UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 Práctica 9- Derivadas Vimos que la noción de función continua surge al tratar de querer caracterizar a aquellas funciones cuyo gráfico puede realizarse con un trazo continuo (sin levantar el lápiz). Queremos ahora caracterizar aquellas funciones cuyo gráf ico ico es “suave”. Esto es, aquellas funciones cuyo gráfico no tenga “picos”. Desde el punto de vista geométrico, ser “suave” en un punto significa que es posible graficar una “recta tangente” al gráfico de la función en dicho punto. Las funciones “suaves” so n las que llamaremos derivables. Analicemos el el siguiente gráfico. gráfico. Con C on cada “acercamiento” de x, calculamos la pendiente de una recta distinta:
Como se puede ver en el gráfico, a medida que los valores de
se x se
acercan cada vez más al valor de
, la recta que 0
formamos se va pareciendo pareciendo cada vez más a la función original. En el límite, esa recta, se denomina recta tangente , y tiene como particularidades que su pendiente coincide con la derivada de la al gr áfico d e la func ión en un pu nt o función en un punto pu nto y la recta, al parecerse mucho a la función “cerca” del valores cercanos al
.
, aproxima muy bien a la función para 0
0
Sea f definida en ( , ) y sea Definición:
∈ (, ). Definimos la derivada de la función f en en el 0
, y se nota ( ) al valor, si existe y es finito, del límite: − ( ) = ( ) → −
punto =
′
0
0
0
Al límite anterior se lo conoce como “ el
′
0
0
límite del cociente incremental ”
y siempre presenta una
indeterminación indeterminación del tipo 0/0 una función tal que existe su derivada en el punto Definición: Sea f una
, ) a la recta que verifica: Su pendiente es la derivada de la función en =
= , definimos recta tang tang ente 0
al g ráfic o de f en el punto (
Práctica Práctic a 9
0
1 de 6
UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 Pasa
por el punto
, es decir que comparte ese punto con la función. 0,
0
Con todo esto, podemos decir que su ecuación es:
: = . − + ( ) ′
0
0
0
No todas las funciones tienen recta tangente en todos los puntos, para esto tienen que ser derivables, es decir tiene qu e existir y ser fi nit o, el lí mi te del co cient e increm ental .
Calcular, de ser posible, Ejemplo:
0, si, = ′
Como sabemos, la función módulo, es una función partida que se define:
= = −,,
≥ 0 < 0 Por lo que, para ver si existe el límite del cociente incremental en = 0, al ser un punto de corte, nos obliga a analizar límites laterales, en ambos límites, la función en el punto vale lo mismo: 0 = 0 0
Analicemos el límite por derecha (valores un poco mayores a 0)
− (0) = − 0 = 1 → 0 − 0 → 0 − 0 +
+
Analicemos, ahora, el límite por izquierda (valores un poco menores a 0)
− − (0) = − − − 0 = −1 → 0 − 0 → 0 − 0 Como vemos, por izquierda y por derecha, da valores diferentes, por lo que la función
= 0
= no es derivable en
0
Práctica 9
2 de 6
UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 Como podemos ver, “cerca del 0” no puede haber una recta que se parezca mucho a l a función ya que tiene un pico. Para que exista la derivada de la función en un punto, tiene que ser “suave” y n o tener cambios abruptos, como en el caso de la función módulo en el 0. En cualquier otro punto sí es derivable. La mayoría de las funciones elementales son derivables en todo su dominio salvo, quizás, funciones definidas a trozos (como el módulo de x) y funciones que tengan una recta tangente vertical (recordemos que una recta vertical, no es función), como
= en x=0: 3
El cálculo de la recta tangente al gráfico de una función en un punto, es bastante útil para calcular aproximaciones de la función en valores cercanos al punto de tangencia; sin embargo, para hallar la ecuación de la recta, necesitamos la derivada de la función en un punto, y esto implica un cálculo de un límite. ¿Se podrá agilizar el cálculo de las derivadas? Analicemos, a modo de ejemplo, el caso de la función
= genérico:
= . Calculemos la derivada de esta función en un punto 2
− () = − = − ( + ) = + = 2 = () → − → 1 − → − → De esta forma encontramos una “regla” que nos permite derivar = en cualquier punto, así: 1 = 2.1 = 2 3 = 2.3 = 6 −15 = 2. −15 = −30 2
2
′
2
′
′
′
Se puede repetir ese procedimiento (el de hacer el cálculo de la derivada de manera genérica) para las distintas funciones elementales y nos queda:
() , ∈ ℝ , ∈ ℝ () Práctica 9
′() 0
. − − () 1
+
′() 3 de 6
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()
1
1 2.
