecen a A o a B:
AuB
(x : x E A
o
x E B}
Aquí "o" se usa en el sentido de y/o. La intersección de A y B. expresada por A n B. es el conjunto de elementos que pertenecen A y B:
AnB Si A n B= yuntos .
0,
{x:xEA
y
x E B}
esto es, si A y B no tienen elementos en común, entonces se dice que A y B son dis-
La diferencia de A y B o el cOlllplemento relalivo de B con respecto a A. expresada por A'\. B. es el conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B:
(x: x E A, x tl B} Obsérvese que A ' " B Y B son disyunto s. esto es, (A "'-.B) n B
= 0.
El complemento absoluto o, simplemente, complemento de A. expresado por A C • es el conjunto de elementos que no pertenecen a A:
Ac
{x:xEU,xtlA}
O sea que A C es la diferencia entre el conjunto universa l U y el conjunto A.
TEORIA DE CONJUNTOS
CAP. 11
3
Ejemplo 1.6: Los diagramas siguientes, llamados diagramas de Venn, ilustran las operaciones anteriores. Aquí los conjuntos están representados por simples superficies planas y U, el conjunto universal, por la superficie total del rectángulo.
A U B sombreado
A n B sombreado
A "- B sombreado
Ae sombreado
Ejemplo 1.7: Sean A= {I, 2,3, 4} Y 8= {3, 4, S, 6) donde U = {I, 2, 3,
A
U
B
A"-B
}. Entonces
{l, 2, 3, 4, 5, 6}
A n B
{1,2}
Ac
=
=
{3, 4}
{5,6,7, ... }
Los conjuntos de las operaciones anteriores satisfacen las diferentes leyes o identidades que se relacionan en la tabla inferior (tabla 1). Para el efecto, establecemos el: Teorema 1.2: Conjuntos que satisfacen las leyes de la tabla l. LEYES DEL ALGE13RA DE CONJUNTOS Leyes de idempotencia
la. AuA --
A
lb.
AnA --
A
Leyes asociati,'as
2a.
(AUB)
U
--
C
A
U
2b.
(BuC)
(AnB)nC --
A n (BnC)
Leyes conmutati,·as
3a. AuB --
BuA
3b.
AnB
--
BnA
Leyes distributitas
4a.
A
U
(BnC) --
(A
U
B) n (A U C)
4b.
A n (BuC) --
(A nB)
Leyes de identidad
5a.
--
Au0
A
5b.
AnV --
A
V
6b.
An0
--
0
6a. AuV --
Leyes de complemento
=
7a.
A uAe
Sa.
(Ae)e
9a.
(A uB)e --
=
V
A
= 0 = 0, 0 e = V
7b.
A n Ae
Sb.
Ve
Leyes de De Morgan
Ae n Be
9b. Tabla I
(A nB)c
--
Ac uBe
U
(A nC)
l' I
I
TEORIA DE CONJUNTOS
4 Obsenación~
ICA P I
r
Cada una de las leyes anteriores provIenen de una ley lógica análoga. Por ejemr1o,
A nB
=
{x: x E A
{x: x E B
x E B}
y
\
BnA
x E A}
y
Aprovechamos aquí el hecho de que la proposición compuesta "p y q", escrito p /\ q. es lógicamente equivalente a la proposición compuesta "q y p", esto es, q /\ p. La relación entre contenencia o conjunto contenido en otro y las anteriores operaciones con conjuntos lleva al: Teorema 1.3: Cada una de las condiciones siguientes es equivalente a A C B:
AnB
A
(iii) BecAc
(ii) A U B
B
(iv) A n Be
(i)
(v) BuAc
=~
Los conjuntos pueden ser finitos o in(lnitos . Un conjunto es finito si está vacío o si con sta exactamente de n elementos en donde 11 es un entero positivo ; de otra manera es infinito. Sea M el conjunto de los días de la semana; eslo es. M = {lunes, martes, miércoles. jueves. viernes. súb ad o. domingo}
Entonces M es finito. Ejemplo 1.9:
Sea P= {x: ,\ es un río de la Tierra}. Aunque puede ser difícil contar el nl¡merO de río s de la Tierra . P es un conjunto finito.
Ejemplo 1.10: Sea Y el conjunto de los enteros pares (positivos). esto cs. Y = junto infinito.
{
2, 4. 6.
Ejemplo 1.11: Sea I el intervalo unidad de los ' números reales . esto es J ~- {x' O junto infinito .
~
} Entonces)' es un con -
x "" I} [nlon ccs I es un
n)Jl-
Un conjunto es contable si es finito o si sus elementos pueden ser ordenados en forma de sucesión. en cuyo caso se dice que es contablemente infinito; de lo contrario el conjunto es no contable. El conjunto del ejemplo 1.10 es contablemente infinito, mientras se puede comprobar que el conjunto del ejemplo 1.11 es no contable. CONJUNTO PRODUCTO
Sean A Y B dos conjuntos. El conjunto producto de A y B, expresado por A X H. está formado por todas las parejas ordenadas (a, b) donde a E A Y b E B:
AxB
{(a, b): a E A, b E B}
El producto de un conjunto por sí mismo, A X A, se denota por A
2.
Ejemplo 1. 12: El lector está familiarizado con el plano cartesiano R / = R X R indicado ahajo. Aquí cada punto P representa una pareja ordenada (a , b) de números reale,. y viceversa 2
P
b
O -3
-2
-1
2
a
3
-1
-2
Ejemplo ).13: Sean A
= I 1.2. J I Y B= la. b 1. Entonces A XB
I
=
{(l, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
i \
\
U
CONJUNTOS FINITOS Y CONTABLES
Ejemplo 1.8:
\
CAP.
lJ
s
TEOR!A DE CONJUNTOS
El concepto de producto se extiende a un número finito de El conjunto producto de los A J, A 2, . ,A m, escrito A J X A 2 X todas las m-uplas ordenadas (o 1, a2, a rn ) donde al E A ¡ para cada i.
en ferma naturaL , . X Am es el conjunto de
• !
DE CONJUNTOS Con frecuencia los elementos de un conjunto son a su v~z conjuntos. Por ejemplo, en un conjunto de líneas cada línea es un conjunto de puntos. Para aclarar estos casos, se acostumbra usar para dicho lo la palabra clase o familia. Las palabras y subfamília tienen significados a subconjunto. Ejemplo 1.14: Los miembros de la clase {I 2, 3 1, 121, I S, 61} son los conjuntos 12, 31,
2! Y : 5,61.
por "P (.4).
Ejemplo 1.15: Considérese un conjunto A. El conjunto pOlellcia de A. subconjuntos de A. En si A = la. b. e entonces
la clase de todos los
{b}, {e}, 0}
"P(A) :::: {A, {a, b}, {a, e}, {b, e},
En general, si A es finito y tiene n elementos, entonces "P(A) tendrá 2 n elementos.
Una partición de un conjunto X es una subdivisión de X entre subconjuntos no vacíos que son disde subconjuntos no vacíos de X tales que cada a X yuntos y cuya reunión es X, o sea la oece a un único subconjunto. Los subconjuntos de una partición son llamados células. Ejemplo 1.16: Considérense las siguientes clases de subconjuntos de X= 11,2,
(i) (ii)
3,5}, [{1,3,
OH) [{l, 3,
,8,91;
6}. {4, 8, 9} 1 {2, 4, 6, 8}, {5,7, {2, 4, 6,
9} 1
(i) no es una partición de X puesto que 7 E X pero 7 no pGrtenece a ninguna célula. Además, (ii) no es una partición de X puesto 5 E X Y 5 pertenece a ambas i 1,3,51 y ¡ 7,91. Por otra parte, (íil) es una partición de X puesto que cada demento de X pertenece a una célula exactamente,
Cuando hablamos de clases de conjuntos con I A, . i E JI o simplemente ¡ A¡ 1, !leamos que un conjunto Al, asignado a cada elemento ¡E/. El conjunto 1 se denomina conjunto de índices y se dice que los conjuntos Al tienen por índice l. Cuando el conjunto de Índices es el conjunto N de los enteros positivos, la con índices {Al, A z, ... } se sucesión de Por la de conjuntos de los Al denotados por 1 Al simplemente UIA!), se entiende el conjunto de elementos que pertenecen por lo menos a uno de los Al; Y por la intersección de los Al, denotada n. A.), se entiende el conjunto de elementos que a cada Al. por nlEI A. También escribimos y
para la reunión e intersección, respectivamente, de una sucesión de conjuntos. Definición:
Una clase no vacía cA de subconjuntos de U se denomina un (a-álgebra) de consi: (i) el de algún conjunto de cA a cA; Y (ii) la reunión de un número finito (contable) de conjuntos de cA pertenece a cA; esto es, si cA es cerrada para complementos y reuniones finitas (contables).
Es sencillo mostrar (problema I que un también cerrada para intersecciones finitas (contables).
(a-álgebra) de
contiene U Y
y es
TEORIA DE CONJUNTOS
6
[CAP
I
Problemas resueltos CONJUNTOS, ELEM
61.
x: 3x
A
1.1.
SUBCON.JUNTOS
A
A es eL conjunto que contiene a 2 como único elemento, esto es, A 1 21. El número 2 pertenece de un solo elemento I fJ L
A, no es igual a
A, Existe una diferencia básica entre un elemento p y el
1.2. ¿Cuáles de los conjuntos:
¡ r,
s,
ti, I 1, s, r 1, ! s, r, ti,
Son todos iguales, El orden de los elementos
1.3.
cambia
r 1, r, s
I son iguales'?
conjunto,
Determine si los conjuntos dados son vacíos: X (i)
¡ x: x 2
9, 2x
=
41, (ii) Y
No hay ningún número que X
íx :x
~ x 1,
am bas
x'
=
(iií) Z
[x: x
+8
9 Y 2x = 4. por
81, X es vndo. o sea.
0,
"como "es idéntico con" y así Y es también vacío, En efecto, algunos textos definen Interpretemos el signo" el conjunto vacío como sigue: 0 : x ~ x}. (iii)
lA.
El número cero satisface x + 8 8; o sea que Z contiene al elemento 0, Esto cs, Z ~
Pruebe que A
1 2,3,4.5
1 O L En consecuencia,
=
i no es un
1.5.
Sean v i d 1, W = I e, d I,.Y la, b, e l. Y proposiciones son verdaderas o falsas:
(i) Yc (i)
(ii)
=r Z,
(iii) Z
(iv) Ve
Puesto que cada elemento de Yes elemento de X, Y
e X
pUCSIO
que
: x es par L
de B
Basta mostrar que por lo menos un elemento de A no pertenece n los números pares, 3 f/; B: entonces A no es subconjunto de B,
Z no es el conjunto vacío
n,
Pues bien 3 E A y. como B es el conjunlO dc
la, b I y Z
la, b, d l. Determinar
Si
las
W, (vi)WC
(v) '/crdadcra,
a E Z pero a f/; W: entonces W# Z es verdadera. (iii)
1.6.
d es el único elemento de V y también d pertenece a Z: entonces Z ::J V es verd3dera. V no es subconjunto de X puesto que d E V pero d f/; X; entonces
(v)
Ahora a E X pero a f/; W: entonces.\'
=
(vi)
W no es subconjunto de }' puesto que
e E W pero e El. 1'; entonces W e y
Probar: Si A es un
del
IV
nto
entonces A
= 0.
íll e
falsa,
= ,.1, Pero por
A e 0; enlonces
Probar el teorema 1.1 (iii): Si A e B y Be C. entonces A e C. Tenemos que demostrar que cada elemento de A pertenece también
x E B, pero Be C: entonces x E C. Hemos demostrado que x E A
1.8.
es falsa.
falsa.
El conjunto vacío es subconjunto dc todo conjunto; cn particular,
A
1.7.
ve X
(iv)
¿Cuáles los conjuntos son finitos'? (i) Los meses del año, (iv) El (v) El (ii) ¡ 1,2.3 •. , .,99,1001, (iii) El número de personas que viven en la Tierra.
iI
e
Sea x E A Como A e B imp)¡ca que x E C, o sea, qu.c A e C.
nto Q de los números racionales. nto R de los números reales.
Los tres prírncros conjuntos son finitos: los dos últimos son infinitos. (Puede demostrarse que Q es numerable o contable pero R es no contable,)
CAP. 1]
1.9.
TEORIA DE CONJUNTOS
7
Considerar los siguientes conjuntos de figuras en el plano Euclidiano:
e
A = Ix: x es un cuadrilútero I
B = Ix: x es un rectángulo
I
Ix: x es un rombo I
=
D = Ix: x es un cuadrado I
Determinar cuúles conjuntos son subconjuntos propios de cualquiera de los otros. Un cuadrado es un rectángulo por tener sus ángulos rectos y es un rombo por tener sus 4 lados iguales, y además por tener 4 lados es un cuadrilátero. Entonces
D e A,
De B
DeC
y
por consiguiente, D es un subconjunto de los otros tn:s . Así mismo, puesto que hay ejemplos de rectángulos, rombos y cuadriláteros que no son cuadrados, D es un subconjunto propio de los otros tres. En forma similar vemos que tanto B como los conjuntos dados.
e son
subconjuntos propios de A. No hay ninguna otra relación entre
1.10. Determinar cuáles de los conjuntos siguientes son iguales:
~,
{~}.
{O},
0
Cada uno es diferente del otro. El conjunto 101 contiene un elemento, el número cero. El conjunto elementos; es el conjunto vacío. El conjunto {0} también tiene un elemento, el conjunto nulo.
no contiene
OPERACIONES CON CONJUNTOS
1.11. Sean U = I 1, 2, ... , 8, 9 1, A = I 1, 2, 3,41, B = I 2, 4, 6, 8 I y e (i) A e, (ii) A n e, (iii) (A n C)e, (iv) A U B, (v) B ""- e,
I 3,4, 5,6 l. Hallar:
(i)
Ae consta de los elementos de U que no están en A: o sea AC = I 5,6,7 ,8,91.
(ii)
A
(iii)
(A n e)e consta de los elementos de U que no están en A n C. Ahora por (ii), A n e do (A n C)C = I 1, 2, 5, 6, 7, 8,91.
(iv)
A U B consta de los elementos de A o de B (o de ambos) : o sea A U B =
(v)
B "" e consta de los elementos de B que no están en C: o sea B "" e = 1 2,8 l.
ne
1.12. Sea U
(i)
=
consta de los elementos comunes a A
y C:
o sea A
ne
= 1
3,4 1. =
I 3,41 Y del mismo mo-
I 1,2,3,4,6,8 l.
I {l, b, e, d, e 1, A = la, b, el 1 y B = lb, d, e l. Hallar:
A uB
(ii) BnA
(iii) Be
(v)
(iv) B""-A
(vi) A U Be
AcnB
(vii)
AcnBc
(ix) (A nB)e
(viii) Bc""-Ae
(x)
(A U B)e
(i)
La reunión de A y B consta de los dementos de A y B (o de ambos); o sea A U B = la. b. d , e 1.
(ii)
La intersecciún de A y B consta de aquellos elementos que pertenecen a ambos A y B: o sea A n B
(iii)
El co mplemento de B con sta de las letras de U pero no de B: así que 8 e
(iv)
La diferencia B "" A consta de los elementos de B que no pertenecen a A: o sea B"" A = I el.
(v)
A e =Ic ,el y 8=l.b,d,el; luego Aen B=lel.
(vi)
A
= 1(l. b. d 1 y Be
(vii)
y
(viii) . Ae
= 1 e,
=
I a, e 1; entonces A U Be
e 1 y Be
=
I
=
=
B- A:/ e )
la, b, c. d l.
{e}
(ix)
De (ii), A n B
(x)
De (i) , A U 8 = la, b. d. e 1; o sea (A U B)e = 1 e l.
lb . d 1; o sea (A n B)e = I {l. e, e l.
y
lb. d i.
I a. e 1.
a, e 1; entonces
AcnBc =
=
=
Be", Ae
{a}
Ij
~ t~~~~ ~ 1>, 7' ~ rlé~~
1\
TEORIA DE CONJUNTOS
8
[CAP. I
I.JJ. En el diagrama de Venn dibujado, sombree: (i) Be, (ii) (AuB)<, (iii) (B"'-.A)e, (iv) AenBe.
(i)
BC consta de los elementos que no pertenecen a B: o sea que se sombrea el <Írea exterior a B corno sigile:
B
(ii)
Primero se sombrea A U 8: luego el área exterior o sea (A U 8)
AuB
(iii)
(A U B)e
Primero se sombrea B "-A. el área de 8 que no pertenece a A , luego (B "-A)c. o sea el área exterior a B"- / I
A
(iv)
B
Primero se sombrea Ae, o sea el área exterior a A, con trazos oblicuos inclinados a derecha (////), y luego se so m brea Be con trazos oblicuos inclinados a izquierda (\\\\); entonces o4 e n Be es el área rayada dohlemente:
AcnBC Observe que (A
n B)C
=
/lc
n 8 e , como se esperaba por la ley de De Margan.
CAP. IJ
TEORIA DE CONJUNTOS
9
1.14. Probar: B"'A = B n A C • O sea, que el conjunto de la operación direrencia puede ser escrito en términos de operaciones de intersección y complemento. B ~ A
e A}
{x: x E B, x
B n Ac
{x: x E B, x E AC}
1.15. Probar: Para dos conjuntos cualesquiera A y B, A n B e A e A u B. Sea xEA nB; por consiguiente xEA y xEB. En particular , xEA. Entonces xEA nB implica que xEA. AnBcA. Además si xEA . entonces xEA o xEB, o sea, xEA uB. Puesto que ACA uB. En otra s palabras, A n 8 C A C A U B.
1.16. Probar el teorema 1.3 (i): A e B si y sólo si A n B = A. Su pongamos A C S. Sea x E A; entonces por hipótesis~ x E S. O sea que ~ E A Y x E S, luego x E A U S. En consecuencia, A CAn B. Por otra parte, siempre se cumple que A n S C A (problema 1.15). Luego A n S = A. Ahora supongamos que A n S = A. Entonces en particular, A CAn S. A n S cS. Entonces A CAn B C S y así, por el teorema 1. 1, A C S.
Como siempre se cumple que
CONJUNTOS PRODUCTO 1.17. Sean M =
! Tomás,
Marcos, Enrique
1
y
w=
I
Andrés, Beatriz l. Hallar M X
,\4 X W consta de todas la s parejas ordenadas (a. b) donde a E M Y bE W ,\1 X W =
I (Tomás ,
w.
Por tanto
Andrés), (Tomás, Beatriz), (Marcos, Andrés),
(Marcos, Beatriz), (Enrique, Andrés), (Enrique , Beatriz) I
1.18. Sean A
=
I 1, 2, 3 1, B
e=
l 2,4 1 y
=
! 3,4,5 l.
Un método conveni e nte para hallar el producto A X S X que se mues tra a continuación:
1
~2
~4~:
(1, 4, 3) (1, 4,4) (1, 4, 5)
3
~2~:
(2, 2, 3) (2, 2, 4) (2, 2, 5)
~.~:
(2, 4, 3) (2, 4, 4) (2, 4, 6)
3
~2~:
(3, 2, 3) (3, 2, 4) (3, 2, 6)
~4~:
(3, 4, 3) (3, 4, 4) (3, 4, 6)
El "árbol" se con struye de izquierda a derecha. A X B X del "árbol".
(i) A (i)
X
=
! 2, 3 1 y e
(BUe), (ii) (A
Primero hallamos B U
X
e=
B) [
U
(A
es por medio del denominado "diagrama de á rbol"
(1, 2, 3) (1, 2, 4) (1, 2, 5)
3
la, b 1, B
e
3
2
1.19. Sean A =
Hallar A X B X C.
=
X
e
consta de todas las ternas ordenadas, listadas a la derecha
13,4 l. Hallar:
e), (iii) A
X
(Bne), (iv) (A
X
B) n (A
2, 3,41. Luego
A X (BuC) =
{(a,2), (a,3), (a, 4), (b,2), (b,3), (b,4)}
X
e).
10
TEORIA DE CONJUNTOS
(ji)
[CAP. 1
Primero hallamos A X B Y A X C:
AxB
A
X
{(a, 2), (a, 3),
e
==
2), (b, 3)}
{(a,3), (a., 4), (b, 3), (b,4)}
Luego 'calculamos la reunión de los dos conjuntos: (A X B) U (A X e)
{(a, 2), (a,3), (b, 2), (b, 3), (a,4), (b,4)}
=:
Observamos de (i) y (ii) que
A X (B U e) (iii)
Primero calculamos 8
n e = I 31.
(A X B) U (A X e)
=:
Luego
A X (Bne) (iv)
{(a, 3), (b,
aH
NlOra A X 8 Y A X e ya fueron calculados. La intersección de A X B Y A X C consta de aquellas ordenadas que pertenecen a ambos conjuntos:
(A X B) n (A X C)
{(a, 3), (h, 3)}
Observamos de (iii) y (iv) que
A X (B n
1.20. Probar: A X (B n C)
(A X B) n
el
=
(A X B) n (A X
e)
xC). y); xEA, yEBne}
AX(Bne)
==
{(x,y): xEA,yE {(x,y):
yEe}
y) E A X B, (x,y) E A. X e}
(A X B) n (A X e)
1.21. Sean S
la,bl, W
11,2,3,4,5,61 y V
(3,5,7,91. Hallar
X W)
n
(S X V).
El conjunto producto (S X W) n (S V) se halla primero calculando S X W y 5' X V. y luego calculando la intersección de estos conjuntos. Por otra parte, según el problema anterior, (S X W) n (S X V) = S X (W n V). Ahora W n V = I J, 5 1, y así,
(S X W)
1.22. Probar: Sí se tiene A
e
n (S
B
X V)
y e e
==
S X (W n V)
{(a,3), (a, 6), (b, 3), (b, 5)}
D; entonces (A X
e
(B X D),
Sea (x, y) un elemento cualquiera de A X C; entonces x E A Y Y E C. Por hipótesis, A e 8 e e D; luego x E B Y Y E D. Por consiguiente (x. y) pertenece a B X D, Hemos demostrado que (x, y) E A X C ilIlplica que (x, y) E B X D; o sea (A X C) e (8 D),
CLASES DE CONJUNTOS 1.23. Consideremos la clase A {! 2, 31, : 4, 5 :, : 61}. ¿Cuáles propOSICIOnes son incorrectas y por qué? (i) I 4, 5 I e A, (ií) I 4, 5 I E A, (¡íi) { I 4, 5 I} e A. Los miembros de A son los conjuntos I 2, 31, I 4, 5 I y I 6 L Por tanto, (ii) es correcta pero (1) es una incorrecta. Por otra parte, (iii) es también una proposición correcta puesto que el conjunto que consta del simple elemento 14. 51 es una subclase de A.
1.24. Hallar el conjunto potencia
del conjunto S
i 1, 2, 3 1.
El conjunto potencia PeS) del conjunto S es la clase de lodos los subconjuntos de S; éstos son: I 1, 2, 31, I 1, 21, 11.31,12, 31.ll:, 12 :,131 y el conjunto vacío 0, Por tanto
P(S) :::: {S, {l, Nótese que hay 2) = 8 subconjulltos de S,
{2.3}, {l,
{l}, {2}, {3}, 0}
TEORJA DE CONJUNTOS
CAP. 11
1.25. Sea X =
(i)
¡ a, b,
e, d, e, f, g 1, Y sea:
A 1 ={a,c,e},A 2 ={b},
g};
(ii) Bl = {a,e,g},
{b,e,f};
(iii) C I
= {a, b, e, g},
(iv) DI
= {a,b,c,d,e,f,g}.
¿Cuáres de
II
¡ ."11,
C2
{d,!}; B l 1, I
A2, A JI, I B 1,
e 1, el, el 1, ID ¡ I
son particiones de X?
(ji)
de X puesto que I E X pero f no pertenece a ninguno de los Al, AloA ! B " 81, 8) I tampoco es partición de X puesto que e E X pertenece a ambos B 1 Y B J.
(¡Ii)
I
(i)
I A " Al, A 1 I no es una
e" e" e J
o sea, X (iv)
¡
J.
es una partición de X puesto que cada UIlO de los elementos de X pertenece a una célula exactamente, 1 son parles discretas disyuntas.
e u e, u e ) y los
D, ¡ es una partición de X.
la, b, e, di.
de X
1.26. Hallar todas las
Notamos primero que cada partición de X contiene, Ó 1, 2, 3, ó 4 conjuntos diferentes. Las siguientes: b, e,
b},
(4) Hay quince
[{b}, {a, e,
[{e},
[{a,e}, {b,d}],
[{a,d}, {b,
b,
b,
[{a}, {b}, {e,
[{a}, {e}, {b, d}],
[{a}, {d}, {b, e}],
[{b},
[{b}, {a}, {a, e}],
[{e}.
{a, d}],
[{a}, {b},
{a, b}]
{d}]
diferentes de X.
1.27. Sea N el conjunto de los enteros
y, para cada n E N, sea
! x: xes
un múltiplo den
Hallar: (i) A3 nAs, (ii) A4 n A 6 , (iii) primos 2, 3, 5, 7, ll,
U¡EP
1= ¡ n, 2n, 3n, ...
A¡, donde P es el conjunto de los números
(i)
Aquellos números que son
(íi)
Los múltiplos de 12 y ningún
(lii)
Todo entero positivo excepto 1 es un múltiplo de por lo menos un número primo; entonces,
conjuntamente de 3 X 5 o sea múltiplos de 15; por tanlo Aa OlfO
número pertenece a ambos A4 y As; portanto A.¡ n A 6
UíEP
=
{2. 3, 4, ... }
=
e A¡o e
El
Puesto que io E l. Y E UjEI Al
1.29. Probu (la ley de De
As = A15'
jo
E l.
Al
UIEI
Sea x E n¡EI A¡. entonces x E Al para cada ¡EJ. En Ahora sea y E
n
AIZ'
N"- {l}
l I una clase con índices de conjuntos y sea
1.28. Probar: Sea 1 A ¡
x E
Entonces A 'o
e
Por tanto
nlEI Al cAlo'
UjE1A¡.
Para una clase con índices {x : x (/; Al para todo i}
1.30. Sea cA un y (íi) cA es
so[J las
=
:a:E
para todo i}
de conjuntos de U. Demostrar que: (i) U Y ~ para intersecciones finitas (contables).
(cr
=
n I A~ acA;
Recordemos que cA es cerrada para.compkmenlos y reuniones finitas (contables).
(i)
Puesto que cA no es vacía, hay un conjunto A E cA. Entonces el complemento AC E cA. y la reunión U A uAc E cA. También el complemento 0 Ue E cA.
(ii)
Sea I A¡ I una clase tinita (contable) de conjuntos que pertenecen a cA. Por la ley de De Morgan (problema 1.29), (u¡ n j njA,. Por consiguiente n¡A¡perteneceacA,comose demostrar.
=
=
TEORIA DE CONJUNTOS
12
[CAP
I
Problemas propuestos CONJUNTOS. ELEMENTOS, SUBCONJUNTOS 1.31.
Escribir en nutación de conjuntos: R es un subconjunto de T. (b) x es un miembro de Y. (e) El conjunto vacío. (a)
1.32.
(d)
M no es subconjunto de S.
( e)
z no pertenece
(f)
R pertenece a cA.
A.
J.
Repeti r esc ribi endo explícitamente los elementos de cada conjunto: A = Ix: x' - x - 2 = 01 (ii) B = I x x es una letra de la palab ra " fallar" 1 (iii) e = Ix. x ' = 9. x - 3 = 5 1 (iv) D = Ix ¡ x es una vocal 1 (i)
(v)
1.J3.
/
E = Ix' x es un dígito del número 2324 1
Sean A
=
I 1, 2,
,8,91, [) = 12,4,6,81,
e
=
I 1. J, 5, 7, 91, D = 13,4,51 Y E
¿Cuides co njuntos son iguales a X si se da la siguiente información '} (i) X Y [) son disyunto s. (ii) X e D pero X B . (iii) X e A pero X
ct
1.34.
{l,4,3}
(i)
Sea
A
C. (iv) X
e
e
pero X
ct:
A.
= {3,4,1}
(iii) 1
(v)
(vi)
{4} e {{4}} {{4}}
0e
= 1 1, O l. Indica r si las proposiciones son correctas o no :
0
(i) {O} E A, (ii) 1.36.
13,5 l.
Indicar si cada proposición es verdadera o falsa:
(ii) {3,1,2}C{l,2,3}
1_,5.
q:
=
E A, (iii) {O}
e A,
(iv) O E A, (v) O e A.
Establezca si cada conjunto es finito o infinito : (i)
El co njunto de líneas paralelas al eje x .
(ii)
El co njunto de letras del alfabeto inglés.
(iii)
El conjunto de números múltiplo s de 5.
(iv)
El co njunto de animales que viven en la Tierra .
(v) (vi)
El conjunto de números que so n solución de la ecuación x 27 [1 co njunto de círculos alrededor del origen (O, O) .
+ 2Gx 18 -
l7x ll
+ 7x3 -
10 == O.
OPERACIONES CON CONJUNTOS 1.37.
Sea n U
= {a, b, e, d, e, 1, g}, A U C (ii) BnA
U8.
A
= {a, b, c, d, e},
B == {a, c, e, g}
(iii) C" B
(i)
(iv)
Be
U
(v)
C
Ce n A
y
C
= {b, eJ, g}. (vii)
Hallar
(A" Be)e
(vi) (A" C)e
(i) W" V, (ii) Ve U W, (iii) V n We, (iv) Ve" We.
En los diagramas de Venn inferiores, so mbree:
(a)
(b)
=
=
1.39.
Probar: (a) A U B (Ae n Be)e; (b) A" B A n Be. (Así las operaciones de reunión y diferencia pueden definirse en términos de operacion es de intersección y comp/c:mento .)
1.40.
Probar el teorema 1.3 (ii): A
1.41.
Probar : Si A n
1.42.
Probar: A
e"
[J =
Be
0,
e
B si y sólo si A U
entonces A e
= B" A.
[Jc
\
[J =
B.
CAP. 1]
TEORIA DE CONJUNTOS
1.43.
Probar: A
8 implica A U (8" A)
1.44.
(i)
Probar A n
"e)
tii)
Dar lln
para mostrar que
13
B.
(A n B) '"
n C}.
C) ~ (A U B) '"
A U (B
U C}.
CONJVNTOS PRODUCro
1.45.
1.46.
Sea W
I
Marcos,
Pablo
Vx
Sea A
V
=
:
2, 31, 8
11.3,51
B X C. (Ver
A
I Enrique, David 1. Hallar:
y sea V
1
(i) Wx V, (ii) Vx W, (íii) V,
v.
C
41. Construir el "diagrama de árbol" de A X B X
e
hallar
y
1.18.)
lA8.
Suponer que los conjuntos W y Z tienen 3, 4 Y 5 elementos respectivamente. Determinar el númao ele elementos de (i) V X W X Z, (ii) Z X V X W, (Jii) W X Z X V.
1.49.
Sea A
n e.
Determinar si ambas
(i) A X A = (8 X B)
1.50.
(B U C)
Probar A
1 b, c. di Y
e).
la, di. Construir el "diagrama de árbol" de S
>,
Sea S 1a, b, e SxTXIV.
8
T
w
1.47.
=
son ciertas:
nenn,,",,'
n (e
X
= (A
X E) UtA X e).
T X W y luego hallar
(H) A X A
X C)
n
(e X B).
CLASES DE CONJUNTOS 1.51.
1x. Az nA 7;
un múltiplo de ni
Sea An
donde s.
f
=
! n. 211, 3n,
1, d,mde n E N, entero5 positivos. Hallar' U A st '
As n (iií) Aa U (iv) Aa n A 12; (v) EN. (vii) Probar: Si J e N es infinito, entonces n¡EJ
=
Hallar el conjunto potencia 'P(A) de A
1.53.
Sea IV = I 1, 2, 3, 4, 5,6 L Determinar si cada proposición es una partIción de W
Hallar todas las
1.55.
Sean
[A 1,
••• ,
de B
1 1, 2, 3, 4 I 'j el conjunto
(i)
[{t,3,5},{2,4},{3,6}]
(iii)
(ii)
[{1.6},
(iv)
{S,6}]
8,
t E N;
(vi)
{l, {2, 3l,
{2},{4},{3,6}] [{l, 2,3,4,5,
de V i i , 2, 31.
A'nJ
B 2,
y
••• ,
Bn]
[Ain
de un conjunto X Demostrar que la coiección de conjuntos
i=l, ... ,m,j=l, ... ,n]
también es una part;lción (llamada la parliciólI Iras versal) de J:'. 1.56.
Probar Para
(a) Bu(njA¡~
clase con índices {Al: i E l} (b) B n (utA¡)
ni
1.57.
Probar (ley de De Margan): (ni
1.58.
Demostrar qUe cada una de las (i) cA
1.59.
= {0" U};
n
0.
1.52.
1.54.
donde
(H) '13
= {0,
siguientes es un álgebra de
Ac, U}; OH) 'P(u), el conjunto
de U: de U.
Sean cA y '13 álgebras (a -álgebras) de subconjuntos de U. Probar que la intersección cA n '13 también cs un «1·álgebra) de subconjuntos de U.
[CAP, I
TEORl¡\ DE CONJUNTOS
14
Respuestas a los problemas propuestos (d) M ~ S, (e) z !l A, (f) R E cA.
1.31.
(a) Re T, (b) x E Y, (e)
1.32.
(i) A
1.33.
(i)
1.34.
Todas
1.35.
(i) incorrecta, (ii) incorrecta, (m) correcta, (iv) correcta, (v) incorrecta
1.36.
(í) infinito. (ií) finito,
{-1,2}, (U) B
e y E,
{f,a,l,,}, OH) C= 0, (iv) D
BnA::::
infinito, (iv), finito, (v) finito, (vi) infinito (v)
e,e}
CenA:::: {a, e, (A
Ce
C)c={b,e,f,g}
(A (viii) (A nAe)e ::::: U
d,!,
(a)
(b)
'.
®
V
VcuW
W",,"V vcu W
Obsérvcse que (i) (ii)
W X v D"J vid) I V
W
= U
I (Marcos,
Y vn
¡ve
Ve",," Wc
VnWc
VcuW
W",,"V
1.45.
{2,3,4}.
proposiciones son verdaderas excepto (v)
OH) C",,"B::::: {b,t} EcuC::::: {b,d,e,f,g} 1.38.
(v) E
(ii) D Y E, (iii) A, By D, (iv) no
A uC::::: U
1.37.
= {a,e,i,a,u},
VnWc
o cn el caso (h) donde
ve
W,
(Marcos, David), (Enrique, Enrique), (Enrique, David), (Pablo, Enrique), (Pablo,
= I (Enrique, Marcos). (David, Marcos), (Enrique, Enrique), (David,
(Enrique, Pablo), (David,
Pablo) I
(iii)
V X V =
I
(Enrique, David), (David. Enriquc),
1.46.
1
3 4
(2, 1, 3) 1, 4)
2'1;::---- 3
8 4
(2, 3, 3) (2, 3, 4)
3
5,3) (2,6,4)
5 1 3
5 elementos de A X 8
e
" " " " 3
1, 3) (3, 1, 4)
3
(8, 3, 3) (8, S, 4)
3
(3. 5, 3) (3, 5, 4)
,
son las ternas ordenadas a la. derecha del diagrama de árbol anteri,0r.
CAP, 1]
TEORIA DE CONJUNTOS
15
1.47.
b ti
d
b
b
el
d
b el
d
(a, (a, (a, (a, (a, (a,
"d " d
b, a) b, d)
e, a) e, d) d, a) d, d) (b, b, a)
a. d
"
(b, (b, (b, (h, (b,
d
a d
a d
a
(e, (e, (e, (e, (e, (o,
d
a d
a d
b, d) e, a) e, el) d, a) d, d) b, a) b, d) e, al e, d) d, a) d, d)
Los elementos de S X T X W son las ternas ordenadas a la derecha del diagrama de árbol.
1.48.
Cada uno tiene 60 elementos
1.49.
Ambas son verdaderas: A X A
(B X B)
n
(C X C)
(8 X C)
n
(C X B)
(iv) A 12 , (v) A" (vi) Aa! {B, {I, {2,3}}, {I,
{{2, 3}, 4}, {l}, {{2, 3}}, {4}, 0}
1.52.
'P(B)
1.53.
(i) no, (ji) no, (íii) sí, (iv) sí
1.54.
[{I , 2, a}], [{l}, {2, a}], [{2}, {l, a}], [{3}, {l, 2}]
Y I{l}, {2}, {3}]
Capítulo 2 Técnicas de contar INTROOUCCION
Fn esll: c tpítulo desarrollarl:n1os algunos métodos para determinar sin enumeración directa el núml:ro de resultados posibles de un experimento particular o el número de element os de un conjunto particular. Ta k s téc ni cas so n conocidas algunas veces con el nombre de análisis combinatorio . . PIUNCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO [J1l pe za mos
co n el sigu ien te prin cipio bás ico:
Principio fundamental del conteo: Si un evento puede reali zar se de ni manera s diferentes. y si, con tinu a nd o el procedimiento, un segundo evento puede rea lizarse de n2 maner as diferentes, y si , des pués .de efectuados, un tercer evento puede re alizarse de n3 manl;:ras diferentes, y así sucesiv a mente, entonces el número de maneras en que los eventos pueden re alizarse en el orden indicado es el producto ni' n z' n 3 .... Ejemplo 2.1: Supo ngam os que una pl aca de autom óv il con sta de dos letras di st intas seguidas de tr es dígit os de los c ua les el primero no es ce ro. ¿Cuántas placas diferentes pued en graba rse 1 La primera letra ruede colocarse de 26 maneras diferentes (s upu es to el a lfabet o ele 26 1ctr~si. la 'cgunda let ra de 25 manfras (pu esto que la letra grabada de primera no puede escogerse como segunda letr a). para el pnmer dígito ha y nueve núm o;ros o sea nueve man eras y para cada un o de los ot ro s do s digit os 10 ma ner as. Por lo tanto puedcngrabar~e
26' 25 • 9 • 10· 10
=
585.000
placas difer entes
NOTACION FACTORIA.L
El prod ucto de los ent eros positivos desde I hasta n inclusive, se/emplea con mucha fr ecuencia en matcmúticas y aquí lo denotamos por el sí mbolo especial n! (que se lee "1/ factoria!"):
n! Conviene tambi én definir O!
1·2·3· ·· · '(n-2)(n-1)n
l.
=
2!
Ejemplo 2.2:
5~ 8! 6!
Ej l' mplo 2.3:
=
l' 2
=
=
5' 4!
8'7'6! 6!
= l' 2 . 3 = 5 ' 24 = 120;
=
2,
3!
8'7
=
56
6,
6!
= l' 2 • 3 • 4 = 24, 6' 5! = 6' 120 = 720 4!
12' 11 . 10
=
12' 11 • 10 • 9!
9!
12! 9!
PERMUTACIONES
Una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama una permutación de los a la vez) . Una ordenación de un número r de dichos objetos, r ~ n, en un ------oréícn dado se ll a ma un:¡--p--ermtt-{~ r o una pen~ión de los f/ o bjetos ~~~dos r a la vez. obj ejQ;i_(.t(Hnad{)s...1Q.9~
Ej emplo 2.4: Cons ideremos el (i)
conju~e
bdea . deba y acdb
las letras In. b.
son~rmlJt aciones
~:-r.nr()nccs :
de las 4 letras (tornadas to das a la vez) :
(ii)
hado ndh. cb d y bca son permutaciones de las 4' letras tom adas 3 a la vez,
(iii)
ad. ch . da y hd so n permuta cio nes de las 4 'Ietras lo rnad
16
17
TECNICAS DE CONTAR
CAP. 21
de n objetos tomados r a la vez lo denotamos por
El número de
P(n, 'ro} P(n, r) consideremos un caso especial:
Antes de deducir la
Ejemplo 2,5: Hallar el número de permutaciones de 6 objetos, a saber, a, b, c, d, e,f, tomados tres a la vez. En otras el número de "palabras de tres letras diferentes" que pueden formarse con las sd,¡ palabras, letras mencionadas. Representemos las
Ahora la primera ktra escogerse de 6 formas diferentes; en seguidJ, la !etra puede escoger de 5 formas diferentes; y después de esto, la última letra se escoger de 4 formas diferentes. Escribimos cauJ número en su correspondiente como
Así por el principio fundamental del conteo hay 6' 5 • 4 l:;!O posibles palabras de lres letras ,in repetición, o hay 120 de 6 objetos tomados 3 al tiempo. Esto es, P(6,3)
=
120
La de la P(n, r) sigue el procedimiento ejem anterior. El pnmer elemento de una permutación r de n objetos puede escogerse de n diferentes maneras; a el segundo elemento de la permutación puede escogerse de n 1 maneras; y, sucesivamente el tercer elemento puede escogerse de!l 2 maneras. tenernos que el r-ésimo (último) elemento de la permutación r escogerse de ti ~- (r - 1) n r I maneras. Así,
Teorema 2.1:
-l)(n-
P(n, 't}
n!
T
se basa en
La
n(n - l)(n - 2)· .. (n En el caso especial de r
=
r
n!
+ 1)
n, tenemos ~1)(n-2)
P(n,
Es
" ·(n
.. 3·2'1
n!
el
Corolario 2.2: Las Ejemplo 2.6:
u",',v,'"" de
ti
todos a la
permutaciones de 3 dementos se fllrman con Según
corolario anterior, hay 3!
l' 2 • 3
objetos a, by
=6
n!
son C'I
permutaciones. Esta" ,on abe. acb, bac.
hea. cab, cba.
PERMUTACIONES CON REPETICIONES Con se saber el número de permutaciones de objetos, de los cuales como se indica a continuación. Usamos la fórmula Teorema 2.3: El número de permutaciones de n objetos de los cuales ni son ., nr son es
n!
son
18
TECNICAS DE CONTAR
[CAP 2
Indicamos la comprobación del teorema propuesto por medio del siguiente ejemplo particular. Supóngase que deseamos formar todas las posibles palabras de 5 letras usando las letras empleadas en la palabra DADDY . Ahora se tienen 5! = 120 permutaciones de los objetos D"A,D 2 ,D 3 , Y donde las tres D están marcadas. Observamos que las seis permutaciones siguientes
forman la misma palabra si se quitan los subíndices. Las 6 resultan del hecho que hay 3! = 3·2·1 := 6 maneras difer"entes de colocar las tres D en los tres primeros lugares de la permutación . Esto es cierto para cada una de las otras posiciones posibles en donde las D aparezcan. Por consiguiente hay
~ 3! -
120 _ 20 6 -
palabras diferentes de 5 letras, que pueden formarse tomando las letras de la palabra
DADDY.
Ejemplo 2.7: ¿Cuántas señales diferentes, cada una de 8 banderas colocadas en una línea vertical, pueden formarse con un conjunto de 4 banderas rojas sin marcar, 3 blancas sin marcar y un a azul? Tratamos de obtener' e l número de permutaciones de 8 objetos de los cuales 4 son igu ales (las banderas rojas) y 3 también (las banderas blancas). Según el teorema anterior hay
8! 4! 3!
8·7·6·5·4·3·2·1 4·3·2·1·3·2·1
280
señales diferentes.
PRUEBAS ORDENADAS Muchos problemas del análisis combinatorio y, en particular, de probabilidad se relacionan con la escogencia de una bola tomada de una !lrna que contiene" bolas (o una carta de una baraja, o una persona de una población) . Cuando escogernos una bola tras otra de un a urna, r veces, defjnimos esta escogencia como una prueba ordenada de tamaño r . Se con sideran do s casos: (i)
Pruebas con sustitución. En este caso cada bola escogida se regresa a la urna antes de tomar la siguiente. Ahora puesto que hay n manera s diferentes para escoger cada bola , según el principio fundamental del conteo hay r veces ~
n·n·n···n
=
nT
pruebas ordenadas diferentes de tamaño r con sustitución. (ii) Pruebas sin sustitución. Aquí la bola no se devuelve a la urna antes de escoger la sigu iente. Así no hay repeticiones en la prueba ordenada. O sea que, Ulla prueba ordenada de tamaño r SIO sustitución es simplemente una permutación r de objetos de la urna . Por consiguiente hay
P(n, r) = n(n - l)(n - 2) ... (n - r
+ 1)
n!
= (n _ r) !
pruebas ordenadas diferentes de tamaño r sin sustitución tomadas de un grupo de
ti
objetos.
Ejemplo 2.8: ¿De cuántas maneras se pueden escoger tres cartas sucesivas de una baraja de 52 cartas, (i) con sustitución, (ii) sin sustitución? Si cada carta se regresa al naipe antes de e~;coger la siguiente, en tonces cada carta puede escogerse de 52 maneras diferentes . Entonces hay
52·52·52 = 52 3 = pruebas ordenadas diferentes de tamaño 3 con sustitución .
140.608
19
TECNICAS DE CONTAR
CAP 2]
Por otra parte si no hay sustitución, entonces la carta puede escogerse de 52 maneras diferentes, la segunda carta de 51 maneras diferentes, y la tercera y última carta de 50 maneras diferentes, Por Jo tanto hay
62' 51 • 50
132,600
pruebas ordenadas diferentes de tamano 3 sin sustitución,
COEFIClE~TES
DEL BINOMIO Y TEOREMA
El símbolo (;) , léase "ner", donde r y
n) (r
1'1
son enteros positivos con r
n(n
~ n,
se define como
-r+l)
1-2-3·· ·(r-l)r
Estos números son llamados coeficientes del binomio en atención =
Ejemplo 2.9:
a~
teorema 2.5 expuesto más'adelante.
= 126
28
792
Nótese que (;) tiene exactamente r factores tanto en el numerador como en el denominador. También,
n! r Con esta fórmula y teniendo en cuenta que
Lema 2.4:
(~)
(n~r)
Ejemplo 2.10:
C7
0,
0
(1'1
11
lo que es lo mismo,
.....
10' 9 ·8' 7' 6' 5 • 4 )
1•
r) = r, se obtiene la
SI
::;:: 120
a
b
o
ti
relación lm-
(~).
entonces (:)
C;)
C~)
120
Obsérvese que el segundo método economiza espacio y tiempo.
Nota: La fórmula abreviada del
:.9 para
=1
(~)
y el hecho de que O!
y, en particular
(~)
1, nos llevan a definir:
O! OJO!
1
El teorema del binomio, que se demuestra por inducción matemática (problema 2.18), proporciona la para el desarrollo de (a + b)n.
Teorema 2.5 (teorema del binomio):
+ ... + Ejemplo 2.11:
nab,¡-l
+
bn
20
[e A P 2
TECNICAS DE CONTAR
En el desarrollo de (a
+
+ h)"
se deben observar las propiedades siguientes:
(i)
Hay
(ii)
La suma de [os exponentes de a y de b en cada término es
1/
I términos. 1/ .
(iii) Los exponentes de a decrecen una unidad en cada término desde n hasta O: los exponentes de b crecen similarmente de a Il.
°
(iv) El coeficiente de cualquier término es del lema 2.4.)
(~)
donde k es el exponente de a o de b. (Esto proviene
(v) Los coeficientes de términos equidistantes de los extremos son iguales. Hacemos notar que los coelicientes de las potencias sucesivas de a + b pueden ser distribuidos en una formación triangular de números, llamada triángulo de Pascal, como sigue: 1
(a+ b)O
+ b)I
(a
(a
(a
(a+ (a
+ b)2
a2
1
a
+
b
+
2ab
+
1 b2
1
+ b)3
1
W
+ b)5
1
(a+ b)6 =
5 6
2
3
4
1
1
3
4
6
~
~
1
5
10
@
1
15
1 6
1
El triángulo de Pascal tiene las siguientes propiedades interesantes . (a)
El primero y último número s de cada fila es l.
(h) Cada uno de los otros números de la formación se obtienen sumando los dos húmeros que aparecen
directamente encima de él. Por ejemplo: 10
4
=
+ 6,
15
=
5
+
10,20
=
10
+
10.
Se observa que la propiedad (b) anterior es equivalente al siguiente teorema so bre coefici entes del binomio: Teorema 2.6:
(
n +r
1)
Ahora sean nI, n2, ... , 1h enteros no negativos tales que nI la expresión (
n n),
nI, n2, ... ,
+ n2 + ... + n,
n. Entonces
se define corno sigue:
n! Por ejemplo,
7! 2!3!2!
8! 4!2!2!0!
210
420
Estos números so n llamado s coeficientes mu/tinomia/es en atención al siguiente teorema que generaliz.a el teorema del binomio. Teorema 2.7:
(al + az
+ .. . + a,)"
L
"1+"2+···+n,="
""2 la 2 ... a , ( nl,nZ, n... ,n, ) a1
nr
TECNICAS DE CONTAR
CAP 2]
21
COMBINACIONES que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de estos n objdOS lomados r ala vez, O una combinación r, es un subconjunto de r elementos. En otras una combinación r es una selección de r o de n objetos donde el orden no se tiene en cuenta Ejemplo 2.12: Las combinaciones de las letras a, b. e, d tomadas 3 a la vez son
la. b,
1, 1a, b, di, ¡ a. c. d 1, lb, c. dio simplemente abe, abd. aedo bcd
Obsérvese que las
siguientes son iguales:
acb,
cha
O sea, cada una representa el mismo conjunto la, b, e L
El número de combinaciones de n objetos tomados r a la vez lo
por
C(n, r) Antes de dar la fórmula
para C(n, r),
un caso
Ejemplo 2.13: Determinemos el número de combinaciones de las cuatro letras a. b, e, d lomadas de tre" el! tres. Vemo,; 6 así: que cada combinación que contenga tres letras produce 3!
Combinaciones
Permutaciones
abe
abe, acb, bac¡ bca, cab, cba
abd acd bcd
LUt:go el número de combinacíones multiplicado por 3! equivale al número de permutaciones lotales.
