Nama :
1. Annisatun Nur Amalia (05) 2. Aulia Rizki Ananda (09) Kelas : XI MIIA 1 PERSAMAAN LINGKARAN DAN GARIS SINGGUNG A. PERSAMAAN — PERSAMAAN PERSAMAAN LINGKARAN
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang terletak pada bidang datar. Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran dan sebuah titik tertentu disebut pusat lingkaran. pada Gambar 1-1 diperlihatkan tempat kedudukan titik-titik yang membentuk lingkaran dengan jari-jari r dan dan pusat lingkaran di titik M yang digambarkan pada sebuah bidang Cartesius. Berdasarkan Gambar 1-1, dapat ditentukan sebuah persamaan yang menyatakan hubungan antara peubah x peubah x dan peubah y peubah y.. Untuk tempat kedudukan titik-titik yang membentuk lingkaran, persamaan yang menghubungakn peubah x x dan peubah y peubah y tadi disebut persamaan lingkaran . Bentuk persamaan lingkaran ditentukan oleh : Letak pusat lingkaran M Panjang jari-jari r. 1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O(0,0) dan Berjari — — jari r Gambar 1-2 memperlihatkan lingkaran yang berpusat di O(0,0) (titik asal koordinat) dan berjari-jari r pada sebuah bidang Cartesius. Misalkan titik P(x, y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran. Titik P’ adalah proyeksi titik P pada sumbu X sehingga ∆OP’P merupakan segitiga siku -siku di P’. Karena titik P(x, y) diambil sembarang, maka persamaan x² + y² = r² berlaku untuk semua titik P(x, y) yang terletak pada keliling lingkaran itu. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa
Persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r adalah
x² + y² = r² CONTOH 1
Sebuah lingkaran dengan titik pusat O. a) Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari r = 5 JAWAB : a) Pusat di O dan jari-jari r = 5
x² + y² = 5² → x² + y² =25
Jadi, persamaan lingkarannya adalah x² + y² =25 atau L atau L ≡ {(x, y) | x² + y² =25}.
CONTOH 2
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui titik A(-3, 5).
1
JAWAB : Lingkaran berpusat di O(0, 0) dan melalui titik A(-3, 5), maka jari-jari r adalah r = √(-3)² + (5)² = √34, sehingga r² = (√34)² = 34. Persamaan lingkarannya : x² + y² = r² → x² + y² = 34. Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui titik A(-3, 5)
adalah L ≡ x² + y² =34. LATIHAN 1 1. Carilah persamaan lingkaran dengan pusat di O(0, 0) dan jari-jari berikut ini. a) r = √10 d) r = 4 √3 b) r = 2 ⅓ e) r = ⅓ √3 c) r = 6 f) r = a satuan 2. Carilah persamaan lingkaran dengan pusat di O(0, 0), serta melalui titik-titik berikut ini. a) A (-1, 3) b) B (a, 2) 3. Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai diameter (garis tengah) ruas garis AB, untuk setiap pasang titik A dan titik B berikut ini. a) P (1, -2) dan A(-1, 2) b) P(-3, 1) dan B(3, -1) 2. Persamaan lingkaran yang berpusat di A(a, b) dan berjari-jari r Bagaimana bentuk persamaan lingkaran dengan pusat di A(a, b) dan jari-jari r ? (a, b, r € R dan r ≥ 0). Untuk menjawab pertanyaan itu, perhatikan Gambar 1-3. Dengan
menerapkan teorema Phytagoras pada ∆AP’P, diperoleh hubungan : AP = √(AP’)² + (PP’)² r = √(x – a)² a)² + (y – b)² b)² r² = (x – a)² a)² + (y – b)² b)² (x – a)² a)² + (y – b)² b)² = r² Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut. Persamaan lingkaran dengan pusat A(a, b) dan jari-jari r adalah (x – a)² a)² + (y – b)² b)² = r²
Dalam notasi pembentuk himpunan, persamaan lingkaran itu dapat ditulis sebagai berikut. L ≡ {(x, y) | (x – a)² a)² + (y – b)² b)² = r²} Persamaan lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² disebut persamaan lingkaran dalam bentuk baku . Artinya, jika suatu persamaan lingkaran dinyatakan dalam bentuk baku, maka pusat dan jari-jari lingkaran tersebut dapat ditentukan secara langsung. Perhatikan contoh 4 berikut ini. CONTOH 3
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut ini.
L ≡ (x + l)² + (y + 2)² = 9 JAWAB
L ≡ (x + l)² + (y + 2)² = 9, pusat di (-1, -2) dan jari- jari r = √9 = 3.
2
LATIHAN 2
1. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut. a) (x – 1) 1)2 + (y – 2) 2)2 = 25 b) (x + 3)2 + (y – 3) 3)2 = 9 c) (x – 1) 1)2 + y2 = 27 2. Tentukan persamaan dari setiap lingkaran berikut. a) Pusat (-3, 3), jari-jari 4. b) Pusat (2,1), jari-jari 6 c) Pusat (5,-2), jari-jari 3 √2 3. Tentukan persamaan dari setiap lingkaran berikut. a) Pusat (2, -3), melalui titik O b) Pusat (3, -4), melalui titik (1, 2) c) Pusat (2, 5), melalui titik (5, 1) 3. Bentuk umum persamaan lingkaran
1) Me 1) Meny nya atakan kan bentuk ntuk umum umum persam rsamaan lingka lingk aran Apa yang dimaksud bentuk umum persamaan lingkaran ? untuk menjawab pertanyaan itu, simaklah contoh berikut. Sebuah lingkaran dengan pusat (1, 2) dan jari-jari 4, persamaannya adalah L ≡ (x – l)² l)² + (y – 2)² 2)² = 16. Jika persamaan diatas dijabarkan kemudian disusun berdasarkan aturan abjad dan dan pangkat turun, maka diperoleh : L ≡ (x – l)² l)² + (y – 2)² 2)² = 16. L ≡ (x² - 2x + 1) + ( y² - 4y + 4) = 16 L ≡ x² + y² - 2x – 4y 4y – 11 11 = 0 Persamaan terakhir inilah yang disebut bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (1, 2) dan jari-jari r = 4. Berdasarkan conoth diatas, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut. Bentuk umum dari persamaan lingkaran dapat dinyatakan dengan persamaan x² + y² + Ax + By + C = 0 ( A, B, dan C bilangan-bilangan real) atau Ax² + Ay² + Bx + Cy + D = 0 ( A, B, C, dan D bilangan-bilangan bulat, A ≠ 0). Jika diamati, bentuk umum persamaan lingkaran memiliki ciri-ciri khusus. Ciri-ciri khusus itu adalah : 1. Peubah x dan peubah y berderajat/berpangkat dua dan tidak memuat suku perkalian x dengan y (suku xy). 2. Koefisien x² sama dengan koefisien y². Dengan mengenal ciri-ciri khusus dari bentuk persamaan umum lingkaran, kita dapat membedakan apakah suatu persamaan merupakan persamaan lingkaran atau bukan. Agar lebih jelasnya, simaklah contoh berikut.
