1. UVOD 1.1. OPĆENITO O PREDNAPETOM BETONU
Beton je građevinski materijal koji ima veliku tla čnu, a malu vlačnu čvrstoću, koja iznosi približno 1/10 njegove tlačne čvrstoće. U betonu se pojavljuju neizbježni naponi izazvani temperaturnom razlikom i njegovim skupljanjem. Ti naponi mogu vrlo brzo dosti ći vlačnu čvrstoću betona, što ima za posljedicu pojavu pukotina i prije nego se konstrukcija optereti. Vlačnim naponima od temperature i skupljanja valja pribrojiti one od vanjskog optere ćenja, što će još više ubrzati i proširiti raspucavanje vla čnog područ ja. Pukotine u betonu smatrale su se ve ć u početku uporabe armiranog betona za nedostatak. Zato se pomišljalo na to da se istezanjem armature u betonu izazove napon tlaka, tj. da se beton prednapne. Početna zamisao prednapinjanja sastojala se u tome da se na umjetni način, prije vanjskog djelovanja, unese u beton takvo stanje naprezanja kako bi se svi naponi za uporabno opterećenje mogli preuzeti sudjelovanjem cijelog betonskog presjeka (naponsko stanje I). Na osnovi te ideje razvilo se puno prednapinjanje (slika 1.1.) kada se isklju čuju naponi vlaka i ograni čeno prednapinjanje kada se dopuštaju vlačni naponi, ali ograničene veličine, tj. manji od dopuštenih danih propisima.
U tijeku razvoja prednapetog betona bilo je više prijedloga da se dopuste i pukotine u prednapetom betonu pod djelovanjem i promjenjivog optere ćenja, odnosno da se uvede u praksu i djelomično prednapeti beton, što je tek nedavno prihvaćeno.
čeno čno o prednapeti Slika 1.1. Potpuno, ograni č e no i djelomi č n beton
Svi prednapeti elementi i konstrukcije moraju biti armirani, osim čelikom za prednapinjanje, i betonskim čelikom koji ima višestruku važnost, a prvenstveno služi kod djelomi čno i ograničeno prednapetih konstrukcija za prihva ćanje vlačnih napona. Radi lakše podjele prednapetih konstrukcija uveden je stupanj prednapinjanja koji predstavlja omjer momenta dekompresije i momenta savijanja od ukupnog vanjskog opterećenja. k =
M dek M G +∆G +Q
=
M dek M max
Moment dekompresije predstavlja moment savijanja izazvan vanjskim opterećenjem koji je po veli čini i smjeru
takav da na vlačnom rubu poništi tla čne napone izazvane silom prednapinjanja. Kada je stupanj prednapinjanja 1.0, radi se o punom prednapinjanju, a kada je nula o armiranom betonu. Između ta dva ekstrema nalaze se ograničeno i djelomično prednapete konstrukcije.
1.2. PREDNOSTI I NEDOSTACI PREDNAPETIH KONSTRUKCIJA
Kroz dugi niz godina pri projektiranju, izvo đenju i uporabi puno i ograničeno prednapetih konstrukcija ustanovljeni su neki nedostaci ovih sustava kao: - povećanje progiba tijekom vremena iznad prognoziranog, - velika potrošnja skupog čelika za prednapinjanje, - nepotrebno velika sigurnost, - pojava nepredviđenih pukotina. S druge strane, vremenom se došlo do spoznaje da je za trajnost mjerodavno stalno optere ćenje. Pukotine koje se otvaraju pod promjenjivim optere ćenjem ponovo se zatvaraju bez štetnih posljedica za konstrukciju, te da nije potrebno prednapinjanje za ukupno optere ćenje. Prednosti prednapetih konstrukcija i elemenata u odnosu na armiranobetonske su: - povećana nosivost, - manja deformabilnost, - manja vlastita težina kod iste nosivosti, - djelovanje poprečnih sila znatno je umanjeno, osobito kada su prisutni povijeni kabeli, - manja potrošnja čelika, što se direktno ne može uspoređivati jer se rabi skuplji čelik za prednapinjanje, - isključenje pukotina kod punog i ograni čenog prednapinjanja, a smanjenje širina kod djelomičnog prednapinjanja, - proširenje i ubrzanje montažnog gra đenja.
Ove prednosti prednapetih konstrukcija napla ćuju se skupljim gradivom i ve ćim radom. Naime, prednapeti beton zahtijeva primjenu kvalitetnih materijala, složenu tehnologiju i veliku preciznost u projektiranju i izvo đenju te stalnu kontrolu i održavanje, što valja stalno imati na umu jer se greške ne mogu ispraviti.
1.3. PODRUČJE PRIMJENE
Danas se prednapeti beton primjenjuje u gra đenju zgrada, mostova, hidrotehni čkih objekata, silosa, bunkera, tornjeva, spremnika, kesona, potpornih zidova, nuklearnih elektrana, industrijskih i poljoprivrednih građevina te drugih. Uvođenjem djelomično prednapetog betona, primjena prednapetih konstrukcija proširiti će se i na ona podru č ja građenja gdje puno i ograni čeno prednapinjanje nije optimalno rabiti. Naime, djelomi čno prednapeti beton, zbog raspucavanja, pruža mogućnost korištenja duktilnosti i apsorpcije seizmičke energije, pa se stoga može racionalno primjenjivati u građenju hiperstatičkih sustava i objekata u seizmičkim područ jima. Prednapete armiranobetonske konstrukcije imaju prioritet u građenju objekata velikih raspona kao što su stadioni, tržnice, koncertne i sportske dvorane, kolodvori te mostovi.
1.4. OBJAŠNJENJE NAČELA PREDNAPINJANJA PREDNAPINJANJA Jezgra presjeka je dio poprečnog presjeka unutar kojeg se mora nalaziti hvatište ekscentrične uzdužne sile da bi su u čitavome presjeku pojavila naprezanja istog predznaka. Kod pravokutnog poprečnog presjeka jezgra presjeka udaljena je od težišta presjeka za 1/6 visine presjeka prema gore i prema dolje od težišta presjeka (slika 1.1a.) σ=0
k g=h/6
ezgra
P
σ=-P/A
k d=h/6
P
σ=-P/A
Slika1.1a. Jezgra presjeka za pravokutni presjek
- k g - udaljenost donjeg ruba jezgre - k d - udaljenost gornjeg ruba jezgre
σ=-2⋅P/A
−
−
−
P A
+
P A
P A
P ⋅ zcp W g
zg zcp
zd −
P A
−
P ⋅ zcp W d
čno o i ekscentri č čno o prednapeta greda Slika 1.1b. Centri č n n (unutar jezgre popreč nog nog presjeka)
Kroz betonsku prizmu provučena je čelična šipka koja na svojim krajevima ima maticu s podložnom plo čicom. Nakon što beton dostigne dovoljnu čvrstoću, šipka se okretanjem matice napregne i pri tome izduži razmjerno veličini sile. Sila vlaka u šipki izazvana naprezanjem upire se preko podložnih pločica u beton i tako u njemu izaziva željene tlačne napone, pri čemu se betonska prizma skra ćuje. Dio šipke koji viri iz betona će se povećati za zbroj veličine izduženja šipke i skra ćenja betona (slika 1.2.).
čno o prednapeta prizma Slika 1.2. Centri č n
Centrično naprezanje šipke pri savijanju je neekonomi čno jer omogućuje iskorištenje samo polovice dopuštenog tlačnog napona pri napinjanju. Postavlja se zato šipka kojom se prednapinje ekscentrično (slika 1.3.).
čno o prednapeta prizma Slika 1.3. Ekscentri č n a) Sila prednapinjanja na donjem rubu jezgre b) Sila prednapinjanja ispod donjeg ruba jezgre
Odrediti ćemo naprezanja u betonu, uz pretpostavku da je beton u naponskom stanju I, uslijed sile prednaprezanja P i momenta savijanja M (slika 1.4.).
Slika 1.4. Naprezanja u presjeku
Naprezanje u betonu na gornjem rubu presjeka: g σ c = −
P A
+
P ⋅ z cp W g
−
M W g
Naprezanje u betonu na donjem rubu presjeka: d σ c = −
P A
−
P ⋅ z cp W d
+
M W d
- P - sila prednaprezanja - A - površina popre čnog presjeka betona - z cp - udaljenost između težišta betonskog presjeka i težišta natege - Wg - moment otpora s obzirom na gornju rub presjeka - Wd - moment otpora s obzirom na donji rub presjeka - M - moment savijanja od vanjskog optere ćenja
1.5. AKTUALNI I BUDUĆI NAŠI PROPISI Za projektiranje, proračun i konstruiranje armiranobetonskih prednapetih konstrukcija kod nas se je prije primjenjivao Pravilnik primjenjivao Pravilnik o tehnič kim kim mjerama i uvjetima za prednapeti beton iz beton iz 1971. godine. Kako je ovaj pravilnik zastario, pristupilo se 1983. godine izradi novog pravilnika. Na simpoziju u Dubrovniku 1985. godine bio je prezentiran Nacrt pravilnika o tehnič kim kim normativima za prethodno napregnute armiranobetonske elemente i konstrukcije. konstrukcije. Trenutno su važeće norme za proračunom prednapetih elemenata prema Europskoj prednormi ENV prednormi ENV 1992. 1992. Buduće norme za proračunom prednapetih elemenata biti će prema Europskoj normi EN normi EN 1992. 1992.
