UNPAZ- APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 Práctica 4- Sistemas de Ecuaciones Lineales Los fundamentos y prácticas de matemática son esenciales en la formación y trabajo cotidiano de un programador. Los sistemas de ecuaciones lineales surgen al querer resolver ciertos problemas donde tenemos que encontrar el valor de distintas incógnitas a partir de una o más ecuaciones, como por ejemplo el siguiente: “El número de libros que tengo es el triple de la cantidad de mis cuadernos, y todos juntos suman 20. ¿Cuántos libros y cuántos cuadernos tengo?”
Para resolver este problema introducimos dos incógnitas: incógnitas: representa el número de libros, e es el número de cuadernos. Ahora armamos dos ecuaciones con los datos del problema.
La frase: el número de libros que tengo es el triple de la cantidad de mis cuadernos , dice que
= 3 , lo cual nos da la primer ecuación
−
3 = 0.
Ahora, la siguiente siguiente dice todos juntos suman 20. Esto es
−
+
= 20.
El sistema que queremos resolver tiene entonces dos incógnitas, e , y dos ecuaciones: 3
+
=0 = 20
El objetivo de esta guía es estudiar estos sistemas y plantear ecuaciones lineales para resolver problemas similares. En la actualidad hay programas que resuelven sistemas de ecuaciones lineales. Un programador primero debe saber cuáles son los algoritmos matemáticos a llevar a cabo para resolver un sistema de ecuaciones lineales así luego puede crear un programa que lo resuelva. Por esto, nos acercaremos a los conceptos matemáticos necesarios para poder resolver sistemas de ecuaciones lineales. Los métodos de resolución más sencillos en general no sirven para resolver sistemas de muchas ecuaciones y muchas incógnitas. El método que aprenderemos permite resolver
sistemas de ecuaciones con
incógnitas.
… ⋯
Definición: Una ecuación lineal con incógnitas
Donde
… 1,
2,
,
Un sistema lineal de
Práctica Práctic a 4
+
2
2
+
2,
+
,
es una expresión de la forma
=
, son números reales dados. Los números
coeficientes de la ecuación. Si
lineales:
1 1
1,
… ,
se llaman
incógnitas es un conjunto de
ecuaciones
1,
2,
= 0 decimos que la ecuación es homogénea.
ecuaciones con
1 de 3
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⋯⋯ … … …⋯ … … ⋯ 11
1
21
1
1 1
El sistema es homogéneo si
1
=
2
+ +
+
=
2
+ +
+ +
2
+
+
12
2
22
2
=
= =
1
2
1
2
=
=0
Definición: Dado un sistema lineal de ecuaciones con
incógnitas, decimos que
una solución si satisface todas las ecuaciones del sistema.
… 1,
,
es
Definición: Dado un sistema de ecuaciones lineales decimos que el sistema es
Compatible determinado si tiene solución única (SCD)
Compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones (SCI)
Incompatible si no tiene solución (SI)
Definición: Decimos que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Para pasar de un sistema a otro equivalente podemos efectuar las siguientes operaciones sobre las ecuaciones del sistema: a) Intercambiar dos ecuaciones de lugar b) Multiplicar una ecuación por un múltiplo distinto de cero c) Reemplazar una ecuación por la ecuación que obtenemos al sumarle un múltiplo de otra Definición: Dado un sistema de la forma
⋯⋯ … … …⋯ … … … … … ……… … … 11
1
21
1
1 1
+ +
+
2
+ +
+ +
2
+
+
12
2
22
2
= =
1
2
1
2
=
Llamamos matriz ampliada o aumentada del sistema a la siguiente tabla: 11
12
1
21
22
1
2
2
1
2
Ejercicios: 1) Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales
− − − − − − − 1
S: 2
1
4
+3 +3
1
=3 2 4 = 0 + 3 4 = 7 2
+
3
Decidir si alguno de los puntos que se muestran, es solución de S 1
= 0,0,0,0
Práctica 4
2
= 1,1,1,5
3
=
1 1
1, , , 0 3 3
4
=
1,
2,8,
8
2 de 3
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2) Resolver los siguientes sistemas y clasificarlos de acuerdo a su cantidad de soluciones, es
decir si es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible:
a) b) c) d)
− −− −− − −− − − − +
2
=7 =5
=7 2 = 14
+2 + =2 2 + =3 + =1 = 1 2 =4 +
e)
=0 =0 2 =0
+2 +3 = 1 2 +4 =0 3 +2 +7 = 1
f)
g)
h)
− − − − − − − − − −
2 1 + 4 2 + 6 3 = 18 4 1 + 5 2 + 6 3 = 24 2 1 + 7 2 + 12 3 = 30 +
=2 1 2 +2 3 = 0 3 1+3 2 3 = 3 1
i) j)
2
+2 3 +4
3
=4 2 =7
+
k)
=4 2 3 =7 3 +2 = 8 1
l)
+
1
1
=0 2 + 3 = 2 + 2+ 3 =0 2
3
2 + 4 + 6 = 18 4 + 5 + 6 = 24 3 + 2 =4
3) Resolver los siguientes problemas (optativo):
a) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. El ángulo mayor es igual a la suma de los otros dos. El doble del ángulo menor tiene 10º menos que el ángulo mayor. Encontrar la medida de los tres ángulos. b) Un inversionista quiere comprar 500 acciones y dispone de un capital de $16.000. Un agente de bolsa le recomendó invertir en acciones de las empresas A y B. Cada acción de A cuesta $ 20 y cada acción de B cuesta $50. Hallar la cantidad de acciones que puede comprar el inversionista de cada empresa, suponiendo que gasta el capital mencionado en su totalidad.
Práctica 4
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