3) • 3! Ahora P(4, 3)
4« 3' 2
=:
3)
24 Y 3!
= 6;
o
C(4,3)
entonces C(4,3)
4 como se anotó ante,
Puesto que cada combinación de n objetos tomados r a la vez determina r! permutaciones de los se deduce que
r)
r! C(n, r)
Así obtenemos:
Teorema 2.8;
C(n, r)
nI
Recalcamos que el coeficiente del binomio (;) fue definido -r-,---,_n_!"--'--"
Usaremos
e
r) y (:) indistintamente.
de aquí
22
TECN1CAS DE CONTAR
2,14:
[CAP. 2
comités de 3 se pueden formar con 8 personas? Cada comité es esencialmente una combinación de las 8 personas tomadas 3 a la vez. Por tanto
8) ( 11
C(8,3)
=
8, 7' 6 1- 2' 3
=
66
comités diferentes pueden formarse.
PARTICIONES
Supongamos que una urna A contiene siete numeradas de I a 7, Calculemos el número de maneras como sacar, primero 2 bolas de la urna, después 3 bolas y finalmente 2. En otras palabras, queremos calcular el número
(Al, A 2 , del conjunto de 7 bolas en células Al con 2 bolas, con 3 y Aa con 2 bolas. Estas células las llamamos desde que distingamos entre
({l, 2}) {S, 4, 5}, {6,7}) produce la misma
cada una de las
({6,7}, (3, 4, 5), {1,2})
y
de A.
con 7 bolas en la urna, la primera célula Al;
esto es, para guiente hay
(~)
(~)
maneras de sacar las 2 quedan 5 bolas en la urna y por
A 2 ; finalmente, quedan 2 bolas en
maneras de sacar 3 bolas o sea para
(;) maneras de obtener la última célula Aa. Entonces hay
la urna, o sea que
(~)(~)(~) particiones ordenadas con 2 bolas.
210 A \ con 2 bolas, Al! con 3
de A distribuidas en las
y
Que
Ahora
7!
6!
7! 2!a!2!
2!
r del primero se simpli con el segundo término del En forma similar se comprueba (ver problema 2.28) el
puesto que del factor que le Teorema 2.9:
bolas,
A
, .. + nr
de n elementos y sean ni, n2, ... , n r enteros positivos con th
+ n2 +
n. Entonces existen n! diferentes de A de la consta de n2
Ejemplo 2.15:
cuántas maneras se pueden distribuir 9 uno de los otros niños 2 juguetes?
(Al, A 2,
' .. ,
••• ,
Ay)
y Ar consta de
consta
nr elementos.
entre 4 niños si el menor recibe 3 juguetes y cada
Se desea hallar el número de particiones ordenadas de los 9 juguetes entre 4 células que constan de 3, 2, 2 Y 2 juguetes respectivamente. Por el teorema ¡¡,nterior, hay
de tales particiones ordenadas. f
ty
TECNICAS DE CONTAR
CAP. 2]
23
DIAGRAMAS DE ARDOL Un diagrama de árbol es el dibujo que se usa para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos en donde cada experimento puede suceder en un número finito de maneras . La construcción de diagramas de árbol se ilustra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 2.16: Hallar el conjunto producto A X 8 X Usamos el diagrama de árbol
e
en donde A = I 1,21, B = la, b, e I y
sig u i~ nte:
a<:
(1, (1,
a,a,
e = 13,41. 3) 4)
(1, b, 3) b<:
(1, b, 4)
c<::::
(1, e, 3) (1, e, 4)
u<:
(2, a, 3) (2, a, 4) (2, b, 3)
2
b<:
(2, b, 4) (2, e, 3)
c~:
(2, e, 4)
V~mo s que el diagrama de ár bol ,e construye de izquierda a derecha , y que el número de ramas en cada punto es et número de resultados posibles del cxpt::rimento siguiente.
Ejemplo 2.17: Marcos y Enrique inter vienen' en un torneo de tenis. La primera persona que gane do s juegos seguidos o que complete tres gana el torneo. El diagrama siguiente muestra los posibles resultados del torneo .
E
Nótese que hay 10 puntos finaies que correspondt::n a los 10 n:sultados posibles del torneo : MM, MEMM, MEMEM, MEMEE, MEE, EMM, EMEMM, EMEME, EMEE, EE El recorrido desde el principio individual.
d~l
árbol a los puntos finales indica qui¿n ganó cada juego en el torneo
24
TECNICAS DE CONTAR
[CAP
2
Problemas resueltos FACTORIAL
Calcular 4!, S!, 6!, 7 1 Y8 1
2.1.
4!
1· 2· 3' 4
=
24
5!
6!
1 . 2•3. 4•5•6
( i)
13! 11! or
(i i)
( i)
(ii)
7! lO!
=
=
6' 5!
1
7! 10·9·8·7!
(') 1
7' 720 = 5040
8!
8' 7!
8 • 5040
=
40.320
720
156
n! (") (n+2)! (n-1)!' 11 n! . ( n- 1)( 11,
+ 2)!
13' 12
1 720
n(n - l)(n - 2)· . ·3·2' 1 _
n! (n - 1)! (n
6' 120
=
13' 12 • 11 . 10 . 9 • 8 . 7' 6 . 5 . 4 • 3 ·2· 1 11'10·9'8'7'6'5'4·3'2'1 l3 ! 13'12'11! = 13'12 = 156 11! 11!
I'r: S·ImplltCar:
2.3.
120
5' 24
7' 6!
(") 7! (1.)13! 11!' 11 lO!'
Calcular:
2.2.
=
5'4!
7!
(n
2) . • 3• •2• 1
-
n
.
o, SImplemente,
+ 2)(n + l)n (n -
l)(n - 2)· . ·3 • 2 • 1 n(n - l)(n - 2)' . ·3' 2 • ~
n! o. simplemente .
-
(n+2)!
(n+2)(n+1)'nl
n!
n!
(n
(n
ni
+ 2)(n + 1)
+ 2)(n + 1)
n(n--1)! (n - 1)!
(n - 1)!
n2
= n2
+
3n
+
3n
n
+2
+2
PERMUTACIONES, PRUEBAS ORDENADAS
2.4.
Si no se permiten repeticiones, (i) ¿cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los seis dígitos 2, 3', S, 6; 7 Y 9? (ii) ¿cuántos de éstos son menores que 400? (iii) ¿cuántos son pares? (iv) ¿cuántos son impares? (v) ¡.cuántos son múltiplos de S? En cada caso dibuje tres cajas
DDD
para representar un número arbitrario. y luego escriba en ca-
da caja el número de dígitos 'lue se pueden colocar allí . (j)
I r_ ~
\;
'" - (m - 1" ) 1• _ 6 '.
mente, la caja de la derecha puede llenarse de 4 maneras: meros.
.----
- ( ir
. ¡.. G
La caja de la ilquierda se puede llenar de 6 maneras; luego. la caja del medio puede llenarse de 5 maneras; y. final-
(ii)
») i.
4! y(
r;, ,,<. _____
.----;¡ _\. tu
r
(i ii)
Así hay 6' 5' 4
= 120
nú-
La caja de la izquierda pueoe llenarse de dos maneras solamente, por 2 ó J, puesto que cada número debe ser menor que 400; la caja de la mitad puede llenarse de 5 maneras; y, finalmente, la caja de la derecha puede llenarse de 4 maner as'
0 G ~J.
Así hay
2·6·4
= 40 númer~s ..
.\
La caja de la derecha puede llenarse de dos maneras solamente, por 2 y 6, puesto que los números deben ser pares; la caia de la izquierd? puede llenarse de 5 maneras; y, finalmente. la caja de la mitad puede llenarse de 4 maneras:
o0
(i v)
G G ~J.
0·
Por consiguiente hay 5·4·2
= 40 números.
La caja de la derecha puede llenarse de sólo 4 maneras, por 3, 5, 7 ó 9. puesto que los números deben ser impares; la caja de la izquierda puede llenarse por lo tanto de 5 maneras; y, finalmente, la caja' de la mitad puede llenarse dc 4 maneras:
~
0 0·
A~í
hay 6' 4' 4
= 80
números.
CAP. 2]
(v)
La caja de la derecha puede llenarse de I manera solamente, por 5, puesto que los números deben ser múltiplos de 5; la caja de la izquierda puede llenarse por lo tanto de 5 maneras; y, finalmente, la caja del medio puede llenarse de 4 maneras:
2.5.
25
TECNICAS DE CONTAR
~
0
[2J.
O sea que hay
5' 4 • 1
=
20 números.
¿De cuántas maneras se puede acomodar una reunión de 7 personas, (i) en una fila de 7 sillas? (ii) alrededor de una mesa redonda? Las siete personas pueden distribuirse en una fila de 7' 6 • 5 • 4 • 3 • 2 . 1
(ii)
Una persona puede sentarse en cualquier puesto en la mesa redonda. Las otras seis personas pueden acomodarse de 6' 5 • 4 • 3 • 2 • 1 6! maneras alrededor de la mesa.
maneras.
=
Este es un ejemplo de permutación circular En general, (n -- 2) ... 3·2·1 (n .... 1)' maneras.
=
2.6.
= 7!
(i)
11
objetos pueden dist ribuirse en un círculo de
(11 . - 1)
(i) ¿De cuántas maneras 3 niños y 2 mnas pueden sentarse en una fila? (ii) ¿pe cuántas maneras pueden sentarse si los niños se sientan juntos y las niñas también? (iii) ¿De cuántas maneras pueden sentarse en fila si justamente las niñas se sientan juntas? (i) (ii)
(i,i)
Las cinco personas pueden sentarse en una fila de 5·4· 3 • 2 • 1
=
=
5!
120 maneras
Hay 2 maneras para distribuirlos según el sexo: HHHMM o MMHHH. En cada caso los niños pueden sentarse de 2! 2 maneras. Así, en total hay
3 • 2 • 1 = 3! == 6 maneras, y las niñas pueden sentarse de 2· 1 2 . 3! • 2! = 2' 6 • 2 = 24 maneras.
=
=
Hay 4 maneras para distribuirlos según el sexo: MMHHH, HMMHH, HHtvIMH, HIIHMI\I. Obsúvese que cada manera corrcs¡Xlnde al número 0, 1, 2 ó 3, de niños que se sientan a la izquierda de las niñas. En cada caso los niños pueden sentarse de 3' maneras, y las niñas de 2! maneras. Así en total, hay 4' 3! ·2! 4' 6' 2 = 48 maneras.
=
2.7.
¿Cuántas señales diferentes, cada una de 6 banderas colgadas en una línea vertical, pueden formarse con 4 banderas rojas idénticas y 2 azules idénticas? Este problema corresponde a permutaciones con repetición. Hay ras de las cuales 4 son rojas y 2 azules.
2.8.
(ii) (iii)
2.9.
\
'\. (ii)
~/
"
4!
7'
24, puesto que hay 4 ktras distintas.
=
3! =
S40, puesto que hay 7 il:tras de las cuales 3 son a.
12!
"3!2! 2!
2! '
puesto que hay 12 letras de las cuales 3 son
5,2
son
l.
2 son i y 2 son a.
(i) ¿De cuántas maneras 3 americanos, 4 franceses, 4 daneses y 2 italianos pueden sentarse en una fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? (ii) Resolver el mismo problema si se sientan en una mesa redonda. (i)
".
15 señales puesto que hay 6 bandeo
¿'Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con todas las letras de cada una de las palabras: (i) tema, (ii) campana, (iii) estadísticas? (i)
.\\
6! 4!2!
Las cuatro nacionalidades pueden ordenarse en una fila de 4! maneras. En cada caso los 3 americanos pueden sentarse de 3! maneras; los 4 franceses, de 4' maneras; los 4 daneses, de 4' maneras; y los 2 italianos, de 2' maneras. fuí que, en total, hay 4'3!4'4!2! = 165.888 ordenaciones. Las 4 nacionalidades pueden distribuirse en un círculo de 3' maneras (ver problema 14.4 sobre permutaciones circulares). En cada caso los 3 americanos pueden sentarse de 3' maneras; los 4 franceses, de 4! man<:ras; los 4 daneses. de 4! maneras; y los 2 italianos de 2! maneras. O sea que, en total, hay 3'3!4'4'2! = 41.472 ordenaciom:s .
TECNICAS DE CONTAR
26
[CAP. 2
2.10. Supóngase que una urna contiene 8 bolas. Hallar el número de pruebas ordenadas de tamaño 3, (i) con (ii) sin sustitución. 83
(i)
Cada bola de la prueba ordenada puede escogerse de 8 maneras; entonces hay 8' 8 • 8 con sustitución.
(ii)
La primera bola de la prueba ordenada puede ser escogida de 8 maneras, la siguiente de 7 maneras y la última de 6 maneras. Por lo tanto
8' 7 • 6 := 336 pruebas sin sustitución.
2.11. Hallar n si (i) peno 2) (i)
P(n, 2)
n(n
n'
1)
n,
o
sca
4) :::: 11.(11. - 1)(11. - 2)(11. - 3)
n' -.- n
72
11.2
511.
-
4211.(11. - 1)
+6
42
Puesto que n debe ser
2(11. 2 -
+ 50
11.)
11.
y
:= 411.2
211.
n'--n
P(2n,2)
= 211.(211. -
211. 2 -
+ 50
o
o
511. - 36
-
211.
Puesto que n debe ser positivo, la única respuesta es n
(n -- 9)(/1
+
8)
(11. - 2)(11. - 3) :::: 42 (11. - 9)(11. + 4)
o
o
9.
= 411.2 -
1)
411.2 =
211..
211.
Entonces
o
50
25
o
5.
COEFICIENTE DEL BINOMIO Y TEOREMA
2.12. Recordemos que hay tantos factores en el numerador como en el denominador
16-15'14 1-2-3
6
( i)
C3
(H)
C4 )
)
2
::::::
2.13. Calcular: (i)
G)
(ii)
8-7-6-5-4
...
Observamos que 8
(H)
= 3003
495
(i) (:),
=
/15) \5
e") lB !
560
Ahora 9 - 7
==
(iii) Ahora 10 - 6
.
:=
=
CO) 6'
56
luego
(2X)5
+
calcular también ( : ) como
(:) (:) (~) = G)
= 9' 8
::::::
56
36.
(ISO) (14°)
2.14. Desarrollar y simplificar: (2x
+ y2)1S
C'") lB
5 = 3; o sea que
2; entonces
= 4;
(~),
==
210~
+ y2)5.
r
(2x)4(712)
O.
O sea
11. ?'= 0, ?'= 1,
o, si
11.2
o
O o
72
9.
11
la única respuesta es n
1):::: 11.2
(jii) P(n,2):::: n(n
o
P(n,2) == 11.(11. - 1).
y
- 3)
11.(11. - 1)(11. -
o
50 = P(2n,
72, (ji) P(n, 4) = 42P(n, 2), (jii) 2P(n, 2)
Puesto que n debe ser positivo, la única respucsta es
(H)
512 pruebas
+ : 4 (2x)3(y2)2 + : 4 (2x)2(712)3 + +
10 x718
+
71 10
¡
(2X)(712)4
+ (712)5
CAP, 2]
TECNICAS DE CONTAR
27
2.15. Desarrollar y sím plificar: (X2
+
6· •
(x 2)2(-2y)4
+ -61 (x 2)(-2y)5 +
160x6y 3
(~)
16
2.16. Probar: Desarrollamos (1
24
=
+
. (1
G)14 + G)P1l + (:)1212 + (:)1113 + G)14 +
2.17. Probar el teorema 2.6:
n
64 y 6
1)4 Y empleamos el teorema del binomio:
+
e 1)
+
240x 4 y4 -
+(i) +(~) +(:) +(!).
G) G) Ahora
+
(-2y)6
(
n +r
+ (:)
+ (:) + (:) +
G)
1) F
"-:;-;--;--;--'t-·-;-:;-:-:
+
Para obtener el mismo deno-
-'-,'-"----,-c.
rracción por! y la segunda fracción por _n,__ r-;-...:;l,. Entonces
minador en ambas fracciones, multiplicamos la
r
n
r
+ (:)
2.18. Probar el teorema del binomio 2.5: El teorema es cierto para n
+ b)"
=
" (n)r a
n
-
r
bT •
!, puesto que
+
a
b
=
(a
+ b)1
+ b)n y probamos que es cierto para (a + b)n+ 1, (a + b)(a + b)n
Suponemos que el teorema se cumple para (a
(a
+ b)n+1 =
(a+ b) [a n
+ +
(~) a"-l b
(;)an-~bT
Ahora el término del producto que contiene b T se obtiene de
2- PROOABIUOAD
+ ... +
e: 1)
+ .. +
an - r + 1
b
r- 1
(:)ab n-1+ bnJ
28
TECNICAS DE CONTAR
I
Pero, por el teorema 2.6, \ r Observamos que (a
In +r
n
\
+ h)(a + b)" es un (a+b),,+l
lo cual se
1\
1" . b O sea e terminO que conllenc res
).
de grado
11
b)(a
+ b)"
(") (
8 4, 2,
(a
[CAP.
+
(n
-l. 1 \
1 ' ) a. n - r + 1 br ,
I en b. En consecuencia,
+ 1\
)a.n - r +
r
1
br
demostrar.
2,19, Calcular los coeficientes multinomiales
6) ( 3, 2, l ' ( i)
e )
;, 1
11
) O'
(''') ( III
60
~
8 2,2,
~
(
(iii)
10 ) 5, 3, 2, 2
10
) no tiene sentido puesto que 5
\5,3,2,2
420
+ 3 + 2 + "'" 10.
COMBINACIONES 2,20. ¿De cuántas maneras grupo de 7 hombres y S
escogerse un comité, compuesto de 3 hombres y 2 mujeres, de un
escoger
De los 7 hom bres
) maneras, y de las 5 mujeres se pueden escoger 2 de
de
I " d
.. !, or consigUIente e comlle ¡me e escogerse de
(7)(6) 3 2 :::: 7-6·5 • • • -4 • = 350
maneras.
maneras.
2.21. Una de 4 estudiantes de un colegio se todos los años para asistir a la asamcuántas maneras escogerse la blea anual de la Asociación de Estudiantes. (i) 12 (ii) ¿De cuántas maneras si dos de los estudiantes ción si no asisten al mismo ticm (jii) ¿De cuántas maneras si dos de los estudiante:; bies son cay sólo asistirán si van am bos'? O)
Los 4 estudiantes pueden ser escogidos de los 12 de
(1:)
= 495 maneras.
Sean A y B los estudiantes que no asisten junIOS a la asamblea. Método 1.
Si
no
210
incluye a A ní a B. entonces la delegación puede escogerse de (1;)
maneras. Si uno de los dos A o B. pero no juntos, es incluido, entonces la delegación puede escogerse de 2'
2 • =.--::;--;::1T1aneras.
240 maneras. Por lo tanto, ell iotal. la delegación
ser escog ida de 210
240
\Iélodo 2. ( ) SI A Y B son incluidos, entonces los otros 2 miembros de la delegación pueden escogerse de 10
\2
maneras. O sea que hay 495
45
450 maneras para que la
e;)
pueda escogerse si A y B no
450
==
45
incluyen
al tiempo. Llamemos
e y D los estudiantes casados. Si e y D no van, entonces la
maneras. Si ambos e y D van. entonces la la delegación puede escogerse de 210 45
+
puede escogerse de
= 255 maneras.
(1 0) 2
==
45 maneras. En resumen.
CAP. 2]
29
TECNICAS DE CONTAR
2.22. Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. (i) ¿Cuántas maneras de escoger tiene? (ii) ¿Cuántas maneras, ~i las 3 primeras preguntas son obligatorias? (iii) ¿Cuántas, SI tiene que contestar 4 de las 5 primeras preguntas?
= (l0) ( 10\ 8) \ 2
10' 9
(i)
Las 8 preguntas pueden seleccionarse de
(ii)
Si contesta las 3 primeras preguntas, entonces puede escoger las otras S de las 7 últimas preguntas de (:)
(7) : : 7' 2
(iii)
6 1·2
=
=
~
= 45 maneras.
21 maneras.
Si conte,ta todas las 5 primeras preguntas, entonces pucqe escoger las otras J de las 5 últimas de (:)
nl/l:~er~_s. \1)
1'or otra parte, si contesta 4 de las 5 primaas preguntas,
5
ento(n~\ 4)
maneras, y puede escoger las otras 4 de las 5 últimas de
consiguiente puede escoger las 8 preguntas de 5' 5
= 25
=
10
pued(e5)esco gerlas de ( : )
=
1
=
5 maneras; por
maneras. O sea que tiene 35 maneras diferentes para
escoger
2.23. Hallar el número de subconjuntos de un conjunto X que contiene n elementos. Método l.
El númno de subconjuntos de X con r =: n elementos está dado por
(~)
+
C) + C) +
+
c:~
(~).
J
Por tanto, en resumen, hay
+ (:)
subconjuntos de X. La suma anterior (problema 2.51) es igual a 2 n , o sea que hay 2" subconjuntos de X Metodo 2,
Hay dos posihilidades para éada elemento de X' o pertenece al suhconjunto o no pertenece; por consiguiente hay
.n veces 2' 2' , ..• 2
=
2n
maneras de formar un subconjunto de X, o sea, hay 2 n subconjuntos diferentes de X.
2.24. ¿De cuántas maneras puede un profesor escoger uno o más estudiantes de seis elegibles? Método l. S~gún d probkrna anterior, hay 2 6 = 64 subconjuntos del conjunto de seis estudiantes. Sin embargo, el conjullto vacio debe ser excluido puesto que se escogen uno o más estudiantes. En' consecuencia hay 26 -- I = 64 - I ~~ 63 maneras de escoger los estudiantes.
i\l'élodo 2.
Puesto que se escogen o uno, o dos, ele., o seis est udiantes; entonces, el nú mero de maneras de escoger ,:>
G) + G)
+ (:) +
G)
+ (:) +
G)
6
+ 15 + 20 + 15 + 6 + 1
63
PARTICIONES ORDENADAS Y DESORDENADAS
2.25. ¿De cuántas maneras se pueden repartir 7 juguetes entre 3 niños si el menor recibe 3 y cada uno de los olros reCIbe 2? Buscarnos el número de particiones ordenadas de 7 objetos en céluJ::¡s de 3, 2 Y 2 objetos respectivamente. Por el teorema 2.9, hay
~I
7! I 2! 2.
=
210 de dichas particiones.
30
TECNICAS DE CONTAR
2
2.26. En una clase hay 12 estudiantes. ¿De cuántas maneras los 12 estudiantes pueden presentar 3 pruebas diferentes si a prueba le 4 estudiantes? .'lélotlo 1.
Buscamos el número de partiCiones ordenad,ls de 12 estudiantes en células que constan de 4 estudiantes cada
=
Por el teorema 2.9,
Ulla.
34.650 de tales particiones.
Método 2.
Hay
4
maneras de escoger 4 estudiantes que tornen la primera prueba; a continuación hay
manc-
ras de escoger 4 estudiantes que Lomen la segunda prueba. El resto de estudiantes toma la tercera prueba. O sea que, por todas, hay
C42)
= 495' 70
•
34,650 maneras para que los estudiantes presenten las
2.27. Dc cuántas maneras 12 estudiantes pueden repartirse en 3 equipos, Al' cada conste de 4 estudiantes.
y A 3, de suerte que
:\IHodo 1.
Observamos que cada partición I Al, Az. A 31 de estudiantes puede distribuirse de JI una partición ordenada. Puesto que (ver problema anterior) hay (no ordenadas). hay 34,650/6 = 5775 Método 2.
Denotemos por A uno de los estudIantes, Entonces hay
12!
=
6 maneras lo mismo que
34.650 de tales particiones ordenadas,
(~1) maneras
otros 3 estudiantes que
de escoger
estén en el mismo equipo de A Ahora denotemos por B a un estudiante que no sea del mismo equipo de A; entonces ') maneras de escoger, entre los restantes, 3 estudiantes que estén en el mismo equipo de B. Los 4 estudian-
~luCdan
constituyen el tercer equipo, Asi, en total hay los estudiantes.
tes que
2.28.
con ni
el teorema 2.9: Sea A COl11 y = n.
(1;)\!7) y sean
165' 35 : .: 5775
1/1, 112,
, 1/ r
maneras de
enleros positivos
+ n2 + ... + n
n! particiones ordenadas diferentes de A de la forma (Al, A z, ••• , Ar) tos, A z contiene /12 elementos, , y Ar contiene lI r elementos. Em pezamos con los n elementos de A; hay
(n)
Al contiene ni elemen-
maneras de seleccionar la célula A¡. En
ni
n
11!
elementos que sobran, o sea, la diferencia A "A 1, Y por consiguiente hay n2
,12.
Similarmente, para i
=
3,
ni -
, r. hay
(:)
nz
n! nz
... n r
n¡_¡) maneras de seleccionar Al' Así hay
-n¡ -
- ni - n 2) n:¡
.. ,
("')
ny
e, igual a
(n - ni)!
n!
a
maneras de seleccionar
n¡
diferentes particiones ordenadas de A Ahma (*)
Pero esto es
"~o
ni)
de esto, hay
puesto que eadfl numerador después del primero se simplifica con el segundo fae-
tor del denominador que le precede y como
(n - ni - . . .
ny)!
O!
= 1.
Entonces el teorema queda probado.
CAP 21
31
TECNICAS DE CONTAR
DIAGRAMAS DE ARBOL 2.29. Construir el diagrama de árbol para el número de permutaciones de la, b, e l. a
e
abe
b
aeb
e
bae
a
bca
b
cab
a
cba
b
e c<:
A la der~ch~ del diagram~ se ordenan las seis permutaci ones.
2.30. Un hombre tiene tiempo para jugar ruleta cinco veces a lo sumo. En cada juego gana o pierde un dólar. El hombre empieza con un dólar y dejará de ju ga r si antes de la quinta vez pierde tod o su dinero o si gana tres dólares, es to es, si ti ene cuatro. Hallar el número de casos en que la apuesta puede ocurrir. El diagrall1a de árbol de la derecha, descr ibe el camino en que la apue,ta puede succ c!..;r. Caela número del diagrama denota el núlI1ero de dólares que el hombre tiene en ese punto. Observamo s que la apuc,ta puede suceuer de II manera, diferentes. Obsérvese que él suspenderá la apuesta antes dc que los cinco juegos se hayan reali zado en solarnent·c tres de los casos.
Problemas propuestos FACTORIAL 2 ..3 1.
Calcu lar:
(i) 9 !,
2.32.
Ca lcular:
(i)
2.3].
Simplificar'
(i) (n
( ii) 101,
16! 14! '
( ii)
+.Jll n!
(i ii) 11!
14! 11! ' (ii)
(iii)
8! ID! '
n! (n- 2)!'
(' ) ID! IV
i3f. (n-r+1)!
(iii) (n - 1)! (n+ 2)!'
(iv) (n - r - 1)! .
PEI~MUTAClONES
2.34.
(i) ¡.Cuántas placas para automóvil pueden hacerse si cada placa consta de dos letras diferentes seguidas de 3 dígitos diferentes? (ii) Resolver el problema si el primer dígito no puede ser cero. ,), z.8 - ll- . t" _'1 . ~ _ ;; 443 W 1/ /j i.
2.35.
De A a B hay 6 camino>
1>,-. 1
y de
R a
rt \j
e 4.
e pasando por
fJ'l
/"
(i)
¿De cuántas manera s se puede ir de A a
(ii)
¿De cuánt as maneras se puedc hacer el viaje redondo de A a
(iii)
¿De cuántas man eras se puede hacer el viaje redo nd o de A a
e pasa ndo por 8? e sin usa r el mismo cam ino más de una
vez?
[CAP. 2
TECNICAS DE CONTAR
32 2.36.
Hallar el número de maneras en que 6 personas pueden conducir un tobogán (especie de trineo) si uno de tres debe manejar
2.37.
(i) Hallar el número de maneras en que cinco personas pueden sentarse en una lila. (ii) ¿Cuántas maneras hay si dos de las personas insisten en sentarse una al lado de la otra?
Z.38.
Resolver el problema anterior si se sientan alrededor de una mesa circular.
2.39.
(i) HallM el número de palabras de cuatro letras que se pueden formar con las letras de la palabra CRISTAL. (ii) ¿Cuántas de ellas contienen sólo consonantes? (iii) ¿Cuántas empiezan y terminan por consonante? (iv) ¿Cuántas empiezan por vocal? (v) ¿Cuántas contienen la letra L? (vi) ¿Cuántas empiezan por T y terminan por vaca!? (vii) ¿Cuántas empiezan por T y también contienen S') (viii) ¿Cuántas contienen ambas vocales?
2.40.
i.Cu ;¡nta s señales diferentes se pueden formar con 8 banderas colocadas en línea vertical , si 4 son rojas, 2 azules y 2 verdes?
2.41.
Ilallar el número de permutaciones que se pueden formar con todas las letras de cada una de las palabras: (i) barra, (ii) satélite" (iii) proposición, (iv) impropio.
2.42.
(i) Hall~r el nÍlmero de Olaneras en que 4 niños y 4 niñas se pueden sentar en una fila si los hombres y las mujeres deben quedar alternados . (ii) Hallar el número de maneras si se sientan alternada mente y uno de los ~iños se sienta sicmprcjunto a una niña determinada. (iii) Hallar el número de maneras si se sientan alternada mente pero lo~ dos niños mencionados no quedan en silbs adyacentes.
2A3.
Resolver el problema anterior si se sientan alrededor de una mesa circular.
2.44,
Una urna contiene 10 bolas. Hallar el número de pruebas ordenadas, (i) de tamaño 3 con su stitución , (ii) de tamaño J sin sustitución, (iii) de tamaño 4 con sustitución, (iv) de tamaño 5 sin sustitución .
2,45.
Hallar el número de manera s como se rueden colocar en un estante 5 libros grandes , 4 medianos y 3 pequeños de modo que los libros de igual tamaño estén juntos.
2.46.
Considérens.e todos los enteros [Xlsitivos de 3 dígitos diferentes . (Observamos que el O no puede ser el primer dígito.) (i) ¿Cuántos son mayores que 70m (ii) ¡.Cuántos son impares? (iii) ¿Cuántos son pares? (iv) ¿Cuántos son divisibles [Xlr 5?
2.47.
(i) Hallar el nÍlmero de permutaciones diferentes que se pueden formar con todas las letras de la palabra CAMAR¡\. (ii) ¡,Cuántas de ellas principian y terminan por ¡\? (iii) ¿Cuántas tienen 3 ¡\ juntas?'(iv) ¿Cuántas empiezan con A y ter-
minan con I\P
COEFICIENTES DEL BINOMIO Y TEOREMA
G).
(ii)
G).
2.48.
Calcular '
(i)
2.49.
Ca/cuLIf'
(í)
2.50.
Desarrollar y simplificar:
2.S\.
Comprobar que
(~)
2.52.
Comprobar que
(~)
2.53.
Hallar el término del desarrollo (2x2
2.54.
Hallar el término del desarrollo
e,:, 1)' +
(ii)
(i) (2x
(í í i)
C24) ,
(3, 2~ 2, O) , + y2)3,
(~)
+
(~)
(~)
+
(;)
(ív)
(iii)
G),
(;) +
.,
:2)1 que contiene
(jii) (-1a
. + ±
(;) +
---! )'3)8 que contiene xa.
(3X}'2 -
G~),
(vi)
G:).
(2, 2, ~, 1, O)·
(ii) (x 2 - 3y)1,
+
(v)
y 6.
(:) (:)
+ 2b)5,
o.
(ív) (2a 2
-
b)O .
4c¡r- 126
/
CAP
21
TECNICAS DE CONTAR
COMBINACIONES
2.55.
Un~ clas\: const~ de 9 niños y J niñas. (i) ¿De cuántas maneras el profesor puede escoger un comite de 4? (ii) ¿Cuántos j om ités contarán con una niña por lo menos') (iii) ¿Cuántos tendrán un a niña .exactamente')
ax f)
.:L'j
.f-
t~)(;J
( V)
f- • '; J ~
:; J¿q i!
2.56.
Una señora tiene 11 amigos de conlianza. (i) ¿De cuántas maneras puede invitar 5 de ellos a comer') (ii) ¿De cuántas maneras si dos son casados y no asisten el uno sin el otro') (iii) ¿De cuántas maneras si dos de ellos no la van bien y no asisten jun tus')
2.57.
Hay 10 punto s A, B, en un pl~no; en una misma línea no hay tr es. (i) ¿Cuántas líneas forman los puntos') (ii) ¿Cuántas líneas no pasan por A o B') (iii) ¿Cuántos triángulos determinan los puntos? (iv) ¿Cuántos triángulos de estos se forman con el punto A') (v) ¿Cuántos triángulos contienen el lado A lJ?
2.58.
Un estudiante tien e qlle reso lver 10 preguntas de 13 en un examen. (i) ¿Cuántas maneras de escoger tiene') (ii) ¿Cuántas, si las dos primeras SO Il obligatorias') (iii) ¿Cuántas, si una dI! las do s primeras es obligatoria? (iv) ¿Cuántas, si tiene que co ntestar exactamente 3 de las 5 primeras? (v) ¿Cu{\ntas, si tiene que co ntestar por lo menos 3 de las 5 primeras?
2.59.
A una persona se le reparte una mano de "póker" (5 cartas) de una baraja corriente. ¿De cuántas maner as puede recibir, (i) una escalera llar? (ii) un "póker'''! (iii) una escalera? (iv) un par de ases~ (v) un par cualquiera (dos cartas iguales)"!
2.60.
El
¿Cuúnt as palabras de 5 letr as, 3 consonantes diferentes y 2 vocalesniferentes, se pueden
(ii)
¿Cuántas de ¿stas contienen la letra b?
(iii)
¿Cuántas con ti<:ncn la b y la e'?
(iv)
¿Cuúntas empiezan por b y
(v)
¿Cu:lnt as em piezan por b y terminan por
(vi)
¿Cuúnta s con tienen las letras a y
formar~
LI. . ·
co ntien~ e?
c')
b')~t'"
(vii) ¿Cuánta , empieLan por o y contienoo b? (viii) ¿Cuántas empiezan por b y contienen
o')
(ix)
¿Cuántas empiezan por o y terminan por b?
(x)
¿Cuá nta s contienen la s letra,
/J,
b Y e?
PARTICIONES ORDENADAS y DlSORDENADAS
2.6 1.
¿De cuántas maneras se pueden repartir 9 juguetes por igual entre 3 niños?
2.62.
¿De cuánta, maneras pu<:den dividirse por igual 9 estudiantes en tres equipos')
2.63.
¿De cuántas maneras se put:dcn dividir 10 estudiantes en tres equipos, uno de 4 estudiantes y los otros de )?
2.M.
Ha y 12 bolas en una urna. ¿ De cuántas maneras se pueden sacar 3 bolas de la urna, cuatro veces sucesiva mente, toda s sin ,U'; tit ución')
2.6 5.
¡,De cuánta s maneras se puede rcp;.¡rtir un club, de 12 miembros en tres comités de 5, 4 Y 3 miembros respectivamente?
2.66.
¿Ik cuánta, llIanera, se pueden rcpartir
2.67.
¿De cuántas maneras se pu eden repartir 14 hombres en 6 comit¿s en los que dos sea n de 3 hombres y los otros de 2?
1/
estudianlc, cn do, c4uipOS que contengan un estudiante por lo menos?
DIAGRAI\IAS DE ARnOr.
2.6!!.
Comtíuir d diagrallla de úrbol ¡.Jara el núm ero de permutaciones de
2.69.
Hallar él conjunto prodllcto I 1, 2, J Ixl 2, 4 Ixl 2, J, 4 I construyendo el di ag rama de árbol apropiado.
1
a, b, e, di.
TECNICAS DE CONTAR
34
[CAP. 2
2.70.
Los equipos A y B juegan en un torneo de baloncesto . El primer equipo que gane do s juegos seguidos o un total de cuatro juegos gana el torneo. Hallar el número de manera s como puede suceder el torneo .
2.71.
Un hombre tiene tiempo para jugar ruleta cinco veces. Gana o pierde un dólar en cada juego. El hombre cmpiela con dos dólares y dejará de jugar a la quinta vez si pierde todo su dinero o si gana tres dólares (esto es. complete S délares). Hallar el número de maneras como puede suceder el juego.
2.72.
Un hombre está en el origen del eje x y anda un paso unidad a la izquierda o a la derecha. Se detiene después de S pasos si avanza 3 o se corre -2. Construir el diagrama de árbol para describir todas las trayectorias posibles que puede seguir.
2.73.
En el siguiente diagrama A, 8, , F denotan islas, y las líneas de unión son puentes. El hombre empieza en A y ca mina de isla en isla. Se detiene para almorzar cuando no pu ede continuar caminando sin tener que cruzar el mismo puente do s veces. Hallar el número de manera s como puede hacer su recorrido antes de almorzar.
2.74.
Considerar el diagrama trazado con nueve puntos A, 8, e, R. s, T, X. y, Z. Un hombre empieza en X y se le permite moverse horizontal o verticalmente. un paso cada vez. Se detiene cuando no puede seguir caminando sin pasar por el mismo. punto más de una vez. Hallar el nú~ero de maneras como puede hacer su recorrido, si primero recorre de X a R. (Por simetría el total de maneras es dos veces lo anterior.)
A-B--C
I I I I I I X-Y-z
R-S-T
Respuestas a los problemas propuestos (i) 362.880
(ii) 3628.800
2.32.
(i) 240
2.33.
(i) n
2.34.
(i) 26·25·10' 9 • 8 = 468 .000
2.35.
(i) 6' 4 = 24
2.36.
3•5•4 •3 •2•1
2.37.
(i) 5!
2.38.
(i) 41 = 24
2.39.
(i)
(ii) 2184
+1
(iii) 1/90
(ii) n(n - 1) = n 2
= 120
-
(ii) 6'4' 4 • 6
= 360
1/ I ~ !o
(iv) 1/1716 (iii) l/[n(n
n
+ l)(n + 2)]
(iv) (n - r)(n - r
= 24' 24 = 0 .,-
• I ~
7
(iii) 6' 4 • 3 • 5 = 360
576
:. ").
r ( : ~ ¡j o .
(ii) 4' 2! • 31 = 48
(B) 2! 3!
= 12 4' 6' 5 • 4 = 480
(iii) 5' 5 • 4 • 4 = 400
(v)
(ii) 5' 4 • 3 • 2 = 120
(iv) 2' 6 • 5 • 4 = 240
(vi) l ' 5 • 4 • 2
81 4! 2! 2! = 420
2.41.
5! (i)2!2!=30
+ 1)
(ii) 26'25'9'9'8 = 421.200
7' 6 • 5 • 4 = 840
2.40.
..
(iii) 39916.800
2.31.
9! (ii) 2!2!2! =45.360
11! (iii) 2! 3! 2!
1.663.200
= 40
(vii) 1· 3 • 5 • 4
= 60
(viii) 4' 3 • 5 • 4
= 240
81 (iv) 2! 2121
= 5040
35
TECNICAS DE CONTAR
CAP. 2]
2.42.
(i) 2·4!· 4! = 1152
2.43.
(i) 3!'41=144
2.44.
(i)
(ii) 2· 7 • 3! • 3! = 504
(ii) 2'31'3!=72
10' 10 '10 = 1000
(iii) 1152 - 504 = 648
(iii) 144-72=72
(iii) 10' 10 • 10 • 10 = 10.000
(ii) 10' 9 • 8 = 720
(iv)
10·9· 8 • 7 • 6 = 30.240
2.45.
3!51413! = 103.680
2.46.
(i) 3·9·8 = 216 (ii) 8' 8 • 6 320 (iii) 9' 8 • 1 = 72 terminan en O; y 8' 8 • 4 = 256 terminan en los otros dígitos pares; por lo tanto, en total, 72 + 256 = 328 son pares. (iv) 9' 8 • 1 = 72 terminan en O; y 8' 8 • 1 = 64 terminan en 5; o sea que, por todos, 72 + 64 = 136 son divisibies por 5.
2.47.
(i) :: = 120
2.48.
( i) 10
2.49.
(i) 604
2.50.
( i) (ii) (iii) (iv)
2.5l.
Sugerencia: Desarrollar (1 + 1)".
2.53.
70xa y l2
2.52.
Sugerencia: Desarrollar (1 _ 1)".
2.54.
945x 3 y 8 z8
2.55.
( i)
2.56.
(i)
2.57.
(i)
• 2.58.
( i)
=
(ii)
(ií) 4! = 24
(ii) 35
(iii) 91
(ií) 210
(iv) 15
!! = 21
(v) 1140
12
(vi) 816
(iii) 180
2 e4 )
= 495,
(ií)
2 (14 ) -
462,
(ii)
(:) +
e;)
(~O)
46,
G~) 1 C8 )
(ii)
(:) =
3 e3 )
286
1 (13 )
= 165
= 2' C21)
G) G) 28,
= 369,Y (iii) 3· (:) = 252
210,
(jii)
0 e3 )
(i)
1 (23 )(:)'5!
(i i)
0 (22 )(:)'5! = 228.000
1.596.000
22.800
(iv) 19'(:}4!
4560
(:)+2·G) = 378
36,
(:)
(v) 8
= 120,
(iv)
(iv)
G)G)
= 80
(v)
(:)G) (:)(:) G)(:)
(i) 4 '10 = 40, (ii) 13' 48 = 624, (iii) 10' 4 5
( iii) 19'(:}51
(iii)
+
+
276
= 110
2 (iv) G)C3 ) • 4 3 = 84.480, 2.60.
(iv)
8x 3 + 12x2y2 + 6xy4 + y6 x 8 - 12x 6 y + 64x.y2 - 108x2y 3 + 81y4 a 6 /32 + 6a 4 b/8 + 5a3 b2 + 20a 2b3 + 40ab 4 + 32b 5 64a l2 - 192a 10 b + 240a 8 b 2 - 160a 6b3 + 60a4 b4 - 12a2b 5 + b6
1 ( iii) 2 • C9 ) 1.59.
(iii) 4' 3! = 24
-
40 = 10.200. (Sustraemos el número de escaleras Oor.) 2
(v) 13' G)C3 ) • 4
3
=
1.098.240
(v)
19'(:)'3!
1140
(ix)
4.(~0)'3!
(vi)
4.(2;)'5!
91.200
(x)
4·19·5!
18 .240
(viii) 18.240 (lo mismo que el (vii))
= 4560 9120
TECNICAS DE CO NTAR
36 2.61.
9! 313131
2.62.
1680/31
2.63.
101 1 41 3! 31 • 21
2.64 .
121 3131 3! 31 -
2.65.
514! 31
121
¡CAP. 2
1680
=
280
o
2100
G)(!) o
=
280
(~O)G) = 2100
369.600
= 27.720
2.66.
2n -
2.67.
141 1 3. 153. 150 3131212!2!21 • 214! =
1 -
1
2.69.
1<2~~
(1, 2, 2) (1, 2, 3) (1,2,4)
4~!
(1,4,2) (1, 4, 3) (1, 4, 4)
2
2<2~:
(2, 2, 2) (2, 2, 3) (2, 2, 4)
4~!
(2,4,2) (2,4,3) (2,4,4)
8<2~:
(3,2,2) (3, 2, 3) (3,2,4)
4~!
I
I \ 1
(3,4,2) (3,4,3) (3, 4, 4)
\ 1 I
II
Los dieciocho elementos del conjunto producto están li stad os a la derecha del di agrama de {¡rbol. 2.70.
14 maneras /
2.71.
20 maneras (como se ven en el siguiente dia gra ma):
-5 l
'2,3,4- ,) / Z.,~,4,~,4,r o/
Z.·,1, 4 , 1 . 4 13 11\,4,~,l,}
3
1, ~/Lf, 3,2, ' Z,~, 2, ~I 4 , r I 'Z. , ) 2.., 1 ,4,3 l,),2.,S, 2,3 1,12, J,
l,f
2,) , 2,', l/J i
2
2,) ,
'L,', '¿, '
z 3, Z,' ,O 'L , I, z,3,tI , f"'2., \ , 2 , ) ,
4, 3
2" , 2,1 , 2.,1 (.1 , 1,), l,t \
I
l , 1,2 , " 2. 1 l., \1. 1, l, /
,
.., 1 ", .."
r
t,' 10 J')
\,
37
TECNICAS DE CONTAR
CAP. 21
esencialmente lo mismo que el árbol del problema anterior.
2.72.
Sugerencia,' El árbol
2.73.
El diagrama de árbol es el siguiente:
:
w-----E
Tiene once maneras de hacer su recorrido, Observar que debe comer en B. D o E, 2.74.
El diagrama de árbol apropiado es el siguiente:
-y.---- Z ----T---- C
C
T
Z
y
A
Y Z Ilay 10 recorridos diferentes, (Observar que solamente en 4 dt ellos
T
C
cubren todos los nueve puntos,)
B
A
Capítulo 3 Introducción a la probabilidad lNTROOUCCION
Probabilidad es el estudio de experimentos aleatorios o libres de determinación. Si un dado es lanzado al aire, entonces hay certeza que caerá, pero no es cierto afirmar que aparecerá un 6. Sin embargo, supongamos que repetimos el experimento de lanzar el dado; sea s el número de aciertos, esto es , el número de veces en que un 6 aparece, y sea fl el número de jugadas. Se sabe entonces que empíricamente la relación f = S/II. ll ama da frec uencia relativa . tiende a estabilizarse él la larga, o sea que se aproxi ma a un límite. Esta estabili dad es la base de la teoría de la probabilidad. En teoría de probabilidad, definimos un modelo matemático de los fenómenos anteriores asignando "probabilidades" (o: valores límites de las frecuencia s relativas) a los "eventos" asociados con un experimento. Naturalmente, la seguridad en nuestro modelo matemático para un experimento dado depende del acercamiento de las probabilidades asignadas con la frecuencia real relativa. Esto da origen entonces a los problemas de verificación y con fiabilidad que constituyen el tema princiral de la estadística. Históricamente, la teoría de la probabilidad comenzó con el estudio de los juegos de azar , tales como la ruleta y las cartas. La probabilidad p de un evento A se definió como sigue: si A puede ocurrir de s ma neras en tre un total de 1/ igualmente posibles, entonces p
=
P(A)
= -ns
Por ejemplo, al tirar un dado puede salir un número par'De 3 man eras, de las 6 " igllalmente posibles"; o sea, p = ~ = t. Esta definición clásica de probabilidad está viciada , esencialmente . pu es to que la idea de "igualmente posible" es la misma que la de "con igual probabilidad" que no ha sido definida . El tratamiento moderno de la teoría de la probabilidad es puramente axiomático. Esto significa que las probabilidades de nuestros eventos pueden ser perfectamente arbitrarias, excepto que ellas deben satisfacer ciertos axiomas que se enuncian posteriormente. La teoría clúsica corresponderá al caso especial de los así llamados espacios equiprohables. ' 0
\",t'~~
ESPACIO MUESTRAL y EVENTOS
El conjunto S de todos los resultados posibles de un experimento 'tdado se llama el espacio muestral. Un resultado particular, esto es, un elemento de S. se llama un punto muestral o lI1uestra Un evel/to A es un conjunto de resultados o, en otras palabras, un subconjunto del espacio muestral S. El evento í a I que consta de una muestra simple a E S se llama e vel/to elemental. El conjunto vacío ~ y S de por sí son eventos; el ~ algunas veces se denomina el evento imposihle (o imposi bilidad), y S el evento cierto o seguro. Podemos combinar eventos !Jara formar nuevo s eventos, utilizando las diferentes operaciones con conjuntos: (i) A U B es el evento que sucede si y sólo si A o B o ambos suceden; (ii) A n B es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente: (jii) A C , (complemento de A), es el evento que sucede si y só lo si A no sucede . 38
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
CAP. 3]
~.
39
Dos eventos A y B son llamados mutuamente exclusivos si son disyuntos, esto es, si A n B En otras palabras, son mutuamente exclusivos si no pueden suceder simultáneamcnte. Ejemplo 3.1: Experimento : Láncese un dado y obsérvese el número que aparece en la cara superior. Entonces el espacio muestral consiste en los seis números posibles :
s
= 1 1,2, 3,4, S, 6 I
Sea A el evento de salir un número par, 8 de salir impar y A
=
12,4,6 1,
B
=
e de salir primo: e
1 1, 3, 5 1,
=
12, 3,5 I
EntonCes: A U
B
n
ce
e = 12,
e =
=
3, 4,
s, 61
es el eventu de que el nÚnlt:f? sea par u primo;
13 , 51 es el evento de que el número sea imp ar primo;
11 , 4,61 es el evento de que el número no sea primo .
Obsérvese que A y B so n mutuamente exclusivos: A n 8 y un impar no pueden ocurrir simultáneamente.
=
0, en otras palabras, un núm ero par
Ejemplo 3.2: Experimento: Láncese una moneda J veces y obsérv ese la se ri e de caras (H) y sellos (T) que aparecen. El espacio muestral S está constituido por los ocho elemcntllS:
S
=
1 HHH, HI-IT, HTH, I-ITT, THH, HIT, TTH, TTT 1
Sea A el evento en que dos u más caras aparecen con secutiv amente , y B aquel en que todos los resultados son iguales : A
= 1 I-II-IH, HHT, THH 1 Y
B
= 1 HI-IH , TIT 1
Entonces A n B = I HHI-I I es el evento elemental en que aparecen ca ras solament e. El evento en que aparecen 5 caras es el conjunto vacío 0.
Ejemplo 3.3: Experimento: Láncese una moneda hasta que aparezca un a ca ra y luego cuénlese el núm eru de \,(;ces que se lanzó la moneda. El espacio muestral de este ex.perimento es S = 1 1,2,3, ,00 l. Aquí el 00 se refiere al ca so de que no aparezca nunca una cara y así la moneda se la nza un número infinilo de veces. Este es un ejemplo de un espacio muestral que es col/tablelllmt e in fin ito.