1.6. POVIJESNI PREGLED
Prvi zabilježeni patent prednapetog betona registrirao je oko 1890. god. ameri čki inženjer iz San Francisca imenom Henry Jackson izgradivši betonski nadvoj s prednapetim zategama. No, nakon godinu dana nadvoj se srušio. H. Jackson nije znao za fenomen puzanja betona i opuštanja mekog čelika, što je u kona čnici rezultiralo "nestankom" prednapinjanja. Tehnologiji prednapinjanja su tada nedostajali bolji materijal i tehničko znanje, a to je oboje imao francuski inženjer Eugene Freyssinet patentirajući 1928. god. prethodno prednapinjanje betona čelikom velike čvrstoće. Freyssinet je shvatio važnost velike čvrstoće betona i čelika te potrebe postizanja što ve će sile prednapinjanja. Uočivši pojavu puzanja shvatio je da tek vrlo veliko prednapinjanje može spriječiti njegov gubitak prouzročen puzanjem. Ovdje se navode neki od važnijih datuma za prednapinjanje betonskih konstrukcija: - 1888. W. Döhring izlaže načela prednapinjanja betona, neuspjeh - 1890. Henry Jackson, San Francisco, gradi betonske nadvoje s pređnapetim zategama, neuspjeh - 1928. Eugene Freyssinet patentira prethodno prednapinjanje betona čelikom velike čvrstoće - 1930. Vianini radi centrifugirani beton omotan prednapetom žicom - 1934. Eugene Freyssinet sanira Le Havre shippnig terminal, spektakularno demonstrira prednosti
- 1937. - 1940. - 1943. - 1944. - 1944. - 1950. -1955. -1952.
-1953. -1962.
-1976. -1997.
prednapinjanja, uspjeh prvi cestovni mostovi od prednapetog betona prednapeti željeznički pragovi Mösch, prva knjiga o prednapetom betonu Magnel, Bruxelles, prvi željeznički most od prednapetog betona Rüsch, München, prednapeti rešetkasti nosač Pariz, prvi me đunarodni kongres o prednapetom betonu SAD, prve betonske pređnapete stropne ploče Osnovana Međunarodna federacija za prednapinjanje (FIP - Fédération Internationale de la Précontrainte) Osnovan Europski odbor za beton (CEB - Comité Européen du Béton) Zajedničkom inicijativom FIP-a i CEB-a osnovan Zajednički CEB-FIP odbor za preporuke o prednapetom betonu ('Mixed CEB-FIP Committee for Drafting of Recommendations for Prestressed Concrete') CEB mijenja ime u Euro-međunarodni komitet za beton (Comité Euro-International du Béton) Udruživanjem CEB i FIP nastaje organizacija FIB.
2. MATERIJALI 2.1. OPĆENITO
Za izradu prednapetih armiranobetonskih elemenata i konstrukcija rabi se beton i čelik visokih kvaliteta. Samo ugradnjom betona visoke čvrstoće te relativno malih viskoznih deformacija (skupljanje, puzanje) omogu ćuje se realizacija prednapetih konstrukcija. Isto tako se ne može zamisliti uspješno gra đenje s prednapetim elementima bez ugradnje čelika visoke čvrstoće i povoljnih deformacijskih svojstava. 2.1.1. Beton Beton visoke kakvo će, kao uvjet za gra đenje prednapetih konstrukcija, nije nužan samo radi velikih naprezanja kojima je izložen, ve ć i radi toga što kvalitetan beton štiti armaturu od korozije. Bitna svojstva betona za izradu prednapetih konstrukcija su: - visoka vlačna i tlačna čvrstoća - male viskozne deformacije - dobra adhezija i sposobnost zaštite betonskog čelika, a osobito onoga za prednapinjanje, od korozije. 2.1.2. Čelik za prednapinjanje Za postizanje i održavanje traženog naponskog stanja u prednapetim armiranobetonskim konstrukcijama, uz vanjsko opterećenje, služi čelik za prednapinjanje. On je u
ovim konstrukcijama stalno napregnut bez obzira na vanjsko djelovanje. U trenutku prednapinjanja konstrukcije ili elementa čelik se vrlo visoko napreže, negdje izme đu 65 i 75% njegove karakteristične čvrstoće. Poslije prednapinjanja, tijekom vremena, dolazi do pada napona u čeliku zbog reoloških svojstava betona i čelika. Čvrstoća čelika ograničena je zahtjevom da on ima dovoljnu žilavost koja je neophodna za gra đenje duktilnih konstrukcija, kojih su povoljna svojstva poznata. Osim visoke čvrstoće i duktilnosti, poželjni su čelici koji nisu osobito podložni koroziji, barem u normalnoj sredini.
2.1.3. Mort za injektiranje Mort za injektiranje štiti čelik za prednapinjanje od korozije i osigurava naknadnu vezu izme đu čelika i betona. Svrha injektiranja je postignuta ako je kanal potpuno ispunjen kvalitetnim mortom. Naknadno uspostavljena veza između betona i čelika preko morta povećava nosivost. Injektiranje valja izvesti na najnižoj točki kabela, a odzračivanje i izlaz morta na najvišoj to čki (slika 2.1.).
Slika 2.1. Injektiranje kabela
Slika 2.1.a Popreč ni ni presjek kabela za prednapinjanje
Slika 2.1.b Uzdužni presjek prednapete grede
2.2. SVOJSTVA
ČELIKA ZA PREDNAPINJANJE
Koristiti ćemo ove oznake: - f pk - karakteristična vlačna prednapinjanje
čvrstoća
čelika
za
- f p0.1k - karakteristično naprezanje čelika za prednapinjanje pri zaostaloj deformaciji 0.1 % (skraćeno: karakteristična granica popuštanja 0.1 %) - εuk - karakteristična deformacija čelika za prednapinjanje kod najveće sile Ovo poglavlje vrijedi za žice, šipke i užad koji se rabe kao natege u betonskim konstrukcijama. Proizvodi (žice, užad i šipke) se dijele prema: - vrsti, s navođenjem karakteristične granice popuštanja pri zaostaloj deformaciji od 0.1 % (f p0.1k ) i karakteristične vlačne čvrstoće (f pk ) u N/mm2. - razredu, s navođenjem relaksacijskoga ponašanja - izmjerama - obilježjima površine. Žice i šipke ne smiju se zavarivati. Pojedinačne žice i užad smiju se zavarivati prije hladnog izvlačenja. Mjesta varova moraju na užadi biti izmaknuta. Dopušteno je računati s ovim srednjim vrijednosti - gustoća: 7850 kg/m3 - toplinski koeficijent: 10 x10-6 K -1
Granica popuštanja pri zaostaloj deformaciji od 0.1%, f p0.1k i vlačna čvrstoća f pk uvijek se definiraju kao karakteristične vrijednosti. Smatra se da je duktilnost zadovoljavajuća ako proizvodi zadovoljavaju zahtjeve za karakterističnom deformacijom kod najveće sile, εuk (vidi sliku 2.2.).
Slika 2.2. Tipi č n čni i dijagram naprezanje - deformacija č elika elika za prednapinjanje
Modul elastičnosti za žice i šipke iznosi 200 kN/mm2. Ovisno o postupku proizvodnje, stvarna vrijednost može biti između 195 i 205 kN/mm2. Za užad modul elastičnosti iznosi 190 kN/mm2. Stvarna vrijednost, ovisno o postupku izradbe, može biti između 175 i 195 kN/mm2. Definirana su tri razreda opuštanja (relaksacije): - razred 1: za žice i užad visokog opuštanja (relaksacije) - razred 2: za žice i užad niskog opuštanja - razred 3: za šipke.
Puzanje je povećanje deformacije pri konstantnom naprezanju (slika 2.3.a), dok je relaksacija (opuštanje) smanjenje naprezanja pri konstantnoj deformaciji (slika 2.3.b). a)
b)
Slika 2.3. a)puzanje, b)relaksacija
Kod dimenzioniranja uzimaju se vrijednosti koje vrijede za gubitak naprezanja zbog opuštanja nakon 1000 sati, ili prema ispravi ili prema slici 2.4., za tri navedena razreda čelika. Dopušteno je konačnu vrijednost opuštanja uzeti trostruko većom od one za 1000 sati.
Slika 2.4. Gubici zbog opuštanja nakon 1000 sati kod 20 °C
Podatke o gubicima prednapinjanja zbog opuštanja za vrijeme od 0 do 1000 sati daje tablica 2.1. Tablica 2.1. Približni odnos gubitaka zbog opuštanja i vremena do 1000 sati
Opuštanje pri temperaturi konstrukcije iznad 20° C bit će veće od onog na slici 2.4. To može imati utjecaja na građevine u toploj klimi (slika 2.5.). Gubici zbog opuštanja u kratkom vremenu, kad je temperatura konstrukcije preko 60° C, mogu biti 2 do 3 puta veći od onih kod 20° C. Međutim, najčešće se može uzeti da povećana temperatura u kratkom razdoblju nema utjecaja na rezultate dugotrajnog opuštanja.
Slika 2.5. Opuštanje ovisno o temperaturi
Proizvode će se otpuštene hladnovučene žice, užad i šipke te poboljšane žice. Otpuštena hladnovučena žica proizvodi se hladnom obradom od toplovaljane žice. Površina žice može biti glatka ili profilirana. Žica se profilira na pravilnim razmacima nakon čega se otpušta kratkotrajnom toplinskom obradom. Namata se na kolutove velikog promjera. Otpušteno uže može se sastojati: - od tri žice uvijene oko zamišljene osi, - od sedam žica od kojih je ona u jezgri ravna, - od sedam žica zbijenih provlačenjem kroz usnik. Šipke se proizvode valjanjem u toplom stanju, a mogu biti glatke ili rebraste. Obrađuju se ubrzanim hlađenjem te ohlađene istezanjem ili dodatnim otpuštanjem. Poboljšana žica proizvodi se naglim hlađenjem od toplo valjane žice, a zatim otpuštanjem u neprekinutom postupku pri prikladnoj temperaturi. Može biti glatka ili rebrasta na stalnom razmaku po cijeloj dužini.
