1
1. NAPREZANJA
1. NAPREZANJA 1.0. UVOD Ako na tijelo djeluju vanjske sile, one nastoje da razdvoje ili približe pojedine čestice tijela. Tome se tijelo suprotstavlja unutarnjim silama koje djeluju među njegovim česticama. Unutarnja sila podijeljena ploštinom presjeka na kojem djeluje zove se naprezanje. Normalnim naprezanjem tijelo se opire međusobnom primicanju ili razmicanju svojih čestica.
F
F
A l+Δl
l
Primjer 1: Štap opterećen na rastezanje s dvije jednake i suprotno usmjerene sile F čiji pravac djelovanja prolazi kroz uzdužnu os štapa ⇒ osno opterećen štap! Normalno naprezanje σ djeluje jednoliko po poprečnom presjeku ploštine A, pa je ukupna sila u presjeku σ ⋅A. Iz ravnoteže odsječenog dijela štapa je:
σ =F/A
σ ⋅A= F,
odnosno iznos normalnog naprezanja u poprečnom presjeku štapa određen je izrazom:
σ=
F . A
F
Posmičnim naprezanjem tijelo se opire klizanju jednog sloja čestica tijela po drugom. Primjer 2: Zglobna veza dviju poluga; sila F prenosi se s poluge 1 na polugu 2 preko osovinice 3. U poprečnim presjecima osovinice pojavljuje se posmično ili tangencijalno naprezanje τ. F
F
3
1
F 3
A
F/2
τ F/2
F/2 F
3
τ
F/2
2 F
F/2
A
A
F/2
2
1. NAPREZANJA
Unutarnje sile u tijelu općenito ne djeluju okomito na presjek, tj. u općem slučaju u presjeku djeluje normalno i posmično naprezanje. 1.1. TENZOR NAPREZANJA 1.1.1. Vektor naprezanja, normalno i posmično naprezanje Djelovanje vanjskih sila (sile opterećenja i reakcije veza) ⇒ između čestica tijela izazivaju unutarnje sile koje se suprotstavljaju deformiranju tijela. Deformabilno tijelo pod djelovanjem vanjskih sila je u ravnoteži, a nakon zamišljenog presjeka ravninom Π lijevi i desni dio tijela također moraju biti u ravnoteži pod djelovanjem vanjskih i unutarnjih sila. a)
Ravnoteža vanjskih sila na tijelo (u vektorskom izražaju):
F4
v ri
F1
r n v v R 1. = ∑ Fi = 0 ,
Fi
i =1
S
D
F2
n v v v v 2. M S = ∑ (ri × Fi ) = 0 .
Fn L
F3
i =1
Π ΔF1
b)
S
F1
ΔF2 ΔF3
v n F2 ΔAi
F3
ΔFi ΔFn L
Kod ravnoteže vanjskih i unutarnjih sila na lijevi dio tijela (L) moraju biti ispunjeni sljedeći uvjeti (u vektorskom izražaju): 1.
r v v v v RL + FL = (∑ Fi ) L + (∑ ΔFi ) L = 0 , v v ( Fi ) v ( ΔFi ) )L = 0 . 2. ( M S ) L + ( M S
Vektor srednjeg (prosječnog) naprezanja na dijelu površine presjeka ΔAi oko točke M je:
v Δ F v ( psr ) i = i , N/m2. ΔAi
3
1. NAPREZANJA
ΔA′′′
v n
ΔF ´˝
M
ΔF ˝ ΔF ´
ΔA′′
ΔA′
v n
σ M
dA
ϕ
τ
r t
Ako se elementarna površina smanjuje, tj. ΔAi → 0 tako da stalno obuhvaća točku M, bit r će manja i sila ΔFi , a srednje naprezanje će se manje razlikovati od pravog naprezanja. Dakle, vektor srednjeg naprezanja teži stvarnom v vektoru naprezanja p u točki M, tzv. vektoru v punog naprezanja. n je vanjska normala na površinu ΔAi u točki M.