Ejemplo 3.4: Experimento : Se a un lápiz que cae de punla, en una caja rectangular y ubsé rvese el punto del fondo de la caja donde el lápiz loca primero . Aquí S está formado por lodos los punlos de la superficie del fondo . Representemos estos puntos por el área rectangular dibujada a la derecha. Sean A y B los eventos en que el lápiz cae en las respectivas áreas ilustradas en la figura . Este es un ejemplo de un espacio muestral que no es finito ni siquiera contablemente infinito, esto es, que es no contable.
A
s
Nota: Si el espacio muestral S es infinito o contablemente infinito, entonces cada subconjunto de S es un evento. Por otra parte, si S es no contable, como en el ejemplo 3.4, entonces por razones técnica s (que caen fuera del alcance de este tcxto), algunos subconjuntos de S no pueden ser eventos . Sin embargo, en todo s los casos los eventos forman una a-álgebra e de subconjuntos de S.
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
40
[CAP. J
AXIOMAS DE PROBABILIDAD Sea S un espacio muestral, sea c la clase de eventos y sea P un a función de valores reales definid a en c. Entonces P se llama función de probabilidad, y peA) es llamada la probabilidad del evento A si se cumplen los siguientes axiomas:
[Pt] [P2J
Para todo evento A, O""" peA) """ l . peS) =
[P 3 ]
Si A Y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces
l.
+ P(B)
P(A UB) = P(A)
[P4J Si Al, A 2 ,
•••
es una serie de eventos mutuamente exclusivos, entonces
Las siguientes observaciones conciernen al orden en que están los axiomas [P 3 ] y [P 4 ] . Ante todo. al utilizar [P 3 ] y la inducción matemática podemos probar que para eventos mutuamente exclu sivos
("') Hacemos énfasis en que [P4] no proviene de [P 3 ] ni siquiera (*) se cumple para todo entero positivo n . Sin embargo, si el espacio muestral S es finito, entonces claramente el axioma [P4 ] es supernuo Ahora probamos un número de teoremas que se deducen directamente de nuestros axiomas. Teorema 3.1: Si
0 es el conjunto vacío, entonces
P( 0) =
Dem ostración: Sea A un conjunto; entonces A y
0
o.
son disyuntos y A U ~
P(A) = P(A U~) = P(A)
A. Por
[P s] ,
+ P(~)
Restando peA) de ambos lados obtenemos el resultado. Teorema 3.2: Si A C es el complemento de un evento A, entonces P(A C
)
= I -- peA) .
Dem ostración: El espacio muestral S se puede desco mponer en los eventos A y A C mutuamente
exclusivos. esto es, S
=
A U AC
1
•
=
Por [Pz] y [P s] se obtiene
P(S)
=
P(A UAC)
=
P(A)
+ P(AC)
de lo cual se desprende el resultado. Teorema 3.3: Si A
e
B, entonces peA) ~ P(B).
Demostración: Si A e B. entonces B se puede descomponer en los eventos A y B'" A mutuamente exclusivos (como se ilustra a la derecha). Así P(B) = P(A)+P(B"'A)
Con lo cual se comprueba el enunciado puesto que P(B",A)
~
O.
B sombre3do.
Teorema 3.4: Si A Y B son dos eventos, entonces
P(A "'B) = P(A) - P(A nB)
-
Demostración: A s·e puede descomponer en los eventos mutuamente exclusivos A "'B Y AnB; esto es. A = (A ",B)U(AnB). Por consiguiente, por [PaJ,
P(A) = P(A '" B) de lo cual se obtiene el resultado.
+ P(A n B)
A sombreado .
CAP 3]
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
41
Teorema 3.5: Si A Y B son dos eventos, entonces
+ P(B)
P(A UB) = P(A)
- P(A nB)
Demostración: Obsérvese que A U B se puede descomponer en los eventos A'\. B Y B mutuamente exclusivos; esto es, A U B (A "'-B) U B. Entonces por [Ps] y el teorema 3.4,
P(AUB)
P(A "'- B)
+ P(B)
= P(A) - p(AnB) + P(B)
+ P(B)
P(A)
- p(AnB)
AuB sombreado.
que es el resultado buscado. Aplicando el teorema anterior por segunda vez (problema 3.23) obtenemos el Corolario 3.6: Para los even tos A, B Y e,
P(AuBUC) = P(A)
+ P(B) + P(C)
- P(AnB) - p(AnC) - P(BnC)
+ p(AnBnC)
ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD
Sea S un espacio muestra( finito; digamos, S = {al,a2, ... ,an}. Un espacio finito de probabilidad se obtiene al asignar a cada punto a¡ E S un número real PI, llamado probabilidad de al, que satisface las propiedades siguientes: cada PI es no negativo, PI ;=" O (ii) la suma de los PI es uno, PI + P2
(i)
+
+ P"
= 1.
La probabilidad P (A) de un evento A, se defirre entonces como la suma de las probabilidades de los puntos A. Por conveniencia de símbolos escribimos P(lLi) en lugar de P({a¡}). Ejemplo 3.5: Láncense tres monedas y obsérvense el número' de caras que resulten; entonces el espacio muestral es S = 10,1,2, 31. Obt~mos un espacio de probabilidad por medio de las siguientes asignaciones
P(O)
t.
::z;
P(l)
= t,
P(2)
=i
P(3)
and
=1
puesto que cada probabilidad es no negativa' y la suma de las probabilidades es l. Sea A el evento en que aparece una cara por lo menos y sea B el evento en que aparecen todas caras o todos sellos:
A == {l, 2, 3}
y
B = {O,3}
Entonces, por definición,
+ P(2) + P(3) = i + 1 + i == P(O) + P(3) = 1 + i = !
¡
peA) = P(l) P(B)
y
Ejemplo 3.6: Tres caballos A. lJ Y C inteTvien~n en una C3frCra; A tiene doble posibilidad de ganar que 8; y B, el doble de ganar que C. ¿Cuáles son la6 respectivas probabilidades de ganar, esto es, P(A), P(B) Y P(C)? \
Sea P(C) = p; como B tiene doble probabilidad de ganar que C. P(B) = 2p: y puesto que A tiene el doble de P(A) = 2P (8) = 2(2p) = 4p. Ahora como la suma de las probabilidades debe ser 1; entonces
n,
p
+ 2p + 4p =
1
=
P(B)
ó
7p
=
2p
="
En consecuencia,
P(4) !
4p =
t,
=
1
o
P(C)
t
p
=
p
=+
Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que B o C ganen, o sea, P({B, C})? Por definición
P({B, C})
=
peS)
+ P(C) = ,+,.= t
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
42
[CAP 3
"",11-
ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES
~'(.
/
ct v IV'"
Frecuentemente, las características físicas de un experimento sugieren que .se asignen iguales probabilidades a los diferentes resultados del espacio muestraJ. "Un espacio finito S de probabilidad , donde cada punto muestral tiene la misma probabilidad ,' se llamará espacio equiprobable o uniforme. En particular, si S contiene n puntos entonces la probabilidad de cada punto es l/n ' l.,A demás, si un . .. 1" ~. p,.".t."¡ (/If\ evento A contiene r puntos entonces su probabilIdad es r· - = En otras palabras, I
n
P(A) o
n
número de elementos de A número de elementos de S
=
número de maneras en que el evento A puede suceder
P(A)
número de maneras en que el espacio muestral S puede suceder
Hacemos hincapié en que la fórmula anterior para P(A) puede utilizarse solamente con respecto a un espacio equiprobable, y no puede usarse en general. La expresión "al azar" se usará solamente respecto a un espacio equiprobable; formalmente, la proposición "escoger un punto al azar de un conjunto S" significa que S es un espacio equiprohable, esto es, que cada punto muestral de S tiene la misma probabilidad.
Ejemplo 3.7: Seleccióncse una carta al azar de una baraja corriente de 52 cartas. Llamemos A =
I figuras, es decir J, Q o K I
B
y
I espadas I
Calculemos P(A), P(B) Y P(A n B). Como se trata de un espacio equiprobable,
peA) = número de espadas
13 62
número de cartas
1 4
P(B)
=
nú.mero de figuras numero de cartas
número de espadas que son figuras número de cartas
peA nB)
12 52
3 13
3 52
Ejemplo 3.8: Sean 2 artículos escogidos al azar de un grupo de 12 de los cuales 4 son defectuosos. Sea A = 1 dos artículos defectuosos I
Hallar P(A)
Y P(B).
y
B = 1 dos artículos no defectuosos I
Ahora
S puede suceder de
e
2 2 )
66 maneras, o número de veces en que se pueden escoger 2 artículos entre 12;
A puede suceder de
(~)
=
6 maneras, o número de veces en que se pueden escoger 2 artículos defectuosos entre 4 defcctuosos;
B puede suceder de
(~)
=
28 maneras, o número de veces en que se pueden escoger 2 artículos no defectuosos entre 8 no defectuosos.
Por consiguiente,
peA)
= :, = ft
y
P(B)
= ~ = !!.
Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos un artículo sea defectuoso? Ahora
e
=
es el complemento de B; esto CS,
I un artículo por lo menos es defectuoso I
e
=
Be. Así, por el teorema 3.2,
P(C) == P(Bc)
=
1 - P(B) = 1 -
!:
19 33
La ventaja con que un evento de probabilidad p sucede, se define como la relación p: (1 - p). ASÍ, la ventaja de que por lo menos un artículo sea defectuoso es ~: ~ ó 19 : 14 que se lee "19 a 14".
CAP 3J
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
Ejemplo 3.9: (Problema clásico del cumpleaños.) Se desea hallar la probabilidad p de que n personas tengan fechas diferentes de cumpleaños. Para resolver este problema, no tenemos en cuenta los años bisiestos y suponemos que el cumpleaños de una persona caer en un día con igual probabilidad. Puesto que n personas y 365 días diferentes, hay 365" maneras de que n personas puedan cumplir anos. Por otra parte, si las n personas cumplen en fechas distintas, entonces la persona nacer en cualquier día de los 365, la segunda puede nacer en cualquiera de 103 364 días restantes, la tercéfa, en los 363 restantes, etc. Así hay 365' 364 • 363 ... (365 - n 1) maneras para que n personas tengan fechas diferentes de cumpleaños. Por consiguiente,
+
365
p
364.363
Se puede comprobar que para n 23. p i ; en otras palabras, de 23 personas en adelante es más que por los menos dos de ellas tengan el mismo día de a que lodas difieran de fecha.
MU
INFINITOS
s
S un espacio muestral infinito contable; es obtenemos un de probabilidad a babilidad, tal que
(i) p¡
o
(ii) PI
y
{al,a:¡, ... }. Como en el caso finito, a; E S un número real PI, su pro-
+ P2 + ...
PI
1
La probabilidad P(A) de un evento A es entonces la suma de las probabilidades de sus puntos. Ejemplo 3.10: Considérese el espacio muestral S i l , 2, 3, , '" I del experimento de lanzar una moneda hasta que aparezca una cara; aquí n denota el número de veces en que se lanza la moneda. Un de se obtiene designando
p(l)
i.
= i. . .. ,
p(2)
p(n)
=
1/2",
.. -,
Los únicos espacios muestrales no contables S que son aquellos de medida finita m(S) tales como longitud, área o volumen, y en los un punto se selecciona al azar. La probabilidad de un evento A, esto es, aquella en que el punto seleccionado pertenece a A. es entonces la relación de m(A) a o sea,
P(A)
longitud de A
o
área de A
PíA)
o
PíA)
volumen de A
Se dice que un espacio de probabilidad tal es uniforme. Ejemplo 3.11: Sobre la línea real R, se seleccionan al azar los puntos a y b tales que -2:!i". b "" O y O "" a::!': 3, como se muestra luego. Hallar la probabilidad p para que la distancia d entre a y b sea mayor que 3. t-....._-~---
d
El cspa¡;io mucstrál consta de todas las ordenadas (a. b) y forma así la región rectangular que se indica en eÍ diagrama adjunto. Por otra parte, el conjunto A de puntos (a. b) para los cuales d = a b 3 consta de puntos de S que caen de la línea x .__ . y 3 y rorman por lo tanto la sombreada del diagrama. En consecuencia p
P(A)
área de A
2
6
2
s
1 3
Nota: Un es de probabilidad finito o infinito contable se dice que es discreto. y un contable se dice que es no discrefo.
no
44
¡CAP J
lNTlWDUCCION A LA PROBABILIDAD
Problemas resueltos ESPACIOS ¡VIUESTRA
:"LL
y EVENTOS
el de Venn para e1.evento Sean los eventos A y B. Hállese una expresión y en que: (i) A ocurre pero B no, esto CS, sucede A solamente; (ii) A o B suceden, pero no esto sllcede exactamente lIllO de los dos eventos. (Í)
Puc,l(l que A pero no fl sucedc, se sombrea la superficie de A exterior a B como en la figura (a) Observaque /JC (complemento de B), sucede, desde que B no suceda: esto CS, A y Be suceden; en otras palabras, el evenlo es /1 n !le. 1J)O,
Sucede uno de los dos A o l/. pero no ambos.
Sucede ,.1 pero no EJ. (a)
(b) (11)
Puesto que 'UCCl]e A O B. pero no ambos, se sombrea la de A y fJ salvo su intersección como en la figura anterior El evento es equivalente a A, si II no sucede, o B. si A no sucede. Ahora, como en el caso (i), A. pero n() !i es el nento A n Be; y [J, rero no /1 es el evento B n A e, Entonces el evento dado es (A n U (8 n A e).
(1))
3.2.
Sean los eventos A. By 'c. Hallar una ex y el en quc, (i) succden A y B pero no C. (ii) sucede A solamente, (1)
l'u<.:.'lo qlJe /1 y B pero no
indicada
IUCgll.
El c"ento
Suceden A
e qlccdcn, se sombrea la intersección
de A y B que eae fuera de
[J
pero no
e
Sucede A solamente, (b)
Puesto que solamente A sucede, se sombrea la s\lperficie de A que cae fuera de fJ y de C. como en la figura (11) antertrn FI evento es AnBenCc.
mo~
3,3,
como en la figura (a)
AnBnCe.
(a)
. (JI)
de Venn para el evento
muestral S que consta de doce
el caso de lanzar una moneda y un dado; sea el
elementos: I HI, H2, H3, H4, (í)
116, TI,
T3,
explícitamente los eventos: A : aparecen caras y un nÚllle~o par 1, i aparece un número 11101, e 1 aparecen sellos y un número impar 1. Exprc~ar explícitamente el evento en que: (a) A o B (b) /J Y e suceden, (e) sucede ¡¡ :,olamen!e. B'
( (jji)
TS, T61
úks de los sucesos A. B Y e son mutuamente exclusivos?
CAP. 3J
(í)
45
INTRODUCC!ON A LA PROBABILIDAD
Para obtener A, escogemos aquellos elementos de S que constan de una cara H y un número par' A
I
H2,
H4, H6!. Para obtener B. escogemos aquellos puntos de S que constan de un número primo: B Para obtener (ii)
= I H2,
e, escogemos aquellos puntos de 5; que constan de un sello T y un número impar'
e
i
I
TSI
I H2, 1-14, 1-16, H3, HS, T2, T3, TS I
(u) A o B
A U 8 =
(b)ByC
BnC=!T3,TSI
(e) Escoger aquellos elementos de B que no caen en A ni en C: BnAcnCc (iii)
H J, 115, T2, 1'3, T5 i.
A Y C son mutuamente exclusivos puesto que
AnC
H5,
= 0·
ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD 3.4,
ción define un
t, P(az) :::: t, P(a3)
P(al) (jii) P(a¡) ::::
. ¿Qué fun-
muestral S que consta de 4 elementos: S de probabilidad
Su pongamos un
t, P(a2)
P(a3)
P(a4) ::::
= i,
P(a4) = i,
(iv) (i)
Como la suma de los valores de los puntos mueslrales es mayor que uno, define un espacio de S.
+ k + i +! :::: Fa,
t + i + k+ i
1,
(iti)
Como cada valor es no negativo, y la suma de los valores es uno, pacio dc probabilidad S.
(iv)
Los valores son no negativos y suman uno; por lo tanto la función define un espacill
Sea S
== {al, az, a3, a4},
la función no
de probabilidad S.
nú mero negativo, la [unción no define un
3.5.
~
la [uncIón define un (,probabilidad S.
y sea P una función de probabilidad de S.
= i· i,
(iii) Hallar P(a¡) si P({a2, O)
Sea P(a 1)
p. Entonces para que P
mucstrales debe ser uno: p (ti)
Sea
P(a!)
P(az)
p.
entonc<.:s
P( una función de probabilidad, la suma de las
+.g. + i· + ! = 21'
= 1 o p Por lo
de los
fs.
+p+!-l..!
tanto
it
I
o p
t.
PUlilOS
¡\si
Sea P(a Jl = P,
Entonces p
+i +t +i
1 o
p::::
t.
esto es, P(a¡)
= i· <:
3.6.
Una moneda está sea el doble que la de sello o
de modo que la
y P(l~),
<: Sea p. entOnces {'(H) 2p, Ahora establecemos la suma de = Así P(T) p k y P(H) = 2p ¡.
t,
bilidad de igual
cara (1-1) unu: p
T
~
I
lNTRODUCCION A LA PROIJAB1LlDAD
46 3.7.
Dos hombres, h I Y 11 Y tres 111 1, HI2, ni 1, intervienen en un torneo de ajedrez. Los del probabilidades de ganar pero cada hombre tiene el doble de posibilimismo sexo tienen (i) Hallar la probabilidad de que una mujer gane el torneo. (ii) dades de ganar que una Si /¡ I Y m I son hallar la probabilidad que uno de ellos gane el torneo. Sea P(m 1) p; entonces 1'(111') .~ P(lIIl) las probabilidades de los cinco puntos muestrales: p Buscamos, (i)
h
ml,m',mJI) y
1'(1
mi, lIU.1II )
h
3.8.
[CAP. 3
I
111 I
1)
1)
l.
+
Y P(h 1) P(hl) 2p. Luego designemos por uno la suma de fI + P + 2p = I o p
In
I
{l
1) Entonces por definición,
1'(1//0)
P(m ,) P(h I}
t·
+
~. +.~
P(m 1) "'.
t+t+t
P(m ,)
t
= ij
un dado tal que la probabilidad de salir un número cuando se lanza el dado es proporcíonal a dicho número (por ejemplo, 6 tiene el doble de probabilidad de salir que 3). Sea A ¡ número par l. B 1número primo l. C I número impar 1, (i)
Describir el espacio de probabilidad, esto es, hallar la probabilidad de cada punto muestra!.
(ii) Hallar peA), P(B) Y P(C). (iii) Hallar la probabilidad de que: (a) primo; (e) suceda A pero no B. (i)
(b)
un número par o
un
Impar
Sea P(I) p. En!Onces P(2) 2p, PO) 3p. P(4) 4p. peS) 5p y P(6) 6p. Como la suma de las probabilidades debe ser uno, obtenemos p + 2p + Jp + 4p + Sp + 6p 1 o p 1/21 Así
P(l)
':f¡,
P({2, 4, G})
P(2):::
P(3)
f'
P(4):=:
peA)
(di)
(a) El evento de que salg.a un llílIllcro par o primo es A U LJ
P(Au (b) El evento de que salga U11 número primo imp3f
«(') El evento en que sucede A pero no [j es A
n Be
:-.:: 1
P(5)::=
P(C)
P({2, D, 5})
P(B)
(ii)
A,
12,4,6,3,
ir,
P(6):::,.
P({l,B,5}) 1, o que I no salga. Así,
P(l)
BnC
{3,5}, Así, p(BnC) ::: P({B,5})
{4,6}. Por lo tanto P(AnEe) ::: P({4,6})::::;
ESPACIOS FINITOS EQUlPROUABLES 3.9,
Determinar la probabilídJd p de cada evento: (i)
un número par al lanzar un dado normal;
que
(ii) que resulte un rey al sacar una carta de una baraja corriente de 52 cartas; (jii) que aparezca por lo menos un sello al lanzar tres monedas normales; .. (iv) que aparezca una bola blanca al sacar una sola bola de una urna que contiene 4 blancas.
3 rOjas y 5 bolas azules. 3
1
(i)
El eyenlo puede ocurrir de tres maneras (2,4
(ji)
Hay 4 reyes en las 52 cartas; por lo tanto p
(iii)
Si consideramos las monedas marc¡¡das, entonces hay 8 casos igualmente posibles: HHH. ¡HiT, HTH, HTT, THH, THT, TTtI. TTT. Solamente el primer caso no es favorable para el evento deseado: por consiguiente p
,(iv)
6) de 6 casos igualmente posibles; por consiguiente
p:::: '6:::: 2'
i.
Hay 4
+
3
+5=
12 bolas; de las eunles 4 son blancas; por lo tanto p
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
CAP . 3J
47
3.10. Se sacan dos cartas al azar de una baraja corriente de 52 cartas. Hallar la probabilidad p de que, \ (i) las dos sean espadas, (ii) la una espada y la otra corazón.
= 1326 maneras de sacar 2 cartas de 52. e;) = 78 maneras de sacar 2 espadas de 13; o sea 52
Hay (2) (i)
Hay
P (ii)
_ número de maneras posibles de sacar 2 espadas _ número de maneras posibles de sacar 2 cartas -
Puesto que hay 13 espadas y 13 corazones, hay 13 • 13 _
P-
169 _ 1326 -
78
1
1326
17
= 169 maneras de sacar una espada y un corazón; o sea
13 102'
3.11. Se escogen al azar tres lámparas entre 15 de las cuales 5 son defectuosas. Hallar la probabilidad p de que, (i) ninguna sea defectuosa, (ii) una exactamente sea defectuosa, (iii) una por lo menos sea de fectuosa. I Q . t+o D<;:/U t.o o~ ~ lOu,<-(w) Hay (i)
e
5) 3
= 455 maneras de escoger 3 lámparas entre 15.
Puesto que hay 15 -- 5
=
10 lámpar as no defeccuosas, entonces hay (I~)
•
_
120 _
24
ras no defectuo sas. ASI que p - 455 (ii)
Hay 5 lámparas defectuosas y (1~) 5' 45
(iii)
)"
Dé ¡<¿(' tvOSM'
= 120
manera;; de escoger 3 lá mpa-
91'
= 45
pares diferentes de lámparas no defectuosas; por consiguiente hay
45 = 225 maneras de escoger 3 lámparas de las cuales una es defectuosa. Entonces p =. 225 466 = 9i'
f) -~!:11 :) (~0 c. /;: ,
El evento en que por lo menos una sea defectuosa es el complemento del evénto en que ninguna es defectuosa que
ti,,, """ (;), 'COb(::)'
(~r°T,:
t
',l, • I ' ; :
:
\~
+
3.12. Se seleccionan al azar dos cartas entre 10 cartas numeradas de 1 a JO. Hallar la probabilidad p efe . que la suma sea impar si, (i) las dos cartas se sacan juntas, (ii) se sacan una tras otra sin sustitución, (iii) las dos cartas se sacan una después de la otra con systitución. (i)
Hay (12°)
= 45 maneras de seleccionar 2 de 10 cartas. La suma es impar si un número es impar y el otro par. Hay = 25 maneras de escoger un número par y uno impar. Así,
5 números pares y 5 impares; entonces hay 5' 5 (ii)
=
Hay 10' 9 90 maneras de sacar dos cartas una primero que la otra sin sustituci ón. Hay 5' 5 = 25 ma neras de escoger un número par y uno impar, y 5· 5 = 25 maneras de sacar un número impar y luego uno par; por tanto 26+26 60 _ 6 P=~=9ií-9'
(iii)
Hay 10 • 10
= 100 maneras de sacar dos cartas una después de la otra con sustitución. Como en (ii), hay 5·5
25 maneras de sacar un número par y luego uno impar, y 5· 5 uno par; entonces p
=
25 + 25 ---roo
=
60 100
=
1
= 25 maneras de sacar un número impar y lueg o
2'
3.13. Seis parejas de casados se encuentran en un cuarto. (i)
Si se escogen 2 personas al azar, hallar la probabilidad p de tlue, (a) sean esposos, (b) uno sea hombre y otro mujer.
(ii) Si se escogen 4 personas al azar, hallar la probabilidad p de que, (a) se escojan dos parejas de casados, (b) ninguna pareja sean casados entre los 4, (e) haya exactamente una pareja de casados entre los 4. (iii) Si las 12 personas se reparten en seis parejas, hallar la probabilidad p de que, (a) cada pareja sean casados, (b) cada pareja la forme un hombre y una mujer.
r
'j;
48
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
ICAP 3
= 66 maneras de eSCDger 2 personas de las 12. Hay 6 parejas de casados; por lo tanto p = 1s = f¡, 12
Hay (2)
(i)
(a)
(b) Hay 6 maneras de escoger un hombre y 6 maneras de escoger una mujer; por co nsig uiente p
6·6 e = 66 = 11'
= 495 maneras de escoger 4 personas de 12. e . 15 1 Ha y (2) = 15 manera s de escoger 2 parejas de las 6; o sea p = 495 = 3:i' Las 4 personas vienen de 4 parejas diferentes. Hay (:) = 15 maneras de escoger 4 parejas de las 6, y hay 2 . . 2· 2·2 ·2·15 16 •
Hay (~)
(ii)
(a) (h)
maneras de escoger una persona de cada pareja, o sea que p
=
495
*
= SS.
(e) Este evento es mutuamente disyunto de los dos eventos anteriores (que también son mutuamente disyuntos) y
por lo meno s debe suceder uno de estos dos. Por lo tanto p (ii i)
Hay
= ~2.1
2t21;12~12121
+ is +
=1
ó
= ~.
p
maneras de repartir las 12 personas en 6 células ordenadas con 2 persona s en cada una .
(a) Las 6 parejas pu eden ser co lo ca das en 6 células ordenadas de 6' maneras. O sea
= 12~;2S = 10.;05'
p
(b) Cada uno de los 6 hombres se pueden colocar en 6 células de 6! maneras y cada una de las 6 mujeres lo mismo.
_
Por consiguiente
p -
6!0! 12!/26
16 = 231'
3.14. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres de los cuales la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Hallar la probabilidad p de que una persona escogida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños . Sea A
=
Entonces
Ila persona es un hombre 1 y B 10 1 15 P(A) 30 3' P(B) 30 P
=
Ila persona tiene ojos castaños 1. Busca mo s la P(A 5 1 P(A nB) '30 ¡j. Así por el teo rema 3.5,
= = 2'1
= =
= =
~
= P(AuB) = P(A}+P(B)-P(AnB) =
i-+~-i
=
u
B).
P( fI'J 1)) :. NIl} ' Na)
t
,r
_ 10
- 30' lo "'"
;.!.. 6
1/
ESPACIO'S UNIFORMES NO' CO'NTABLES
3.15. En el interior de un círculo se selecciona un punto al azar. Hallar la probabilidad p de que el punto quede más cercano al centro que a la circunferencia. Denotemos por S el conjunto de los puntos interiores al círculo de radio r y denotemos por A el conjunto de los puntos interiores al círculo concéntrico de radio ~r (Así , A es tá form;¡do precisamente por aquellos puntos de S que están más cercanos a su centro que a su circunferencia.) Por consiguiente,
p
=
P(A)
=
área de /1 áre a de S
1 4
3.16. Considérese el plano cartesiano R 1, Y desígnese X como el subconjunto de puntos para los cuales ambas coordenadas son enteros . Se lanza una moneda de diámetro t al azar sobre el plano. Hallar la probabilidad p de que la moneda cubra un punto de X Denotemos S el conjunto de puntos interiores del cuadrado con extremos (m, n
(m, n),
(m, n
+ 1),
(m + 1, n),
(m
+ 1, n + 1)
+ 1)
l)
=
P(A)
=
área de /1_ área de 5'
s
= 1T(t)2 = ~ "'" 02 1
16
'
Nota: No se pueden considerar todos los S de R' porque éste tiene área infinita.
+ 1)
t.
Denotemos A el conjunto de punt os de S de distancia a las esquinas inferiores a (Obsérvese que el área de A es igual al área interior del círculo de radio Así un a moneda cuyo centro cae en S cubrirá un punto de X si y sólo si su centro cae en un punto de A. Según esto, p
(m+ 1, "
E X
(m+ 1, n)
(m,n)
A sombreado
lNTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
CAP 31
49
a, b y e de una circun se escogen al azar. Hallar la probabilidad p de que los puntos sobre el mismo semi-círculo.
3.17. Tres
Su [l0ngamos que la longillld de la círcun len:nda 2\" Denotemos la longilUd del arco ab en ,el :,cntido del movimiento de las agujas de! reloj y denotemos la dd arco I1l' en d mismo sentido, Así
o<
<
x
28
o< y <
y
(*)
28
Sea .'; el conjunto de los puntos de R' para los cuales cumple la condición ('j, Sea A el subconjunto de S para el cual cumple una de las CO!l(J¡cíones sigUientes:
(i)
x, y <
8
>
8
(ii) x, y
x
(ív)
<
OH)
yy-x>s Y
8
>
x - y
8
Entonces A consta de aqucllos puntos para los cuales se cumple que a, b y e caen sobre el semi-circulo, Así área de A 3 p - 4' A sombreado
PROBLEMAS VARiOS 3.HL Sean A y B P(AC) y
P(A)
(i)
+ P(B)
(i i)
P(AC) = 1 -
(¡ii)
US:.ll1do la ley de De J'vlorgan,
(AUB)c
P«A U
1
ft
t"nemos
1-t
1 - ['(A nB)
nB)e) =
=
P(A uB)
1
nB)e = Ae
+ P(BC)
p(AcuBe) B)
1
AcnBc, t<.:ncmos
U
P(A nBC}
1 - P(B)
y
Usando la ley de De Morg:.ln,
P(Bn
ft
1
EljU ivakntemente,
(v)
P(B) =! y P(A nB) = Hallar (i) P(A UB), (iv) P(ACUBC), (v) P(A nBC), (vi) P(BnAC).
P(A nB)
P(Aen (i v)
= J1,
con P(A) (iii) P(Acn
eventos
=
li ,~
i+k t
-
ll. 4
P(A nB)
prAl
P(B) - PíAn
3,19, Sean A y B eventos con P(A U B) =
i y
P(A e)
t.
p(AnB)
Hallar,
(i) P(A), (ii) P(B), (iii) P(A n Be). 1 - P(AC) = 1 -
(i)
PíA)
(ii)
R.<:mplal.Jl1los en P(;l U
(i ii)
i
=
prAl
t + [,(B)
nB) para obtener :'le
i + P(B)
i
o
nB)
prAl
.
3.20. Hallar la probabilidad p de un evento si la ventaja de que ocurra es a ' b, esto es Ha a b" La ventaja de que un evento con probabilidad f' slI<.:cda
a p
bp
o
b
a
ap
3.21. Hallar la probabilidad p de un evenlo si la ;! de lo cual 2
la r.cspllcsta: p
p
%. 3
- 5'
o
la relación p' (1
ap
+
=a
cJCljueSlIcccJa
- p), Por lo tanto o
p
a
"3a2",
Podemos u,ar también la rórmula del problema anterior para obtener directarncn'tc
[CAP. 3
INTRODUCCION A LA PROIlABILlDAD
50
3.22. Se lanza un dado 100 veces, La tabla siguiente detalla los seis números y la frecuencia con la cual aparece cada número: 1
2
3
4
5
6
14
17
20
18
15
16
Número Frecuencia
Hallar la frecuencia! del evento en que, (i) aparezca un 3, (ii) aparezca un 5, (iii) aparezca un número par, (iv) aparezca un número primo, .. La frecuenct:l relatIva
(I') f =
20 100
= 0,2
°
f
=
(1') ¡
número de sucesos , I d b numero tota e pruc as
f =
lS 100
=
0,15
("1IJ' )
f =
17+18+16 100
=
, ) f (IV
0,51
= 17 +lOO ZO + 15 -
° ,
52
3.23. Probar el corolario 3,6: Para los eventos A, By C.
=
P(AUBUC)
P(A)
+ P(B) + P(C)
+ p(AnBnC)
- p(AnB) - P(AnC) - P(BnC)
= B U C, Luego A n D = A n (B U C) = (A n B) U (A n C) y P(AnD) = P(AnB) + P(AnC) - P(AnBnAnC) = P(AnB) + P(AnC) -
Sea
D
P(AnBnC)
Así
P(AuBUC)
P(A uD) P(A)
=
P(A)
+ +
= P(B) P(B)
P(A)
+ +
+
P(D) -
P(A n D)
+ P(AnC)
P(C) -
P(BnC) -
[P(AnB)
P(C) -
P(BnC) -
P(AnB) -
P(AnC)
- P(AnBnC»)
+
P(AnBnC)
3.24. Sean S = {al, az, ., " a.} y T = {b l , bz, , .. , bt} espacios finitos de probabilidad. Sea el número Pi} = P(al) P(b j ) asignado a la pareja ordenada (al, b j ) del conjunto producto S X T = {(s,t) : s E S, t E T}. Comprobar que el PIJ define un espacio de probabilidad de S X T. esto es, que los plJ son no negativos y suman uno, (Este es el llamado espacio de probabilidad producto, Hacemos énfasis que esta no es la única [unción de probabilidad que se puede definir del conjunto producto S X T.) Puesto que P(a l ), P(b J) ~ 0, para cada i y cada}.
P11
+
Plj
= P(a¡) P(b
j) ~
0, Además ,
+ ... + Pu + PZI + P22 + '" + P2t + '" + P.I + P.z + ,.' + P.t + P(a¡) P(b t ) + ... + P(a.) P(b¡) + .. , + P(a.) P(b,) = P(al) P(b¡) + + P(b,)] + '" + P(a,)[P(b l ) + ... -+ P(b t ») = P(a¡)[P(b 1) + P(a 1) • 1 + ... + P(a,)' 1 = P(a¡) + ,.. + P(a,) PI2
1
CAP. 31
51
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
Problemas propuestos
.
ESPACIOS MUESTRALES y EVENTOS 3.25.
Sean A y B eventos. Hallar la expresión y usar el diagrama de Venn para el evento en que, (i) sucede A o no B. (ii) ni A ni B suceden.
3.26.
Sean A. B Y eventos. Hallar la expresión y usar el diagrama de Venn para el evento en que, (i) sucede exactamente uno de los tres eventos, (ii) suceden por lo menOol; dos de los eventos, (iii) ninguno de los eventos sucede, (iv) sucede A o B. pero no C.
3.27.
e
Sea el caso de lanzar una moneda de centavo, una de diez centavos y un dado. (i)
Escribir el espacio muestral S apropiado.
(ii)
Expresar explícitamente los eventos siguientes: A = I que aparezcan dos caras y un número primo 1, B aparezca un 2 1, e = I que aparezca exactamente una cara y un número primo l.
(iii)
Expresar explícitamente el evento en que, (a) A y B suceden, (b) sucede solamente 8, (c) sucede B o C.
= I que
ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD 3.28.
¿Cuáles runciones definen un espacio de probabilidad de S
P(a¡)
(i)
(ii) P(a¡) 3.29.
t,
P(U2)
= t,
P(a2)
=
t, P(aa) = t = -k, P(aa) = t
Sea P una fun ción de probabilidad de
=
(ii) P(a¡) 2 P(a2) P(az) 3 P(a¡).
=
S
P(aa)
y
= {al' Uz, aa}?
(jii) P(a¡)
= 1,
P(az)
(iv) P(a¡)
= 0,
P(á z)
=
= {al' az, as}.
=
i,
= t, = t,
t ¡
P(as) = P(aa) =
=t
Hallar
(iii) P( {az, as})
P(a¡) si, (i) P(aJ = 2 P(a¡), (iv) P(as)
y
=
3.30.
Se carga una moneda de manera que la posibilidad de salir cara sea tres veces la de salir se.llo. Hallar P(H) y P(T) .
3.3 ~.
Tres estudiantes A. B Y e intervienen en una prueba de natación. A y 8 tienen la misma probabilidad de ganar y el do · rfA) = z. p, p(,.,) " Z P lc) : /> . () t ble de la de C. Hallar la pro babilidad de que gane B oc.
¡.
p{e.()c-): r+r =i-I
3.32.
3.34.
;:;g.
r/,.,) =~ f>G = 'f
p{c} = ~
Se carga un dado de manera que los números pares tienen el doble de posibilidad de salir que los impares. Hallar la probabilidad de que, (i) aparezca un número par, (ii) aparezca un número primo , (iii) aparezca un número impar, (iv) apa· rezca un número primo impar. S : I i !, l¡ l ¡ ('irl .
3.33.
z-Pt-z-p+p = (
'I',~I >
<-
f,'r " ~J¡' n "f'
'l'
, ~
",;
. /'
•
f .
I
- ¡L
q /' •
;,¡/".),)~
¡., Irl ,~ I,!.
Hall a r la probabilidad de un evento si la ventaja de que suceda es, (i) 2 a 1, (ii) 5 a 11.
i
r:
e:¡/ 'fL ijI t'f. q, '1Z.
rIPIAI""') ;
·f ' ,~ '.f
:f
En una carrera de natación, la ventaja de que A gane es 2 a 3 y la ventaja de que B gane es I a 4. Hallar la probabilidad p
y la ventaja de que A o B ganen la carrera.
ESPACIOS FINITOS EQUIPRonAn\..ES 3.]5.
Una clase está formada por 5 estudiantes de primero, 4 de segundo, 8 de penúltimo y 3 de último a ño . Se es\:oge un estudiante al azar para representar la clase. Hallar la probabilidad de que el estudiante sea, (1) de segundo, (ii) de último año, (iii) de penúltimo o de último año. , .. ) Ifl rVeI) ; t,.. • .;) _ !!.. Ir ...v
¿V
CA
3.36.
Se selecciona una carta al aza r entre SO cartas numeradas de I a 50. Hallar la probabilidad de que el número de la carta sea, (i) divisible por 5, (ii) primo, (iii) termine en dos.
3.37.
De las 10 ni ñas de una clase, 3 tienen ojos azules. Si se escogen dos niñas al az.a r, ¿cuál es la probabilidad de que,. (i) las dos tengan ojos azul/e.s? (ii) ninguna tenga ojos azules? (iii) una por lo menos tp ga ojos azulesry f i3 n)( ~) 1- ( 1.).
l'{l)
( ;0): -¿
. 3.38.
,.l
A.
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"
I l I.- i.
. '.0.. '"1'
(
t. :
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----r'."')--- -
J
'-
Tres lornillos y tres tuercas están en una caja . Si se escogen dos piezas al azar, hallar la probabilidad de sacar un torni·
110
y una tuerca.
(f)
,.'~
/. I r ! ~ \(: l'
li
P:A)
~
:
I¡
(
! '1)
Ir
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
52
¡CAP J
:l.39.
Diez estudiantes. A, {J, ,e,tán en u na clase . Si se escoge un comité de J, al alar, hallar la probabilidad de que. (i) A pertenezca al comité, (ii) B pertenezca al comité, (iii) A Y B pertenezcan al comité, (iv) A o B perlencJ:ca al comité.
3.40.
Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge al aza r un co mité de 3, hallar la probabilid ad de, (i) seleccionar tre s niño s, (ii) se leccionar exact amente 2 niños. (iii) seleccionar por lo menos un niño , (iv) seleccionar exactamente 2 niñas.
3.41.
Se lanza un par de dados corrientes. Hallar la probabilidad de que la suma de los do s números sea mayor que 4.
3.42.
De 120 estudiantes, 60 estudian francés. 50 estudian español. y 20 estudian francés y español. Si se escoge un estudiante al azar , hallar la probabilidad de que el estudiante, (i) estudie francés y español, (ii) no estudie francés ni español.
:l.4.1.
Tres nirios y J niñ as se sientan en fila . Ilallar la probabilidau dc que, (i) las tres niñas se ; icnten juntas, (ii) los niño s y las niñ as se sienten alternados.
ESPACIOS UNIFORI\IES NO CONTABLES .1.44 .
Se escoge al azar un punto interior a un triángulo equil ;'l lero de lado ), Hallar la probabilidad ue que su di stancia a un vértice sea mayor que l .
3.45.
Se lanza al a7.ar una moneda so bre el plano cartesiano R:. Hallar la probabilidad de que la moneda no corte ninguna línea x = J... (b) x 1-)' = k , (e ) x = k o )' k. (Aquí k es un entero.) cuya ecuación sea ue la forma, (a) O '"
3.46,
Se escoge al azar un punto X sobre un seg mento de rect a A n co n punto medio O. Hallar la probabilidad de que los segment os de recta /1)(, XB y ,,10 puedan formar un trián g ulo.
l
PROBLEMAS VARIOS
.1.47.
Sean lo s eventos A y Bcon P(AUB) =
:l.48.
Sean los eventos A y B co n
P(AcUBC) 3.49.
y
P(A)
-h-,
i,
P(Anll)
=t
P(AuB)
y P(Ac) y
=l
Hallar P(A), P(B)
~.
P(BC)
Hallar
y
P(AnBc),
P(A nB), P(AcnBr.),
P(BnAc).
Se lanza un dado 50 veces. La tabla siguiente da los seis números y la frecuencia con que se repiten : Número
1
2
3
4
5
6
Frecuencia
7
9
8
7
9
10
Hallar la rrecuencia relati va del evento, (i) en que aparece IIn 4, (ii) en que aparece un número impar, (iii) en que aparece un número primo.
3,50.
Probar' Para los eventos Al' Az, ... , An, ~P(A¡) i
~ P(A¡nAJ) f
+
~ f
(No ra. I::.stc resultad o gcnerali73 clteorema 3.5 y el co rolario 3.(,.)
P(A¡nAjnA k )
-
•• ,
±
P(A¡n··· nA n )
CAP 3]
INTRODUCCION A LA PROOAOILlDAD
53
Respuestas a los problemas propuestos 3.25.
(i) AuEe, (ii) (AuE)e
3.26.
(i)
(AnEenCe) u (BnAenCe) u (CnAenBe)
(ií) (AnE)u(AnC)U(BnC)
3.27.
(iv)
(A u E) n Ce
(i)
S = {HH1, HH2, HH3, HH4, HH5, HH6, HTl, HT2, HT3, HT4, HT5, HT6, TH1, TH2, TH3, TH4, TH5, TH6, TTl, TT2, TT3, TT4, TT5, TT6}
(ii)
= {HH2, HH4, HH6}, E = {HH2, HT2, TH2, TT2}, (a) A nE = {HH2} (b) E "- (A u C) = {TT2} A
(iii)
BuC
(e)
(i) no, (ii) no, (iii) sí (iv) sí
3.29.
(i)
3.30.
P(H)
3.3 I.
i
3.32.
(i)
t,
(ii)
t,
3.33
(i)
t,
(ií)
-h
3.34 .
P =
3.35.
(i)
-A,
3.36. 3.37.
(i)
i,
=!,
i;
i, (i) t, i
(ii)
(iii)
t
(iii)
-h
(v)
i
la ventaj a es 3 a 2
/
-!S'
t, (iv) fa-
P(T) =
(")3 11 20' (ii) .. (11)
C') 11 . 111 20
f-o' 7/
15'
(iii) ... (1lI)
110
8
15
;/
J.39.
(i)
&,
3.40.
(i)
3.4 I.
~
:\.42.
('") 3 11 10'
("') l / e) 8 1lI 15' IV 15
A,
(") 21
("') 21 1lI 28'
(i)
i,
(ii)
3.43.
(i)
!'
(U) ~
3.44.
1 - 2,rI(9V3)
3.45.
(i)
3.46.
1
3.47.
P(A) =~, P(B) =
3.48.
P(AnB)
3.4 9.
7 (") 24 ("') 26 ( I') 60' 11 50' 1lI 50
t,
11
56'
eIV ) 56 15
t
(ii) 1 -
= t,
C
= {HT2, TH2,
= {HH2, HT2, TH2, TT2, HT3, TH3, HT5, TH5}
3.28.
. 3.38.
(íii) (AuEuC)e
tv'2,
(iii)
i.
t
P(A nBe) =
P(AcnBc)
= i,
i
P(ACuBc)
= t,
p(BnAC)
=i
HT3, TH3, HT5, TH5}
Capítulo 4
PRO;'\ r¡U l}¡\p UJ i DI\.I O¡1 / L
Sea E un evento arbitrario de un espacio Illuestral S con P(E» O. La probabilidad de que un evento A suceda una vez que E haya sucedido o, en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E, escrito P(A I E), se define como sigue: P(A
lE) =
p(AnE) P(E)
'. E
Como se aprecia en el diagrama de Venn expuesto, P(A lE) en cierto sentido mide la probabilidad relativa de A con relación al espacio reducido E.
s
En particular, si S es un espacio finito equiprobable y lA I denota el número de elementos de un evento A. entonces p(AnE) IAnEI IAnEI IEI y así P(AnE) P(E) P(A lE) P(E) IEI ISI ISI Esto es, Teorema 4·.1: Sea S un espacio finito equiprobable con eventos A y E. Entonces P(A lE)
número de elementos de A n E número de elementos de E
P(A lE) =
número de maneras en que A y E pueden suceder número de maneras en que E puede suceder
o
Ejemplo 4.1: Sea el caso de lanzar un par de dados corrientes. Si la suma es 6, hallar la probabilidad de que uno de los dados sea 2. En otras palabras. si
E
{sum a es 6}
=
{(1, 6), (2,4), (3,3), (4,2), (6, 1)}
A = {un 2 aparece por lo menos en un dado}
y hallar
=
P(A lE).
Ahora E consta de cinco elementos y dos de ellos, (2, 4) Y (4, 2), pertenecen a A. A n E = :(2,4), (4, 2)'. Entonces P(A I E) = ~. Por otra parte. puesto que A consta de nueve elementos.
A
=
{(2, 1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,6), (2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (6,2), (6,2)}
y S consta de 36 elementos, P(A) = ~.
Ejemplo 4.2: Un hombre visita a un matrimonio que tiene dos hijos. Uno de los hijos, un niño , entra en la sala . Hallar la probabilidad p de que el otro sea también niño si, (i) se sabe que el otro hijo (o hija) es menor, (ii) no se sabe nada del otro hijo. . El espacio muestra} para el sexo de los dos hijos es S = I bb . bg , gb . gg I con probabilidad cada muestra. (Aquí la serie de cada punto corresponde a la serie de nacimientos.)
l
(i)
El espacio muestral reducido cOflsta de dos elementos, I bb. bg 1; o sea p
(ii)
El espacio muestral reducido consta de tres elementos, I bb. bg. gb 1; o sea p
=
=
t.
i
para
CAP 4]
PROBABILIDAD CONDICIONAL E
INDEP~ND[NCIA
55
TEOR EM A- DE LA MULTIPLlCACION PARA PROBABILIDAD CONDICIONAL
Si multiplicamos en cruz la ecuación anterior que define la probabilidad condicional y usamos el hecho de que A n E = E n A, obtenemos la siguiente fórmula útil. Teorema 4.2: P(E n A) = P(E) P(A I E) Este teorema puede extenderse por inducción matemática co mo sigue: Corolario 4.3: Para los eventos Al, A 2, ... , A n , P(A l nA 2 n··· nA n )
=
P(AI)P(A2IAI)P(~3IAlnA2)"
·P(A n IA¡nA 2n··· nA n - l)
Ahora aplicamos el teorema anterior que es llamado, apropiad:.lmente, el teorema de la multiplicación. Ejemplo 4.3: Un lote de 12 artículos tiene 4 derectuosos. Se toman al azar tres artículo s del lote uno tras otro. Hallar la probabilidad p de que todos los tres estén buenos. La probabilidad de que el primer artículo no sea defectuoso <:~ 'ª- puesto que 8 entre 10$ 12 no son 12 . defectuosos. Si el primero no es derectuo,o , entonces la probabilidad de que el próximo artículo no sea derectuoso es f¡ puesto que solamente 7 de los II sobrantes no son defectuosos. Si los dos primeros artícu los no son ddectuosos , entonces la probabilidad de que el último no sea derectuoso es !. puesto que 10 solamente 6 entre los 10 que quedan no so n derectuoso s. Así por el tcort:ma de la multiplicación, p
=
8
7
G
12'] 1 . 10
=
14
55
PROCESOS ESTOCASTICOS FINITOS y DIACHAMAS DE ARBOL
Una sucesión (finita) de experimentos en lo s cuales cada experimento tiene un número finito de resultados con probabilidades dadas se llama un proceso estocástico (finilO). Una manera conveniente de de~cribir tal proceso y calcular la probabilidad de un evento se obtiene por el diagrama de árbol como se ilustra en la figura siguiente; el teorema de la multiplicación de la sección anterior se usa para calcular la probabilidad de que el resultado representado por una trayectoria determinada del árbol suceda .
.....
Ejemplo 4.4: Tomemos las tres cajas siguientes: Caja I contiene 10 lámparas de la s cuales 4 son defectuosas. Caja 11 contiene 6 con I defectuosa. Caja 111 contiene 8 con J ddectu o,as. Escogemos al azar un a caja y luego sacamos al azar una lámpa ra . ¿C uál lámpara sea defectuosa?
e~
la probabilidad p de que la
Aquí realizamos una se rie de dos experimentos: (i)
escoga una de las tr es cajas;
(ii)
escoger una lámpara que sea o defectuo sa (D) o no defectu osa (N).
El diagrama de ú¡,hol sigu iente lkscribc el proceso y da la probab ilidad de cada rama del árbol :
.t ,
rr
-D
--=======r==---
N
t
~ ~ D ~III~ i
N
[CAP 4
PROBABILIDAD CO NDI C IONAL E INDEPENDENCIA
56
La probab ilid ad de que una trayectoria determinada del árbol suceda es, seg ún el teorema de la multiplicación, el product o de las probabilidades de cada rama de la trayectoria, o sea, que la probabilidad de escoge r la caja I y luego una lámpar? defectuo sa es ~.%
= !S.