Slika 2.6 .Popreč ni ni presjek užeta za prednapinjanje a) standardni i b) kompaktni 7-ži č n čni i presjek
Slika 2.7. Radni prednapinjanje
dijagrami
armature
i
elika č elika
za
3. VRSTE PREDNAPETOG BETONA 3.1. PREMA NAČINU PREDNAPINJA PREDNAPINJANJA NJA
Prema načinu prednapinjanja prednapete konstrukcije dijele se na: - konstrukcije prednapete prije stvrdnjavanja betona - konstrukcije prednapete poslije stvrnjavanja betona 3.1.1. Prednapinjanje prije stvrdnjavanja betona Prednapinjanje se izvodi na stazi za istezanje (slika3.1.). Žice ili užad se napnu te se oko njih betoniraju elementi. Kada beton dostigne predviđenu čvrstoću, te uspostavi dovoljna prionljivost između betona i čelika, veza se žica s ležajima i među elementima raskida, pa se time sva sila iz čeličnih žica ili užadi adhezijom u obliku tlaka prenosi na beton. Ovaj se sustav prednapinjanja, stoga, zove i adhezijsko prednapinjanje.
Slika 3.1. Faze adhezijskog prednapinjanja
Staza za prednapinjanje sadrži dva upornjaka između kojih se istežu žice ili užad za prednapinjanje i poda. Duljina staze se kreće od 60 do 150 m, a širina od 6 do 12 m. Na nepomičnom kraju žice su sidrene na čeličnu ploču koja se oslanja na konzolne ležajeve (upornjake). Na drugom pokretnom kraju žica nalazi se ploča za sidrenje, vretena, hidraulička preša za istezanje žica te matica na vretenu za pritezanje na čeličnu ploču. Mjerenje ostvarenog napona u žicama obavlja se na dva načina: - mjerenjem izduženja žica na stazi, - neposrednim mjerenjem frekvencije vibracija žica. Nakon presjecanja žica, naponi na krajevima elementa u betonu i čeliku su nula, ali oni na određenoj duljini dostižu svoju maksimalnu vrijednost aktiviranjem adhezije. Ova duljina zove se duljina prenošenja (slika3.2.). U područ ju sidrenja raspodjela napona je nepravilna i pojavljuju se sile cijepanja koje je potrebno prihvatiti betonskim čelikom u oba poprečna smjera.
Slika 3.2. Naponi na kraju elementa
Slika 3.2.a Naponi na elementa
3.1.2. Prednapinjanje poslije stvrnjavanja betona Čelik
za prednapinjanje polaže se izvan očvrslog betona ili u zaštitne cijevi u betonu, kako bi se mogao slobodno istezati (slika 3.3.). Sila napinjanja prenosi se s čelika na beton preko sidara (kotvi).
ćivanja ivanja betona Slika 3.3. Element prednapet poslije oč vrš vrš ć
Za prednapinjanje se najviše primjenjuje snop paralelnih žica, a sada sve više užad te rijeđe pojedinačne šipke. U praksi je uvriježeno kazati za snop žica, uže ili snop užadi te pojedinačnu šipku u zaštitnoj cijevi riječ "kabel", iako postoji prijedlog da se kaže "natega".
Kabeli se u tijeku betoniranja zaštićuju najčešće metalnim cijevima od glatkog lima debljine 0.15-0.20 mm, sada i do 1.0 mm. Da bi se povećala poprečna krutost cijevi, rabi se naborani ili rebrasti lim, čime se ujedno poboljšava veza između cijevi i betona. Cijevi u podužnom smjeru moraju biti dostatno savitljive da bi se mogle prilagoditi krivocrtnom tijeku kabela.
Slika 3.3.a Zaštitne cijevi u kojima se nalaze natege kod čne e ili plasti č čne e naknadnog prednapinjanja mogu biti č eli eli č n n
Ima pokušaja primjene plastičnih cijevi za zaštitu kabela za vrijeme betoniranja. Kod njih je trenje nešto veće u usporedbi s čeličnim cijevima, pa su i gubici također nešto veći. Podužni otvori za kabele mogu se ostavljati u tijeku betoniranja na različite načine, pa se kabeli naknadno uvlače u njih. Kompozicija čelika za prednapinjanje (kabel sa zaštitnom cijevi), uređaj za napinjanje (hidraulička preša), kotve i stroj za injektiranje čine sustav za prednapinjanje koji je najčešće patentiran. Tako u svijetu ima relativno veliki broj sustava za prednapinjanje.
Najpoznatiji i najstariji je Freyssinetov sustav. U Hrvatskoj se koriste švicarski sustav BBR, austrijski sustav VORSPANN-TECHNIK te njemački DYWIDAG. Na krajeve kabela postavljaju se kotve koje služe za usidrenje žica poslije napinjanja da bi se održala sila koja je dostignuta na kraju istezanja. Sila s kotve prenosi se kao sila prednapinjanja na beton. Česti
su tipovi kotvi koja se sastoji od klina i kućišta koje s unutrašnje strane ima konusni oblik pogodnog nagiba (slika 3.4.).
Slika 3.4. Sidrenje pomoć u klina
Kotve mogu biti aktivne i pasivne. Aktivne su one koje služe za sidrenje žica neposredno poslije napinjanja, a pasivne prije istezanja. Postoji nekoliko sustava za prednapinjanje čeličnih sipki. Najjednostavniji je sustav na principu vijka. Šipka završava za vršava navojem za maticu. Jedan kraj je fiksan, a drugi se napinje, te nakon predviđenog istezanja, matica se priteže do podložne pločice.
Slika 3.4.a Vrste prednapetog betona
Slika 3.4.b Unutarnji i vanjski babel
3.2. PREMA STUPNJU PREDNAPINJANJA
Prednapeti armiranobetonski elementi i konstrukcije prema stupnju prednapinjanja dijele se na: - puno prednapete - ograničeno prednapete - djelomično prednapete. Stupanj prednapinjanja koji predstavlja omjer momenta rastlačenja (dekompresije) i ukupnog momenta kre će se od 1.0 do 0. k =
M dek M G +∆G +Q
=
M dek M max
Puno prednapeti su elementi u kojima, pri najnepovoljnijoj kombinaciji djelovanja, u betonu nema vla čnih napona, odnosno kada je stupanj prednapinjanja 1.0. U tijeku prednapinjanja dopuštaju se vlačni naponi koji moraju biti manji od dopuštenih. Ograničeno ili nepotpuno prednapeti elementi su oni u kojima, pri najnepovoljnijoj kombinaciji optere ćenja, mogu nastati vlačni naponi, ali moraju biti manji ili najviše jednaki propisanim dopuštenim vlačnim naponima. Kod njih je stupanj prednapinjanja manji od 1. Djelomično prednapeti su elementi i konstrukcije u kojima se, pri određenoj kombinaciji djelovanja u tijeku gra đenja i eksploatacije, mogu pojaviti pukotine, ali kojih karakteristične širine moraju biti manje od maksimalnih
graničnih danih propisima ili uvjetima upotrebe. Kod njih je stupanj prednapinjanja između 0.4 i 0.7. U prednapete konstrukcije mogle bi se svrstati i klasi čne armiranobetonske, s tim da ih se tretira sa stupnjem prednapinjanja nula. - puno prednapete - ograničeno prednapete - djelomično prednapete - armirani beton
k=1 0
Bachmannova istraživanja pridonjela su ekonomi čnom izboru stupnja prednapinjanja. Promatran je nosa č slobodno oslonjen na dva ležaja. Variranjem stupnja prednapinjanja, određivana je potrebna armatura (slika3.5.).
Slika 3.5. Ovisnost prednapinjanja
č ine koli č ine
armature
o
stupnju
Minimalna ukupna površina betonskog čelika i onog za prednapinjanje dobivena je za stupanj prednapinjanja k=0.6.
Stupanj prednapinjanja ima utjecaja na zamor materijala. Rezultati istraživanja pokazuju da je, kod srednjeg stupnja prednapinjanja (k=0.4-0.7), prirast napona u čeliku za prednapinjanje, odnosno nastali u betonskom čeliku, pojavom pukotina, manji od napona u armaturi klasično armiranih konstrukcija. Pri većem stupnju prednapinjanja (k>0.7) prirast napona zanemarljivo je mali. Manji stupanj prednapinjanja, veće su širine pukotina, a manja potrošnja čelika za prednapinjanje. Veći stupanj prednapinjanja, veća potrošnja prednapetog čelika, ali vjerojatnost raspucavanja manja, a ako se pojavi, širine pukotina bit će uske. Na osnovi prethodno opisanog istraživanja, a i drugih, predlaže se konstrukcije potpuno prednapinjati za stalno opterećenje, odnosno da se za stupanj prednapinjanja odabere: M G + ∆G ≥ 0.4 k = M max
4. IZBOR PRESJEKA PREDNAPETIH NOSAČA
Visina prednapetog nosača obično je manja od one kod jednako opterećenog nosača od armiranog betona. Ekonomična se visina kreće od 1/14 do 1/20 (l-raspon nosača). Kako prednapete grede imaju male deformacije, ide se i do 1/30 za mostove i do 1/40 za lagano optere ćene grede u zgradarstvu, čime se koristi njihova prednost u odnosu na armiranobetonske konstrukcije. Oblik poprečnog presjeka ovisi o omjeru G/Q. Ako je stalni teret G velik, dovoljan je mali vla čni pojas, dok veli čina tlačnog pojasa ovisi o sumi optere ćenja (G+Q). Pri velikoj vrijednosti omjera G/Q i dostatnoj visini presjeka zadovoljava T-presjek. Ako je, naprotiv, Q u odnosu na G veliko, odnosno omjer G/Q mali, ili ako je visina presjeka mala, vla čnom pojasu valja dati veću širinu kao što ima I-presjek ili sandu časti presjek (slika 4.1.).