Vektor punog (pravog) naprezanja u točki M je:
v ΔF v p = lim ,N/m2. ΔA → 0 ΔA v p Vektor punog naprezanja pv u općem slučaju nije okomit
v na presjek na kome djeluje, nego s normalom n čini kut ϕ, te se može rastaviti na dvije komponente: normalnu σ i posmičnu ili tangencijalnu τ.
Normalna komponenta naprezanja (kraće: normalno naprezanje) je:
σ = p ⋅ cos ϕ , MPa. Vrijednosti normalnog naprezanja σ mogu biti: σ > 0, σ = 0, σ < 0. o v v Kut ϕ je kut između vektora p i normale n : 0 ≤ ϕ ≤ 180 .
Posmična komponenta naprezanja (kraće: posmično naprezanje) je:
τ = p ⋅ sin ϕ , MPa. Vrijednosti posmičnog naprezanja τ mogu biti: τ ≥ 0 . Komponente naprezanja σ i τ nisu vektori! Jedinica tlaka i naprezanja u SI-mjernom sustavu je paskal (znak Pa), a definirana je kao njutn po četvornom metru, u počast francuskom fizičaru Blaise Pascalu (1623.-1662.): 1 Pa = 1 N/m2 , U proračunima u "Nauci o čvrstoći" također se koriste veće jedinice: 1 MPa = 106 Pa , 1 GPa = 109 Pa , te u posebnim slučajevima: 1 kN/cm2 = 10 MPa , 1 N/mm2 = 1 MPa . Za iznos tlaka tekućina i plinova često se upotrebljava jedinica: 1 bar = 105 Pa.
4
1. NAPREZANJA
Komponente naprezanja σ i τ u nekoj točki ovise između ostalog i o orijentaciji presjeka na kojem djeluju komponente. Primjer: Rastezanje ravnog prizmatičnog štapa poprečnog presjeka A silama F. C
ϕ
B
A
F
M
F
h
x
B
C
b
a) naprezanja u poprečnom presjeku štapa B – B (ϕ = 0): B
Uvjet ravnoteže za lijevi dio štapa je:
A n
M
F
p
B
L
x
∑ Fx = − F + p ⋅ A = 0 , ⇒ p =
F , MPa. A
Za kut ϕ = 0 komponente naprezanja su:
→ u poprečnom presjeku štapa djeluje samo normalno naprezanje.
σ = p i τ = 0.
b) naprezanja u kosom presjeku C - C (ϕ > 0): v Ploština kosog presjeka je: n A ϕ C ϕ M
F
C
L
v t
p
ploština poprečnog presjeka štapa.
σ
τ
Uvjet ravnoteže za lijevi dio štapa je:
v p
M
∑ Fx
v t
σ = p ⋅ cos ϕ =
p= F ⋅ cos 2 ϕ A
,
= −F + p ⋅ A = 0 .
F F = cos ϕ = σ ⋅ cos ϕ , MPa. A A
Komponente naprezanja u kosom presjeku štapa C-C su:
τ = p ⋅ sin ϕ = Slijedi:
A , cos ϕ
gdje je: A = b ⋅ h ,
Komponente naprezanja su: v n ϕ
A=
x
σ = σ ⋅ cos 2 ϕ , MPa i
F sin ϕ cos ϕ , MPa. A
τ = σ ⋅ sin ϕ cos ϕ , MPa.
5
1. NAPREZANJA
Prema tome, vrijednost (iznos) naprezanja u nekoj točki tijela ovisi o: • dimenzijama i obliku tijela, (a može ovisiti i o elastičnim svojstvima materijala tijela), • vrijednosti i rasporedu vanjskog opterećenja, • orijentaciji presjeka kojemu pripada ta točka. Numerički: Primjer 1.
