FUENTE: MANUAL DE ESTADISTICA APLICADA AUTORA: SILVANA CARDENAS QUINTANA LECCIÓN 1 EXPERIMENTO ALEATORIO
1. HISTORIA E IMPORTANCIA DE LA TEORÍA DE PROBABILIDAD
Los jugadores han utilizado la probabilidad para efectuar apuestas durante la mayor parte de la historia. Pero no fue sino hasta el siglo XVII, donde debido a la curiosidad e investigación
de estudiosos de la probabilidad, probabilidad, se introdujeron introdujeron
muchos de los conceptos que se estudiarán en las siguientes lecciones. Después de esos comienzos, otros estudiosos de la probabilidad-Jacob Bernoulli (1654-1705), Abraham de Moivre (1667-1754), Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph Lagrange (1736-1813)-desarrollaron fórmulas y técnicas sofisticadas. En el siglo XIX, Pierre Simon, Marqués de Laplace (1749-1827) unificó todas esas ideas primarias y compiló la primera teoría general de la probabilidad. La teoría de la probabilidad fue aplicada con éxito en las mesas de juego y eventualmente a los negocios (lo más relevante para este estudio). La industria aseguradora, que apareció en el siglo XIX, requirió un conocimiento preciso del riesgo de pérdida para calcular las primas de seguro. Hoy, la teoría matemática de probabilidad es la base para aplicaciones estadísticas tanto en investigaciones de tipo social como de administración. Centros de aprendizaje estudian probabilidades como una herramienta para comprender los fenómenos sociales.
La probabilidad es una parte de nuestro diario vivir. En decisiones de tipo personal o gerencial, se encuentra la incertidumbre y se utiliza la teoría de probabilidades ya sea que se admita o no el uso de algo tan sofisticado. Todos los días tomamos decisiones cuyos resultados están en el reino de lo desconocido, pero no las tomamos a ciegas, imaginar las probabilidades de varios resultados posibles nos ayuda a decidirnos por la opción correcta. Incluso sin saberlo confiamos en una clase especial de cálculo, “el cálculo de de la probabilidad de sucesos específicos”, como a la teo ría de la p ro bab ilid ad se le
ha llamado. Considere cómo cancelamos el planeado día de campo o cambiamos hacia el interior de la casa la celebración de fin de cursos cuando la probabilidad de lluvia es muy alta, cómo introducimos un nuevo producto cuando el éxito parece más probable que el fracaso. Siempre que cambiamos, estamos ponderando probabilidades. ¿Qué tan probable es, nos preguntamos, que el alza de precios reduzca las ventas, que el nuevo proceso eleve la productividad, que la fusión de empresas aumente las utilidades, que una inspección localice partes defectuosas o que la reducción de impuestos ponga fin a la recesión? y la lista continúa.
2. EL EXPERIMENTO ALEATORIO Aun cuando pocas veces hayas escuchado el término, ya estamos familiarizados con los experimentos aleatorios que ocurren en la vida cotidiana.
Definición 2.1 Cualquier actividad que resulte en uno, y solo uno, de varios resultados bien definidos, pero que no permite anticipar cuál prevalecerá en cualquier caso particular se denomina experimento aleatorio. Ejemplos:
Se lanza un dado y se observa el número que aparece en la cara superior.
Se lanza una moneda cuatro veces y se cuenta el número total de caras obtenidas.
Se lanza una moneda tres veces y se observa la sucesión de caras y sellos obtenidos.
Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en un período de 24 horas.
Los siguientes aspectos son importantes para nuestra descripción de un experimento aleatorio. a) Es posible repetir cada experimento indefinidamente sin cambiar esencialmente las condiciones. b) Aunque en general no podemos indicar cuál será un resultado particular, podemos describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. c) A medida que el experimento se repite, los resultados individuales parecen ocurrir en forma caprichosa. Sin embargo, como el experimento se repite un gran número de veces, aparece un modelo definido de regularidad. Esta regularidad hace posible la construcción de un modelo matemático preciso con el cual analizamos el experimento. Por ejemplo, en lanzamientos repetidos de una moneda regular, aunque las caras y sellos aparecerán, sucesivamente, de una manera casi arbitraria, es bien conocido el hecho empírico de que, después de un gran número de lanzamientos, la proporción de caras y sellos será aproximadamente igual.
2.1 El espacio muestral Definición 2.2 Con cada experimento aleatorio, definimos el espacio muestral como el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Usualmente designamos este conjunto como Ω ( En el contexto de Teoría de Conjuntos, Ω representa el conjunto universal).
Ejemplos:
Consideraremos cada una de los experimentos aleatorios anteriores y describamos el espacio muestral de cada uno.