Ahora com o hay tres tr ayect or ias mutu amente exclusivas que conducen a un a lúmpar a defe ctu Qsa , la suma de las probabilidades de est as trayectorias es la probabilidad buscada:
1
2
== "3."5
p
1
1
1
3
+ "3 ."6 + 3'. 8" =
1-
113 360
!.
Ejemplo 4.5 : Se lanza una moneda cargada de modo qu e P(C) = y P{S) = Si sa le ca ra, se escoge al a ~ar un número de I a 9: si sale sello , se escoge al azar un número de l aS. Hall ar la probabilidad p de que se escoja un número par El di agr am a de
~rhol
con las probahilidades respectivas es:
~o
T~
E
Obsérvese que la proba bilidad de escoger un número par de I a 9 es ~ pu esto que hay 4 pares entre puesto que ha y 2 números los 9 núm ero s, mientras que la probabilidad de escoger un par de I a 5 es pares entre los 5. Dos de las trayectorias co nd ucen a un número par: CP y SI'. Así
t
P
=
P(E)
2 3
4 9
= -. -
2 + -31 . -5
58
135
PAHTICIONES y TEOHEMA DE BAYES
Suponga mos que los eventos Al, A2 , . , An forman un a pa rtición de un espacio muestral S; esto es, que los eventos A ¡ son mutuamente exclu sivos y su unión es S. Ahora sea B otro evento. Entonces B
SnB
=
(A¡UA 2 u···uA n )nB
(A¡nB) U (A 2 nB) U··· U (AnnB) dond e las Al n R so n eventos mutuamente exclusivos. En co nsecu enct a. P(B) = P(A¡nB) + P(A 2 nB) +
B so mbreado.
.. , + p(AnnB)
Lu ego [lor el teLlrem a de la multiplicación, P(B) = P(A I ) P(B I Al) + P(A 2) P(B I A 2 ) + .. - + P(An) P(B I An) Por otra part e, para cualquier i, la probabilidad condicional de Al dado S se define por
(1)
P(A¡ IB)
En esta ccuaClon usamo s (/) para remplazar peS) y usamos peAl n B) pla za r P(AI n R), obteniendo as í el
para rem-
1, A 2, . . . , An es una partición de S y que B es cualquier evento. Entonces para cualquier i. P(A¡) P(B I Al)
Teorema de Bayes 4.4: Su pónga se que A
P(A I I B)
= ' P(A¡) P(S IA¡)
CAP 41
PROBABILIDAD COND IC ION AL E IND ¡:PLNDENC I A
~¡;-¡.
á;<
57
"1- ,,'/.
Ejemplo 4.6: Tres máquina s A , 8 Y e producen respecl ivamenle 50%. JO'l',. y 20% del núm ero lo lal de a rticul os de una fáhrica . Los porcen lajes de des perfectos de producción de e, las máquinas son 3%.4% Y 5%. S i se "deccio n;1 a l a l ar un articulo . hallar la prohabilidad de que el articulo sca de fcctu os,J. > '/.
4/.
l ',
t
Sea X el even to de que un artículo es defectuoso . Emonces según (J) vi slo alrá s ,
P(X)
=
P(A) P(X I A)
+
+
P(B) P(X I B)
(0.50)(0.03)
+
(0.30}(0.04)
A
u.:;o
P(C) P(X I e)
, >
u.o\
D
~N
e t - - II.JO - - - 8 ~D _______ N
+ (0 ,20)(0 .05)
0,037 Obsérvese que lilmbién podemos con sider a r esle problema COl1l0 un proceso eSlocás li co que liene el diagrama de árbo l adjunto .
Eje mplo ~ .7: Comidérese la fábrica del ejem plo antai or SUflóngase que se selecciona un artí culo al ;l /M v rC s UllJ ser defecluoso . Hallar la probabilidad de que el artícu lo fue producido por 1;-l1I á qui;a ~.j ,- ~S;l) -~;:-: hallarP(d
1
X) -
P or el leor ema de !:layes , peA) P(X I Al P(A) P(X I A :) --"'+---=P~(Ú) P(X I B)
P(A IX)
+
P(C) P (X
(0. 50){O .OJ)
+ (0,30)(0,04 )
(0,50)(0 ,03)
I e)
~ -0. 405 37 ~
1- (0 ,20)(0 ,0 5)
En Olras palahras, dividimos la probabilidad de la trayecloria pedida por la flrohahilid
INDEPENDENCIA
Se di cl: que un evento B es in dependient e de un even to A si la [xoba bilidad de qu e IJ sllceda no es tá innu encia da porque A haya o no sucedido . En otras pal abra s, si la prohabiliJad de n iguala la prohab ilid ad co ndi cion a l de B dado A : P(B) = P(ll I A). Ahora su.,t ituy endo I'(B) por P(!¡ lA) en el teorema de la multiplicación P(A n B) = P(A) P(B 1,.1), obten emos . P(A n B)
P(A) P(B)
Usamos la ecuac ión anterior como nuestr a definición forma l de in(kpendencia . Definición:
A Y B son eventos indepe ndientes si P( A
n
B) =
P(A) P(B); de otro modo son depen-
dientes. Eje mpl o
~.8 :
L:.ínccse una moneda co rri en le Ires veces; obtenell1o s el ts pacio cquiprobabi<::
s =
{HHH, HH T, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
Con,ideremo s lo s even lo, A ~, I primeros lanlall1il:nl os so n cara s I
e-
I exaclalllenle se lan/ ~ n del, cara.s seguid ;l' I
Claralllcnle A y 1I son cvenlos independientes; esle hecho se verifica en sc:guida . Por "Ir ;t parl<: , la rcl;t · ció n enlre ,,1 y e o H y e no es obv ia . In s i, lilllo s en (jue ,. 1 y e 'ion inde pendi enl e.s , 11C!'1l (jlle B y e so n dependienles. Tenemo s
P(A)
P ({HHH, HHT, HTH, HTT })
P(B)
P({HHH, HHT , THH, THT})
p(e)
P ({HHT, THH})
2
'8
4
8 4
8
1
= 2' --
1 2
1 4
Enlon ces
P(AnB)
P ({HHH, HHT} ) P(BnC)
::=
=
~,
peA ne)
P ({HHT, T HH })
= P ({ HHT}) =~
PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
58
[CAP. 4
En consecuencia,
1
1
1
1
1 4
2'2 P(A)
1
2'4
P(B) p(e)
8
= !.! 2 4
P(AnB),
y así A y B son
P(A n e).
y así A y B son
1 .p P(B n e),
y así B y e son dependientes.
8
Frecuentemente, postularemos que eventos son leza del experimento que dos eventos son independientes. Ejemplo 4,9: La probabilidad de que A dé en el blanco es de que se pegue al blanco?
i
y
o que será claro por la natura-
t. Si A Y B disparan, ¿cuál es la probabilidad
la de Bes
¡;
t
y P(R) y buscamos P(A U B). Además, la probabilidad de que Sabemos que P(A) = A o B den en el blanco no depende, de que el olro dé; esto es, el evento de que A dé en el blanco es independiente del evento de que B dé en el blanco: P(A n B) 1'(8). Así
+
U
! + 4
Tres eventos A, B Y
(i)
P(A nB)
e
5
son independientes
P(A)P(B), P(AnC)
+
P(A)
nB) 11
2
1'(B)
P(A)
20 SI:
P(A) P(C)
nC)
y
P(B) P(C)
esto es, si los eventos son independientes dos a dos, y
(ii) p(AnBnC)
P(A)
P(C).
El próximo ejemplo muestra que la condición (ii) no se desprende de la condición (i); en otras palabras, tres eventos pueden ser dos a dos pero no entre i HII, HT, 1'1-1, 1'T i es un espacio
Ejemplo 4.10: Sea el caso de lanzar un par de monedas corrientes; aquí Consideremos los eventos A
B
e Entonces P(A)
P(AnB)
=
I caras en la primera moneda i ¡ caras en la segunda moneda I
{HH, TH}
= ¡ caras en una moneda exactamente I
P(B) = P(G) :::: ~ P({HH})
1 = 4"'
== ~
y
P(A ne)
= P({HT})
1
4'
P(BnG)
({TH}) =
1
4"
Así la condición (i) se satisface, o sea, los eventos son independientes dos a dos. Sin embargo, n B n e = !í) y así
A
P(AnBnG) = P(0) En otras palabras, la condición (ii) no se satisface y
o ¡:xJf
#
P(A) P(B) P(G)
lanto los tres eventos no son independientes.
PRUEBAS REPETIDAS O INDEPENDIENTES Hemos discutido previamente de probabilidad que estaban relacionados con un experimento repetido un número finito de veces, tal como el lanzamiento de una moneda tres veces. Este concepto de repetición se formalíza como Definición:
S un espacio finito de probabilidad. Por n pruebas o independientes, el espacio de probabilidad T que consta de n-uplas o elementos de S con la probabilidad de una n-upla definida como el producto de las probabilidades de sus componentes:
nifícamo~
P(S2) ... P(Sn)
PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
CAP. 4]
59
i
i.
Ejemplo 4.11: Tres caballos a, b y e corren juntos, sus probabilidades de ganar son respectivamente ~, y En otras palabras, S = la, b, e I con P(a) = t, P(b) = y P(c) = Si los caballos corren dos veces, entonces el espacio muestral de las dos pruebas repetidas es
!
T
=
i.
{aa, ab, a~, ba, bb, be, ea, eb, ee}
Por conveniencia en la notación , escribimos ac en lugar de la pareja ordenada (a, c). La probabilidad de cada punto de Tes
1
1
1 4
P(ba)
1 6
P(ca)
1 12
1
1
1 6
P(bb)
1 9
P(eb)
1 18
1 12
P(be)
1 18
P(ce)
P(aa)
P(a) P(a)
2'2
P(ab)
pral P(b)
2'3
P(a)P(c)
= l,! 2 6
P(ac)
=
-{-c,.
=
=
Así la probabilidad de que e gane la primera carrera y de que a gane la segunda es P(ca)
Desde otro punto de vista, un proceso de pruebas repetidas es un .proceso estocástico, cuyo diagrama de árbol tiene las siguientes propiedades: (i) cada ramal tiene los mismos resultados; (ii) la probabilidad es la misma en cada rama que conduce a un mi smo final. Por ejemplo, el diagrama de árbol del proceso de pruebas repetidas del experimento anterior es tal como se muestra en la figura adjunta. Obsérvese que cada ramal tiene los resultados a, b y e, y cada rama que conduce al resultado a tiene probabilidad t, las que conducen a b tienen probabilidad t y cada una de las que conduce!) a e tienen probabilidad i.
~
1 36
= T-2'
~a
a~b
i
e
~__~t___ b~: ~e e
t ~a
b
1
e
Problemas resueltos PROBABILIDAD CONDICIONAL EN ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES
4.1.
Se lanza un par de dados corrientes. Hallar la probabilidad jJ de que la suma de sus números sea 10 o mayor si, (i) aparece un 5 en el primer dado, (ii) aparece un 5 en uno de los dados por lo menos. (i)
Si aparece un S en el primer dadu , entonces el espaciu muestr al reducido es
A
=
{(5, 1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5, 6)}
La suma es 10 u mayor en dos de lo s seis re sultados: (S , S), (5,6). Por lo tanto p = (ii)
i
= ~.
Si aparece un S por lo menos en un dado , entonces el espacio muestral reducido tiene once elementos:
B
=
{(5, 1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (6, 3
La suma es 10 o mayor en tres de los once resultados: (5, S), (S, 6), (6, S). Por lo tanto p = 11'
3·
PROOABILlDAlJ
5)}
..
60
PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
ICAP 4
Se lanzan tres monedas corrientes. Hallar la probabilidad p de que sean todas caras si, (i) la primera de · las monedas es cara, (ii) una de las monedas es cara. El espacio muestral tiene ocho elementos: S
=
I HHH, HHT, HTH, HTT, THH, TiIT, TTH, TTT 1.
(i)
Si la primera moneda es cara, el espacio muestral reducido es A monedas son todas caras enA de 4 casos. [1 =
(ii)
Si una de las monedas es car1. el espacio muestral reducido es 8 Puesto que las monedas son todas caras en I de 7 casos, p =
i /
=
t .."
= I HHH . HHT. HTH. HTT l. Puesto que la,
I HHlf , HHT, HTH, HTT, THH. THT. TTH 1.
Se lanza un par de dados corrientes. Si los dos números que aparecen son diferentes. hallar la probabilidad p de que, (i) la suma sea seis, (ii) aparezca un as, (iii) la suma sea menor ü igual a 4. De las 36 maneras que se puede lanzar el par de dados. 6 contienen números repetidos: (1 , 1), (2, 2). el espacio muestral reducido constará de 36 - 6 = 30 elementos.
4.4.
,(6.6) . Así
(i)
La suma 6 puede suceder de 4 maneras: (1, 5). (2. 4). (4, 2) (5,1). (No incluimos (1. 3) puesto que los númcro' son = .!. iguales.) Entonces [1 = ..!. 30 15'
(ii)
Un as puede aparecer de 10 maneras: (1.2), (1, 3),
(iii)
La suma menor o igual a 4 puede suceder de 4 maneras: (3. 1), (l. 3), (2 , 1). (l. 2). Así [1
,(1,6) Y (2,1), (3.1).
, (6, 1). Entonces [1 = ~
=fo= fs
Se escogen al azar dos dígitos desde I hasta 9. Si la suma es par, hallar la probabilidad p de que ambos números sean impares. La suma es par si los números son impares o si son pares. Hay 4 pares (2, 4. 6,8); por tanto hay (~) = ó maneras rlc escoger dos números pares. Hay 5 impares (1, 3, 5, 7, 9); o sea que hay (~) = 10 maneras de escoger dos números impares . Así hay 6 + 10 = 16 maneras de escoger do s números tales que su suma sea par; puesto que lO de estas maneras . !O 5 suce d en cuan rl o Ios dos numeros son Impares, fi = 16 = 8'
4.5.
A un hombre se reparten 4 espadas de una baraja corriente de 52 cartas. Si se le dan tres cartas más, hallar la probabilidad p de que por lo menos una de las cartas adicionales sea también espada. Puesto que recibió 4 espadas, quedan 52 --- 4 = 48 cartas de las cuales 13 -- - 4 ~ 9 son espadas . Hay Ci) =, 9 = 39 cartas que no son espadas, hay
17.296 maneras en las que puede recibir tres cartas más. Puesto que hay 48 -
(339) = 9139 maneras en que puerle recibir tres cartas que no son espadas. Así la probabilidad q de que no reciba cspa9139 8157 das es q = í7.2li6: por lo tanto fi = I ---- q = 17.296'
4.6.
Se reparten 13 cartas de una baraja corriente de 52 cartas a cuatro personas que denominamos Norte, Sur, Este y Oeste. Si S no tiene ases, hallar la probabilidad p de que su compañero N tenga exactamente dos ases. (ii) Si N Y S juntos tienen nueve corazones, hallar la probabilidad p de que E y O tengan cada uno dos corazones.
(i)
(i)
Hay 39 cartas, contando los 4 as<:s , repartidas entre N, E Y O. Hay (;;) maneras rle que N reciba 13 de biS 39 cartas. Hay (~) maneras de que pueda recibir 2 de los cuatro ases, y (~~) maneras de que pueda recibir II cartas de las 39 -- 4 = 35 cartas que no son ases. Así
p
6'12'13'25'26
650
aG • 37 • 38 • a9
2109
CAP, 4]
(ii)
PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
61
Hay 26 cartas, incluyendo 4 corazones, repartidos entre E y O, Hay (;:) maneras de que, por E pueda recibir j} cartas. (Necesitamos solamente analizar las 13 cartas de E puesto que O debe tener el resto.) Hay ,(~) maneras para que E recibir 2 corazones de los 4. y maneras para que el mismo recibir 11 no-corazones de 26 4 22 no-corazones. Así
(ii)
p
TEOREMA DE LA MULTlPUCACION . 4,7.
Una clase tíene 12 niños y 4 nírlas, se escogen tres estudiantes de la clase al azar, ¿cuál es la probabilidad p de que sean todos niños? La probabilidad de que el primer estudiante escogido sea un niño es 6 puesto que hay 12 niños entre los 16 estu11 niños entre diantes. Si el primero es un l1ioo, entonces la probabilidad de que el segundo sea niño es 11/1 puesto que los 15 restantes. Finalmente, si los primeros dos escogidos son niños. entonces la probabilidad de que el tercero sea niño es 10/14 puesto que quedan 10 niños entre 14. Así, por el teorema de la multiplicación, la probabilidad de que todos tres sean niños es
12
p
(Jira méwdo. Hay
3
.. entre 17~: por 1o tanto p 3 1111105
==
10
11
660 maneras de escoger 3 5¡¡¡j' ==
entre 16, Y
Un lena método Si los estudiantes se escogen uno después del otro, entonces ger tres estudiantes, y 12' 11 • 10 maneras de escoger tres niños; por consiguiente p
\ 4.8.
220 maneras de escoger
220
16·15' 14 maneras de esco=:: ~~:-:-
11 2jj.
A un le reparten 5 cartas una Iras otra de una baraja corriente de 52 carlas, ' probabilidad p de que todas sean La probabilidad que la primem carta sea e>pada 13/52. la segunda sea espada es 12/51, la cuarla IO/49,y la última (Suponemos en elida caso que las cartas anteriores fueron espadas,) Así !3
P
4.9.
12
11
10
!er~era
es la 11/50, la
9
5i'5i''5o'¡¡¡';¡¡j
Una urna contiene 7 bolas rojas y 3 bolas blancas, Se sacan 3 bolas de la urna una tras otra. Hasean y la lercera blanca. llar la probabilidad p de que las dos La probabilidad de que la primera bola sea roja es 7! 10 puesto que hay 7 rOjas entre las 10 bolas. Si la primera bola bola sea roja es puesto que 6 rojas entre las 9 bolas restanentonces la probabilidad de que la tes, SI las dos rl'll1laas son entonces la de que la tercera sea blanca es puesto que 3 blancas entre las 8 bolas restantes en la urna. Entonces por el teorema de la
p
6 10 • '9
3
• 8'
7
"4.10. Los estudiantes de una clase se escogen al azar, uno tras otro, para presentar un examen. Hallar la probabilidad p de qUe niños y niñas queden alternados la clase consta de 4 niños y 3 niñas, (ii) la clase consta de 3 niños y 3 niñas. (i)
Si lo~ niños y las niñas se alternan, el primer estudiante examinado debe ser nino. La probabilidad de que el segundo ::.ea niña es puesto q1ile hay J niñas entre los 6 restantes, Continuando en esta forma, obtenemos que la probabilidad de que el tercero sea niño es que el cuarto sea niña es 2/4. que el sea niño que el sexto sea y que el último sea niño es t/!. Así niña es I
4332211
P ::::= -.-.-.-.-.~. 7 6 5 '4 3 2 1
62
[CAP, 4
PROBABILIDAD CONUICIONAL E INDEPENDENCIA
(ii)
Hay do s casos mutuamente exclu sivos: el primer estudiante es un niño , y el primero es una niña , Si el primer estudiante es un niño, enton ces por el teorema de la multiplicación la probabilidad p' de que los estudiantes se alternen es PI
3322111 20
= (;' 5 . "4 • 3' 2 . 1 =
Si el primer estudiante es una niña , entonces por el teorema de la multiplicación la probabilidad [1 ' de que lo s estudiantes se alternen es
3322111 5 . "4 • 3 . 2 . 1 20
P2 = (;.
Así,
P
PI
+ P2 =
1
I
1
+ 20
20
=10'
PROOLEIVIAS V ARiOS SOBRE PROBAOILlDAD CONDICiONAL 4.11. En cierta facultad, 25% de los estudiantes perdieron matemáticas, 15% perdieron química y 10% perdieron las dos. Se selecciona un estudiante al azar. (i) Si perdió química, ¿cuál es la probabilidad de que perdió matemáticas? (ii) Si perdió matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que perdió química? (iii) ¿Cuál es la probabilidad de que perdió matemáticas o química?
e
Sea M = [ estudiantes que perdieron matemáticas I y
P(M) = 0,25 (i)
= 1 estudiantes que perdieron química 1; entonces
La probabilidad de que el estudiante perdiera matemáticas, dado que haya perdido química es
P(M I C) = P(MnC) P(C) (ii)
= 0,10
P(MnC)
P(C) = 0,15
= 2.J..Q. = 0,15
~ 3
La probabilidad de que el estudiante perdiera química, dado que haya perdido matemáticas es
P(C I M)
=
P(CnM) P(M)
= 0,10
;=
0,25
g 5
3 P(MuC) = P(M) + P(C) - P(MnC) = 0,25,+0,15-0,10 ='0,30 = 10
(i i i)
4.12. Sean los eventos A y B con P(A) =
t,
P(B) =
t
y P(A n B) =
i.
Hallar.
(i) P(A lB), (ii) P(B lA), (iii) P(A UB), (iv) p(Ae I Be), (v) P(BC I AC). (í)
p~(~)B)
peA lB)
(Uí) P(AuB)
=
t
= PeA) + P(B) -
~
=
P(B I A)
(ii)
P(AnB)
111
(v)
p(Ae I Be)
P(AC) = 1 - peA)
4.13, Sean los eventos
r!
=
p(AcnBe) p(Be)
=1- t
=
l.
y B con P(A) =
Primero calculemos peA
n B)
= !i. t =
P(B) =
y
t =
=
~
8'
i
= p(BcnAe) = !'I = ~ P(AC) t 6'
y P(A UB)
usando la fórmula peA U B)
P(AIB)=p(AnB)=L:~ P(B) R 5
~
7
=
f = ~+~-p(AnB) Así.
=
1 - P(B) 1i. Por la ley de De Mor= P((AUB)c) = 1- P(AUB) = 1 - ¡,¡ = .f,¡.
Luego p(Be I Ae)
¡,
t
+3- -4- =12 2
(iv) Primero calculamOs p(Be) y P(AenBc). p(Be) gano (AuB)e = AenBe; por lo tanto P(AenBe)
Así,
= P~~~) =
o
= peA)
= l.
Hallar P(A lB) Y P(B I A)
+ P(B) -
P(AnB)
= ~
P(BIA)=p(BnA)=l=! peA) i S'
peA nB):
~AP.
4J
PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
63
4.14. Hallar P(B IA) si, (i) A es un subconjunto de B, (ii) A Y B son mutuamente exclusivos. (i)
Si A es un subconjunto de 8. entonces siempre que A suceda, 8 debe suceder; por lo tanto P(81 A) no, si A es un subconjunto de B entonces A n B = A ; entonces P(B I A) =
prAl prAl
P(A nB)
prAl
1
( i) (ii)
I A su tur-
=
(i i)
Si A Y 8 son mutuamente exclusivos, esto es , disyuntos, entonces siempre que A suceda, B no puede su ceder ; por lo tanto P(B IA) = O. Alternadamente, si A y 8 son mutuamente exclusivos entonces A n B = 0;1 po r lo tanto P(B lA)
=
P(0)
P(A nB) P(A)
°
°
p(M =
P(A)
4.]5. Tres máquinas A. B y" e producen respectivamente 60%,30% Y 10% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son respectivamente 2%, 3% Y 4%. Seleccionado un artículo al azar resultó defectuoso. Hallar la probabilidad de que el artículo hubiera sido producido por la máquina C. Sea X = I artículos defectuosos l. Buscamos P(CIX), probabilidad de que un artículo sea producido por la máquina C dado que el artículo sea defectuoso . Por el teorema de Bayes,
P(C I X)
prAl P(X I A)
+
p(e)p(Xle) P(B) P(X I B)
+
(0, 10)(0,04)
------------ = (0,60)(0,02)
+ (0,30)(0,03) + (0 , 10)(0,04)
J
nlo¡;;;O'
pll\ tcJ..c c'r
p(e) P(X I e) , -
t
4
0'-
.: 0. 16 25
4.16. En cierta facultad, 4% de los hombres y 1% de las mujeres tienen más de 6 pies de estatura. Además, 60% de los estudiantes son mujeres. Ahora bien si se selecciona al azar un estudiante y es
más alto que 6 pies, ¿cuál es la probabilidad que el estudiante sea mujer?
I
Sea A = I estudiantes de más de 6 pies 1. Buscamos P( W A), probabilidad de que el estudiante sea una mujer dado que el estudiante es de más de 6 pies . Por el teorema de Bayes, P(W I A)
P(W) P(A I W) I W) + P(M) P(A 1 M »)
~I!'(W) P(A
(0,60)(0,0 \) (0 ,60)(0,0 \) (0,40)(0,04)
+
=
\'\ ¡.\:
~ - o .z,1-Z-"1- n· 11-
'i' ( 11/",) ~ o
't-HH z
4.17. Sea E un evento para el cual P(E) > O. Comprobar que la función de probabilidad condicional P(* I E) satisface los axiomas de un espacio de probabilidad; esto es,
[PI] [P2 ]
[Ps] [P4]
(i)
Para un evento A, O:: P(A lE) ",: lo Para el evento cierto S, peS lE) = l . Si A Y B son mutuamente exclusivos, entonces P(A UB I E) = P(A lE) + P(B lE). Si A 1, A l, es una sucesión de eventos mutu3mente exclusivos, entonces
Tenemos A nE e E; por lo tanto P(A nE) también . Esto es O == P(A lE)
== 1
== P(E).
yasí [P¡] cumplc.
Así
P(A lE)
== P(A nE) == 1 P(E)
y
t!S
no nega tivo
PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
64 (ii)
Tenemos S n E
Oli)
Si A Y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces así son A (AnE) U Así
!El
E. por consiguiente
1. Así
P«A nE) unE»
P«AuB)nE)
¡CAP. 4
n
E
y
n
B
:::: P(A nE)
E.
satisface.
nE =
Además (A
+ P(BnE)
y por ende P(AUB I E) P(A \ E)
+
P(B IE)
O sea que (P:¡] satisface. (iv)
Similarmente si Aj. Az.
son mutuamente exclusivos, también lo son Al
. ,,) n
P«A¡ n
U (AznE) U .•. )
::::
Azn, ... Así
prAl nEl
+ P(A 2 nE) +
y por tanto prAl
u···
lE) P(AII E)
+
P(Az\ E)
-jo
.,.
Esto es. [Pi] satisface.
PROCESOS ESTOCASTlCOS FINITOS 4.18. Una caja contiene tres monedas; una moneda es una moneda tiene dos caras y una moneda está de modo que la probabilidad de obtener cara sea l. selecciona uria moneda al azar y se lanza. Hallar la probabilidad p de que salga cara Construimos el diagrama de árbol como se muestra en la figura (a) siguiente. Ohsérvese que I se re fíe re a la moneda corriente, 1I a la de doble cara y 111 a la moneda cargada. Ahora las caras aparecen a lo largo de tres de las lrayecto· rias; por lo lanto p
11
___Ll+l'l+L!. 3
2,3
3
3
(a)
(b)
4.19. Se nos dan tres urnas como 5 blancas. Una urna A contiene 3 bolas I blanca. Una urna B contiene 2 bolas 3 blancas. Una urna e contiene 2 bolas Se selecciona una urna al azar y se saca una boja de la urna. S¡ la bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna A? Se con,truyc el diagrama de árbol como se muestra en la figura (b) anterior. Buscamos la probabílidad de que sc seleccione A, dado que la bola es roja; esto es, P(A ¡R). Con el fin de hallar n Rj y P(R).
P(A IR). es necesario calcular primero P(A
La probabilidad de que se seleccione A y se saque una bola roja es que hay tres trayectorias que conducen a bola roja, P(R)
t·
j.. ~ +i' ~ + t·:::::
esto es, peA n R) Enlonces
i.
Puesto
CAP.4J
PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
1
P(AnR) P(R)
P(A IR)
65
"8
45 173
In 300
Alternadamente, por el teo rema de Bayes,
P(A IR)
P(A) P(R lA)
+
P(A)P(RIA) PiE) P(R I E)
+
P(C) P(R I C)
45 173
(" l, 1,~, r,~,), ~ ~) (I, l, l,
4.20. La caja A contiene nueve cartas numeradas de a 9, y la caja B contiene cinco cartas numeradas de I a 5. Se escoge una caja al azar y se saca una carta. Si el número es par, hallar la probabilidad de que la carta proceda de la caja A. El diagrama de :írhol del proceso se muc,tra en la ligura (a) sig uiente. Buscamos /'(A lE), probabilidad de que se seleccione A. dado que el número es par. La probabilidad de qut!
~ = %; esto cs. P(A nE) =~. Puesto que hay dos trayectorias que con-
se escoja la caja A y un nlJlllero par es },
duccn
a u¡¡
número par, PiE)
4 I 2 19 = '21 '9+:1' 5 =;¡s.
P(A lE)
t~ ( "/1')
Así
P(AnE)
= - 'P TE) - ~'~~l
~. (r n ~)
2
=
D
10
19
19
45
NI')
::
-{o
R
T~~R~ ~~V
~.
~ -4 q
r(fnA) !.... 4'
.
(a) + -I , J'¿- : ~_ I l)
p (A ~)
_.z:.
!r -
2
10;
~R
~W~.
%
CI
-
-
'ey
W
(b) _ -
.J!!... - ~: I - I~
rr
/4 í 4.21. Una urn a contiene 3 bola s rojas y 7 blancas. Se saca ~n~ bola de la urna y se remplaLa por una lid otro color. Se saca de la urna una segunda bola.
(i) I Tallar la probabilidad p de que la segunda bola sea roja . (ii) Si amba~ bolas son del mismo color, ¿cuál es la probabilidad p de que las dos sea n blancas? Construimos el Jiagrama de árbol como
Sé
indica en la li gura (h) anterior. .
(i)
Do, trayeclOrias del diagrama de ,írbol conducen a bola rO}l: p
(ii)
La probab illdau de que amh.ls bolas fueran blancas es 10'10
. .
7
6
3 2 7 4 = 10' \O + \O' \O =
= so. 2\
P
12
= SO/25 = S'
h~~~ob
2-/":; R.
7
~R~O JI'7(,-
4.22. Se nos dan dos u nas como sigue:
f.',
..
La probabilidad dé que amb as bolas fue ·
¡an Jcl mi,m o color, eSlO cs, la probabilidad dd espacio muestral reducido, es 21
17
50'
~
2
7
6 _
12
lo ' lo + lo ' 10 - 25 ' ~
.-
lO
P
I
or o
17'¿ , 14- - _ '
io T
te>
/o
~
S-0
~(o
~ ~ "40 r,
La urna A contiene 3 bolas rojas y 2 blancas. La urna B contiene 2 bolas rojas y ~ blancas. Se selecciona al alar una urna ; se saca una bola y se coloca en la otra urna; luego se saca una bola de la segunda urna. Hallar la probabilidad p de que las dos bolas sacadas sean del mismo color. Con,tr u imos d sigu iente Jiagram3 de árbol:
lf,
r)
PROI3AI:HUDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
66
[CAP 4
Nótese que si se selecciona la urna A y se saca una bola roja y se coloca en la urna B. entonces la urna las rOjas y S blancas.
n tiene J bo·
Puesto qu e hay cuatro trayectorias que conducen a dos bolas del mismo color,
p/t./l
11 J}
~)
INDEPENDENCIA 4.23. Sea A = al evento de que una familia tenga niños de ambos sexos; y sea B = al evento de que una familia tenga a lo sumo un niño. (i) Comprobar que A y B son eventos independientes si una familia tiene tres hijos. (ii) Comprobar que A y n son eventos dependientes si una familia tiene dos hijos. (i)
Tenemos el espacio equiprobable S
A
{bbb, bbg, bgb, bgg, gbb, gbg, qUb, gUg}. Aquí
{bbg. bgb, bUg, gbb. gbg. gUb}
B AnB Puesto que P(A) P(B) (ii)
=
{bUg, gbg, ggb.gUg}
y
así
P(B)
{bUU. ubu. uub}
y
así
P(AnB)
= !. t = i = P(A
Tenemos el espacio equiprobable S
=
n
3 4
4
1
8 3 8
2
E), A Y B son independientes.
I bh. bg. gb. gg l. Aquí
A
{bU. Ub}
y así
peA)
B
{bU, gb, gg}
y así
P(B)
{bU, ub}
y así
P(AnB)
AnB
6 8
peA)
y así
1 2
3 4 1 2
Puesto que P(A) P(B) "" P(A n B), A Y [) son dependientes.
4,24. Probar si A y
n son
p(AcnBc)
eventos independientes, entonces AC y BC son eventos independientes. P«A UB)c)
=
1 - peA u B)
1 - peA) - P(B)
=
1 - peA) - P(S)
+ peA) P(B) =
+ peA nB)
=
[1 - P(A)][1 - P(B»)
P(Ac) P(Bc)
4.25. La probabilidad de que un hombre vivirá 10 años más es i. y la probabilidad de que su esposa vivirá 10 años más es +S. Hallar la probabilidad de que, (i) ambos estén vivos dentro de 10 años, (ii) al menos uno estará vivo a los 10 años, (iii) ninguno estará vivo a los 10 años, (iv) solamente la esposa estará viva a los 10 años. Sea A = al evento de que el hombre viva a los 10 años, y B entonces P(A) = y P(B) =
t
(i)
l3uscamos P(A
t.
n
=
al evento de que su esposa esté viva a los 10 años;
B). Puesto que A y B so n independientes, P(A
n
B) = P(A) P(B)
=
i· +s = n'
CAP. 4J
67
PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
= P(A) + P(B) -
UB). P(A UB)
(ii)
Buscarnos
(id)
Buscamos, P(Aen Ahora P(Ac) puesto que AC y Be son
i + 1 i2
nB)
=1 i =!
1-
=1-
y P(Bc) P(Aé) p(Be)
P(AcnBC)
!. i
!. P(B) = 1- t
!.
¡. Además,
Alternadamente, puesto que
P«AUB)C) = 1- P(AUB)
P(AcnBC) (iv)
Buscamos peA en B). Puesto que peA e) = 1 p(Ae) P(B)
=
!
P(A)
y AC
B
= 1 ! = t.
son independientes (ver problema 4.56),
4.26. La A contiene 8 artículos de los cuajes 3 son defectuosos, y la B contiene 5 artículos de los cuales 2 son defectuosos. Se saca al azar un artículo de cada caja. es la probabilidad p de que ambos sean~¡jefectuosos?
(ií)
un artículo sea defectuoso y otro no?
es la probabilidad p de
Si un artículo es defectuoso y otro no, ¿cuúl es la probabilidad p de que el artículo defectuoso proceda de la caja A? (í)
(ii)
escoger un artículo no defectuoso de A es ~ y de B es ~. Puesto que los eventos son
La probabilidad d'lentes, P
=
=
5 • ji
MélOdo 1. La probabilidad de escoger dos artículos defectuosos es, , 3
3
3
%. ~ = ¡fu.
De (i) la probabilidad de que arn-
19
bos sean no delectuosos es 8' Por lo tanlO P = 1 - ¡¡ - 20 ::::: 40' La probabilidad pide escoger un artículo defectuoso de A y uno no defectuoso de B es ~.~ La probabilidad pl de un artículo no defectuoso de A y uno defectuoso de B es ~. ~ :::;;~. Por lo tanto
Método Z.
== Pl + P2
P (iii)
!I
1
¡¡¡ + ¡
Consideremos los eventos X I artículos defectuosos de A 1 y Y I un artÍCulo es defectuoso y otro no camos P(X 1 Y). Por (íi), P(X n Y) Pi y P( Y) = Por consiguiente
:k
p
1. Bus-
P(XI
4.27. Las probabilidades de que tres hombres peguen en el blanco son, l, i y t. Cada uno una vez al blanco. (i) Hallar la probabilidad p de que exactamente uno de ellos pegue en el blanco. (ii) Si solamente lino pega en el blanco, ¿cuál es la probabilidad de que sea el hombre? Consideremos los eventos A = 1el primer hombre ¡x:ga en el blanco 1, B = I el segundo hombre pega en el blanco I y e = I el tercer hombre pega en el blanco 1; entonces P(A)::: y P(C):::: Los tres eventos son y P(Ac) P(BC) peCe) =
= t,
(i)
Sea E
=
i exactamente un hombre pega en E
1-
1.
el blanco
nBcn
=i
l,
t.
1. Entonces
u
Bn
u
nBcn
En otras palabras, si solamente uno pegó en d blanco, cntonz:cs fue o únicamente el primer hombrt:, A n Bcn Ce; (¡nicamenlt: el segundo hombre, AcnBne c ; o únicamente el tcrcer hombre. AcnBcnC. Como los tres evenlOS son mutuamente exclusivos, obtenemos (usando el problema 4.62)
O
p
:::
P(E)
P(A nBcn P(A) P(Bc) p(ec )
nBn
+
+
nBcn e)
1 12
1 3 2 50-"-1 2+ 5- 3 1 -'-0- + 0_0643643643 (íi)
+
P(B) p(e c )
P(BC) P(C)
+
5 36
+
6 24
==
hombre pegu.: en el blanco dado que solamente un hombre Buscarnos P(A I E). la probabilidad de que el que solamente el primer hombre pega en el pega en el blanco. Ahora A nE == A n Be n Ce es el evento blanco. sea - i. Y P(E) P(A nBcn Por (¡j, P(A nE) 12
P(A
I
6
31
68
PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDEN C IA
[CAP 4
PRUEBAS INDEPENDIENTES
4.28. Cierto tipo de proyectil da en el blanco con probabilidad 0,3. ¿Cuántos proyectiles deberán ser di sparados para que haya al menos un sorlo de probabilidad de pegar en el blanco? La probab ilidad de que un proyectil ralle su blanco es 0,7: po r lo tanto la probabilid a d de que el blanco es (0,7) JI Así buscam os el me nor n para el que
1 - (0,7)" > 0 ,8 Calculamos : (0,7)1 = 0,7, (0,7)2 yect il es deben ser disparados.
o equival entemente
1/
proyedi\c\ fa ll en
(0 ,7)"< 0,2
= 0,49, (0 ,7)3 = 0,343, (0,7)1 = 0.2401 , (0 ,7)5 = 0 , 16807 Así por lo menos:) pro-
4.29. Cierto equipo de balompié gana (W), con probabilidad 0,6 ; pierde (l), co n probabilidad 0,.1; y empata (T), con probabilidad 0,1. El equipo juega tres encuentros durante el fin de semana. (i) Determinar Jos elementos del evento A en que el equipo gana por lo menos do s y no pierde; y hallar P(A). (ii) Determinar lo s elementos del evento B en que el equipo gana, pierde y empata. y hallar P(B) . (i)
A consta de todas las ternas co n a l men os dos
A
(ii)
{WWW, WWT, WTW, TWW}
+ P(WWT) + P(WTW) + P(TWW) (0,6)(0,6)(0.6) + (0. 6)(0,6)(0,1) + (0,6)(0, I )(0.6) -+ (0.1 )(0 ,6)(0 .6) 0,216 + 0,036 + 0,036 + 0.036 = 0.324
P(A)
Además
=
W (ju egos ga nados) y nin gún L (Juego perdido). Así
P(WWW)
Aquí B = I WLT, WTL , LWT. L TW, TWL, TLW (0 . 3)(0,1) = 0 .018 P(fJ) = 6(0,018) -= 0,108.
1.
Puesto que cada elemento de fJ tiene probabilidad (0.6)
4.30. Sea S un espacio finito de probabilidad y sea T el espacio de probabilidad de 11 pruebas independientes de S. Comprobar que T está bien definido ; esto es, mostr a r, (i) la probabilidad de que cada elemento de T es no-negativo, y (ii) la suma de las probabilidades es J. Si S
=
,a TI, entonces T puede repr ese ntarse po r
I al,
Puesto que P(a ¡)
~
O. tenemo s P(a'i 1 ' .. a'in )
=
1'(ai\) '" ['(ai)
~
°
\
para un elemenlo típico ait' .. ai" de T, lo cual prueha (i). Probamos (ii) por inducción en // . Esto es cie rto obviamente para aceptamos que (ii) ha sido prohado para // - l . Entonces
;1'"
.in = 1
P(a¡ "'a¡) 1
n
l. Por lo tanlo consideremos
T
T
T
~
11 =
~
~
P(a. ) .. ·P(a . )
i ., ... in = 1 J
tI
ln
1\ , .. . . i n _ \ =1
1/
>
T
P(a¡ ) . . · 1'(al· 1
n- t
)
};
P(U¡)
i,,=1
n
T
¡ l"
~ ., in _ 1 =
P(U¡)·· ·P(ai 1
por la hipótesis inductiva, lo cual prueba (ii) para //.
1
) ,,- 1
1 Y
1
CAP. 4]
69
PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDJ:PENDENCIA
Problemas propuestos PIWBAI3II.1DAD CONDICIONAL primo~
4.31.
Se lanza un dado. Si el número es impar , ¿cuál es la probabilidad de que sea
4.32.
Se lanzan tres mon edas corrientes. Si aparecen dos caras y un sello, determinar la probabilidad de que aparezca una cara exactamente.
4.33.
Se lanzJ un par de dados. Si los números que rl:sultan son diferentes, hallar la probabilidad de que su suma sea par.
4.3.1.
¡\ una persona se le reparten 5 cartas rojas de una baraja corriente de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de qUe todas sean de la misma pinta, esto es, corazones o diamantes')
4.35.
A una persona se le reparten 3 cartas, es padas, de una baraja corriente de 52 carlas. Si se le dan cuatro cartas más, lktcrminar la probabilidad de que por lo menos dos de las cartas adicionales sean también espadas.
4.36.
Se escogen al azar dos dígitos diferentes entre los dígitos I a 9.
4.37.
(i)
Si la suma es impar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sea uno de los número, escogidos')
(ii)
Si 2 es uno de los dígitos sdtccionados, ¿cuál es la prohabilidad de 4ue la .suma sea impar?
Cuatro personas, llamadas (i) (ii)
4.38.
Nort~ ,
Sur, Este y Oeste, reciben cada una, B cartas de una baraja corriente de 52 cartas.
Si Sur tiene un as exactamente, ¿cuál es la probabilidad de que su compañero Norte tenga los otros tres ¡¡ses') Si Norte y Sur juntos tienen 10 corazones, ¿cuál es la probabilidad de que Este u Oeste tengan los otros 3 corazones'?
Una clase tiene 10 nirios y 5 niñas. Se escogen tres estudiantes de la clase al azar, uno tras otro. Hallar la probabilidad de que, (i) los dos primeros sean niños y la tercera niña, (ii) el primero)' el tercero sean niños y el segundo niña, (iii) el primero y el tercero sean del mismo sexo y el segundo del sexo opuesto.
¡)
~ . 3 . S :: ~" /')
Iq
13
'JI
(..)
I~·.i · j )
14-
_ !...,r
13 - '1 1
ji ,)
!2. ~ . j /)
14 11
+ 1) r . .LO • j: - S J+ 13 - z.,
4.39.
[n el problema anterior, si el primer y tercer estudiantes seleccionados son del mismo sexo y el segundo estudiante .:s del Sexo opuesto, ¿cuál es la probahilidad de que el segundo sea ni'la?
4.40.
En cierta ciudad, 40% de la población tiene cabellos castaños, 25% tiene ojos castaños y 15% tiene cabellos y ojos castaños . Sl: escoge una pers'lIla ~JI azar. (i)
Si tiene cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga ojos castaños?
(ii)
Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos
(iii)
¿Cuál es la pro habilidad de que no tenga cabellos ni ojos
4.41.
Sean los eventos A y B con P(A) (iv) P(A I HC)
4.42.
Sea S
B
4.43.
=
i a. b. c. d . ~J I con P(a) == l c.d.eJ: y e = Ib .c.fL
=
t
= ~, P(B)
To' P(b)
castaños~
castaños~
y P(A U H)
l
l, P(d)
Hallar, (i) P(A lB) , (ii) P(B l A), (iii) P(A n Be),
~
3 1 6'
t y
-fs.
P(e) = PU) = Sea A = la. c. e 1, Hallar , (i) P(AIB), (ii) P(BIC), (iii) P(CIAC) , (iv) P(ACIC) . =
1'6 '
P(c) =
En cierta facultad, 25% de los jóvenes y 10% de las jóvenes son estudiantes de matemáticas. Las mujeres constituyen el 60% de los hombrc:s. Si se selecciona al azar un estudiante y resulta ser de matemáticas, determinar la probabilidad de que t:I c, tudiante sea una joven.
PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
70
[CAP. 4
PROCESOS ESTOCASTICOS FINITOS , 4.44.
Se nos dan do s urnas como sigue:
Una urna A contiene 5 bolas roja s, 3 blancas y 8 azules. La otra urna B contiene 3 bolas rojas y 5 blancas . Se lanza un dado corriente; si apa rece el 3 o el 6, se escoge una bola de B: de lo contrario la bola se esco ge de A. Hallar la probabilidad de que, (i) se escoja una bola roja. (ji) se escoja un a bola bl anca, (iii) se escoja una bola azu l.
'4.45.
Respecto al problema anterior. (i) Si se escoge una bola roj a, ~c uál es la probabilidad de que proceda de A? (ii) Si se escoge una bola blanca, ¿cuál es la probabilid ad de que a pa rezca un 5 en el dado?
4.46.
Una IIrn a contiene 5 bolas rojas y 3 bl ancas. Se selecciona \lna bola al azar, se descarta y se colocan dos bolas del otro color en la urna. Luego se saca de la urna una segunda bola . H311ar la probabilid3d de qu e, (i) la segunda bola sea roja, (ii) am bas bolas sean del mismo color.
~ cv~s\v
(,~
(o\.
' -u
.~
4.47.
Respecto al problema anteri or. (i) Si la segunda bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja? (ii) Si ambas son del mismo color. ¿cuál es 13 probabilidad de que ambas sea n blancas?
4.48.
Una caja contiene tres monedas , dos de ellas corrient es y una de dos caras. Se selecciona al azar una moneda y se lan za dos veces. Si aparece ambas veces cara, ~cuál es la probabilid ad de que la moneda sea la de dos caras?
4.49.
Se no , dan dos urnas como sigue: Una urna A contiene 5 bolas rojas y 3 bl anca s. La otra urna B contiene 1 hol a roj a y 2 hlan cas. Se lan za un dado corriente; si aparece un 3 o un 6, se saca una bola de B y se pone en A y luego se saca una bola de A, de lo contrari o, se saca 'u na bola de A y se pone en lJ y luego se saca una bola de B.
I
,4.50.
4.51.
4.52.
4.53 ,
(i)
¿Cuá l es la proba bilidad de que ambas bolas sean rojas?
(ii)
¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas ,ca n hlancas?
Una caja A contiene nueve cartas numeradas de I a 9, y otra caja B conti ene 5 cartas numeradas de l a 5. Se escoge una caj3 al aza r y se saca una carta; si la carta indica un número par , se saca otra carta de la misma caja; si la carla es de núm ero impar, se saca una ca rta de la otra caja, (i)
¿Cuúl es.la probabilidad de que ambas cartas mueslren números pare sry
(ii)
Si ambas cart3s muestran números pares, ¡,cuá l es la probahilidad de que procedan de A?
(iii)
¿Cuál es la probabilidad de que las dos cartas tengan número s impares?
Una caja contiene una mOlleda corricnte y una de dos caras . Se escoge una moneda al azar y se lanza. Si aparece cara, se lanza la otra moneda ; si aparece sello, se lan za la mis ma moneda. . (i)
Hallar la probabilidad de que salga cara en el segundo bllzamiento .
(ii)
Si resulta cara en el segundo lanzamiento, hallar la probabilidad de que ta mbién aparezca en el primero.
Una caja contiene tres mont:da9, dos corrientes y una de dos caras. Se sdecciona una moneda al azar y se lanza. Si sale cara se lanza la moneda de nuevo; si sa le sello, entonces se escoge otra moned a entre las do s que quedan y se lanza . (i)
H:¡llar la probabilidad de que salga cara dos veces.
(ii)
Si se lan za la misma moneda dos veces, hallar la probab ilidad de que sea la moneda de dos caras.
(iii)
Hall ar la probabilidad de que salga sello dos veces.
Una urna A con tiene x bolas rojas y y bolas blancas. y otra urna 8 contiene z bolas rojas y v blancas. ~cuál
(i)
Si se escoge una urna al azar y se saca una bola,
(ii)
Si se saca una bola de la urna A y se pone en la B y luego se saca una bola de la urna B. ¿cu ál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja?
cs' b probabilidad de que la bola sea roja?
CAP. 4]
4.54.
Una caja contiene 5 tubos de radio de los cuales 2 son defectuosos. Se prueban los tubos uno tras otro hasta que se descubren dos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que se suspenda t:I proceso en la, (i) segunda pruebary (ii) la tercera ;) z. • .!.. ~ ~ I . .) N\) ' \) \) ~ lo , I Z "1 I ! prueba? • S ' '\ ¡.o lo (( b 1'1 ~ • D. "5 . 4 . J T" 5" . ¡ . 5"" 4 ~ .
4.55.
71
PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
I) .
r +; .
,..;a
Respecto al problema anterior. Si el proceso se suspende en la tercera prueba, ¿cuál es la probabilidad de que el primer tubo no sea defectuoso')
INDEPENDENCIA
"
4.56.
Probar: Si A Y 8 son independientes, entonces A y 8
4.57.
Sean lo s eventos A y 8 con prAl = P(A U 8) = y P(B) = p. (i) Ha llar p si A y B son mutuamente exclusivos. (ii) Hallar p si A y B son independientes. (iii) Hallar p si A es subconjunto de B.
4.58.
Una urna A contiene 5 bolas rojas y 3 blancas, y una urna B contiene 2 rOjas y 6 blancas .
4.59.
4.60.
r
son independientes y A
e
y 8 son independientes.
t
l,
(i)
Si se saca una bola de cada urna, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean del mismo color?
(ii)
Si se sacan dos bolas de cada urna, ¿cuál es la probabilidad de que todas las cuatro bolas sean del mismo colo r?
