UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 Práctica 8- Continuidad y Asíntotas Vamos a analizar el concepto de continuidad de una función en un punto. Informalmente (muy informalmente) vamos a decir que una función es continua en un punto si la podemos dibujar sin levantar el lápiz, al pasar por ese punto. Para poder definir el concepto de continuidad, de manera no tan informal, veamos cuándo puede fallar esto de “dibujar sin levantar el lápiz”.
Podría pasar que una función no esté definida en el punto, es decir que el punto no pertenezca al dominio de la función:
a
Podría pasar, también que no exista el límite de la función en ese punto (aun si está definida): Como podemos ver en este caso, la función está definida en el punto a, y vale f(a). Sin embargo, el límite de la función cuando “ x “ x tiende al punto a” a ” no existe
f(a
ya que cuando tomamos el límite por izquierda nos da “b” mientras que por
b
derecha, coincide con “f(a)”. Y era condición condici ón necesaria para que el límite exista, que los límites laterales existan y sean iguales a
Otra versión en la que el límite no existe es que no dé un número, sino infinito.
En este caso, la función está definida en el punto a, y vale f(a). Sin embargo, el límite de la función cuando “ x “ x tiende t iende al punto a” a”
f(a)
no existe ya que da infinito, y para que el límite exista, la función se tenía que acercar a un número concreto (no infinito). a
Como pudimos ver, no sólo necesitamos que la función esté definida en el punto, sino también que exista el límite cuando la x se acerca al punto en cuestión, sin embargo esto no alcanza ya que podría pasar:
Práctica Práctic a 8
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UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 f(a)
Como podemos ver en este caso, la función está definida en el punto a, y vale f(a). b
Además el límite de la función también existe y da b, sin embargo, como este no coincide con f(a) la función, al pasar por a, no se puede dibujar “sin levantar el lápiz ”. a
Teniendo en cuenta todo esto, resumamos todo en las condiciones que tiene que cumplir una función para que sea continua en un punto:
Definición: Una función ( ) seráco nt inu a en un p un to
∈ →
a) Tiene que existir ( ), es decir que b) Tiene que existir, y ser finito,
( )
= si se verifican las siguientes condiciones:
=
c) El valor de la función en el punto y el del límite, deben coincidir:
→
= ( )
Por lo tanto, para verificar si una función es continua en un punto, hay que verificar las tres condiciones que se plantearon. Ejemplo
Analizar continuidad de
2 1
Analizamos primero en o
−− 2 +2
=
3
−
en = 1, en = 0 y en = 1
= 1, para esto verificamos las 3 condiciones:
Tiene que existir
(1): Este caso no se cumple, ya que al reemplazar
= 1 en la función, este punto
anula el denominador. Como ya no cumple la primera condición, podemos asegurar que la función
− − → → → NO ES CONTINUA EN
Analizamos ahora en o
= 0, para esto verificamos las 3 condiciones: (0): Este caso sí se cumple, ya que al reemplazar
Tiene que existir 0 =
02 +2.0 3 02 1
=
= 3.
Es decir
= 0 en la función, queda:
Como cumple la primera condición, podemos seguir
0 = 3.
analizando las otras dos condiciones.
o
Tiene que existir, y ser finito, = 0 y el
o
0
, en este caso, este límite no presenta indeterminación en
= 3, es decir existe y es un número.
0
Finalmente, la tercer condición es que
0
= (0) lo cual también se verifica, ya que ambos
casos nos dieron 3.
Por lo tanto, y como verificó las tres condiciones, la función es continua en
−
Analizamos por último en = 1, para esto verificamos las 3 condiciones:
Práctica 8
=0
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UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 o
Tiene que existir
−
( 1): Este caso no se cumple, ya que al reemplazar
− =
1 en la función, este
punto anula el denominador. Como ya no cumple la primera condición, podemos asegurar que la
−
función NO ES CONTINUA EN =
De hecho, valiéndonos de un programa que nos permita graficar una función (en este caso, se usó el Geogebra), podemos corroborar esto:
Como podemos ver, la función que no resultó continua ni en
= 1 ni en
− =
1 tiene comportamientos diferentes en
ambos puntos, es decir que, si bien en ninguno de los dos casos la función estaba definida en el punto, en el gráfico se ven que pasan cosas diferentes en ambos puntos, lo que nos lleva a definir:
→ →
Definición: Una función ( ) que no es continua en un punto Existen, además, dos tipos de discontinuidades: : Si existe y es finito: DISCONTINUIDAD EVITABL E
= se denomina d i s c o n t i n u a en el punto.
