UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 Práctica 1- Números Reales Entre los conjuntos numéricos más conocidos con los que trabajaremos en esta práctica se
ℕ
ℤ
ℚ
ℝ
encuentran los Naturales ( ), los Enteros ( ), los Racionales ( ) y los Reales ( ). - Los Números Naturales son aquellos que se usan para contar (1; 2; 3; … ). - Los Números Enteros contienen a los Naturales, los opuestos de los Naturales y al cero (…;-3;-2;(…;-3;-2;-1; 1; 0; 1; 2; 3; …). - Los Números Racionales son todos aquellos que pueden expresarse como un cociente de
∈ ℤ y ≠ 0).
Números Enteros ( , con con ,
- Los Números Reales son todos los valores que pueden ser alguna medida (por ejemplo, la medida de un segmento). Este conjunto contiene a los Racionales, pero hay muchos otros, entre los más conocidos está de longitud uno),
2 (que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos
(que es la mitad de la longitud de una circunferencia de radio uno). Desde el
punto de vista de la representación, los Números Reales son todos los números decimales (con una cantidad finita o infinita de decimales, incluyendo entre estos a los enteros). Observar que
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
Definición: Una Ecuación es una igualdad con una o más incógnitas. Definición: Llamamos conjunto solución o simplemente solución de una ecuación al conjunto de todos los valores que al ser reemplazados en la incógnita hacen que la igualdad se satisfaga. Observación: resolver una ecuación quiere decir hallar el conjunto solución. Definición: Llamamos Llamamos dominio natural de natural de una ecuación al subconjunto de los Números Reales “más “más grande" que podrían ser solución de la ecuación, es decir aquellos para los cuales es posible evaluar la expresión de la ecuación para obtener un valor de verdad (V o F). En los casos en los que se proponga una ecuación y no se aclare cuál es su dominio, entenderemos que el mismo es el dominio natural. Algunos resultados resultados útiles útiles para resolver resolver ecuaciones ecuaciones
∀ , , ∈ ℝ, = ⇔ + = + ∀ , , ∈ ℝ, ≠ 0, = ⇔ = ∀ , ∈ ℝ, = 0 ⇔ = 0 ó = 0 ∀ , ∈ ℝ, + = + 2 + ∀ , ∈ ℝ, − = + ( − ) ∀ , , ∈ ℝ, + = + 2
2
2
2
2
∀ , , ∈ ℝ, ≠ 0, 2 + + = 0 ⇔ 1,2 = − ± 2 −4 2
Práctica Práctic a 1
1 de 5
UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 Ejercicios: Ejercicio 1: Decidir si los valores indicados de
pertenecen a la solución de la ecuación en
cada caso. a) b) c) d)
= , 2 + 7 = 8 = , 3 + 4 = 1 = , 3 + 2 = = 1, + 3 − 1 = 0 1
e)
2 3 1
7
2
2
2
2
f)
1
= −2, 3 − 5 = 7 = 2, + 7 = 8 = 3, − = 5 = 3, − = 5
g) h)
5
2
5
3
Ejercicio 2: Hallar el domino natural y resolver cada una de las siguientes ecuaciones. a) b) c)
+5=13 3 + 2 = 5 6− =4 2
−2 + 15 1+ =−3 + 4 = 0 − 36 = 0 − 5 = −6
d) 5 + 1 = e) f) g) h) i) j)
k) l) m) n) o) p)
2
q) r)
6
+1=5 6
s)
+1 = 5
− 3 +4 = −3
2
2
− 1 4 +3 −1 = 3
+ 6 + 9 = 0 − 2 + 12 − 7 = 0 − 6 + 9 = 0 − 3 = + 3 + 2 2
3
2
2
2
− − 1 = 3
12 2 4 4
+1 =0 2 2
−2 2 − 1 = 5 +3
Algunas ecuaciones resueltas
Consigna: Hallar el domino natural y resolver cada una de las siguientes ecuaciones 1)
−− =
Como es posible evaluar la expresión para cualquier número real
= ℝ
Para resolver utilizamos el siguiente resultado:
∀ , , ∈ ℝ, ≠ 0, 2 + + = 0 ⇔ 1,2 = − ± 2 −4 2
Donde
(Fórmula resolvente)
= 1, = −2, = −3
