TUGAS METODE NUMERIK PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE GAUSS JORDAN, LU GAUSS DAN GAUSS SEIDEL
NAMA NIM
: AHMAD MATIN : 03041181520098
Dosen Pengampuh: Wirawan Adipradana, S.T, M.T Persamaan:
+ + = + + = + + + = + + = FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS SRIWIJAYA KAMPUS INDRALAYA 2017/2018
BAB I PENDAHULUAN Dalam metode numerik kali ini, saya akan membahas serta menjelaskan secara singkat tentang penyeleasaian mengenai Sistem Persamaan Linear dengan menggunakan matriks 4x4 yang dapat diselesaikan dengan 3 metode, yaitu: Gauss Jordan, Dekomposisi LU, serta Gauss Seidel. Persamaan yang akan saya gunakan adalah:
6 + 2 3 + = 5 2 + 4 + 3 2 = 6 4 + 2 + 7 + = 14 2 + 4 4 + 6 = 15 BAB II DASAR TEORI
Metode yang digunakan pada pada paper ini adalah metode Gauss Jordan, LU untuk Dekomposisi dan Gauss Seidel untuk iterasi. 1. METODE GAUSS JORDAN
Yaitu metode yang mengubah bentuk matriks yang didapat dari persamaan linear menjadi bentuk matriks identitas. Tahap pengerjaan : a. b. c. d. e. f. g. h. i.
Ubah a1,1 menjadi 1 dengan mengalikan baris 1 dengan nilai yang sesuai Ubah angka lainnya pada kolom 1 menjadi 0 Ubah a2,2 menjadi 1 dengan mengalikan baris 2 dengan nilai yang sesuai Ubah angka lainnya pada kolom 2 menjadi 0 Ubah a3,3 menjadi 1 dengan mengalikan baris 3 dengan nilai yang sesuai Ubah angka lainnya pada kolom 3 menjadi 0 Ubah a4,4 menjadi 1 dengan mengalikan baris 4 dengan nilai yang sesuai Ubah angka lainnya pada kolom 4 menjadi 0 Tentukan nilai X1,X2,X3,X4 dari nilai hasil dari matriks
2. METODE LU
Yaitu metode yang memfaktorkan matriks awal menjadi L dan U yaitu masing masing matriks identitas yang dijadikan matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas sehingga dapat dikalikana dengan y dan x untuk mencari masing masing x. Tahap pengerjaan :
Faktorkan Faktorka n A menjadi L dan U A
LU
Ubah matriks L menjadi matriks identitas dan segitiga bawah Ubah matriks U memnjadi matriks segitiga atas Masukkan nilai pengalian m pada proses pembentukan matriks U ke matriks L untuk membentuk matriks segitiga bawah Tentukan besar y dengan eliminasi gauss Masukkan besar y yang didapat ke persamaan Ux=y untuk mendapatkan nilai x dengan elimansi gauss
3. METODE GAUSS SEIDEL
Yaitu metode yang tidak memakai matriks untuk mencari besar x tetapi menggunakan tebakan awal yang akan dimasukkan ke persamaan sampai mendapat hasil yang sesungguhnya. Tahap pengerjaan :
Bentuk diagonal matriks menjadi dominan Tentukan persamaan a,b,c,d dari persamaan pers amaan 1,2,3,4 berdasarkan urutan tersebut(i,e a=persamaan 1) Tentukan nilai awal a,b,c,d Masukkan nilai awal a,b,c,d ke persamaan a untuk mendapat persamaan bar u a’ Masukkan nilai a’,b,c,d ke persamaan b untuk mendapat persamaan baru b’ Masukkan nilai a’,b’,c,d ke persamaan c untuk mendapat persamaan baru c’ Masukkan nilai a’,b’,c’,d ke persamaan d untuk mendapat persamaan baru d’ Iterasikan sampai mendapat nilai sesungguhnya
BAB III ANALISA DAN PEMBAHASAN Dari persamaan linear yang dimiliki ubah persamaan menjadi matr iks 4x4, maka hasilnya:
6[24 242 3733 112 ] [ 123] [14 56 ] 2 4 44 6 4 15 6[24 242 3733 112] [100 010 001 000] 2 4 44 6 0 0 0 1 =
Tentukan nilai X1, X2, X3, dan X4 dengan: 1.