1.1.2. Tenzor naprezanja, matrica tenzora naprezanja U “Nauci o čvrstoći” → veličine za čije je definiranje potrebno 32 = 9 podataka ( u ravnini 4) ⇒ tenzori 2. reda: npr. naprezanje, deformacija, momenti tromosti masa i površina. Tipovi tenzora u “Nauci o čvrstoći”: Red tenzora
nulti prvi
Poseban naziv Potreban broj podataka u primjeni
u ravnini
skalar
20 = 1
vektor
1
2 =2 2
u prostoru 30 = 1
Primjeri u “Nauci o čvrstoći”, “Mehanici”, “Mehanici kontinuuma” i dr. masa, duljina, vrijeme, temperatura i dr.
1
sila, brzina, ubrzanje, pomak i dr.
2
3 =3
drugi
tenzor
2 =4
3 =9
naprezanje, deformacija i dr.
četvrti
--
24 = 16
34 = 81
tenzor elastičnosti, tenzor krutosti i dr.
Komponente tenzora mijenjaju se pri rotaciji koordinatnog sustava po zakonu transformacije tenzora. Za definiranje tenzora naprezanja u točki M tijela potrebna su tri vektora punog naprezanja u tri međusobno okomita presjeka, tj. → 3 x 3 = 9 komponenti naprezanja. Predznak tih komponenti u odnosu na koordinatni sustav određuje se jednako kao i za unutarnje sile u presjeku tijela: → komponenta naprezanja je pozitivna, ako na pozitivnom presjeku (vanjska normala usmjerena je u pozitivnom smjeru koordinatne osi) djeluje u pozitivnom smjeru koordinatne osi, u suprotnom je negativna, kao na slici. Komponente naprezanja označuju se simbolom σ i s dva indeksa:
i, j = x, y ili z σi j oznaka koordinatne osi s kojom je komponenta paralelna normala presjeka na kojem djeluje komponenta naprezanja Na slici su sve prikazane komponente naprezanja pozitivne.
6
1. NAPREZANJA
σz
z
Negativni presjek x
z
Pozitivni presjek z Pozitivni presjek x
+
τy z
τx z
dz
τy x
σx
y
+
+
dy
x
σy
τx y
Negativni presjek y O
τz y
τz x
dx
O
x
y
U tehničkoj se praksi normalne komponente označavaju znakom σ s jednim indeksom, a posmične komponente znakom τ s dva indeksa (slika desno). Devet komponenata naprezanja u okolišu točke M, diferencijalni element obujma dV = dxdydz, određuju kvadratnu matricu tenzora naprezanja σij: i = j - normalna komponenta naprezanja, i ≠ j - posmična komponenta naprezanja. Matrica tenzora naprezanja σij za stanje naprezanja u nekoj točki M tijela u tehničkom označavanju je: σz
z
τz y
−
dz τy x σy
τy z
y dx
O
y1
τz x
+
τx z
+
τx y σx
dy
x
Na slici su sve komponente naprezanja prikazane pozitivne.
[σ ] ij
⎡σ x τ x y τ x z ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢τ y x σ y τ y z ⎥ . ⎢τ z x τ z y σ z ⎥ ⎣ ⎦
U prvom su retku komponente naprezanja koje djeluju na presjeku Ax+ , u drugom su retku komponente koje djeluju na presjeku Ay+ i u trećem su retku komponente koje djeluju na presjeku Az+ . Prvi stupac matrice
[σ i j ] čine komponente
naprezanja koje su paralelne s osi x, drugi stupac čine komponente naprezanja koje su paralelne s osi y i treći stupac čine komponente naprezanja koje su paralelne s osi z u točki tijela.
7
1. NAPREZANJA
Posmična su naprezanja jednaka ako djeluju na međusobno okomitim presjecima:
τ x y = τ yx , τ yz = τ z y , τ xz = τ zx .
Dokaz za jednakost posmičnih komponenata naprezanja, npr.τ x z = τ z x :
∑ M y1 = [τ x z (dydz )]⋅ dx − [τ z x (dxdy)] τ
τ
.
τ
. M
.
τ
τ
τ
. M
τ
⋅ dz = 0 / : dxdydz ⇒ τ x z = τ z x .
