BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Karl Friedich Gauss (1977-1855) adalah seorang ahli matematika dan ilmuwan dari Jerman. Gauss yang kadang- kadang dijuluki “pangeran ahli
matematika” disejajarkan dengan Isaac Newton dan Archimedes Archimedes sebagai salah salah satu dari tiga ahli matematika yang terbesar yang pernah ada. Dalam seluruh sejarah matematika, tidak pernah ada seorang anak yang begitu cepat berkembang, sebagaimana Gauss, yang dengan usahanya sendiri menyelesaikan dasar aritmetika sebelum ia dapat berbicara. Pada suatu hari, saat ia bahkan belum berusia tiga tahun, melalui cara dramatis orang tuanya mulai menyadari kejeniusan Gauss. Wilhelm Jordan (1842-1899) adalah seorang insinyur Jerman yang ahli dalam bidang geodesi. Sumbangannya untuk penyelesaian sistem linear dalam buku populernya, Handbuch de Vermessungskunde (Buku panduan Geodesi) pada tahun 1988. Contoh Sumbangannya untuk penyelesaian sistem linear dalam buku populernya Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauus-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol). Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah SPL, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien sama. Motede tersebut dinamai Eliminasi Gauss-Jordan untuk menghormati Carl Friedrich Gauss dan Whilhelm Jordan.
B. Tujuan 1. Mencari solusi system persamaan linier menggunakan metode eliminasi Gauss 2. Mencari solusi system persamaan linier menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan
1
BAB II PEMBAHASAN
Di dalam matematika, system persamaan linier adalah kumpulan persamaanpersamaanpersamaan linier linier yang memiliki variabel-variabel variabel-variabel yang sama. sama. Bentuk umum dari dari
sistem persamaan linier dengan n peubah dinyatakan sebagai berikut:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Dengan mengunakan perkalian matriks, kita dapat menulis persamaan di atas sebagai persamaan matriks
Yang dalam hal ini,
adalah matriks berukuran n x n adalah
adalah matriks matriks berukuran berukuran n x 1
adalah matriks matriks berukuran berukuran n x 1 (disebut juga vector kolom)
Yaitu:
[ ] [] []
A. Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variabel bebas. Cara eliminasi ini sudah banyak dikenal. Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang
2
eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan
linear
tersebut
ke
dalam
matriks
teraugmentasi
dan
mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut. Metode ini berangkat dari kenyataan bahwa bila matriks A berbentuk segitiga atas (menggunakan Operasi Baris Elementer) seperti system persamaan
[] [] () ∑
berikut ini:
Maka solusinya dapat dihitung dengan teknik penyulingan mundur (backward substitution):
Sekali
Kondisi
diketahui, maka nilai
sangat penting. Sebab bila
dapat dihitung dengan:
, persamaan diatas
menjerjakan pembagian dengan nol. Apabila kondisi tersebut tidak dipenuhi, maka SPL tidak mempunyai jawaban.
Contoh:
3
kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii)
kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)
kalikan baris (ii) dengan (1/2)
kalikan baris (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)
kalikan baris (iii) dengan (-2)
Solusi system diperoleh dengan teknik penyulihan mundur sebagai berikut:
Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.
Tata ancang pivoting Prinsip tata ancang pivoting adalah sebagai berikut: jika baris k dengan
= 0, cari
dan k > p, lalu pertukaran baris p dan baris k.
Metode eliminasi Gauss dengan tata
ancang pivoting disebut metode
eliminasi Gauss yang diperbaiki (modified Gauusian elimination)
4
Contoh: Selesaikan sistem prsamaan lanjar berikut dengan meetode eliminasi Gauss
yang menerapkan tata ancang pivoting.
Operasi baris 1
Operasi baris 2
Setelah operasi baris 1, elemen
yang akan menjadi pivot pada
operasi baris 2 ternyata sama dengan nol. Karena itu, pada operasi baris 2, elemen baris 2 dipertukarkan dengan elemen baris 3. Tanda (*) menyatakan
pertukaran
baris
terjadi
akibat
proses
pivoting.