. Es decir que falla la primera o la tercera
de las condiciones de continuidad, pero no la segunda.
DISCONTINUIDAD ESENCIAL : Si no existe, (o da infinito):
. Es decir que falla la segunda de
las condiciones de continuidad, independientemente de las otras dos.
Que una discontinuidad sea evitable, quiere decir que se puede redefinir, ya que con solo cambiar un punto, conseguimos una nueva función que resulte continua en el punto en cuestión, lo que resulta imposible en el caso de una discontinuidad esencial. La nueva función que creamos al redefinirla coincide en todos los puntos con la función original, salvo en el punto de discontinuidad. Para redefinirla solo le asignamos en el punto (que ya sabemos que existe):
Práctica 8
=
≠ =
donde
→
= , el valor del límite
=
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UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 Por lo tanto, cuando ya sabemos que la función es discontinua en un punto, vamos a poder diferenciar el tipo de discontinuidad, dependiendo de la existencia del límite. En el ejemplo anterior, ya sabíamos que la función era discontinua en
= 1 y en
− =
1. Clasifiquemos ahora, estas
discontinuidades, para esto debemos analizar si existen o no los siguientes límites:
→ −− →− −− 2 +2
3
2 1
1
2 +2
1
3
2 1
Empecemos con el primero:
→ −− 2
+2 2
1
3
1
Tanto numerador como denominador tienden a 0, por lo que estamos en una indeterminación “0/0”. Salvamos la
indeterminación, factorizando ambos polinomios:
→ −− → −− → − 2
Es decir que
→ − 2 +2
1
2 1
1
3
+2 2
3
1
=
1
1 .
+3
1 .
+1
+3
=
1
+1
=
4 2
=2
= 2, como el límite existió, pero la función era discontinua, podemos asegurar que en
= 1, la función presenta una discontinuidad evitable. Por lo tanto, la podemos redefinir:
− − ≠ →− −− 2
+2 2
=
3
1
2
Analicemos el segundo límite:
=1
2
1
1
+2 2
3
1
−∞ −
En este caso el numerador tiende a -4 y el denominador tiende a 0, por lo que este límite da infinito (dará +∞ ó dependiendo de los límites laterales). Como el límite no nos dio un número real, podemos asegurar que en función presenta una discontinuidad esencial y no puede ser redefinida.
=
1 la
Continuidad de una función.
Una función es continua en su dominio (o en algún intervalo en el que está definida) si lo es para cada punto del dominio (o del intervalo). Como es imposible probar la definición de continuidad en cada punto de un intervalo, nos valemos de las siguientes propiedades:
Práctica 8
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UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 Propiedades:
Si dos funciones son continuas en un punto, la suma (o la resta) de esas dos funciones, da como resultado una nueva función también continua en ese punto:
→ − ,
=
+
=
Si dos funciones son continuas en un punto, el producto de esas dos funciones, da como resultado una nueva función también continua en ese punto:
→ ,
=
.
=
Si dos funciones son continuas en un punto, el cociente de esas dos funciones, da como resultado una nueva función también continua en ese punto, solo si la función del divisor no se anula:
→ ≠ ,
=
=
( )
0
Si dos funciones son continuas en un punto, la composición de esas dos funciones, da como resultado una nueva función también continua en ese punto:
→ ∘ ,
=
=
Además, las funciones elementales, son todas continuas en cada uno de los puntos de su dominio. Entre ellas:
= = =
( ) ( )
( )
= ( ) (Polinomios) =
Aplicaciones de Continuidad
Una vez que disponemos del concepto de continuidad podemos utilizarlo, para empezar a comprender cómo se comporta una función. Entre las aplicaciones directas de continuidad, vamos a ver (por ahora) dos: El cálculo de los intervalos de positividad y de negatividad y las asíntotas verticales que pudiera tener una función.
