MONOGRAFÍA DE LA TEOERÍA DE COLAS
AUTORES: María Isabel Martínez Rendón Jean Carlos Herrera Meza
Ingeniería de Sistemas Curso Teoría de Probabilidad y Colas
Introducción
El presente trabajo está diseñado de forma práctica y sencilla para conocer lo relacionado a la ‘Teoría de Colas’, se busca recorrer los conceptos y características que permitan una familiarización sencilla con esta teoría; ¿cuál es su uso?, ¿cuál es su importancia?, ¿cuál es el papel que toma en la sociedad?, etc. De la misma manera esta monografía busca responder a estas preguntas utilizando métodos matemáticos. La teoría de colas busca explicar aspectos que a diario se nos presentan, como por ejemplo: El flujo de una cola en el banco, para una cita médica, pagar el peaje, comprar en un supermercado, etc. El objetivo de esta teoría es encontrar el equilibrio entre los ‘costos de servicios’ y ‘costos de espera’, para que pueda existir un flujo rápido de las colas sin la necesidad de invertir una mayor cantidad de dinero para las empresas.
Procesos de Poisson Un proceso de Poisson, también conocido como ley de los sucesos raros, es un proceso que consiste en "contar" eventos raros (de ahí el nombre "sucesos raros") que ocurren a lo largo del tiempo. El tiempo entre cada par de eventos consecutivos tiene una distribución exponencial con el parámetro λ, y cada uno de estos tiempos entre llegadas se supone que es independiente de otros tiempos entre llegadas. Un proceso Poisson con intensidad (o tasa) tiempo continuo , donde es aleatorias con las siguientes propiedades:
1. 2. Si
es un proceso de contar en una colección de variables
. , entonces
3. Para todo aleatorias 4. Para toda
.
y
, las variables son independientes.
y
y
tienen la misma distribución.
5. La probabilidad que ocurra exactamente un evento en un intervalo dado de longitud h es igual a: 6.
.
Donde o(h) es una función
Por ejemplo,
f ( h )=h2
f ( h ) tal que:
es o(h), pero
f ( h )=h
no lo es.
Definición Sean
T1 , T2 , …
variables aleatorias independientes igualmente distribuidas
(V.A.I.I.D) con distribución exponencial de parámetro λ. Sea: T 0 =0 T n=T 1 +T 2 +…+ T n
para n ≥ 1. Definimos el proceso de Poisson de parámetro
(intensidad) λ por: N t =máx { n :T n ≤ t } , t ≥ 0 Es el número de eventos que se han producido desde el instante cero hasta el instante . Tn
Representa los intervalos de tiempo entre eventos sucesivos (llegadas de
clientes a una cola, de llamadas a una central telefónica, de pacientes a la emergencia de un hospital, etc.); estos tiempos son independientes unos de otros. T n=T 1 +T 2 +…+ T n es el instante en el ocurre el n-ésimo evento. El proceso de Poisson es un ejemplo de un proceso de conteo, en cada tiempo t Nt la variable cuenta el número de eventos que han ocurrido hasta el tiempo t.
Propiedades A partir de la definición, es posible demostrar que:
Las variables aleatorias
tienen distribución Poisson con parámetro
.
Si denota el tiempo transcurrido desde el (k-1)-ésimo evento hasta el késimo, entonces es una variable aleatoria con distribución exponencial y parámetro .
Si denota el tiempo transcurrido desde el inicio del conteo hasta el nésimo evento, entonces Gamma(n,λ).
Observaciones. -
El espacio parametral es T= [0,∞) El espacio de estados es S= {0,1,2,3,…} (conjunto de posibles valores que puede tomar la variable aleatoria) T 1 +T 2 +…+ T n
-
=
( N t ≥ n ) =( Sn ≤ t)
-
¿Por qué a este proceso se le llama proceso de Poisson? Sea
un proceso de Poisson de parámetro λ, entonces Nt Poisson(λt) t>0
Demostracion: n ≥1
Para Sn
=
T1 + · · · + Tn
gamma (n, λ) entonces para t>0, se puede
escribir como: n−1
P ( S n ≤ t )=1−e−λt ∑ k =0
Por lo tanto,
( λt )k k!