Slika 4.1. Oblici popreč nog nog presjeka prednapetih greda
Puni presjeci greda se rijetko prednapinju, ali se plo če, koje se tretiraju kao puni presjek, često prednapinju. Približne dimenzije I-presjeka mogu se dobiti uporabom izraza: h ≈ (3 do 4) M G
+
Q
(h [cm], M [kNm])
Slika 4.2. Oblici popreč nog nog presjeka prednapetih greda
5. PRORAČUN PREDNAPETIH KONSTRUKCIJA 5.1. DOKAZNI POSTUPCI I RAČUNSKE VELIČINE DJELOVANJA
Armiranobetonske i prednapete konstrukcije, prema EC 2, valja dimenzionirati po metodi grani čnih stanja, s tim da se prednapeta armatura predvidi ili se odredi metodom dopuštenih napona. Kriteriji proračuna za sigurnost i uvjete upotrebljivosti zasnivaju se na: - graničnom stanju nosivosti i - graničnom stanju uporabljivosti Kada se promatra granično stanje sloma ili prekomjernih deformacija presjeka treba dokazati: S d ≤ Rd
gdje je Sd ra r ačunska vrijednost rezne sile, a R d odgovarajuća računska nosivost. Za dokazni postupak uporabljivosti primjenjuje se izraz: E d ≤ C d
gdje je Ed računska veličina izazvana vanjskim djelovanjem, a Cd nominalna adekvatna veli čina uporabljivosti dana propisima ili drugim uvjetima eksploatacije ili trajnosti.
5.2. ANALIZA SUSTAVA
Za rješavanje sustava primjenjuju se metode: - Linearna teorija elastičnosti, - Linearna teorija elastičnosti s ograničenom preraspodjelom, - Teorija plastičnosti, - Nelinearna teorija. U pravilu konstrukcije se prora čunavaju po teoriji I. reda. Međutim, kada je izobli čenje takvo da vodi do znatnog povećanja reznih sila, valja uvjete ravnoteže zadovoljiti na deformiranom sustavu (teorija II. reda). Pronalaženje reznih sila za granično stanje uporabljivosti provodi se po teoriji elastičnosti. Za određivanje reznih sila mjerodavnih za dimenzioniranje po graničnom stanju nosivosti rabe se sve gore navedene teorije, s tim da za uporabu linearne teorije elasti čnosti s ograničenom preraspodjelom i teorije plastičnosti elementi konstrukcije moraju imati dostatnu duktilnost.
5.3. SILA PREDNAPINJANJA
Ova poglavlja odnose se na prednapete konstrukcije s nategama smještenim unutar elementa i s potpunom prionjivošću. Promatraju se ovi u činci: - lokalni učinci u područ ju sidrenja i na mjestu promjene smjera natege - izravni učinci u statički određenim konstrukcijama - izravni i neizravni učinci u statički neodređenim konstrukcijama. Elementi kod kojih natege ostaju stalno slobodne obra đeni su u ENV 1992-1-5.
Slika 5.1. Prikaz gubitaka sile prednapinjanja
Koristiti ćemo slijedeće oznake: - Pd - proračunska vrijednost sile prednapinjanja u graničnom stanju nosivosti (pretpostavlja se da je Pmt = Pk ) - Pk ,inf - donja karakteristična vrijednost sile prednapinjanja za dokaz graničnog stanja uporabljivosti - Pk ,sup - gornja karakteristična vrijednost sile prednapinjanja za dokaz graničnog stanja uporabljivosti - P0 - sila prednapinjanja na kraju sidra neposredno nakon prednapinjanja - Pm 0 - srednja vrijednost sile prednapinjanja neposredno nakon prednapinjanja (naknadno prednapinjanje) ili nakon prijenosa sile prednapinjanja (prethodno prednapinjanje) na proizvoljnom mjestu x u uzdužnom smjeru elementa (npr. sila neposredno nakon gubitaka sile prednapinjanja) - Pmt - srednja vrijednost sile prednapinjanja u vremenu t na mjestu x uzduž elementa - Pm∞ - srednja vrijednost sile prednapinjanja na mjestu x, u uzdužnom smjeru elementa nakon svih gubitaka sile prednapinjanja - P0,max - dopuštena najve ća vrijednost P0 - ∆Pc - gu gubitak si sile pr prednapinjanja zb zbog el elastičnog deformiranja elementa kod prijenosa sile prednapinjanja - ∆Psl - gu gubitak si sile pr prednapinjanja zb zbog pr prokliznuća klina - ∆Pt (t ) - gubitak sile prednapinjanja zbog puzanja, skupljanja i opuštanja u vremenu t - ∆Pµ ( x) - gubitak sile prednapinjanja zbog trenja - r inf i r sup - koeficijenti koji se rabe za odre đivanje donjih i gornjih karakterističnih vrijednosti sile pred napinjanja u graničnom stanju uporabljivosti
Srednja vrijednost sile prednapinjanja, odre đuje se, ovisno o vrsti prednapinjanja, prema a) ili b). a) prethodno napeti elementi: Pmt = P0
− ∆Pc − ∆Pt (t ) − ∆Pµ ( x )
∆Pµ ( x )
odnosi se na zakrivljene natege.
b) naknadno napeti elementi: Pmt = P0
− ∆Pc − ∆Pµ ( x ) − ∆Psl − ∆Pt (t )
gdje je: - Pmt - srednja vrijednost sile prednapinjanja u vremenu t na mjestu x uzduž elementa - P0 - sila prednapinjanja na sidru neposredno nakon napinjanja - ∆Pµ ( x) - gubitak sile prednapinjanja zbog trenja
- ∆Psl - gu gubitak si sile pr prednapinjanja zb zbog pr prokliznuća klina - ∆Pc - gu gubitak si sile pr prednapinjanja zb zbog el elastičnog deformiranja elementa kod prijenosa sile - ∆Pt (t ) - gubitak sile prednapinjanja zbog puzanja, skupljanja i opuštanja u vremenu t. Kod dokaza za granično stanje uporabljivosti treba uzeti u obzir moguća odstupanja sile prednapinjanja. Dvije karakteristične vrijednosti za silu prednapinjanja u graničnom stanju uporabljivosti odre đuju se prema:
Pk ,sup
= r sup ⋅ Pm ,t
Pk ,inf = r inf ⋅ Pm ,t
gdje su Pk ,sup i Pk ,inf -gornja odnosno donja karakteristična vrijednost. Pm ,t je srednja vrijednost sile prednapinjanja. Koeficijenti r inf i r sup uzimaju se 1.1 i 0.9 i kad nije mogu će njihovo točnije određivanje i pod uvjetom da zbroj gubitaka sile prednapinjanja zbog trenja i vremenskih djelovanja iznosi najviše 30 % po četnoga prednapinjanja.
Vrijednosti za Pmt koje se općenito primjenjuju u proračunu jesu: - Pm 0 - početna sila prednapinjanja u vremenu t = 0 - Pm∞ - sila prednapinjanja nakon svih gubitaka. Za granično stanje nosivosti proračunska vrijednost sile prednapinjanja bit će: Pd = γ p ⋅ Pmt
Kod promatranja lokalnih učinaka u graničnom stanju nosivosti uzima se u proračunu sila prednapinjanja dobivena na osnovi karakteristi čne čvrstoće natege. To vrijedi kod dokaza utjecaja koncentriranih sila, kod dokaza sila cijepanja u podru č ju sidrenja i promjene smjera natege.
5.3.1. Učinci prednapinjanja u uvjetima uporabe Unutarnje sile u statički određenim i neodređenim sustavima izazvane silama prednapinjanja proračunavaju se prema teoriji elasti čnosti. Kod običnih građevina za koje nije nuždan dokaz širine pukotina, dopušteno je rabiti srednje vrijednosti prednapinjanja. Za građevine kod kojih je ponašanje konstrukcija vrlo osjetljivo na utjecaj prednapinjanja treba u činke prednapinjanja odrediti prema a) ili b) a) Kod dokaza raspucavanja ili rastlačivanja, otvaranja reški između predgotovljenih elemenata i u činaka zamora primjenjuju se kao mjerodavne karakteristične vrijednosti prednapinjanja. b) Kod provjere tlačnih naprezanja primjenjuje se srednja vrijednost prednapinjanja. 5.3.2. Učinci prednapinjanja u grani čnom stanju nosivosti Kod linearnih postupaka prora čuna konstrukcija stati čki određeni i neodređeni učinci prednapinjanja proračunavaju se uporabom mjerodavnih prora čunskih vrijednosti sile prednapinjanja. Za proračun po linearnom postupku smije se uzeti γ p = 1.0
Kod linearnoga proračuna momenata savijanja s preraspodjelom valja uzeti u obzir i stati čki neodređeni udio prednapinjanja.
