D. PERSAMAAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG SINGGUNG LINGKARA LINGKARAN N 1. Persamaan Persamaan garis garis singgung singgung lingkaran lingkaran yang yang melalui melalui titik pada pada lingkaran lingkaran a. Lingka Lingkaran ran dengan dengan pusat pusat O(0,0 O(0,0))
' A(x1,y1 r
O
g
2
x 1 + y 1
2
=r 2 … … … … ( 1 ) OA ( mOA )=
Gradien
y 1 x1
Karena g tegak lusus dengan OA (g ⏊ OA), maka: m g . mOA =−1
m g=
−1 mOA
=
−1 − x1 = … … … … ( 2) y 1
y 1
x 1 Garis g melalui A(x1,y1) dengan
m g=
− x 1 . Jadi persamaan garisnya adalah
y 1
y − y 1= mg ( x − x1 ) … … … … masuk masukkan kan persam persamaan aan ( 2) y − y 1=
− x1
y 1 y − y 1
y 1 2
( x − x ) 1
=− x 1 x + x 12
x 1 x + y 1 y = x1 x 1 x + y 1 y = r
2
+ y 12 … … … … masukk masukkan an pers persama amaan an (1 )
2
Jadi persamaan garis singgung lingkaran lingkaran
x 1 x + y 1 y = r
x
2
+ y 2 =r 2
yang melalui titik A(x1,y1) adalah
2
!nt!h: "entukan "entukan persamaan garis garis singgung lingkaran x Ja$a%: &ersamaan garis singgungnya adalah:
x 1 x + y 1 y = r ⟺
2 x + 2 y =8
x + y =4
⟺
2
2
+ y 2 =8
yang melalui melalui titik (#,#).
x + y −4 =0
⟺
Jadi persamaan garis singgung lingkaran
x
2
+ y 2 =8
yang melalui titik (#,#) adalah
x + y −4 = 0
%. Lingkaran dengan pusat &(a,%)
' A(x1,y1)
K(x,y)
r
&(a,%)
y1% x1a
g
2
2
( x −a ) +( y −b ) = r 1
2
1
… … … … ( 1)
y 1− b = PA m ( ) PA Gradien x 1−a Karena g tegak lusus dengan &A (g ⏊ &A), maka: m g . m PA=−1
m g=
−1 m PA
=
−1 − x 1−a = … … … … ( 2) y 1−b y 1−b x 1− a
Garis g melalui A(x1,y1) dengan
m g=
− x 1−a y 1 −b . Jadi persamaan garisnya adalah
y − y 1= mg ( x − x1 ) … … … … masukkan persamaan ( 2) y − y 1=
− x1 −a ( x − x1 ) y 1− b
( y −b )( y − y )=−( x − a ) ( x − x ) 1
1
1
1
( y −b )( y − y )= (− x +a ) ( x − x ) 1
y 1 y − y 1
1
2
1
1
−by + b y 1=− x 1 x + x12 + ax − a x1
( x x − ax −a x + a )+( y y − by −b y 2
1
1
1
1
+b2 ) =( x 12−2 ax + a2 ) + ( y 12−2 bx + b2 )
( x −a ) ( x 1−a ) + ( y −b ) ( y 1 −b ) =( x 1−a )2 + ( y 1 −b )2 … … … masukkan persamaan( 1) ( x −a ) ( x 1−a ) +( y −b ) ( y 1 −b ) =r 2
( x −a ) +( y −b ) = r 2
Jadi persamaan garis singgung lingkaran
2
1
2
1
yang melalui titik
A(x1,y1) adalah
( x −a ) ( x 1−a ) + ( y −b ) ( y 1 −b ) =r 2 !nt!h: "entukan persamaan garis singgung lingkaran
( x −1 )2+ ( y −3 )2=5
di titik (#,*)
Ja$a%:
( x −a ) ( x 1−a ) +( y −b ) ( y 1 −b ) =r 2
( x −1 ) (2 −1 ) + ( y −3 ) ( 5− 3 )=5 ( x −1 ) + ( y −3 ) 2=5 x −1 + 2 y −6 =5 x + 2 y −11=0 Jadi &G+ lingkaran
( x −1 )2+ ( y −3 )2=5 x
+edangkan &G+ lingkaran
1
1
2
2
x 1 x + y 1 y + A ( x 1+ x ) +
2
di titik (#,*) adalah
+ y 2 + Ax + By + C =0
x + 2 y −11=0
di titik (x1,y1) adalah
B ( y 1 + y ) + C = 0
!nt!h: arilah persamaan garis singgung pada lingkaran x # y # - x # y - / 0 di titik yang %era%sis *. Ja$a%: #
#
x y -
x # y - / 0 5 + y −6.5 + 2 y −3 =0 2
2
25 + y
y
2
2
−30 + 2 y − 3=0
+ 2 y −8= 0
( y + 4 ) ( y −2 )=0 y =−4 atau y = 2 Jadi titik singgungnya di •
&G+
lingkaran
#
( 5,− 4 ) dan ( 5,2 ) #
x y -
A =−6, B = 2 danC =−3
x
# y -
/
0
di
titik
( 5,− 4 )
.