Sekarang
elemen
sehingga operasi baris elementer dapat diteruskan. Tetapi,
karena matriks A sudah membentuk matriks U, proses eliminasi selesai. Solusinya diperoleh dengan teknik penyulihan mundur, yaitu .
Melakukan pertukaran baris untuk menghindari pivot yang bernilai
nol adalah cara pivoting yang sederhana (simple pivoting). Masalah ini dapat juga timbul bila elemen pivot sangat dekat ke nol, karena jika elemen pivot sangat kecil dibandingkan terhadap elemen lainnya, maka galat pembulatan dapat muncul.
Ada dua macam tata-ancang pivoting, yaitu: a.
Pivoting sebagian ( partial pivoting) Pada tata-ancang pivoting sebagian, pivot dipilih dari semua elemen pada kolom p yang mempunyai nilai mutlak terbesar,
,
,…,
,
}
Lalu pertukarkan baris k dengan baris ke p. Misalkan setelah operasi baris pertama diperoleh matriksnya seperti yang digambarkan pada matriks di bawah ini. Untuk operasi baris kedua, carilah elemen x pada baris kedua, dimulai dari baris ke-2 sampai baris ke-4, yang nilai mutlaknya terbesar, lalu pertukarkan barisnya dengan baris ke-2.
5
Elemen x yang nilai mutlaknya terbesar itu sekarang menjadi pivot untuk operasi baris selanjutnya.
Cari xterbesar, lalu
pertukarkan barisnya dengan baris ke-2
perhatikanlah
bahwa
teknik
pivoting
sebagian
juga
sekaligus
menghindari pemilihan pivot = 0 (sebagaimana dalam simple pivoting) karena 0 tidak
akan pernah menjadi elemen dengan nilai mutlak
terbesar, kecuali jika seluruh elemen di kolom yang diacu adalah 0. Apabila setelah melakukan pivoting sebagian ternyata elemen pivot = 0, itu berarti system persamaan linier tidak dapat diselesaikan ( singular system)
b. Pivoting Lengkap (complete pivoting) Jika disamping baris, kolom juga dikutkan dalam pencarian elemen terbesar dan kemudian dipertukarkan, maka tata-ancang ini disebut pivoting lengkap. Pivoting lengkap jarang dipakai dalam program sederhana karena pertukaran kolom mengubah urutan suku x dan akibatnya menambah kerumitan program secara berarti.
Contoh: Dengan menggunkan 4 angka bena, selesaikan system berikut dengan
metode eliminasi Gauss:
a.
Tanpa tata-ancang pivoting sebagian (Gauss naif)
b. Dengan tata-ancang pivoting sebagian (Gauss yang dimodifikasi)
6
Penyelesaian a.
* + * + * + Tanpa tata-ancang pivoting sebagian
Operasi baris pertama
(Tanda “
” berarti “diisi” atau “diganti dengan”)
Jadi,
Solusinya diperoleh dengan teknik penyulihan mundur:
(jauh dari solusi sejati)
Jadi, x=(3.333, 1.001). solusi ini sangat jauh berbeda dengan solusi sejatinya. Kegagalan ini terjadi karena dinbandingkan
sangat kecil bila
, sehingga galat pembulatan yang kecil pada
menghasilkan galat besar di
. Perhatikan juga bahwa 1.569 1.568
adalah pengurangan dua buah bilangan yang hamper sama, yang menimbulkan hilangnya angka bena pada hasil pengurangannya.
b. Dengan tata-ancang pivoting sebagian Baris pertama dipertukarkan dengan baris kedua sehingga 0.3454 menjadi pivot
* + * +
Dengan teknik penyulihan mundur diperoleh:
7
(lebih baik daripada solusi a)
Jadi, solusinya adalah x = (10.02, 1.000), yang lebih baik daripada solusi a. keberhasilan ini karena dibandingkan dengan pada
tidak sangat kecil
, sehingga galat pembulatan yang kecil
tidak akan menghasilkan galat yang besar pada
.