Ω = { 1,2,3,4,5,6 }
Ω = { 0,1,2,3,4 }
Ω = { ccc, ccs, csc,scc,css,scs, ssc, sss }, donde c : cara y s : sello.
Ω = { 0,1, 2,…….., N }, en donde N es el número máximo que pudo ser
producido en 24 horas.
2.2 Sucesos o eventos Definición 2.3 Un suceso o evento A (respecto a un espacio muestral particular Ω asociado con un experimento) es simplemente un conjunto de resultados posibles. En la terminología de conjuntos, un suceso es un subconjunto del espacio muestral Ω.
Se puede afirmar que Ω mismo es un suceso y también lo es el conjunto Ø. Cualquier resultado individual puede también ser considerado como un suceso. Ejemplos:
Los siguientes son ejemplos de sucesos. Otra vez nos referimos a los experimentos anotados anteriormente.
A: Un número par ocurre; esto es, A = { 2, 4, 6} .
A: Ocurren dos caras, es decir B = { 2 }.
A: Salen más caras que sellos, o sea C = {ccc, ccs, csc, scc }.
A: Todos los artículos fueron no defectuosos, entonces A = {0 }.
2.3 Operaciones con sucesos Unión de sucesos. Si A y B son sucesos, A U B es el suceso que ocurre si y sólo si A ó B ( o ambos) ocurren. Es decir: A U B = { w ε Ω / w ε A ó w ε B }
Ejemplo: Del experimento de lanzar un dado y observar el número que aparece en
la cara superior. Sean los eventos o sucesos: A : Ocurre un número impar. B : Ocurre un número mayor o igual a 4. Liste los elementos del suceso A U B. Solución: Ω = { 1, 2, 3,4, 5, 6 }
A = { 1, 3, 5 } B = { 4, 5, 6 } A U B = { 1, 3, 4, 5, 6 }
Intersección de sucesos. Si A y B son sucesos, A ∩ B es el suceso que ocurre si y sólo si A y B ocurren. Es decir: A ∩ B = { w ε Ω / w ε A y w ε B } Ejemplo: Para el experimento del ejemplo anterior
A ∩ B = { 5 }
Complemento de un suceso. Sea A un suceso, A c es el suceso que ocurre si y solo si A no ocurre.
Es decir : Ac = { w ε Ω / w A } Ejemplo : Para el experimento del ejemplo anterior
A = { 1, 3, 5 } Ac = { 2, 4, 6 }
Definición 2.4 Se dice que dos sucesos, A y B, son mutuamente excluyentes , si no pueden ocurrir juntos. Expresamos esto escribiendo A ∩ B = Ø; es decir la intersección de A y B es el conjunto vacío.
Ejemplo:
Un experimento aleatorio consiste en seleccionar un alumno de la Universidad Inca Garcilaso de la Vega y observar su edad. Sea el suceso A : el alumno seleccionado al azar tiene más de 24 años y B : el alumno seleccionado tiene menos de 20 años. Por lo tanto, el suceso A ∩ B = Ø, y consecuentemente los sucesos A y B son mutuamente excluyentes.
EJERCICIOS RESUELTOS 1. ¿Cuál es el espacio muestral Ω para los siguientes experimentos aleatorios? a) Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos en las caras superiores b) Se lanzan cuatro monedas al aire y se contabiliza el número de caras obtenidas. c) Se lanza un dado dos veces y al número de puntos del primer lanzamiento se resta el número de puntos del segundo. d) Se lanzan tres monedas al aire y se resta el número de caras menos el número de sellos obtenidos. Solución a) Ω = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } b) Ω = { 0,1, 2, 3, 4 } c) Ω = { -1, -2, -3, -4, -5, 0, 1, 2, 3, 4, 5 } d) Ω = { 1, 3, -1, -3 }
2. Una puerta de un automóvil se ensambla con un gran número de puntos de soldadura. Después del ensamblado, se inspecciona cada punto y se cuenta el número total de defectos. Solución Ω = { 0, 1, 2, 3,4, 5, 6 , 7, 8,………….K }, donde K=Número total de puntos
soldados en la puerta.
3. Tres señoritas María, Valeria y Rosa, compiten en un concurso de belleza. Los premios solamente son otorgados a las que ocupan el primero y segundo lugar. a) Liste los elementos del espacio muestral. b) Describa los eventos: A: María gana el concurso de belleza. B: María gana el segundo lugar. C: Valeria y Rosa ganan los premios.
