Metode Eliminasi Gauss
Dan Gauss-Jordan
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Makalah ini dibuat untuk membantu para siswa memahami mata kuliah "Metode Numerik". Kuliah Metode Numerik ini diberikan sebagai salah satu Mata Kuliah Wajib yang memiliki bobot 3 SKS (Satuan Kredit Semester). Tujuannya yang ingin didapat mata kuliah ini adalah untuk memahami konsep dasar metode numerik.
metode numerik adalah teknik di mana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika (Chapra dan Chanale, 1991); metode numerik adalah teknik -teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematika agar dapat diselesaikan han ya dengan operasi hitungan, yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Susila, 1994 ; Ibraheem dan Hisyam, 2003). Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing -masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Jadi metode numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmetika yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Rochmad, 2011).
Mata pelajaran matematika sering kali menyajikan masalah sehari-hari pada materi dalam setiap bab yang kemudian dapat selesaikan menggunakan model matematika. Seperti pada sub bab "Sistem Persamaan Linear".
Berdasarkan latar belakang di atas penulis tertarik untuk melakuka dengan metode penyelesaian yaitu dengan metode Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss Jordan.
1.2 Rumusan Masalah
Bagaimana cara mengerjakan soal eliminasi Gauss dan Gauss Jordan ?
1.3 Tujuan
Pembuatan makalah ini sebagai tugas mata kuliah Metode Numerik untuk lebih memahami metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan dan membantu pembaca lainnya yang ingin menyelesaikan sistem persamaan linier.
Manfaat dari makalah yang dibuat kelompok antara lain :
a. Membantu memahami apa yang dimaksud metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan.
b. Membantu mempelajari langkah-langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan soal sistem persamaan linier dengan metode eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
2.1 Sejarah Gauss Jordan
Karl Friedich Gauss (1977-1855) adalah seorang ahli matematika dan ilmuwan dari Jerman. Gauss yang kadang-kadang dijuluki "pangeran ahli matematika". Disejajarkan dengan Isaac Newton dan Archimedes sebagai salah satu dari tiga ahli matematika yang terbesar yang pernah ada. Dalam seluruh sejarah matematika, tidak pernah ada seorang anak yang begitu cepat berkembang, sebagaimana Gauss, yang dengan usahanya sendiri menyelesaikan dasar aritmetika sebelum ia dapat berbicara. Pada suatu hari, saat ia bahkan belum berusia tiga tahun, melalui cara dramatis orang tuanya mulai menyadari kejeniusan Gauss. Ketika itu ayahnya tengah menyiapkan gaji mingguan untuk para buruh bawahannya, dan Gauss memperhatikan dengan diam-diam dari pojok ruangan. Setelah perhitungan yang panjang dan membosankan. Gauss tiba-tiba member tahu ayahnya bahwa terdapat kesalahan dalam perhitungannya dan memberikan jawaban yang benar, yang diperoleh hanya dengan memikirkannya (tanpa menulisnya). Yang mengherankan orang tuanya adalah setelah diperiksa ternyata perhitungannya Gauss benar.
Dalam desertasi doktoralnya Gauss memberikan bukti lengkap pertama teori-teori dasar aljabar yang menyatakan bahwa setiap persamaan polynomial memiliki solusi sebanyak pangkatnya. Pada usia 19 tahun ia menyelesaikan masalah yang membingungkan Euclid, menggambarkan polygon 17 sisi di dalam lingkaran dengan menggunakan jangka dan kompas, dan pada tahun 1801, pada usia yang ke-24 tahun, ia mempublikasikan karya terbesarnya, Disquisitiones Arithmeticae", yang dipandang banyak orang sebagai salah satu prestasi paling berlian dalam matematika. Dalam makalah itu Gauss melakukan sistematisasi studi dari teori bilangan (sifat-sifat bilangan bulat atau integer) dan merumuskan konse dasar dari hal tersebut.
