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La probabilidad tiene un papel crucial en la aplicación de la inferencia estadística porque una decisión cuyo fundamento se encuentra en la información contenida en una muestra aleatoria, puede estar equivocada sin una adecuada comprensión de las leyes básicas de la probabilidad, y por lo cual será difícil utilizar utilizar la metodología estadística estadística de manera efectiva. efectiva.
4.1 Probabilidad.
Es un numero real que mide la posibilidad de que ocurra un resultado del espacio muestral, cuando el experimento se lleva a cabo.
S
Resultados del EVENTO
A Resultados del EXPERIMENTO
Ejemplos de Espacios Muestrales considerando los experimentos aleatorios siguientes:
1. Un dado dado es lanzad lanzado o cinco cinco veces veces consecuti consecutivas. vas.
2.
Una moneda es lanzada hasta que salen dos caras o dos cruces consecutivas.
3. Cuatro Cuatro bolas son extraíd extraídas as aleatoria aleatoriamente mente y sin reemplazo reemplazo de una urna urna que contiene contiene ocho bolas blancas y seis azules.
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Ejemplo 4.1.1 ¿Cual es la probabilidad de obtener un as en una sola extracción de un mazo de 52
cartas?.
A: numero de ases = 4 : Resultados del Evento S: numero de cartas = 52: Resultados del Experimento
p( A)
=
4
Resultados del evento
=
52
Resultados del Espacio muestral
Probabilidad Clásica.
Si un experimento que esta sujeto al azar, resulta de n formas igualmente probables y mutuamente excluyentes y si nA de estos resultados tienen un atributo A la probabilidad de A es la proporción de nA con respecto a n.
p ( A) =
n A n
=
nA N
=
Resultados del evento Resultados del Experimento
Probabilidad de Frecuencia Relativa
Esta plantea: 1. La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran numero de intentos o, 2. La fracción de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las condiciones son estables. Determinamos que tan frecuente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro Ejemplo 2.2. una compañía de seguros, por información anterior sabe que los hombres de 40 años, 60 de cada 100 000 morirán en un periodo de un año dado. Entonces:
60 100,000
= 0.0006
Es la probabilidad de muerte de un hombre de 40 años en un año cualquiera. Probabilidad subjetiva o personal.
Basada en las creencias de las personas que efectúan estimaciones de probabilidad por ejemplo: “me duelen los huesos, creo que va a llover”. Mezcla la probabilidad de frecuencia relativa e intuición. Representa un juicio personal sobre un fenómeno impredecible.
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Donde la notación indica que los resultados de todos los eventos es:
4.2 Axiomas o Probabilísticos
p(S) = 1
Si A es un evento cualesquiera en el espacio muestral S entonces: Postulados
Sea S el espacio muestral de un experimento aleatorio oi los resultados básicos y A un evento o suceso. Entonces denominando la “probabilidad de que A ocurra” como p(A), enunciamos:
Sea A un evento en S, y sean o i los resultados básicos, entonces:
4. 3 Tipos de Eventos Regla Multiplicativa Eventos Independientes
Dos eventos A y B son independientes si y solo si: p(BA) = p(B)
y
p(AB) = p(A)
Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B entonces: p(A∩B) = p(A)p(BA) = p(A)*p(B) p(A∩B) = p(A)*p(B)
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Ejemplo 4.3.1 Suponga que tenemos una clase de fusibles que contiene 20 unidades, de las
cuales 5 están defectuosas. Si se seleccionan dos fusibles al azar y se separan de la caja uno después del otro sin reemplazar el primero. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos fusibles estén defectuosas?
5
*
4
20 19
=
20 20(19)
=
1 19
o bien: 15
C 0 *5 C 2 20
C 2
=
(1)(10) 190
=
1 19
Principio de Adición. Eventos Mutuamente Excluyentes
Son aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, la ocurrencia de uno impide la ocurrencia de otro: p(AUB) = p(A) + p(B) donde: A ∩B
p ( A ∩ B )
= φ
p( A1 ∪ A2
=
φ
∪ ... An ) = p( A1 ) + p( A2 ) + ... + p( An )
y si A1, A2, ... An es una partición del espacio muestral S entonces:
p( A1 ∪ A2
∪ ... An ) = p( A1 ) + p( A2 ) + ... + p( An ) = p(S) =1
Ejemplo 4.3.2 Determine la probabilidad de sacar un as o un rey de un mazo de 52 cartas.