CONTOH 4
Diantara persamaan-persamaan berikut ini, manakah yang merupakan persamaan lingkaran ? a) 4x + 3y – 4 = 0 d) x² + y² - 6x + 10y + 3 = 0 b) x² + 3x – 10y + 6 = 0 e) x² + y² + 2xy + 2x – 4y 4y + 2 = 0 c) y² - 3x + 4y – 8 = 0 f) x² - y² + 4x – 5y 5y + 10 = 0
3
JAWAB a) 4x + 3y – 4 = 0 bukan persamaan lingkaran, lingkaran, sebab peubah x dan y berderajat satu. b) x² + 3x – 10y 10y + 6 = 0 bukan persamaan lingkaran, sebab yang berderajat dua hanya peubah x. c) y² - 3x + 4y – 8 8 = 0 bukan persamaan lingkaran, sebab yang berderajat dua hanya peubah y. d) x² + y² - 6x + 10y + 3 = 0 merupakan persamaan lingkaran. e) x² + y² + 2xy + 2x – 4y 4y + 2 = 0 bukan persamaan lingkaran, sebab memuat suku xy. f) x² - y² + 4x – 5y 5y + 10 = 0 bukan persamaan lingkaran, sebab koefisien x² tidak sama dengan koefisien y² (koefisien x² sama dengan 1 sedangkan koefisien y² sama dengan -1).
2) Me 2) Mene nent ntuka ukan n pusa usat dan jari-jari jari -jari lingka lingk aran Secara umum, pusat dan jari- jari jari lingkaran sebagai berikut.
L ≡ x² + y² + Ax + By + C = 0 dapat ditentukan
L ≡ x² + y² + Ax + By + C = 0 L ≡ (x² + Ax + A²/4) – A²/4 A²/4 + (y² + By + B²/4) - B²/4 + C = 0 C L ≡ (x + A/2)² + (y + B/2)² = A²/4 + B²/4 – C Berdasarkan persamaan diatas, dapat disimpulkan : Pusat dan jari- jari lingkaran lingkaran L ≡ x² + y² + Ax + By + C = 0 ditentukan ditentukan dengan dengan rumus :
)
Jari- jari C jari r = √A²/4 + B²/4 – C
Pusat ( - , -
Proses menentukan bentuk umum persamaan lingkaran dapat dilihat pada bagan berikut ini. DIKETAHUI
BENTUK UMUM 2
2
BENTUK UMUM
x 2+ y2- 2ax 2ax – aby aby + + (a (a2 + b2 – r 2 = 0
2
( x x – a) a) + ( y y – b) b) = r
Pusat (a, (a, b) b) Jari – jari jari r Pusat
BENTUK UMUM
( - , - )
(x +
Jari – jari jari
A )2 + (y + B )2 = A + B C 2 2
B r = = +
DIKETAHUI BENTUK UMUM
x 2+ y2 + 2 Ax +By + C
CONTOH 5
Tentukan pusat dan jari – jari jari untuk lingkaran berikut. 2 2 L= 2x + 2y – 2x 2x + 6y – 3 3 = 0 JAWAB
3 2
Untuk lingkaran L lingkaran L 2x 2 + 2y2 – 2x 2x + 6y – 3 3 = 0 ekuivalen dengan L dengan L x 2 + y2 – x x + 3y - = 0 sehingga dapat ditetapkan A = -1, B = 3, dan C = -
3 2
−, - 3 ) = ( , - 3 ) 2 2 2 2 (−) + (3) ( 3) Jari – jari lingkaran : r = 2 9 6 r = + + r = √ 4 = 2 3 Jadi, lingkaran L lingkaran L 2x + 2y – 2x 2x + 6y – 3 3 = 0 berpusat 0 berpusat di ( , - ) dan berjari – jari jari r = 2 2 2
Pusat lingkaran : ( -
2
2
4
LATIHAN 3
Di antara persamaan – persamaan persamaan di bawah ini, mana yang merupakan persamaan lingkaran ? a) 4x – 5y 5y – 9 9 = 0 2 b) 3x – 4y 4y + 2x + 1 = 0 2. Ttulislah bentuk umum persamaan lingkaran untuk lingkaran – lingkaran lingkaran berikut ini. a) Pusat (1, -2) dan jari – jari jari 3 b) Pusat (-3, 2) dan jari – jari jari 5 1.
B. POSISI SUATU TITIK TERHADAP LINGKARAN
1.
Posisi suatu titik terhadap lingkaran L ≡ x² + y² = r²
Posisi atau kedudukan titik P(a, b) terhadap lingkaran L ≡ x² + y² = r² dapat dirumuskan sebagai berikut. 1) Titik P (a, (a, b) b) terletak di dalam lingkaran L lingkaran L → a2 + b2 < r². 2) Titik P(a, b) terletak pada lingkaran L → a² + b² = r 2. 3) Titik P(a, b) terletak di luar lingkaran L → a² + b² > r². Tempat kedudukan titik-titik P(a, b) terhadap lingkaran L ≡ x² + y² = r² (di dalam, pada, atau di luar lingkaran) diperlihatkan pada Gambar berikut.