Na dva međusobno okomita presjeka elementa posmična su naprezanja jednaka po predznaku i τ iznosu, a oba su usmjerena k zajedničkom bridu elementa ili od brida.
Tenzor naprezanja u nekoj je točki tijela definiran s 9 komponenata, od kojih su 6 međusobno različite. Prema tome matrica tenzora naprezanja je simetrična, tj. vrijedi jednakost:
[σ i j ] = [σ ji ]. Postoji orijentacija koordinatnih osi u prostoru za koju su posmične komponente jednake nuli, a normalna naprezanja imaju ekstremne vrijednosti. To su osi 1, 2 i 3 → glavni pravci naprezanja, a naprezanja u njima su glavna naprezanja σ1 > σ2 > σ3. Pri promjeni orijentacije presjeka mijenja se vektor v naprezanja p po smjeru i iznosu, te se razlikuju: σ3
3
σ2 M σ1 1
2
• linearno (jednoosno) stanje naprezanja: σ1 ≠ 0, σ2 = σ3 = 0 v ⇒ vektor naprezanja p uvijek leži na jednom pravcu, • ravninsko (dvoosno) stanje naprezanja: σ1 > σ2 ≠ 0, σ3 = 0 v ⇒ vektor naprezanja p uvijek leži u istoj ravnini, • prostorno (troosno) stanje naprezanja: σ1 > σ2 > σ3 ≠ 0 v ⇒ vektor naprezanja p u nekoj točki tijela mijenja orijentaciju u prostoru.
8
1. NAPREZANJA
1.2. TRANSFORMACIJA KOMPONENATA TENZORA NAPREZANJA 1.2.1. Transformacija komponenata ravninskog stanja naprezanja
Tenzor naprezanja u točki M tijela koje je u ravninskom stanju naprezanja određen je s komponentama naprezanja σx, σy i τx y = τy x u osnovnom koordinatnom sustavu Oxy. Komponente naprezanja σ x , σ y i τ x y = τ y x u novom za kut ϕ zarotiranom koordinatnom sustavu određuju se pomoću izraza za transformaciju, danih u matričnom zapisu: a)
y
σy τy x
y
τx y M
ϕ dy
⎧σ x ⎫ ⎧σ x ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨σ y ⎬ = [Tσ ]⎨σ y ⎬ , ⎪τ ⎪ ⎪τ ⎪ ⎩ x y ⎭M ⎩ xy ⎭ M
σx dx
x
ϕ
⎡ m2 n2 2mn ⎤ [Tσ ] = ⎢⎢ n 2 m 2 − 2mn ⎥⎥ ⎢− mn mn (m 2 − n 2 )⎥ ⎣ ⎦
x
O
σy
b)
τy x
y
τx y σx
M
dy
gdje su za kut ϕ rotacije osi: m = cos ϕ , n = sin ϕ ,
x
dx
ϕ x
O
Izrazi za transformaciju komponenata naprezanja mogu se izvesti razmatranjem ravnoteže trokutnog elementa konstantne debljine, u okolišu točke M tijela, prema slici. a)
b)
y
y
y dy x
ϕ
dy O
dx
ϕ x
Trokutni je element pravokutan, slika a), pa je:
y
τx y
σx
τx y
σx
ϕ
x
ϕ
O
σy
τy x
x
dx dy = sin ϕ i = cos ϕ , dy dy
gdje su dx, dy i dy apsolutne vrijednosti duljina stranica trokuta.
Uvjeti ravnoteže elementa (jedinične debljine) za osi x i y glase:
ΣFx = σ x ⋅ dy − τ x y ⋅ dy ⋅ sinϕ − σ x ⋅ dy ⋅ cosϕ − τ y x ⋅ dx ⋅ cos ϕ − σ y ⋅ dx ⋅ sin ϕ = 0, ΣFy = τ x y ⋅ dy − τ x y ⋅ dy ⋅ cos ϕ + σ x ⋅ dy ⋅ sin ϕ + τ y x ⋅ dx ⋅ sin ϕ − σ y ⋅ dx ⋅ cos ϕ = 0.