Práctica 8
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UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 INTERVALOS DE POSITIVIDAD Y NEGATIVIDAD
El concepto de continuidad nos permite darnos una idea de cómo se comporta una función en términos de positividad y negatividad. Para poder relacionar estos conceptos con la idea de continuidad, necesitamos un teorema: TEOREMA DE BOLZANO: Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a;b] tal que el signo
de f(a) es diferente al signo de f(b), entonces, existe al menos un punto c , en el intervalo abierto (a;b) en el que la función vale 0. A fines prácticos, y para poder relacionarlos con las definiciones anteriores, lo que vamos a usar es un teorema que se desprende del teorema de Bolzano: COROLARIO DEL TEOREMA DE BOLZANO: Sea f una función continua y que no se anula en un
intervalo abierto (a;b), entonces, el signo de f no cambia en todo el intervalo (a;b), : Ejemplo Calcular los intervalos de positividad y negatividad de
− − =
2
2
1 .
+1 .
4
Para aplicar el corolario del teorema de Bolzano, necesitamos intervalos en los que la función sea continua y no se anule, por lo que empezamos calculando el dominio (y el conjunto de los puntos de discontinuidad) y el conjunto de ceros:
ℝ =
(ninguna parte de la función presenta problemas de dominio)
: Como la función esta factorizada, y un producto es cero solo cuando alguno de los factores lo es,
0
necesitamos que:
− ⟹ − ⟹⟹ ⟹⟹ ⟹⟹ 2
2
+1 = 0
1 =0
0
4 =0
− − 0
=
16 ;
=
2
= ±1
+1
=4
0=
2
= 16
=0
= ±16
1 ; 0; 1;16
-16
-1
0
1
16
De esta forma, el dominio de la función nos quedó dividido en varios intervalos en los que la función es continua y no se anula:
−∞ −
En (
; 16) la función es continua por ser producto y composición de funciones continuas, y no se anula, por lo
−
que el signo no cambia. Entonces alcanza con verificar en signo en un punto, por ejemplo, calculamos ( 20) y verificamos que es un valor positivo
Práctica 8
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UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016
−− −
En ( 16; 1) la función es continua por ser producto y composición de funciones continuas, y no se anula, por lo que el signo no cambia.
− −
Entonces alcanza con verificar en signo en un punto, por ejemplo, calculamos
verificamos que es un valor negativo
( 3) y
En ( 1;0) la función es continua por ser producto y composición de funciones continuas, y no se anula, por lo que el signo no cambia.
Entonces alcanza con verificar en signo en un punto, por ejemplo, calculamos
verificamos que es un valor positivo
( 0,5) y
En (0; 1) la función es continua por ser producto y composición de funciones continuas, y no se anula, por lo que el
signo no cambia. Entonces alcanza con verificar en signo en un punto, por ejemplo, calculamos (0,5) y verificamos que es un valor positivo
En (1;16) la función es continua por ser producto y composición de funciones continuas, y no se anula, por lo que el
signo no cambia. Entonces alcanza con verificar en signo en un punto, por ejemplo, calculamos (2) y verificamos que es un valor negativo
∞
En (16; + ) la función es continua por ser producto y composición de funciones continuas, y no se anula, por lo que el signo no cambia.