p( A ∪ B ) = p( A) + p( B ) =
4 52
+
4 52
=
8 52 S = 52
A
4
B 4
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Ejemplo 4.3.3
Un Gerente tiene disponible un grupo de 8 empleados a los que les podría ser asignada la supervisión de un proyecto. Cuatro de los empleados son mujeres y cuatro son hombres. Dos de los hombres son hermanos. El Gerente debe realizar la asignación al azar, de manera que cada uno de los ocho empleados tiene la misma probabilidad de salir elegido. Sea A el suceso “el empleado elegido es un hombre” y sea B el suceso “el empleado elegido es uno de los dos hermanos”. Calcular: a) La probabilidad del suceso A b) La probabilidad del suceso B c) La probabilidad de seleccionar un hombre o una mujer d) La probabilidad de seleccionar primero un hombre y que sea uno de los dos hermanos.
Ejemplo 4.3.4
Una Compañía recibe un determinado componente en remesas de 100. Un estudio ha indicado las probabilidades, que figuran en la tabla adjunta, correspondientes a los componentes defectuosos de una Empresa. No de defectuosos 0 1 2 3 Mas de 3
Probabilidad
0.29 0.36 0.22 0.10 0.03
Determinar: a) La probabilidad de que haya mas de tres componentes defectuosos en una remesa b) La probabilidad de que haya mas de un componente defectuoso en una remesa c) ¿Por qué la suma de las probabilidades de la Tabla suman uno?
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Ejemplo 4.3.5
Imagina que eres una de las siete candidatas a las que se les están haciendo una audición para dos papeles – la heroína y su mejor amiga- en una obra de teatro. Antes de las audiciones no sabes nada sobre las otras candidatas y supones que todas tienen las mismas probabilidades para cada uno de los dos papeles. a) ¿Cuantas elecciones son posibles para el reparto de los dos papeles? b) ¿Cual es la probabilidad de ser elegida para interpretar el papel de la mejor amiga?
Ejemplo 4.3.6
Se sacan tres cartas una tras otra, sin reemplazo, de una baraja ordinaria, encuentre la probabilidad de : a) La primera extracción sea un as rojo, las otras no importan b) La primera es un as rojo y la segunda es un 10 o un rey, la tercera no importa. c) La primera es un rey, la segunda un as negro y la tercera es mayor a tres pero menor a 7
Eventos no Excluyentes
Son aquellos que tienen gran probabilidad de ocurrir simultáneamente. Donde:
p( A ∪ B ) = p( A) + p( B ) − p( A ∩ B ) ya que sumamos dos veces p(A ∩ B) en p(A) + p(B) a menos que p(A ∩ B) = φ entonces serian eventos mutuamente excluyentes.
S A
B
Excluye la intersección que al sumar los eventos se suman dos veces.
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Ejemplo 4.3.7 En un grupo de 300 estudiantes, 100 cursan contabilidad y 80 estadística, además
30 de estos estudian ambos cursos. ¿Cual es la probabilidad de: Estudien ambos cursos? a. p ( C ∩ E )
b.
c.
30
= 0.3 100 Estudien contabilidad o estadística? p( C ∪ E )
=
=
100 300
+
80 300
−
30 300
=
150 300
= 0.50
Estudien contabilidad o estadística pero no ambas?
p( C ∪ E )
− 2 p( C ∩ E ) =
100 300
+
30 120 − 2 = 0.4 = 300 300 300 80
Ejemplo 4.3.8
Un estudio de mercado en una ciudad indica que, durante cualquier semana, el 18 % de los adultos vieron un programa de televisión orientados a temas financieros y el 12 % leen una publicación orientada a esta temática y el 10 % realizan ambas actividades. a) La probabilidad de que un adulto de esta ciudad, que ve el programa de televisión, lea la publicación mencionada. b) La probabilidad de que un adulto de esta ciudad, que lee la publicación vea dicho programa de televisión.
Ejemplo 4.3.9
Para matrimonios que viven en cierto suburbio la probabilidad de que el esposo vote es de 0.21, la probabilidad de que su esposa vote es de 0.28 y la probabilidad de que ambos voten es de 0.15. Determinar: a) La probabilidad de que al menos un miembro del matrimonio vote b) La probabilidad de que la esposa vote. c) La probabilidad de que el esposo vote dado que su esposa no vote.