5.3.3. Dimenzioniranje presjeka Za prosuđivanje ponašanja presjeka u grani čnom stanju nosivosti presjek se proračunava na djelovanje sile prednapinjanja s njenom proračunskom vrijednoš ću Pd . Preddeformaciju koja odgovara sili prednapinjanja Pd mora se uzeti u obzir kod odredivanja nosivosti presjeka. Uzimanje u obzir preddeformacije može se svrhovito načiniti pomicanjem ishodišta dijagrama naprezanje deformacija natege za proračunsku vrijednost prednapinjanja. Za
γ p
uzima se vrijednost 1.0, kad su ispunjena oba ova
uvjeta: a) u graničnom stanju nosivosti manje od 25 % ukupnoga presjeka čelika za prednapinjanje nalazi se u tla čnom područ ju i b) naprezanje u čeliku za prednapinjanje koji je najbliži vlačnoj strani presjeka nije veće od f p 0.1k / γ s . Kad ovi zahtjevi nisu ispunjeni za sve natege treba primijeniti donju vrijednost za γ p (0.9 za povoljni u činak i 1.0 a nepovoljni u činak).
Sve izravne momente od prednapinjanja nastale uslijed statičke neodređenosti treba uzeti u obzir s njihovim karakterističnim vrijednostima. početni gubici
Po sila na reši
Po Pmo
Pmo
vremeski gubici
srednja vrijednost sile prednapinjanja nakon početnih gubitaka
sila predanpinaja
Pm∞
srednja vrijednost sile prednapinjanja nakon početnih gubitaka i vremenskih gubitaka početni gubici: - trenje - prokliznuće klina - elastična deformacija betona
Pm∞ vrijeme
vremenski gubici: - skupljanje betona - puzanje betona - relaksa relaksacija cija čelika
5.4. DIMENZIONIRANJE ELEMENATA
PRESJEKA
I
5.4.1. Općenito Ovo poglavlje vrijedi za konstrukcije kod kojih natege u betonu potpuno prianjaju s betonom. Proračun učinaka prednapinjanja obuhvaća: - najmanji zahtjev za razred betona - najmanji broj natega - određivanje mjerodavnih sila prednapinjanja - početnu silu prednapinjanja - gubitke prednapinjanja - uvođenje sila prednapinjanja i dimenzioniranje podru č ja sidrenja natega s prethodnim napinjanjem - područ ja sidrenja u elementima s naknadno napetim nategama Najniži je razred betona za prednapete elemente s naknadnim napinjanjem C25/30, a za elemente s prethodnim napinjanjem C30/37. Pojedini prednapeti elementi moraju u vla čnom područ ju imati najmanji broj natega. Oni moraju s dostatnom pouzdanošću osigurati da otkazivanje jednoga odre đenoga broja šipki, žica ili natega neće dovesti do otkazivanja (nosivosti) elementa. Gornja odredba može se smatrati ispunjenom kad se predvidi najmanji broj šipki, žica ili natega prema tablici
5.1. Tablica 5.1. vrijedi ako se pretpostavi jednak promjer svih žica, šipki ili natega. Tablica 5.1. Najmanji broj šipki, žica ili natega u vla č nom nom područ ju elementa
Taj zahtjev može se također smatrati ispunjenim ako element sadrži najmanje jedno uže sa sedam ili više žica (promjer žice ≥ 4.0 mm). Ako je stvarni broj šipki, žica ili natega u elementu ispod broja danog u tablici 5.1., treba dokazati dostatnu pouzdanost na slom.
5.4.2. Početne i konačne sile prednapinjanja prednapinjanja 5.4.2.1. Početne sile prednapinjanja prednapinjanja Najveće naprezanje u natezi (sila na preši) određuje se kao manja vrijednost od: σ p 0,max
⎧0.8 ⋅ f pk = min ⎨ ⎩0.9 ⋅ f p 0.1,k
Najveća sila kojom se napreže natega P0 (tj. sila na aktivnom kraju, x = 0 neposredno nakon prednapinjanja) ne smije premašiti vrijednost:
P0,max = σ p 0,max ⋅ A p
- A p - ploština presjeka natege Najveće naprezanje u natezi neposredno nakon prednapinjanja (naknadno napinjanje) ili nakon gubitaka u sidru (prethodno napinjanje) koja se predaje na beton ne treba premašiti manju vrijednost od niže navedenih: σ pm 0,max
⎧0.75 ⋅ f pk = min ⎨ ⎩0.85 ⋅ f p 0,1k
Za elemente s prethodnim napinjanjem sila Pm 0 prema točki dobije se iz jednadžbe : Pm 0 = P0 − ∆Pc − ∆Pir − ∆Pµ ( x)
gdje je: - ∆Pir - je gubitak zbog kratkotrajnog opuštanja. Za elemente s naknadnim napinjanjem sila Pm 0 izračunava se iz jednadžbe: Pm 0 = P0 − ∆Pc − ∆Pµ ( x) − ∆Psl
Granične vrijednosti prema stavcima σ p 0,max i σ pm 0,max vrijede općenito, međutim, te se vrijednosti mogu preina čiti ovisno o ovim čimbenicima: - je li moguća zamjena oštećene natege
- posljedica pucanja jedne natege, osobito s obzirom na ozljede opasne za život - veličina naprezanja u betonu zbog prednapinjanja - kakvoća i vrsta primijenjenih natega - uspostavlja li se sprezanje naknadno ili ne - trenutak injektiranja cijevi - mogućnost postizanja zahtijeva ne sile prednapinjanja u natezi prekoračenjem naprezanja u slučaju kad djeluje neočekivano visoko trenje; u takvim iznimnim slu čajevima dopušteno je najve ću vrijednost po četnog naprezanja σ p 0,max povećati do 0.95 ⋅ f p 0.1,k .
5.4.2.2. Gubici sile prednaprezanja prednaprezanja Početna sila prednapinjanja mijenja se tijekom vremena i mjesta uzduž elementa, a time i naponi u betonu i čeliku. Početni gubici u koje se ubrajaju gubici zbog: - trenja - prokliznuća klina - elastičnih deformacija, te kod adhezijskog prednapinjanja zbog po četne releksacije čelika, ovise o sustavu i postupku prednapinjanja. Vremenski gubici (padovi) ovise o više čimbenika, prije svega o karakteristikama gradiva, vlazi i temperaturi okoliša te veličine napona. U vremenske gubitke spada: - skupljanje betona - puzanje betona - relaksacija čelika
Slika 5.1. Prikaz gubitaka sile prednapinjanja
5.4.2.2.1. Gubitak sile prednaprezanja zbog trenja ∆Pµ ( x) Gubitak sile prednapinjanja u naknadno napetim nategama zbog trenja ∆Pµ ( x ) procjenjuje se prema formuli:
∆Pµ ( x) = P0 (1 − e −
(θ + k ⋅ x )
)
gdje je: - µ - koeficijent trenja između natege i cijevi - θ - zbroj kutova skretanja natege na duljini x (neovisno o smjeru i predznaku) (radijan) - k - nežel neželjen jenii kut kut skreta skretanja nja (na jedini jedinicu cu dulj duljine ine), ), ovis ovisan an o vrsti natege. (1/m)
Slika 5.2. Kut skretanja kabela θ
Slika 5.3. Neželjeni kut skretanja k
Koeficijent µ ovisi o značajkama površine natege i cijevi, o mogućnosti prisutnosti hr đe, o promjenama duljine natege i obliku presjeka natege. Ako nema točnijih podataka za koeficijente µ rabe se ove (pod uvjetom da natega ispunjava oko 50 % cijevi): - hladno vučene žice 0.17 - užad 0.19 - rebraste šipke 0.65 - okrugle glatke šipke 0.33 Vrijednosti za k trebaju biti dane u potvrdama prikladnosti, a nalaze se u područ ju 0.005
Vrijednost za k ovisi o preciznosti rada, razmaku između podupirača natege, vrsti cijevi i stupnju zbijanja pri ugradnji betona. Gore predložene vrijednosti za µ i k srednje su vrijednosti. Dopušteno je uzeti veće ili manje proračunske vrijednosti ako je to osnovano, ovisno o mjerama provjere, izvedbi, specijalnim mjerama itd. Kod skretanja kabela u vertikalnoj (θv) i horizontalnoj (θh) ravnini , za ukupno se skretanje(θ) uzima: θ ( x ) = θ v ( x ) + θ h ( x ) - kada skretanje slijedi jedno iza
drugog ili θ ( x ) =
θ v2 ( x )+θ h2 ( x ) - kada se skretanje javlja na istoj
dionici, gdje je θv ukupni kut skretanja u vertikalnoj, a θh u horizontalnoj ravnini.
5.4.2.2.2. Gubitak sile prednaprezanja zbog prokliznuća klina ∆Psl Gubitak prednapinjanja zbog sidrenja (prokliznuća klina) ∆Psl treba odrediti iskustveno prema upotrijebljenom postupku prednapinjanja i potvrdama potvrdama prikladnosti. Gubitak napona prokliznućem klina nastaje u trenutku predavanja sile prednapinjanja prednapinjanja od preše na kotvu.
Proizvođač sustava za prednapinjanje daje vrijednosti prokliznuća klina ∆lsl ovisno o vrsti sidra. Obično iznosi nekoliko milimetara. ∆lsl=
Slika 5.4. Prokliznu ć e klina
Gubitak napona ograničen je na određenu duljinu lsl jer se povratku izduženja suprotstavlja trenje (slika 5.1.). Gubitak sile prednapinjanja prokliznućem klina na mjestu preše (x=0) biti će:
⎛ θ (ltot ) ⎞ ∆Psl = 2 ⋅ P0 ⋅ µ ⋅ l sl ⎜⎜ + k ⎟⎟ ⎝ ltot ⎠ a duljina utjecaja prokliznuća klina iznosi:
∆lsl ⋅ E p ⋅ A p lsl = ⎛ θ (ltot ) ⎞ P0 ⋅ µ ⎜⎜ + k ⎟⎟ ⎝ ltot ⎠
5.4.2.2.3. Gubitaka sile prednapinjanja zbog elasti čnih deformacija betona ∆Pc
Kod prethodnog napinjanja gubitak sile napinjanja treba računati na osnovi omjera modula elastičnosti betona i čelika pomnoženog naprezanjem betona u razini natege.