CONTOH 6
Tanpa menggambar pada bidang Cartesius, tentukan posisi titik P terhadap lingkaran L berikut ini. Titik P(2, -3) terhadap lingkaran L ≡ x² + y² = 13. JAWAB P(2, -3) terhadap L ≡ x² + y² = 13 (2)² + (-3)² = 13 = 13
Jadi, titik P(2, -3) terletak pada lingkaran L ≡ x² + y² = 13. 2.
b)² = r² Posisi suatu titik terhadap lingkaran L ≡ ( x – a)² + (y – b)²
Posisi atau kedudukan titik P(h, k) terhadap lingkaran L ≡ ( x – a)² + (y – b)² = r² dapat dirumuskan sebgai berikut. 1) Titik P(h, k) terletak di dalam lingkaran L jika dan hanya jika (h – a)² a)² + (k – b)² b)² < r² 2) Titik P(h, k) terletak pada lingkaran L jika dan hanya jika (h – a)² a)² + (k – b)² b)² = r² 3) Titik P(h, k) terletak di luar lingkaran L jika dan hanya jika (h – a)² a)² + (k – b)² b)² > r²
5
CONTOH 7
Tanpa menggambar pada bidang Cartesius, tentukan posisi titik berikut ini terhdap lingkaran yang disebutkan. a) Titik (1, 1) terhadap lingkaran L ≡ (x + 3)² + (y – 5)² = 16. b) Titik (-3, 2) terhadap lingkaran L ≡ (x – 1)² 1)² + (y – 5)² 5)² = 25. c) Titik (-4, -1) terhadap lingkaran L ≡ (x + 2)² + (y + 3)² = 12. JAWAB a) (1, 1) dan L ≡ (x + 3)² + (y – 5)² 5)² = 16. (1 + 3)² + (1 – 5)² 5)² = 32 > 16 Jadi, titik (1, 1) terletak di luar lingkaran L ≡ (x + 3)² + (y – 5)² 5)² = 16.
b)
(-3, 2) dan L ≡ (x – 1)² 1)² + (y – 5)² 5)² = 25. (-3 – 1)² 1)² + (2 – 5)² 5)² = 25 = 25 Jadi, titik (-3, 2) terletak pada lingkaran L ≡ (x – 1)² 1)² + (y – 5)² 5)² = 25.
c)
(-4, -1) dan L ≡ (x + 2)² + (y + 3)² = 12. (-4 + 2)² + (-1 + 3)² = 8 < 12 Jadi, titik (-4, -1) terletak di luar lingkaran L ≡ (x + 2)² + (y + 3)² = 12.
3. Posisi suatu titi k terhadap lingkaran L ≡ x² + y² + Ax + By + C = 0
Posisi atau kedudukan titik P(h, k) terhadp lingkaran L ≡ x² + y² + Ax + By + C = 0 dengan K adalah kuasa titik P terhadap lingkaran L dapat dirumuskan sebagai berikut. 1) Titik P(h, k) terletak di dalam lingkaran L → K < 0. 2) Titik P(h, k) terletak pada lingkaran L → K = 0. 3) Titik P(h, k) terletk di luar lingkaran L → K > 0. Dimana k = h² + k² + Ah + Bk + C.
LATIHAN 4
1.
Dengan cara membuat arsiran, gambarlah daerah bidang yang memenuhi setiap pertidaksamaan berikut. a) x² + y² < 16 c) x² + y² ≤ 4 b) x² + y² > 9 d) x² + y² ≥ 25 2. Tanpa menggambar pada bidang Cartesius, tentukan posisi titik P(a, b) terhadap lingkaran L
≡ x² + y² = r² berikut ini serta hitunglah jarak terpendek titik P ke lingkaran L a) P(2, 3) terhadap L ≡ x² + y² = 8 b) P(-1, 6) terhadap L ≡ x² + y² = 36 c) P(√3, -1) terhadap L ≡ x² + y² = 3 d) P(6, 8) terhadap L ≡ x² + y² = 49
3.
Tentukan batas-batas nilai a pada setiap pernyataan berikut ini. a) Titik P(-4, a) terletak di luar lingkaran L ≡ x² + y² = 16 6
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
b) Titik P(a, √3) terletak di dalam lingkaran L ≡ x² + y² = 12 c) Titik P(a, -a) terletak di luar lingkaran L ≡ x² + y² = 32 Persamaan sebuah lingkaran ditentukan oleh L ≡ (x – 2)² + (y + 1)² = 4. Gambarlah himpunan titik-titik P(h, k) dalam bidang Cartesius sehingga berlaku hubungan i) (h – 2)² 2)² + (k + l)² < 4 ii) (h – 2)² 2)² + (k + l)² = 4 iii)(h – 2)² 2)² + (k + l)² > 4 Tanpa menggambar pada bidang Cartesius tentukan posisi ttik P(h, k) terhadap lingkaran L a)² + (y - b)² = r² berikut ini dan hitung jarak terdekat titik P ke lingkaran. ≡ (x – a)² a) (1, 1) dan L ≡ (x – 3)² 3)² + (y - 2)² = 9 b) (3, 3) dan L ≡ (x – 3)² 3)² + (y - 2)² = 9 c) (2, -1) dan L ≡ (x – 3)² 3)² + (y - 2)² = 9 d) (3, 5) dan L ≡ (x – 3)² 3)² + (y - 2)² = 9 Tentukan batas-batas nilai a, jika diketahui : a) (-a, 1) terletak di dalam lingkaran L ≡ (x + 3)² + (y - 3)² = 8 b) (-2, a) terletak di luar lingkaran L ≡ (x – 1)² 1)² + (y + 4)² = 10 c) (a, -a) terletak di dalam lingkaran L ≡ (x + 2)² + (y - 3)² = 25 d) (a, a) terletak di luar lingkaran L ≡ (x + 1)² + (y - 1)² = 4 Diketahui lingkaran dengan persamaan L ≡ x² + y² - 8x – 2y 2y + 8 = 0 serta titik-titik A(2, 3), B(1, 1), C(0, 1), P(5, 2), Q(4, -2), dan R(6, 4). i) Hitunglah nilai kuasa titik-titik A, B, C, P, Q, dan R terhadap lingkaran L. ii) Berdasarkan hsail perhitungan pada a), sebutkan posisi atau kedudukan titik-titik A, B, C, P, Q, dan R terhadap lingkaran L. Titik-titik berikut ini terletak pada lingkaran yang disebutkan, hitunglah nilai a. a) Titik (a, 0) terletak pada lingkaran L ≡ x² + y² - 4x + 6y + 3 = 0 b) Titik (2, a) terletak pada lingkaran L ≡ x² + y² - 4x – 2y 2y – 4 4 = 0 c) Titik (4, -1) terletak pada lingkaran L ≡ x² + y² - 4x + 2ay – 3 3 = 0 d) Titik (1, 2) terletak pada lingkaran L ≡ x² + y² - ½ax + 2y – 5 5 = 0 Hitunglah panjang garis singgung dari titik P ke lingkaran L berikut ini. i) Titik P (5, -2) dan lingkaran L ≡ x² + y² - 2x – 8y 8y – 10 10 = 0 ii) Titik P (4, 2) dan lingkaran L ≡ x² + y² - 4x + 6y + 4 = 0 iii)Titik P(6, 4) dan lingkaran L ≡ x² + y² + 4x + 6y – 19 = 0
Panjang garis singgung yang ditarik dari titik P(5, 4) terhadap lingkaran L ≡ x² + y² + 2ay = 0 sama dengan satu satuan panjang. Hitunglah nilai a.