P ( N t=n )=P ( N t ≥ n ) −P( N t ≥ n+1) S n+1 ¿ P ( S n ≤ t )−P ( ¿≤ t )
¿ e−λ t
( λt )n n!
n−1
¿ 1−e− λt ∑ k=0
n ( λt )k ( λt )k −1+ e−λt ∑ k! k=0 k !
Es decir, Nt
Poisson(λt) .
E[Nt]= λt Cuando t=1 E[N1]= λ El parámetro λ es el número promedio de eventos que ocurren en un proceso de Poisson por unidad de tiempo.
Ejemplos: Un cable submarino tiene defectos de acuerdo a un proceso de Poisson de parámetro λ = 0.1 por km. - ¿Cuál es la probabilidad de que no haya defectos en los primeros dos kilómetros de cable? R/= N2 tiene distribución de Poisson de parámetro (0.1)(2) = 0.2. Por lo tanto P(N2 = 0) = e −0.2 = 0.8187. -Si no hay defectos en los primeros dos kilómetros, ¿cuál es la probabilidad de que tampoco los haya en el tercer kilómetro? R/= N3 -N2 y N2 – N0 =N2 son independientes. De modo que P(N3 -N2 = 0| N2 = 0) = P(N3 -N2= 0) = e −0.1 = 0.9048
Los clientes llegan a una tienda de acuerdo con un proceso de Poisson de tasa λ = 4 por hora. Si la tienda abre a las 9 a.m. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente un cliente haya entrado antes de las 9:30 a.m. y que un total de cinco hayan entrado antes de las 11:30 a.m.?
R/: Medimos el tiempo t en horas a partir de las 9 a.m. Queremos hallar: P(N1/2) = 1, N5/2= 5), y para esto usaremos la independencia de los incrementos: 1
P N 1 =1, N 5 =5 =P N 1 =1, N 5 −N 1 =4
(
2
2
) (
2
2
2
−2
¿(2 e )(
)
1 −4 ( ) 2
¿( e
1 4( ) 4 2 −4 (2) ( 4 (2) ) )(e ) 1! 4!
( )
512 −8 e ) 3
=0.0155
Procesos de Poisson homogéneos Cuenta eventos que se producen a una velocidad constante. Este proceso se caracteriza por un parámetro de tasa de λ, también conocido como intensidad, tal que el número de eventos en intervalo de tiempo ( t , t + s ] sigue una distribución de Poisson con parámetro asociado λs . Esta relación se da como: −λ s
P [ N ( t + s )−N ( t )=k ]=e
( λs )k k =0,1, ….. , k!
donde N ( t + s ) - N ( t ) = k es el número de eventos en intervalo de tiempo ( t , t + s ]. Así como una variable aleatoria de Poisson se caracteriza por su parámetro escalar λ, un proceso de Poisson homogéneo se caracteriza por su tasa de parámetro λ, que es el número esperado de "eventos" o "llegadas" que se producen por unidad de tiempo.
Una colección de variables aleatorias
(definidas en un espacio de
probabilidad ) es un proceso de Poisson homogéneo con intensidad λ>0, si satisface las siguientes propiedades:
N0 P ¿ =0)=1, lo que indica que
1.
2. Para todo 0< s
N0
siempre es 0.
( N t −N s ) Poisson (λ( t−s))
0 ≤t 1 <…
(es decir, para todo conjunto finito de
tiempos), las variables aleatorias
N t −N t n
n−1
,… ,
N t −N t 2
1
,
Nt
1
son independientes 4. Incrementos estacionarios: la distribución solo depende de la longitud del intervalo (t-s), esto garantiza que el proceso es no decreciente.
t≥0
Para todo
la variable aleatoria
tiene distribución de Poisson de
parámetro λt.