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Ejemplo 4.3.10
La probabilidad de que un vehículo que entra a las Cavernas Luray tenga placas de Canadá es 0.12, la probabilidad de que sea una casa rodante es 0.28 y la probabilidad de que sea una casa rodante con placas de Canadá es de 0.09. Determinar la probabilidad de que: a) Una casa rodante que entra a las Cavernas Luray tenga placas de Canadá. b) Un vehículo con placas de Canadá que entra a las Cavernas Luray sea una casa rodante c) Un vehículo que entra a las Cavernas Luray no tenga placas de Canadá o que no sea una casa rodante.
Eventos Complementarios
Si A es un evento en el espacio muestral S y A’ es su complemento y son mutuamente excluyentes entonces:
p( A ∪ A' ) = 1 = p( A) + p( A' ) = 1 donde:
p( A' ) = 1 − p( A) Ejemplo 4.3.11 Determine la probabilidad de no obtener un as o un rey en la primera extracción
de un mazo de 52 cartas.
p( B ) =
4 52
p( A ∪ B ) =
p( A ∪ B )' = 1 − p( A ∪ B ) = 1 −
Ejemplo 4.3.12
8 52
8 52
=
44 52
Si cada artículo codificado en un catalogo comienza con tres letras distintas seguidas por cuatro dígitos distintos de cero, encuentre la probabilidad de seleccionar aleatoriamente uno de estos artículos codificados que tenga: a) Como primera letra una vocal y el ultimo digito sea par b) Como primer letra una consonante y el ultimo digito es un 5 c) La primer letra no es consonante y el ultimo digito no es 5
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Ejemplo 4.3.13
De acuerdo con la Consumer Digest, la ubicación probable de las PC en una casa son: UBICACION Recamara de adultos Recamara de niños Otra recamara Oficina o estudio otros
PROBABILIDAD
0.03 0.15 0.14 0.40 0.28
Determinar la probabilidad: a) De que una PC este en una recamara. b) De que no este en una recamara. c) De no este en una recamara de adultos d) De que este en un estudio o en la recamara de los niños.
Eventos Dependientes.
Dos eventos A y B son dependientes, cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro evento. es decir:
p( AΙ B ) =
p( A ∩ B ) p( B )
siempre que p(B) > 0. de igual manera :
p( BΙ A) =
p( A ∩ B ) p( A)
donde p(A) > 0
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Ejemplo 4.3.14 La probabilidad de que un estudiante obtenga una calificación aprobatoria en
estadística es 0.75, en filosofía 0.84 y en ambas 0.63. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe estadística si aprueba filosofía?
Ejemplo 4.3.15 En una agencia automotriz la probabilidad de que aumenten los eventos de
automóviles durante el próximo mes se estima en 40 %. La probabilidad de que aumenten las ventas en refacciones es de 50 % y de que aumenten en ambas es del 10 %. Cual es la probabilidad de: Las ventas de autos haya aumentado en el mes, si se informa que las ventas de a. refacciones han aumentado. Las refacciones hayan aumentado, si las ventas de autos se ha incrementado en el b. mes.
Ejemplo 4.3.16
La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es de 0.83, la probabilidad de que llegue a tiempo es de 0.82 ; y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es 0.78. Determinar la probabilidad de: a) Llegue a tiempo dado que salió a tiempo. b) Salió a tiempo dado que llego a tiempo.
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Teorema de Bayes.
Sean los eventos B1, B2, ...Bn mutuamente excluyentes y constituyen una partición del espacio muestral S donde: p(B j) ≠ 0 para j=1,2,3,...n, entonces:
p( BΙ A) =
p( B j ) p( AΙ B j ) n
∑ p( B ) * p( AΙ B ) j
j =1
n
de donde:
∑ B j =1
j
j
=1
n
∑ p( B ) * p( AΙB ) j
j = 1
Probabilidad Total
j
S A
B1
A
B2
La expresión anterior fue desarrollada por el reverendo Thomas Bayes (1702-1761). A primera vista no es mas que una aplicación de las probabilidades condicionales. Sin embargo, ha sido clave en el desarrollo de la inferencia estadística bayesiana en la que se emplea la interpretación subjetiva de la probabilidad.