∆Pc = α e ⋅ σ cp ⋅ A p Kod naknadnog napinjanja javlja se dodatni gubitak sile napinjanja kad se natege ne napinju istodobno. Ako se ne zahtijeva veća točnost, može se taj gubitak proračunati kao polovica vrijednosti omjera modula elastičnosti čelika i betona pomnoženoga pripadajućim naprezanjem u betonu u razini natege. 1
∆Pc = α e ⋅ σ cp ⋅ A p 2
5.4.2.2.4. Gubitak sile kratkotrajnog opuštanja ∆Pir
prednapinjanja
zbog
Gubitak sile prednapinjanja zbog kratkotrajnog opuštanja ∆Pir koji se javlja kod prethodnog napinjanja, u vremenu između napinjanja natege i prijenosa naprezanja na beton, treba procijeniti uporabom proračunskih vrijednosti prema točki 2.2.
5.4.2.2.5. Vremenski gubici ∆σ p ,c+ s + r ⋅ A p
Vremenski gubici zbog skupljanja, puzanja i relaksacije proračunavaju se prema jednadžbi :
∆σ p ,c+ s + r =
ε s (t , t 0 ) ⋅ E s + ∆σ pr + α e ⋅ (t , t 0 ) ⋅ (σ cg + σ cp 0 ) A p ⎛ 2 Ac 1 + α e ⋅ ⋅ ⎜⎜1 + zcp Ac ⎝ I c
⎞ ⋅ ⎟⎟ ⋅ [1 + 0,8 ⋅ ϕ (t , t 0 )] ⎠
gdje je: - ∆σ p ,c + s + r - promjena naprezanja u natezi zbog puzanja, skupljanja i opuštanja na mjestu x u trenutku t - ε s (t , t 0 ) - procijenjena - procijenjena deformacija skupljanja E s - α e = E cm - E s - modul elastičnosti čelika za prednapinjanje - E cm - modul elastičnosti betona - ∆σ pr -promjena naprezanja u nategama na mjestu x zbog opuštanja. Ona se može odrediti prema slici 2.4. za omjer: (početno naprezanje / karakteristična vlačna čvrstoća) = (σ p/f pk ), s po četnim naprezanjem izračunanim prema
σ p = σ pg 0 − 0.3 ⋅ ∆σ p ,c+ s+r gdje je: - σ pg 0 - početno naprezanje u nategama od prednapinjanja i stalnih djelovanja. Radi pojednostavnjenja i da bi se bilo na strani sigurnosti može se drugi član u jednadžbi izostaviti ( 0.3 ⋅ ∆σ p ,c+ s + r ). Za obične zgrade smije se umjesto σ p uzeti
σ p = 0.85 ⋅ σ pg 0
- ϕ (t , t 0 ) - koeficijent puzanja - σ cg - naprezanje betona u visini natege od vlastite težine i
drugih stalnih djelovanja - σ cp 0 - početna vrijednost naprezanja u betonu u razini natege od prednapinjanja - A p - ploština presjeka svih natega u promatranom područ ju - Ac - ploština betonskoga presjeka - I c - moment tromosti betonskoga presjeka - zcp - udaljenost između težišta betonskog presjeka i natege. Kod uporabe jednadžbe ( ∆σ p ,c+ s +r ) potrebno je pretpostaviti vrijednost za ukupni gubitak kao po četnu vrijednost da bi se mogao izračunati član ∆σ pr na desnoj strani. (Taj član ovisi o konačnoj veličini prednapinjanja). Bit će stoga potreban opetovani postupak kako bi se uskladile obje strane jednadžbe.
5.4.2.3. Konačna sila prednapinjanja prednapinjanja Konačna sila prednapinjanja Pm∞ dobije se tako da se od početne sile Pm 0 odbiju svi gubici. Pm∞ = Pm 0 − ∆σ p ,c + s+r ⋅ A p
5.4.2.4. Područ je sidrenja natega kod prethodnog napinjanja
Kad se pojavljuju vla čne sile treba ih preuzeti dodatnom armaturom.
Slika 5.5. (a) i (b) prethodnog napinjanja
Prijenos
prednapinjanja
kod
Valja razlikovati (slika 5.5. a): (i) duljinu prijenosa lbp preko koje se sila prednapinjanja ( P0 ) pret pretho hodn dno o nap napete ete nate natege ge preno prenosi si u pot potpu puno nost stii na na bet beton on (ii) duljinu uvođenja l p ,eff unutar koje se naprezanje u betonu postupno rasprostire do linearne raspodjele u betonskom presjeku (iii) duljinu sidrenja lba unutar koje se najveća vrijednost sile prednapinjanja ( F pu ) u prethodno napetom elementu u potpunosti unese u beton. Područ ja uzajamno utječu jedno na drugo. Duljina prijenosa lbp ovisi o promjeru i vrsti natege, značajkama površine natege,
čvrstoći
betona i stupnju
zbijenosti betona. Vrijednosti se trebaju osnivati na eksperimentalnim podacima ili na iskustvu s primijenjenim tipom natege. Za prora čunske potrebe (slika (5.5. b)) duljina prijenosa definirana je kao višekratnik nazivnoga promjera (φ ) žice ili užeta lbp = β d ⋅ φ
Za užad s ploštinom presjeka s 100 ≤ mm2 i za profilirane žice promje promjera ra s 8 ≤ mm, dopušt dopušteno eno je uzeti uzeti vrijedn vrijednost ostii dane dane u tablici 5.2. Za čvrstoću betona treba uzeti vrijednost u trenutku prijenosa sile. Kad se rabe rebraste žice promjera ≤ 12 mm, treba vrijednost za β d odrediti ispitivanjem; kao približne vrijednosti dopušteno je uzeti one iz tablice 5.2. Tablica 5.2. Faktor β d za prorač un un duljine prijenosa sile prednapinjanja sa žica ili užadi (glatke ili profilirane) na beton, ovisno o č vrsto vrstoć i betona
Proračunska vrijednost lbpd iznosi 0.8 lbp ili 1.2 lbp ; vrijedi nepovoljnija vrijednost za promatrano djelovanje. Duljina prijenosa, duljina sidrenja i duljina uvo đenja mjere se od presjeka u kojem je osigurana djelotvorna prionljivost. Kod određivanja presjeka u kojem je osigurana djelotvorna prionljivost treba uzeti u obzir:
- natege koje namjerno na krajevima nisu spregnute - područ je lbp ,0
unutar kojeg se narušava sprezanje
(neutralno područ je) u slučaju naglog otpuštanja sile prednapinjanja. Za pravokutne presjeke i ravne natege smještene blizu donjeg ruba presjeka duljina uvo đenja može se odrediti prema: l p ,eff = lbpd + d 2
2
Sidrenje natege kod prethodnog napinjanja u elementima izloženim savijanju u grani čnom stanju nosivosti, ovisno je o stanju podru č ja sidrenja (raspucano ili neraspucano). Područ je sidrenja natege (slika 5.5. (a)) dopušteno je uzeti kao neraspucano ako vlačno naprezanje u betonu u graničnom stanju nosivosti (vla čno naprezanje zbog savijanja, glavno vla čno koso naprezanje) ne premašuje f ctd ,uzimajući u obzir mjerodavnu silu prednapinjanja Pd . Ako vlačno naprezanje ne premaši vrijednost f ct ;0.05 uzima se bez daljnjih ispitivanja, da je uvjet za sidrenje ispunjen. Kad vlačno naprezanje premaši vrijednostfct f ct ; 0.05 valja dokazati da dijagram vlačnih sila, ne izlazi iz dijagrama pokrivanja vla čnih sila, koji se sastoji iz vla čne sile natege i vlačne sile nenapete armature. Sila koju preuzima natega smije se odrediti prema slici 5.5. (c) kao:
F px =
x lbpd
P0 ≤
A p ⋅ f p 0.1k
γ s
Slika 5.5. (c) - Skica uz gornju jednadžbu
5.4.2.5. Područ je sidrenja naknadno naknadno napetih napetih natega Dimenzioniranje područ ja sidrenja mora biti usklađeno s postupcima danim u ovoj to čki i točkama 2.5.4, 4.2.3, 5.4.6 i 5.4.8. Kad se promatra djelovanje sile prednapinjanja kao pojedinačne koncentrirane sile u područ ju sidrenja, valja računati s karakterističnom vlačnom nosivoš ću natege. Naprezanje ispod sidrene ploče treba proračunati prema točki 5.4.8. Vlačne sile nastale pri uvo đenju koncentriranih sila mogu se procijeniti primjenom štapne analogije ili pomo ću nekoga drugoga prikladnoga postupka (vidi to čke 2.5.3.6.3
i 2.5.3.7.4). Potrebnu armaturu valja oblikovati u skladu s točkom 5.4.6, uz pretpostavku da u njoj djeluje naprezanje jednako proračunskoj granici popuštanja. Za uvođenje sile prednapinjanja koje po činje na kraju natege uzima se da se ona širi pod kutom 2 β (vidi sliku 5.6.), gdje se za kut β uzima β = arctg 2 / 3 .
Slika 5.6. Uvođ enje enje prednapinjanja
Primjer 1.