Por la propiedad 2 se tiene que
1 se tiene que
N0
N (¿ ¿ t −N 0 ) Poisson( λ(t−0)) , y por la propiedad ¿
=0, lo que nos dice que
0< s
N (¿¿ t) Poisson( λt ) , ahora, para todo ¿ N (¿ ¿ t−N s ) Poisson( λ (t−s )) ¿
y por lo
N (t−s) Poisson(λ( t−s)) ; se puede llegar a que la distribución del
incremento
N t −N s
y la variable aleatoria
N ¿ t−N (¿ s ≥ 0 )=1 dice que , pues P¿
N (t−s)
es la misma. Además esto
N N P(¿ ¿ t−N s =k )=1 ∞
(¿ ¿ t−N s ≥ 0 )=∑ ¿ k=0
P¿ De esto se concluye que la distribución solo depende de la longitud del intervalo (t-s)
Tiempo entre llegadas Es la estimación en la cual pueden ser recibidos una cantidad de clientes, para el tiempo entre llegadas existen dos clases básicas: -
Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo (conocido como ciclos de tiempo).
-
Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen mediante una distribución de probabilidad.
En el caso probabilístico, la determinación de la distribución real, a menudo, resulta difícil. Sin embargo, una distribución, la distribución exponencial, ha probado ser confiable en muchos de los problemas prácticos. La función de densidad y la función de distribución, para una distribución exponencial depende de un parámetro, digamos (letra griega lambda), y está dada por:
Dónde: : Representa el número promedio de llegadas.
e: Euler E[X]: La esperanza V(X): La varianza
Suma y resta de procesos Poisson
Sean N1(t), N2(t) ,…, Nk(t) procesos de Poisson independientes con parámetros λ , λ ,…, λ respectivamente. Entonces, el proceso: 1
2
k
N(t) = N1(t) + N2(t) +…+ Nk(t) es un proceso de Poisson con parámetro λ + λ +…+ λ 1
2
k
Ejemplo: sean X y Y variables aleatorias independientes con distribución , X∼Poisson(λ1t) , Y∼Poisson(λ2t)
Entonces su suma Z=X+Y es distribuida como: Z∼Poisson((λ1+λ2)t)
Consideremos dos procesos de Poisson, uno con parámetro λ, que representa las llegadas a la meta del equipo rojo, y otro, independiente del anterior y con parámetro µ, que representa las llegadas del equipo verde. ¿Cuál es la probabilidad de que haya 6 llegadas rojas antes que 4 verdes? R/= Observamos que el evento en cuestión equivale a tener al menos 6 rojos en los primeros 9. Si esto ocurre, tenemos a lo sumo tres verdes antes de la llegada
del sexto rojo. Por otro lado, si hay 5 o menos rojos en los primeros 9, entonces tendremos al menos 4 verdes y a lo sumo 5 rojos. Podemos ahora ver el problema en el marco de un proceso de Poisson general que incluye rojos y verdes, y tiene parámetro (λ + µ). Para cada llegada escogemos al azar el color lanzando una moneda con probabilidad p = λ/(λ + µ) para rojo. La probabilidad que nos interesa es: 9
∑ (9k ) p k (1− p)9−k k=6
En el caso particular en el cual ambos procesos iniciales tienen la misma intensidad λ = µ, p = 1/2 y la expresión anterior es: 9
1 9 = 140 =0.273 ∑ 512 k=6 k 512
()
Se tienen 3 gallinas. Una de ellas pone en promedio 2 huevos por día. Otra pone en promedio 3 huevos por día. La restante pone en promedio 4 huevos por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día se produzcan exactamente 10 huevos? R/= Vamos a asumir que las gallinas ponen huevos independientemente, es decir, que la cantidad de huevos que pone una gallina no influencia la cantidad de huevos que ponen las otras. Se tiene: X1∼Poisson(µ1=2(t=1)) X2∼Poisson(µ2=3(t=1)) X3∼Poisson(µ3=4(t=1)) Y=
X1+ X 2+ X 3
Con lo cual Y∼Poisson(µy) donde µy= µ1+ µ2+ µ3=9 t=1 µy(t)= 9 P ( k=10 )=e−9
( 9 )10 =0,11858 10 !
Variaciones del proceso de Poisson
Procesos de Poisson compuestos.
