UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 Práctica 5- Matrices
… … … … …… … ℝ ∈ ℝ
Definición: Sean
y dos números naturales. Llamamos matriz de
toda tabla rectangular de
12
21
=
1
22
1
×
2
2
al conjunto de todas las matrices de
tamaño (o tamaño (o dimensión) de
es
×
Definición: Sea
escribiendo cada fila de
columnas a columnas a
números reales de la forma 11
Notamos
filas y
× . Si
filas y
columnas. Diremos que el
matriz es cuadrada. = diremos que la matriz es
. Llamamos matriz traspuesta de
a la matriz
que se obtiene
como columna.
Ejercicios: Luego de ver en clase como se opera entre matrices resolver los siguientes ejercicios.
− − − − – − − − − − − − − ∈ ∈ ℝ ∈ ℝ ∈ ℝ ∈ ℝ − −
1) Sean:
=
1 1
2 , 3
0 5
=
3 1
y
0 1 3
=
2 1
Calcular: a) b)
+
c)
2
2) Sean:
+3
d)
1 = 3 5
2 1 , 4
=
2 2
0 1
5 4
y
+2
1 = 8 7
1 4 3
2 5 0
Calcular: a) 5 b) c)
d)
2
.
e)
.
f)
3) Dadas las matrices:
2 2
,
2 3
,
3 2
.
.
2
2 3
,
Indicar el tamaño de las siguientes matrices a) b) c) d)
2
e)
2
.
f)
. .
g)
.
.
+
.
4) (Optativo) Un distribuidor de golosinas vende cajas de alfajores de marcas; A, B y C en José C. Paz y en San Miguel. Las cajas de alfajores recibidas en septiembre, octubre y noviembre se pueden escribir como las matrices: S, O y N
Práctica Práctic a 5
1 de 3
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=
40 60
50 70
80 , 70
35 60
=
45 50
70 , 60
=
40 60
60 60
75 65
Donde en cada matriz, la primera columna corresponde a la marca A, la segunda a la marca B, y la tercera a la marca C. Además la primera fila corresponde a José C. Paz y la segunda a San Miguel. a) ¿Qué información dan los elementos:
12 ,
11 ,
23 ,
23 ,
21 ?
100 = 250 200
b) Los costos en pesos están dados por la matriz:
25 30 , donde las columnas 20
son: la primera de compras y la segunda de gastos generales; y las filas son: la primera de la marca A, la segunda de marca B, y la tercera de la marca C. Calcular: N.C e
S.C , O.C ,
interpretar el resultado.
Deteminantes
∈ℝ
− ∈ℝ ℝ− − ∈ℝ ≥ − − ⋯ − ∈ ℝ ∈ℝ ⋅ ∈ℕ ⋅ ∈ ℝ 2×2
Definición: Sea
. Llamamos determinante de =
11
12
21
22
=
La definición de determinante de una matriz de
al número real
11 22
12 21
× es más compleja de interpretar con
notación simbólica. A continuación tienen la definición y en clase verán ejemplos y una regla que facilita el cálculo para determinantes de matrices de 3 × 3. ×
Definición: Sea
. llamamos submatriz
se obtiene al eliminar de
la fila
×
Definición: Sea
y la columna
11
11
+ ( 1)1+2
1 ×(
a la matriz de
1)
que
.
3. Llamamos determinante de
,
= ( 1)1+1
de la matriz
12
12
al número real
+
+ ( 1)1+
1
1
Esta fórmula corresponde a desarrollar el determinante de una matriz por la fila 1. Propiedades: Sean
×
y
. Algunas propiedades que nos resultarán útiles son las
siguientes.
=
(
)
Si tiene una fila o una columna nula, entonces
=0
Si tiene dos filas (o dos columnas) iguales, entonces =
=
=(
=0
,
( )
( )
( )) ,
Una aplicación del determinante de una matriz es para decidir si un sistema tiene única solución o no. Dado un sistema (escrito en forma matricial)
Práctica 5
=
,
×
,
2 de 3
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≠ ⟺
det
0
Ejercicios: 1) Calcular el determinante de las siguientes matrices a)
b)
c)
− − 1 3
=
2 1
1 2
=
0 3
2 6
=
e)
1 3
1 = 7 3
2) Sean:
d)
0 0 1
3 2 1
y
=
1 0 0
5 3 0
1 = 0 4
1 = 0 2
− − − 2 1 1
3 2 1
2 0 4
4 2 8
4 2 2
Calcular:
a) b) c) d)
+
8
3 5
∈ℝ
3) Sean: , a) b)
Práctica 5
5
3 3
tales que
=2 y
3
= 8. Calcular:
3 de 3