Sea el caso de lanzar tres monedas corrientes. Sea A = I todas caras o todas sellos 1, B = I dos caras por lo menos 1 y = I dos caras cuando más 1. De las parejas (A. B), (A. e) y (B, C), ¿cuáles son independientes y cuáles dependientes')
e
La probabilidad de que A dé en el blanco es
i
y la probabilidad de que B dé es
t.
(i)
Si cada uno dispara dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que t:I blanco se a alcanzado u na vez por lo menos?
(ii)
Si cada uno dispara una vez y el blanco es alcanzado solamente una vt:z, ¿cuál es la probabilidad de que A dé en el blanco 1
(iii)
Si A puede disparar solamente dos veces. ¿cuántas veces debe disparar B para que haya por lo menos un 90% de probabilidad de que el blanco sea alcanzadory
4.61.
Sean los eVéntos indepcndiéntes A y B con prAl
4.62.
Supóngase que A, B,
e son
t
y P(A U B)
=
i
Hall a r, (i) P(B). (ii) P(A lE) , (iii) 1'(8 e l A)
eventos independientes. Comprobar que cualquiera de las combinaciones
Ae, B e, C; ... ; A e, Be, Ce
A e, B, C; A, B e, C;
son también independientes Además, comprobar que A y E U
e
son independientes; y así sucesivamente.
PRUEUAS INDEPENDIENTES 4.63.
Un tirador pega (H), a su blanco con probabilidad 0,4; y ademús falla (tvI), con probabilidad 0,6. Di spara cuatro veces. (i) Determinar los elementos del evento A para que el hombre pegue al blanco dos veces exactament e; y hallar prAl. (ii) Hallar la probabilidad de que el hombre pegue al blanco una vez por lo menos.
4.64.
Un equipo gana (W), con probabilidad 0 ,5 ; pierde (L) con probabilidad 0,3; y empata (T) , con probabilidad 0,2 . El equipo juega dos veces. (i) Determinar el espacio muestral S y las probabilidades de los eventos element ales. (ii) Hallar la probabilidad de que el equipo gané una vez por lo menos.
4,65.
Consideremos un es pacio de probabilidad infinito contable S
T y sea
=
Sn
=
= {al' a2'
... }.
Sea
{(SI,82, ... , Sil) : Si E S}
P(SI' 82, ... , Sil)
=
P(SI ) P(sz) ... P(Sn)
Comprobar que T también es un espacio de probabilidad infinito contable (Esto generaliza la definición (página 58) de pruebas independientes para un espacio infinito contable.)
72
PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
[CAP.
Respuestas a los problemas propuestos 4.31.
%
4.32.
1. •
4.33.
-s
4.34.
i:!
(ii)
l,
(iii)
t,
(iv)
.~
(ii)
-~,
(ii i)
5'
(iv)
1
4.41.
(i)
:t.
4.42.
(i)
¡¡-,
4.43.
.~
4.44.
(i)
9 230
=
( 26)
(iii) ~
(i) ~, (ii)
~
2( '¿')
i,
4.40.
~
4.35.
4.36.
4.37.
4.38.
C:9 )
10(3;)
(:9)
(4;)
1--- -
(i)
i,
( i)
v (i i)
(~~)
10
/ (ii)
5
9
(iii)
2(~~) (;~ )
15·14·13
9T
(i i)
15·14·13
10
15
5
11
9
20
+ 273
=
-
11 50
=
4.46.
C)
4.47.
("')3 C) 20 1 ;¡¡, I! 13
4.48.
.2
Diagrama de árbol del problema 4.49
.
5
2
_
4.49.
(1) - 24'+ 27 -
4.50.
( 1')
12
4.51.
(i)
t,
61
m'
") ( 11
3
16
+ 8\R
_
-
371 1296
1
1
+ 201
2 = 15'
I
(ii)!
I
("')3 11 32
(i)
5
2i
13
21
j,
4.45.
1
41
72'
(") 13 I!
3ií
9T
o
91 5
t
15
( i)
15
~
(i i) .~
-fr
22 - -703
(;~ )
(i i i) liT
4.39.
-
(¡'I')
12
5
"2 - 8' 15
(jii)
i +i
a
Diagrama de árbol del problema 4.50
CAP, 41
4,52,
PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
+ 112 +
1 12
(i)
*
= ~,
(jj)
t,
t
(iii)
(
<: 1
i
/2
H
H
73
B
?!
H T
T
t C_1_H t H
H~T
B
{ yA t
•
~H
1-
T~C_l_:
C_1_H_l_H Diagrama de árbol del problema 4,5 2
4,53, 4.54.
•• t
t
•• •
, • •• t
•• t
•• • •t
•
') 1( x 1 (1 ] ' Z:¡:Y' -
z)
(")
z+v '
11
XZ+X+I/Z (X+II)(Z+V+O
T'o,
(i) (ii) 130; debemos incluir el caso en que los tres tubos no ddectuos os aparecen primero, puesto que los último s dos tubos tientn que ser los defectuo sos
4,55.
i
4.57.
(i)
4.58.
7 ( J') 16'
4.59.
Solamente A y B so n independientes
4.60.
(i)!, (ii)
4.61.
(i)
4.63,
(i) (ii)
A
(i) (ii)
S
H4,
Diagrama de árbol del problema 4 ,54
1\'
(ii)
-¡ji
t
(jji)
(") 55 11 784
-k,
(ji)
t,
(iii) 5
t,
(iii)
=
{HHMM, HMHM, HMMH, MHHM, MHMH, MMHH},
1 - (0,6)4
=
0,75
i
=
0,8704
{WW, WL, WT, LW, LL, LT, TW, TL, TT}
prAl = 0,3456
Capítulo 5 Vari ables aleatorias INTRODUCCION Volvamos ahora sobre el concepto de función. Sean S y T conjuntos arbitrarios. Supóngase que a cada s E S se asigna un elemento único de T; la colección f de tales elementos se llama función (o aplicación) de S en T y se escribe I S ~ T. Escribimos 1(5) en lugar del elemento de T qu e f hace corresponder a s E S Y lo llamamos la imagen de s por f o valor de f en s. La imagen f(A) de un su bconjunto A de S y la imagen inversa f'-I(8) de un subconjunto 8 de Tsc definen por
I(A)
t
•
~
•, •• • •• •• •• •• •• •• la
~
1
=
{f(s):
S
E
A}
y
1- 1 (B)
=
{s: [(s) E B}
En otras palabras, f(A) está formado por las imágenes de los puntos de A, y ¡-1(8) está formado por aquellos puntos cuyas imágenes pertenecen a 8. En particular, el conjunto 1(S) de todas las imágenes se llama el conjunto imagen (o : imagen o recorrido) de! Supongamos ahora que S es el espacio muestral de algún experimento . Como anotamos previamente, los result ados del experimento, es decir ,. los puntos muestra les de S. no necesitan ser números. Sin embargo, frecuentemente deseamos asignar un número determinado a cada resultado; esto puede ser la suma de los puntos de un par de dados, el número de ases de una mano de "bridge" , o el tiempo (en horas) que gasta una lámpara en fundirse . Tal asignación se denomina variable aleatoria; más precisamente, Definición:
Una variable aleatoria X de un espacio muestra! S es una ,"unción de S en el conjunto R de los números reales tal que la imagen inversa de cada intervalo de R es un evento (o suceso) de S.
Hacemos énfasis en que si S es un espacio discreto en el cual cada subconjunto es un suceso, entonces cada función de valores reales de S es una variable aleatoria. Por otra parte, se puede comprobar que si S es no contable, entonces ciertas funciones de valores reales de S no son variables aleatorias. Si X y Y son variables aleatorias del mismo espacio muestral S. entonces X XY (donde k es un número real) son funciones de S definida s por
+ Y)(s) = (X + k)(s) ==
(X
X(s) X(s)
+ Y(s) + le
(lcX)(s)
+
y. X
+ k.
kX y
= kX(s)
(XY)(s) = X(s) Y(s)
para todo s E S. Se puede comprobar que estas variables también son aleatorias. (Esto es trivial en el caso de que cada subconjunto de S sea un suceso.)
Usamos la notación abreviada P(X = a) y Pea ~ X ~ b) para la prohabilidad de los succsos "X toma el valor a" y "X toma valores en el intervalo [a. b j." Esto es, P(X = a)
y
P(a
Significados análogos se dan a
~
X -== b)
P(X~
P({s E S: X(s) == a}) P({sES:
a), P(X
== a, Y 74
a~X(s)~b})
= b),
P(a
~
X
~
b, e
~
Y
~
d), etc.
VARIABLES ALEATORIAS
CAP. 5]
75
DISTRlBUCION y ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA FINITA Sea X una variable aleatoria de un espacio muestral S con el conjunto imagen finito; a saber, IXI. X2. • X n 1. Convertimos X(S) en un espacio de probabilidad definiendo la probabilidad de Xi como P(X = Xi) que escribimos f(Xi)' Esta funciónfde X(S), o sea, definida como f(xI) = P(X = Xi), se llama lafuncióII de distribución O probabilidad de X y se expresa generalmente en forma de tabla:
X(S) =
Xl
X2
.,
.
f(x l )
f(xz)
.,
.
Xn
f(x n )
La distribución f satisface las condiciones n
y
L
(ii)
¡(XI)
1=1
=1
Ahora si X es una variable aleatoria con la distribución anterior, entonces la media o esperanza (o: \'G/or esperado) de X. denotada por E(X) o flx, o simplemente E o fl, se define como
E(X) Esto es, E(X) es el promedio pOllderado de los valores posibles de X. cada valor ponderado por su probabilidad. Ejemplo 5.1: Se lanza un par de dados corri entes . Obtenemos el espacio finito equiprobablc S que consta de las 36 parejas ordenadas dc núm e ros entre l y 6:
s =
{(l, 1), (1,2), ... , (6, 6)}
Sea X qut: ha ce corres ponder a cad a punto (a. b) de S el máximo de sus números, o sea, X(a. b) = max(a . b). Entonces X es un a variable aleatoria cuyo conjunto imagen e~
=
X(S) Calculamos la distribución
f(l)
P(X= 1)
f(2)
P(X=2)
f(3)
P(X
f(4)
f
{l, 2, 3, 4, 5, 6}
de X :
P({(1,l)}) -
..!.. 36 ~ 36
= P(c(2, 1), (2,2), (1, 2)})
= 3) P(X = 4)
~ 36
P({(3, 1), (3,2), (3,3), (2,3), (1, 3)})
P( {(4, 1), (4,2), (4,3), (4,4), (3,4), (2,4), (1, 4)})
=
.2 36
Similarmente,
1(5)
=
P(X
= 5) = fe-
f(6)
y
P(X
= 6)
11 36
Esta inrormaci ó n s<.: pon e en forma de tabla co mo sigue:
Xi
1
2
f(Xi)
..!..
1-
:;
36
36
36
3
4
5
6
7
o
36
36
11 36
Calculamos la media de X:
E(X)
=
~
XI
f(x¡)
1·10 + 2'f6 + 3'fs
+
4'ii + 5'fs + 6'*
.!!!1 = 447 36
'
Ahora st:a Y que hace corresponder a cada punto (a. b) de S la suma de sus números, o sea, Y(a. b) = a + b. Enton ces Y es también un a variable aleatoria de S con conjunto imagen
Y(S)
=
{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
VARIABLES ALEATORIAS
76
[CAP. 5
A continuación la distribución g de y.
del hecho de que, (1, 3), (2, 2) Y (3, 1) son aquellos puntos de S es 4; por tanto
Obtenemos, por ejemplo, para los que la suma de ,.,,,nnnA,,pn
4) = P( {(l, 3), (2,2), (3, I)})
P(Y
17(4)
La media de Y se ca icu la como ,iglH':
2·l+3·~+··· 36 ~6
E(Y)
12' 36 L
=
7
Los siguientes (j¡agramas describen gráficamente las distribuciones anteriores:
o~ ~ J JJ11lLLh . __
2
3
9
6
10
JI
12
Distribución de Y
Distribución de X
Obsérvese que las líneas verticales dihujadas sobre los números del eje horizontal son proporcionales a sus probabilidades
!
Ejemplo 5.2: Una moneda cargada tal que P(Jl) .~ y P(T) se I,wza tres veces. Las probabilidades de los puntos del espacio muestral S = f HHH. HHT, HTH, HTT. TlHI, TlH, TTH, TTT I son las siguientes:
i
P(HHH)
.~¡¡
. 111
i . i 'a ¡'k'n ¡·t·!
P(HHT) P{HTH) P(HTT)
2'i
P(THH) =
a• i .¡¡.
4 27
P(THT)
k, -2¡¡ 'i,
~
4
2'i
P(TTH)
!'k'¡
2 27
2
P(TTT)
l'!'!
8
2'i
1
27 27
== 127
Sea X la variable que asigna a cada punto de S el mayor número de caras sucesivas que suceda. Así,
X(TTT)
O
X(HTH)
1,
X(HTT)
1,
X(HHT)
2,
X(THH)
2
X(THT}
1,
X(TTH}
1
3 El conjunto imagen de X es X(S)
= lo.
1, 2, 3 lo Calculamos la distribución
feO)
P(TTT) :::: 127
f(l)
P({HTH, HTT, THT, TTH})
f(2) = P{{HHT, THH}) :::: .!. 27
f(3)
P(HHH)
+.!. ::::: 21
f
de X.
10 27
JL 27
VARIABLES ALEATORIAS
CAP. 51
77
Esta información se tabula en la siguiente forma:
La media de X se calcula como sigue:
E(X)
=
3' J!.. 27
1,85
Ejemplo 5.3: Se selecciona al azar una muestra de tres artículos de una caja que contiene 12 de los cuales 3 son defectuosos. Hallar el valor esperado E de los artículos defectuosos.
El
S
espacio muestral consta maño 3. Notamos que hay:
de las (1,2)
220 muestras diferentes
posibles de ta-
3
(:)
84 muestras sir¡ art ¡cu los defectuosos;
3' ( : )
108 muestras con I artículo defectuoso;
3 (2 ) . 9
27 muestras con 2 artículos defectuosos;
(33) -_I muestra con J artículos defectuosos Así la probabilidad de coger 0, ,2 Y 3 artÍCulos defectuosos es y 1/220. Así el número esperado E de los artículos defectuosos e"
o-
E
+
1-
+
+
2'
84/220. IOg /220,
3'
0.75
No/a: Implícitamente obtuvimos el valor esperado de la variable aleatoria X que asigna a c
En un juego que el juego es es
dinero, el valor esperado E del juego se considera como el al jugador si E es positivo, y desfavorable si E es
SiE
Se dice 0, el juego
Ejemplo 5.4: Un jugador lanza un dado corriente. Si sale un número primo gana dicho número de dólares. pero no sale un número primo entonces pierde esa cantidad de dÓI¡¡re,. Los resultados poSibles Xi del Juego con j{x¡) son corno sigue: sus respectivas
5
Los números negativos -1, mero primo. El valor
-1
-4
4 --6 corresponden al hecho de que el Jugador del juego es
no sale un nú-
E Por tanto, el juego es desfavorable para el jugador puesto que el valor esperado
Nuestros riables aleatorias son
teoremas en relación con la noción de valor
Teorema 5.1: Sea X una variable aleatoria y k un número real. Entonces E(X
+ k} =
)
Teorema 5.2: Sean X y Y variables
)+
).
negatlvo.
para operaciones de vuE(kX)
y (jí)
k.
del mismo
muestral S. Entonces E(){
+ Y)
V"' \
78
[CAP. 5
VARIABLES ALEATORIAS
Un simple argumento de inducción conduce al . , X n variables aleatorias de S.
Corolario 5.3:
E(X¡
+ ... + X n )
E(X¡)
+ ... + E(X,,)
VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR La media de una variable aleatoria X mide, en cierto el de la varianza de mide el
el valor "promedio" de X El conde X.
Sea X una
Entonces la varianza de
denotada por var()\'). se define como TI
L (Xi .=1
var (X) donde
p.
es la medía de X de var(X ):
p.)2 ¡(Xi)
=
E((X - p.)2)
estándar de X, denotada por a x , es la raíz cuadrada
La
El teorema siguiente nos da una alternativa y algunas veces una fórmula más útil para calcular la varianza de la variable aleatoria X.
Teorema 5.4: var (X) =
L" j=
X~ ¡(Xi)
1
1, tenemos
Prueba. Usando
j
¡(Xi)
X7 ¡(Xi) 10 cual
el teorema. 5.5: Considérese la variable aleatoria X del
5.1 (que asigna el máximo de los números que se muestran en un par de dados). La distribución de X es
y su media es P-x
4,47. Calculamos la varianza y la desviación estándar de X Primero calculamos
E(X'):
E(X2) 21,97 entonces var (X)
=
E(X2)
~
21,97 -
19,98
::::
1,99
y
1,4
Ahora consideramos la variable aleatoria Y del ejemplo 5.1 (que asigna la suma de los números que se muestran en un par de dados). La distribución de Yes '.
79
VARIABLES ALEATORIAS
CAP, 51
y su media es
=
7, Calculamos la varianza y la desviación estándar de Y. Primero calculamos
E(Y 1):
22. 136
+
32. ~ 36
+ .. " +
122 • ..l 86
=
54.8
entonces 54,8 - 49
var (Y)
algunas propiedades de la Teorema 5.5:
5,8
y
Uy
=
2.4
en el
X una variable aleatoria y k un número real. Entonces (i) var(X + k) Y (ii) var(kX) k 2 var(X). Por lo tanto, O'X+k O'x Y (1IcX !k!uX'
var(X),
Nota 1. Hay una interpretación física de la media y la varianza. Supóngase que para cada punto XI sobre el eje X se coloca una unidad con masa f(x 1). Entonces la media es el centro de gravedad del sistema, y la varianza es el momento de inercia del sistema. Nota 2. Muchas variables aleatorias dan origen a la misma distribución; de aquí que hablemos frede una distribución en lugar de cuentemente de la media, la varianza y la la variable aleatoria fundamental. Nota 3. Sea X una variable aleatoria con media Ji. y estándar ria X* estandarizada que corresponde a X se define por
(1
> O. La variable aleato-
X* Comprobamos que E(X*) = O Y var(X*)
(problema
DISTRIBUCION CONJUNTA
Sean X y Y variables aleatorias de un espacio muestral S con los respectivos conjuntos imagen
= {y!, Y2, ... , Ym}
y
X(S)
Formamos el conjunto producto
en un espacio de probabilidad definiendo la probabilidad de la pareja ordenada . Y¡) como P(X XI, y = y J) que escribimos h(x l. Yi). Esta función h de X(S) X Y(S) , esto es, definida por h(x¡. Yi) P(X = XI. Y = YI), se llama distribución conjunta o función de probabilidad conjunta de X y Y Y se da en forma de tabla por lo general:
~
Yl
Y2
...
Ym
Suma
XI
h(x¡.1/I)
h(x¡. Y2)
...
h(x¡,Ym)
!(xl)
xz
h(X2,
h(X2,1/2)
h(X2'Y m)
!(X2)
.. .
.. .
.. .
x"
h(x n• YI)
h(x,l' Y2)
Suma
g(y¡)
V(yz)
..
... "
.
...
...
h(x n .1Im )
g(Ym)
.,
.
f{xn}
80
VARIABLES ALEATORIAS
Las funciones
[CAP. 5
g anteriores se definen por y
o sea, ¡) es la suma de los elementos de la fila y ) es la suma de los elementos de la columna son llamadas distribuciones marginales y son, de hecho, las distribuciones (individuales) de /t· y Y (problema 5. I La distribución conjunta /¡ satisface las condiciones
h(Xi, y¡)
(ii)
y
1
Ahora si X y Y son variables aleatorias con la distribución conjunta anterior (y las medias ¡;'x y jJ.y), entonces la covarianza de X y Y denotada por cov(X, Y), se define por
lvas
cov (X, Y)
o
(ver problema 5.18) por cov (X, Y)
E(XY) -
¡;'x¡;'y
La correlación de X y y, denotada por p (X, Y), se define por
p(X, Y) La correlación p no es dimensionada y tiene las siguientes
(i) p(X, Y) (ií) -1
~ p ~
= 1,
p(Y, X)
(iii) p(X, X)
1
(iv) p(aX + b, cY + d)
p(X, p(X, Y), si a, e =F O
Más adelante (ejemplo 5 mostrarnos parejas de variables aleatorias con duales) idénticas pueden tener covarianzas y diferentes. Así cov(X. medidas de la manera corno /Y y Y están 5.6: Se lanza un par de dados corrientes. Obtenemos el espacio parejas ordenadas de números entre 1 y 6:
S
(índivi, Y) son
finito S que está formado por 36
{(1, 1), (1,2), ... , (6,6)}
Sean X Y V las variables aleatorias de S en el 5.1, o sea, X designa el múximo número y Y la suma de los números de cada punto de S. La distribución conjunta de X y }' es la siguiente:
y X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Suma
O
O
O
O
O
O
O
O
O
36
O
O
O
O
O
O
O
O
36
O
O
O
O
O
O
~ 36
1
O
O
O
O
3iI
2
1
36
3iI
O
O
1
36
1
O
2
O
36
36
3
O
O
36
36
36
4
O
O
O
~ 38
3ii
6
O
O
O
O
2
1
2
2
!
2
2
36
2
¡¡¡¡ 2
36
¡¡¡¡ 2
36
2
2
6
36
3ii
Suma
3ii
"
J!.
36
2
36 2
36
1
3
7
1
11
3iI
36
1
36
81
VARIAIJU:S ALEA fORIAS
CAP. 5]
fa
elemento anterior }¡íJ, 5) viene del hecho de ljue (\ 2) Y número máximo es J y CUyJ suma e, 5; pOI tanto,
5)
== P(X = 3, Y
3) son los
nleos puntos de S cuyo
P( {(3,
5)
Los otros elementos "e obtienen de manera similar. Calculemos la covarianlJ y la correlación de .r y y Primero calcukmo.' E(.\ y):
2- 3-~
+
6 -12'
34,2 Por el
5,1,
¡;'X
= 4,47 Y
7 Y por el ejemplo 5,5, CJx
¡J.y
J4,2 -
1,4 y
2,4; de
Uy
al~llí
(4,47)(7) =
y
Ejemplo 5.7: Sean X y Y, Y X' Y }" variables alealOflJS con las dí,tflbuCl
~
4
I
10
Suma
''>Z
4
10
Sllma
1
t
1 ,¡;
1
1
O
J:.;
~
3
±
t
~
3
n
O
i
!
~.
,~
&
Suma
Suma
\
Obsérvese que .\ y ,Y'. Y Y Y Y' lIcnen distribuciones idénticas:
Distribución de X y X' Comprobamos que cov(.\;', EL\:
n
y
E(X'
r)~cov{\'
n
1-4-1 E(X'Y') Como Ilx:::: !lx' COy
(X,
==
2
+
== E(XY) -
f'Y J.lX!'Y
Ji,"
o
, Y) ~ p(X', Y').
cie aquí
1-10-!
1 -4-O y
}/')
+
l· 10 - ~
3-4-{
3•4•
+
Primero
8-1O-!
14
n + 3 - 10 - O
11
7, y
CUI'
(X', Y ' )
"Iota: La noción de Ulla distribución conjunta h se éx!ie!llk él un nÚlllero finito de varIables X. Y. , Z de manera c"lo es, h t:S lJIL.l íuncítlll dd conjunto .' .,/. defínida por
h(Xi, Y1> ... ,
Xi,
Y - Yj, , .. , Z
VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES
dice que un número finito de variables aleatorias X. y, independientes si Xi,
Y :::: y j,
.•• ,
Z
CJklll:Jllhl'
P(Y =--:
. Z de un ... P(Z
JIt:~ltorja~
VARIABLES ALEATORIAS
82 para valores
[CAP, 5
x y y son independientes si
Xi, Xl,
P(X Ahora si X y Y tienen las distribucionesfy g, respectivamente, y la distribución conjunta h, entonces la ecuación anterior se puede escribir como
h(x¡, YJ)
¡(XI) g(y¡)
En otras palabras, X y Y son independientes si cada elemento h(x¡, Yi) es el producto de sus elementos marginales. Ejemplo 5.8: Sean X y Y variables aleatorias con la distribución conjunta siguiente:
~
2
1
3
4
0,06
0,15
0,09
0,30
2
0,14
0,35
0,21
0,70
Suma
0,20
0,50
0,30
Suma
Así, las distribuciones de X y Y son como sigue:
Distribución dc Y
Distribución de X
X Y Y son variables aleatorias independientes puesto que cada elemento de la distribución conjunta puede oblenerse multiplícando sus elementos esto es,
P(X =
Xi'
Y
=YJ)
para cada i y cada j.
Establezcamos algunas propiedades importantes de variables aleatorias que no se cumplen en general, a Teorema 5.6: Sean X y Y variables aleatorias independientes. Entonces: (i)
Y)=E(X)E(Y),
(ii) var (X
Y) var (X) (iii) cov(X, Y) = O.
La parte (ii) del teorema anterior Teorema 5.7: Sean XI,
+ var (Y), al muy importante
'. X" variables aleatorias independientes. Entonces var (Xl
+ ... + X .. )
var (Xl)
+ '"
+
var (X .. )
FUNCIONES DE UNA VARIABLE ALEATORIA Sean X Y Y variables aleatorias del mismo espacio muestral S. Entonces se dice que Y es una funpor alguna función <1> de valor real de una variable real Y ); esto es, si Y(s) <1>[ X(s) J para todo s E Por ejemplo, kX. X·, X k Y (X k)2 son todas funciones de X con (x) kx, x 2 , X k Y (x k)2 respectivamente. Tenemos el teorema fundamental
ción de X si Y puede
+
+
CAP, 5]
83
VARIABLES ALEATORIAS
Teorema 5.8: Sean X y Y variables aleatorias de u,n mismo espacio muestral S con Y
(X).
En-
tances
E(Y)
:=
donde f es la función de distribución de X. se dice que una variable aleatoria Z es una (X, Y) donde es una función de valor real de
tar por Z
Z(s) para todo s E S.
de X Y Y si Z se puede represenvariables esto es, si
[X(s), Y(s)]
al teorema anterior, tenemos
Teorema 5.9: Sean X. Y y Z variables aleatorias del mismo espacio muestral S con Z Entonces
(X. Y),
E(Z) donde h es la distribución conjunta de X y Y. Hacemos notar que los dos teoremas anteriores se usaron implícitamente en la discusión y teoremas También hacemos notar que la prueba del teorema 5.9 se da como un problema proy que el teorema se para una funcíón de n aleatorias en forma obvia.
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS EN GENERAL que X es una variable aleatoria de S con un conjunto infinito contable; ¡ Xl, X2, .. l. Tales variables aleatorias junto con aquellas de conjuntos imagen finitos atrás) son llamadas variables aleatorias discretas. Como en el caso finito, construimos X(S) en un de probabilidad definiendo la probabilidad de XI como f(xl) = P(X Xi) Y llamamos(la distribución de x:
Ahora su o sea, X(S)
El valor
) y la varianza var(X) se definen por
E(X) var (X) cuando las convergen absolutamente. Se puede demostrar que var{X) existe sí y sólo si ¡¡. = E()() Y E(X 2) existen ambos y que en este caso la fórmula var
E(X2)
11. 2
es válida justamente como en el caso finito. Cuando var(X) existe, la desviación estándar O'x se define como en el caso finito por Las nociones de distribución conjunta, variables aleatorias independientes y funciones de variables demostrar que si X y Y están definidas en aleatorias se extienden directamente al caso general. Se el mismo espacio muestral S y si var(X) y var(Y) existen, entonces las series
YARIAIlLlS ¡\Lh\fORIAS
84
[CAP . 5
cov (X, Y) convergen absolutamente y la relación cov (X, Y)
E(XY) -
IAxlAy
se cu mpl e Justamente como en e l caso finito.
Nota: Para evadir tecnicismos establece remos muchos teoremas en este capítulo únicamente para variables aleatorias finita s.
VAfHABLES ALEATORIAS CONTINUAS Supóll~asc
que ,\ ' es ulla variable aleatoria '~ L1) O conjunto im agcn X( S) es un conjunto continuo de nLIJll eros tal es como un intervalo. Recalcall1()~ de la definición d:: variables aleatorias que el conjunto I a ~ ,X ~ h I es un suceso de S y. por consi~ujente. la probabilidad l'(a ~ X ~ 17) eq~'¡ bien definida. SlIponemos que existe ulla función continua espsci al I H ~ R tal que P(u ~ .\;' ~ h) e\ Igual al áll:a baj o la curva de ¡ entre x = a y x """ /) (como se mueslra a la der i :c11a). En el len gu aj e del cúlculo,
a P(a
i
P(a .¿X .¿b)
[ n eqe caso se dicc
ljUC )(
~
X
~
b)
= área
b de la parle so mbr eada
b
f(x) dx
es ulla \'I7riahlc a/catoria contillua. La función f se llama función de distribu-
ciól/ o de probahilidad col/tinlla (o ¡i/llcl()1I de dCl/sidad) de X; qu e satisface la s condiciones
(i) f(x):::O O
y
(íi)
i
f(x) dx == 1
Esto es.fes no negativa y el ár ea total baJO su curva es \. El v¡¡lor espCl'lIdu f:( X)
~e
Ll efi ne por E(X)
J~
x f(x)
dx
cuando existe. LI S funciones de variabl es aleatorias se definen ju stamente como en el caso discreto; y puede demo strarse qu e si }' = (X). entollce~; E(Y)
J(R
w(x) f(x) dx
cuando el miembro de la derecha existe. La varia/lza var(X) se delinc por var (X)
i
(x - fL)2 f(x) dx
cuando existe. Justamente como cn el ca~o Lliscrcto, se puede demostrar que var(X) existe si y só lo si lA ~ E(X) y L(X 2) existen y, por tanto, var (.Al
VARIABLES ALEATORIAS
CAP. 51
La desviación estándar (Jx se define por (Jx
85
cuundo val'
existe.
Ya habíamos hecho hincapié en que estableceríamos muchos resultados para variables aleatorias y los daríamos por supuestos en el caso general discreto yen el caso continuo. Ejemplo 5.9: Sea X una variable aleatoria continua con la distribución siguiente: si O
2
~
en otra parte Entonces P( I X " " 1,5) = área de la región sombreada del diagrama
f
Gráfico de Calculamos luego
la varianza y la de,vlacíón estándar de
valor
Jx
E(X)
f2
dx
j~
E(X2)
-
var
X2
foZ
f(x) e/x
16
2
p.2
dx
2 9
a', b === Y
, "., e
2
dx
Ux
y
el mismo
Obsérvese que los inlervalos desem discrdo.
FUNClON DE DISTRI
Sea X una X es la función F. R
x
Z
~
1 3
, Z, se dice qut:: son inde-
y
.. , P( e
en el caso continuo que los
Z =:: e')
en el caso
ACUMULATIVA aleatoria (discreta o continua). La
-¡,
3
6
Un número finito de variables aleatorias continuas, a saber X, y, pendientes si para unos intervalos la, a']' lb, b']" le, e']' P(a
4
=:
O
R.
x.
aculilula/iva F de
de
R definida por
a)
F(a)
Si X es una variable aleatoria discreta de distribución da por F(x)
f.
entonces F
f(Xi)
Por otra parle, si X es una variable aleatoria continua de distribución
F(x)
En ambos casos, F es monótona
f.
entonces
f(t)
esto es F(a) =::: F(b)
y el límite de F a la
=
la "función escalonada" defini-
siempre que a === b
es O Y a la derecha es 1: lim
o
y
lim F(x)
x"',,
1
86
VARIABLES ALEATORIAS
[CAP. 5
Ejemplo 5.10: Sea X uná variable aleatoria discreta con la distribución siguiente: XI
-2
1
2
4
¡(x,)
i
!
t
!
El gráfico de la función de distribución acumulativa F de X es
-2
-3
o
-1
3
2
4
Gráfico de F Obsérvese que F es una "función escalonada" con un escalón en xI de altura ¡(XI). Ejemplo 5.11: Sea X una variable aleatoria continua con la distribución siguiente:
¡(x)
= . {!X O
si O ~ x :::: 2 en cualquier otra parte
o
-1
2
3
Gráfico de fe/') La función de distribución acumulativa F y su gráfico se muestran así:
{;.,
F(x)
si x
x>
2
o
-1
=
.f"
S
Gráfico de F
Aqu[ nos valemos del hecho que para O ~ x:::: 2,
F(x)
2
i x2
ttdt
O
DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF. LEY DE LOS GRANDES NUMEROS
La idea intuitiva de prcibabilidad es la tan nombrada "ley de los promedios", esto es, si un evento A sucede con probabilidad p. entonces el "número promedio de sucesos de A" se acerca a p tanto como el número de pruebas independientes aumenta. Este concepto se precisa con la ley de los grandes números que se establece luego. La prueba de este teorema se vale de la bien conocida desigualdad siguiente de Tchebycheff: Teorema 5.10: (Desigualdad de Tchebycheff): Sea X una variable aleatoria con promedio viación estándar CT. Entonces para cada I! > O,
P(IX - p.1 Prueba. Empezamos con la definición de varianza: ~
=
var (X)
~
t)
~
;
p.
y des-
VARIABLES ALEATORIAS
CAP, 51
87
Ix,
En las series anteriores suprimimos todos los términos para los cuales ta el valor de las puesto que todos sus son no
¡tI <
~
f.
Esto no aumen-
esto es,
donde el asterisco indica que la sumatoria se extiende solamente sobre aquellos i para los cuales IXi ¡.tI ~ L Así, esta nueva sumatoria no aumenta en valor si remplazamos cada Ix! - ¡tI por ( ; esto es,
a la probabilidad que IX ~
Dividiendo por
~
¡.tI
t; por tanto,
f2P(IX - ¡.tI
~ l)
conseguimos la desigualdad
Teorema 5.J J: (Ley de grandes números): XI, ., una sucesión de varíables aleatorias independientes con la misma distribución con promedio ¡.t y u 1 • Sea = (Xl
+
+ . , . + X,,)/n
(llamada la muestra media). Entonces para un ( > O
lim P(ISn - ¡.tI ~ f) n-oo
O o equivalentemente
P(ISn
¡;.I < f)
1
n"'''
Prueba, Nótese primero que E(Sn)
Puesto que XI,.
¡t
n
del teorema 5.7 se deduce que
, X n son
var (Xl
n
+ ... + X>l)
var (Xl)
+ ... + var (X
It )
Por consiguiente por el teorema 5,5(ií), var
== var
1
var (Xl
+ . , . + X n)
=n
Así, por la desigualdad de Tchebycheff,
El teorema resulta del hecho de que el
a la derecha es O cuando n
-1>
ao.
Las notas siguientes son en su orden: Nota 1, Probamos la desigualdad de Tchebycheff solamente para el caso discreto. El caso continuo se una prueba análoga en que se usan en de sumatorias.
Nota 2. Probamos la ley de los números grandes solamente para el caso en que la varianza de XI, esto es, no diverge. Observamos que el teorema es verdadero siempre que E(X ,) existe.
Nota 3. La ley de los grandes números anteriores llamada también la ley débil de los grandes números a causa de un teorema similar, pero más firme, llamado la ley fuerte los grandes números.
[CAP, 5
VARIABLES ALEATORIAS
88
Problemas resueltos VARIABLES ALEATORIAS Y V ALaR ESPERADO
5.1.
p., la varianza a2 y la
Hallar el valor tes distribuciones:
estándar
O'
de cada una de las siguien-
(i)
(i)
~ x; f(xJ 0'2 (1
v'1o ;: :
;::::
¡(xI)
::::
(12::::
-5 •
::::
.l:
a2.
va
::::
x;
11· i
4
t + 11 2 • i
26
16
;::::
10
t-
4'
k+
1· t
25' i + 16'1 + l '
t
+ 4
==
1
::::
!(XI) -
¡(x¡)
t +
26 -
p.2
/12
9,25 -
+ 2 '1
'i
-1 9,25
8,25
2,9
.l: x¡/(x¡)
.l:
32 •
3·
3.2
...[8I5 ::::
-
Ji.
5.2.
-
.l: xl!(XI)
x;
(1
i +
•
.l: x; !(XI)
::::
/1
(1
22
::::
k+
2'
x¡/(x¡)
/l::::
1(0,4) + 3(0,1) + 4(0,2) + 5(0,3) 1(0.4)+9(0,1)+1
!(XI) -
/12
;:::;
12 -
12
+25(0,3)
9
::::
3
3
1.7
lanza un dado corriente, X como el doble del número que aparezca, y denotemos que el número sea impar o par. Hallar la distribución, el valor esperado, la V como 1 Ó 3 varianza y la desviación estándar (i) X, (ii) Y, (iii) X y, (iv) XY. muestral es S = 1 1,2,3,4,5,61, Y cada número aparece con probabilidad
El (i)
2, X(2) 4, X(3) 6, X(4) 8, }1'(5) 10, ,\'(6) tiene probabilidad Así, la distribución de X es como
X(I) =
12. Así X(S)
t·
( 2,4,6,8, 10, 121 Y cada número
i.
Por consiguiente,
J1.x
E(X)
==
2
'1r
= :;z, x¡ ¡(xi) + 4'
i
+ 6'
i
+
8 '1 + 10' i + 12'
::::
~ x~ ¡(Xl)
::;;;
4' i + 16'! + 36' i + 64'
var (X)
::::
=
E(X2) 3,4
pi
t +
60,7 -
t
==
1f
100· i + 144' i (7)2
:::
11,7
7
864
6
==
60,7
(ii)
89
VARIABLES ALEATORIAS
CAP . 5]
Y(l) U(l)
== 1,
== 3,
Y(2)
= 1,
Y(3)
= 3,
Y(4)
= 1,
Y(5)
4
== P(Y==l) == P({1,3,5}) == ~ ==
== 3.
Y(6)
y
O sea: Y(S)
== {1,3}
y
== P(Y = 3) == P({2, 4, 6}) == ~
g(3)
1
2'
De esta forma la di st ribución de Y es como sigue: Vi
1
3
g(YJ)
!
!
En consecuencia, I'y
E(y2)
== ~ V~ g(Vj)
2 ay
+
Usando (X
+ Y)(2) ==
4
9'!
5 (2)2
== 5
y
1
1
+
v)(s) = X(s)
(X + Y)(l) == 2 (X
E(Y2) _ ,.,. 2
Vi
2/
== 1'! + 3'!
== 1'! +
var (Y)
ay
(iii)
~ YJ g(YJ)
=
E(Y)
==
3
(X + Y)(3)
= 6 + 1 == 7
(X
3 = 7
(X + Y)(4)
= 8 + 3 = 11
(X + Y)(6)
+ 1 == +
Y(s) , obtenemos
+
Por consiguiente, el conjunto imagen es (X
Y)(S)
+ Y)(5)
10
+ 1 ==
== 12 + 3 == 15
= 13, 7, 11 , 151 Y 3 Y 1S suceden con probabilidad
7 Y 11 con probabilidad ~ . Esto es, la dist ribu ción de X
+ Y es como sigue:
Z¡
3
7
11
15
p(z¡)
!
2 6
2 6
1
6
11
k, y
6
Así,
E(X
+ Y)
Ux + y
+
11, ~6
+
== ~ == 9 6
15'!6
9'!6
."jT4j =
=
7' ~6
+ 49' ~6 + 121' ~6 + 225'!6 = 6H == 6 E«X + y)2) _,.,.2 == 95,7 - 9 2 == 14,7
+ y)2) == (X + Y) ==
E«X
var
+
3'!6
--
+
Nót ese que, E(X) 12,7 #- var (X + Y).
95,7
3,8
E( Y) =
7
+
2
9
E(X
-+- Y), pero va r (X)
+
var (Y)
11 ,7
(iv) Usa ndo (XY)(s) == X(s) Y(s), obtenemos (XY)(l)
= 2, 1
2
(XY)(3)
6 '1
(XY)(2)
= 4' 3
12
(XY)(4)
= 8, 3
== 6
(XY)(5)
== 10, 1 == 10
== 24
(XY)(6)
= 12' 3 == 36
Por tanto, la di stribución de X Y es como sigue: W¡
2
6
10
12
24
36
p(w¡)
i
t
i
t
t
t
576,
t +
Así,
4 'i
E«XY)2)
21~6 6
var (XY)
=
36' t + 100' i == 3593
+
144'!
+
'
E«XY)2) -
voo
+
==
11 ,6
1'2
359,3 -
15 2
134,3
1296'!
+
1
90 5.3.
[CAP. 5
VARIABLES ALEATORIAS
Una moneda cargada para que P(H) = i y P(T) = i se lanza tres veces. Sea X la variable aleatoria que denota la mayor hilera de caras (sucesivas) que aparezca. Hallar la distr.íbución, la esperanza, la varianza y la desviación estándar de X. La variable aleatoria X se define en el espacio muestral
s
= {HHH, HHT.
THH,
Los puntos de S tienen las probabilidades respectivas siguientes: .11 • II • lt
P(THH)
P(HHT)
l'~-l
P(THT)
P(HTT)
1'!'! _.. .~' i' i
4.t
4-
P(TTT)
.-
t'i'! t'J'! i'i-! t-!'!
Puesto que X denota la mayor hilera de caras,
X(TTT)
O;
X(HTT)
1,
1,
1,
X(HHT) :::: 2,
:=
2;
3
Así, el conjunto imagen de X es X(5) = lo, 1, 2, 3 1. La probabilidad do las de los puntos de S cuya imagen es x ¡:
1(0)
P(TTT) ==
1(1)
P(HTT)
{(2)
+ P(HTH) + P(HHT) + P(THH)
¡(3)
P(HHH)
1;
de cada número XI de X(S) se obtiene suman·
+
JR
U4
Por consiguiente, la distribución de X es como sigue:
Así,
E(X)
p.
::::
(f
5.4.
O-
+
::::
1-
+
1•
+
E(X2) -
var (X)
(12
+
O'
+
2-
+
4p.2
3'
2,1
9' 5,2
-
(2, 1)2
0,8
0,9
Se lanza una moneda corriente hasta que resulte una cara o cinco sellos. Hallar el valor esperado E de los de la moneda. Si sale cara en la primera vcz sucede un lanzamiento solamente, esto cs. el suceso H. Si el primero es sello y el se· gundo cara suceden dos lanzamientos, esto es el evento TH. Si los dos primeros son sellos y el tercero cara, suceden tres lanzamientos esto es el suceso TTI-l, Si resulta TTTH suceden cuatro lanzamientos y si resultan TTTTH o TTTTT suceden cinco lanzamientos. Entonces
=- P(H) P(TH)
¡(2)
1(3)
Por tanto,
=
! ' t
P(TTH)
1(4)
P(TTTH)
{(5)
P(TTTTH)
-Ir
+
+
+
5-
1,9.
5.5.
Se dibujan dos círculos concéntricos de radios I y 3 pulgadas dentro de un blanco circular de 5 pulgadas de radio. Un hombre recibe 10, 5 Ó 3 puntos según pegue en el blanco dentro del círculo menor, en el anillo intermedio o en el anillo exterior respectivamente. Supongamos que el hombre da en el blanco con probabilidad t y, por tanto, es lo mismo de posible que pegue en un punto del blanco como en otro. Hallar el valor esperado E de los puntos que marca cada vez que dispara. La probabilidad de mard r 10,5,3 ó
Así, E
°puntos es:
1(10)
1 2
área de 10 puntos
!. , '/1"(1)2
área blanco
2 . lT(5)2
1(5)
!. .
área de 5 puntos
1(3)
-1
1(0)
5.6.
91
VARIABLES ALEATORIAS
CAP. 51
2
2 1 2
área blanco
.
1 50
! , 7T(3)2 -
8
2
50
'/1"(1)2 '/1"(5)2
! , lT(5)2 -
área de 3 pu n tos
'/1"(3)2 lT( 5)2
2
área blanco
= 10' -lo + 5· k + 3' !t + o' i = ~ =
=
1,96.
Un jugador lanza dos monedas corrientes. Gana $\ ó $2 según que aparezcan I ó 2 caras. Por otra parte, pierde $5 si no aparece cara. Determinar el valor esperado E del juego y si éste es favorable al jugador. La probabilidad de que 2 caras sucedan es
l,
!'
1; de 2 sellos
l.
es
1 y de
'1 +
I cara es
t-
es de ganar $1 es y de perder $5 es Por tanto E = 2 l' 5' lor esperado del juego es menos 254, y en esta forma es desfavorable al jugador.
5.7.
16 50
t . Así la probabilidad de ganar $2 1 = -i = -0,25. Esto es, el va·
Un jugador lanza dos monedas corrientes . Gana $5 si aparecen 2 caras, $2 si aparece I cara y $\ si ninguna cara aparece. (i) Hallar la ganancia esperada. (ii) ¿Cuánto debe pagar para jugar si el juego es legal?
t
(i)
La probabilidad de ganar $5 es l, de ganar $2 es 2,50. esto es, la ganancia esperada es $2,50.
(ii)
Si paga $2,50 para jugar, entonces el juego es legal.
y de ganar $1 es
1; por tanto
E
= 5 '1 + 2' t + 1 '1 =
DISTRIBUCIONES CONJUNTAS, VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES 5.8.
Supóngase que X y Y tienen la siguiente distribución conjunta:
~
-3
2
4
1
0,1
0,2
0,2
0,5
3
0,3
0,1
O,J
0,5
Suma
0,4
0,3
0,3
(i)
Hallar la distribución de X y de Y.
(ii)
Hallar la cov (X, Y), esto es, la covarianza de X y de Y.
(iii) Hallar p(X, Y), esto es, la correlación de X y de Y. (iv) ¿X y Y son variables aleatorias independientes?
4· PROBABILIDAD
Suma
[CAP. S
VARIABLES ALEATORIAS
92 (i)
La distribución marginal de la derecha es la distribución de X y la distribución marginal del fondo es la distribución de r. A saber,
Distribución de X (ii)
Primero calculamos
y
P.x
Distribución de Y
p.y:
ILy
~ x¡!(x¡)
(1)(0,5)
(3)(0,5)
~ Y¡ U(¡/j)
(--3)(0,4)
+ (2)(0,3) -+
=
2 (4)(0,3)
0,6
Luego clJmputamos F(X }/}:
E(XY)
X¡Yj h(xh Y¡) (1)( -3)(0,\)
(iii)
+ (\ X2)(O,2) + (1 )(4)(0,2) + (3)(-3)(0,3) + (3)(2)(0, 1)
Entonces coy (X, Y)
=
E(XY) - p.x!ly
Primero calculamos
ax
ay:
E(X2)
0-- (2)(0,6)
(l)(0,5)
5
Vi
O
1,2
+ (9)(0.5) =
var (X)
(3)(4)(0,\)
5
(2)2
1
1
y
~ Y~ U(Yj)
(9)(0,4)
,,; =
var (Y) ::::
ay
9,6
+ (16)(0,3)
9,6
(0,6)2 = 9,24
3.0
-0,4
p(X, Y)
Entonces (iv)
(4)(0,3)
X Y Y no son independientes, puesto que P(X = 1, Y -3) ~ P(X 1) PO'--3), esto es. el elemento h(I.--3) 0,1 no es igual a f(l) (0,5)(0,4) 0,2, el producto de sus elementos marginales.
X Y Y variables aleatorias independientes con las distribuciones siguientes:
5,9.
Distrí buci ón de V
Distribución de X
conjunta h de X y Y.
Hallar la
Puesto que )t y Y son independientes, la distribución
f y
h se puede obtener de las distribuciones marginales
g. Primero constrúyase la tabla de la distribución conjunta con las distribuciones marginales solamente como se in-
dica en la tabla de la iz.quierda, y luego los elementos marginales para obtener los otros elementos, esto es, colóquese h(x¡.1JJ) !(xl) U(Yj), como se muestra a la derecha.
~
5
10
15
Suma
~
5
10
16
Suma
1
0,6
1
0,12
0,30
0,18
0,6
2
0,4
2
0,08
0,20
0,12
0,4
Suma
0,2
0,5
0,3
Suma
0,2
0,5
0,3
93
VARIADLES ALEATORIAS
CAP. 5]
5.10. Una moneda corriente se lanza tres veces. Sea X que denota O.Ó I según que aparezca una cara o un sello en el primer lanzamiento, y sea Y que denota el número de caras que resulten. Determínese, (i) la distribución de X y de Y. (ii) la distribución conjunta h de X y Y, (iii) cov (X, Y) . (i)
1:
El espa cio muestral S consta de los ocho puntos siguientes, cada uno con probabilidad
s
= {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
= O,
X(HHH) = O, X(HHT)
Tenemos
X(THH)
= 1,
= 0, = 1,
X(HTH)
X(THT) = 1, X(TTH)
X(HTT) = O X(TTT)
=1
Y(HHH) = 3
y
= 2,
Y(HHT)
= 2,
Y(HTH)
Y(THH)
=2
Y(HTT) = 1, Y(THT) = 1, Y(TTH) = 1
=O
Y(TTT)
.. Así la s distribuciones de X y de Y son como sigue:
°
XI
t
{(XI)
1
YJ
O
1
2
3
t
g(YJ)
i
1
i
1
Distribución de Y
Distribución de X
(ii)
La di stribución h de X y Yes:
x O 1 Suma
O
1
2
°
1
#
*1
#
i
i
i
Obtenemos, por ejemplo, el elemento ;'(0,2) = P(X = 0, y
(i ii)
J.Lx
~ XI {(XI)
O·t + l'!
J.Ly
~ YJ g(YJ)
O·!
E(XY) COY
(X, Y)
~ xlYJ h(XI VJ) E(XY) -
J.LxJ.LY
Suma
t
*
t
O
1 =
2) = P( 1 HTH, HHT:)
= t -
+ 1·2·! +
~. ~
=
#.
!