Prosta greda raspona l=10.00 m pravokutnog presjeka b=40 cm, h=100 cm. Dodatno stalno optere ćenje ∆G=23.33 kN/m, promjenjivo opterećenje Q=20.00 kN/m. Sile prednapinjanja dane su pod a), b),c) i d). Vlastita težina nosača: G = (b ⋅ h) ⋅ γ = (0.4 ⋅ 1.0) ⋅ 25 = 10.00 kN / m Ukupno opterećenje: q = G + ∆G + Q = 10.00 + 23.33 + 20.00 = 53.33 kN / m q=53.33 kN/m
l=10.00 m
M = M max = b⋅h
q ⋅l
8
2
53.33 ⋅10 2 = = 666.66 kNm 8
0.4 ⋅1.03 = = 0.0333 m 4 I = 12 12 3
W = W g = W d =
b⋅h
6
2
0.4 ⋅1.0 2 = = 0.0666 m 3 6
A = b ⋅ h = 0.4 ⋅1.0 = 0.4 m 2 A p = 20 cm - površina kabela 2
a) P=4000 kN , z cp=0 m -10
-10
težište
M
-20
=
+
P
-10
+10
0
Naprezanje u betonu betonu na gornjem rubu presjeka: presjeka: g σ c
g
σ c
g
σ c
⎛ P P ⋅ z cp ⎞ M ⎟− = ⎜⎜ − + ⎟ W A W g g ⎝ ⎠
⎛ 4000 ⋅103 4000 ⋅103 ⋅ 0 ⎞ 666.66 ⋅103 ⎟⎟ − = ⎜⎜ − + 0.4 0.0666 ⎠ 0.0666 ⎝ = −10 − 10 = −20 MPa
Naprezanje u betonu betonu na donjem rubu presjeka: presjeka: d σ c
⎛ P P ⋅ z cp ⎞ M ⎟⎟ + = ⎜⎜ − − ⎝ A W d ⎠ W d
3 3 3 ⎛ ⎞ 4000 10 4000 10 0 666 . 66 10 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ d ⎟⎟ + − σ c = ⎜ − ⎜ 0.4 0.0666 ⎠ 0.0666 ⎝
d
σ c
= −10 + 10 = 0 MPa
b) P=2000 kN , z cp=0.1666 m (na rubu jezgre presjeka h/6) 0
ezgra presjeka
M
-10
=
+
težište
-10
zcp P -10
+10
0
Naprezanje u betonu betonu na gornjem rubu presjeka: presjeka: g σ c
g
σ c
g
σ c
⎛ P P ⋅ z cp ⎞ M ⎟− = ⎜⎜ − + ⎟ W A W g g ⎝ ⎠
⎛ 2000 ⋅103 2000 ⋅103 ⋅ 0.1666 ⎞ 666.66 ⋅103 ⎟⎟ − = ⎜⎜ − + 0.4 0.0666 0.0666 ⎝ ⎠ = 0 − 10 = −10 MPa
Naprezanje u betonu betonu na donjem rubu presjeka: presjeka: d σ c
⎛ P P ⋅ z cp ⎞ M ⎟⎟ + = ⎜⎜ − − ⎝ A W d ⎠ W d
3 3 3 ⎛ ⎞ 2000 10 2000 10 0 . 1666 666 . 66 10 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ d ⎟⎟ + − σ c = ⎜ − ⎜ 0.4 0.0666 0.0666 ⎝ ⎠ d
σ c
= −10 + 10 = 0 MPa
c) P=1333.33 kN , z cp=0.3333 m +3.33
M
težište
-10
-6.66
=
+ zcp
P -10
+10
0
Naprezanje u betonu betonu na gornjem rubu presjeka: presjeka: g σ c
g
σ c
g
σ c
⎛ P P ⋅ z cp ⎞ M ⎟− = ⎜⎜ − + ⎟ W A W g g ⎝ ⎠
⎛ 1333.33 ⋅103 1333.33 ⋅103 ⋅ 0.3333 ⎞ 666.66 ⋅103 ⎟⎟ − = ⎜⎜ − + 0.4 0.0666 0.0666 ⎝ ⎠ = 3.33 − 10 = −6.66 MPa
Naprezanje u betonu betonu na donjem rubu presjeka: presjeka: d σ c
⎛ P P ⋅ z cp ⎞ M ⎟⎟ + = ⎜⎜ − − ⎝ A W d ⎠ W d
d σ c
⎛ 1333.33 ⋅103 1333.33 ⋅103 ⋅ 0.3333 ⎞ 666.66 ⋅103 ⎟⎟ + = ⎜⎜ − − 0.4 0.0666 0.0666 ⎝ ⎠
d
σ c
= −10 + 10 = 0 MPa
d) P=1176.47 kN , z cp=0.4 m +4.12
M
težište
-10
-5.88
=
+ zcp
P -10
+10
0
Naprezanje u betonu betonu na gornjem rubu presjeka: presjeka: g σ c
g
σ c
g
σ c
⎛ P P ⋅ z cp ⎞ M ⎟− = ⎜⎜ − + ⎟ W A W g g ⎝ ⎠
⎛ 1176.46 ⋅103 1176.46 ⋅103 ⋅ 0.4 ⎞ 666.66 ⋅103 ⎟⎟ − = ⎜⎜ − + 0.4 0.0666 0.0666 ⎝ ⎠ = 4.12 − 10 = −5.88 MPa
Naprezanje u betonu betonu na donjem rubu presjeka: presjeka: d σ c
⎛ P P ⋅ z cp ⎞ M ⎟⎟ + = ⎜⎜ − − ⎝ A W d ⎠ W d
d σ c
⎛ 1176.46 ⋅103 1176.46 ⋅103 ⋅ 0.4 ⎞ 666.66 ⋅103 ⎟⎟ + = ⎜⎜ − − 0.4 0.0666 0.0666 ⎝ ⎠
d
σ c
= −10 + 10 = 0 MPa
g
a) b) c) d)
P=4000 kN zcp=0 m P=2000 kN zcp=0.1666 m P=1333.33 kN zcp=0.3333 m P=1176.47N zcp=0.4m
d
σ c
σ c
-20 MPa
0 MPa
-10 MPa
0 MPa
-6.66 MPa
0 MPa
-5.88 MPa
0 MPa
e) kako dobiti sile prednapinjanja (P=?) u primjeru a),b),c) i d) ako uzmemo da je u: a) zcp=0 m b) zcp=0.1666 m c) zcp=0.3333 m d) zcp=0.4m
Naprezanje u betonu betonu na donjem rubu presjeka presjeka je nula: d σ c
=−
P=
P A
−
P ⋅ z cp W d
+
M W d
=0
M z cp + k g
k g =
W d A
=
0.0666
M = M max =
0.4 q ⋅l
8
2
= 0.1666 m 53.33 ⋅ 102 = = 666.66 kNm 8
- za zcp=0 m 666.66 M P= = = 4000 kN zcp + k g 0 + 0.1666 - za zcp=0.1666 m 666.66 M P= = = 2000 kN z cp + k g 0.1666 + 0.1666
- za zcp=0.3333 m 666.66 M P= = = 1333.33 kN z cp + k g 0.3333 + 0.1666 - za zcp=0.4 m 666.66 M P= = = 1176.47 kN z cp + k g 0.4 + 0.1666
P ( z cp ) =
M z cp + k g
4 .10
6
3 .10
6
( )
P z cp 2 .106 1 .10
6
0
0.1
0.2
0.3 z cp
0.4
0.5
f) odredi momenat savijanja u trenutku pojave prve pukotine u betonu za slu čaj d) P=1176.47 kN , z cp=0.4 m
Srednja vlačna čvrstoća betona: f ctm = 2.9 MPa
- Mcr - momenat savijanja u trenutku pojave prve pukotine u betonu Naprezanje u betonu betonu na donjem rubu: P P ⋅ z cp M cr − − + = f ctm A W d W d
⎛ P P ⋅ zcp ⎞ ⎟⎟ M cr = W d ⎜⎜ f ctm + + A W d ⎠ ⎝ ⎛ 1176.47 ⋅103 1176.47 ⋅103 ⋅ 0.4 ⎞ 6 ⎟⎟ = 859610 Nm + M cr = 0.0666⎜⎜ 2.9 ⋅10 + 0.4 0.0666 ⎝ ⎠ M cr = 860 kNm
Kontinuirano opterećenje u trenutku pojave prve pukotine u betonu: qcr ⋅ l 2 M cr = 8 8 ⋅ M cr 8 ⋅ 860 qcr = = = 68.8 kNm 2 2 10 l
g) ulazni podaci za SectionDesign
Ukupno opterećenje: q = G + ∆G + Q = 10.00 + 23.33 + 20.00 = 53.33 kN / m Moment savijanja od ukupno opterećenja: q ⋅ l 2 53.33 ⋅10 2 = = 666.66 kNm M = M max = 8 8 Momenta savijanja i uzdužne sile s obzirom na težište betonskog presjeka:
h/2
M-P zcp
M h
težište betona P zcp P (djelovanje)
b
N – uzdužna sila [kN] a) P=4000 kN zcp=0 m b) P=2000 kN zcp=0.1666 m c) P=1333.33 kN zcp=0.3333 m d) P=1176.47 kN zcp=0.4m
M – momenata savijanja[kNm]
N = − P
M = M − P ⋅ z cp
-4000
666.66
-2000
333.33
-1333.33
222.26
-1176.47
196.07
Vidi fajlove: „Prednapeti primjer-P01-naprezanje a).aps“ a).aps“ „Prednapeti primjer-P01-naprezanje b).aps“ b).aps“ „Prednapeti primjer-P01-naprezanje c).aps“ c).aps“ „Prednapeti primjer-P01-naprezanje d).aps“ d).aps“
Primjer 2. Prosta greda raspona l=4.00 m pravokutnog presjeka b=15 cm, h=30 cm. Promjenjivo opterećenje Q=10.00 kN/m. Greda je prednapete ravnom nategom ispod težišta betona z cp = 6.5 cm .