C. POSISI GARIS TERHADAP LINGKARAN
Dari tinjauan geometri bidang, posisi atau kedudukan garis g terhadap lingkaran L ada 3 macam. Pada Gambar , garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan , yaitu titik A(x1, y1) dan B(x2, y2). Pada Gambar , garis garis g memotong lingkaran di satu titik atau atau dikatakan garis g menyinggung lingkaran di titik S(xS, yS). Pada Gambar , garis garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran .
7
Dari tinjauan Aljabar, posisi garis g terhadap lingkaran L dapat dianalisis dengan menggunakan system persamaan linear dan kuadrat dimana bagian kuadratnya berbentuk implisit yang tidak dapat di faktorkan. Agar lebih memahami cara menentukan posisi garis terhadap lingkaran, simaklah beberapa contoh berikut ini.
CONTOH 8
Diketahui garis g ≡ x + y = l dan lingkaran L ≡ x² + y² = 4 a) b)
Gambarlah garis g dan lingkaran L pada bidang Cartesius. Sebutkan posisi garis g terhadap lingkaran L. Tentukan persamaan kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran, kemudian tentukan nilai diskriminan dari persamaan kuadrat gabungan itu.
JAWAB a) Garis g ≡ x + y = l dan lingkaran L ≡ x² + y² = 4 digambarkan pada bidang Cartesius seperti diperlihatkan pada Gambar 4-12. Berdasarkan Gambar 4-12, tampak bahwa garis
g ≡ x + y = lmemotong lingkaran L ≡ x² + y² = 4 di dua titik yang berlainan. b) Dari persamaan garis g ≡ x + y = l, diperoleh y = -x + 1. Substitusi y = -x + 1 ke persamaan
lingkaran L ≡ x² + y² = 4, di peroleh :
x² + (-x + 1)² = 4 x² + x² - 2x + 1 = 4 2x² - 2x – 3 3 = 0 Persamaan 2x² - 2x – 3 3 = 0 disebut persamaan kuadrat gabungan antara persamaan garis dengan persamaan lingkaran, dengan nilai diskriminan adalah D = (-2)² - 4(2)(-3) = 28 > 0. Perhatikan bahwa garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berlainan apabila diskriminan persamaan kuadrat gabungan bernilai positif . Posisi garis g terhadap lingkaran L (memotong di dua titik yang berlainan, menyinggung, atau tidak memotong maupun menyinggung) telah di deskripsikan melalui Contoh 10 sampai dengan Contoh 12. Berdasarkan hasil perhitungan dan fakta yang diperoleh pada contoh-contoh tersebut, posisi garis g terhadap lingkaran L dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut. Misalkan garis g dan lingkaran L mempunyai persamaan :
g ≡ ax + by + c = 0, bagian linear L ≡ x² + y² + Ax + By + C = 0, bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan. L angka ngk ah 1 Pada bagian persamaan garis (berbentuk linear), nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x.
L angka ngk ah 2 Substitusikan x atau y yang diperoleh pada Langkah 1 ke dalam persamaan lingkaran (berbentuk kuadrat). Substitusi ini menghasilkan persamaan kuadrat dalam peubah x atau y (disebut :persamaan kuadrat gabungan ). Kemudian hitunglah nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabungan itu.
8
L angka ngk ah 3 Posisi garis g terhadap lingkaran L ditentukan oleh nilai diskriminan D. 1. D > 0 → garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berlainan. 2. D = 0 → garis g menyinggung lingkar an L. 3. D < 0 → garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran L. CONTOH 9
2y + 12 Carilah koordinat titik potong garis g ≡ x - y – 4 – 4 = 0 dengan lingkaran L ≡ x² + y² - 8x – 2y = 0. JAWAB
Garis g ≡ x - y – 4 4 = 0, diperoleh y = x – 4. 4. Substitusi y = x – 4 2y + 12 = 0, diperoleh : – 4 ke persamaan lingkaran L ≡ x² + y² - 8x – 2y x² + (x – 4)² 4)² - 8x – 2(x 2(x – 4) 4) + 12 = 0 → 2x² - 18x + 36 = 0 → x² - 9x + 18 = 0 → (x – 3) 3) (x – 6) 6) = 0 x = 3 atau x = 6 → Untuk x = 3, diperoleh y = 3 – 4 4 = -1. Titik potongnya A(3, -1). Untuk x = 6, diperoleh y = 6 – 4 4 = 2. Titik potongnya B(6, 2). 4 = 0 dengan lingkaran Jadi, koordinat titik potong garis g ≡ x - y – 4 L ≡ x² + y² - 8x – 2y 2y + 12 = 0 adalah A(3, -1) dan B(6, 2).
LATIHAN 5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Gambarlah setiap pasang garis g dan lingkaran L berikut ini pada sebuah bidang Cartesius. Kemudian sebutkan posisi garis g terhadap lingkaran L. a) g ≡ y = 1 dan L ≡ x² + y² = 4 b) g ≡ y = 2 dan L ≡ x² + y² = 4 c) g ≡ y = -1½ dan L ≡ x² + y² = 4 d) g ≡ y = -3 dan L ≡ x² + y² = 4 Diketahui lingkaran dengan persamaan L ≡ x² + y² + 8x – 12y + 34 = 0. Tanpa menggambar pada bidang Cartesius, tentukan posisi po sisi garis-garis berikut ini terhadap lingkaran L. a) g ≡ x + y – 1 1 = 0 b) g ≡ x + y + 4 = 0 c) g ≡ x + y + 6 = 0 d) g ≡ 10x - y + 5 = 0 Carilah titik potong lingkaran-lingkaran L berikut ini dengan sumbu X dan dengan sumbu Y. a) L ≡ x² + y² = 9 b) L ≡ x² + y² = 16 c) L ≡ x² + y² + 4y = 0 d) L ≡ x² + y² -2x – 4y 4y = 0 2y + 12 = 0. Diketahui garis g ≡ x + y – 8 = 0 dan lingkaran L ≡ x² + y² - 8x – 2y a) Tunjukkan bahwa garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berlainan. b) Carilah koordinat kedua titik potongnya. c) Hitunglah panjang ruas garis potong yang terletak di dalam lingkaran Garis g sejajar dengan x – 2y – 2y = 10 dan membagi lingkaran L ≡ x² + y² + 4 x + 3 = 0 atas dua bagian yang sama. a) Tetukan persamaan garis g. b) Carilah koordinat titik potong antara garis g dengan lingkaran L. 4y – 8 8 = 0. Tunjukkan bahwa garis-garis berikut ini Diketahui lingkaran L ≡ x² + y² + 2x – 4y menyinggung lingkaran. kemudian carilah kordinat titik-titik singgungnya. a) g ≡ 2x -3y + 21 = 0 b) g ≡ 2x +3y – 17 17 = 0 9
D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
Persamaan garis singgung lingkaran dapat ditentukan apabila diketahui satu diantara tiga keterangan berikut ini. 1) Suatu titik pada lingkaran yang dilalui oleh garis singgung tersebut diketahui. 2) Gradien garis singgung diketahui. 3) Suatu titik di luar lingkaran yang dilalui oleh garis singgung tersebut diketahui. 1. Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui sebuah titik pada lingkaran.