+ 1'1 + 2'1 + 3'* = 1'1'#
I
=
3
~
términ os con factor O
t
= -1
5.11. Sea X una variable aleatoria con la distribución siguiente y sea Y XI
-2
-1
1
2
{(XI)
1
!
!
!
=
X 2:
Determinar, (i) la distribución g de Y, (ii) la distribución conjunta h de X y y, (iii) la cov (X, Y) Y p(X, Y).
[CAP. 5
VARIABLES ALEATORIAS
94 (i)
Puesto que Y
X
tomar solamente los valores 4
la variable aleatoria Y
2 o X = - 2) P(X 2) la distribución g de Y es como sigue: P(X
+ P(X
i+i
2)
!
l. Además, g(4)
2, entonces Y La distribución conjunta h de X y Y viene luego. Nótese que si X = = 2) = Los otros elementos se obtienen de manera similar.
(ii)
'>z
(ii i)
E(X)
/ix /iy
E(XY) COY
(X, Y)
::::
4
Suma
-2
O
i
t
-1
i
O
i
1
t
O
i
2
O
i
i
Suma
!
!
Xi ¡(Xi)
-2'
~ Y¡ g(YJ)
t
l'
-8'!
Yj)
x¡Yj
1
D
PXpy
i -
1·
t + l'! + 2'i
4'! =
O
4)
Por tanto
O
Ií
~
1'i+ 1-i+ 8 -; D'!
P( y
4: y de aquí h(-2, 1)
1.
O Y h( - 2, 4)
=
1.
y, similarmente,
Y así
O
p(X, Y) = O
Nota: Este ejemplo muestra que no obstante que Y es una función de X es aún posible que la covarianza y la correlación de X y Y sean O, como en el caso en que X y }' son (teorema 5.6). Nótese, sin embargo, que X y Y no son independientes en este ejemplo.
PRU
Nota:
DE TEOREMAS
las pruebas, X y Y son variables alealorias con distribución distribución h.
h(x¡, Y¡) y g(Yi) =
que ¡(Xi)::::
5.12.
2: h(x" Yi),
f
y g respectivamente y
esto es, que las distribuciones
¡
marginales son las distribuciones (individuales) de X y Y.
=
Sea Al = {X x¡} y E j ::= {Y yuntas y S = UJEj. Por lanlo,
A¡
=
Y¡}; esto es, sea Al A¡nS
=
n(u j
= X-l (:1:,)
y Ej
:::::
y-l (1Ij)' Así las Ej son dis-
u¡(A¡nEJ)
donde las A¡nE¡ son también disyuntas. En consecuencia. ¡(XI)
=
P(X
x¡, Y
1IJ)
La prueba para g es similar.
5.13.
y
=
el teorema 5,8: Sean X y Y variables aleatorias del mismo muestral S con Y) iP(x¡) {(XI) donde f es la distribución de X.
iP(X).
2: ¡
(La prueba se da para el caso en que X es discreta y I1nita.)
CAP.
51
TI.
VARIABLES ALEATORIAS
95
Supóngase que X toma los valores :t:l •••• ,:l)" Y que 4>(xI) toma los valores lIl •••• J tl m como í recorre de 1 a Enlonces claramente los valores de Y = 4>(X) son Yh ... , 11m Y la distribución g de Y está dada por
Además m
m
n
n
~ ¡(XI)
1==1
~
{J: .¡'¡(z¡}=lI¡}
~ f(Xi) (XI)
1Ij
1=1
lo cllal prueba el teorema.
5.14. Probar el teorema S. 1: Sea X una variable aleatoria y k un número real. Entonces k
) =
+ k)
Y (ii) E(X
)
E(X)
k.
(La prueba se da para el caso discreto general suponiendo que E(X) existe.) (i)
Ahora kX
4>(X) donde (x)
=
kx. Además por el teorema ).8 (problema 5.13),
E(kX) (ji)
Aquí X
+k
k
(X) donde 4>(x)
= ~j
E(X + k)
(Xl
x
+ k.
Además
+ k) f(xJ
~ ¡
X¡
¡(Xi)
+
~ k ¡
f(xJ
E(X)
5.15. Probar el teorema 5.2: Sean X yY variables aleatorias del mismo E(X
+
E(X)
Y)
+
+
k
muestral S. Entonces
E(Y).
(La prueba se da para el caso discreto general suponiendo que E(X) y E( Y) ambos existen.) Ahora X
+
Y
=
<1> (X.
Y) donde (x. y)
x
+ y.
Además por el teorema 5.9,
E(X+ Y) el problema 5.12. obtenemos
=
E(X + Y}
E(X)
5.16. Probar el corolario 5.3: Sean Xl, X 2 ,
E(X1
••• ,
E(Y)
X" variables aleatorias de S.
+ ... + X n )
(La prueba se da para el caso discreto general suponiendo que E(X 1),
••••
Probamos esto por inducción en n. El caso n I es trivial y el caso n (problema 5.15). Para el caso n > 2 aplicamos el caso n =,2 para obtener
E(X 1 + ... +X"-l + X,,) y por la hipótesis inductiva esto se convierte en E(X 1)
5.17. Probar el teorema 5.5: (i) var (X I1X+k I1x y U kX = Ikl U X ' Por el teorema 5.1, JlXH
+
Ilx
+k
+ y PlcX
=
E(X¡
=
E(X",) lodos 2 es precisamente el teorema 5.2
+ ...
+ ... + E(Xn _¡) +
k l var
var (X) Y (ii) var (k X)
= kll x .
También ~ x¡/(xJ
Px
y
). Por tanto
f(xJ :::: 1. Por tanto,
96
[CAP. 5
VARIABLES ALEATORIAS
+ k)
(X
var
(PX
==
::s var (kX)
y
+
x: ¡(x¡) XI
Il~X
x; ¡(x!; -
+
pi
¡(XI) -
(kX¡)2 f(xl) -
k2
2kpx
var
k2
1'i
(I'i + 2kl'x
k2
+ k 2)
(X)
::s x¡ f(xl)
k 2(2.
k2
+ k)2
(kp.X)2
f(xl) -
i'~)
k2
var
(X)
5.18. Mostrar que COY
(X, Y)
(La prueba se da para el caso en que X y Y son discretas y finitas) Puesto que
2. 7/j h(xl' 7/)
1
y
j,}
obtenemos
::s xIY} h(x¡, 7/J)
l. ¡
:::
-
xlYi h(x¡, 7/J) -
P-XPY -
I'XI'Y
+
p.xl'y
I'XI'Y
5.19. Probar el teorema 5.6: Sean X y V variables aleatorias (i) E(XY) = E(X) E(Y), (ii) var + = var (X)
Entonces
+
var (Y),
(iii)
COy
se da para el caso en que X y Y son diseretas y finitas.)
(La
Puesto que X y }' son
~
=
E(XY)
y
= f(x!) g(y}).
h(x¡,7Ij)
h(x¡, 1Ij)
¡.~
Y)
cav
XIVj
Así
-
I'xp.y
o
E(X)
:::
Con el fin de probar (ii) necesitarnos también PX+v ::: Px
+ Pv,
Por tanto. var (X + Y)
:::
~
1.1
(XI
+ 1Ij)2 h(x¡, 7/j)
-
¡.¡~ +Y
:::
=
h(x!,1I¡)
::s x~ f(xJ I
== ~¡ x 2l ¡(XI)·
+
2 p2
x
xd(x¡)
+
7/} U(Y¡)
+ ~J 7/J2 g(Yj)
-
p2
y
y;
g(lIj)
var (X)
+
var (Y)
(X, Y) = O.
VARIABLES ALEATORIAS
CAP 51
5.20. Probar el teorema 5.7: Sean Xl, val' (Xl
97
...• X" variables aleatorias independientes. Entonces
+ ... + X,,)
val' (Xl)
=
+ ... +
var (X It)
(La prueba da para el caso en que ... , X" SOI1 (Od'b discretas y finitas.) Dalllos por supuesto los problemas análogos:J1 5.12 Y al teorema 3.9 para JI variable, aleatorias. Entonces val
+
0'-
+ X,,)
E((X¡
+ .,. + Xn + ., +xn
~ (Xl
+ ... + x" -
{f f donde h es la distribución conjunta de que los
son
-
Px¡ + ' ..
Px ¡
+
X¡X}
-
...
J1.X,)2
h(x¡, ...• X,,)
2
~J Px 1Xi}
PX¡J1.X j
.. . ,X". y
Jlx¡+
+ ... + J1.X n
+X" -
dos a dos, ~ XiX; h(x¡ • ... , X n ) ::::: JlX¡JlX j n
~
, .. J
'
2~ ~
E(X;)
J
í
.
n
n
(Corolario 5.3). Pllc,to
para i ~ j. Por tanto
+ ~¡ ~I1XI1Xj j ,
+
JlX.!lX j
h(xlt ... , x,,)
~ var (Xi)
(Px¡)2
1=1
cumo se pedía.
PROBLEiVIAS VARIOS
5.21. Sea X una variable aleatoria continua con distribución
f{x) (i) (i)
Calcular k. (jí) Hallar P(I
{ ~
X
iox + le
SI
O.¿
x
3
en o lfa parte
~
El gráfiCO defse dibuja en seguida. Puesto quefes una función continua de probabihdad, la deb~ tener úrea I Nótese ljue A forma un trapecio de bases paralelas de longitudes k
tanto, el área de A
= !(k + k + !> • 3 ::::: 1
O
P(l ::= X ::= 2)
i'( 1::= X::= 2) ", igual al área de IJ la
est{l bajo el gráfi¡:o de
IIgura anterior lit: la derecha. Nótese qUlO 1(1) (¡rea de 8 1
+ . = i,
=A +
5.22. Sea X una variable aleatoria continua cuya distribución {a==x~b}, y O en otra parte:
f(x)
r~gión
+ t,
;ombreada A
y altura 3. Por
k:::::
Gráfico de j (íl)
y k
{~
SI
a === x
entre x
y x
constante en un .¿:
área de 8
2 como se muestra en la Pur tanto P(l ::= X 2)
como l =
b
en ot ra parte
(Se dice que dicha variable aleatoria está uni/oflnemellte distribuida en l.) (i) Determinar k. (ii) Hallar la media It de ,Y. (iii) Determinar la función de distribución acumulativa F de X
98
[CAP . 5
VARIABLES ALEATORIAS
(i)
El gráfico de J apar ece a la derecha. La región A debe tener área 1; por tanto 1 k(b-a) :::: 1 o k :::: b - a
(ii)
Si consideramos la probabilidad co mo peso o masa, y el promedio como el centro de gravedad, entonces es intuitiva mente claro que a+b
f=O
f=O Gráfico de J
2 el punto medi o entre a y b. Verificamos esto matemáticamente usa ndo el cálculo
=
p
(iii)
f
=
E(X)
fb
=
x f(x) dx R
~ a dx
b
a2
2(b-a)
2(b-a)
a
+b 2
Recalcamos que la fun ción de distribución acumulativa F(k) = P(X ~ k). Por tanto F(k) origina el área bajo el gráfico deja la izquierda de x = k. Pu es to que X está uniformem ente di stribuida en el interval o 1 {a == x ~ b}, es intuitivo que el grúfico de F debe ser co mo se muestra a la dere cha, esto es, F == O antes del punto a. F == I después del punto b. y F es line al entre a y b. Verificamos esto matemáticamente usa ndo el cálculo
F= 1
=
(a) para x < a.
JX
F(x)
F==O
a
~
x
~
/11
a
b
Gráfico de F
JX
=
f(t)dt
Odt
::::
O
-c.;¡
-00
(b) para
2(b - a) a
a
b2
Jb
x2 [
b,
F(x)
J
x
::::
-
> b, F(x) por tanto F(x) :::: 1.
(e) para x
P(X
=
f(t) dt
~
JX -
1 -dt:::: b-a
a
00
x)
~
P(X
~
b)
=
= 1
F(b)
y así
1
~
P(X ~ x)
= F(x);
5.23. Sea X una variable aleatoria con promedio ¡.t y desviación estándar (1 > O; Y sea X* la variable aleatoria estandarizada que corresponde a X, esto es, X* = (X -- p. )/ (1, Mostrar que E(X*) O y var(X*) = l. (Por tanto (1x. = l.) Por los teoremas 5.1 y 5.5,
E(X.) :::: E
y
var (X·) ::::
var
(X - p.) = u
X -
(
p)
--C1
!
u
E(X - p.)
= !(E(X) - p.) C1
1.
==
:::: 7: var (X - /1) C1
5.24. Sea X una variable aleatoria con distribución
f
1
2
U
O
var (X)
El r-ésimo momento M r de X se define por
Hallar los primeros cinco momentos de X si X tiene la distribución siguiente:
(Nótese que M tándar de x.)
I
Xi
-2
1
3
f(Xi)
-!
i
i
es el promedio de X, y M 2 se usa para calcular la varianza y la desviación es-
VARIABLES ALEATORIAS
CAP. 51
M1
~ x¡!(x¡)
-2'! + l·! + 3.! =
M2
~ x; !(x¡)
4'! + l'! + 9'-1 = 4,5,
M3
~ x: !(x¡) = -S'! + l ' !
M4
~ x: !(x,)
l6'! + l'! + SI·!
M5
~ x~ !(x,)
-32'! + 1'-1 + 243'! =
~
99
0,
3,
27'!
28,5, 45.
5.25. Sea h la distribución conjunta de las variables aleatorias X y Y. (i) Mostrar que la distribuciónf de la suma Z = X + Y puede obtenerse suponiendo las probabilidades a lo largo de las diagonales x + y = z", esto es,
(ii) Aplicar (i) para obtener la distribución f de la suma Z tribución conjunta siguiente:
X (i)
Los eventos {X
-2
-1
°
°
0,05
0,05
0,10
1
0,10
0,05
2
0,03
Suma
0,18
= x" Y == Y¡
: x¡
Y donde X y Y tienen la dis-
2 0,05
0,05
0,30
0 ,05
°
0,10
°
0,05
0,35
0,12
0,07
0,06
0,03
0,04
0,35
0,22
0,22
0,16
0,08
0,14
+ V¡ = z,,}
3
Suma
son disyuntos; por tanto,
~
z.
~ :t¡+II¡
X
+
X
1
:t,+II¡ =
(ii)
=
=
P(X==x¡, Y=Y¡) h(x¡, YJ)
Zk
=
~ h(x¡, :ti
-2
-1
°
1
2
O
0,05
0,05
0,10
O
0,05
1
0,10
0,05
0,05
0,10
2
0,03
0,12
0,07
0,06
° 0,03
z" -
xJ
3 0,05 0,05 0,04
Sumando a lo largo de las diagonales en la tabla anterior, obtt:llemos
!(-2) = 0,05
!(2)
0,05 +0, 10 + ,0 ,07
!(-1) = 0,05 +0 , 10 = 0,15
1(3)
0,05 +
1(4)
0,05 + 0,03 = 0,08
!(O)
0,10
+
!(1)
°+
0,05 + 0,12
0,05 + 0,03 = 0,18
En otras palabras, la distribución de Z Z¡
!(z¡)
=
X
=
+
°+
Y es como sigue :
-2
-1
°
0,05
0,15
0,18
1 0,17
2
3
0,22
0,11
4 0,08
0,22
0,06 = 0,11
1(5) = 0,04
0, 17
=
5 0,04
v Al{ IABLES ALEATOR l AS
100
[CAP.
Problemas propuestos VARIABLES ALEATORIAS
5.26.
Hallar el promedio
¡J.
la varianza
(72
2
X¡
y
la desviación estándar
3
8
i
!(x¡)
~
t
i
•• •• •• •• . • I
t
!
1
-1
O
1
2
3
!(XI)
0.3
0.1
0.1
0.3
0.2
5.28.
Una moneda corriente se lanza cuatro veces. Sea X que denota el número de caras que salgan. Hallar la distribución. el promedio . la varianza y la desviación estándar de X
5.29.
Una moneda corriente se lanza cuatro veces. Sea Y que denota la hilera más larga' de caras qu e salgall. Hallar la di stri· bución, el promedio. la varianza y la des viación estándar de Y
5.30.
Hallar el promedio
I I I
ít
!(x¡)
XI
¡J ,
la variaoza
(72
y la desviación estándar
t
•• •,• ,
7
Se lanza un par de dados corrientes. Sea X la variable aleatoria que denot
~
~
-1
5.27.
~
• •
-2
(iii)
~
~
Xi
(ii)
(i)
•
de ' cada distribución:
(7
don de l' 5.31.
+q
=
(7
de la distribución de dos pun tos
X¡
a
b
!(XI)
p
q
l.
Se seleccionan al azar dos cartas de una caja que contie ne cinco carta s nUl11erad as l. 1.2.2 Y J. Sea X que denota la su· ma y Yel mayor de los dos números sacados. Hallar la di stribu ció n, el promedio. la varian za y la de sv iación est ándar de (i) X, (ií) Y, (iii) X + Y, (iv) XY .
.,
VALOR ESPERADO (ESPERANZA)
5.32.
Se lan za una moneda corriente ha sta que una cara o cuatro se llo s aparcLcan. Hallar el número esperado de lanlamientos de la moneda.
5.33.
Una moned a cargada tal que P( H) = t y P(T) número esperado de lan zamiento s de la moneda .
5.34.
Una caja contiene 8 artículos de los cuales 2 so n defectuosos. Un a persona sel ecciona 3 artí culos de la caja. Ilall ar el número esperado de artículos defectuosos que ella saca.
5.35.
U na caja contiene 10 transistores de los cuales 2 so n defectuosos. Se selecciona un lransL,tor de la caja y se prueba hasta que se escoge uno no defectuoso . Hallar el número esperado de veces que el tran sistor se escoge .
5.36.
Resolver el problema anterior par a el caso de que 3 de los 10 artículos sean defectuosos .
5.37 .
La probabilidad de que el equipo A gane un juego es A juega con B en un torneo. El primer et¡uipo que gane 2 Juegos seguidos o un total de J gana el torneo. Hallar el número esperad o de juegos en el to rneo .
5.38.
Un jugador lanza tres monedas corrientes. Gana $5 si salen 3 caras, $3 si salen 2 caras. y $1 si sa le solamcr1te I cara . Por otra parte, pierde $15 si salen 3 sellos. Hallar el valor del juego pa ra el jugador
5.39.
Un jugador lanza tres monedas corrientes . Gana $8 si salen J caras, $3 si salen 2 ca ra s, y $1 si sale so la mente I ca ra. Si el juego es legal, ¿cuánto debería perder si no salen caras?
i
se lanza hast a que una ca ra o cin co sell os, aparezcan. Hallar el
l
P
CAP, 5]
5.40.
VARIABLES ALEATORIAS
101
Un jugador Jaon tre" monedas corrientes, Gana $10 si salen 3 caras, $5 si salen 2 caras, $3 si sale I cara y $2 si no sale cara, Si el juego es legal, ¿cuánto debe pagar el para jugar?
D1STRIIlUCION CONJU!\TA, VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES 5.41.
Considérese la distribución
de\'
Hallar, (i) E(Xl y E(Y), (ji) cov(X
5.42.
~
-4
2
7
Suma
1
k
i
i
t
5
i
i
tr
t
Suma
t
t
±
n, (iji)
I
ux, Cly y
p(X, r')
Considérese la distribución conjunta de X y Y siguiente:
Hallar, (1) E(X) y E( 5.43.
y r siguiente:
Su
n. (ii)
~
-2
-1
4
5
Suma
1
0,1
0,2
O
0,3
0,6
2
0,2
.0,1
0, I
O
0,4
Suma
0,3
0,3
0,1
0,3
cov(X.
n, (iil)
Clx, ay y
pC\", Y),
que X Y Y son variables aleatorias IndependIentes con las distllbucione, respccllvas sigUIentes:
Hallar la distribUCIón conjunta de X y V Y comprobar que cov(X. Y) = O. 5.4~,
Una moneda corriente se lanza cuatro veces. Sea X que denota el número de caras que salgan y sea}' que denota la mayor hilera de caras que salgan (ver problemas 5,28 y 5,29). (i) Determinar la distribución conjunta de X y Y Oi) Hallar cov(X, I') y p(X, n
5.45,
Se seleccionan dos cartas al azar de ulla caja que contiene CInCO cartas numeradas 1, 1,2,2 y], Sea X que denota la suma y Yel mayur de los dos númcrus sacados (ver problellla 5,31). (1) Determinar la distribución conjunta de X y Y. (ii) Hallar cov(X Y) y pe":,, Y),
I'IWBLEI\IAS VAIHOS
5.46.
Sea X una variable aleatoria continua con distribución
jn
f(x) P(2
X
~
5),
~
X
~
si O
x=Eg
lO
7) y P(X
ot ra parte
6).
(i)
Hallar
(ii)
Dderminar y hacer el gr:ilko de la función de distribución acumulativa F de X.
Sea X una variable aleatoria continua con distribución
o
¡(x) (i) Calcular k. (ii) lbllar
P(l
X
3), P(2
x
5
..:n cualquier otra parte ~
X
=E
4) Y P(X
3).
102
VARIABLES ALEATORIAS
[CAP.
5.48.
Hacer el gráfico de la función de distribución acumulativa F de la variable aleatoria X con distribución
5.49.
Mostrar que Ux
5.50.
Si
5.51.
Probar el teorema 5.9: Sean X. y y Z variables aleatorias de S con Z =
(Ix "'"
O sí y sólo si X es una función conslanle, esto es X(s)
0, mostrar que p(X, X)
k para cada s E S. o simplemente X
= -1.
1 Y
<1> (X, Y), Entonces
donde h es la distribución conjunta de X y Y.
Respuestas a los problemas propuestos 5.26.
(i) p. ::::: 4,
q2 :::::
5,5,
{1
= 2,3; (ii) p.
= 0,
(12:::::
10,
5.27.
a:::::
E(X)
5.28.
E(X)
3,2; (Ui) po
==
var (X)
2, var (X)
1,7,
5.29.
5.30.
Po
5.31.
(i)
(ii)
ap
+ bq,
0"2:::::
1,..,2 ::::: 2,4,
1,
2.1,
ax:::::
ax:::::
1
var (Y) := 0,9,
ay
pq(a-
==
E(Y) ::::: 2.3.
var (X)
0,84,
var (Y) :::::0.41, Uy
= ,1.5.
a
(Ix::;:
0.64
0,9
1,4
0.95
=
le
VARIABLES ALEATORIAS
CAP. 51
Zk
3
5
6
7
8
P(Zk)
0,1
0,4
0,1
0,2
0,2
W"
2
6
8
12
15
8 (W¡,J
0,1
0,4
0,1
0,2
0,2
(iii)
E(X
(iv)
E(XY)
5.32.
15/8
5.33.
211/81
5.34.
3/4
5.35.
11/9
5.36.
11/8
5.37.
23/8
5.38.
254 a favor del jugador
5.39.
$20
5.40.
$4,50
5.41.
(1) E(X) :::: 3, E(Y) == 1; (ii)
5.42.
(i) E(X) ::::
5.43.
IX
5.44.
COy
1.4, E(Y) :::: 1; (H)
-2
5
(X, Y)
COY
8
=-
(iii) 0,5
0,35
0,14
0,7
2
0,09
0,15
0,06
0,3
Suma
0,3
0,5
0,2
Ux
(iii)
= 2, 17x::::
O
1
2
3
4
Suma
O
1\
O
O
O
O
-h
1
O
n
O
O
O
-h
2
O
fe
!~
O
O
-h
3
O
O
fa
fa
4
O
O
O
O
Suma
-h
fa
-h
fa
X
COY
(X, Y) :::: 0,85, p(X, Y) :::: 0,89
5,9, var (X
= 8,8,
Suma
0,21
Y
= 1,5;
(X, Y)
1
(i)
(ii)
+ Y) ==
103
var (XY)
ay
+ Y)
:::: 2,3, "'x+y
= 17,6,
== 4,3, p(X, Y)
0,49,
Uy::::
UXy::::
= 1,5
4,2
= 0,17
3,1, p(X, Y) :::: - 0,3
104 5.45.
VARIABLES ALEATORIAS
(i)
I~
2
3
Suma
2
0.1
O
O
0.1
3
O
DA
O
DA
4
O
0,1
5
O 0,1
Suma
5.46.
(í)
(ii)
1
P(2"" X "" 5) ::::
¡,
0,2
0.3
O
0.2
0.2
0,5
DA
P(3
""X"" 7) si x
(ií)
F(x)
P(X
6)
(X, Y)
0,52
p(X, Y) :::: 0,9
i
< O
si O"" x si
i,
COy
[CAP. 5
8
x> 8 Gráfico de F
5.47.
(i) k
fs,
(ií) P(l "" X "" 3) =
""X""4) ::::
5.48.
Gráfico de F
Ca pítulo 6 Distribuciones binomial, normal y de Poisson DISTRI13UCION B1NOMIAL Consideramos pruebas repetidas e independientes de un experimento con dos resultados; llamamos uno de los resultados favorable (o éxito) y el otro desJavorable (o Jracaso). Sea p la probabilidad favorable, así que q = I .- p es la probabilidad desfavorable. Si estamos interesados en el número de éxitos y no en el orden en que suceden, entonces aplicamos los teoremas siguientes. Teorema 6.1: La probabilidad de k éxitos exactamente en n pruebas repetidas se denota y expresa por
b(k; n,p)
m
Aquí es el coeficiente binomial (ver página 19). Téngase en cuenta que la probabilidad desfavorable es qn y, por consiguiente, la probabilidad de por lo menos un éxito es I - qn. Ejemplo 6.1: Se lanza una moneda corriente 6 veces o, su equivalente, seis monedas corrientes se lanzan una vez; llamamos cara un éxito. Por consiguiente n = 6 Y P = q =
t.
(i)
La probabilidad de que sucedan dos caras exactamente (o sea, k
b(2; 6, (ii)
(~) (1.)2 (!)"'
b(5; 6, .~)
t) +
+
b(6; 6,!)
2) es
= ti
La probabilidad de conseguir por lo menos cuatro caras (o sea, k
b(4; 6,
(iii)
i) =
=
=
4, 5 Ó 6) es
(~) (t)4 (t)2
+ (:) (!)5 (!) + (:) (t)6 = H+j¡+;{ = H
La probabilidad de no caras (o sea, lodosfracusos) es q5 = (!)6 = 6\ y. por tanto, la probabilidad de una cara por lo menos es 1 - q6
= 1 - -h = H,
Ejemplo.6.2: .Un dado corriente se lanza 7 veces; llamamos a un lanzamiento un éxito si sale un 5 o un 6. Entonces fI = 7, P = p(1 5, 61) = y q = I - P =
t
¡.
(i)
La probabilidad de que un 5 Ó 6 salga 3 veces exactamente (o sea, le
(ii)
La probabilidad de que un 5 Ó 6 no salga (o sea, todo s fracasos) es q7 (¡)7 2\2:7; por consiguiente la probabilidad de que un 5 o un 6 salga una vez por lo menos es 1 - q7 -- ~059 2187'
=
3) es
=
105
=
106
[CAP. 6
DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
Si TI YP como constantes, entonces la [unción anterior P(k) tribución de probabilidad discreta:
Se la llama distribución binomial puesto que para k sivos del desarrollo binomial (q
=
b(k;
11,
p) es una dis-
0, 1, 2, ... ,n corresponde a los términos suce-
+ p)"
Esta distribución se conoce dos resultados se llaman
como distribución de Bernoulli, y las de Bernoulli.
independientes con
Las propiedades de esta distribución son: Teorema 6.2: Distribución binomial Media
p.
Varianza
_.
(12
Desviación estándar
np
= npq
(f
Ejemplo 6.3: Un dado corriente se lanza 180 veces. El número esperado de seises es vi ación estándar es
(f
= ynpq
p.
np
180 • ~
JO. La des-
5.
DISTRIBUCION NORMAL La distribución normal o curva normal (o:
Gauss) se
como sigue:
f(x) donde ¡J. y (J' > O son constantes arbitrarias. Esta [unción es en realidad uno de los más importantes de una distribución de probabilidad continua. Los dos diagramas que siguen, muestran lOS cambios de f cuando Il varía y cuando (J' varía. En particular, obsérvese que estas curvas en forma de campanas son simétrícas alrededor de x = Ii.
f
f
Distribución normal para a fijo
«1
1)
Distribución normal para p. fijo (p. = O)
DISTRIBUCIONES BINOM IAL, NORMAL Y DE POISSON
CAP 6]
107
Las propiedades de la distribución normal son: Teorema 6.3; Distribución normal
Media
J1
Varian za
(72
Desviación
e s tánd~r
(7
La distribución normal anterior con media fL y vananza el- la designamos por ~
t
N(fL , 0- 2 ) Si hacemos la sustitución t
= (x -
fL)/(T en la fórmula de N(fll el-) obtenemos la distribución o curva
norll/al estándar
( t)
con media fL = O Y varianza el- = l. La gráfica de esta diqribución aparece luego. Observamos que para ~ 1 ~ t ~ 1 el área bajo la curva es 68,2%; y para - 2 ~ t ~ 2 el área bajo la curva es 95,4%.
0.4
-3
-2
o
-1
2
3
Distribución normal N(O, 1)
La tabla de la página 111 da el área bajo la curva normal estándar entre t = O Y valores positivos de t. La simetría de la curva alrededor de t = O nos permite obtener el área entre dos valores de t (ver problema 6.14). Ahora sea X una variable aleatoria continua con distribución normal; con frecuencia decimos que X está distribuida florrnalmcllte. Calculamos la probabilidad de que X caiga entre a y b, designada por P(a ~ X ~ b), como sigue. Primero pasamos a y b a unidades estándar
a'
=
(a-fL)/(T
y
b' = (b - fL)/(T
respectivamente. Entonces, P(a~X~
b)
P((¿/ ~ X*
~
b')
úrea bajo la curva normal estándar entre a' y b ' Aquí X* es la variable aleatoria estandarizada (ver página 79) que corresponde a X y, por tanto, X* tiene distribución normal estándur N(O, 1) .
,
[CAP. 6
DISTRIBU C IONES BINOMIAL. NORMAL Y DE POISSON
108
APROXIMACION NORMAL A LA DJSTRlBUClON BINOMIAL. TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE
La di stribución binomial P(k) = b(k; n, p) se aproxima estrechamente a la di stribución normal proveyendo un f1 grande y ni p ni q próximos a cero. Esta propiedad se indica en el diagrama siguiente donde escogimos la di st ribución binomial correspondiente a 11 = 8 y p = q = 1- .
k P(k)
7
8
28
8
256
250
1 250
1
2
3
4
5
6
1
8 256
28 250
56 256
.2º-
256
56 250
O
Distribu ció n binomial con
256 11
8 YP
=
q
~ 256 d: stribuClón normal di ~ Hlbuci0n
binonllal
~ 256
20 256 ,;
o
2
3
4
5
6
Comparación de las distribuciones binomial y normal
La propiedad anterior de la di stribución normal se generaliza en el teorema central del límite que viene en seguida . La prueba de este teorema cae fuera del alcance de este texto . Teorema central del límite 6.4: Sean X 1, Xl, ... , una sucesión de variables aleatorias independientes con la misma distribución de media p. y varian za a. Sea XI + X 2 + . . . + X n-ni!
vna
Entonces para un intervalo
donde
{a~
x
~
b),
es la distribución normal estándar.
Record a mos que llamamos Sn = (X I + Xl + ... + X n)/II la media muestral de las variables aleatorias XI, .. X n . Así Z n en el teorema anterior es la media muestral estandarizada. Hablando en término s generales, el teorema central del límite dice que en una sucesión de pruebas repetidas la media muestral estandarizada se aproxima a la curva normal estándar según que el número de pruebas aumente. DISTRlBUCION DE POISSON
La di stribución de Poisson se define como sigue: ,\,Ke->'
p(k;'\') =
k!'
k = O, 1, 2,
donde A > O es una constante. Esta distribución infinita contable se present a en muchos renómenos naturales, tales como el número de llamadas telefónicas por minuto en un tablero de distribución, el número de erratas por página en un texto grande, y el número de partículas a emitidas por una sustancia radi activa. A continuación se mueslran a lgunos diagramas de la distribución de Poisson para diferentes valores de '\'.
109
DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
CAP. 6]
0.4
0,3
0,2
0,1
o
l
2.4
~
6
_---LullllillJ
0246810
),=1
O
2
-1
6
Distribución de Poisson para
Propiedades de la distribución
va¡ore~
8
A
1-=5
10 12
Ji
JI !
10
de A
","v,,"uu
Poisson'
Teorema 6.5:
Distribución de Poisson Media
¡.t
Variaru3
,,2
Desviación están.dar
l
i
=A ..¡};,
"
A pesar de que la distribución Poisson tiene interés independiente, también nos propurcion;r a la distribución binomial para un k pequeño, que p sea pCqUd,; y'\ np (ver problema 6.27). Esto se indica en la tabla siguiente. una
k
O
1
Binomial
0,366
0,370
Poisson
0,368
0,368
2 0,185
5
4
3 0,0610
0,0149
0,0029
0,0153
0,00307
Comparación de las distribuciones binomial y de Poisson 1¡¡oo y A = np I para I! = lOO, P
DISTnmUCION MULTINOMIAL d~ U,]
ex-
veces, A l suceda k:
I,L:-
La distribución binomial se generaliza como que el muestral perimento se divide en, s sucesos mutuamente exclusivos A" A 2, , A. con des Pi, p2, ,ps. consiguiente Pi + pi .+ ... + Ps = \.) Entonces Teorema 6.6: En n respectivas, la probabilidad de que A ces, .. " y A. suceda k s veces es igual
donde
+ k 2 + ... + ks =
I
suceda k
I
n.
Los números forman la tan nombrada distrihución multinornial que son \':1samente los términos del desarrollo de (p I + pi + '" + ps)n. Obsérvese que si s __ , Clild:' obtenemos la distribución binomial, discutida al principio del capítulo. Ejemplo 6.4: Un dado corriente se lanza 8 veces. La probabilidad de obtener los lados 5 y 6 dos veces y «¡da uno de lo, otros una vez es
= 0,006
[CAP. 6
DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
110
ORDENADAS DE LA CURVA NORMAL ESTANDAR
Tabla de valores
o
1
0,3 0,4
0,3989 0,3970 0,3910 0,3814 0,3683
0,3989 0,3965 0,3902 0,3802 0,3668
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,3521 0,3332 0.3123 0,2897 0,2661
0,3503 0,3312 0,3101 0,2874
1,0
0,2420 0,2179 0,1942 0,1714 0,1497
0,2396 0,2155 0,1919 0,1691 0,1476
1,5 1,6 1,7 1,8
0,1295 0,1109 0,0940
1,9
2
3
4
5
7
8
9
0,3605
0,3982 0,3939 0,3857 0,3739 0,3589
0,3980 0,3932 0,3847 0,3725 0,3572
0,3977 0,3925 0,3836 0,3712 0,3555
0,3973 0,3918 0,3825 0,3697 0,3538
6
0,3989 0,3961 0,3894 0,3790 0,3653
0,3988 0,3956 0,3885 0,3778 0,3637
0,3986
0,3292 0,3079 0,2850 0,2613
0,3467 0,3271 0,3056 0,2827 0,2589
0,3448 0,3251 0,3034 0,2803
0,3429 0,3230 0.3011 0,2780 0,2541
0,3410 0,3209 0,2989 0.2756 0,2616
0,3391 0,3187 0,2966 0,2732 0.2492
0,3372 0,3166 0,2943 0.2709 0,2468
0,3352 0.3144 0,2920 0,2685 0,2444
0,2371 0,2131 0,1895 0,1669 0,1456
0,Q347
0,2107 0,1872 0.1647 0,1435
0,2323 0,2083 0,1849 0,1626 0,1415
0,2299 0,2059 0,1826 0.1604 0.1394
0,227fí 0,2036 0,1804 0,1582 0,1374
0,2251 0,2012 0,1781 0,1561 0,1354
0,2227 0,1989 0,1758 0,1539 0,1334
0,2203 0,1965 0,1736 0,1618 0,1315
0,1257 0,1074 0,0909 0.0761 0,0632
0,1238 0.1057 0,0893 0,0748 0,0620
0,1219 0,1040 0,0878 0,0734 0,0608
0,1200
0,0656
0,1276 0,1092 0,0925 0,0775 0,0644
0,0863 0.0721 0,0596
0,1182 0.1006 0,0848 0,0707 0,0584
0.1163 0,0989 0,0833 0,0694 0,0573
0,1145 0,0973 0,0818 0,0681 0,0562
0.1127 0,0957 0,0804 0,0669 0,0551
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4
0,0540 0.0440 0,0355 0,0283 0,0224
0.0529 0,0431 0,0347 0,0277 0,0219
0,0519 0,0422 0,0339 0,0270 0,0213
0,0508 0,0413 0,0332 0,0264 0,0208
0,0498 0,0404 0,0325 0,0258 0,0203
0.0488 0,0396 0,0317 0,0252
0,0478 0,0387 0,0310 0,0246
0,0468 0,0379 0.0303 0,0241 0,0189
0,0459 0,0371 0.0235 0,0184
0,0449 0,0363 0,0290 0,0229 0,0180
2,5
0,0175 0,0136 0,0104 0.0079 0.0060
0,0171 0.0132 0,0101 0,007'1 0,0058
0,0167 0,0129 0,0099 0,0056
0,0163 0.0126 0,0096 0.0073 0.0055
0,0158 0,0122 0.0093 0,0071 0,0053
0,0154 0,0119 0,0091 0,0069 0,0051
0.0151 0,0116 0,0088 0.0067 0,0050
0,0147 0,0113 0,0086 0,0065 0,0048
0,0143 0,0110 0,0084 0,0063 0,0047
0,0139 0,0107 0,0081 0,0061 0,0046
0.0044 0,0033 0,0024 0,0017 0,0012
0,0043 0,0032 0.0023 0,0017 0,0012
0,0042 0,0031 0,0022 0,0016 0,0012
0,0040 0,0030 0,0022 0.0016 0,0011
0,0039 0,0029 0,0021 0,0015 0,0011
0,0038 0,0028 0,0020 0,0015 0,0010
0,0037 0,0027 0,0020 0,0014 0,0010
0,0036 0,0026 0,0019 0,0014 0,0010
0,0035 0,0025 0,0018 0,0013 0,0009
0,0034 0,0025 0,0018 0,0013 0,0009
0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002
o,noos 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002
0,0005 0,0004 0,0003 0,0002
0,0008 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002
0,0007 0,0005 0,0004 0,0002 0,0002
0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002
0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002
0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 '0,0001
0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001
0,0 0,1 0,2
1,1
1,2 1,3 1,4
2,6 2,7
2,8 2,9
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4
3,5 3,6 3,7
3,8 3,9·
0,0006 0,0004 0,0003 0,0002
0,3951 0,3876 0,3765 0.3621
Tabla 6.1
0,3984 0,3945 0,3867
~
.,
I
DISTRIHUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
CAP. 6]
111
AREAS DE LA CURVA NORMAL ESTANDAR
Tabla de áreas bajo la distribución normal estándar 1> en lre O y (~O en in lervalos de 0,01.
t
O
1
2
3
~ ';~
/
o
',-
í., ,··'~
t
4
5
6
7
8
9
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
0,0000 0,0398 0,0793 0,1179 0,1554
0,0040 0,0438 0,0832 0,1217 0.1591
0,0080 ' 0,0478 0,0871 0,1255 0,1628
0,0120 0,0517 0,0910 0,1293 0,1664
0,0160 0,0557 0,0948 0,1331 0,1700
0,0199 0,0596 0, 0987 0,1368 0,1736
0,0239 0,0636 0,1026 0,1406 0,1772
0,0279 0,0675 0,1064 0,1443 0,1808
0,0319 0,0714 0,1103 0,1480 0,1844
0,0359 0,0754 0,1141 0,1517 0,1879
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,1915 0,2258 0,2580 0,2881 0.3159
0,1950 0,2291 0,2612 0,2910 0,3186
0,1985 0,2324 0,2642 0, 2939 0,3212
0,2019 0,2357 0,2673 0,2967 0,3238
0,2054 0,2389 0,2704 0,2996 0,3264
0,2088 0,2422 0,2734 0,3023 0,3289
0,2123 0,2454 0,2764 0,3051 0,3315
0,2157 0,2486 0,2794 0,3078 0,3340
0,2190 0,2518 0,2823 0,3106 0,3365
0,2224 0,2549 0,2852 0,3133 0.3389
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4
0,3413 0, 3643 0,3849 0,4032 0,4192
0,3438 0, 3665 0,3869 0,4049 0,4207
0,3461 0,3686 0,3888 0,4066 0,4222
0,3485 0,3708 0, 3907 0,4082 0, 4236
0,3508 0,3729 0,3925 0,4099 0,4251
0, 3531 0,3749 0,3944 0,4115 0,4265
0,3554 0,3770 0,3962 0,4131 0,4279
0,3577 0,3790 0,3980 0,4147 0,4292
0,3599 0,3810 0;3997 0,4162 0,4306
0,3621 0,3830 0,4015 0,4177 0,4319
1,5 1,6 1,7 1,8 1,9
0, 4332 0,4452 0,4554 0,4641 0,4713
0,4345 0,4463 0,4564 0,4649 0,4719
0,4357 0,4474 0.4573 0,4656 0,4726
0,4370 0,4484 0,4582 0,4664 0,4732
0, 4382 0,4495 0,4591 0,4671 0,4738
0,4394 0,4505 0,4599 0, 4678 0,4744
0,4406 0,4515 0,4608 0,4686 0,4750
0,4418 0,4525 0,4616 0,4693 0,4756
0,4429 0,4535 0,4625 0,4699 0,4761
0,4441 0,4545 0,4633 0,4706 0,4767
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4
0, 4772 0, 4821 0,4861 0, 4893 0,4918
0,4778 0,4826 0,4864 0,4896 0,4920
0,4783 0,4830 0,4868 0,4898 0,4922
0,4788 0,4834 0,4871 0, 4901 0,4925
0,4793 0,4838 0,4875 0,4904 0,4927
0,4798 0,4842 0,4878 0,4906 0,4929
0,4803 0,4846 0,4881 0,4909 0,4931
0, 4808 0, .4850 0,4884 0,4911 0, 4932
0,4812 0,4854 0,4887 0,4913 0,4934
0,4817 0,4857 0,4890 0,4916 0,4936
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
0, 4938 0, 4953 0, 4965 0, 4974 0, 4981
0.4940 0,4955 0,4966 0,4975 0,4982
0,4941 0,4956 0,4967 0,4976 0,4982
0, 4943 0,4957 0,4968 0,4977 0,4983
0,4945 0,4959 0,4969 0,4977 0,4984
0,4946 0,4960 0,4970 0,4978 0,4984
0,4948 0,4961 0,4971 0,4979 - 0,4985
O, 4949 0,4962 0,4972 O, 4979 0,4985
0,4951 0,4963 0,4973 0,4980 0,.4986
0,4952 0,4964 0,4974 0,4981 0,4986
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4
0,4987 0,4990 0,4993 0,4995 0,4997
0,4987 0,4991 0,4993 0,4995 0,4997
0, 4987 0,4991 0,4994 0, 4995 O, 4997
0,4988 0,4991 0,4994 0,4996 0,4997
0, 4988 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997
0,4989 0,4992 0,4994 0,4996 0,.4997
0,4989 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997
0,4989 0,4992 0,4995 0, 4996 0,4997
0,4990 0,4993 0,4995 0,4996 0,4997
0,4990 0,4993 0,4995 0,4997 0,4998
3,5 3,6 3,7 3,8 3,9
0,4998 0,4998 0,4999 0, 4999 0,5000
0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,.5000
0, 4998 0,4999 0,4999 O, 4999 O, 5000
0,4998 0,4999 0,4999 0, 4999 0,5000
0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000
0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000
0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000
0,4998 0,4999 0, 4999 O, 4999 0, 5000
0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000
0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000
Tablll 6. 2
[CAP. 6
DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
112
VALORES DE e-Á 0,0
A
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,819
741
0,670
0,607
0,549
0,497
0,449
0,407
7
8
0,1
.. _ - -
e-Á
1.000
A
1
e-A
0,368
0,905
4
3
2 0,135
0,0498
5
0,0183
6
0,0
0,00248
0,000912
0,000335
9
10
0,000123
0,000045
Tabla 6,3
Problemas resueltos N BINOMIAL
DISTRIBU 6.1.
(iii) b(3; 4, !).
Hallar (í) b(2; 5, i), (ií) b(3; 6,
n, p)
Aquí (í)
b(2; 5,!)
(jí)
6,
1)
G) pk
donde
(!)2 (i)3
~:~ (l)2 (ir'
(~) (~)3
+
p
1.
q
=
(t)3 ('~JI
b(3; 4,!)
6.2.
U na moneda corriente se lanza tres veces, Hallar la probabilidad P de que salgan, (ii) dos caras, OH) una cara, (iv) no caras. MélOdo L Se obtiene el
cquiprobable siguiente de ocho elementos:
s
HHT,
HTT,THH,
Tres caras (HHB) aparecen una vez solamente entre los ocho puntos muestrales; o sea, P =
(ji)
Dos caras aparecen J veces (H HT, HTH y TH H); o sea, P
(iji)
Una cara aparece 3 veces (HTT, TBT Y TTH);
(IV)
No caras, esto es, tres sellos (TTT), ocurre solamente una vez.; o sea, P =
sea, P
\1é!odo 2, Usar teorema 6.1 con n = 3 Y P = q
6.3.
TTH,TTT}
(í)
I k.
t·
Y
P
b(3; 3,
(~) (1)3 (1)0
1-i- 1
~.
(ii)
k
2
Y
P
b(2; 3, t)
(~) (1)2 (t)
(iii) Aquí
k
1
y
P
; 3,
g-!.! a-t-!
P
b(O; 3, 1)
f· f· i·
k=O
t)
lJ.
f.
k=3
Aquí
tres caras,
(~) (1)1 (~) (1)0 (!)3
1·1· i
El equipo A tiene i de probabilidad de ganar cuando juega. Si A 4 partidos, hallar la lidad de que A gane, (i) dos partidos, (ii) un por lo menos, más de la mitad Aquí
(i)
n
= 4,
P(2 viclorias)
P
i
y
q;:;;:: 1
p
i.
DISTRIIlUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
CAP 6J
(ii)
Aquí q4:;:: (!)4
==
it
113
es la pro habilidad de que A pierda todos los cuatro partido,. Entonces 1 - q4
== ~
es
la probabilidad de ga na r flOr lo menos un partido. (iii)
A gana más de la mitad de los partidos si A gana 3 Ó 4 partidos. Por lo tanto la probabilid ad buscada e,
Pl3 victorias)
6.4.
P(4 victoria s)
(~) (*)3 (l)
=
(!) (~)4
+
=
~
+
fi =
~
Una familia tiene 6 hijo s. Hallar l'a probabilidad P de que sean, (i) 3 niño s y 3 mnas, (ii) menos nirlos que niñ as. Suponer que la probabilidad de que un hijo en particular sea niño es t,
Por tanto
11
.~.
= 6 Y P = q =
~ P(J niñllS)
= (~) (~)3 (t)3 = ~~ = 156'
(i)
P
(ii)
Hay menos niño s que niñas si ha y 0,1 P
6.5.
+
=
I'lO nii10s)
+-
1'(1 niño)
Ó
2 niños. Por tant o
+ 1'(2 niños) =
(t)6
+
(~) (~)(_~)5
+
(~) (~)2 (t)4
1 1
32
¿Cuántos dados se deben lanzar para que la probabilidad de sacar un seis sea mayor?
La pr o bab ilidad de no conseguir un seis con
11
dadu s es (~)n. Por tanto buscamos el menor n para el cual (~)" es
menor que ~: 25 ,
(-8-)1 = ~;
36'
( fi)3 6
==
125 , 216 '
pero
( li)4 II
=
625
1296
<
12
~
O sca que tiene que lan zar 4 dadu s.
'1
11
I
6.6.
La probabilidad de que un hombre pegue en el blanco es t, (i) Si dispara 7 veces, ¿cuál es la probabilidad P de que dos veces por lo menos pegue al blanco') (ii) ¿Cuántas veces tiene que disparar para que la probabilidad dc pegar por lo meno s una vez sea mayor que ¡ '? (i)
Busca mo s la sum a de probabilidades p~ra k = 2, 3,4,5,6 y 7. Es más si mple en este caso hallar la suma de las probabilidades para k = O Y 1, o sea, ningúlI acierto o 1 acierto y luego restar esto de 1 P(ning ún acierto) Entunces P
(ii)
1-
2 187 I()J~4
_
=
(4)1
~1.... 16.l~4
=
1!13~:'
1' ( I acierto)
=
(~) (i) (~)6
=
51 03 163 X4
4547 8182 •
La probabilidad (le; no pegar en d blanco es r¡n Por tanto bu scamos el mellor 1/ para el cual (In e, mé ilor que 1 ..·== donde q ~ 1 -- l' = 1 .Por tanlO calculamos [Jotencias succ,ivas de q hasta obtener q" < -k
·R 1,
t = 1·
Ln n;sulllen ti ene que di s[Jarar 4 veces .
6.7.
Probar el teorenfa 6.\: La probabilidad de k éxitos exactamente en b(k; n, p) = G) pk q" - k.
ti
pruebas repetidas es
El espacio mue stral de las n pruebas repetidas consta de todas las I/-uplas ordenadas cuyas componentes son o s (éxitos) o fUracasos). El eVénto A de /., éxitos consta de toda s las ,,-uplas de las cuales k compom:llles son s y las otras ,,-/., com ponentés son f El número de I/-uplas en el evento A es igual al número de maner as en que k letras s puede distribuir se entre las n componentes de una ,,-upla ; o sea qu e A colista de [Juntos mueslrales. Pues to que la probabilidau de cada punto de A es pk qn-k, tenemo, peA) (~) pk qn-k.
=
G)
6.8.