Penskalaan Kemungkinan solusi SPL Selain dengan pivoting sebagian, penskalaan (scaling) juga dapat digunakan untuk mengurangi galat pembulatan pada SPL yang mempunyai perbedaan koefisien yang mencolok. Situasi demikian sering ditemui dalam praktek rekayasa yang menggunakan ukuran satuan yang berbeda-beda dalam menentukan persamaan simultan. Misalnya pada persoalan rangkaian listrik, tegangan listrik dapat dinyatakan dalam satuan yang berkisar dari microvolt sampai kilovolt. Pemakaian satuan yang berbeda-beda dapat menuju ke koefisien yang besarnya sangat berlainan. Ini terdampak pada galat pembulatan, dank arena itu mempengaruhi pivoting. Dengan penskalaan berarti kita menormalkan persamaan. Cara menskala adalah membagi tiap baris persamaan dengan nilai mutlak koefisien terbesar di ruang kirinya. Akibat penskalaan, koefisien maksimum dalam tiap baris adalah 1. Cara menskala seperti ini dinamakan dengan menormalkan SPL.
Contoh: Selesaikan system persamaan lanjut berikut sampai 3 angka bena dengna menggunakan metode eliminasi Gauss yang menerapkan perskalaan dan
tanpa perskalaan: +
(Solusi sejatinya dalam 3 angka bena adalah
8
Penyelesaian:
+ * + * * + * + * +
(i) Tanpa perskalaan
Solusinya adalah
(salah)
(ii) Dengan penskalaan 2
0.00002
:1
Solusinya,
(benar)
Yang sesuai dengan solusi sejati. Contoh di atas juga memperlihatkan bahwa penskalaan dapat mengubah pemilihan pivot.
Kemungkinan solusi SPL Tidak semua SPL mempunyai solusi. Ada 3 kemungkinan yang dapat terjadi pada SPL: a) Mempunyai solusi yang unik b) Mempunyai banyak solusi, atau c) Tidak ada solusi sama sekali
Untuk SPL dengan tiga buah persamaan atau lebih (dengan tiga peubah atau lebih)tidak terdapat tafsiran geometrinya (tidak mungkin dibuat ilustrasi grafiknya) seperti pada SPL dengan dua buah persamaan. Namun, kita masih dapat memeriksa masing-masing kemungkinan solusi itu berdasarkan pada bentuk matriks akhirnya. Agar lebih jelas, tinjau contoh pada SPL yang disusun oleh tiga persamaan.
9
1) Solusi unik/tunggal
Solusi:
2) Solusi banyak/tidak terhingga
Perhatikan hasil eliminasi Gauss pada baris terakhir. Persamaan yang bersesuaian dengan baris terakhir tersebut adalah
Yang dipenuhi oleh banyak nilai x . solusinya diberikan dalam bentuk parameter: Misalkan Maka
3) Tidak ada solusi
Perhatikan hasil eliminasi Gauss pada baris terakhir. Persamaan yang bersesuaian dengan baris terakhir tersebut adalah
Yang dalam hal ini, tidak nilai
yang memenuhi, i=1,2,3
10
B. Eliminasi Gauss-Jordan Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol). Dalam bentuk matriks, eliminasi Gauss-Jordan ditulis s ebagai berikut.
Solusinya:
Seperti pada metode eliminasi gauss naïf, metode eliminasi Gauss-Jordan naïf tidak menerapkan tata-ancang pivoting dalam proses eliminasinya. Langkah-langkah operasi baris yang dikemukakan oleh Gauss dan disempurnakan oleh Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan, sebagai berikut: 1. Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1). 2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks. 3. Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi. 4. Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain. Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan adalah sebagai berikut: 1. Masukkan matriks A dan vector B beserta ukurannya n 2. Buat augmented matriks [AB] namakan dengan A
11
3. Untuk baris ke-i dimana i=1 s/d n a) Perhatikan apakah nilai Bila ya:
sama dengan nol:
Pertukarkan baris ke- i dan baris ke i+k≤n, dimana
tidak sama
dengan nol, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian. Bila tidak: Lanjutkan b) Jadikan nilai diagonalnya menjadi satu, dengan cara untuk setiap kolom k dimana k=1 s/d n+1, hitung
4. Untuk baris ke j, dimana j=i+1 s/d n
Lakukan operasi baris elementer untuk kolom k dimana k=1 s/d n Hitung Hitung
5. Penyelesaian, untuk i=n s/d 1 (bergerak dari baris ke n sampai baris pertama)
Contoh:
Penyelesaian:
kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii)
kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)
12
kalikan baris (ii) dengan (1/2)
kalikan baris (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)
kalikan baris (iii) dengan (-2)
kalikan baris (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke baris (i)
Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.