Ejemplo 4.3.17 Durante los últimos años se ha escrito mucho sobre la posible relación entre
fumar y el cáncer pulmonar. En un centro medico el 90 % de fumadores tenia cáncer pulmonar, mientras que el 5 % de los no fumadores lo padecían. Si la proporción de fumadores es 0.45. ¿Cual es la probabilidad de que un paciente: a. Tenga cáncer pulmonar? Con cáncer pulmonar sea fumador? b. Con cáncer pulmonar no sea fumador? c.
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Ejemplo 4.3.18. Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de 3 distintos
microcircuitos provenientes de tres distintos fabricantes. El 50 % del total se compra al proveedor uno mientras que al dos y al tres se le compra el 25 % respectivamente. El porcentaje de circuitos defectuosos para cada embarque del proveedor es 5 %, 10% y 12 %. a. Si un circuito no esta defectuoso, ¿cual es la probabilidad de que haya sido vendido por el proveedor 2? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un circuito este defectuoso? ¿Cuál es la probabilidad de que un circuito no defectuoso provenga del proveedor c. tres?
Ejemplo 4.3.19
En cierta planta de montaje, tres maquinas B1, B2, y B3, montan 30 %, 45 % y 25 % de los productos respectivamente. Se sabe de la experiencia pasada que 2 %, 3% y 2% de los productos ensamblados por cada maquina, respectivamente tienen defectos. Ahora suponga que se selecciona de forma aleatoria un producto terminado. ¿Cual es la probabilidad de que este defectuoso?
Ejemplo 4.3.20
Una cadena de tiendas de pintura produce y vende pinturas de latex y semi esmaltada. Con base en las ventas de largo plazo, la probabilidad de que un cliente compre latex es 0.75. de los que compran pintura de latex, 60 % también compran rodillos. Pero 30 % de los compradores de pintura semiesmaltada compran rodillos. Un comprador que se selecciona al azar compra un rodillo y una lata de pintura. ¿Cual es la probabilidad de que la pintura sea de latex?
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Tablas de Probabilidad Conjunta.
En estas se enumeran todos los eventos posibles para una variable como encabezamiento de columnas; todos los eventos posibles para una segunda variable se enumeran como encabezamiento de filas y el valor incluido en cada casilla resultante es la probabilidad de cada ocurrencia conjunta.
Ejemplo 4.3.21 Los empleados de una gran compañía se encuentran separados como se muestra
en la siguiente tabla:
Departamento Administración Producción Mercadotecnia Total
Hombres 20 60 100 180
Mujeres 30 140 50 220
Total 50 200 150 400
Determine la probabilidad de que al ser seleccionado aleatoriamente: Sea hombre a. b. Sea hombre y trabaje en producción c. Trabaje en mercadotecnia Trabaje en administración y sea mujer d. e. Sea mujer dado que trabaja en administración Sea hombre dado que trabaja en mercadotecnia f. g. Sea de producción dado que es mujer.
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Ejemplo 4.3.22 En una investigación de mercado efectuada en un Centro Comercial se recopiló
la siguiente información: Edad > 30 ≤ 30
Género Ranchero 28 25
Género Romántico 58 45
Rock en Español 23 40
Determine la probabilidad: Una melodía romántica sea un evento a. Una melodía de rock o ranchera sea un éxito b. c. Una melodía romántica sea un éxito entre los jóvenes Una melodía de rock sea un fracaso en mayores de 30 años d. e. Una melodía ranchera sea un éxito dado que fue lanzada en una estación para jóvenes.