Un proceso estocástico se dice ser un proceso de Poisson compuesto si puede representarse como
donde {N(t), t ≥ 0} es un proceso de Poisson, y las variables {Y i, i ≥ 1} son independientes igualmente distribuidas e independientes de N. Observación 1: Si Yi=1 para todo i entonces X t = Nt es decir, obtenemos el proceso ordinario de Poisson. Observación 2: En la teoría del riesgo el proceso de Poisson compuesto tiene la siguiente interpretación: La v.a. N t representa el número de reclamaciones que se hacen a una compañía en el intervalo de tiempo (0; t], Y i representa la cantidad del i-ésimo reclamo y Xt representa la cantidad total reclamada en el intervalo de tiempo (0, t]. Observación 3: Sea X(t) un proceso de Poisson compuesto. Si {N(t), t ≥ 0} tiene intensidad λ y las variables Y tienen esperanza finita, entonces E[X(t)] = λtE[Y1] Más aún, si las variables Y tienen varianza finita, entonces,
V(X(t)) = λtE[Y12] Por ejemplo, el proceso puede representar los carros que llegan a un centro comercial y las variables asociadas, el número de pasajeros que hay en cada uno de ellos; o el proceso puede representar los mensajes que llegan a un computador central para ser transmitidos vía internet y las variables Y i pueden representar el tamaño de los mensajes. Es natural considerar la suma de las variables Y i como una variable de interés: S ( t )=Y 1+ …+Y N (t )
donde ponemos S(t) = 0 si N(t) = 0. Ya hemos visto que para suma aleatorias, la media es el producto de las medias de N e Y, mientras que la varianza está dada por: 2
Var ( S ( t ) )=E [ N ( t ) ] Var ( Y i ) +Var (N ( t ) )( E [ Y i ] )
En este caso, N(t) ∼ Poisson(λt) y por lo tanto, E[N(t)] = Var(N(t)) = λt, de modo que la fórmula anterior es: 2
Var ( S ( t ) )= λt ( Var ( Y i ) + ( E [Y i ]) ) =λtE [Y i2 ]
Ejemplo:
El número de clientes de una tienda durante el día tiene distribución de Poisson de media 30 y cada cliente gasta un promedio de $150 con desviación típica de $50.
Por los cálculos anteriores sabemos que el ingreso medio por día es 30* $150 = $4.500. La varianza del ingreso total es: 30*[($50)2 + ($150)2] = 750.000
Sacando la raíz cuadrada obtenemos una desviación típica de $ 866,02.
Suponga que las familias llegan a un área de acuerdo con un proceso de Poisson con una intensidad 2 por semana. Si el número de personas de cada familia es independiente y toma los valores de 1, 2, 3 y 4 con probabilidades respectivas de 1/6, 1/3, 1/3 y 1/6, ¿Cuál es el número esperado de personas que llegan al área durante un período fijo de 5 semanas?
R/= Sea Yi el número de personas en la familia i, se tiene que: E [ Y i ]=1
( 16 )+2( 13 )+ 3( 13 )+4 ( 16 )= 52
E [ Y i2 ]=12
( 16 )+2 ( 13 )+3 ( 13 )+4 ( 16 )= 436 2
2
2
Por lo tanto, si X(5) denota el número de personas que han llegado al área durante un período de 5 semanas, se tiene que:
E [ X ( 5 ) ]=( 2∗5 ) ( E [ Y i ]) =10 E [ Y i ]=
2
V [ X (5 ) ] =( 2∗5 ) ( E [Y i ] )=
10∗5 =25 2
10∗43 215 = 6 3
Procesos de Poisson no homogéneos. A menudo son más realistas los modelos basados en procesos de Poisson no homogéneos, en los que la tasa de llegadas es una función del parámetro de tiempo, λ(t). Formalmente esto significa que un proceso de Poisson no homogéneo es un proceso de contar que satisface: 1. 2. Los incrementos en intervalos ajenos son independientes. 3. 4. t
5.
N ( t )−N (h) Poisson (∫ ( r ) dr) h
0 ≤ h
, para todo
Los tres métodos más conocidos de generación de un proceso de Poisson no homogéneo de este tipo se basan en la modificación de la escala de tiempo, en el condicionamiento y en una adaptación del método de rechazo. Para procesos homogéneos hay una densidad media . Eso significa que la media de los sucesos en un intervalo de tiempo
es
.