Diantara prestasinya yang banyak sekali, Gauss menemukan kurva Gaussian atau kurva berbentuk lonceng yang merupakan dasar teori probabilitas, memberikan interpretasi geometric pertama mengenai bilangan kompleks dan mengembangkan metode-metode karakteristik permukaan secara interistik dengan menggunakan kurva-kurva yang dikandungnya, mengembangkan teori pemetaan konformal (angle preserving) dan menemukan geometri non-Euclidean 30 tahun sebelum dipublikasikan oleh orang lain. Dalam bidang fisika ia memberikan sumbangan yang besar terhadap teori lensa dan gerakan kapiler, dan bersama Wilhelm Weber ia mengerjakan pekerjaan penting dalam bidang elektromagnetisme, magnetometer bifilar dan elektrograf.
Gauss adalah orang yang sangat religious dan aristoratik dalam kesajaannya. Ia dengan mudah menguasai bahasa-bahasa asing, sangat senang membaca dan meminati bidang minarologi dan botani sebagai hobi. Ia tidak suka mengajar dan biasanya bersikap dingin tidak mendukung terhadapahli matematika yang lainnya, kemungkinan ini karena ia mengantisipasi kerja mereka. Dikatakan bahwa jika saja Gauss mempublikasikan semua penemuaannya, maka matematika saat ini akan lebih maju 50 tahun. Tak diragukan lagi bahwa ia adalah ahli matematika terbesar dalam era modern.
Wilhelm Jordan (1842-1899) adalah seorang insinyur Jerman yang ahli dalam bidang geodesi. Sumbangannya untuk penyelesaian sistem linear dalam buku populernya, Handbuch de Vermessungskunde (Buku panduan Geodesi) pada tahun 1988.
Contoh Sumbangannya untuk penyelesaian sistem linear dalam buku populernya
Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauus-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).
Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah SPL, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien sama. Motede tersebut dinamai Eliminasi Gauss-Jordan untuk menghormati Carl Friedrich Gauss dan Whilhelm Jordan.
.
2.2 Metode Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
1) Kelebihan dan Kekurangan
Metode ini digunakan dalam analisis numerik untuk meminimalkan mengisi selama eliminasi, dengan beberapa tahap
Keuntungan :
a. menentukan apakah sistem konsisten.
b. menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap langka.
c. lebih mudah untuk memecahkan
kelemahan :
a. memiliki masalah akurasi saat pembulatan desimal
2.3 Eliminasi Gauss-Jordan
Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk menghormati CarlFriedrich Gauss dan Wilhelm Jordan. Metode ini sebenarnya adalah modifikasi dari metode eliminasi Gauss, yang dijelaskan oleh Jordan di tahun 1887.
Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang tereduksi(reduced row echelon form), sementara eliminasi Gauss hanya menghasilkan matriks sampai padabentuk baris eselon (row echelon form). Selain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, metode eliminasi Gauss-Jordan ini dapat. Metode Eliminasi Gauss : metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkanatau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable yang bebas.
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.
Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks. Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A"b) untuk mengubah matriks A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi.
1) Kelebihan dan Keuntungan :
Mengubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi. merupakan variasi dari eliminasi gauss dengan kebutuhan dapat mgenyelesaikan matriks invers.
BAB III
PEMBAHASAN
3.1 Sistem Persamaan Linier
Di dalam matematika, system persamaan linier adalah kumpulan persamaan-persamaan linier yang memiliki variabel-variabel yang sama. Bentuk umum dari sistem persamaan linier dengan n peubah dinyatakan sebagai berikut:
Dengan mengunakan perkalian matriks, kita dapat menulis persamaan di atas sebagai persamaan matriks
Ax = b
Yang dalam hal ini,
Yaitu:
3.2 Metode Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Metode ini berangkat dari kenyataan bahwa bila matriks A berbentuk segitiga atas (menggunakan Operasi Baris Elementer) seperti system persamaan berikut ini:
Maka solusinya dapat dihitung dengan teknik penyulingan mundur (backward substitution):
Kondisisangat penting. Sebab bila , persamaan diatas menjerjakan pembagian dengan nol. Apabila kondisi tersebut tidak dipenuhi, maka SPL tidak mempunyai jawaban.
