UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 Práctica 10- Estudio de Funciones F unciones En esta práctica haremos estudios estudios completos de funciones. funciones. Para esto, además de lo v isto en las l as prácticas anteriores, necesitaremos unas propiedades y definiciones más. Propiedad: Sea continua continua en , y derivable en , . Entonces
Si Si ´ > 0 ∀ ∈ , ⟹ es es estrictamente creciente en ,
Si Si ´ < 0 ∀ ∈ , ⟹ es es estrictamente decreciente en ,
Con esto, conociendo los conjuntos de positividad y negatividad de la derivada de una función podremos saber los intervalos en donde es creciente y decreciente. Para hallar los conjuntos de positividad y negatividad de la derivada utilizaremos el corolario del Teorema de Bolzano. Además, encontraremos los extremos de una función. f unción. Para ello necesitamos necesitamos saber cuáles c uáles son los candidatos a ser extremos. Definición: Sea una una función real y sea 0 ∈ ( ). Decimos que 0 es un punto crítico de si si es es derivable en 0 y ´0 = 0, o bien si no no es derivable en 0 . Notamos con ( ) al conjunto de los puntos críticos de . . Esto es = ∈ : ´ = 0 ó ∄´() Los puntos críticos serán los candidatos a extremos para una función. Para realizar el estudio completo de una función haremos un análisis lo más completo posible del comportami comportamiento ento de la misma para, con esos datos, realizar un gráfico aproximado. Más precisamente, realizar el estudio de una función real dada , , significa obtener la siguiente información:
Dominio de de ..
Continuidad Continui dad de de ,, calculando y clasificando sus puntos de discontinuidad.
Existencia Exist encia de asíntotas de y, y, si existen, cálculo de sus ecuaciones.
Derivabilidad Derivabili dad de . . Análisis de la derivada de para hallar puntos críticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
Cálculo y clasificación de los extremos de (máximos (máximos y mínimos).
Toda la información informaci ón que nos parezca útil.
Ejercicio: Realizar un estudio completo de las siguientes funciones y, con los datos obtenidos, hacer un gráfico aproximado. a) = 4 5 + 44 + 3 b) = ( − 10)3 2 c) = d) =
Práctica Práctic a 10
2 +1 ln ( )
1 de 2
UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 e) = f)
2 − 1
= +
g) = − h) = i)
4
3 +12
2 −1
(Optativo) = ( − 2)
OPTATIVOS: 1) Sea =
1
( )
a) Hallar, si existen, asíntotas de . b) Estudiar la los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de . c) ¿Cuál es la imagen de ? 2) Sea =
− 4 (−4)
, responder cuántas soluciones tiene la ecuación:
a) = 0 b) = c) = −1 d) = 5
3) Trazar el gráfico de una función que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones:
a)
Cont ( f )
Cont ( f ) 3
C ( f ' ) (,3) ( 2,)
C ( f ' ) ( ,3) ( 2,)
C ( f ' ) (3,1) (1,2) C 0 ( f ' ) 1,2
Práctica 10
b)
C ( f ' ) ( 3,1) (1,2) C 0 ( f ' ) 1,2
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