El tiempo entre dos sucesos de un proceso de Poisson con intensidad media una variable aleatoria de distribución exponencial con parámetro .
es
Ejemplo: El centro que recibe llamadas de emergencia de una ciudad recibe en promedio 42 llamadas por hora en la hora punta, comprendida entre las 9 y 13 horas AM. Cada llamada requiere alrededor de 2 minutos de la telefonista para atender y derivar la llamada al personal correspondiente (bomberos, carabineros o ambulancia). El centro debe tener un adecuado número de telefonistas, y se ha pedido a un consultor que determine el número adecuado de telefonistas. El consultor asume que las llamadas entran en un orden completamente aleatorio y por lo tanto aplica el Proceso de Poisson. Sin embargo, el telefonista actual puntualiza que entre las 10 y las 12 horas. llegan muchas más llamadas que en el resto del tiempo. ¿Qué implica este hecho para el uso de la distribución de Poisson? R/= No se cumple la propiedad de incrementos estacionarios, por lo tanto es un proceso de Poisson No Homogéneo. La fórmula de la probabilidad del proceso es: −m (t 1 ,t 2)
P [ N ( t 1 ,t 2 )=k ]=e
( m(t 1 ,t 2)) n!
n
n=0,1,… .. ,
A un Banco llegan clientes de acuerdo a un proceso Poissoniano no homogéneo, cuya tasa está dada por
El tiempo está medido en horas y el banco opera desde las 9 hasta las 14 horas. Los clientes, sin embargo, llegan entre las 9 y las 14:06 horas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer cliente llegue entre las 10:00 y las 11:00? b) Si todos los clientes se demoran exactamente 12 min. Dentro del banco, determine el número esperado de clientes dentro del banco en cualquier instante del día.
c) Calcule el número promedio de clientes que se retiran indignados pensando seriamente en cambiarse de banco cada día (esto ocurre cuando el cliente encuentra que el banco ya cerró sus puertas, haciendo gala de mucha puntualidad y poca comprensión). ¿A qué hora debiese cerrar sus puertas el banco para que este número disminuya a la mitad?. R/= Recordar que si tenemos un proceso de Poisson no homogéneo en que la tasa de ocurrencia depende del tiempo λ(t), hacemos un cambio de reloj para ver el proceso como uniforme:
Para este problema:
a)
P ( N ( 9, 10 ) =0 ∧ N ( 10,11 ) ≥ 1 )=P ( N ( 9,10 )=0 ) P( N (10, 11)≥ 1)¿ ¿ P ( N ( 9, 10 )=0 ) (1−P ( N ( 10, 11 )=0)) 0
(
)
0
(
)
¿ u ( 9,10 ) e−u 9,10 (1−u ( 10,11 ) e−u 10,11 ) Pero: u ( 9,10 )=2 ( √ 5,1−√ 4,1 ) =0.467
u ( 10,11 )=2 ( √ 4,1− √3,1 ) =0.528 Entonces: P ( N ( 9, 10 ) =0 ∧ N ( 10,11 ) ≥ 1 )=e−0.467 (1−e−0.528)
b) (12 min= 0.6 horas). Los clientes que están en el banco en t son los que han llegado entre t − 0,2 y t. Así: E( N (t−0,2 ; t))=u(t −0,2; t )=2[ √ 14,1−( t−0,2 )−√ 14,1−t ] c) Los que llegan después de las 14:00 E ( N (14 ; 14,1 ) )=2 [ √ 0,1−√ 0 ] =2 √ 0,1 Para que disminuya a la mitad: 1 E ( N ( x ; 14,1 ) )= ( 2 √ 0,1) 2 2 [ √14,1−x −√0 ] =0,1 x=14,0975
Modelo de Colas Los modelos de colas consisten en fórmulas y relaciones matemáticas que pueden usarse para determinar las características operativas (medidas de desempeño) para una cola. Las características operativas de interés incluyen las siguientes: - Probabilidad de que no hayan unidades o clientes en el sistema. Cantidad promedio de unidades en la línea de espera. - Cantidad promedio de unidades en el sistema (la cantidad de unidades en la línea de espera más la cantidad de unidades que se están atendiendo). - Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera. - Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema (el tiempo de espera más el tiempo de servicio). - Probabilidad que tiene una unidad que llega de esperar por el servicio. Para poder hablar de los modelos de colas que existen, debemos fijarnos en una notación que se le ha dado para referenciarlos, esta notación es la notación de Kendall, la cual se representa de la siguiente manera: •
M: Distribución exponencial (markoviana).