METODE GAUSS JORDAN
6 2 4 2
2
3
4
3
5
1 2 6 1 16 2 4 1 14 6 15 2 1
R X
2
7
4
4
3
2
6
6 4
3
6 2
2
7
1
4
4
6
1 2 5 3 1 ( 2 ) 6 6 6 6 6 3 ( 2 ) 3 6 7 13 0 1 3 (10 ) 10 5 10 10 3 32 2 1 9 0 3 3 3 10 17 40 0 3 3 3 3 R2 X
R1
R2
R
R2
R4
1 0 0 0 1 0 0 0
0
( 9 ) 10 5 10 5 ( 6 ) 5 6 7 13 ( 7 ) 5 10 10 49 4 1 41 41 8 9 7
9
1 0 0
0 1
R2
0 0
0
1
0
0
2
2
R1
R3
R2
R3
R4
R3
121 R1( 20 41) R4 82 R2 ( 67 ) R4 41 67 11 R3( 4 82) R4 41 82 82 49 4 41 41 1 2 20
Maka didapat bahwa:
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
2 6 4 6 2 14 15 5
1
0
9
1
6
0 0
R2
R1
R3
R1
R4
R1
1 0 0 0
2 6 10 3 2 3 10 3
3 4 9
3
2 5 5 7 13 R3 X 5 41 10 10 49 4 5 5 8 9 2
10 5 41 5 7
121 82 41 67 11 R X 41 4 82 82 356 49 4 41 41 356 712 41 41 20
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0 1
1
0
0 3
0
1
2 0 1
0
0
1 2
2
( = 0,5) ( = 1,5) ( = 1) ( = 2)
5 6 6 7 13 3 3 32 1 3 3 17 40 3 3 1
6
2. A
METODE LU GAUSS LU
6[2 24 333 12] [l1 01 00 00] [u0 uu uu uu] 42 42 474 61 ll ll l1 01 00 00 u0 uu 6[2 24 333 12] [60 2⁄ 43 1⁄] ( = )( = )( = ) 00 ⁄⁄ 39 ⁄⁄ 42 42 474 61 6[0 2⁄ 43 1⁄] [60 2⁄ 43 1⁄] ( = )( = 1) 00 ⁄⁄ 39 ⁄⁄ 00 00 ⁄7 8⁄ 6[0 2⁄ 43 1⁄] [60 2⁄ 43 1⁄] ( = ) 00 00 0⁄ ⁄⁄ 00 00 ⁄7 8⁄ 1[⁄ 01 00 00] 6[0 2⁄ 43 1⁄] ⁄⁄ 1⁄ −1⁄ 01 00 00 0⁄ ⁄⁄ 1[⁄ 10 00 00] [] =[= [ 56 ] ⁄⁄ 1⁄ −1⁄ 01 1415
Kolom Pertama
R2 ( 1 ) R1 3 R3 ( 2 ) R1 3
R4 ( 1 ) R1 3
Kolom Kedua
R3 ( 1 ) R2 5 R4 R2
Kolom Ketiga
R4 ( 35 )R 41 3
Masukkan nilai M ke Matriks segitiga bawah L
L=
Ly = B
U=
Dengan eliminasi gauss segitiga bawah maka input nilai y ke persamaan: Ux = y
6[0 2⁄ 43 1⁄] [] = [ 5⁄ ] 00 00 0⁄ ⁄⁄ ⁄⁄
( = 0,5) ( = 1,5) ( = 1) ( = 2)
Dengan eliminasi gauss segitiga atas maka :
3. METODE GAUSS SEIDEL
Persamaan Gauss Seidel
Dengan tebakan awal
Persamaan iterasi ;
6 + 2 3 + = 5 2 +4+ 4 + 3 2 2 = 6 4 +2+ 2 + 7 ++ = 1414 2 + 4 4 + 6 = 15 ,,, = 1,1,1,1
6 +5223++3=5 = 6 2 +4+64 +23232+=26 = 4 4 +2+124+47++2=1414 = 7
2 + 145 24 +46 +=415 = 6 Iterasi Pertama :
,,, = 1,1,1,1 = 5 2 +6 3 = 5 2(1) +6 3(1) 1 = 0,833 = 6 2 43 + 2 = 6 2(0,833) 4 3(1) + 2(1) = 0,833 = 14 47 2 = 14 4(0,0,833)33)7 2(0,0,833)33) 1 = 1,143 = 15 2 6 4 + 4 = 15 2(0,0,833)33) 46(0,0,833)33) +4(1,143) = 2,429 ,,, = 5 2 +6 3 = 5 2(0,0,833) + 36(1,143) 2,429 = 0,722 = 6 2 43 + 2 = 6 2(0,0,722)22) 3(1,4 143)+2(2,429) = 1,496 = 14 47 2 = 14 4(0,0,722)22) 72(1,1,496)96) 2,2,429429 = 0,813 = 15 2 6 4 + 4 = 15 2(0,0,722)22) 46(1,496)96) +4(0,813) = 1,804
Tebakan awal
Iterasi kedua :
Nilai untuk iterasi kedua didapat dari hasil iterasi pertama, yaitu masing-masing (0,833),(0,833),(1,143),(2,429)
Iterasi sudah dapat dihentikan pada saat iterasi ke – 14 14 sehingga didapat nilai a = 0,5 ; b = 1,5 ; c = 1 dan d = 2 .
BAB IV KESIMPULAN 1. Metode Gauss Jordan merupakan metode yang paling sederhana serta mudah untuk dikerjakan. 2. Urutan persamaan di dalam suatu SPL sangat berpengaruh terhadap penampilan metode iterasi Gauss Seidel. 3. Iterasi yang didapat pada saat menggunakan Jacobi akan lebih banyak daripada menggunakan Gauss Seidel. 4. Apabila tidak teliti dalam melakukan perhitungan pada LU Gauss maka hasil yang didapat akan berbeda atau tidak akurat.
DAFTAR PUSTAKA Rinaldi Munir. 2010. Metode Numerik , http ://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/ Buku/Metode%20Numerik/ (Dikutip pada tanggal 29 Maret 2017) Wirawan Adipradana. 2017. Slide Perkuliahan Teknik Elektro Universitas Sriwijaya
Metode Numerik Sistem Persamaan Linear.
