UNPAZ –APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 Práctica 3- Vectores Informalmente un vector es es un segmento orientado, es decir un segmento donde se toma uno de los extremos como punto de origen y a otro como punto final
B
A Vector con punto origen A y punto final B. Un vector que da determinado por la dirección (la “inclinación”), el sentido (la orientación del segmento) y la longitud. Cuando dos vectores tienen igual sentido, dirección y longitud diremos que son equivalentes. equivalentes. Los vectores son de amplia aplicación en distintas disciplinas: Informática: La estructura de datos básica: array o lista o arreglo lineal o vector. Física: Representación de valores de magnitudes como desplazamiento, velocidad, fuerza, etc. Vectores en el plano y en el espacio
, : , ∈ ℝ ℝ notamos al conjunto de todos los puntos del plano, o sea ℝ = Cuando digamos el “vector = , en ℝ ” nos referimos al vector del plano con punto origen en = (0,0 (0,0)) y punto final en , . 2
Con
2
2
ℝ al conjunto de puntos del espacio, ℝ = , , : , , ∈ ℝ Cuando digamos el “vector = , , en ℝ ” nos referimos al vector del espacio con punto origen en = (0,0 (0,0,0 ,0)) y punto final en , , . Notamos
3
3
3
Operaciones y propiedades Definiciones:
= , y = , llamamos vector suma de y al vector + = + , + Dados = , , y = , , llamamos vector suma de y al vector + = + , + , + Dados = , y ∈ ℝ llamamos producto de por al vector v ector = ( , ) Dados = , , y ∈ ℝ llamamos producto de por al vector = ( , , ) Dados
Práctica Práctic a 3
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≠ y ≠ 0, es un vector que tiene la misma > 0, tienen el mismo sentido, si < 0 tienen sentidos opuestos. Observación: Si
dirección que
.
Si
y decimos que y son paralelos si tienen la misma dirección, es decir si ∃ ∈ ℝ, ≠ 0, = Definición: Dados dos vectores
Propiedades: Sean a) b) c) d) e) f) g) h)
, , vectores y , ∈ ℝ. Entonces 1
2
+ + = + + + = + + = + + = + + = 1 = + −1 = 0 0 = 1
1
1
2
1
1
2
Definición: Sea un vector. Llamamos norma de a la longitud del vector Si
= , tenemos que =
Si
= , , tenemos que =
Definición: Dados dos puntos
− . , = −
2
+ 2
y la notamos
2
+
2
+
2
y , definimos la distancia entre y como la norma de
Definición:
= , y = , llamamos producto interno entre y al número ∙ = + Dados = , , y = , , llamamos producto interno entre y al Dados
número
∙ = + + Propiedades: Sean a) b) c)
, , vectores y ∈ ℝ. Entonces
∙ =∙ ∙ + = ∙ + ∙ ∙ = ∙ = ∙ ()
Definición: Dados dos vectores perpendiculares si
Práctica 3
y
decimos que
y
son ortogonales o
∙ = 0
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vectores producto vectorial entre y a Definición: Sean
y
en
ℝ , = , , 3
= , , .
y
Llamamos
× = ( − , − , − ) vectores en ℝ . Entonces, × ⋅ = 0 y × ⋅ = 0 3
Propiedad: Sean y
Esta propiedad nos dice que dados dos vectores el resultante de hacer
y , un vector perpendicular a estos dos es
× .
Rectas y Planos Definiciones:
un vector no nulo y un punto. Llamamos ecuación vectorial o paramétrica de la recta que pasa por con la dirección de a Χ = + , ∈ ℝ (Esta definición es válida tanto en ℝ como en ℝ . En el primer caso Χ = ( , ) y en el segundo Χ = (, , )) Sean y dos vectores que no son múltiplos entre sí y un punto. Llamamos ecuación paramétrica del plano que pasa por paralelo a y a Χ = + + , , ∈ ℝ Sean
2
3
Ejercicios: 1) Representar gráficamente los siguientes vectores a) b) c) d) e)
1
= (1, 2)
f)
2
= ( 1,2)
−
g)
4
− = (−1, − 2)
5
= (3,0)
3
= (1, 2)
h) i)
6
= (0,4)
7
= (1,1)
8
=
9
, −3 = (−4,2) 1 2
= 2, −3, = 0,7, = (−1,5). Calcular a) + d) − g) b) + e) − h) i) c) + f) 3 Dados los vectores = 1, −3, 4, = 3,0,5, = (−1,5,7). Calcular a) + d) − g) b) + e) − h) i) c) + f) 3
2) Dados los vectores
3)
−5 4 + 3 − 2 −5 4 + 3 − 2
4) Calcular la distancia entre los siguientes puntos a)
Práctica 3
= 2,4 = 3,1 3 de 4
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= −2,1 = 3,0 c) = 0,2,4 = 3,5, −1 d) = −2, −1, −4 = 3,1, −5 Dados los vectores = 1, −3, 4, = 3,0,5, = (−1,5,7). Calcular i) ( ⋅ ) e) × ⋅ f) × j) × ⋅ ⋅ ⋅ g) × k) × × h) × ⋅ b)
5) a) b) c) d)
6) Decidir si los siguientes pares de vectores son paralelos, perpendiculares o ninguna de las dos. a) b) c)
= 2,4, −1 = −4, −8, 2 = 0,3,1 = 3,0,7 = 1, −3, 5 = 3,5, −1
Práctica 3
d) e) f)
= −5, −5, 5 = 1,2,3 = 1/2, −1, 1 = 2, −4, 4 = 0, −1, 4 = 2, −12, −3
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