Solución a) Ω = { MV, MR, VM, VR, RV, RM } b) A = { MV, MR } B = { VM, RM } C = { VR, RV } 4. Se prueban 4 artículos en un proceso de control de calidad. Se denota defectuoso (D), no defectuoso (B). El gerente de control de calidad está interesado en los siguientes eventos: P: todos son defectuosos Q: exactamente un defectuoso R: por lo menos dos defectuosos Liste los elementos de los eventos a) PUQ b) Q∩R Solución
Usando el Diagrama de Árbol
D
D
B
D
D
B
B
D D D
B
B
D
B
B
D
D
B
D
D
B
B
B D
D
B
B D B B
Ω = { DDDD, DDDB, DDBD, DDBB, DBDD, DBDB, DBBD, DBBB, BDDD, BDDB, BDBD, BDBB,
BBDD, BBDB, BBBD, BBBB } P = { DDDD } Q = { DBBB, BDBB, BBDB, BBBD } R = { DDBB, DBDB, DBBD, BDDB, BDBD, BBDD, DDDB, DDBD, DBDD, BDDD, DDDD } a) PUQ = { DBBB,BDBB,BBDB,BBBD, DDDD } b) Q∩R = Ø
LECCIÓN 2 PROBABILIDAD DE UN SUCESO
1. DEFINICIÓN.
Sea un experimento aleatorio. Sea Ω un espacio muestral
asociado con él. Con cada suceso o evento A asociamos un número real, designado por P(A) y llamado la probabilidad de que A satisfaga las siguientes propiedades:
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 2. P(Ω ) = 1 3. Si A y B son sucesos que se excluyen mutuamente,
P(A U B) = P(A) + P(B) Nota: P(A)=0
Sin oportunidad
P(A)=0.5 Tan probable como improbable P(A)=1
Certeza
Teoremas: 1. Si Ø es el suceso vacío, entonces P(Ø ) = 0. 2. Si A c es el suceso complementario de A, entonces
P(A) = 1- P(A c) 3. Si A y B son dos sucesos cualesquiera, entonces
P(AU B ) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
2. EL ESPACIO MUESTRAL FINITO En esta unidad nos ocuparemos solo de los experimentos para los cuales el espacio muestral Ω consta de un número finito de elementos.
Es decir Ω = { w1, w2, …….wn }
Resultados igualmente probables La suposición que más comúnmente se hace para espacios muestrales finitos es que todos los resultados son igualmente probables. De lo anterior, se deduce que para cualquier suceso A ,
P A
número de maneras en que el exp erimento puede ocurrir favorable a A número total de maneras en que el exp erimento puede ocurrir
ó
P A
número de elementos del suceso A número de elementos de
Ejemplo. Se lanza un dado. Sea el suceso A: se obtiene un número par. Calcular
la probabilidad de que ocurra el suceso A. Solución Ω = { 1,2,3,4,5,6 }
A = { 2,4,6 } P A
número de elementos del suceso A 3 número de elementos de
6
0.5
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Una persona lanza un par de dados, ¿Cuál es la probabilidad de sacar un total de cuatro puntos en los dos dados?. Solución: Ω = { (xy), donde x =resultado del primer dado, y = resultado del segundo dado} Ω=
{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3, 4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) } A= { (1,3), (2,2), (3,1) }
P A
número de elementos del suceso A
número de elementos de
1 12
2. Se lanzan tres monedas al aire ¿Cuál es la probabilidad de que caiga tres caras. Solución: El espacio muestral es: Ω = { ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss }, do nde c : cara y s : sello. Entonces n ( Ω ) = 8
El suceso A = que caiga tres caras; A = { ccc }. Entonces n ( A ) = 1,
P A
número de elementos del suceso A número de elementos de
1 8
3. Se selecciona un número natural al azar del uno al 30, inclusive. Obtener la probabilidad de que el número sea múltiplo de seis. Solución: El espacio muestral es: Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….., 30 }, donde n ( Ω ) = 30
Sea el suceso A: número múltiplo de seis, entonces A = { 6, 12, 18, 24, 30}, entonces n (A ) = 5, por lo tanto: P A
número de elementos del suceso A número de elementos de
5
30
1 6
4. Se lanza una moneda y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que resulte: a) Sello en la moneda y un número par en el dado?. b) Cara en la moneda y un número impar en el dado?. c) El número en el dado es múltiplo de 3?. Solución Ω = { c1,c2,c3,c4,c5,c6,s1,s2,s3,s4,s5,s6}
a) A= { s2, s4, s6} P A
número de elementos del suceso A número de elementos de
3 12
1 4
b) B= { c1, c3, c5}
P B
número de elementos del suceso B número de elementos de
c) C= { c3, c6, s3, s6}
3 12
1 4
P C
número de elementos del suceso C número de elementos de
4
1
12 3
5. Un lote contiene 8 artículos buenos, 3 con pequeños defectos y 2 con defectos graves. Se elige un artículo al azar. Encontrar la probabilidad de que: a) No tenga defectos. b) Tenga un defecto grave.
Solución
a) P A
número de elementos del suceso A
b) P B
número de elementos del suceso B
número de elementos de
número de elementos de
8 13
2 13