9
1. NAPREZANJA
Te izraze treba podijeliti s dy , u njih uvrstiti ranije izraze, te uz τ x y = τ y x slijede izrazi za transformaciju dviju komponenata naprezanja:
σ x = σ x cos 2ϕ + σ y sin 2 ϕ + 2τ x y sin ϕ cos ϕ , τ x y = −(σ x − σ y )cosϕ sin ϕ + τ x y (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ ). Izrazi za preostale dvije komponente mogu se dobiti razmatranjem na sličan način ili pomoću gornjih izraza, ako se uzme u obzir da je:
π π σ x ⎛⎜ ϕ + ⎞⎟ = σ y (ϕ ) i τ x y ⎛⎜ ϕ + ⎞⎟ = −τ y x (ϕ ) . ⎝
2⎠
⎝
2⎠
Ti izrazi glase:
σ y = σ x sin 2ϕ + σ y cos 2 ϕ − 2τ x y sin ϕ cos ϕ , τ y x = −(σ x − σ y )cosϕ sin ϕ + τ x y (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ ). 2 sin ϕ cos ϕ = sin 2ϕ ,
Pomoću trigonometrijskih relacija:
cos 2 ϕ − sin 2 ϕ = cos 2ϕ ,
cos 2 ϕ =
1 1 (1 + cos 2ϕ ) , sin 2 ϕ = (1 − cos 2ϕ ) 2 2
mogu se gornji izrazi preinačiti u izraze:
σx = σy =
σx +σ y 2
σx +σ y 2
+ −
τ xy = τ yx = −
σ x −σ y 2
σ x −σ y 2
σ x −σ y 2
cos 2ϕ + τ x y sin 2ϕ
,
cos 2ϕ − τ x y sin 2ϕ
,
sin 2ϕ + τ x y cos 2ϕ
.
Između komponenata naprezanja vrijede ovi odnosi:
I1σ = σ x + σ y = σ x + σ y = σ 1 + σ 2 = const.
,
I 2σ = σ x ⋅ σ y − τ x2y = σ x ⋅ σ y − τ 2x y = σ 1⋅ σ 2 = const. Veličine I1σ i I 2σ nazivaju se prva odnosno druga invarijanta tenzora naprezanja, jer se ne mijenjaju pri rotaciji koordinatnog sustava.
10
1. NAPREZANJA
1.2.2. Glavna naprezanja
Za određivanje maksimalnog normalnog naprezanja u nekoj točki, kao i presjeka na kome ono djeluje derivirat će se izraz za σ x po ϕ i derivacija se izjednači s nulom:
⎛ σ x −σ y ⎞ dσ x sin 2ϕ + τ x y cos 2ϕ ⎟⎟ = 2τ x y = 0 . = 2⎜⎜ − dϕ 2 ⎝ ⎠ Kad ta derivacija postane jednaka nuli, bit će ϕ = ϕ o i ujedno τ x y = 0 . Na presjecima na kojima djeluju ekstremna normalna naprezanja, posmična naprezanja bit će jednaka nuli. Nakon sređivanja slijedi izraz:
tan 2ϕ o =
τ xy (σ x − σ y ) / 2 .
Očito je da kut ϕ o ima dvije različite vrijednosti → ϕ o′ i ϕ o′′ koje se međusobno razlikuju za kut π / 2 . Jedna vrijednost kuta daje položaj maksimalnog naprezanja σ max , a druga minimalnog naprezanja σ min . Ekstremne vrijednosti normalnih naprezanja nazivaju se glavna naprezanja (σ1 = σmax i σ2 = σmin), međusobno okomiti presjeci na kojima normalne komponente naprezanja poprimaju ekstremne vrijednosti nazivaju se glavni presjeci, a pripadne normale 1, 2 određene kutom ϕo su glavni pravci naprezanja. a)
Glavna naprezanja dana su izrazima:
y
σy
τy x
σ 1, 2 =
τx y σx
M
x
σx +σ y 2
⎛σ x −σ y ⎞ ⎟⎟ + τ x2y ± ⎜⎜ 2 ⎠ ⎝ 2
, MPa
Uvijek je: σ1 > σ2!, tj. vrijedi: b)
2
y
σ2
σ1 ϕo
M
1
x x
Vrijedi izraz za kutove:
ψ = ϕ + ϕo .