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Marque con un circulo la respuesta correcta. recuerde que solo una es verdadera 1. A B C D E SI SE DIBUJARA UN DIAGRAMA DE VENN PARA LOS EVENTOS A Y B, QUE SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES. QUE COSA DE LO SIGUIENTE NO SERÍA SIEMPRE VERDADERO PARA A Y B: a) Sus representaciones en el rectángulo se traslaparan b) Sus representaciones en el rectángulo no tendrán áreas iguales. c) Sus representaciones en el rectángulo no se traslaparan d) Todas las anteriores e) a) y b), pero no c) 2. a b c d e ¿Cual de las siguientes afirmaciones no es correcta? a) La probabilidad de ocurrencia de un evento “a”, es igual a los resultados del evento “a” entre los resultados del espacio muestral “s”. b) La probabilidad se define como: resultados del evento entre resultados del espacio muestral. c) Los eventos no excluyentes al ser representados en un diagrama de Venn tienen un área en la que no se traslapan. d) a) y c), pero no b) Ninguna 3. a b c d e Si un evento no se ve afectado por el resultado de otro evento, se dice que ambos eventos son: a) Dependientes b) Independientes c) Mutuamente excluyentes d) Todas las anteriores. e) Ninguno. 4. a b c d e ¿Cual de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) La probabilidad de ocurrencia de un evento nunca excede a uno. b) La probabilidad de ocurrencia de un evento del espacio muestral “S” cuando mucho es igual a 0.93 c) La probabilidad de ocurrencia al extraer una pelota amarilla de un total de 4 azules y 5 amarillas es 5/ 9 d) Todas las anteriores. e) a) y c) pero no b) 5. a b c d e La probabilidad de que dos eventos estadísticamente independientes se presenten de manera consecutiva es igual a: a) La suma de sus probabilidades. b) La suma de sus probabilidades menos la probabilidad de su conjunción. c) Al producto de ocurrencia del primero, por la ocurrencia del segundo. d) Todas las anteriores. e) Ninguna
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Ejercicios propuestos
1. Una tienda de autoservicio ha sido victima de muchos ladrones durante el mes pasado, pero debido al aumento de las condiciones de seguridad de la tienda, se ha podido aprehender a 250 ladrones. se registro el sexo de cada infractor y si este era su primer robo o si ya había sido sorprendido con anterioridad. los datos fueron: Sexo Primera Aprehensión Hombre 60 Mujer Total
Reincidente 70
44 104
76 146
Suponiendo que un infractor aprehendido es escogido al azar, determine la probabilidad de: a. Que sea hombre b. Que sea mujer, dado que es su primera aprehensión. RESPUESTAS:
a) p ( H ) =
130 250
b) p ( M Ι PA ) =
= 0.52
44 / 250 104 / 250
= 0.423
2. Un terapeuta físico sabe que el equipo de fútbol jugara 40 % de sus juegos con pasto artificial en la presente temporada. también sabe que las posibilidades de que un jugador de fútbol sufra una lesión en la rodilla son 50 % mas altas, si juega en este tipo de pasto. si la probabilidad de que un jugador sufra una lesión en la rodilla mientras juega en pasto artificial es de 42 %, determine la probabilidad de que: a. Un jugador elegido aleatoriamente sufra una lesión en la rodilla. b. Un jugador elegido aleatoriamente con lesión en la rodilla haya sufrido esta mientras jugaba en un campo con pasto natural RESPUESTAS:
0.4 2
PASTO ARTIFICIAL 0.40
0.2 8
PASTO NATURAL 0.60
a)
Si el 42 %= 150% entonces el 100% es el 28 %, p ( L Ι J ) = ( 0.42 )( 0.40 ) + ( 0.28 )( 0.6
b) p ( PN Ι L )
=
(0.28 )( 0.60 ) (0.42 )( 0.40 ) + ( 0.28 )( 0.60
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3. Una ciudad tiene dos carros de bomberos que operan de manera independiente. la probabilidad de que un carro especifico este disponible cuando se le necesite es 0.96. determine la probabilidad de: a. Que ninguno este disponible cuando se le necesite b. Que al menos uno este disponible cuando se le necesite. DIS=0.9 6 NO DIS=0.0 4 DIS=0.9 6 NO DIS=0.0 4 CARRO 2
DIS=0.9 6 NO DIS=0.0 4 CARRO 1
RESPUESTAS: a) p(NO DIS)=(0.04)
(0.04)=0.0016
b) p (≥1)
=1 − ( 0.04 )( 0 .04 ) = 0 .9
4. En una clase de 100 estudiantes de preparatoria, 54 estudiaron matemáticas; 69 historia y 35 cursaron matemáticas e historia. si se selecciona aleatoriamente a uno de estos estudiantes determine la probabilidad de: a. El estudiante curso matemáticas e historia b. El estudiante no curso alguna de estas asignaturas RESPUESTAS:
12 19
35
a) p ( M ∩ H )
34
b) p ( NM M
=
35 100
∩ NH ) =
H
= 0.35 12
100
= 0.12
5. En una tómbola hay dos bolitas blancas y tres bolitas negras, ¿cuál es la probabilidad de sacar una blanca y después una negra? RESPUESTAS:
p( B ∩ N )
2 3 6 = = = 0.3 5 4 20
6. Para obtener licencia para conducir, es necesario aprobar tanto el examen teórico como el práctico. Se sabe que la prob. que un alumno apruebe la parte teórica es 0,68, la de que apruebe la parte práctica es 0,72 y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0,82. Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la prob. de que apruebe el examen para obtener licencia? RESPUESTAS:
p (T ∪ P )
0.82
= p (T ) + p ( P ) − p (T ∩ P )
= 0 .68 + 0 .72 − p (T ∩ P )
p (T ∩ P )
= 0 .58
7. En un conjunto de estudiantes el 15% estudia alemán, el 30% estudia francés y el 10% ambas materias. Si se elige un estudiante al azar, calcule la probabilidad de que no estudie francés ni alemán RESPUESTAS: p ( NA ∩ NF ) = 0.65
65 5 A
10
20 F
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8.