Contoh:
x + y + 2z = 9
2x + 4y - 3z = 1
3x + 6y - 5z = 0
Solusi system diperoleh dengan teknik penyulihan mundur sebagai berikut:
Melakukan pertukaran baris untuk menghindari pivot yang bernilai nol adalah cara pivoting yang sederhana (simple pivoting). Masalah ini dapat juga timbul bila elemen pivot sangat dekat ke nol, karena jika elemen pivot sangat kecil dibandingkan terhadap elemen lainnya, maka galat pembulatan dapat muncul.
Ada dua macam tata-ancang pivoting, yaitu:
a. Pivoting sebagian (partial pivoting)
Pada tata-ancang pivoting sebagian, pivot dipilih dari semua elemen pada kolom p yang mempunyai nilai mutlak terbesar,
Lalu pertukarkan baris k dengan baris ke p. Misalkan setelah operasi baris pertama diperoleh matriksnya seperti yang digambarkan pada matriks di bawah ini. Untuk operasi baris kedua, carilah elemen x pada baris kedua, dimulai dari baris ke-2 sampai baris ke-4, yang nilai mutlaknya terbesar, lalu pertukarkan barisnya dengan baris ke-2
perhatikanlah bahwa teknik pivoting sebagian juga sekaligus menghindari pemilihan pivot = 0 (sebagaimana dalam simple pivoting) karena 0 tidak akan pernah menjadi elemen dengan nilai mutlak terbesar, kecuali jika seluruh elemen di kolom yang diacu adalah 0. Apabila setelah melakukan pivoting sebagian ternyata elemen pivot = 0, itu berarti system persamaan linier tidak dapat diselesaikan (singular system).
a. Pivoting Lengkap (complete pivoting)
Jika disamping baris, kolom juga dikutkan dalam pencarian elemen terbesar dan kemudian dipertukarkan, maka tata-ancang ini disebut pivoting lengkap. Pivoting lengkap jarang dipakai dalam program sederhana karena pertukaran kolom mengubah urutan suku x dan akibatnya menambah kerumitan program secara berarti. Contoh:
Dengan menggunakan 4 angka bena, selesaikan system berikut dengan metode eliminasi Gauss:
a. Tanpa tata-ancang pivoting sebagian (Gauss naif)
b. Dengan tata-ancang pivoting sebagian (Gauss yang dimodifikasi)
Penyelesaian
a. Tanpa tata-ancang pivoting sebagian
Operasi baris pertama (0.0003 sebagai pivot)
Jadi,
Solusinya diperoleh dengan teknik penyulihan mundur:
(jauh dari solusi sejati)
Jadi, x=(3.333, 1.001). solusi ini sangat jauh berbeda dengan solusi sejatinya. Kegagalan ini terjadi karena sangat kecil bila di bandingkan dengan, sehingga galat pembulatan yang kecil pada menghasilkan galat besar di. Perhatikan juga bahwa 1.569 - 1.568 adalah pengurangan dua buah bilangan yang hamper sama, yang menimbulkan hilangnya angka bena pada hasil pengurangannya.
a. Dengan tata-ancang pivoting sebagian
Baris pertama dipertukarkan dengan baris kedua sehingga 0.3454 menjadi pivot
Dengan teknik penyulihan mundur diperoleh:
Jadi, solusinya adalah x = (10.02, 1.000), yang lebih baik daripada solusi a. keberhasilan inikarena tidak sangat kecil dibandingkan dengan, sehingga galat pembulatan yang kecil pada
tidak akan menghasilkan galat yang besar pada .
3.2 Eliminasi Gauss-Jordan
Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).
Dalam bentuk matriks, eliminasi Gauss-Jordan ditulis sebagai berikut:
Solusinya:
Seperti pada metode eliminasi gauss naïf, metode eliminasi Gauss-Jordan naïf tidak menerapkan tata-ancang pivoting dalam proses eliminasinya.
Langkah-langkah operasi baris yang dikemukakan oleh Gauss dan disempurnakan oleh Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan, sebagai berikut:
- Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1). Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.
- Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi. Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain.
Contoh:
x + y + 2z = 9
2x + 4y - 3z = 1
3x + 6y - 5z = 0
Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.