σ 2 = σ min .
Glavni pravci naprezanja određeni su izrazom:
ψ
ϕ
σ 1 = σ max, tan 2ϕ o =
2τ x y
σ x −σ y
Kut ϕo mjeri se od osi x do glavnog pravca 1, a može biti pozitivan, negativan ili jednak nuli:
− 90 o ≤ ϕ o ≤ 90 o .
11
1. NAPREZANJA
Ako su poznata glavna naprezanja, izrazi za transformaciju komponenata naprezanja u Oxy i Ox y koordinatnim sustavima glase: σ −σ 2 sin 2ϕ o . σ x = σ 1 cos 2 ϕ o + σ 2 sin 2 ϕ o , σ y = σ 1 sin 2 ϕ o + σ 2 cos 2 ϕ o , τ x y = τ y x = 1 2
σx=
σ1 + σ 2 2
+
σ1 −σ 2 2
cos 2ψ , σ y =
σ1 + σ 2 2
−
σ1 −σ 2 2
cos 2ψ , τ x y =
σ1 − σ 2 2
sin 2ψ .
1.2.3. Mohrova kružnica naprezanja Mohrova kružnica naprezanja (Otto Mohr, 1895.) zorno grafički prikazuje promjene komponenata naprezanja u nekoj točki tijela pri zakretanju presjeka kroz tu točku. Izrazi za transformaciju komponenta naprezanja kod zakreta osi mogu se pisati u obliku:
σx −
σ x +σ y 2
τ xy = −
=
σ x −σ y 2
σ x −σ y 2
cos 2ϕ + τ x y sin 2ϕ , / 2
+ sin 2ϕ + τ x y cos 2ϕ . / 2
Ako oba ta dva izraza kvadriramo, a zatim zbrojimo, slijedi jednadžba Mohrove kružnice naprezanja u koordinatnom sustavu Oστ:
σ +σ y ⎞ ⎛σ −σ y ⎞ ⎛ ⎟⎟ + τ x2y ⎟⎟ + τ x2y = ⎜⎜ x ⎜⎜ σ x − x 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2
2
,
gdje su polumjer Mohrove kružnice naprezanja i koordinata središta na osi σ :
σ +σ y ⎛σ x −σ y ⎞ ⎟⎟ + τ x2y = S A = τ max i O S = x = σS R = ⎜⎜ 2 2 ⎝ ⎠ 2
.
Pri crtanju Mohrove kružnice naprezanja posmično naprezanje crta se u gornju poluravninu ako nastoji zakrenuti element na koji djeluje u smjeru kazaljke na satu, a u donju poluravninu ako zakreće element suprotno od gibanja kazaljke na satu. Kod crtanja normalnih naprezanja, vlačno je naprezanje pozitivno, a tlačno je negativno. Postupak crtanja Mohrove kružnice naprezanja u primjeru kad je stanje naprezanja zadano na uobičajeni način, tj. pomoću četiri komponente naprezanja: σx, σy i τx y = τy x koje se odnose na presjeke u (x, y) – koordinatnom sustavu:
12
1. NAPREZANJA
1) Skicira se element i na njemu se ucrtaju zadane komponente naprezanja. Na elementu se označe dva okomita presjeka velikim slovima, npr. A i B, kao na slici. 2) U koordinatnom sustavu Oστ ucrtaju se točke A(σ x , τ x y ) i B(σ y , τ y x ) koje odgovaraju presjecima A i B. 3) Konstruira se kružnica koja prolazi točkama A i B, a njeno je središte S na osi σ. Središte S nalazi se u presjecištu osi σ i dužine AB . Apscise presjecišta C i D Mohrove kružnice naprezanja s osi σ predstavljaju glavna naprezanja σ1 i σ2. 