i . Untuk lingk li ngka ar an de dengan pusa pusatt di di O(0, O( 0, 0) dan dan ja j ar i -ja -j ar i r Perhatikan Gambar, persamaan garis singgung g dapat ditentukan sebagai berikut. Gradient garis OP adalah mOP =
Karena garis singgung g tegak lurus OP maka gradiennya : Mg = -
= - = -
Persamaan garis singgung g adalah : y – y y1 = mg(x – x x1) y – y y1 = - (x – x x1) →
→ y1y - y1² = x1x + x1² → x1x + y1y = x1² + y1² → x1x + y1y = r² Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x² + y² = r² yang melalui titk P(x 1, y1) pada lingkaran ditentukan dengan rumus sebagai berikut. x1x + y1y = r² CONTOH 10
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x² + y² = 10 yang melalui titik ( -3, 1). JAWAB Titik (-3, 1) → x 1 = -3 dan y1= 1, terletak pada L ≡ x² + y² = 10. Persamaan gar is singgungnya : x1x + y1y = r² (-3)x + (1)y = 10 -3x + y = 10 →
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x² + y² = 10 yang melalui titik ( -3, 1) adalah -3x + y = 10.
i i . Untuk lingk li ngka ar an de dengan pusa pusatt di di A ( a, b) da dan jari jar i -ja -j ar i r Perhatikan Gambar . Persamaan garis singgung g pada a)² + (y – b)² b)² = r² yang melalui titik lingkaran L ≡ (x – a)² singgung P(x1, y1) dapat ditentukan sebagai berikut.
Gardien garis AP adalah mAP = y1 – b/ b/ x1 – a a Garis singgung g tegak lurus garis AP, sehingga gradien garis singgung g adalah mg = -1/ mAP = - x1 – a/ a/ y1 – b b 10
Persamaan garis singgung g adalah : y – y y1 = mg(x – x x1) y – y y1 = - x1 – a/ a/ y1 – b b (x – x x1) → (y – y y1) (y1 – b) b) = -(x 1 – a) a) (x – x x1) → y1y - y1² - by + by1 = -(x1 – a) a) (x – x x1) → x1x – ax ax – x x1² + ax1 + y1y – y y1² - by + by1 = 0 → x1x – ax ax + ax1 + y1y – y y1² - by + by1 = x1² + y1² …… (*) → Karena P(x1, y1) terletak pada lingkaran L ≡ (x – a)² a)² + (y – b)² b)² = r², maka berlaku : (x1 – a)² a)² + (y1 – b)² b)² = r² → x1² - 2ax1 + a² + y1² - 2by1 + b² = r² → x1² + y1² = 2ax1 – a² a² + 2by1 – b² b² + r² Substitusi x1² + y1 = 2ax1 – a² a² + 2by1 – b² b² + r² ke persamaan (*) diperoleh : x1x – ax ax + ax1 + y1y – y y1² - by + by1 = 2ax1 – a² a² + 2by1 – b² b² + r² (x1x – ax ax + ax1 – 2ax 2ax1 – a²) a²) + (y1y – by by + by1 – 2by 2by1 + b²) = r² → (x1x – ax ax – ax ax1 + a²) + (y1y – by by – by by1 + b²) = r² → (x1 – a) a) (x – a) a) + (y1 – b) b) (y – b) b) = r² → Berdasarkan deskripsi diatas, persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ (x – a)² + (y – b)² b)² = r² yang melalui titik singgung P(x1, y1) ditentukan dengan rumus sebagai berikut . (x1 – a) a) (x – a) a) + (y1 – b) b) (y – b) b) = r²
CONTOH 11
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 3)² + (y + 1)² = 25 yang melalui titik (7, 2). JAWAB
Titik (7, 2) → x1 = 7 dan y1 = 2, terletak pada L ≡ (x – 3)² + (y + 1)² = 25. Persamaan garis singgungnya : (7 – 3) 3) (x – 3) 3) + (2 + 1) (y + 1) = 25 4x – 12 12 + 3y + 3 = 25 4x + 3y – 34 34 = 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 3)² + (y + 1)² = 25 yang melalui titik (7, 2) adalah 4x + 3y – 34 34 = 0. LATIHAN 6 1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran-lingkaran berikut ini yang melalui titik-titik yang disebutkan. a) L ≡ x² + y² = 12 melalui titik ( -3, √3) b) L ≡ (x + 2)² + (y – 4)² 4)² = 45 melalui titik (4, 1). 2. Diketahui lingkaran L ≡ x² + y² + Ax + By + C = 0 (A, B, dan C bilangan real).buktikan bahwa persamaan garis singgung lingkran L yang melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran adalah x1x + y1y + ½A(x 1 + x) + ½B(y1 + y) + C = 0. 3. Dengan menggunakan hasil yang diperoleh pada soal Nomor 2, tentukan persamaan garis singgung lingkaran-lingkaran berikut ini yang melalui titik-titik yang disebutkan. a) L ≡ x² + y² - 4x – 2y 2y – 3 3 = 0 melalui titik (4, 3). b) L ≡ x² + y² + 4x + 2y – 8 8 = 0 melalui titik (-5, -3). 4. Diketahui lingkaran dengan persamaan L ≡ x² + y² - 3x + 4y – 10 10 = 0 dan titik P(2, 2). a) Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L yang melalui titik P(2, 2). b) Garis singgung yang diperoleh pada a) memotong sumbu X dan sumbu Y berturut-turut di titik A dan di titik B. carilah koordinat titik A dan titik B. c) Hitunglah panjang AP dan panjang BP. 5. Lingkaran L berpusat di (5, 12) dan berjari-jari 13. a) Tentukan koordinat titik potong lingkaran L dengan sumbu-sumbu koordinat (ada tiga titik potong).