Con estas reglas y algunas propiedades, podremos derivar muchas de las funciones sin necesidad de calcular el límite del cociente incremental, obteniendo así una nueva función, llamada “función derivada” : Propiedades
Derivar una función que está multiplicada por una constante, consiste en multiplicar la constante por la derivada de la función:
. = . ′
o
′
= 3. = 3. = 3.cos = ()
Ejemplo: Calcular la función derivada de
′
′
′
Derivar una función que proviene de sumar (o restar) otras dos funciones, consiste en sumar (o restar) las derivadas de las funciones originales : o
± () = ± () ′
′
′
= + = + = + = 2 + − = 2−() 2
Ejemplo: Calcular la función derivada de ′
′
2
2
′
′
Derivar un producto, no es tan directo, implica aplicar la siguiente regla:
. = . + . ′
o
′
′
= . () = . = . + . = 1. + . 1 = + 1
Ejemplo: Calcular la función derivada de ′
′
′
′
Derivar un cociente, tampoco es tan directo, implica aplicar la siguiente regla:
= − ′
o
′
.
.
′
2
= (), sabiendo que = . −(). () == . −. − () = = () () () + = 1 = ( )
Ejemplo: Calcular la función derivada de
( )
′
′
′
′
2
2
2
2
2
2
Hay otra operación que podemos hacer con las funciones y es componerlas. Veamos ahora, entonces, la regla que nos permite derivar una composición de funciones: Regla de la cadena
Sean
, y () tales que = ( ∘)() entonces: = ∘ = [()]
Práctica 9
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() = ∘ = . () ′
′
′
′
Es decir, derivamos la función de “afuera” evaluada en la de “adentro” y la multiplicamos por la derivada de la de “adentro”
= ( ) 2
: Ejemplo
En este caso, vemos que la función
() esta evaluada en la f unción , entonces al derivar queda: = = . ( ) = . 2 2
2
2
2
′
2
= −
: Ejemplo
sen(2 )
En este caso, vemos que la función
esta evaluada en la función −(), que, a su vez, esta evaluada en 2
entonces al derivar queda:
= − = − . − sen(2) = − . − cos2. 2 sen 2
′
′
sen (2 )
′
sen 2
= − ′
′
. − cos2. 2
sen 2
Resumamos las propiedades:
. = . ± () = ± () . = . + . = − ∘ = . () ′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
.
.
′
2
′
′
′
Ejercicios:
= 3 + 2 − + 5 = (5 + ) = 4( + − 1) = − 2(3 + 1) = () = + 3cos()
1) Calcular la derivada de en cada caso, utilizando las reglas de derivación: a) b) c) d) e) f) Práctica 9
4
3
2
2
g) h)
2
i) j) k)
= ln( + 1) = − + 5() = − = − = 1
4 +3 2
1 2cos ( ) +
ln ( )
5 de 6
l)
=
UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 1 +cos
( +1)2
+ ln(7)
m)
=
2) Utilizando las reglas de derivación y la regla de la cadena hallar la fórmula de la derivada de las siguientes funciones: a) b) c) d) e) f)
= 5ln( ) = ( + ()) = − () = ln () = ln = 2 + 1 − ( ) 4
g)
2
h) i)
3
j)
5 +1
k)
2
= cos( ) = − 4 = (3 + (5)) = − = 3
3
5
2 +4 +9
( 3 +1) ( )
Regla de L´Hopital: 0
∞ ∞
(Método para resolver límites indeterminados " " ó " " utilizando derivadas) 0
Sean y funciones derivables en un intervalo
0
( ) ( puede ser ) y estamos en uno de los siguientes casos: ( ) 0 lim⟶ 0 = lim⟶ 0 = 0
lim⟶ 0
, salvo (quizás) en . Si se quiere resolver el límite
∞
ó
= lim⟶ = ∞ Entonces, si ´() ≠ 0 para todo ∈ , salvo (quizás) en y lim⟶ () = lim ´() lim ⟶ () ⟶ ´( )
lim⟶ 0
0
0
0
0
´( ) existe (finito ó infinito), vale que: ´( )
0
3) Utilizando la regla de L´Hopital, calcular los siguientes límites:
( ) ln ( ) lim→ +∞ lim→ +∞
a) lim→ 0
e)
b)
f)
c)
Práctica 9
lim→ +∞ 3 +−1 (optativo) lim→ +∞ 2 − (optativo) lim→ 0+ ( )
d) lim→ +∞
g)
ln ( )
6 de 6