2 2 − 2 − 3 = 0 ⇔ 1,2 = −−2 ± −22∙1 − 4 ∙ 1 ∙ −3 = 2 ± 4 + 1 2 2 ± 16 2 ± 4 2+4 6 2 − 4 −2 = = = = = 3 y 2 = = = −1 ⇔ 1 = 2 2 2 2 2 2 2
Práctica 1
2 de 5
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= −1, 3
Luego, el conjunto solución es:
− + + =
2)
Como es posible evaluar la expresión para cualquier número real Para resolver utilizamos Entonces,
−1=0
ó
= ℝ
∀ , ∈ ℝ, = 0 ⇔ = 0 ó = 0 +2=0
ó
+3=0
=1
Resolviendo cada ecuación queda
ó
= −2
ó
= −3
= −3, −2, 1
Luego, el conjunto solución es:
− = +
3)
Como es posible evaluar la expresión para cualquier número real
= ℝ
En primer lugar juntamos todos los términos de un lado de la igualdad:
− − 2 − 10 = 0 3
2
2
− 3 − 10 = 0 3
2
Ahora sacamos de factor común para lograr un producto igualado a cero y usar la propiedad
∀ , ∈ ℝ, = 0 ⇔ = 0 ó = 0 ( − 3 − 10) = 0 ⟺ = 0 2
Como en
− 3 − 1 0 = 0 2
ó
= 0 no hay que resolver nada (pues ya tenemos una solución) sólo resta resolver
− 3 − 1 0 = 0 utilizando nuevamente la fórmula resolvente Donde = 1, = −3, = −10 2
−3 ± −32 − 4 ∙ 1 ∙ −10 − = − 3 − 10 = 0 ⇔ 1,2 = 2∙1 3 ± 9 + 4 0 3 ± 49 3 ± 7 3 + 7 10 3 − 7 −4 = = = = = 5 y 2 = = = −2 ⇔ 1 = 2 2 2 2 2 2 2 2
Luego, el conjunto solución es: 4)
= −2,0,5
+ =
En este caso la expresión se puede evaluar en cualquier número real menos en sino estaríamos dividiendo por cero, por esto es que
= 0 pues
= ℝ − 0
Para resolver multiplicamos por 3
Práctica 1
3 de 5
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+ 1 = ∙ 3 + 1 = 3 −3
2
+
2
+1=0
Utilizando nuevamente la fórmula resolvente donde
= −3, = 1, = 1
1 ± 12 − 4 ∙ (−3) ∙ 1 − −3 + + 1 = 0 ⇔ 1,2 = = 2 ∙ (−3) −1 ± 1 + 1 2 = −1 ± 13 ⇔ = −1 + 13 y = −1 − 13 = 1 2 −6 −6 −6 −6 2
Luego, el conjunto solución es:
= −1+−6 13 ,
−1− 13 −6
El orden de los números reales En el conjunto de los números reales existe una relación de orden “<”.
es menor que si la representación de está a la izquierda de la representación de . En símbolos < se lee . Aquí tenemos que < o dicho de otra forma > . Gráficamente diremos que
Propiedades:
∀ , ∈ ℝ se cumple sólo una de las posibilidades < , = ó > ∀ , , ∈ ℝ, < < ⟹ < ∀ , , ∈ ℝ, < ⟹ + < + ∀ , , ∈ ℝ, < > 0 ⟹ < ∀ , , ∈ ℝ, < < 0 ⟹ > Notación: ≤ significa: es menor que o bien es igual a
Definición: Una Inecuación es una desigualdad con una o más incógnitas. Observación: Resolver una inecuación es encontrar todos los valores de la incógnita que la satisfacen, es decir es encontrar el conjunto solución al igual que en las ecuaciones. Intervalos
∈ ℝ denominamos:
Si ,
, = ∈ ℝ: < < Intervalo cerrado con extremos y al conjunto , = ∈ ℝ: ≤ ≤ Intervalo semiabierto o semicerrado con extremos y a los conjuntos ( , ] = ∈ ℝ: < ≤ , [, ) = ∈ ℝ: ≤ < Intervalo abierto infinito con extremo izquierdo al conjunto , +∞ = ∈ ℝ: < Intervalo abierto infinito con extremo derecho al conjunto −∞, = ∈ ℝ: < Intervalo abierto con extremos y al conjunto
Práctica 1
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∞ ∈ ℝ: ≤ Intervalo cerrado infinito con extremo derecho al conjunto −∞, = ∈ ℝ: ≤ Intervalo cerrado infinito con extremo izquierdo al conjunto [ , + ) =
Ejercicio 3: Resolver cada inecuación y representar en una recta numérica el conjunto solución.
≥8 9 − 3 ≤ 2 − 7 −2 + 9 > 6 −3 − 5 < − 3 7 − 2 > 2 − 4 8 − 3 + 1 ≥ 4 −
a) 4 + 3
g)
b)
h)
c) d) e) f)
Práctica 1
i) j) k)
−7 ≥ 0 +2 < −1
1
1
3
6
3
− ≥
4
− 3 > −( 1 + 8)
2
3
1
1
2
6
− 4 5
≤
4
+
− 5 6
5 de 5