11
b) Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L yang melalui masing-masing titik potong yang diperoleh pada pa da soal a). kemudian tunjukan bahwa bahw a dua diantara ketiga garis singgung itu sejajar. c) Tentukan koordinat titik pada lingkaran L sehingga terdapat garis singgung yang bersama-sama dengan ketiga garis singgung yang di peroleh pada b) membentuk memben tuk bangun jajar genjang. Kemudian tentukan garis singgung pada lingkaran L yang melalui titik itu. 6. a) Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x² + y² = 10 di titik (3, 1). b)Jika garis singgung pada soal a) juga menyinggung lingkaran L ≡ (x – 5)² + (y – 11)² 11)² = p², hitunglah nilai p². 2.
Persamaan garis singgung lingkaran yang gradiennya diketahui
i . Untuk lingk li ngka ar an de dengan pusa pusatt di di O(0, O( 0, 0) dan dan ja j ar i -ja -j ar i r
Persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x² + y² = r² jika gradient garis singgung m diketahui, dapat ditrntukan sebagai berikut. Persamaan garis dengan gradient m adalah adalah y = mx + n (n akan ditentukan kemudian).
Substansi y = mx + n ke persamaan lingkaran L ≡ x² + y² = r², diperoleh : x² + (mx + n)² = r² x² + m²x² + 2mnx + n² = r² → → (1 + m²)x² + 2mnx + (n²- r²) = 0 Niali diskriminan persamaan kuadrat (1 + m²)x² + 2mnx + (n²- r²) = 0 adalah : D = (2mn)² - 4(1 +m²) (n²- r²) → D = 4m²n² - 4(m²n² - m²r² + n²- r²) → D = 4m²n² - 4m²n² + 4m²r² - 4n² + 4r² → D = 4(m²r² - n² + r²) Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0. 4(m²r² - n² + r²) = 0 m²r² - n² + r² = 0 → n² = r²(1 + m²) →
→ n = ± r√1 + m² Sustitusi n = ± r√1 + m² ke persamaan garis y = mx + n, sehingga diperoleh y = mx ± r√1 + m².
Dari deskripsi diatas, persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x² + y² = r² dengan gradient m dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut.
y = mx ± r√1 + m² CONTOH 12
Tentukan persamaan garis singgung pada L ≡ x² + y² = 16, jika diketahui a) b) c)
Gradien persamaan garis singgungnya 3 Garis singgungnya membentuk sudut 60º terhadap sumbu X Garis singgungnya tegak lurus dengan garis 3x – 4y 4y + 10 = 0.
JAWAB
Lingkaran L ≡ x² + y² = 16 berpusat di O(0, 0) dan berjari -jari r = 4.
a)
Persamaan garis singgung yang mempunyai gardien 3 adalah :
y = 3x ± 4√1 + (3)² → y = 3x ± 4√10 y = 3x + 4√10 dan y = 3x – 4√10 → – 4√10 Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x² + y² = 16 yang mempunyai gradient 3 adalah y = 3x + 4√10 dan y = 3x – 4√10. – 4√10. b) Garis singgung membentuk sudut 60º, gradiennya adalah m = tan 60º = √3. Persamaan garis singgungnya adalah : 12
y = √3x ± 4√1 + (√3)² → y = √3x ± 8 → y = √3x + 8 dan √3x – 8 8 Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x² + y² = 16 yang membentuk sudut 60º terhadap sumbu X adalah y = √3x + 8 dan √3x – 8. c) Garis singgung yang tegak lurus garis 3x – 4y 4y + 10 = 0 mempunyai gradient m = -1/ ¾ = -4/ 3. Persamaan garis singgungnya adalah : y = -4/ 3x ± 4√1 + ( -4/ 3)² y = -4/ 3x ± 4(5/3) → y = -4/ 3x + 20/ 3 dan y = -4/ 3x – 20/3 20/3 →
Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x² + y² = 16 yang tegak lurus garis 3x – 4y 4y + 10 = 0 adalah y = -4/ 3x + 20/ 3 dan y = -4/ 3x – 20/3. 20/3. i i . Untuk lingk li ngka ar an de dengan pusa pusatt di di A ( a, b) da dan jari jar i -ja -j ar i r b)² = r² dengan gradient m dapat Persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ (x – a)² + (y – b)² ditentukan dengan rumus : (y – b) b) = m(x – a) a) ± r
1 + 2
CONTOH 13
4 = 0 yang sejajar Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x² + y² - 2x + 4y – 4 dengan garis 5x – 12y 12y + 15 = 0. JAWAB Persamaan lingkaran :
→ →
4 = 0 L ≡ x² + y² - 2x + 4y – 4 1)² - 1 + (y + 2)² - 4 = 0 L ≡ (x – 1)² 1)² + (y + 2)² = 9, pusat di (1, -2) dan r = 3. L ≡ (x – 1)²
Garis 5x – 12y 12y + 15 = 0 mempunyai gradient m = 5/ 12. Persamaan garis singgungnya adalah : (y + 2) = 5/ 12(x – 1) – 1) ± 3√1 + (5/ 12)² (y + 2) = 5/ 12(x – 1) 1) ± 39/ 12 → 12y + 24 = 5x – 5 5 ± 39 → 5x – 12y 12y – 29 29 ± 39 = 0 → 5x – 12y 12y + 10 = 0 dan 5x – 12y 12y – 68 68 = 0 → 4 = 0 yang sejajar Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x² + y² - 2x + 4y – 4 dengan garis 5x – 12y 12y + 15 = 0 adalah 5x – 12y 12y + 10 = 0 dan 5x – 12y 12y – 68 68 = 0.
LATIHAN 7
1.
2.
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran-lingkaran berikut dengan gradient yang disebutkan. a) L ≡ x² + y² = 4 dengan gradient -4/ 3. b) L ≡ x² + y² = 16 dengan gradient 2. c) L ≡ (x – 1)² 1)² + (y + 2)² = 25 dengan gradient 0,75. d) L ≡ (x – ½)² ½)² + (y + 1½) ² = 16 dengan gradient -2.