Penyelesaian SPL dengan Operasi Baris Elementer Menggunakan MATLAB
Misalkan diberikan SPL sebagai berikut:
Kita akan coba menyelesaikan SPL di atas dengan operasi baris elementer dengan MATLAB.
13
1) Menggunakan Metode Eliminasi Gauss clc; clear; disp('Solusi dari persamaan: x + y + 2z = 9') disp('
2x+4y - 3z = 1')
disp('
3x+6y - 5z = 0')
disp('Menggunakan Metode Eliminasi Gauss') A=[1 1 2 9;2 4 -3 1;3 6 -5 0] disp('Baris 1 = Baris 1 bagi baris 1 kolom 1') A(1,:)=A(1,:)/A(1,1) disp('Baris 2 = - Baris 2 kolom 1 kali baris 1 + Baris 2') A(2,:)=-A(2,1)*A(1,:)+A(2,:) disp('Baris 3 = - Baris 3 kolom 1 kali baris 1 + Baris 3') A(3,:)=-A(3,1)*A(1,:)+A(3,:) disp('Baris 2 = Baris 2 bagi baris 2 kolom 2') A(2,:)=A(2,:)/A(2,2) disp('Baris 3 = - Baris 3 kolom 2 kali baris 2 + Baris 3') A(3,:)=-A(3,2)*A(2,:)+A(3,:) disp('Baris 3 = Baris 3 bagi baris 3 kolom 3') A(3,:)=A(3,:)/A(3,3) disp('Dengan Menggunakan Teknik Penyulihan Mundur, diperoleh:') x3=A(3,4) x2=A(2,4)-A(2,3)*x3 x1=A(1,4)-A(1,2)*x2-A(1,3)*x3
14
Outputnya: Solusi dari persamaan: x + y + 2z = 9 2x+4y - 3z = 1 3x+6y - 5z = 0 Menggunakan Metode Eliminasi Gauss A= 1 1 2 9 2 4 -3 1 3 6 -5 0 Baris 1 = Baris 1 bagi baris 1 kolom 1 A= 1 1 2 9 2 4 -3 1 3 6 -5 0 Baris 2 = - Baris 2 kolom 1 kali baris 1 + Baris 2 A= 1 1 2 9 0 2 -7 -17 3 6 -5 0 Baris 3 = - Baris 3 kolom 1 kali baris 1 + Baris 3 A= 1 1 2 9 0 2 -7 -17 0 3 -11 -27 Baris 2 = Baris 2 bagi baris 2 kolom 2 A= 1.0000 1.0000 2.0000 9.0000 0 1.0000 -3.5000 -8.5000 0 3.0000 -11.0000 -27.0000 Baris 3 = - Baris 3 kolom 2 kali baris 2 + Baris 3 A= 1.0000 1.0000 2.0000 9.0000 0 1.0000 -3.5000 -8.5000 0 0 -0.5000 -1.5000 Baris 3 = Baris 3 bagi baris 3 kolom 3 A= 1.0000 1.0000 2.0000 9.0000 0 1.0000 -3.5000 -8.5000 0 0 1.0000 3.0000 Dengan Menggunakan Teknik Penyulihan Mundur, diperoleh: x3 = 3 x2 = 2 x1 = 1
15
2). Menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan clc; clear; disp('Solusi dari persamaan: x + y + 2z = 9') disp('
2x+4y - 3z = 1')
disp('
3x+6y - 5z = 0')
disp('Menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan') A=[1 1 2 9;2 4 -3 1;3 6 -5 0] disp('Baris 1 = Baris 1 bagi baris 1 ko lom 1') A(1,:)=A(1,:)/A(1,1) disp('Baris 2 = - Baris 2 kolom 1 kali baris 1 + Baris 2') A(2,:)=-A(2,1)*A(1,:)+A(2,:) disp('Baris 3 = - Baris 3 kolom 1 kali baris 1 + Baris 3') A(3,:)=-A(3,1)*A(1,:)+A(3,:) disp('Baris 2 = Baris 2 bagi baris 2 kolom 2') A(2,:)=A(2,:)/A(2,2) disp('Baris 3 = - Baris 3 kolom 2 kali baris 2 + Baris 3') A(3,:)=-A(3,2)*A(2,:)+A(3,:) disp('Baris 3 = Baris 3 bagi baris 3 kolom 3') A(3,:)=A(3,:)/A(3,3) disp('Baris 1 = - Baris 1 kolom 2 kali baris 2 + Baris 1') A(1,:)=-A(1,2)*A(2,:)+A(1,:) disp('Baris 2 = - Baris 2 kolom 3 kali baris 3 + Baris 2') A(2,:)=-A(2,3)*A(3,:)+A(2,:) disp('Baris 1 = - Baris 1 kolom 3 kali baris 3 + Baris 1') A(1,:)=-A(1,3)*A(3,:)+A(1,:) disp('Dengan demikian, diperoleh:') x1=A(1,4) x2=A(2,4) x3=A(3,4)
16
Outputnya :
Solusi dari persamaan: x + y + 2z = 9 2x+4y - 3z = 1 3x+6y - 5z = 0 Menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan A= 1
1
2
9
2
4
-3
1
3
6
-5
0
Baris 1 = Baris 1 bagi baris 1 kolom 1 A= 1
1
2
9
2
4
-3
1
3
6
-5
0
Baris 2 = - Baris 2 kolom 1 kali baris 1 + Baris 2 A= 1
1
2
0
2 -7 -17
3
6
-5
9
0
Baris 3 = - Baris 3 kolom 1 kali baris 1 + Baris 3 A= 1
1
2
9
0
2 -7 -17
0
3 -11 -27
Baris 2 = Baris 2 bagi baris 2 kolom 2 A= 1.0000
1.0000
2.0000
9.0000
0
1.0000 -3.5000 -8.5000
0
3.0000 -11.0000 -27.0000
17
Baris 3 = - Baris 3 kolom 2 kali baris 2 + Baris 3 A= 1.0000
1.0000
2.0000
9.0000
0 1.0000 -3.5000 -8.5000 0
0 -0.5000 -1.5000
Baris 3 = Baris 3 bagi baris 3 kolom 3 A= 1.0000
1.0000
2.0000
9.0000
0 1.0000 -3.5000 -8.5000 0
0 1.0000
3.0000
Baris 1 = - Baris 1 kolom 2 kali baris 2 + Baris 1 A= 1.0000
0
5.5000 17.5000
0 1.0000 -3.5000 -8.5000 0
0 1.0000
3.0000
Baris 2 = - Baris 2 kolom 3 kali baris 3 + Baris 2 A= 1.0000
0
0 1.0000 0
5.5000 17.5000 0
2.0000
0 1.0000
3.0000
Baris 1 = - Baris 1 kolom 3 kali baris 3 + Baris 1 A= 1
0
0
1
0
1
0
2
0
0
1
3
Dengan demikian, diperoleh: x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3
18
3). Cara singkat menggunakan invers matriks clc; clear; disp('Penyelesaian SPL Menggunakan Invers Matriks') disp('Menentukan Solusi dari Persamaan: x + y + 2z = 9') disp('
2x+4y - 3z = 1')
disp('
3x+6y - 5z = 0')
A=[1 1 2;2 4 -3;3 6 -5] b=[9;1;0] x=inv(A)*b
Outputnya: Penyelesaian SPL Menggunakan Invers Matriks Menentukan Solusi dari Persamaan: x + y + 2z = 9 2x+4y - 3z = 1 3x+6y - 5z = 0 A= 1
1
2
2
4
-3
3
6
-5
b= 9 1 0 x= 1.0000 2.0000 3.0000
19
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan 1. Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. System persamaannya adalahsebagai berikut:
[ ] [] []
2. Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauus-Jordan kita membuat nol elemenelemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (semua
[ ]
[ ]
elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).
B. Saran Untuk
bisa
memahami
materi
tentang
metode
mengumpulkan banyak referensi dari berbagai sumber.
20
numerik
maka
perlu