5) Pol normala P određuje se tako da se iz bilo koje točke na Mohrovoj kružnici povuče paralela s pripadnom normalom na elementu. Ta paralela siječe kružnicu u točki P, koja predstavlja pol normala. Npr. kroz točku A povlači se paralela s normalom u A na elementu, tj. s osi x. Pol P nalazi se uvijek na paraleli s osi y, ali u odnosu na os σ na suprotnoj strani od točke B. 6) Kad je poznat pol P, mogu se lako odrediti glavni pravci naprezanja. To su na slici pravci 1 i 2 koji prolaze kroz pol P i točke C i D. 7) Komponente naprezanja na bilo kojem presjeku E određuju se tako da se iz P povlači paralela s normalom nE, tj. s osi x . Ta paralela siječe Mohrovu kružnicu u točki E kojoj apscisa i ordinata određuju naprezanja σ x i τ x y . Koordinate točaka presjeka kod crtanja Mohrove kružnice naprezanja:
σ1
−τx y +τy x
σx
σy
G
E
B
σ2
C
R
σy F −τy x +τx y
2ϕo
S
σS=(σx+σy)/2 σx
H
y
τx y
τx y
B
M A
+σ
A
(σx−σy)/2
y
σy
F
E
τx y
M
σ2 D C M
A (σx, τx y)
σx x σx
τy x
2
Sve točke naprezanja u presjecima kroz neku točku M nalaze se na kružnici, a za dva međusobno okomita presjeka nalaze se na suprotnim krajevima promjera kroz središte S kružnice.
τ x y = τy x
σy τ y x
τx y
2ϕ
D
−σ O
τmax
B (σy, τy x)
x
ϕ x
σ1
τx y = τy x E (σx, τx y) F (σy, τy x)
1
ϕo C (σ1, 0) x
D (σ2, 0)
13
1. NAPREZANJA
Mohrova kružnica naprezanja:
−τx y +τy x
Mjerilo: 1 cm = λσ MPa
σ1
σx
σy
n
G
y 2 B
y O
S
D
σ2
P
E
τx y
ψ
1
ϕo
ϕN
F
σy
x
C
ϕ
σS τmax
A
τx y
σS
τmax
ϕN=ϕo+π/4 G (σS, τmax)
H G
x
M
H (σS, τmax)
τmax Iz crteža se trebaju očitati
pripadajuće vrijednosti komponenata naprezanja i kutova.
σ
Kut između osi x i glavne osi 1 je: ψ = ϕ −ϕo .
x
H
+τx y −τy x
n
σS
σx
Crtanje Mohrove kružnice kada su poznata naprezanja za dva proizvoljna presjeka u točki M tijela: Mjerilo: 1 cm = λσ MPa
τ
τxy
A
σx
E 2
σx
τxy O
D
τxy
P
C
ϕo
2ϕ
ϕ
A
E
σx
x σx
x
1
S
τxy x
x ϕ
σ
14
1. NAPREZANJA
Mohrove kružnice nekih tipičnih ravninskih stanja naprezanja: a) jednoosno vlačno (tlačno) naprezanje, b) izotropno stanje naprezanja, c) čisto smicanje a1) rastezanje, vlak
σD
τ
τD D
σ D=σx/2 B A
=
σ x >0
D
τD
C
τC
τD=σx/2
S
O
σx
σ C=σx/2
τC=σx/2
C
σx/2
τC σC
σD a2) sabijanje, tlak
τD=σx/2
A
=
σ x <0
S
C
O B,P
A
D
τD
τ
D
τ C σ C=σx/2 B
σ
A
B,P
σ D=σx/2
C
σC
σ
σx/2
τC=σx/2
b) izotropno stanje
σy= σx >0 B A
σx
=
σx = σx
τ σx= σy= σx = σy
E
O
F
A,B S
σ
σy= σx σy= σx <0 B A
σx
=
σx= σx E
τ σx= σy= σx= σy S A,B
F
σy = σx
O
σ
15