Entonces alcanza con verificar en signo en un punto, por ejemplo, calculamos
verificamos que es un valor positivo
(20) y
Por lo tanto:
−∞ − ∪ − ∪ ∪ ∞ − − − ∪ +
=(
; 16)
= ( 16; 1)
( 1;0)
(0;1)
(16; + )
(1; 16)
ASINTOTAS VERTICALES
El concepto de continuidad nos permitió identificar los intervalos en los que la función es positiva y negativa, sin realizar cálculos demasiado complicados. Sin embargo, no es esto lo único que podemos desprender de la idea de continuidad, de hecho, los puntos de discontinuidad de una función también nos pueden aportar información pertinente sobre el comportamiento de la misma. Retomemos algunos de los gráficos que usamos para entender la idea de continuidad, en particular los que presentan una discontinuidad esencial:
f(a b
f(a)
a
Práctica 8
a
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UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 En los dos casos, las funciones representadas presentan una discontinuidad esencial en el punto x=a, pero los gráficos son diferentes. En términos de límites, en el primer gráfico, el límite no existe porque los límites laterales no coinciden. Sin embargo, en el segundo gráfico, la situación cambia ya que, si bien el límite no da un valor finito, la función muestra una cierta tendencia: cuanto más cerca está el valor de x de a, mayor es el valor de la función. A esta situación le pondremos un nombre. Diremos que la función f, tiene una asín to ta vert ic al de ecuación x=a. Informalmente, se suele decir que es una recta vertical hacia la cual la función se acerca mucho. En términos de límites, vamos a definir como asíntota vertical, a la recta de ecuación x=a que verifica que el límite de la función cuando x tiende a “a” (podría ser limite lateral), da como resultado infinito. Los candidatos a ser asíntotas verticales son los puntos de discontinuidad de una función o bordes del dominio (si éste estuviese definido por intervalos) Definición : la función f(x) tiene una asíntota vertical de ecuación x=a si se verifica al menos uno
de los siguientes límites:
→ ∞ → − ∞ − − − +
,
=
=
Ejemplo : Encontrar las ecuaciones de las posibles asíntotas verticales de la función:
=
1
(
2).(
2
1)
Si queremos encontrar las asíntotas verticales de una función, debemos hallar primero los puntos de discontinuidad de la función y bordes de dominio. Para esto, empezamos calculando el dominio de la función, que en este caso: Posibles problemas de dominio: Como en esta función no hay ninguna raíz de índice par, ni ningún logaritmo, el único problema que puede presentarse será cuando el denominador de la función se anule:
− −
(
2).
2
− ℝ− − → − − − − → − − − → − − − → − − − → − − − − → − − − − →− − − − →− − − − −
1 = 0 lo que ocurre cuando
Entonces tenemos que el
= 2,
= 1,
1.
=
2,1, 1 . Como en estos puntos, la función seguro es discontinua (ya que
=
no cumplen la primera condición de continuidad), analizamos los límites de la función a cada uno de estos puntos: 1
2 (
2
2). (
1)
1
+
2 (
1
1+ (
2). (
2
1)
1
1 (
2). (
2
1)
=
=
2). (
2
1)
=
=+
1
1+ (
2).
1 .
+1
1
1 (
2).
1 .
+1
1
+
1 (
2). (
2
1)
1
1 (
Práctica 8
2). (
2
−∞ ∞ → − − → − − − −∞ ∞
1)
=
=
1
1+ (
2).
+1
1
1 (
2).