zg zd
k g k d
težište betona
zcp nate a
Vlastita težina nosača: G = (b ⋅ h) ⋅ γ = (0.15 ⋅ 0.3) ⋅ 24 = 1.08 kN / m Ukupno opterećenje: q = G + Q = 1.08 + 10.00 = 11.08 kN / m q=11.08 kN/m
l=4.00 m
Moment savijanja od stalnog optere ćenja (vlastita težina nosača): 2 G ⋅l 1.08 ⋅ 4 2 = = 2.2 kNm M G = 8 8
Moment savijanja od stalnog i promjenjivog opterećenja (ukupno opterećenje): 2 (G + Q ) ⋅ l 2 11.08 ⋅ 42 q ⋅l = = = 22.2 kNm M max = 8 8 8 Moment inercije: 3 0.15 ⋅ 0.33 b⋅h = = 0.0003375 m 4 I = 12 12 Otporni moment: 2 b⋅h 0.15 ⋅ 0.32 = = 0.00225 m3 W g = W d = 6 6 Površina poprečnog presjeka: 2 A = b ⋅ h = 0.15 ⋅ 0.3 = 0.045 m Udaljenost gornjeg ruba jezgre: W d 0.00225 = = 0.05 m k g = 0.045 A Udaljenost donjeg ruba jezgre: W g 0.00225 = = 0.05 m k d = 0.045
a) minimalna sila prednapinjanja prednapinjanja Treba proračunati minimalnu silu prednapinjanja tako da se pod ukupnim opterećenjem (G + Q ) ne pojavljuje vlačno naprezanje na donjem rubu presjeka u sredini raspona. Naprezanje u betonu betonu na donjem rubu presjeka presjeka je nula: d σ c
=−
P=
P A
−
P ⋅ zcp W d
+
M W d
=0
M zcp + k g
22.2 = 193 kN P= 0.065 + 0.05
b) odredi naprezanje u sredini raspona uslijed ukupnog optere ćenja (G + Q ) i prednapinjanja prednapinjanja P- kontrola M max =
q ⋅l
2
=
(G + Q ) ⋅ l 2 11.08 ⋅ 42 =
8 8 8 P = 193 kN - usvojeno na osnovu a)
= 22.2 kNm
Naprezanje u betonu betonu na gornjem rubu presjeka: g σ c
g
σ c
g
σ c
⎛ P P ⋅ zcp ⎞ M ⎟− = ⎜⎜ − + ⎟ W A W g ⎠ g ⎝ ⎛ 193 ⋅103 193 ⋅103 ⋅ 0.065 ⎞ 22.2 ⋅103 ⎟⎟ − = ⎜⎜ − + 0.00225 ⎠ 0.00225 ⎝ 0.045 = 1.3 − 9.9 = −8.6 MPa
Naprezanje u betonu betonu na donjem rubu presjeka: presjeka: d σ c
⎛ P P ⋅ z cp ⎞ M ⎟⎟ + = ⎜⎜ − − ⎝ A W d ⎠ W d
d σ c
⎛ 193 ⋅103 193 ⋅103 ⋅ 0.065 ⎞ 22.2 ⋅103 ⎟⎟ + = ⎜⎜ − − 0.00225 ⎠ 0.00225 ⎝ 0.045
d
σ c
= −9.9 + 9.9 = 0.0 MPa
c) odredi naprezanje u sredini raspona uslijed vlastite težine G i prednapinjanja P M G =
G ⋅l
2
8 P = 193 kN
=
1.08 ⋅ 4 2 8
= 2.2 kNm
Naprezanje u betonu na gornjem rubu presjeka: g σ c
⎛ P P ⋅ zcp ⎞ M ⎟− = ⎜⎜ − + ⎟ W A W g ⎠ g ⎝
g σ c
⎛ 193 ⋅10 3 193 ⋅103 ⋅ 0.065 ⎞ 2.2 ⋅10 3 ⎟⎟ − = ⎜⎜ − + 0.00225 ⎠ 0.00225 ⎝ 0.045
g
σ c
= 1.3 − 1.0 = 0.3 MPa
Naprezanje u betonu na donjem rubu presjeka: d σ c
⎛ P P ⋅ z cp ⎞ M ⎟⎟ + = ⎜⎜ − − ⎝ A W d ⎠ W d
d σ c
⎛ 193 ⋅103 193 ⋅10 3 ⋅ 0.065 ⎞ 2.2 ⋅10 3 ⎟⎟ + = ⎜⎜ − − 0.00225 ⎠ 0.00225 ⎝ 0.045
d
σ c
= −9.9 + 1.0 = −8.9 MPa
U tablici su dana naprezanja u betonu u sredini raspona na donjem i gornjem rubu presjeka, za dio zadatka b) i c).
g
σ c
d
σ c
b) G + Q +P − 8.6 MPa
c) G+P + 0.3 MPa
0.0 MPa
− 8.9 MPa
-8.6
0.0
+0.3
-8.9
d) odredi naprezanje nad ležajem (za slu čaj vođenja natege po pravcu z cp=6.5 cm) Naprezanje nad ležajem je neovisno o vanjskom opterećenju jer je momenat savijanja nad ležajem nula. M = 0 P = 193 kN
težište betona zcp=6.5 cm zcp(x)
l/2
l/2
Naprezanje u betonu na gornjem rubu presjeka: g σ c
g
σ c
g
σ c
⎛ P P ⋅ zcp ⎞ M ⎟− = ⎜⎜ − + ⎟ W A W g g ⎝ ⎠ ⎛ 193 ⋅10 3 193 ⋅103 ⋅ 0.065 ⎞ 0 ⎟⎟ − = ⎜⎜ − + 0.00225 ⎠ 0.00225 ⎝ 0.045 = 1.3 MPa
Naprezanje u betonu na donjem rubu presjeka: d σ c
⎛ P P ⋅ z cp ⎞ M ⎟⎟ + = ⎜⎜ − − ⎝ A W d ⎠ W d
x
3 3 ⎛ 193 10 193 10 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0.065 ⎞ d ⎟⎟ + σ c = ⎜ − ⎜ 0.045 − 0.00225 ⎠ 0.00225 ⎝ d σ c = −9.9 MPa
e) odredi naprezanje nad paraboličnog vođenja natege)
ležajem
(za
slu čaj
Natega se vodi parabolično, udaljenost težišta prednapete armature do težišta betonskog presjeka na čelu nosača z cp ,1 = 0 cm , udaljenost težišta prednapete armature do težišta betonskog presjeka na sredini nosa ča z cp , 2 = 6.5 cm .
težište betona zcp,2=6.5 cm zcp(x)
l/2
x
l/2
Naprezanje nad ležajem je neovisno o vanjskom opterećenju jer je momenat savijanja nad ležajem nula. M = 0 P = 193 kN Naprezanje u betonu na gornjem rubu presjeka: g σ c
g
σ c
g
σ c
⎛ P P ⋅ z cp,1 ⎞ M ⎟− = ⎜⎜ − + ⎟ W A W g g ⎝ ⎠ ⎛ 193 ⋅10 3 193 ⋅103 ⋅ 0 ⎞ 0 ⎟⎟ − = ⎜⎜ − + 0.00225 ⎠ 0.00225 ⎝ 0.045 = −4.3 MPa
Naprezanje u betonu na donjem rubu presjeka: d σ c
⎛ P P ⋅ zcp ,1 ⎞ M ⎟⎟ + = ⎜⎜ − − W d ⎠ W d ⎝ A
3 3 ⎛ 193 10 193 10 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0 ⎞ d σ c = ⎜ − ⎜ 0.045 − 0.00225 ⎟⎟ + 0.00225 ⎝ ⎠ d σ c = −4.3 MPa
U tablici su dana naprezanja u betonu nad ležajem na donjem i gornjem rubu presjeka, za dio zadatka d) i e). d)
e) težište betona zcp=6.5 cm l/2
zcp(x)
g
σ c
d
σ c
+ 1.3 MPa − 9.9 MPa +1.3
-9.9
l/2
x
težište betona zcp,2=6.5 cm l/2
zcp(x)
x
l/2
− 4.3 MPa − 4.3 MPa -4.3
-4.3
Poželjno je da linija vo đenja natege prati liniju momenta savijanja.
f) ulazni podaci za SectionDesign Momenta savijanja i uzdužne sile s obzirom na težište betonskog presjeka:
h/2
M-P zcp
M h
težište betona P zcp P (djelovanje) (djelovanje)
b
N – uzdužna sila [kN] b) P=193 kN zcp=0.065 m M=22.2 kNm c) P=193 kN zcp=0.065 m M=2.2 kNm d) P=193 kN zcp=0.065 m M=0 kNm e) P=193 kN zcp=0.0 m M=0 kNm
M – momenata savijanja[kNm]
N = − P
M = M − P ⋅ zcp
-193
9.65
-193
-10.34
-193
-12.54
-193
0
Vidi fajlove: „Prednapeti primjer-P02-naprezanje b).aps“ b).aps“ „Prednapeti primjer-P02-naprezanje c).aps“ c).aps“ „Prednapeti primjer-P02-naprezanje d).aps“ d).aps“ „Prednapeti primjer-P02-naprezanje e).aps“ e).aps“