1. NAPREZANJA
τ
c) čisto smicanje
τxy>0 B A
=
σ1 = τxy
σ2 =−τ xy
S
C D
σ1 = τx y
B
D
O
σ
C
σ2 =−τ xy
τ xy P A
τ P A
τ xy<0 B A
=
σ2 = τxy D
τxy D O
C
σ1 =−τxy
C
σ2= τxy
σ σ1 =−τxy
B
1.2.4. Transformacija komponenata prostornog naprezanja
Komponente prostornog naprezanja transformiraju se kao komponente tenzora 2. reda. Glavna naprezanja σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 su rješenja za σ korijeni jednadžbe 3. stupnja:
σ 3 − I1σ σ 2 + I 2σ σ − I 3σ = 0 , gdje su prva, druga i treća invarijanta tenzora naprezanja:
I1σ = σ x + σ y + σ z = σ 1 + σ 2 + σ 3 = const. , I 2σ = σ x ⋅σ y + σ y ⋅σ z + σ z ⋅σ x −τ 2x y −τ 2y z −τ 2z x = σ1⋅σ 2 + σ 2 ⋅σ 3 + σ 3 ⋅σ1 = const. I 3σ = σ x σ yσ z + 2τ x yτ y zτ z x − σ xτ 2y z − σ yτ 2z x − σ zτ 2x y = σ1⋅σ 2 ⋅σ 3 = const. Pravci glavnih naprezanja definirani su kosinusima smjera aij koji pravci glavnih naprezanja σi čine s koordinatnim osima x, y i z, a mogu se odrediti iz tri homogene linearne jednadžbe: 2 2 2 (σ x − σ i )li + τ x y mi + τ x z ni = 0, gdje je: σ i = σ 1 , σ 2 ili σ 3 , uz: li + mi + ni = 1 , a τ x y li + (σ y − σ i )mi + τ y z ni = 0, kosinusi kutova pravca glavnog naprezanja σi su: τ x z li + τ y z mi + (σ z − σ i )ni = 0, li = cos(> nvi , x) , mi = cos(> nvi , y ) , ni = cos(> nvi , z ) .
16
1. NAPREZANJA
Mohrova kružnica troosnog naprezanja može se konstruirati samo ako su poznata glavna naprezanja σ1, σ2 i σ3. Na slici je pokazano određivanje v komponenti naprezanja u kosom presjeku čija normala n zatvara kutove α, β i γ s glavnim pravcima 1, 2 i 3. Točka N pada u sjenčano područje između najveće kružnice i manjih kružnica naprezanja. Mjerilo: 1 cm = λσ MPa
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 .
τ E
rotacija oko osi 1
rotacija oko osi 2
F
N
σ3
R1
γ O
B
S3
A
S1
S2
σn
τn
α
R2
C
n
γ
pn
τ23
τn
α
σ τ12
β
N
M
τ13
σ3
σ2
rotacija oko osi 3
σn σ2
σ1
Koordinate točaka su: A(σ1, 0), B(σ2, 0), C(σ3, 0).
σ1
Puno je naprezanje u kosom v presjeku određenom normalom n :
p n = σ n2 + τ n2 , MPa
Maksimalna posmična naprezanja u kosim presjecima kroz točku M tijela: τ
3
τ 13= τ max τ 12
τ 23 O
S3
C
B
S1
S2
σ1 + σ3
σ1
2
σ2
45o
σ
A
2
M
σ2
σ3
τ 13
45o
σ2
τ 12 =
σ1
σ1 − σ 2 2
, τ 23 =
1
σ3
σ2 −σ3 2
, τ 13 = τ max =
σ1 − σ 3 2
.
Vrijednosti maksimalnih posmičnih naprezanja su od posebne važnosti u primjeni kod energijskih teorija čvrstoće izotropnih tijela. Primjeri Mohrove kružnice naprezanja: prema "Vježbenici ispitnih zadataka"!