+1
=
=
1 2 1 2
=
=+
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UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 Es decir que la función posee dos asíntotas verticales de ecuaciones gráfico:
− =2 y
=
1. Esto se puede ver en el
Otra función que presenta asíntota vertical, pero en el borde de dominio en lugar de un punto de discontinuidad son las funciones que involucran logaritmos: : Encontrar las ecuaciones de las posibles asíntotas verticales de la función: Ejemplo
− = ln(
1)
Empezamos calculando el dominio de la función, que en este caso solo tiene problemas de dominio por tener un logaritmo que exige que su argumento sea mayor a cero:
− → → ∞ ∞ → − −∞ 1>0
>1
1; +
= 1; +
El único punto que podría dar lugar a una asíntota vertical es
= 1 . Calculamos el límite de la función para ver si hay
asíntota, como la función solo está definida para valores mayores a 1, solo se puede calcular un límite lateral: 1+
ln(
1) =
Es decir que la función tiene una asíntota vertical de ecuación
Práctica 8
= 1. Lo vemos en el gráfico:
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UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016
ASINTOTAS HORIZONTALES
Podríamos extender la idea de asíntota vertical analizando si la función tiene un comportamiento análogo con otras rectas no verticales. Si recordamos los límites al infinito, podemos ver si la función tiene una tendencia a acercarse a una recta en particular. De ocurrir esto diremos que estamos en presencia de una asíntota que será horizontal, si la recta es paralela al eje de las abscisas. Definición : Si el
→ ∞ ∈ℝ ±
horizontal de ecuación
=
con
=
diremos que la función
tiene una asíntota
Hay una idea errónea rondando el concepto de asíntota que dice que la función “no toca” la asíntota. Esto no es
cierto en todos los casos, no olvidemos que la idea de límite está asociada con la idea de tendencia y eso es lo que se analiza en el caso de las asíntotas, por ejemplo:
Práctica 8
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UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 En el primero de los gráficos, la función en efecto, no “toca” la asíntota, sin embargo en el segundo gráfico, la función
muestra una tendencia a acercarse a la recta y=0 , sin embargo, la función corta a la recta y=0 muchas veces. Por eso, solo nos quedaremos con el concepto asociado al límite. Ejemplo
Analizar la existencia de asíntotas de
=
−−
2
3
ℝ− → −− −∞ → − −− ∞
Veamos primero la existencia de asíntotas verticales:
=
3 . Para el resto de los puntos, la función es
continua por ser cociente de funciones continuas. Único candidato a ser asíntota vertical: 2
3+ 3
2
=
3 3
= 3. Veremos los límites:
=+
→ ∞ −− → ∞ −− → ∞ −− − ∞ − −∞ →−∞ −− →−∞ −− →−∞ −− − −∞ −
Luego, en
= 3 f tiene una asíntota vertical.
Para analizar, ahora, la existencia de las asíntotas horizontales hay que ver el comportamiento de la función en el infinito.
2
+
3
=
. 1
+
.
3
2
1
1
=
3
+
En + hay asíntota horizontal, de ecuación
=
Ahora vemos si hay asíntota horizontal en
.
2
3
En
hay asíntota horizontal, de ecuación
2
1
=
1
1.
. 1
=
.
=
3
2
1
=
1
3
2
=
1
1
1.
Veamos el gráfico:
Práctica 8
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UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 Ejercicios: Continuidad 1) Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados:
(a) f ( x) (b) f ( x)
1
x 2
3 x en x 0 2
x 1 x 2 4 x 3
en x 0 1
x 2 1 x 1 (c) f ( x) x 1 2 x 3 x 1 1 x 0 (d) f ( x) x 0 x 0
x 0 1 .
y y
x 0 2 .
en x0 1 .
en x 0 0 .
x 2 x 2 4 x 2 1 x 2 (e) f ( x) 4 x 3 31 x 2 4
en x 0 2 .
2) Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados. Clasificar los puntos de
discontinuidad en esenciales o evitables. Si fuera posible redefinir las funciones para que resulten continuas: a) f ( x)
x 2 x( x 4) 2
En x=0, x=2, x=-2
b) f ( x)
x 3 x x 2 x
En x=0, x=-1
x c) f ( x) x 2 2
x 0 0 x 2
x 2
En x=0, x=2
x 2 4 x 2 x 2 d) f ( x) 3 x 2 x 3 4 x 2 Práctica 8
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UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 En x=2 3) Hallar los intervalos de positividad y negatividad de f ( x)
( x 2 5 x 6)( x 2 1)( x 2)
Asíntotas 4) Para cada una de las siguientes funciones hallar el dominio y, si existen , las ecuaciones de las asíntotas
verticales y horizontales: (a) f ( x) (b) f ( x) (c) f ( x) (d) f ( x) (e) f ( x) (f) f ( x)
3 x 2 x 1
x 2 x 6 x 3 4 2 x 5 x 6
3 x 3 x 2 3 x 2 2 x 2 x 5 2 x 2 x 1 2
1
(g) f ( x) e x1 (h) f ( x) e x
Práctica 8
3
1
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