1
1
2
2
x 1 x + y 1 y + A ( x 1+ x ) +
5 x −4 y +
1 2
B ( y 1 + y ) + C =0
1
. ( −6 ) ( 5 + x )+ .2 (−4 + y )−3= 0 2
5 x −4 y −15−3 x − 4 + y −3= 0 2 x −3 y −22=0 2 x −3 y −22=0
Jadi &G+nya •
&G+lingkaran x # y # - x # y - / 0 di titik (*,#) 1
1
2
2
x 1 x + y 1 y + A ( x 1+ x ) +
5 x + 2 y +
1 2
B ( y 1 + y ) + C =0
1
. (−6 ) ( 5 + x ) + .2 ( 2 + y ) −3= 0 2
5 x + 2 y −15 −3 x + 2+ y −3 =0 2 x + 3 y −16 =0 2 x + 3 y −16 =0
Jadi &G+nya
Latihan: "entukan persamaan garis singgung lingkaran %erikut: 2 2 x + y =13 melalui titik (/,#) 1. #.
( x −4 )2 + ( y −3 )2 =25
/.
( x + 2 )2+ ( y −3 )2=9
3.
x
2
+ y 2 + 4 x −3 y +6 =0 melalui titik (−2,1 )
*.
x
2
+ y 2 −2 x + 4 y −3 =0 di titik yang %era%sis /
melalui titik (2,0)
melalui titik
(−4,4 )
. Persamaan garis singgung yang melalui titik diluar lingkaran g
A &(x1,y1)
. L
4Agaris p!lar5kutu% titik & A 6 titik h singgung g dan h garis singgung yang melalui titik & Langkahlangkah menentukan &G+ yang melalui & (x1, y1): 1. "entukan persamaan garis p!lar titik & ( &G+ yang melalui titik pada lingkaran)
#. "entukan titik p!t!ng garis p!lar dengan lingkaran (A 6 ) /. "entukan &G+ yang melalui A 6 !nt!h: "entukan &G+ lingkaran yang melalui titik (/,1) pada lingkaran x Ja$a%:
4enentukan persamaan garis p!lar &(/,1) 2 x 1 x + y 1 y = r 3 x + y = 9
y =9 −3 x … … … (1)
4enentukan titik p!t!ng garis p!lar dengan lingkaran 2 2 &ersamaan (1) disu%stitusikan pada lingkaran x + y =9 x
2
+( 9−3 x )2=9
x
2
+ 81−54 x + 9 x 2=9
10 x
2
− 54 x + 72 =0
( 10 x −24 ) ( x −3 ) =0 x =
24 10
=
12 atau
5
x =
12
x =3 y =9 −3.
⟹
12
=
45
−
36
=
•
7ntuk
•
7ntuk x =3 ⟹ y =9 −3.3=0 ⟹ B ( 3,0 )
5
5
4enentukan &G+ •
&G+ lingkaran di titik
12 5
•
( ) 12 9 5
,
9
x + y =9 5
&G+ lingkaran di titik
3 x + 0. y = 9 3 x =9
x =3 Latihan:
A
B ( 3,0 )
5
5
5
9 5
A
⟹
( ) 12 9 5
,
5
2
+ y 2 =9
1. "entukan &G+ lingkaran yang melalui titik
(−3,5)
pada lingkaran
#. "entukan &G+ lingkaran yang melalui titik (#,1) pada lingkaran
x
2
+ y 2 =20
( x + 2 )2+( y −3 )2=9
!. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m a. Lingkaran dengan pusat O(0,0)
y =m x ± r √ 1+ m
2
!nt!h: "entukan persamaan garis singgung lingkaran x
2
+ y 2 =9
yang mempunyai gradien
#. Ja$a%:
y =m x ± r √ 1+ m
2
⟹
y =2 x ± 3 √ 1 + 2
⟹
y =2 x ± 3 √ 5
2
Jadi persamaan garis singgung lingkaran x
adalah
y =2 x + 3 √ 5 dan
2
+ y 2 =9
yang mempunyai gradien #
y =2 x −3 √ 5
%. Lingkaran dengan pusat &(a,%)
( y −b )=m ( x −a ) ±r √ 1 +m2 !nt!h: garis singgung lingkaran "entukan persamaan
( x −4 )2 + ( y −3 )2 =25
yang mempunyai gradien
−2
Ja$a%:
( y −b )=m ( x −a ) ±r √ 1 +m2 ⟹
( y −3 )=−2 ( x −4 ) ± 5 √ 1+(−2)2
⟹
( y −3 )=−2 x + 8 ± 5 √ 5
⟹
y =−2 x + 11 ± 5 √ 5
Jadi persamaan garis singgung lingkaran
gradien
Latihan:
−2
adalah
( x −4 )2 + ( y −3 )2 =25
y =−2 x + 11+ 5 √ 5 dan
yang mempunyai
y =−2 x + 11−5 √ 5
"entukan persamaan garis singgung lingkaran %erikut: 1. Lingkaran x
2
+ y 2 =32
−1 dengan gradien
#. Lingkaran
( x −2 )2+( y + 4 )2=32 x
2
/. Lingkaran
x
2
3. Lingkaran
+ y 2 =32 + y 2 =32
2 1
dengan gradien
yang se8a8ar dengan garis yang tegak lurus garis
2 2 x + y =4
2 x + y =4