[CAP. 6
DISTRlBUCIONES BINOMIAL. NORMAL Y DE POISSON
114
Probar el teorema 6.2: Sea X una variable aleatoria con tonces, (i) E(X) = np y (íí) var(X) = npq. Por consiguiente, (i)
Usando b(k; n, p)
=
(~)
. n, p). En-
binomial U
x
qn-I<, obtenemos n
k
"
n,P)
o
np (no consideramos el término k = O puesto que su valor es cero, y f¡¡ctorizamos np en cada término). Hacemos s k - I en la suma anterior. Cuando k recorre los valores 1 a n, s recorre los valores O a 11 1. Así. 71-1
,,-1
E(X) =
np ~ b(8; n-1, p)
np ~ _-"-'-_~-,-p'qn-l-. 0=0 8
np
8"'0
puesto que, por el teo rema del binomio ,,-1
~ bes; n-l,p)
(p
+ q)n-l
1"- !
1
0=0
Calculamos primero E(X '):
Hacemos de nuevo s
n
=
E(X2)
k 2 b(k; n, p)
"
=
I Y obtenemos
k
,..-1
,,-1
np
np n-l
(s
Pero
sob(8;n-l,p)
(n -l)p I)p.
var
As¡ el teorema
6.9.
que~a
+
1
=
+
np
b(s;n-l,p)
+
1
np
p
+
q
En consecuencia,
E(X2) y
+ 1) bes; n-1, p)
,,-1
+ 1) bes; n-l, p)
donde usamos (i) para obtener (n -
(8
np(np
= E(X2)
+ q)
:::;; (np)2
(np)2
+ npq
+ npq (np)2
npq
probado.
Determinar el número esperado de niños de una familia con 8 hijos, suponiendo la distribución del sexo igualmente probable. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de niños suceda? El número
de ninos es E = np
8·
i
= 4. La probabilidad de que la familia tenga cuatro
b(4; 8, i)
70
256
niños es
0.27
6.10. La probabilidad de que un artículo producido por una fábrica sea es 0,02. Un cargamento 10.000 artículos se envía a sus almacenes. Hallar el número esperado E de artículos defectuosos y la desviación estándar (J'. E C1
np
=
(10.000)(0,02):::: 200. Y(1O.000)(0,02)(0,98) =
VI96 =
14.
115
DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
CAP. 6]
DISTRIBUCION NORMAL 6.11. La media y la desviación estándar de un examen son 74 y 12 respectivamente. Hallar los resultados en unidades estándar de los estudiantes que recibieron notas, (i) 65, (ii) 74, (iii) 86, (iv) 92. x-p.
(i)
(ii)
65 - 74 12
x-p.
t
74 - 74 12
u
-0,75
(iii)
o
(iv)
t
= x-p. u
86 - 74 12
1,0
x-p.
92 - 74 12
1,5
u
6.J2. En relación con el problema precedente, hallar las notas que corresponden a resultados estándar (i) - 1, (ii) 0,5, (iii) 1,25, (iv) 1,75. (i)
x -
ut
+ J1.
(12)(-1)
(ii)
x -
ut
+ J1.
(12)(0,5)
+ 74 + 74
62
(iii)
x
80
(iv)
x
= =
+ p. ut + p.
ut
6.13. Sea
(12) (1 ,25) (12)(1,75)
1,63, (ii) I
+ 74 + 74 = =
89 95
-0,75 , (iii)
(i)
En la tabla 6. 1, buscar hacia abajo en la columna primera hasta llegar al elemento 1,6. Luego continuar a la derecha hasta la columna 3. El elemento hallado es 0,1057 . Por consiguiente 4>(1,63) = 0,1057.
(ii)
Por simetría , 4>(- 0,75)
(iii)
4>(-2,08) = 4>(2,08) = 0,0459.
= 4>(0,75) = 0,3011.
6.14. Sea X una variable aleatoria con distribución estándar
~
(v)
1,42)
P(-1,79~X~-0,54)
P(O
(ii)
P(-O,73~
X
~
O)
(vi) P(X
(iii)
P(-1,37~
X
~
2,01)
(vii) P(¡XI
(iv) P(0,6S
(i)
X
(i)
~
X
~
~
1,13)
==:;
0,5)
1,26)
P(O == X == 1,42) es igual al área bajo la curva normal estándar entre O y 1,42. O sea que en la tabla 6.2, buscar hacia abajo en la primera columna hasta llegar a 1,4, y luego continuar a la derecha hasta la columna 2. El elemento es 0,4222. Por consiguiente, P(O == X 1,42) = 0,4222.
=
(ii)
Por simetría,
== = ==
p(- o,n =
(iii)
P(O
X
O)
0,73)
X
0,2673
P(-I,37=X=2,01) =
P(-1,37==X==0)
=
0,4147
+
+
P(0=X=2,01)
0,4778 = 0,8925
-0,73
o
DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
116 (i v)
ICAP. (,
1'(0,65:=0 ):' :=o 1,26) 1'(0:=0 X :=o 1,26)
1'(0:=0 X
0,(5)
0.3962 - 0,2422 = 0,1540
(v)
P( - 1.79:=0 X "'"
0,54)
P(O,54 "'" X l , 79) 1'(0"'" X "'" 1,79)
(vi)
1'(0 "'"
0,2054
0,4633
P(X ~ 1,13)
P(X
~
O) -
0.5000
P(O:=ol(
0,3708
1.13)
0.1
(vii) P( Ixl :=o 0,5) 1'(--0,5 :=o X
0,5)
21'(0 :=o X
0,5)
2(0.1915)
0.lil30
6.15. Sea X una variable aleatoria con dislribución normal estándar .p. Determinar el valor de (i)
(í)
P(O~X
(ii)
t)
En la tabla
11 1, el elcrnen!o 0,4236 aparece 1,4 la columna 3. Por tanto.
a la derecha 1.43
(ii)
Obsérvese primero que I probabIlidad e, mayor que!
X
que la
t)
t)
0.7967 Así, de la labia 6.2, obtenemos I
(iji)
O,7967,(iii)
l)
P(O
X
X
t) 0,4772
! 0,5000
0,2967
0,83.
2)
P(t "'" X :=o 2)
0, 1000
0,3772
Así. de la tabla 6.2, obtenemos I 1,161 (por interpola1,16. ción linea 1)
P(t~X~2)
0,1000,
I
si,
DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POlSSON
CAP . 6J
117
6.16. Supóngase que la temperatura T durante junio está distribuida normalmente con media 68 ° y desvi ac ión estándar 6°. Hallar la probabilidad p de que la temperatura esté entre 70° y 800. 70° en unidades estándar
=
=
(70 -·· 68) / 6
0,33.
80° en unidades es tándar = (80 --- 68)/6 = 2,00.
En IOnces p
= P(70,,: T
===
80) = P(0,33,,: T' ,,: 2)
A
P(O,,: T",,: 2) ._- P(O,,: T* ,,: 0,33) 0,4 772 ..- 0,1293
=
0,3479
Aquí T' es la variable aleatoria estandarizada correspondiente a T y así T' tiene distribución normal estándar "' .
0.33
2
6.17. Supóngase que las estaturas H de 800 estudiantes están normalmente distribuidas con media 66 pulgadas y desviación estándar 5 pulgadas. Hallar el número N de estudiantes con estatura,
(i) entre 65 y 70 pulgadas, (ii) mayor o igual a 6 pies (72 pulgadas). (i)
65 pulgadas en unidades estándar = (65 -- 66) / 5 70 pulgadas en unidades estándar = (70 -
Por
- 0,20
66) / 5 = O,SO
tanto~
P(65 =-= H ,,: 70)
P( -- 0,20
=
0,0793
Ent onces N (ii)
=
=
~
+
H' ,,: 0,80)
0,28SI
=
0,3674
800(0,3674) = 294.
72 pulgadas en unidades estándar
- 0.2
(72 ._.- 66) / 5
o. ~
1, 20
Por tanto, P(H "" 72) = P(H' "" 1,2) 0,5000 Así N
=
SOO(O, 1 151)
=
0,3849
0,1151
=
92 .
Aquí } f ' es la vari ab le aleatoria estandarizada correspondiente a H y, por tanto, H' tiene distribución normal estándar "'.
1.2
APROXIMACION NORMAL A LA DISTRIBUCION DlNOMIAL 6.18. Una moneda corriente se lanza 12 veces. Determinar la probabilidad P de que el número de ca·
ras que salgan esté entre 4 y 7 inclusive por medio de, (i) la distribución binomial, (ii) la aproximación normal a la distribución binomial. (i)
Por el teorem a 6. 1 con n
=
12 Y P
=
q
=
t.
P(4 caras)
e
P(S ca ras)
(2)
P(6 caras)
P(7 ca ras) Por tant o,
p
495 40 96
792
+ 4096 +
924 4006
792
+ 4096 ==
2 ) (!)4 (t)8 4
(~_)5
495 4096
(t)7
792 4096
2 ) (t)6 (t)6 6
~ 4096
2 ) (t)7 (t)5 7
792 4096
e e 3003 4096
= 0,733 2.
DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
118 (ii)
[CAP. 6
0,25
0.20
0.15
0.05
o
1
2
3
4
G
6
7
8
9
lO
11
12
Probabilidad de ocurrencia del número de caras.
=
t =
=
=
t· t =
=
np 12· 6 Y u ynpq v'12· 1,73 . Denotemos X el núm ero de caras que Aquí J.I sa le. Buscamos P(4 "" X "" 7). Pero si suponemos que el dato es continuo, con el fin de poder apli ca r la aproximación norma l, tenemos que hall ar P(3,5 ~ X "" 7,5), como se indica en el diagr ama anterior. Ahora
3,5 en unid ades estándar = (3,5-6)/1,73 = -- 1,45. 7,5 en unidad es estándar P(3,5~
p ...
Entonces
0,4265
=
0,87 .
~7,5)
X ~
P(-- 1,45
(7,5 - 6)/1,73
=
X
* "" 0,87)
+ 0,3078
0
1.45
= 0,7343
'0.87
6.19. Un dado corriente se lanza 180 veces. Hallar la probabilidad P de que el lado 6 sa lga, (i) entre 29 y 32 veces inclu sive, (ii) entre 31 y 35 veces inclusive.
=
Aquí J.I np el lado 6 aparece. (i)
= 180· ! = 30
Y
= v'npq = v'180 • ! . i = 6.
(J
Buscamos P(29 ~ X "" 32) o, supuesto el dato continuo, P(28,5 ~ X ~ 32,S). Ahora
-0,3
28,5 en unid ades estándar
=
(28,5 - JO) / 5
32,S en unidad es estándar
=
(32,5 - 30)/5 = 0, 5
=
~
Por tanto,
P ... P(28,5 "" X P(-O.3 0,1179
(ii)
Denotamos X el número de veces que
Bu sca mos P(3 I ~ X
~
~
32.5)
X •
~
+ 0,1 915 ~
O)
=
~
P(-O,3 "" X' •
+ P(O
~
X'
~
0,5)
0,5)
·_·0.1 0 '0. 5
= 0.3094
35) o, supu es to el dato co ntinu o, P(30,5
30,S en unidades estánd ar
=
(30,5 - 30) /5
35,5 en unidades estánd ar
=
(35,5 --- 30)/5 = \,1
=
~
X ~ 35,5). Ahora
0,\
Entonces
P=
P(30,5""X~35,5) =
P(O
~
X *
~
1, 1) -
P(O,I~X' ~I,I)
P(O
~
X'
~
O, 1) 0.1
0,3643 - 0,0398 = 0,3245
1.1
6.20. Hallar la probabilidad P de que cntre 10.000 dígitos al azar, el dígito 3 aparezca 950 veces a lo sumo.
=
=
ro
Aquí J.I np 10.000· = 1000 y (J = ynpq ro de veces que el dígito 3 sale. Buscamos P( X "" 950). Ahora
= Y10,000 • ro .lo =
30.
Ll amemos X
el núme-
CAP 6J
DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
950 en unidades estándar =
(950 -
=
- 1,67
P = P(X
Por tan to
1(00)/30
~
:o 950) = P(X * :o - 1,67)
=
P(X·~0) - P(-1,67~X*
=
0,5000 - 0,4525
:00)
0,0475
=
119
-1,67
o
DISTRIDUCION DE POISSON 6.21. Hallar (i) e - u, (ii) e -
2.5.
Por la tabla 6.3, página 112, y la ley de los exponentes: (i)
e- U
(e- 1)( e - 0.3 )
(0,368)(0, 741) = 0,273.
(ii)
e-
(e- 2 )(e - 0 .5 )
(0,135 )(0. 607) = 0,0819.
2.5
6.22. Por la di stribución de Poisson p(k;'\)
= T' '\''' -A
hallar (i) p(2; 1), (ii) p(3;
~), (iii)
p(2; 0,7).
(Usar la tabla 6.3, página 112, para obtener e-A .)
(i)
p(2; 1)
(ii)
p(3; ~)
I2e- 1
e- \
= 2! = 2 (] )3e - 0.5
( iii) p(2; .7)
0,36!i
= - 2 - = 0,184
e- O•s
0.607
48
48
3! (0 ,7)2 c -0.7
(0,49)(0,497)
2!
2
0,0 13
0,12
6.23. Supóngase que 300 erratas están di stribuidas al azar a lo largo de un libro de 500 páginas. Hallar
la probabilidad P de que una página dada contenga, (i) 2 erratas exactamente, (ii) 2 o más erratas. Consideremos el número de erratas de una página como el número de éxitos en una sucesión de pruebas de Bernoulli. Aquí n = 300 puesto que hay 300 erratas, y p = 1/500, la probabilidad de que aparezca una errata en la página dada. Puesto que p es pequ eño, usamos la aproximación de Poisso n a la distribución binomial con A = np = 0,6.
(i)
P
(ii)
P(O erratas)
(0,6)2 e - 0. 6
p'(2 ; 0,6)
P(I errata)
(0,36)(0,549) /2
O! _ (0,6)Oe-O.6
O! =
=
e-O.6
=
0,0988 = O, I
= 0,549
(O 6\e-O ,6 ,ft = (O "6)(0 549) ~ 0329 l! ,
Entonces P = I - P(O ó I errata) = 1 - (0,549
+ 0,329)
=
0,122 .
6.24. Supóngase que el 2 % de los artículos producidos en una fábrica son defectuosos. Hallar la pro-
babilidad P de que haya 3 artículos defectuosos en una muestra de 100 artículos. Se aplica la distribución binomial para 1/ = 100 Y P aproximación de Poisson con A = np = 2. Así
P
=
p(3; 2)
=
23 e- 2 31
=
0,02. Sin embargo, puesto que p es pequeño, usamos la
8(0,135)/6 = 0,180
P. 6
DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
120
(,,25, Mostrar que la distribución de Poisson
. A) es una distribución de probabilidad,
1
p{k; A) eA
ror r,-,"ultados conocidos del anál isis
sea
l-..klk!, Por lanto,
p(l.; l-..)
Pr(lh~lr
el teorema (1.5: Sea X una variable aleatoria con la distribución de Poisson Por tanlO, (i) A Y (ii) var pI.') A. De aquí (J'x = y"A. (i)
. A).
Usando k • p(k; A)
el término k o puesto que su valor es cero, y faetorizamos A en cada término). Sea s = k en la suma anterIOr. Cuando k recorre los valores la"', s recorre los valores O a "". Así,
E(X) pes; l-..} = 1 por el problema anterior.
¡¡ucsto que
(il)
p(s; ,,)
Primero calculamos E(X ')
k 2 p(k; l-..)
k
Hacemos de nuevo
~
1 Y obtenemos (s
Pero
(s
+ 1) pes; Xl
sp(s; A)
+
+ 1) p(8;
p(8; A)
A)
A+ 1
d,'nde u,:;,mo, (i) para obtener X y el problema anterior para obtener I En consecuencia,
=
X(X
+ 1)
=
).,2
+
X
var
Así, el teorema queda ¡¡robado.
6.27. Mostrar que
SI {J
y n es la distribución binomial se . n, p) <= p(k; A) .\ = np.
es
ció n de Tenemos b(ü;
11,
p)
=
(1
p)tt
(1
"In)". In b(O; n,
El desarrollo de Taylor de] logaritmo natura] es
ln(l+x)
1'''1' tanto,
Tomando logaritmo natural a ambos lados,
=
n In (1 - Xln)
a la distribu-
DISTRIBUCIONES BINOMIAL. NORMAL Y DE POISSON
CAP. 61
Por tanto, si
fI
121
es gmnde,
In b(O; '11., p)
'11.
ln (1
y de aquí b(O; n. p) "" e-h.
hlO cs,
b(k;
71,
p) "'"
k>- b(k -1; n, p).
¡,,2 e-A/2 Y. por inducción, b(k;
'11.,
p) ""
Así usando b(O; n .p) "" e-A, obtenemos b(i: fI.p) "'" Xe ~J
b(2; n.p)
p(k; A).
PROllLEMAS VARIOS 30% azules y 20% verdes. 6.28. Las lámparas de colores producidas por una compañía son 50% En una muestra de 5 hallar la probabilidad P de que 2 sean rojas, I sea verde y 2 sean azules. Por el teorema 6.6 sobre distribución multinomial,
5!
p ::::
~.~.c_. __..,
(0,5) '(0.3)(0,2) 1
0.09
6.29. Mostrar que la distribución normal
f(x) cs una distribución de probabilidad continua, esto es Sustituyendo t :::: (x - /l)1cr en
f_~
12
=
f(x) dx
1.
!(x) dx, obtenemos la integral
1 Es suficiente mostrar que J'
i:
::::
l Tenemos
dI!
::::
J'
::::
oc
e-
(3'
+ t')/2 dI! dt
-oc
IntrodUCimos coordenadas polares en la integral doble anterior. Sea s y O
fJ
2l:1' Y O
r"'"
00,
~o
r cos
(J
y I
12
""/2
2JT
f
e
Por lanto, ds dI
drde
Pero
Por lanto, 1 2
r sen
Esto es,
1
211
()
de
1 Y el teorema qu<.:¡Jó probado.
6.30. Probar el teorema 6.3: Sea' X una variable aleatoria con distribución normal
Entonccs, (i) (í)
X)
Por definición.
.¡.¡. y (ii) 1
f(x)
::::
var(X)
~'"
J'" -00
1
e- ",(x-¡.tl"!ú'·
ayl2; fil. Por tanto O'x
u.
xe-"'(x-¡.t)·¡u" dx. EslablecÍenuo
(x
¡día, obtenemos
rdr d8
¡CAP 6
DlSTRIBLCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
122
1
¡;¡; Pero g(t) =
_1_
f'"
vz;; -.,
es una función impar, o sea,
g(~I)
---g(l); por tanto
e- t '/2 dt = 1 por el problema anterior En consecuencia,
-(1- •
.j2;
O+ !1 • 1
!1
como
pedía, (ii)
E(X 2 )
Por definición,
1
(x -- p.) / (J
u{2;
,
obtenemos
1 f"" ,¡;¡;;;. _" «1 t + dt
+
1
11~
1
fJ 2 - -
que se reduce como antes a
VZ;
Hacemos esta integración por partes. Sea 1
ti
=
I
Y dv
[ -te- t"(2 ]
-YO
1<,-1'12
+
dI Entonccs v
1
y du
=
dI. Así
0+1
dt
En consecuencia,
Por tanto el problema
probado.
Problemas propuestos DlSTRlRUCION BINOMIAL
·h (ii) 6(2; 7,·h (iii) 6(2; 4, i).
6.31.
Hallar, (i) b(l; 5,
6.32.
De una corriente de 52 cartas se saca y se sustituye tres veces una carta. lIallar la tres corazones, (iii) por lo menos un corazón. ten, (i) dos corazones,
6.33.
de un bateador de béisbol es 0,300, Si batea 4 veces, ¡,cuál es El (ii) al menos un acierto?
6.34.
Una contiene 3 bolas rojas y 2 blancas. Se saca y se remplal,a una bola tres veces Hallar la car, (i) 1 bola roja, (ii) 2 bolas rojas, (iii) por lo menos una bola
6.35.
El equipo Aliene de probabilidad de ganar cuando Si juega 4 veces, hallar la probabilidad de qlle A gane, (i) 2 (ii) por lo menos I partido, (iii) más dc la mitad de los
6.36,
Se saca y se sustituye una carta de una corriente, veces se liene que la operación para que, (i) por lo menos una oportunidad igual de sacar un corazón, (ii) la probabilidad de sacar un corazón sea mayor qlle i?
la
de que resul-
ele que logre, (i) dos aciertos?
de sa-
i
DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE PorSSON
CAP. 61
123
t.
6.37.
La probabilidad de que un hombre pegue en el blanco es (i) Si dispara 5 veces, ¿cuál es la probabilidad de que pegue en el blanco dos veces por lo menos? (ii) ¿Cuántas veces debe disparar para que la probabilidad de pegar en el blanco una vez por lo menos sea mayor del 90%?
6.38.
El departamento de matemáticas tiene 8 licenciados auxiliares que se destinan a una misma olicina. Cada licenciado puede estudiar por igual en su casa o en la oficina. ¿Cuántos escritorios deben haber en la olicina para que cada uno tenga por lo menos un escritorio el 90% de las veces?
6.39.
El 2% de los tornillos producidos por una fábrica son defectuosos . En un despacho de 3600 tornillos, hallar el número esperado de tornillos defectuosos y la desviación estándar.
6.40.
Un dado corriente se lanza 1620 veces. Hallar el número esperado de veces que sale el 6 Y la desviación estándar.
6AI.
Sea X una variahle aleatoria de una distribución binomial con E(X) = 2 y var (X) = 4/3. Hallar la distribución de X
6.42 .
Co nsid erar la distribllción binomial P(k) = b(k; n. p). Mostrar que:
(i)
_ (n - k + l)p b(lc; n, p) kq b(k-l; n,p) P(k) P(k -- 1) para k < (n + l)p y
P(k) P(k -1)
(ii) P(k)
>
<
P(k - 1) para k
>
(n
+ l)p.
DlSTRIBUCION NORMAL 6.43.
6.44.
Sea ep la di stribll ción normal estándar (i)
Hallar epCi), ep(t) y ep(-~).
(ii)
Hallar
tal que, (a) ep(/) =
0,100, (b)
::"O X ""
6.47.
4'(/) =
0,4500.
1, 13), (ii) P(0,53 "" X "" 2,03), (iii) P(X ::"O 0,73), (iv) P(i X
I ::"O
t ).
Sea X lIna variable distribuida normalmente con media 8 y desviación estándar 4. Hallar'
(i) P(5 "" X::"O 10), (ii) P(10::"O X 6.46.
"'(/) = 0,2500, (e)
S<::a X una variable aleatoria con distribución normal estándar ep. Hallar: (i) P(- 0,81
6.45.
I
::"O
15), (jii) P(X"" 15), (iv) P(X"" 5).
Supóngase que los pesos de 2000 estudiantes varones están distribuidos normalmente con media 155 libras y desviación estándM 20 libras. Hallar el número de estudiantes con pesos (i) inferiores o iguales a 100 libras, (ii) entre 120 y 130 libras, (iii) entre 150 y 175 libras , (iv) mayores o iguales a 200 libras. Su pónga se que los diámetros de los tornillos fabric ados por una com pañía están distribuidos normalmente con media 0,25 pulgadas y desviación estándar 0,02 pulgadas. Se considera defectuoso un tornillo si su diámetro es"" 0,20 pulgadas o "" 0,28 . Hallar el porcentaje de tornillos defectuosos producidos por la compañía.
6.48.
Supóngase que los puntajes de un examen están distribuidos normalmente con media 76 y desviación estándar 15. El 15% de 'Ios e::studiantes, los mejores, reciben aclamación A yel 100/0, los peores, pierden el curso y reciben P. Hallar, (i) el puntaje:: mínimo para ganar un (A) Y (ii) el puntaje mínimo para aprobar (para no recibir P).
AI'HOXIMACION NORMAL A LA OISTRIBUCION BINOMIAL
5-
6.49.
Una moneda corriente se lanza 10 veces. Hallar la probabilidad de obtener entre 4 y 7 caras inclusive usando, (i) la dis· tribución binomial, (ii) la aproximación normal a la distribución binomial.
6.50.
Una moneda corriente se lanza 400 veces. Hallar la probabilidad de que el número de caras que resulten difiera de 200 por, (i) más de 10, (ii) más de 25 .
6.51.
Un dado corriente se lanza 720 veces. Hallar la probabilidad de que el 6 salga, (i) entre 100 y 125 veces inclusive, (ii) más de 150 veces.
6.52.
Entre 625 dígitos al azar, hallar la probabilidad de que el dígito 7 salga, (i) entre 50 y 60 veces inclusive, (ii) entre 60 y 70 veces inclusive .
PROO,\llILlDAD
124
DISTRIBUCIONES BINOMIAL. NORMAL Y DE POISSON
lCAP. 6
DISTRIBUCION DE POISSON
6.53.
Hallar, (i) e~I . 6,
6.54.
En la distribución de Poisson p(k; A), hallar, (i) p(2; 1,5). (ii) p(3; 1), (iii) p(2; 0,6) .
6.55.
Supóngase que 220 erratas están distribuidas al azar a lo largo de un libro de 200 páginas . Hallar la p[Qbabilidall de que una página dada contenga. (i) ninguna errata, (ii) I errata, (iii) 2 erratas, (iv) 2 o más erratas .
6.56.
Supóngase que el 1% de los artículos producidos por una máquina son defectuosos. Hallar la probabilidad de que 3 o más artículos sean defectuosos en una muestra de 100.
6.57.
Supóngase que el 2% de la población en promedio sean zurdos. Hallar la probabilidad que en 100 personas haya 3 o m:ís zurdos.
6.58.
Supóngase que en una población de 50.000 hay un promedio anual de 2 suicidas. Para una población de 100.000 hallar la probabilidad de que en un año dado haya, (i) O, (ii) 1, (iii) 2, (iv) 2 o más suicidas.
(ii)
e - l.).
DlSTRIBUCION MULTINOMIAL
6.59.
Un dado se "carga para que el 6 salga 0,3 veces, el lado opuesto I salga 0, 1 veces. y cada uno de los demás números sal· ga 0,15 veces. Se lanza el dado 6 veces. Hallar la probabilidad de que, (i) cada lado sa lga una vez , (ii) cada uno de los lados 4. 5 y 6 salga dos veces.
6.60.
Una caja contiene 5 bolas rojas, 3 blancas y 2 azules . Se toma una muestra de 6 bolas con sustitución, o sea, cada bola se devuelve antes de sacar la siguiente . Hallar la probabilidad de que, (i) 3 sean rojas, 2 blancas y I azul, (ii) 2 sean rojas. 3 blancas y 1 azul, (iii) aparezcan 2 de cada color.
Respuestas a los problemas propuestos C") 111
6.31.
(') 80 1 243'
6.32.
(i)
6.33.
(i) 0,2646.
(ii) 0.7599
6.34.
(') 36 1 125'
(")
11
125'
54
C") llJ
6.35.
(') 216 1 625'
C) 11
544 625'
C") 111
6.36.
(i) 3. (ii) 5
6.37.
(') 131 1 243'
6.38.
6
6.39.
/l
6.40.
/¡.
(") 21 11 128'
(ii)
(iii)
H117 m 112
625
(ii) 6
= 72, /l = 270, X¡
i4.
27
128
(J
(J
= 8,4 = 15 o
1
2
3
4
5
6
192/729
240/729
160/729
60/729
12/729
1/729
6.41.
[(Xi)
64/729
Distribución de X con n = 6 y p =
1(3
CAP. 6)
6.43.
DISTRIBUCIONES BINOM IAL, NORMAL Y DE POISSON
(i)
<1>(1) = 0,3867, (!) = 0,3521, (-!) = O,301!.
(ii)
(a) t = ±I,66, (b) ( = ±O,97, (e) no hay valor de t.
+
0,3708 = 0,6618, (ii) 0,4788 - 0,2019 = 0,2769, (iii) 0,5000
6.44.
(i) 0,2910 0,1974.
6.45.
(i) 0,4649, (ii) 0,2684, (iii) 0,0401, (iv) 0,2266
6.46.
(i) 6, (ii) 131, (iii) 880, (iv) 24
6.47.
7,3%
6.48.
(i) 92, (ii) 57
6.49.
(i) 0,7734, (ii) 0,7718
6.50.
(i) 0,2938, (ii) 0,0108
6.51.
(i) 0,6886, (ii) 0,0011
6.52.
(i) 0,3518, (ii) 0,5\31
6.S3.
(i) 0,202, (ii) 0,100
6.54.
(i) 0,25\, (ii) 0,06\3, (iii) 0,0988
6.55.
(i) 0,333, (ii) 0,366, (iii) 0,201, (iv) 0,301
6.56.
0,080
6.57.
0,325
6.58.
(i) 0,0183, (ii) 0,0732, (iii) 0,1464, (iv) 0,909
6.59.
(i) 0,0109, (ii) 0,00103
6.60.
(i) O, IJ 5, (ii) 0,0810, (iii) 0,0810
+
0,2673
125
0,7673, (iv) 2(0,0987)
ít I Cadenas de Markov INTRODLlCCION Repasemos las definiciones y las rías para este capítulo. Por un vector
ti
elementales de vectores y matrices que son necesa-
significamos si
una n-upla de números:
u
(UI, U2, •.. ,
Las U¡ se llaman componentes de u. Si todas U¡ múltiplo escalar ku de ti (donde k es un número real), do las componentes de u por k:
ku
(!cu¡,
Un)
0, entonces u se llama el vector cero. Por un el vector que se multiplican-
kU2, ••• ,
kUn)
Anotamos que dos vectores son iguales si y sólo si sus componentes correspondientes son Por una matriz A
una ordenación rectangular de números: all
A
(
~2.1 ami
a12
••
al .. )
~2~ . . . . . . . .~2~ • am 2
a",n
Las m n-uplas horizontales se llaman las filas de A, Y las n
sus columnas. Nótese que el elemento al!' llamado la posición ij, aparece en la i-ésima fila y columna. Con frecuencia denotamos esta matriz simplemente por A (aIJ). Se m
que una matriz m filas y n columnas es una matriz m por n, escrita matriz In X n; si n, entonces se llama matriz cuadrada de n (o cuadrada n). También anotamos que
una matriz con una fila solamente puede considerarse como un vector, y viceversa. Ahora supóngase que A y B son dos matrices tales que el número de columnas de A es igual al número de filas de B, es que A cs una matriz m X p Y B es una p X n. Entonces el producto de A y B, escrito A B, es la matriz m X fl cuyo elemento ij se obtiene multiplicando elementos de la fila de A por los elementos de la columna de B y luego sumando:
126
CAP. 7]
127
CADENAS DE MARKOV
aIP)(bll.
all . (
CIl
....
lau, ,,'' ~:,¡. ": ,:". .~,~tli,:. amI
' "
donde
..""'" C',:n)
,'
• J.~
bpl
a mp
Cmn
Cml
Cij
Si el número de columnas de A no es igual al número de filas de B. es decir A es m X p Y B es q X n donde p 7'= q, entonces el producto AB no está definido . Hay casos particulares de multiplicación de matrices que son de interés especial. Si A es una matriz de orden n, entonces podemos formar todas las potencias de A:
A2
= AA,
A3
= AA2,
A4
= AA3,
...
Además, si u es un vector de n componentes, entonces podemos formar el producto
uA que nuevamente es un vector con n componentes . Llamamos u
uA
=U
=
k(uA)
En este caso, para un escalar k.¡,. 0, tenemos
(ku)A
Esto es,
=
ku
Teorema 7.1: Si u es un vector fijo de una matriz A. entonces todo múltiplo escalar no nulo ku de u también es un vector fijo de A .
e8)C
Ejemplo 7.1:
u
t
Ejemplo 7.2: Si
G!),
A
(1, 2, 3) (
¡
2 5 8
3 a ) b3
=
(ra l + 8b l tal + ub l
ra2 + 8b 2
ra3 + Sb 3) ta3 + ub 3
ta2 + ub 2
entonces
G~)G ~)
A2
Ejemplo 7.3:
a2 b2
I
bl
:)
Ejemplo 7.4: Considérese la matriz A
=
=
(1
=
(1+6 3 + 12
C 7
2+8) 6 + 16
5
+ 8 + 21,2 + 10 + 24, g + 12 + 27)
(! !),
Entonces el vector u
=
Así, por el teorema anterior, el vector 2u
(4,-2)(~ ~) =
=
(30,36,42)
(2. - 1) es un punto fijo de A. Para,
(2 • 2 - 1 • 2, 2' 1 - 1 • 3)
uA
10) 22
(2, -1)
u
(4 , - 2) también es un punto fijo de A:
(4'2-2'2,4'1-2'3)
=
(4,-2)
VECTORES PROBABILISTICOS, MATRICES ESTOCASTICAS Un vector u = (UI, tivas y su suma es l.
Ul,
.. ,
un) se llama vector de probabilidad si las componentes no son nega-
128
CADENAS DE MARKOV
[CAP. 7
Ejemplo 7.5: Considérense los vectores siguientes:
¡, O, ~)
y
u
Entonces: 11
no es un vector de probabilidad puesto que su tercera componente es negativa;
v no es un vector de probabilidad puesto que la suma de sus componentes es mayor que 1; )V
es un vector de probabilidad.
Ejemplo 7.6: El vector no nulo v (2,3,5, O. 1) no es un veclor de probabilidad puesto que la suma de sus componentes es 2 + 3 -¡- 5 + + 1 11. Sin embargo. como las component~s de v son no negativas. l' tiene un múltiplo escalar único Av que es un vector de probabilidad; puede obtenerse cada una de las componentes de v por el recíproco de la suma de dichas componentes:
°
o, Al.
Av
Una matriz cuadrada P (Pil) se denomina f11a/riz estocástica sí cada una de sus filas es un vector de probabilidad, esto es, sí cada elemento de P es no negativo y la suma de los elementos en cada fila es L Ejemplo 7.7: Considérense ¡as matrices siguientes:
(l
:l
*\
O
t
\t t nI
(;
O)
!)
1
1
¡
i)
(i i)
(í)
no es una matriz estocástica puesto que el elemento de la segunda fila y tercera columna es ncgativo;
(ii)
no es una matriz estocástica puesto que la suma de los elementos de la !'.eguncla fila no es 1,
(i¡i)
es una matriz estocástica puesto que cada fila es un vector de probabilidad.
Probaremos (ver
a 7.10) el
Teorema 7.2: Si A Y B son matrices estocásticas, entonces el producto A B es una matriz estocástica. Además, en particular, todas las potencias A n son matrices estocásticas.
MATRICES ESTOCASTlCAS REGULARES
Ahora definimos una clase importante de matrices estocásticas cuyas ligadas posteriormen le. Definición:
deben ser in ves-
Se dice que una matriz estocástica P es regular si todos los elementos de una potencia p m son positivos.
Ejemplo 7.8: La matriz estocástica A =
(~~)
es regular puesto que
es positiva en cada elemento.
Ejemplo 7.9: Considérese la matriz estocástica A
(~
0,
-!) . Aquí
En resumen. cada potencia Am tendrá 1 y O en la primera fila; por consiguiente, A no es regular.
CADENAS DE MARKOV
CAP 71
129
REGULARES
PUNTOS FIJOS Y MATRICES
regulares se detallan en el teorema
Las propiedades fundamentales de las matrices cuya prueba cae fuera del alcance de este libro. Teorema 7.3: Sea Puna malriz estocástica (i)
Entonces:
P tiene un vector de probabilidad fijo único { y sus componentes son todas la sucesión P, P', son cada punto fijo 1,
de P se
de
a la matriz T cuyas
(jii) si p es un vector de probabilidad, entonces la sucesión de vectores pp. pP', ppJ, se aproxima al punto fijo t.
Nota: pn aproxima a T Cica que cada elemento de pn se aproxima al elemento correspondiente de T. ppn se aproxima a t significa que cada componente de ppn se aproxima a la componente correspondiente de f. Ejemplo 7.10: Consideremos la nutri! estocástica n:gulnr P = con dos component<;s. que
ucnotar por /
(x, 1
x)
(~. ~). (x, l ...~
(~~)
Buscamos un vector de probabilidad
xl,
tal que / P = /:
(x,I-x)
el lado izquierdo de la ecuación de la matriz anterior, obtenemos
x (x, 1
l)
Así, 1 (!,1 succ"ión P. P', P"
== (!'
x)
o
i
¡)
es el vector de fijo único de P. Por t:l teorema 7.3, la se aproxima a la matriz T cuyas filas son cada vector 1:
0.33 ( 0,33
T
PrescnUlmos
x
o
x
1
potencias de P para indicar el resultado anterior:
p2 _
0.75) 0,63
p3
R)
ti
1G
p5
=
(h
(0,31 \0,34
1l 3.2
Ejelllplo 7.11: llallar el vector do: probabilidad fijo único de la malriL estocástica ro:gular
Método 1. Buscamos un vector de probabilidad con tres componentes, que podemos representar por (x, y, I - x y), tal que ¡P /:
(x, y, 1
x - y)
CADENAS DE MARKOV
130
[CAP. 7
Multiplicando el lado de la ccuación de la matriz anterior y colocando luego componentes iguales a cada lado, obtcnemos el sistema ~.
--
~x
-
~Y
3x
x
x+~
y
y == 1 - x Así,
t = (i.
ti i>
+y
1 -1
x - 3y
o
y
x
+ 2y
o
x
J,.
y
i
1
u
es el vector de probabilidad fijo único de P
Método 2 . .Primero buscamos un vector lijo
(x, y, z)
(o
1
\~
O
!
(x. y. z) de la matriz P:
11
0\
~)
(x, y, z)
o
Sabemos que el sislema tiene una solución no nula; por consiguiente, podemos asignar arbitrariamente 1m valor a una de las incógnitas. Establecemos z 2. Entonces por la primera ecuación x l , Y por la tercera ecuación}' 2. Así. u (1, 2, 2) es un punto fijo de P. Por tanto, multiplicamos u por para obtener el vector de probabilidad rijo buscado t == = (tI
tU
i
t' ¡).
CADENAS DE MARKOV Consideremos ahora una sucesión de pruebas cuyos resultados, o sea, XI, X2. las dos pro
. satisracen
(i)
Cada resultado a un conjunto finito de resultados : o 1, oc, ., a",: llamado de estados del si el resultado de la n-ésirna prueba es al, entonces decimos que el sistema está en estado al en la vez n () en el paso n-ésimo.
(ii)
El resultado de una prueba depende a lo sumo del resultado de la prueba inmediatamente precedente y no de cualquier otro resultado . con cada par de estados (Oí, 01) se establece la probabilidad Pu de que aJ suceda inmediatamente después de que suceda al'
A un proceso estocástico tal, se llama cadena de Markov (finita). Los números Pu, llamados probabilidades de transición, pueden ordenarse en una matriz
p
(
:~;
..:::, . .... .
:~:;)
llamada matriz de transición. para cada estado al corresponde la í-ésima lila (Pu, Pí2, .•. , P¡m) de la matriz de transiClon si el sistema está en estado (l.¡ entonces este vector fija las probabilidades de todos los resultados posibles de la prueba siguiente y, por tanto, es un vector de probabilidad. En consecuencia, Teorema 7.4: La matriz de transición P de una cadena de Markov es una matriz estocástica. Ejemplo 7.12: Un hombre o maneja su carro o toma el treo para ir a trabajar cada día. Supóngase que nunca toma el tren dos días seguidos; pero si maneja para trabajar, entonces al día siguiente es tan posible que maneJe de nuevo como que lome el tren.
El espacio de estados del sistema es I f (lren), d 1. ~~le proceso estocástico es una cadena de Markov puesto que los resultados de un día dependen únicamente de lo que sucedió el día anterior. La matriz de transición de la cadena de Markov es t
t d
d
(0t t1)
CADENAS DE MARKOV
CAP. 7]
131
La primera fila de la matriz corres ponde al hecho de que nunca toma el tren dos días seguidos y por tanto es seguro que man ejará al día siguiente de usa r el tren. La seg unda fila de la matriz corresponde al hecho de que al día siguiente de manejar, manejará o tom ará el tren con igual probabilidad.
Ejemplo 7.\3: Tres niños A. By C se pasan una bola unos a otros. A siempre tira la bola a B y éste siempre la pasa a C; pero C pas a la bola tan posiblemente a 8 como a A Denote mos X n la n-ésima perso na a quien se pasa la bola. El espacio de estados od sistema es lA. B. e:. Esta es una cadena de Markov puesto que la persona que lanza la bola no est á innuenciada por aquella que tení a previ a mente la bola . La matriz de transición de la cadena de Markov es
A
~ (1
B
e
in
La primera fil a de la matriz corresponde al hec ho oe qu e A siempre pasa la bola a B. La segunda fila co rresponde al hecho de que 8 siempre pasa la bola a e La liltim a fila corresponde al hecho de que C la pasa a A o a 8 con probabilidad igual (y no se la pasa a sí mismo).
Ejemplo 7.14: Una escuela consta de 200 niños y 150 niñas. Se selecciona un estuoiante tras o tro para un examen de ojos. Den otam os por X n el sexo dell/-ésimo es tudi ante que toma el e·xamen. El espacio de estados del proceso estocástico es I m (hombre), j (mujer) 1. Sin embargo , este proceso no es una cadena de Markov puesto que, por ejemplo, la probabil idad de que la tercera perso na sea una niña no solamente oepende del resultado de la segunda prueba sino de ambas, la primera y la seg unda pruebas.
Ejemplo 7. 15: (Recorrido al aza r sujeto a señales rellectantes .) Un homb re es tá en un punto en tero so bre el eje x entre el origen O y, por ejemplo , el punto 5. Da un paso unioad a la derecha con probabilioad p o a la izquierda co n probabilidad q = I - p. a men os que esté en el o rigen oonde da el paso a la derecha al punto I o si está en el punto 5 donde da el paso a la iLljuierda al punto 4. Designamos X n su posición después de n pasos. Se trata de una cadena de Markov con espacio de estados {ao. al. a z• a 3• a4• as} donde al significa que el hombre est á en el punto i. La matriz de tran sició n es
ao
al
a2
a3
a4
O q O
1
O
O q
P
O O
O O O
O O O
O O O
as O O O O
j
¡
",.l '
1
!
ji ~I r.
~,
ao al
P
a2
aa
a4
lis
O q
O O
P
O q O
P
O 1
r
P O
Caoa fila de la matriz, excepto la primera y la última. corresponoe al hecho de que el hombre se mueve del estado al a I estado al + I con probabilidad p o retr ocede al estado al_¡ con probabilidad 1] = I - p. La primera fila corresponde al hech o de que el hombre tiene que moverse del estado ao al estado al Y la liltima fila del estado a5 al es tao o aol.
PROBABILIDADES DE TRANSICION SUPERIOR El elemento PIj en la matriz de transición P de una cadena de Markov es la probabilidad de que el sistema cambie del estado al al estado aJ en un paso: Ut'-' ajo Averiguar: ¿Cuál es la probabilidad, denotada por p in >, de que el sistema cambie del estado al al estado aJ en n pasos exactamente: iJ
r\
·1 I
[CAP. 7
CADENAS DE MARKOV
132
los Pi;n) se ordenan en la matriz
El siguiente teorema resuelve la pregunta; transición de n pasos:
pCnl
llamada matriz de
Teorema 7,5: Sea P la matriz de transición de un proceso de cadena de Markov. Enlonces la matriz de transición de 11 pasos es igual a la II-ésima pOlencia de P: esto es p(n) pn, Ahora supóngase que después de un la probabilidad de que el sistema esté en estado a¡ es PI: denotamos estas probabílidades por el vector de probabilidad p (p l, pI. Pm) que denomina distribución de probabilidad del sistema para tal tiempo. En parlicu denotaremos por p(()) P (O) = (p(O) p(Ol l'2'·~·'m
la distribución de probabífidad inidal, o sea la distribución cuando el proceso
por
(p 1(") ' p(n) 2
p(nl) m
o sea la distribución
la distribución de probabilidad de paso Aplicamos el siguiente teorema,
Teorema 7.6:
,-~~,
y denotaremos
de los pri meros
11
pasos.
P la matrjz de de un proceso de cadena de Markov. p ¡) es la distribución de probabilidad del sistema para un tiempo arbitrario, entonces pP es la dis~ tribución de probabilidad del sistema un paso más tarde y ppn es la distribución de prodel sistema n pasos más tarde. En particular,
, , " p(nl = p(O) pn
Ejemplo 7.16: Considérese la cadena de Markov del ejemplo 7.12 cuya matriz de transición es
p Aquí I es el estado de tornar el tren para ir a trabajar y d el de plo 7.8.
(1t 1. )(1t
p2. p2
~
para ir a trabajar. Por el cjem-
.~)
~.)
~.
lr.
Así, la probabilidad de que el sistema cambie de, por ejemplo, el estado I al estado den 4 pasos exactamente es J'I, o sea p(4) 5, Similarmente p(4) Il p(4) v 1"1(4) = .l1 Ir
!d
= '!J
•
tt
1"
dI
=
;
r dd
t 6'
Ahora supóngase que en el primer día de trabajo el hombre lance un dado corriente y maneje para ir al si y sólo si sale un 6. En otras palabras, p(O) = (lt, es la dístribucíón de probabi· lidad inicia 1. Entonces
t)
1~)
p(OlP4
=
16
es la distribución de probabilidad
Ejemplo 7,17: Considérese la cadena de Markov del ejemplo 7.13 cuya matriz de transición es
A
p
~
B
e
n: !)
•
CADENAS DE MARKOV
CAP 71
133
Supóngase que e fue la primera persona con la bola, esto es, probabilidad inicial. Entonces
p(O) =
(0,0, \) es la distribuci ón de
p(1)
p(O)P
lO. o.
1)
U ! ° t ~)
(t. !. O)
p (2)
p(l)P
I;.!.O)
(~ ° :) ! !
(O.
p(3)
p(2)P
Iq.t)
G! ~)
(t. t·
1
1
!. !)
1,
O
Por tanto, después de tres pases, la probabilidad de que A tenga la bola es es y de que e tenga la bola es p~3) = p13 ) = y p2) =
t
l
t.
t
-!.
~)
t, de que B tenga la bola
Ejemplo 7.18 : Considérese d problema del paseo casual del problema 7.15. Supóngase que el hombre comienza en el punto 2; hallar la distribución de probabilid ad después de J pasos y des pués de 4 pasos, esto es p(3) y p(4).
Ahora
p(O) =
(O, 0, \, 0, 0, O) es la distribución de probabilidad inicial. Enlonces
p(1)
(O, q, O, P. O, O)
p(Z)
p(I)P
(q2, O, 2pq, O. pZ. O)
p(3)
p(Z)P
(O, q2
p(4)
p(3)P
+ 2pq2,
O. 3pZq, O, p3)
Así, después de 4 pasos el hombre está en el origen con probabilidad q3
+ 2 pq 3.
DISTRIBUCION ESTACIONARIA DE CADENAS DE MARKOV REGULARES Supóngase que una cadena de Markov es regular, esto es, que su matriz de transición P es regular. Por el teorema 7.3 la sucesión de las matrices de transición pn de n pasos se aproxima a la matriz Tcuyas filas son cada una el vector de p~obabilidad fijo único t de P; por consiguiente, la probabilidad p~t) de que aj suceda para n suficientemente grande es independiente del estado original a, y se aproxima a la componente tJ de t. En otras palabras, Teorema 7.7: Considérese que la matriz de transición P de una cadena de Markov es regular. Entonces, a la larga, la probabilidad de que un estado aJ suceda es igual aproximadamente a la componente tJ del vector de probabilidad fijo único t de p, Así, vemos que el efecto del estado inicial o de la distribución de probabilidad inicial del proceso desaparece a medida que el número de pasos del proceso aumentan. Además, cada sucesión de distribuciones de probabilidad se aproxima al vector de probabilidad fijo t de P, llamado la distribución estacionaria de la cadena de Markov. Ejemplo 7.19: Considérese el proceso de cadena de Markov del ejemplo 7.12 cuya matriz de transición es t
P
t
d
d
(Ot -!1)
[CAP 7
CADENAS DE MÁKKOV
134
Según el ejemplo 7. 10 el vector de probabilidad fijo único de la matri z anterior es (t, ¡). Por cons iguiente, a la larga, el hombr e tomará el tren de la s veces, y manejará los otros del tiempo.
t
•
•
¡
Ejemplo 7.20: Considérese el proceso de cadena de Markov del ejemplo 7.13 cuya matriz de transición es .
A
~
Hi i n
t
•
•
t t
• • • • • • "• •• • • • •• •• • •• •• ••
•• • ••
•• •
e
B
p
Por el ejemplo 7.1 1. el vector de probabilidad fijo úni co de la matriz ante rior es larga, A lanzar á la bola 20% de las veces y B y e 40% de las veces.
(t, t, ¡).
Así . a
I~
ESTADOS ABSORBENTES
Un estado al de una cadena de Markov se llama absorbente si el sis tema permanece en el estado al una vez que entra en él. Así, un estado a¡ es absorbente si y sólo si la fila i-ésima de la matriz de tran sición P tiene un I en la diagonal principal y ceros en las demás par tes . (La diagonal principal de una matriz cuadrada de orden n A = (al') consta de los elementos all, a22, ...• a nn .) Ejemplo 7.2\: Supóngase que la siguie nte matri z es la matriz de transición de una cadena de Markov:
a2
a3
a4
as
al
O
t
T.
i
a2
O
O
¡~
al
P
a3 a4 a5
(¡
O
i
t
1
O
O
O
O
O
Los estados 02 y °6 son cada uno abso rbentes, puesto que cada una de la segunda y quinta filas tiene un I en la diagonal princip al.
