METODE ELIMINASI GAUSS (untuk sistem linier dengan 3 variabel) •
•
Penjelasan step-by-step metode eliminasi Gauss untuk sistem persamaan linier dengan 3 variabel Jika diketahui sistem persamaan linier: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 maka dapat dituliskan sebagai perkalian matriks Ax = b yang berbentuk:
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
x1 x2 x3
=
b1 b2 b3
atau dapat ditulis secara disingkat sebagai berikut:
a11 a21 a31
•
a12 a22 a32
a13 a23 a33
b1 b2 b3
Metode eliminasi Gauss bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi matriks segitiga atas, yaitu berbentuk:
a11 0 0
a12 a22 0
a13 a23 a33
b1 b2 b3
sehingga dapat diselesaikan dengan teknik penyulihan mundur (backward substitution).
•
Metode eliminasi dilakukan dgn cara:
Tahap 1. Eliminasi (nol-kan) nilai a21 ,a31 dengan cara: R2 baru = R2 – (a21 /a11).R1 R3 baru = R3 – (a31 /a11).R1
Tahap 2. Eliminasi (nol-kan) nilai a32 dengan cara: R3 baru = R3 – (a32 /a22).R2 Catatan:
R1 berarti setiap elemen pada baris ke-1, yaitu: - a11, a12, a13, b1 R2 berarti setiap elemen pada baris ke-2, yaitu: - a21, a22, a23, b2 R3 berarti setiap elemen pada baris ke-3, yaitu: - a31, a32, a33, b3
Sampai pada tahap ini matriks telah menjadi matriks segitiga atas. Selanjutnya bisa dilakukan teknik penyulihan mundur (backward substitution) untuk menemukan nilai x1, x2, dan x3.
METODE ELIMINASI GAUSS (untuk sistem linier dengan 4 variabel) •
•
Penjelasan step-by-step metode eliminasi Gauss untuk sistem persamaan linier dengan 4 variabel Jika diketahui sistem persamaan linier: a11 x1 + a21 x1 + a31 x1 + a41 x1 +
a12 x2 + a22 x2 + a32 x2 + a42 x2 +
a13 x3 + a23 x3 + a33 x3 + a43 x3 +
a14 x4 = b1 a24 x4 = b2 a34 x4 = b3 a44 x4 = b4
maka dapat dituliskan sebagai perkalian matriks Ax = b yang berbentuk:
a11 a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
x1 x2 x3 x4
=
b1 b2 b3 b4
atau dapat ditulis secara disingkat sebagai berikut:
a11 a21 a31 a41
•
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
b1 b2 b3 b4
Metode eliminasi Gauss bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi matriks segitiga atas, yaitu berbentuk:
a11 0 0 0
a12 a22 0 0
a13 a23 a33 0
a14 a24 a34 a 44
b1 b2 b3 b4
sehingga dapat diselesaikan dengan teknik penyulihan mundur (backward substitution).
•
Metode eliminasi dilakukan dgn cara:
Tahap 1. Eliminasi (nol-kan) nilai a21 ,a31 , a41 dengan cara: R2 baru = R2 – (a21 /a11).R1 R3 baru = R3 – (a31 /a11).R1 R4 baru = R4 – (a41 /a11).R1
Tahap 2. Eliminasi (nol-kan) nilai a32 ,a42 dengan cara: R3 baru = R3 – (a32 /a22).R2 R4 baru = R4 – (a42 /a22).R2
Tahap 3. Eliminasi (nol-kan) nilai a43 dengan cara: R4 baru = R4 – (a43 /a33).R3
Catatan:
R1 berarti setiap elemen pada baris ke-1, yaitu: - a11, a12, a13, a14, b1 R2 berarti setiap elemen pada baris ke-2, yaitu: - a21, a22, a23, a24, b2 R3 berarti setiap elemen pada baris ke-3, yaitu: - a31, a32, a33, a34, b3 R4 berarti setiap elemen pada baris ke-4, yaitu: - a41, a42, a43, a44, b4
Sampai pada tahap ini matriks telah menjadi matriks segitiga atas. Selanjutnya bisa dilakukan teknik penyulihan mundur (backward substitution) untuk menemukan nilai x1, x2, x3, dan x4.
CONTOH SOAL METODE ELIMINASI GAUSS •
Diketahui sistem persamaan linier berikut: x1 + x2 + x3 + x4 = 14 2x1 + 4x2 + 3x3 + 5x4 = 51 3x1 + x2 + 4x3 + 6x4 = 61 4x1 + 7x2 + x3 + 2x4 = 38 Sistem linier ini memiliki 4 variabel. Maka dapat dituliskan sebagai berikut:
1 2 3 4 •
1 3 4 1
1 5 6 2
14 51 61 38
Tahap 1 Baris 2. R2 baru = R2 – (2/1)R1 a21 = 2 – 2.1 = 0 a22 = 4 – 2.1 = 2 a23 = 3 – 2.1 = 1 a24 = 5 – 2.1 = 3 b2 = 51 – 2.14 = 23 Baris 3. R3 baru = R3 – (3/1)R1 a31 = 3 – 3.1 = 0 a32 = 1 – 3.1 = -2 a33 = 4 – 3.1 = 1 a34 = 6 – 3.1 = 3 b3 = 61 –3.14 = 19 Baris 4. R4 baru = R4 – (4/1)R1 a41 = 4 – 4.1 = 0 a42 = 7 – 4.1 = 3 a43 = 1 – 4.1 = -3 a44 = 2 – 4.1 = -2 b4 = 38 –4.14 = -18 Matriks berubah menjadi:
1 0 0 0 •
1 4 1 7
1 2 -2 3
1 1 1 -3
1 3 3 -2
14 23 19 -18
Tahap 2 Baris 3. R3 baru = R3 – (-2/2)R2, maka R3 baru = R3 + R2 a31 = 0 + 0 = 0 a32 = -2 + 2 = 0 a33 = 1 + 1 = 2 a34 = 3 + 3 = 6
b3 = 19 + 23 = 42 Baris 4. R4 baru = R4 – (3/2)R2, maka R4 baru = R4 – 1,5R2 a41 = 0 – 1,5.0 = 0 a42 = 3 – 1,5.2 = 0 a43 = -3 – 1,5.1 = -4,5 a44 = -2 – 1,5.3 = -6,5 b4 = -18 – 1,5.23 = -52,5 Matriks berubah menjadi:
1 0 0 0 •
•
1 1 2 -4,5
1 3 6 -6,5
14 23 42 -52,5
Tahap 3 Baris 4. R4 baru = R4 – (-4,5/2) R3, maka R4 baru = R4 + 2,25R3 a41 = 0 + 2,25.0 = 0 a42 = 0 + 2,25.0 = 0 a43 = -4,5 + 2,25.2 = 0 a44 = -6,5 + 2,25.6 = 7 b4 = -52,5 + 2,25.42 = 42 Matriks berubah menjadi:
1 0 0 0 •
1 2 0 0
1 2 0 0
1 1 2 0
1 3 6 7
14 23 42 42
Pada tahap ini matriks telah menjadi matriks segitiga atas. Matriks di atas dapat dituliskan d ituliskan dalam bentuk sistem persamaan linier berikut: x1 + x2 + x3 + x4 = 14 2x2 + x3 + 3x4 = 23 2x3 + 6x4 = 42 7x4 = 42 Dengan teknik penyulihan mundur (backward substitution) dapat dicari nilai dari: x4 = 6 x3 = 3 x2 = 1 x1 = 4
