Primjer 2. Prosta greda raspona l=4.00 m pravokutnog presjeka b=15 cm, h=30 cm. Promjenjivo opterećenje Q=10.00 kN/m. Greda je prednapete ravnom nategom ispod težišta betona z cp = 6.5 cm .
zg zd
k g k d
težište betona
zcp nate a
Vlastita težina nosača: G = (b ⋅ h) ⋅ γ = (0.15 ⋅ 0.3) ⋅ 24 = 1.08 kN / m Ukupno opterećenje: q = G + Q = 1.08 + 10.00 = 11.08 kN / m q=11.08 kN/m
l=4.00 m
Moment savijanja od stalnog optere ćenja (vlastita težina nosača): 2 G ⋅l 1.08 ⋅ 4 2 = = 2.2 kNm M G = 8 8
Moment savijanja od stalnog i promjenjivog opterećenja (ukupno opterećenje): 2 (G + Q ) ⋅ l 2 11.08 ⋅ 42 q ⋅l = = = 22.2 kNm M max = 8 8 8 Moment inercije: 3 0.15 ⋅ 0.33 b⋅h = = 0.0003375 m 4 I = 12 12 Otporni moment: 2 b⋅h 0.15 ⋅ 0.32 = = 0.00225 m3 W g = W d = 6 6 Površina poprečnog presjeka: 2 A = b ⋅ h = 0.15 ⋅ 0.3 = 0.045 m Udaljenost gornjeg ruba jezgre: W d 0.00225 = = 0.05 m k g = 0.045 A Udaljenost donjeg ruba jezgre: W g 0.00225 = = 0.05 m k d = 0.045
a) minimalna sila prednapinjanja prednapinjanja Treba proračunati minimalnu silu prednapinjanja tako da se pod ukupnim opterećenjem (G + Q ) ne pojavljuje vlačno naprezanje na donjem rubu presjeka u sredini raspona. Naprezanje u betonu betonu na donjem rubu presjeka presjeka je nula: d σ c
=−
P=
P A
−
P ⋅ zcp W d
+
M W d
=0
M zcp + k g
22.2 = 193 kN P= 0.065 + 0.05
b) odredi naprezanje u sredini raspona uslijed ukupnog optere ćenja (G + Q ) i prednapinjanja prednapinjanja P- kontrola M max =
q ⋅l
2
=
(G + Q ) ⋅ l 2 11.08 ⋅ 42 =
8 8 8 P = 193 kN - usvojeno na osnovu a)
= 22.2 kNm
Naprezanje u betonu betonu na gornjem rubu presjeka: g σ c
g
σ c
g
σ c
⎛ P P ⋅ zcp ⎞ M ⎟− = ⎜⎜ − + ⎟ W A W g ⎠ g ⎝ ⎛ 193 ⋅103 193 ⋅103 ⋅ 0.065 ⎞ 22.2 ⋅103 ⎟⎟ − = ⎜⎜ − + 0.00225 ⎠ 0.00225 ⎝ 0.045 = 1.3 − 9.9 = −8.6 MPa
Naprezanje u betonu betonu na donjem rubu presjeka: presjeka: d σ c
U tablici su dana naprezanja u betonu u sredini raspona na donjem i gornjem rubu presjeka, za dio zadatka b) i c).
g
σ c
d
σ c
b) G + Q +P − 8.6 MPa
c) G+P + 0.3 MPa
0.0 MPa
− 8.9 MPa
-8.6
0.0
+0.3
-8.9
d) odredi naprezanje nad ležajem (za slu čaj vođenja natege po pravcu z cp=6.5 cm) Naprezanje nad ležajem je neovisno o vanjskom opterećenju jer je momenat savijanja nad ležajem nula. M = 0 P = 193 kN
težište betona zcp=6.5 cm zcp(x)
l/2
l/2
Naprezanje u betonu na gornjem rubu presjeka: g σ c
g
σ c
g
σ c
⎛ P P ⋅ zcp ⎞ M ⎟− = ⎜⎜ − + ⎟ W A W g g ⎝ ⎠ ⎛ 193 ⋅10 3 193 ⋅103 ⋅ 0.065 ⎞ 0 ⎟⎟ − = ⎜⎜ − + 0.00225 ⎠ 0.00225 ⎝ 0.045 = 1.3 MPa
Naprezanje u betonu na donjem rubu presjeka: d σ c
⎛ P P ⋅ z cp ⎞ M ⎟⎟ + = ⎜⎜ − − ⎝ A W d ⎠ W d
x
3 3 ⎛ 193 10 193 10 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0.065 ⎞ d ⎟⎟ + σ c = ⎜ − ⎜ 0.045 − 0.00225 ⎠ 0.00225 ⎝ d σ c = −9.9 MPa
e) odredi naprezanje nad paraboličnog vođenja natege)
ležajem
(za
slu čaj
Natega se vodi parabolično, udaljenost težišta prednapete armature do težišta betonskog presjeka na čelu nosača z cp ,1 = 0 cm , udaljenost težišta prednapete armature do težišta betonskog presjeka na sredini nosa ča z cp , 2 = 6.5 cm .
težište betona zcp,2=6.5 cm zcp(x)
l/2
x
l/2
Naprezanje nad ležajem je neovisno o vanjskom opterećenju jer je momenat savijanja nad ležajem nula. M = 0 P = 193 kN Naprezanje u betonu na gornjem rubu presjeka: g σ c
g
σ c
g
σ c
⎛ P P ⋅ z cp,1 ⎞ M ⎟− = ⎜⎜ − + ⎟ W A W g g ⎝ ⎠ ⎛ 193 ⋅10 3 193 ⋅103 ⋅ 0 ⎞ 0 ⎟⎟ − = ⎜⎜ − + 0.00225 ⎠ 0.00225 ⎝ 0.045 = −4.3 MPa
Naprezanje u betonu na donjem rubu presjeka: d σ c
⎛ P P ⋅ zcp ,1 ⎞ M ⎟⎟ + = ⎜⎜ − − W d ⎠ W d ⎝ A
3 3 ⎛ 193 10 193 10 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0 ⎞ d σ c = ⎜ − ⎜ 0.045 − 0.00225 ⎟⎟ + 0.00225 ⎝ ⎠ d σ c = −4.3 MPa
U tablici su dana naprezanja u betonu nad ležajem na donjem i gornjem rubu presjeka, za dio zadatka d) i e). d)
e) težište betona zcp=6.5 cm l/2
zcp(x)
g
σ c
d
σ c
+ 1.3 MPa − 9.9 MPa +1.3
-9.9
l/2
x
težište betona zcp,2=6.5 cm l/2
zcp(x)
x
l/2
− 4.3 MPa − 4.3 MPa -4.3
-4.3
Poželjno je da linija vo đenja natege prati liniju momenta savijanja.
f) ulazni podaci za SectionDesign Momenta savijanja i uzdužne sile s obzirom na težište betonskog presjeka:
h/2
M-P zcp
M h
težište betona P zcp P (djelovanje) (djelovanje)
b
N – uzdužna sila [kN] b) P=193 kN zcp=0.065 m M=22.2 kNm c) P=193 kN zcp=0.065 m M=2.2 kNm d) P=193 kN zcp=0.065 m M=0 kNm e) P=193 kN zcp=0.0 m M=0 kNm