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x² + y² = 9, jika :
a) b) c) d)
Garis singgung membentuk sudut 30º terhadap sumbu X positif, Garis singgung membentuk sudut 45º terhadap sumbu X positif, Garis singgung sejajar dengan garis 4x – 3y 3y + 12 = 0, Garis singgung tegak lurus dengan garis 4x – 3y 3y + 12 = 0. 3. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ (x – 1)² + (y + 4)² = 36, jika : a) Garis singgung membentuk sudut 2phi/ 3 terhadap sumbu X positif, b) Garis singgung membentuk sudut 5phi/ 6 terhadap sumbu X positif, c) Garis singgung sejajar dengan garis 5x + 12y + 10 = 0. 13
4.
Diketahui lingkaran L1 ≡ x² + y² = 25 dan lingkaran L 2 ≡ x² + y² - 2x + 6y + 1 = 0. a) Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L1yang melalui titik P(-3, 4). b) Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L2, jika : (i) Garis singgung sejajar dengan garis singgung pada soal a), (ii) Garis singgung tegak lurus dengan garis singgung pada soal a).
iii. P er sam samaan ga g ar i s singg si nggung ung lingk li ngka ar an yang yang melalui lalui seb sebuah uah titik ti tik di luar luar lingkaran. Cara untuk menentukan persamaan-persamaan garis singgung lingkaran pada Gambar dapat dilakukan melalui langkah-langkah sebagai berikut.
L angka ngk ah 1 Persamaan garis melalui P(x1, y1), dimisalkan gradiennya m (nilai m ditentukan kemudian). Persamaannya adalah y – y y1 = m(x – x x1) atau y = mx – mx1 + y1.
L angka ngk ah 2
Substitusikan y = mx – mx1 + y1 ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat gabungan. Kemudian nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabungan itu dihitung.
L angka ngk ah 3 Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0. Dari syarat D =0 diperoleh nilai-nilai m. Substitusikan nilai-nilai m ke persamaan y = mx – mx1 + y1, sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung yang diminta. CONTOH 14
Diketahui lingkaran L ≡ x² + y² = 25 dan titik ( -1, 7).
a)
Tentukan persamaan-persamaan garis singgung pada lingkaran L yang dapat ditarik melalui titik P(-1, 7)
JAWAB Titik P(-1, 7) terletak di luar lingkaran L ≡ x² + y² = 25, sebab ( -1)² + (7)² > 25. a) Garis yang melalui titik P(-1, 7), dimisalkan gradiennya m. Persamaannya adalah y –
7 = m(x + 1) → y = mx + m + 7.
Substitusi y = mx + m + 7 ke persamaan lingkaran L ≡ x² + y² = 25, diperoleh : x² + (mx + m + 7)² = 25 → x² + m²x² + m² + 49 + 2m²x + 14mx + 14m = 25 → (1 + m²)x² + (2m² + 14m)x + (m² + 14m + 24) = 0 Nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabungan diatas adalah: D = (2m² + 14m)² - 4(1 + m²) (m² + 14m + 24) → D = 4m4 + 56m3 + 196m² - 4(m4 + 14m3 + 24m2 + m2 + 14m +24) 56m – 96 96 → D = 4m4 + 56m3 + 196m² - 4m4 - 56m3 - 100m2 – 56m 96 → D = 96m² - 56m – 96 Syarat untuk garis singgung adalah D = 0. 96m² - 56m – 96 96 = 0 12 = 0 → 12m² - 7m – 12 (3m – 4) 4) = 0 → (4m + 3) (3m
3
→ m = - atau m =
3
14
3 3 3 Untuk m = - , diperoleh : 3 3 y = - x - + 7
Substitusi nilai nilai m = - dan m = ke persamaan y = mx + m + 7 -
→ →
-
4y = -3x – 3 3 + 28 3x + 4y – 25 25 = 0
Untuk m =
3
, diperoleh :
3 3
y = x+ + 7
3y = 4x + 4 + 21 → 4x – 3y 3y + 25 = 0 → Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x² + y² = 25 yang ditarik melalui titik (-1, 7) adalah 3x + 4y – 25 25 = 0 dan 4x – 3y 3y + 25 = 0. Kedua garis singgung itu diperlihatkan pada Gambar 4-18. Garis AB menghubungkan dua buah titik singgung (titik A dan titik B). garis seperti itu disebut garis kutub atau garis polar. Untuk titik P(x1, y1) di luar lingkaran L ≡ x² + y² = r², persamaan garis polar ditentukan dengan rumus x1x + y1y = r². dengan menggunakan garis polar, persamaan garis singgung yang melalui titik P(x P (x1, y1) di luar lingkaran L dapat ditentukan. Sebagi contoh, untuk titik P(-1, 7) di luar lingkaran L ≡ x² + y² = 25, persamaan polarnya adalah (-1)x + (7)y = 25 → -x + 7y = 25 Setelah garis polar ditentukan, dapatkah garis singgung dicari ? LATIHAN 8
1.
Tentukan persamaan-persamaan garis singgung : a) Pada lingkaran L ≡ x² + y² = 25 yang ditarik melalui titik (0, 10), b) Pada lingkaran L ≡ x² + y² = 36 yang ditarik melalui titik (8, 0). 2. Diketahui lingkaran L ≡ x² + y² = 36 dan titik P(9, 0). Dengan menggunakan pertolongan garis polar, carilah persamaan garis singgung pada lingkaran L yang ditarik melalui titik P(9, 0). 3. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung pada lingkaran : a) L ≡ (x – 3)² 3)² + (y – 4)² 4)² = 5 yang ditarik melalui titik (0, 0). b) L ≡ x² + y² - 6x + 2y + 5 = 0 yang diatrik melalui titik (0, 0). 4. Diketahui lingkaran L ≡ x² + y² - 6x – 2y 2y + 8 = 0. Dengan menggunakan pertolongan garis polar, carilah persamaan garis singgung pada lingkaran L yang ditarik melalui titik O(0, 0).
E. POSISI DUA LINGKARAN (PENGAYAAN)
Beberapa kemungkinan posisi dua lingkaran diperlihatkan pada Gambar 4 – 19. 19. Pada Gambar 4-19a, lingkaran L1 dan L2 berpotongan di dua titik yang berlainan. - Jika pusat lingkaran L2 berada didalam lingkaran L1, atau sebaliknya, dikatakan L1 dan L2berpotongan di dalam . Perhatikan Gambar 4-19a(i). - Jika pusat lingkaran L2 di luar lingkaran L1, atau sebaliknya, dikatakan L1 dan berpotongan di luar. Perhatikan Gambar 4-19a(ii). L2berpotongan Pada Gambar (i), lingakarn L1 dan L2bersinggungan di dalam . Sedangkan Gambar (ii) lingkaran L1 dan L2bersinggungan bersinggungan di luar.
