Metode Dekomposisi LU GAUSS

METODE LU GAUSS Jika matriks A non-singular non-singular maka ia dapat difaktorkan (diuraikan atau di dekomposisi) menjadi matriks segitiga bawah L (Lower) dan matriks segita atas (upper): A = LU Dalam bentuk matriks pemfaktoran ini ditulis sebagai

!ada matriks segitiga bawah L semua elemen diagonal adalah " sedangkan pada matriks U tidak ada aturan khusus pada elemen diagonaln#a$ %ebagai &onoh matriks '  ' di bawah ini difaktorkan menjadi:

etode pemfaktoran A menjadi L dan U akan dijelaskan kemudian$ %ekali A difaktorkan menjadi L dan U keuda matriks tersebut dapat digunakan untuk men#elesaikan A=b$ etode pen#elesaian %!L dengan &ara ini dikenal dengan nama dekomposisi  LU $ etode ini dinamakan juta metode  pemfaktoran segitiga (trangular fa&tori*ation)$ fa&tori*ation)$ +anti akan ditunjukan bahwa eleminasi ,auss merupakan suatu dekomposisi LU dari matriks A$

!en#elesaian !en#elesaian A = b dengan dengan metode dekomp dekomposisi osisi LU adalah adalah sebagai sebagai berikut : injau sistem persamaan lanjar  =  .aktorkan A menjadi L dan U sedememikian sede memikian rupa   sehingga

  Jadi

 =    =   

isalkan = 

  maka  = Untuk memperoleh memperoleh #"#/ #' 0#n  digunakan digunakan teknik teknik pen#ulihan pen#ulihan maju (forwar (forwar substitution substitution)) :

Dan untuk memperoleh solusi sistem persamaan linier  "/ ' 0n  digunakan teknik pen#ulihan mundur (ba&kward substitution) :

Jadilangkah1langkah menghitung solusi sistem persamaan linier dengan metode dekomposisi LU dapat diringkas sebagai berikut : "$ 2entuklah matriks L dan U dari A /$ !e&ahkan L# = b  lalu hitung # dengan teknik pen#ulihan maju '$ !e&ahkan U = #  lalu hitung  dengan teknik pen#ulihan mundur  %ama haln#a dengan metode matriks balikan metode dekomposisi LU akan efektif bila digunakan untuk men#elesaikan sejumlah sistem persamaan linier dengan matriks A #ang sama tetapi dengan b  berbeda--‐ beda$ %ekali A difaktorkan menjadi L dan U keduan#a dapat digunakan untuk menghitung solusi sejumlah sistem persamaan linier  tersebut$ etode dekomposisi LU merupakan metode #ang paling popular untuk meme&ahkan %istem persamaan lanjar : erdapat dua metode untuk memfaktorkan A atas L dan U : "$ etode LU ,auss /$ etode reduksi 3rout !emfaktoran dengan metode LU ,auss 4alaupun tidak ada hubungann#a dengan dekomposisi LU metode eliminasi ,auss dapat digunakan untuk memfaktorkan A menjadi L dan U (karena itulah metode pemfaktoran ini dinamakan metode LU ,auss) Didalam subab ini juga akan ditunjukan  bahwa sebenarn#a metode eleminasi ,auss dapat din#atakan sebagai dekomposisi LU $ isalkan matriks A berukuran 5  5 difaktorkan atas L dan U

Disini digunakan simbol mij ketimbang lij karena nilai lij berasal dari faktor pengali (mij) pada  proses eliminasi ,auss$ Langkah-langkah pembentukan L dan U dari matriks A adalah sebagai berikut :

"$  +#atakan A sebagai A=6A

/$ 7liminasikan matriks A di ruas kanan menjadi matriks segitiga atas U$ empatkan faktor  pengali (mij) pada posisi lij di matriks 6 '$ %etelah seluruh proses eliminasi ,auss selesai matriks 6 menjadi matriks L dan matriks A di ruas kanan menjadi matriks U$ !erhatikan &ontoh pemfaktoran A dengan metode ini masing ‐masing untuk kasus tanpa pi8oting dan dengan pi8oting$ 3ontoh " : (tanpa pi8oting) !erhatikan matriks A berikut dengan metode LU ,auss : 7liminasikan ruas kanan matriks U dan faktor pengali  posisi 6ij di

eruskan proses eleminasi ,auss pada matriks A

empatkan m'/ = "$/9-/$9 = -;$9 ke dalam matriks L :

matriks A di menjadi segitiga atas tempatkan mij pada matriks 6$

3ontoh / : (dengan pi8oting) .aktorkan atriks A berikut :

Lalu pe&ahkan sistem Ax = b !en#elesaian : 7liminasikan matriks A di ruas kanan menjadi matriks segitiga atas U dan tempatkan faktor pengali mij pada posisi lij di matriks I.

empatkan m/" = / dan m'" = ""= " ke dalam matriks L :

 eruskan proses eliminasi ,auss pada matriks A$ Dalam hal ini ada pi8oting karena &alon pi8ot  bernilai ; sehingga baris kedua dipertukarkan dengan baris ketiga :

Jangan lupa juga mempertukarkan  / <  ' !ada matriks L ke&uali elemen diagonaln#a

emudian  tukarkan juga  / <  ' !ada 8ektor b

eruskan proses eliminasi ,auss pada matriks A :

empatkan m'/ = ;/ = ; ke dalam matriks L :

2erturut-turut dihitung # dan  sebagai berikut :

#"#/ dan #'  dihitung dengan teknik pen#ulihan maju :

"/ dan '  dihitung dengan t eknik pen#ulihan mundur :