•
• • •
S: Cantidad de servidores mayor a 1. D: para unos tiempos entre llegadas "determinísticas". G: para una "distribución general" de los tiempos entre llegadas, o del régimen de llegadas. Ek: Distribución Erlang.
Ejemplos: M / M / s: Tiempos entre llegadas exponenciales, exponenciales y se tienen s servidores.
tiempos de servicio
M / M / 1: Tiempos entre llegadas exponenciales, exponenciales y sólo 1 servidor.
tiempos de servicio
Con estas notaciones, ya podemos entrar en profundidad de los modelos de colas que existen, los cuales principalmente son dos: 1. Modelos de un solo canal 2. Modelos de varios canales
Modelos de un solo canal
Es aquel donde existe una población, un sistema de llegada, además existe solo un sistema de cola y de servicio (sin importar en número de colas, ni el número de servidores). Es decir, en este sistema las entidades al recibir el servicio salen del sistema y no ingresan a otro. Cada cliente debe pasar por un canal, una estación para tomar y surtir el pedido, para colocar el pedido, pagar la cuenta y recibir el producto. Cuanto llegan más clientes forman una línea de espera y aguardan que se desocupe la estación para tomar y surtir el pedido. Con la notación de Kendall, se pueden tener para este tipo de modelo los siguientes casos: •
M/M/1: Un servidor con llegadas de exponenciales y tiempos de servicio exponenciales.
•
M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución general de tiempos de servicio.
•
M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio.
•
M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio.
Formulario para Modelo de un solo canal
λ = Velocidad de llegadas (clientes/tiempo) µ = Velocidad de servicio (clientes/tiempo)
1 / λ = Tiempo entre llegadas 1 / µ = Tiempo entre servicios
Modelos de varios canales Consiste en dos o más canales de servicio que se supone son idénticos desde el punto de vista de su capacidad. En el sistema de canales múltiples, las unidades que llegan pueden esperar en una sola cola y luego pasan al primer canal disponible para ser servidas, esperar en varias colas y pasar al canal correspondiente a su línea o hacer una sola cola pero ser atendidos por varios canales (secuencial) . Con la notación de Kendall, se pueden tener para este tipo de modelo los siguientes casos: •
M/M/s: s servidores con llegadas de exponenciales y tiempos de servicio exponenciales.
•
M/D/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio.
•
M/Ek/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio.
Formulario para Modelos de varios canales
λ= tasa promedio de llegadas al sistema µ= tasa promedio de servicio para cada canal k = número de canales kµ= tasa promedio de servicio para el sistema de canales múltiple Factor de utilización:
Probabilidad de que no hayan unidades en el sistema:
Número promedio de unidades en fila de espera (tamaño de la fila):
Número promedio de unidades en el sistema:
Tiempo de espera promedio de una unidad en la fila:
Tiempo promedio en que una unidad pasa en el sistema:
Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para obtener el servicio:
Probabilidad de que hayan unidades en el sistema:
Conclusión La teoría de colas o líneas de espera, es un fenómeno común que ocurre cuando la demanda de un servicio excede a la oferta. Muchas veces no nos gusta esperar en una fila, por lo que queremos que apenas lleguemos nos atiendan de manera rápida, es casi imposible hacer que cada usuario que llegue a una empresa sea atendido de manera inmediata; como pudimos ver, la teoría de colas busca reducir, con métodos matemáticos, la espera de los clientes y en ocasiones la perdida de estos, con un equilibrio entre: ‘costos de servicios’ (pagados por la empresa) y ‘costos de espera’ (pagados por el cliente). Esta teoría no resuelve directamente el problema, pero contribuye a tomar decisiones respecto a eventos que hayan transcurrido a lo largo del proceso de existencia de la compañía, prediciendo posibles situaciones que puedan ser mejoradas entorno al beneficio de la empresa (beneficio también de los clientes). Los métodos y modelos utilizados, buscan ser matemáticamente sustentados para el beneficio de una población, con un margen de error que, se espera, sea el mínimo de acuerdo a la cantidad de clientes o canales asignados.
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