Ejemplo 7.22: (Recorrido al azar con señales absorbentes.) Consideremos el problema del paseo del ejemplo 7.15, excepto que ahora suponemos qu e el hombre permanece en uno de los dos extremos cuando llega allí. Esto también es una cadena de Markov y la matriz de tran sició n está dada por
ao
al O
O
O
O
O
q
O
P
O
O
O
P O
O
O
P
O
ao
al P
a2
a3
a4
a2
O
q
O
a3 a4
O
q
O
O O
O
q
O
as
O
O
O
O
O
as
P
m
A este proceso lo llamamos un recorrido al azar con señales absorbentes. En este caso, p~n) denota la probabilidad que el hom bre llegue al estado 00 en el paso n-ésimo o antes. Similarmente, p~n) denota la probabilidad que llegue al estado 05 en el paso n-és imo o antes .
Ejemplo 7.23: Un jugador tiene x dólar es. Apuesta un dólar cada vez y gana con probabilidad p y pierde con probabilidad q = I - p. El juego termin a cuando pierda todo su dinero. o sea. tenga O dól ares. o cuando gane N - x dólares, esto es, tenga N dólares . Este juego es idéntico al del recorrido al azar del ejemplo precedente excepto que aquí los obstáculos absorbentes son O y N .
CADENAS DE MARKOV
CAP. 7]
135
Ejemplo 7.24: Un hombre lanza una moneda corriente hasta cuando salgan 3 caras sucesivas. En la prueba n -és ima, tomamos X n = k si el último sello ocurre en la prueba (n - - k), o sea X n denota la fila más larga de caras que termina con la prueba n-ésima. Esto es un proceso de cadena de Mark ov con un espacio de es tados I ao, a '. 02, al 1, donde al representa la fila de caras con longitud i. La matriz de transición es
ao
al
a2
ao
t
O
al
O
t
O
O
O
O "1 t:...
(;
a2
a3
a3
0) O
t
Cada fila, excepto la última, correspo nde al hecho de que una fila de caras se interrumpe si sale un sello o aumenta uno si sale cara. La última línea corresponde al hecho de que el juego termina si sa len tres caras seguidas. Nótese que a, es un estado absorbente.
Sea a, un estado absorbente de una cadena de Markoy con matriz de transición P. Entonces, para j
Problemas resueltos MULTIPLICACION DE MATRICES
7.1.
Sea u
G; -~).
(1, - 2, 4) y A
Halla< uA
El producto del vector u con 3 componentes por la m a triz A 3 X 3 es de nuevo un vector con 3 componentes. Para obtener la primera componente de uA, multiplicamos los elementos de u por los elementos correspondientes de la primera columna de A y luego sumamos:
3 2
(1 • 1
+
(-2)' O + 4' 4,
(17,
1 Para obtener la segunda componente de uA , multiplicamos los elementos de segunda columna de A y luego sumamos:
11
por los dementos correspo ndientes de la
(17,1'3+(-2)'2+4'1,
(17, 3,
Para obtener la tercera componente de uA, multiplicamos los elem en tos de u por los elem en tos correspo ndientes de la tercera columna de A y luego sumamos:
(17,3,1'(-1)+(-2)'5+4'6)
Esto es,
uA
(17,3,13)
(17, 3, 13)
7.2.
[CAP. 7
CADENAS DE MARKOV
136
Sea
A
(i)
=
(1 3) 2 -1
y
Hallar, (i) AB, (ii) BA.
B
Puesto que A es 2 X 2 Y 8 es 2 X 3, el producto A 8 es una matriz 2 X 3. Para obtener la primera fila de A B, multiplicamos los elementos de la primera fila de (1,3) de A por los elementos correspondientes de cada una de las columnas
G) ,(_~)
y ( - : ) de 8 y lu ego sumamos:
. .~ ) ( .~ ~é:l ~~.~:41 ) ( ¡ 2.' -1 \ , . '; h~~ ~, ,1J..: 1 - O + 3 - (-2)
-6
Para obtener la segunda fila de AB. multiplicamos los elementos de la segunda fila (2, - 1) de A por los elementos correspondientes de cada una de las columnas de 8 y luego sumamos:
-6 2'0 + (-1)'(-2) AS
Así,
(ii)
7.3.
2
14) -14
14)
-6
=
-6 2
14 ) 2'(-4)+(-1)-6
-14
Nótese que n e, 2 X 3 Y A es 2 X 2. Puesto que los "números interi ores" 3 y 2 no son iguales, esto cs. el número de columnas de 8 no es igu al al número de filas de A y, por tanto, el producto nA no está definido.
Sea (i)
2)
1 Hallar,(i) A2,(ii) Al. ( 4 -3 .
A A2
=
AA
G-!)G
-~)
1'1+2'4 ( 4' 1 + (-3)' 4 (ii)
( 9 -4)
l ' 2 + 2· (-3) ) 4-2 + (-3) '(-3)
-8
(1 2)( 9 -4)
A3
4
-3
-8
17
17
l ' 9 + 2' (-8) ( 4'9 + (-3)'(-8)
1-(-4)+2'17 ) + (-3) '17
4' (-4)
(-7 30) 60
-67
VECTORES PROBABILlSTlCOS y MATRICES ESTOCASTICAS
7.4. ¿C uáles vectores son vectores de probabilidad'!
= (t, 0, -i, i, t),
(i) u
(ii) v
= (t, 0, i, 1, t),
(iii) w
= CL 0, 0, i, i)·
Un vector es un vector de probabi lidad si sus componentes no son negativas y su suma es l.
7.5.
(i)
11
no es un vector de probabilidad puesto que su tercera com ponente es negati va.
(ii)
v no es un vec tor de probabilidad puesto que la sum a de las componentes es mayor que l .
(iii)
IV
es un vector de probabil idad puesto que las componentes no son negativas y su suma es I
Multiplicar cada vector por el escal3r apropiado para form a r un vector de probabilidad : (i) (2, 1,0,2,3), (ii) (4,0, 1,2,0,5), (iii) (3,0, -2, 1), (iv) (O, 0,0,0, O). (i)
La suma de las componentes es 2 + I + O + 3 + 2 nente, por para obtener el vector de probab ilidad
i
=
8: por tanto. multiplicamos el vector, o sea, cada compo-
(:1,.g, O, :1, ¡).
CAP.7j
(ji)
CADENAS DE MARKOV
La suma de componentes es 4 + O + I + 2 + O S 12; por tanto, multiplicamos el vector, esto es, cada componente, por para obtener el vector de probabilidad (1,0, o,
fí,
La primera componente es y la tercera es negativa; por tanto, es imposible multiplicar el vector por un escalar para formar un vector con componentes no negativas. Por consiguiente, ningún múltiplo escalar del vector es un vector de probabilidad. (iv}
7.6.
Todo múltiplo escalar del vector cero es el vector cero cuyas componentes suman O. Por tanto, ningún múltiplo del vector cero un vector de probabilidad.
Hallar un múltiplo de cada vector que sea un vector de probabilidad: (i) (~, ¡,O, 2, ti), (ii) (O, ff, 1, !, ti). En cada caso, multiplicamos primero cada vector por un escalar para que las fracciones se eliminen. (í)
M ultiplícarnos primero el vector por 6 para obtener (3, 4, O, 12, 5). Luego multiplicamos por 12 + 5) = para obtener (!. i, 0, que es un vector de probabilidad.
(11)
Multiplicamos primero el vector por 30 para obtener (O, 20, 30, 18, 25). Luego 30 +- 18 + 25) ¡fu para obtener (O,~, ~,~) que es un vector de probabilidad.
de las matrices
7.7.
7.8.
+ O+
+
20
+
-!)
1 ( t 1-'
(iv)
O :) (ii) B
(í)
por 1/(0
son
t
(i) A
4
no es una matriz estocástica puesto que no es una matriz cuadrada.
(Jí)
B no es una matriz estocástica puesto que la suma de las componentes de la últim::¡ fila es mayor que l.
(iíi)
e
(IV)
D no es una matriz estocástica puesto que el elemento de la primera fila, segunda columna es negativo.
es una matriz estocástica.
Sea A
(::~: ~:\)' una matriz estocástica U3
ba
y sea
(u
11
1, /12,
11
J) un vector de
C3
lidad. Demostrar que tiA también es un vector de probabilidad.
Puesto que 11 ¡. a j. b ¡. y ('! son no negatívos y puesto que los y sumas de nú meros no negativos son no las componentes de !lA son no ncg;¡tivas como se Así, solamente necesitamos demostrar que la sum;¡ de las componentes de l/A es l. Aquí usamo;¡ el hecho de que 1/ ¡ + tu + ¡¡ l, al + b 1 + el, GJ + b, + el y a J b) + e) wn cada uno l' u¡a¡
7.9.
+
uzaz
+ + u¡c¡ + u2c2 + uacs + + b2 + + us(aa + ba + ca) + b¡ + Cl} + 1 ul'1 + u2'1 + ua'1
+
uaas
+
u¡b¡
Probar: A = (aiJ) es una matriz de orden ti y ti (UI, de probabilidad, entonces uA también es un vector de probabilidad. La prueba es similar a la del problema precedente para el caso n
3:
Ul, .
. , Un)
es un vector
[CAP. 7
CADENAS DE MARKOV
138
Puesto que los u¡ y ai¡ son no negativos, las componentes de uA también son no negativas. Así, solamenle necesitamos demostrar Que la suma de las componentes de /lA es 1.
7.10. Probar el teorema 7.2: Si A Y B son matrices entonces el producto A B es una matriz estocástica. Además, en todas las potencias A n son matrices estocásticas. La fila ¡-ésima SI de la matriz producto A B se obtiene multiplicando la fila ¡-¿sima ft de A por la matriz B· sI = r¡ B. Puesto que cada" es un vector de probabilidad y B es una matriz estocástica, por el problema precedente, también es un vector de probabilidad. Por consiguiente, AB es una matriz estocástica.
s,
7.11. Probar: Si p (p t, pl, cada una el mismo vector U sando el hecho de que Pi
, Pm) es un vector de probabilidad, y T es una matriz cuyas filas son (t 1, ll, .. tm). Entonces pT t.
+ P' + . .. + p rn
= 1, tenemos
pT
MATRICES ESTOCASTICAS REGULA 7.12. Hallar el vector de probabilidad qué matriz se An . Buscamos un vector de probabilidad t
(x,l
y VECTORES PROBABILlSTICOS FIJOS
A --
de la matriz estocástica (x. 1 -
xl
(i! i) . ~
Hallar a
x) tal que lA = l.
(! !)
(x, 1
x)
Multiplicamos el lado izquierdo de la ecuación de la matriz anterior y luego pectivas para obtener las dos ecuacioncs
x, Resolvemos cualquiera de las ecuaciones para hallar x = dido.
unas a otras las cornponentcs rcs-
1-:;;
1-
Por tanto, I
es cl vector de probabilidad pe-
La respuesta se verifica calculando el producto lA:
La respuesta es correcta puesto que lA 1. La matriz A" se aproxima a la matriz T cuyas filas son cada una el punto fijo
1:
T
CADENAS DE MARKOV
CAP 71
7.13. (i)
Comflrohar que el vector
11
139
(h, a) es un punto fijo de la matriz 2 X 2 estocástica general
p=(l-a a). b
1- b
(ii) Usar el resultado de (i) para hallar el vector de probabilidad lijo único de cada una de las matrices siguientes:
(~ ~) a a)
(i)
(ii)
uP
(b, a)
1 (
b
1 -
b
( & ~) -~
B =
=
A
+ ab,
(b - ab
e
~
ab
=
(0,7 0,3) 0.8 0,2
+a -
ab)
(b,
a)
u.
i)
Por (i), /1 = (1, e, un punto liJO de A Multiplicamos 11 por 3 para obtener el punto fijo (3. 2) de A que no tiene fraccione" Luqw rnulti[1lieClmo, (3. 2) pur 1/(3 + 2) = ~; para obtener el vector de probabilidad fijo único pedido (~-, g). Por (í). 11 = (.¡j-, t) e, un punto fijo,de lJ Multiplicamos 11 por 6 para obtener el punto fijo (4,3), Y luego multi[Jli camos por I/('~ -j 3) = ~, pala obtenCf el vector dc probabilidad lijo único pedido (t,
t).
Por (i). 11 = (O.n, (J ,3) es un punto liJO de son punto, fijo, de e
e
Por tanto (8. 3) Y el vector de probabilidad
(A, A) también
7.14. Hallar el vector de probabilidad fijo único de la matriz cstocústica regular
1: p
°1 ~.
M étodo L [lusc
J_
(x, y, 1 - x - y)
(x, y, I
~
-l
~
O
(
,\ - y) tal que rP = r'
(x, y, 1 - x - y)
1
Multiplicalllo , el lado iZ4uicruo de la ecuación de la matriz anterior e igualarnos unas a otras las componentes corresponuientes para úbtencl el sistema de tlCS ecuaciones
-!x {
+ 1Y = x
x-y=O
ix -t- 1 - x - y = y ix + 1U = 1 - x - y
3x
o
{
5x
+ 8y = + 6y
4 4
,1 l ' 4 y y = 11' 4 V en'fiIcarnos I a so l ' , por sUSti-' l:.scogCflWS Uos uC a, ecual'lllne, en .\ y Y para rc:so Iver I as y o b tener x = ¡¡ uClon tuci ón de .\ y Y en la terena ecuación , Puesto 4ue I - x )' = f¡, el vector de probabilidad fijo requerido t S
1 4 3 = (¡¡'li'li)'
t Método 2. Ul"eanlos un vector fijo
11 ~ (.\,
y , :) ue la rnarri/ 1':
(x, y, z)
(
.~~
t (x, y, z)
O 1
Multiplicamos el miembro de la i/.quierda de la ecuación de la matriz anterior e igualarnos unas a otras las componentes corresponuicnte, rar a obtener el ,istcm,1 Ut tres ecuaciones
fix-1X ++ z~Y== l.ix + ~y =
X -
x
y
z
y
{
x
+
=
O
+ 4z
O
2y - 4z
O
x - 4y
,l
[CAP. 7
CADENAS DE MARKOV
140 S~bcl11os
que sistema tiene una solución diferente de cero; por consiguiente, podemos asignar arbitrariamente un una de las incógnitas. Hacemos y 4. Entonces por la primera x 4, y por la tercera 3. Así, 11 = [4, 4, 3) es un punto fijo de P Multiplicamos 11 por 1/(4 + 4 para obtener I = 11 que es un vector de y también es un punto fijo de p, lor
h
7.15. Hallar el vector de probabilidad fijo único de la matriz estocástica
(~ :) 1
p Y decir a
1. !.!
i
matriz se aprOXIma P".
f3USC;UTIOS
primero un vector fijo u
(x. y. :) de la matriz P:
(x, y, z)
el miembro de la izquierda de la ecuación de la matriz anterior e igualamos una a otra las componentes correspondientes para obtener el slstema de tres ccuaClOncs 6x
y y
+ 3y + 4z + z = 3z
6x
o {
z
y
:::: By
o
{
y
= 6x
6x
+ 4z
3y
Zz
y
Sabemos ljue el sistema tiene ulla solución diferente de cero: por tanto, podemos asignar arbitrariamente un valor a una de las incógnitas Hacernos y I Entonces. por la primera ecuación y 6, Y por la última ecuación : = J. Así que ¡¡ (1,6. J) es un punto fijo de P Puesto que I + 6 + 3 10, el vector t (io, es vector de probubilidad fijo único de P buscudo.
P"
\oTu (
aproxima a la rnatri7 Tcuyas filas son cada una el punto fijo 1:
~
10
7.16. Si
CL 0, 1, 1, O)
t
es un punto fijo de una matriz estocá"lica P, ¿por qué P no es regular')
Sí P es regular. enton..:cs. por el teorema 7,}, P tiene un vector de probabilidad fijo único, y las componentes del vector son positivas. Como las componentes del vector de probabilidad dado no ,on todas P no puede ser regular.
7.17. ¿Cuáles de las
(i) A
(t \0
son regulares')
icas
(~ t i) i
~) (ii) B == (O\1 ~)
(iii)
e
Insistimos en ljue una matriz estocástica es regular si una mente,
(í)
A no es regUlar puesto que hay un 1 en la
B2
E3
1\
G~)G O) :::: G~)G ~)
G~) G~)
1
(~ i) O
(iv) D
i
1
de la matriz tiene elementos positivos única-
principal (en la segunda fila).
=
matriz idéntica I
B
Así. cada potencia par de B es la matriz idéntica 1 y cada potencia impar de B es la matriz pctencia de B tiene cero elementos y, así, B no es regular.
n,
En consecuencia, cada
CAP. 7]
(iii)
(iv)
141
CADENAS DE MARKOV
e no es regular puesto que tiene un
D2 =
(~
I en la diagonal principal.
i ti
1
(f
y
i
Como todos los elementos de D) son positivos, D es regular
CADENAS DE MARKOV
7.18. Los hábitos de estudio de un estudiante son como Si estudia una noche, está seguro de no estudiar la noche Por otra si no estudia una noche, está 60% seguro de no estudiar tampoco la noche siguiente. A la larga, ¿con qué frecuencia estudia? Los estados del sistema son S (de estudiar) y T (de no estudiar). La matriz de transición es
S
(0,3
S T
p
0,4
T 0.7) 0,6
Para averiguar qué sucede a la larga, tenemos que hallar el vector de probabilidad fiJO único I de P. Por el problema 7.1 u (0,4,0,7) es un punto fijo de P y así / = es el vector de probabilidad buscado. Así que la larga el estu· diante estudia de las veces.
,t)
fi
7.19. Un
hace los supuestos que conciernen al comportamiento de ratas sujetas a un especial de alimentación, Para una particular, 80(Yo de las ratas que para la derecha en el experimento previo hicieron lo mismo en esta prueba, y 60% de aquellas que en el para la derecha en esta prueba, Si cogieron para la 50% van a la derecha en la primera ¿qué se podría predecir para, (i) la segunda prueba? (ii) la tercera (iii) la milésima prueba? Los estados del sistema son R (derecha) y L (izquierda). La matriz de transición es
R L R L
p
(0,8 0,2) 0,6
0,4
La distribución de probabilidad para la primera prueba es p = (0,5, Para calcular la distribucíón de probabilidad para el paso siguiente, es 10 es, la segunda prueba, multiplicamos p por la matriz de transición P:
(0,5, 0,5)
0,2) 0,4
::: (0,7,0,3)
Por consiguiente, en la segunda se espera que el 70";" de las ratas vayan a la derecha y 30% la izquierda. Para calcular la distribución de probabilidad para la terct:ra prueba, multiplicamos lade la segunda prueba por P:
(0,7, 0,3)
(0,8 0,2)
= (0,74, 0,26)
0,6 0,4
Así, en la tercera prueba se espera que el 74% de las ralas se dirijan a la derecha y 26% a la izquierda. Suponemos que la distribución de probabilidad para la milésima prueba es esencialmente la distribución de probabilidad estacionaria de la cadena de MarkoY,'esto es, el vector de probabilidad fijo único I de la matriz de transición P Por el problema 7.13, u (0,6, 0,2) es un punto fijo de P yasí I = (0,75, 0,25). Por tanto, se espera que en la prueba mil 75% de las ratas irán la derecha y 25% a la izquierda.
(1,1)
142
CADENAS DE MARKOV
P
7.20. Dada la matriz de transición
(i)
p(S) 21
[CAP.
1 . 0) con distribución de probabilidad inicial (i !
es la probabilidad de pasar del eslado
al
al estado
obtener de la matriz de transi-
en 3 pasos. ESlo se
(J 1
P(o)
ción de J pasos P J; por lanto, calculamos primero P ':
p2 ==
G~).
pa
Entonces p~~) es el elemento de la segunda fila primera columna de ps: pi~)::::: (ii)
pIS)
l
es la distribución de probabilidad del sistema después de tres pasos. Puede obtenerse calculando sucesivamente Y luego p(ll):
pO), p(2)
p(O
=
(1, p(1)P
pO!)
=
p(2)P
i)
(l,})
G~) G:)
(i,!) (~
:::::
(1'
!)
(t, !)
~)
Sin embargo, como la matm de 1ransición de 3 pasos P 1 ya se calculó en (i), piS) también puede obtenerse como sigue:
(~, (jii)
p<;) es la
probabilidad de que el proceso esté en el estado a, después de 3 pasos; esto es. la segunda componente
de la distribución de probabilidad de 3 pasos p(S):
7.21. Dada la matriz P
1
-jl:.1( °0 :1
!~)
Hallar: (i) p~;) y pi;), (ii) p(4) Y a que se aproxima (i)
11 ~) i) \1 Ir -h,.
p~a)
Y la distribución de probabilidad inicial p~4),
(iii) el vector al cual se aproxima p(Olpn,
= (,¡, 0, t). la matriz
Calculamos primero la matriz de transición de 2 pasos pI:
i ! O) i ( i i t t O
p2 Entonces p~;):::::
Oi)
p(O)
Para calcular
p(4),
t
y Pg)
= 0,
puesto que estos números s,e refieren a los elementos de P2.
usamos I~ matriz de transición de 2 pasos P ¡ y la distribución de' probabilidad inicial p(O):
y Puesto que
(iii)
:1
es la tercera componente de p(~),
p(4)
:1
Por el teorema 7.3, p{Ol[>n se aproxima al vector de probabilidad fijo único t de P. Para obtener /, hallamos primero un vector fijo u (x. y, z):
CADENAS DE MARKOV
CAP. 71
O
(x, y, z)
(
t t)
t ! o O 1
=
143
ty = x t x + ty + z = y {tx = z
o
(x, y, z)
O
Hallar una solución no nula del anterior sistema de ecuaciones . Hacemos x = 1; luego por la tercera ecu ación x = 2, y por la primera ecuación y = 4. Por tanto, u = (2,4 , 1) es un punto fijo de P y así t = (,,~, '). En otras palabras, pCOlpn se aproxima a (t, t,
t).
(iv)
pn se aproxima a la matriz Tcuyas fila~ son cada una el vector de probabilidad fijo de P; por con siguiente
7.22. La región de ventas de un vendedor la componen tres ciudades, A, By C. Nunca vende en la misma ciudad en días seguidos. Si vende en la ciudad A, entonces al día siguiente vende en la ciudad B. Sin embargo, si vende en una de las dos B o e, entonces al día siguiente está en doble posibilidad tanto para vender en A como en la otra ciudad. A la larga, ¿con qué frecuencia vende en cada ciudad? La matriz de tran sición del problema es como sigue:
B
e
A
1
B
o
n
A p
e
(:
t
Buscamos el vector de probabilidad fijo único de la matriz P Hallamos primero un vector fijo u = (x, y, z):
(x, y, z)
o
iY + iz = x x + tz = y { !Y = z
= l. Luego por la tercera ecuación y = 3 y por la primera ecuación x = ~ . Así, u = (~ , 3, 1) . También Ju = (8, 9, J) es un vector de probabilidad fijo de P. Multiplicamos 3u por 1/(8 + 9 + 3) = -lo para obtener el vector de probabilidad fijo pedido t = (~, fa, lo) = (0,40, 0 ,4 5, 0,15). Por consiguiente, a la larga Hacemos z
vende 40% del tiempo en la ciudad A, 45% del tiempo en S y 15% del tiempo en C.
7.23. Hay 2 bolas blancas en una urna A y 3 rojas en otra urna B. A cad a paso del proceso se selecciona una bola de cada urna y las dos bolas escogidas se intercambian. Sea el estado a" del sistema el número i de bolas rojas de la urna A . (i) Hallar la matriz de transición P. (ii) ¿Cuál es la probabilidad de que haya 2 bolas rojas en la urna A después de 3 pasos? (iii) A la larga, ¿cuál es la probabilidad de que haya 2 bolas rojas en la urna A? (i)
Hay tres estado s, a o, a I ya, desc ritos en los diagramas siguientes:
12 WI
11 WI 11 WI A
B
~
~
A
B
~
A
B
Si el sistema está en el estado ao, entonces ti ene que escogerse una bol a blanca de la urna A y una roja de la urna S, así que el sistema tiene que pasar al estado a l . En consecuencia , la primera fila de la matri z de transición es (O, 1, O).
144
[CAP. 7
CADENAS DE MARKOV
Supongamos que el sistema está en estado 01, Puedc pasar al estado ao si y sólo si se escoge una bola roja de la urna A y una blanca de la urna B. la probabilidad de que suceda esto es Así, PlO El si~tema puede pasar del estado a'l al 02 si y sólo si se selecciona una bola blanca de la urna A y una rOJa de la urna B: la probabilidad de que suceda esto es Así, Pl2 En consecuencia, la probabilidad de que el sistema permanezca en estado a 1 es Po 1- ! - t Así, la segunda fila de la matriz de transición es t). (Obsérvese que p 11 también se puede obtener del hecho de que el sistema permanezca en estado 01 si se saca o una bola blanca de cada urna, con probabilidad o u na bola roja de cada urna con proba-
l' t =!-.
l' t = t-
Ch l'
t· i = t;
bilidad
así, Pll
= t.
= t.
=
= i·
t' t = l,
= t+ t = l)
Ahora supongamos que el sistema está en estado 0>. Tiene que sacarse una bola roja de la urna A Si se escoge una bola roja de la urna B. con probabilidad t, entonces el sistema permanece en estado a, y si se escoge una bola blanca de la urna B, con probabilidad entonces el sistema pasa al estado a l. Nótese que el sistema nunca Esto es. puede pasar del estado a, al estado ao. Así, la fila tercera de la matriz de transición es (O, j,
¡.
t).
aO
(! f) 1
ao
P
~
al
i
az (ii)
El sistema empieza en estado ao, esto cs. p(O) pO)
=
p(O)p
=
(O, 1, O),
=
(1, O, O). Así:
=
p(2)
a2
al
=
p(!)P
(i,~, l),
p(3)
:¿lf
=
p(2)P
=
En consecuencia. la probahilidad de que haya 2 bolas rojas en la urna A después de 3 pasos es (iii)
Buscamos el vector de probabilidad fijo único
I
23 ~) 12'3a'I8
(...L
fa.
de la matriz de transición P. Primero hallamos un vector fijo u
=
(x. y. z):
iY = x x + 1V + ¡z { tv + t z = z
1
=
~
(x, y, z)
o
i
y
Hacemos. x = I Luego por la primera ecuación y = 6 y por la tercera ecuación z = 3. Por tanto, 11 = (1,6.3). M ultipliquernos LI por 1/ ( I + 6 + 3) = para obtener. el vector de probabilidad fijo único I = (0.1. 0.6, 0,3) requerido. Así a la larga, 30% de las veces habrá 2 bolas rojas en la urna A.
-ro-
Nótese que a la larga la distribución de probabilidad es la misma que si las cinco bolas se colocaran en una urna y se escogieran 2 al azar para ponerlas en la urna A.
7.24. Un jugador liene $2. Apuesta $1 cada vez y gana $1 con probabilidad t. Deja dejugar si pierde los $2 o si gana $4. (i) ¿Cuál es la probabilidad de que pierda su dinero al final de, a lo sumo, 5 juegos? (ii) ¿Cuál es la probabilidad de que el juego dure más de 7 juegos? Esto es un recorrido al azar con señales absorbentes en O y 6 (ver ejemplo 7.22 y 7.23). La mat riz de transición es
P
con distribución de probabilidad inicial
no
al
a2
a3
a4
as
aa
O O
O O
O O
ao al
1
O
O
t
O
~
O O
a2
O
t
O
1
O
O
O O O
a3
O
O
!
O
~
O
(t4
O
O
O
~
O
~
as
O
O
O
O
~
O
t
aa
O
O
O
O
O
O
1
p(O)
= (O. O. l. O, O. O, O) puesto que empieza con $2.
,
.' CAP. 7]
(i)
CADENAS DE MARKOV
145
Buscamos p ~5), la probabilidad de que 0:1 sistema esté en estado a o después de 5 pasos. Calculamos la distribución de probabilidad del quinto paso p(5) : p(o)
pez)
p(l) P
pes)
p(2)
Así, (i i)
Pri
i. O, i, O, O, O) (i, O, i, O, -1-, O, O)
P
p(t)
(O,
==
P
(i, -1-, O,
=
p(4}
p(3)
P
(i,
i, O, t, O)
5 ), la probabilidad de que no tenga dinero después de 5 juegos, es
!s' O, -1-, O, n) -h, O, -h, o. t. n)
(i, O,
p(4) P
p(5)
I ¡ 1
i-
p(6) = pes) P = (li4' O, ..&:, O, 1.3. :1, O, ~), p(71 = p(6) P (20 7 O 27 O 13 1) 4 64 ~" 64 ll" 64'64' '128' '128'S La probabilidad de que el juego dure más de 7 juegos, esto es, de que el sistema no esté en el esta do áo o a6
Calculamos p(7): ,
des pues de 7 pasos, es
7
;¡¡
27 13 + 128 + lZ8
_ -
27
64'
7.25, Considérense lanzamientos repetidos de un dado corriente . Sea X n el máximo de los números que resulten en las n primeras pruebas , (i) Hallar la matriz de transición P de la cadena de Markov. ¿La matriz es regular? (ii) Hallar pO), la distribución de probabilidad después del primer lanzamiento. (iii) Hallar pez) y p(3). (i)
El espacio de estados de la cadena de Markov es
P
I 1,2,3,4,5,6: . 1
2
1
t
~
2
O
3
La matriz de transición es
4
5
6
i i i
3
O
4
O
5
O
t i i i i i i O ~ t ! O O ! i O O O fr
6
O
O
O
O
O
i
i 1
°
Obtenemos, por ejemplo, la tercera fila de la matriz como sigue. Supóngase que el sistema está en el estado 3, sea, el máx.imo de los número s que resultan en las /1 primeras pruebas es J. Enton ces el sislema permanece en estado 3 si un 1, 2 ó J sucede en la prueba (/1 + 1); por tanto P33 Por otra parte, el sistema pasa al estado 4,5 ó 6, respectivamente, si un 4, 5 ó 6 sucede en la prueba (n 1); por tanto P34 = P35 = P36 = El sistema nunca puede pasar al estado I ó 2 puesto que salió un 3 en una de las pruebas; de aquí P3; = P32 = O. Así, la tercera fila de la matriz de transición es (O, O, Las otras filas se obtienen similarmente.
+
= !.
i.
i, t. i. t).
La matriz no es regular puesto que el estado 6 es absorbente, o sea, hay un I en la diagonal prin cipa l, lila 6. (ii)
(iii)
En el primer lan zamiento del dado el estado del sistema X
p(1)
= (i, t, t, t. t, i)·
p(2)
=
p(l) P
=
(:fs, fa, f¡¡. ifH, ~,*").
p(3)
=
I
es el número que sale; por tanto,
p(2)
P = (2:6' 2;6' 2\96 ,
;176'
Z6¡16 ,
;116)'
7.26. Dos ninos b I Y b, Y do s niñas g I Y g, están lanzándose una bola el uno al oLro. Cada niño pasa la bola al otro niño con probabilidad t y a cada niña con probabilidad i . Por otra parte, cada niña lanza la bola a cada nino con probabilidad t y nunca a la otra nina . A la larga, ¿con qué frecuencia recibe cada uno la bola? Esto es una cadena de Markov con espacio de estados
g " gl: y matriz de transición.
b2
01
b¡
t
-1-
b2
O
t
bl
P
I b " bl,
01
Oz
(1
t
O
t
O
02
f)
CADENAS DE M ARKOV
146
11 (x. y. z. w) de P: (x. y. z. w) P Buscamos un vector de uP iguales a u para obtener el sistema
tY + t z + tw
tx
+
ix +
tz
ay
+
[CAP, 7
(x. y. z. w), Hacemos las componentes correspon-
== x
tw
y
Z
+ iY
w
1; entonces w = 1, x 2 y Y 2, Así 11 = (2,2.1,1) y, por Así, a la larga, cada niño recibe la bola de las veces y
Buscamos una solución diferente de cero, Sea z Cl, tanto. la probabilidad fija única de P es I cada níña t[de las veces.
t
t, t, i).
7.27. Probar el teorema 7.6: Sea P (p ij) la matriz de transición de la cadena de Markov, P i) es la distribución de probabilidad del sistema un paso más esto es, cada k 1 vez; entonces ppn es la distribución de probabilidad del sistema n pasos más tarde, esto es, en la k + n vez. En particular, pm == p(O)P, p(2) pmp, ... y también p(n) p{(}) pn. Supóngase que el espacio de estados es ¡ a al, , a m 1. La probabilidad de que el sistema esté en estado o 1 en la vez. k y luego en estado o, en la vez k + I es el producto Pj Pw Así, la probabilidad de que el sistema esté en estado o ¡ en la vez k + I es la suma ro
P1Pa
+
PZPZI
Así. la distribución de probabilidad en la vez k
+
+ ... +
P",Pml
=
PjPjl
l
m
==
m
PjP¡2, ..••
Sin embargo. este vector precisamente es el producto del vector P
m
P¡Pjm)
=
(PI) por la matriz P
(pU): p*
pP.
7.28. Probar el teorema 7.5: Sea P la matriz de transición de una cadena de Markov. Entonces la map(n) = pn. triz de transición de paso n es igual a la potencia n-ésima de Supongamos que el sistema está en estado
al
en la k·ésima vez. Buscamos la probabilidad p~n) de que el sistema
+
esté en estado aj en la k n-ésima vr:::z. Ahora la distribución de probabilidad del sistema en la vez k. puesto que el sistema está en estado aj, es el vector ei (O,. ,0, 1, 0, " O) que tiene un I en la i-ésima posición y ceros en cualquier otra partc. Por el problema la distribución de probabilidad en la k n-ésírna vez es el producto Pero es la ¡-ésima fila de la matriz pn, Por tanto, PI") es la componente j-ésima de la f1Ia ¡-ésima de la matriz pro, y así p
PROBLEMAS VARIOS 7.29. Las probabilidades de de una de Markov pueden representarse por un diagrama, llamado diagrama de transición. donde una probabilidad positiva p,¡ es señalada por una flecha del estado a ¡ al estado al' Hallar la matriz de transición de cada uno de los diagramas de transición
1
8
tCS~} aa
0,4
~
1 (í)
(ii)
1
(i)
147
CADENAS DE MARKOV
CAP. 7]
Obsérvese primero que el espacio de estados es la" al, a
y, por tanto, la matriz de transición es de la forma
J :
)
p
La fila i-ésima de la matriz se obtiene hallando aquellas flechas que parten de al en el diagrama; el número anexo a la flecha de al a aJ es la componentej-ésima de la fila i-ésima . Entonces la matriz de transición es
(i i)
El espacio de estados es {al. az. a3. a4}' La matriz de transición es
az
al al a2
P a3 a4
a3
a4
(~ ') 1 1
O
O
O
~
O
1
O
O
~
7.30. Supóngase que la matriz de transición de una cadena de Markov es como sigue: al al
a2
P
a3 a4
(i
az
as
a4
t t
O
~\
i
! !
!
O
!)
¿La cadena de Markov es regular? Nótese que una vez que el sistema pasa al estado al o ¡il estado az, entonces nunca puede pasar al es tado as o al estado a4 , esto es, el sistema permanece en el sub-espacio de estados I al, a21. Así, en particular, p(n) = O, para cada n y, por t a nto , cada potencia pn contiene un elemento cero. Se concluye que P no es regular. 13
7.31. Supóngase que 11/ puntos en un círculo se numeran 1,2, ,In respectivamente en la dirección contraria a la de las agujas del reloj . Una partícula realiza un "paseo al azar" sobre el círculo; se mueve un paso en dirección contraria a la de las agujas del reloj con probabilidad p o un paso en la dirección de las agujas con probabilidad q = I -- p. Hallar la matriz de transición de esta cadena de Markov. El espacio de estados es I 1, 2.. ,m 1. El diagrama de la derecha que se muestra luego puede usarse para obtener la matri z de tran sición del diagrama puesto a la izquierda .
P
m-2
m-l
m
1
2
3
4
1
O
p
O
O
2
q
O
O
O
O
O
P O
O
q
P
O
O
O
3
o
O
O
s
q
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
m-l
O
m
p
O
O
O
q
O
P
O
O
O
O
q
O
m-I
148
7
CADENAS DE MARKOV
Problemas propuestos MULTIPLlCAC!ON DE MATRICES
7.32.
Dado A :=
-2
(~
1
\5
2
-D.
7.33.
Dado A
G :)
7.34.
Dado A
( 23
7.35.
Dado A
G ~).
2), (ji) u
(1,
H,II" ,A,i. (i) ,
(3, O.
~
2), (iii) u
1
-1
1
G
B
y
• Hallar A2
. Hallar AB
BA,
y
AJ.
y
Hallar An.
VECTORES PROBABlU')TICOS y MATRICES ESTOCASTICAS 7.36.
¿Qué vectores son vectores de
7.37.
Hallar un múltiplo escalar de cada vector que sea vedor de probabílídad:
(i) (3, O, 2, 5,3) 7.38.
(ii)
(2, i, O,
i, !' O, 1)
¿Qué matrices son estocásticas?
(i) ( :
~
(U)
;)
G~)
G~)
(iii)
(iv)
(t t)
(v)
MATRICES ESTOCASTICAS REGULARES y VECTORES DE PROBA81L1DAD fIJOS 7.39.
Hallar el vector de probabilidad fijo único de cada matriz:
(U)
7.40.
7.41.
(íii)
(0,2 0.8) 0.5 0.5
(iv)
(i)
Hallar el vector de probabilidad fijo único I de P
(ji)
¿A
Hallar el vector de probabilidad fijo único
(i)
A = (;
i 1
(i)
(0,7 0,3) 0,6 0,4
matriz se aproxima pn? (jii) ¿A qué vector se aproxima
~
7.42.
(! !)
t\
~)
I
de cada matriz:
1 (U) B
0\
(t !) O
i
Hallar el vector de probabilidad lijo único I de
(íi)
¿A qué matriz se aproxima pn?
(ii i)
¿A qué vector se ¿A qué vector se apro)(ima
(1, l. í)pn
{l, O, t, !)P" ') (t, 0, O, t)pn ~
t t P
t
O
O
O
(f t
O
i)
'1
(4,
1,
1) .
CAP, 7]
7.43.
7.44.
CADENAS DE MARKOV
(i)
Dado que
I
(ji)
Dado que
I
(1' o, t,!) sea un punto fijo de una matriz estocástica P, ¿P es regular?
;t, i,!)
sea un punto fijo de una matriz estocástica p, ¿P es regular?
¿Qué matrices estocásticas son regulares'?
(i t (i)
7.45.
149
1° 1 \1 o
(! n
Mostrar que (éj
¡a)
t t
i i
+ ce + de,
+
i) + ae,
(iii)
o 1 (O O ¡t
\0
ad
1
o
+ bd + be)
es un punto fiJO de la matriz
a p
b
c~d
d
f
e
1
CADENAS DE MARKOV
7.46.
Los hábitos de fumar de un hombre son los siguientes: Si fuma cigarrillos con filtro una semana, los suspende a la semana siguiente con probabilidad 0,2, Por otra parte, si fuma cigarrillos sin filtro una semana, hay una probabilidad de 0,7 que continuará fumando de éstos la semana siguiente. A la larga, ¿con qué frecuencia fumará cigarrillos con filtro?
7.47.
La suerte de un Jugador sigue una pauta: Si gana un juego, la probabilidad de ganar el ,iguientc es 0,6_ Sin embargo, si pierde, I a probabilidad de perder el siguiente es 0,7. Además existe igual probabilidad de que el jugador gane el prJ mer juc:go,
7.48.
(i)
¿Cuál es la probabilidad de que gane el segundo Juego')
(ií)
¿Cuál es la probabilidad de que gane el
(iii)
A la larga, ¿con qué fr.:cuencia
(; !)
Para una cadena de Markov, la matriz de transición es P p(O)
=
(i.
Hallar: (i) p~);
(i!)
(iv)
p(2), 1 '
con distribución de probabilidad inicial el vector p(O)pn se aproxima; (vi) la
matriz P" se aproxima,
o 7.49.
Para una cadena de Markov, la mlllriz de transiCIón es P
O
~ (iv)
p(2). 1
7.50.
Un hombre cambia su carro por uno nuevo cada año. Si liene un Bui,k, lo cambia por un Plymoulh, Si liene un Plymouth, lo cambia por un Ford, Sin embargo, si lÍen.:: un ford, es igualmente qm: lo cambie por un Ford como por un Buick o un Plymoulh, En ¡ 955 compró su primer carro que era un (i) Hallar la prqbabilídad de que tenga un, (a) Ford 1957, (b) BlllCk 1957, (e) Plymouth 1958, (d) Ford 1958, (ii) A la larga. ¿con qué frecuencia tiene Ford?
7.51.
Hay 2 bolas blancas en una urna A y 4 rojas en otra urna B. A cada paso del proceso se selecciona una bola de cada urna, y las dos bolas escogidas se intercambian. Sea X n el número de bolas rojas de la urna A después de n intercambios, (í) Hallar la matriz de transición P (ii) es la probabilidad de que haya 2 bolas en la urna A después de J pasos? (iii) A la larga, es la probabilidad de que haya 2 bolas rojas en la urna A')
7.52.
Resolver el problema anterior para el caso de que haya 3 bolas blancas en la urna A y 3 holas rojas en la urna B.
[CAP. 7
CADENAS DE MARKOV
150 7.53.
Se lanza una moneda corriente hasta que salgan 3 caras seguidas . Sea X .. la longitud de la sucesión de caras que terminan en la prueba n-ésima. (Ver ejemplo 7.20.) ¿Cuál es la probabilidad de que haya 8 lanzamientos de la moneda por lo menos?
7.54.
Un jugador tiene 3 dólares . En cada jugada, pierde un dólar con probabilidad pero gana dos dólares con probabilid a d Deja de jugar si pierde sus 3 dólares o si gana por lo menos 3 dólares.
7.55.
i.
i
(i)
Hallar la matriz de transición de la cadena de Markov.
(ii)
¿Cuál es la probabilidad de que haya por lo menos 4 jugadas en el juego?
o
2
El diagrama de la derecha muestra cuatro compartimientos con puertas de oomunicación de linos con otros. Un ratón est{¡ en un compartimiento y tiene la misma probabilidad de a travesar cada IIna de la s puertas del co mpartimien · to . Hallar la matriz de tran sición de la cadena de Markov.
S
+
1
4
PROBLE¡\-1AS VARIOS 7.56.
Hallar la matriz de tran sic ión correspo ndiente a cada diagrama de transición :
lii)
(í) 7.57.
Dibujar el diagrama de transición para cada una de las matri ces de tran sició n: al al al
p
(i)
a2
7.58.
a2
(! i)
al
(ii)
P
a2
aa
aa
(! D ! i
!
Considérese el vector el = (O. . O. l . O. • O) que tiene un I en la pos ici ón i-és ima y cero en las demás partes. Mostrar que elA es la lila i-é sima de la mat riz A (~icmprc que el producto esté definido j.
Respuestas de los problemas propuestos 7.32.
(i) (--'-1, -1, 12), (ii) (-7, -10, 3), (iii) (-5, -11, 10)
7.33.
AB
7.34.
A2
7.35.
An
7.36.
a2
c~ -4)
-10 •
(l~
~).
=G 2;)
Solamen le (iii)
A3
BA
=( 5-1 13) -3 -9 9 -5 -3 -6
(2627 -118)
CAP.7J
7.37.
CADENAS DE MARKOV
151
(3/13, O, 2/13, 5/13, 3/13) (8/18, 2/18, O, 1/18, 3/18, O, 4/18) (iii) (4/45, 24/45, 6/45, O, 3/45, 8/45)
(i)
(ii)
7.38.
Solamente (ii)
7.39.
(i) (6/11, 5/11),
7.40.
(i)
7.41.
(i) t = (2/ 9, 6/9, 1/9),
7.42.
(i)
(iv)
y
(ii) (10/19, 9/19), (iii) (5/13, 8/13), (iv) (i,
t:;:: (4/13,8/13,1/13),
=
t
(iii) t
= (4/13, 8/13, 1/13)
= (5/15, 6/15, 4/15)
(ii) t
(2/11, 4/11, 1/11,4/11), (iii) t, (iv) t
=
(~ ~) O 1 O O
7.43.
(i) No, (ii) no necesariamente, v gr.
7.44.
Sola mente (iii)
7.46.
60% de las veces
7.47.
(i) 9/20, (ii) 87/200, (iii) 3/7 de las veces
7.48.
(i) 9/16, (ii) 3/8, (iii) (37/64,27/64),
7.49.
(i) 3/8,
7.50.
(i) (a) 4/9, (b) 1/9, (e) 7/27, (d) 16/27.
7.51.
(i) P
~ (f
(i) P
(~
7.52.
7.53.
=
7.55.
7.57
P
O O 1 O
(iv) 37/64, (v) (0,6 , 0,4) (vi) (0,6 0,6 (ii) 1/2, (iii) (7/16,2/16,7/16), (iv) 7/16
1
t t
!)
1
O
!
19
! t O
1
(ii) 3/8
(ii) 500/0 de las veces
(jii) 2/5
(ii) 32/81
;)
0.4)
0,4
(iii) 9/20
81/128
1
7.54.
t)
(i) P
=
!
O O O O O O O O i O O O
O
!
O O O O
O ! O O i O O O ! O O i O O O ! O i O O O O O 1
O O
i
O O
7.56.
(ii) 27/64
t O) t t i i (ii)
O O1 O)
i t (ii)
t
(t
O
O O
i
t
too
INDICE Algtbra de conjuntos, 5 An á lisis combinatorio, 16 Aplicación, 74 C(I/, r), 21 Caden" (M arkov), 130 Cadena de r..,larkov, 130 Células, 5 Clases de co njuntos, 5 Cocficientts del binomio, 19 Coeficientes multinomiales, 20 Columna de una matriz, 126 Combinaciones, 21 Complemento de un conjunto, 2 Complemento relativo, 2 Componente de un vector, 126 Conjunto, 1 Conjunto nulo, I Conjllnto potencia, 5 Conjunto producto, 4 Conjunto universal, I Conjunto vacío, I Conjuntos contables, 4 Conjuntos dt índicts, 5 Conjuntos disyuntos, 2 Conjuntos finitos, 4 Conjuntos infinitos, 4 Conjuntos no contables, 4 Conteo, 16 Correlación, 80 Covarianza, 80
Desfavo rable, 105 o.:sig ualdad de Tchebycheff, 86 Desviación estándar , 78, 83, 85 Diagonal, 134 Diagonal principal, 134 Diagrama de árbol, 9, 23, 55 Diagrama de transición, 146 Diagrama de Venn , 3 Dift:n:ncia de conjuntos, 2 Distribución (de variable aleatoria), 75, 83 Distribución binomial, 105 Distribución conjunta, 79 Distribución de Bcrnoulli, 106 Distribución de Gauss, 106 Dist ribución de Poisson, 108 Distribu ción de probabilidad inicial , 132 Distribución estacionaria, 133 Distribución marginal, 80 Distribución multinomial, 109 Distribución normal, 106 Distribución normal estándar, 107 Elemento, I
Enteros, 2 Entcros positivos, 2 Espacio de estados , 130 Espacio de probabilidad discreto, 43 Espacio de probabilidad finito, 41 Espacio de probabilidad producto, 50 Espacio equiprobable, 42 Espacio equiprobable finito, 42 Espacio muestra!, 38 Espacio uniforme, 42, 43 Espacios muestrales infinitos, 43 Esperanza, 75, 83, 84 Estado absorbente, 134 Evento, 38 Evento cierto, 38 Evento imposible, 38 Eventos aleatorios, 42 Eventos dependientes, 57 Eventos elementales, 38 Eventos independientes, 57 Eventos mutuamente cxclusivos, 39 Exito (distribución binomial), 105 Fam il ia de conju ntos, 5 Favorable, 105 Fila de una matriz, 126 Fracaso (distribución binomial), 105 Frecuencia relat iva, 38 Función, 74 Función de densidad, 84 Función de distribución acumulativa, 85 Función de probabilidad, 40, 75 Función de probabilidad condicional, 63 Función de probabilidad conjunta, 79 Función de variables alcatorias, 82 Imagen, 74 Imagen inversa, 74 Independencia, 57 Indice, I Infinito contable, 4 Intersección de conjuntos, 25 Intervalo, 2 Ley de los grandes números, 86 Leyes de De Morgan, 3 Matriz, 126 M atriz cuadrada, 126 Matriz de transición, 130 M atriz estocástica, 127 M atriz estocástica regular, 128 Media, 75 Miembro, I M uestras ordenadas, 18
153
Multiplicación escalar, 126 N (enteros positivos), 2 N(¡< , (T2),107
Notación factorial, 16 N ú meros reales, 2 Particiones, 5, 22, 56 Particiones ordenadas, 22 P(Il, r), 17 P(/.;; >.), 108
Permutaciones, 16 Permutaciones con repeti ciones, 17 Probabilidad, 38, 4ü Prubabilidad condicional, 54 Problema del cumpleaños, 43 Proceso estocástico , 55 Proceso estocástico finito, 55 Producto de probabilidad, 50 Promedio muestral, 87 Promedio ponderado, 75 Pruebas con sustitución, I g Prufbas independienltS, 58, 6!! Pruebas repetidas, 5!! Punto muestral, 38 R (números rcales), 2 Recorrido, 74 Su bconjunto , I Sucesos, 38, 57 Técnicas de contar, 16 Teorema central del límite, 108 Teorema de Bayes, 56 Teorema de la multiplicación, 55 Teorema dd binomio, 19, 27 Triángulo de Pascal , 20 Unidades estándar, 107 U nión de conjuntos, 2 Valor esperado, 75 Variable aleatoria continua, 84 Variable aleatoria discre ta, 83 Variable aleatoria estandarizada, 79 Variable aleatoria independiente, 81, 85 Variables aleatorias, 74 Varianza, 78, 83, 84 Vector, 126 Vector de probabilidad , 127 Vector fijo, 127, 129 Ventajas, 42 Z (enteros), 2