15
Pada Gambar (i), lingkaran L1 dan L2 tidak berpotongan maupun bersinggungan di dalam. Pada Gambar (ii), lingkaran L1 dan L2 tidak berpotongan maupun bersinggungan di luar. Jika, lingkaran L1 dan L2 tidak berpotongan maupun bersinggungan, dikatakan L1 dan L2 saling lepas.
Disamping posisi dua lingkaran yang telah dibicarakan diatas, masih ada dua kemungkinan posisi dua lingkaran yang khusus, yaitu : Dua lingkaran sepusat atau kosentris Lingkaran L1 dikatakan sepusat dengan lingkaran L2, jika pusat lingkaran L1 berimpit dengan pusat lingkaran L2, tetapi jari-jari lingkaran L1 tidak sama dengan jari-jari lingkaran L2. Dua lingkaran berimpit Lingkaran L1 dikatakan berimpit dengan lingkaran L2, jika pusat dan jari-jari lingkaran L1sama dengan pusat dan jari-jari lingkaran L2. CONTOH 15
Tentukan posisi dua lingkaran berikut ini. Jika ada, tentukan koordinat titik potong dan koordinat titik singgungnya. a) L1 ≡ x² + y² = 9 dan L 2≡ x² + y² - 6x – 6y 6y + 9 = 0 b) L1 ≡ x² + y² - 2x – 4y 4y + 1 = 0 dan L2≡ x² + y² - 8x – 12y 12y + 43 = 0 JAWAB a) L1 ≡ L2 ≡
x² + y² - 9 = 0 x² + y² - 6x – 6y 6y + 9 = 0 ____________________ ______________ ______ 6x + 6y – 18 18 = 0 → x + y – 3 3 = 0 → y = -x + 3 Substitusi y = -x + 3 ke x² + y² - 9 = 0, diperoleh : x² + (-x + 3)² - 9 = 0 x² + x² - 6x + 9 – 9 9 = 0 → 2x² – 6x 6x = 0 → x² – 3 3 x = 0 → Niali diskriminan persamaan kuadrat x² – 3x 3x = 0 adalah : D = (-3)² - 4(1)(0) = 9 > 0 Karena D > 0, maka L1 dan L2berpotongan di dua titik yang berbeda . Dari x² – 3x 3x = 0, diperoleh : x(x – 3) 3) = 0 → x1 = 0 atau x2 = 3 Untuk x1 = 0, diperoleh y = -(0) + 3 = 3 → (0, 3). Untuk x2 = 3, diperoleh y = -(3) + 3 = 0 → (3, 0). Jadi, koordinat titik potongnya adalah (0, 3) dan (3, 0).
b) L1 x2 + y2 – 2x 2x – 4y 4y + 1 = 0 2 2 L2 x + y – 8x 8x – 12y 12y + 43 = 0 _______________________ ______________ _________ 6x + 8y – 42 42 = 0 3x + 4y – 21 21 = 0 → → 4y = -3x + 21 → y = -3x + 21/4
16
Substitusi y = -3x + 21/4 ke persamaan x2 + y2 – 2x 2x – 4y 4y + 1 = 0, diperoleh : 2 2 x + (-3x + 21/4) – 2x 2x – 4(-3x 4(-3x + 21/4) + 1 = 0 → x² + 9x² - 126x + 441/ 16 – 2x 2x + 3x – 21 21 + 1 = 0 → x²+ 9x² - 126x + 441/ 16 + x – 20 20 = 0 16x² + 9x² - 126x + 441 + 16x – 320 320 = 0 → 25x² - 110x + 121 = 0 → Nilai diskriminan persamaan kuadrat 25x² - 110x + 121 = 0 adalah D = (-110)² - 4(25)(121) = 12.100 – 12.100 12.100 = 0 2 2 Karena D = 0 maka lingkaran L1 = x + y – 2x 2x – 4y 4y + 1 = 0 dan lingkaran L2 = x2 + y2 8x – 12y 12y + 43 = 0bersinggungan. – 8x Dari persamaan 25x² - 110x + 121 = 0, diperoleh : (5x – 11)² – 11)² = 0 → x = 11/5 Substitusi x = 11/5 ke y = -3x + 21/ 4, diperoleh : y = -3(11/5) + 21 /4 = -33/5 + 21 /4 = 18/5 Jadi, koordinat titik singgungnya adalah (11/5, 18/5) atau (2 1/5, 3 3/5).
LATIHAN 9
1.
Tunjukkan bahwa lingkaran L1 dan lingkaran L2 berikut ini berpotongan di dua titik yang berlainan. Kemudian carilah koordinat ko ordinat titik potongnya. a) L1 ≡ x² + y² – 2x 2x – 4y 4y + 1 = 0 dan L2≡ x² + y² – 2x 2x – 8y 8y + 9 = 0. b) L1≡ x² + y² + 2x – 4y 4y + 1 = 0 dan L2≡ x² + y² – 6x 6x – 4y 4y + 4 = 0. 2. Tunjukkan bahwa lingkaran L1 dan L2 berikut ini bersinggungan. Kemudian carilah koordinat titik singgungnya. a) L1 ≡ x² + y² = 25 dan L2 ≡ x² + y² – 24x 24x +18y + 125 = 0. b) L1 ≡ x² + y² – 4x 4x + 6y – 7 7 = 0 danL2 ≡ x² + y² – 10x 10x – 6y 6y + 29 = 0. 3. Tunjukkan bahwa lingkaran L1dan lingkaran L2 berikut ini tidak berpotongan maupun bersinggungan. a) L1 ≡ x² + y² +4x + 3 = 0 dan L2 ≡ x² + y² – 4x 4x – 2y 2y + 1 = 0. b) L1 ≡ x² + y² – 6x 6x + 4y + 12 = 0 dan L2 ≡ x² + y² + 2x – 8y 8y – 8 8 = 0. 4. Diketahui dua buah lingkaran dengan persamaan : L1 ≡ x² + y² +6x – 2√3 2x – 2√3 – 2√3 y + 3 = 0 dan L2 ≡ x² + y² – 2x – 2√3 y + 3 = 0 a) Tunjukkan bahwa lingkaran L1 dan L2 bersinggungan. b) Tunjukkan bahwa jarsk titik pusat lingkaran L1 dan L2sama dengan jumlah jari-jari lingkaran L1 dan jari-jari lingkaran L2.
17