Un ladrón, al huir de un policía, puede hacerlo por las calles A, B o C, con probabilidades p(A)=0,25, p (B)=0,6 y p(C)=0,15 respectivamente. La probabilidad de ser alcanzado por la calle es 0,4, si huye por la calle B es 0,5 y si huye por la calle C es 0,6. a. Calcule la probabilidad de que la policía alcance al ladrón b.
Si el ladrón ha sido alcanzado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido en la calle A? RESPUESTAS:
0.4
0.5
c)
0.6
p (CA Ι AL )
= (0.25 )( 0.4) +(0.6)( 0.5) +
d) p (CA Ι A) CALLE B 0.60
CALLE A 0.25 9.
CALLE C 0.15
=
(0.25 )( 0.4) (0.49 )
= 0.204
De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraen al azar, sucesivamente y sin reemplazo, al extraer dos bolas a.
¿Cuál es la probabilidad de que las bolas extraídas sean blancas?
b. Si la segunda bola ha resultado ser negra, ¿cuál es la probabilidad de que la primera también lo haya sido? c. ¿Cual es la probabilidad de que ambas sean blancas? RESPUESTAS:
4 3 = 12 = 0.4 6 5 30
a) p ( B ∩ B) =
b)
2 1 p( N ∩ N ) 6 5 1 = = = 0.20 p( N Ι N ) = p( N ) 2 5 6
c)
p ( B ∩ B) =
4 3 = 12 = 0.4 6 5 30
10. En un estudio realizado en cierta Universidad se ha determinado que un 20% de sus estudiantes no utilizan los transportes públicos para acudir a sus clases y que un 65% de los estudiantes que utilizan los transportes públicos también hacen uso del comedor universitario. Calcular la probabilidad de que seleccionado al azar un estudiante en esa Universidad resulte ser usuario de los transportes públicos y del comedor universitario. 0.20 NO
RESPUESTAS:
0.65 COM 0.80 SI
0.25 NO COM
p ( SI
∩COM
)
= ( 0.80 )( 0.65 ) = 0.
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11. Se le pregunto a los estudiantes de una clase de Estadística cuales eran las notas que esperaban obtener en el curso y si habían o no tratado de resolver problemas a parte de los asignados por el profesor, en la tabla que se muestra a continuación aparecen las proporciones correspondientes a cada uno de los ocho grupos resultantes: Problemas adicionales
Nota esperada
sobresalient e 0.12 0.13
Si no
notable
aprobado
reprobado
0.06 0.21
0.12 0.26
0.02 0.08
a) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar haya tratado de resolver problemas adicionales b) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar espere una nota sobresaliente c) Calculara la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que haya realizado problemas adicionales, espere una nota sobresaliente. d) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, no haya realizado problemas adicionales, espere una nota aprobatoria. RESPUESTAS:
a) p(PA)=0.32 b) p(NS)=0.25 0.12 = 0.375 p ( PA ) 0.32 p ( NA ∩ NPA ) 0.26 = = 0.382 d) p ( NA Ι NPA ) = 0.68 p ( NPA )
c)
p ( NS Ι PA )
=
p ( NS
∩ PA )
=
