IV CONCURSO NAC. DE MATEMÁTICA
2.o Año de Secundaria
PROLOGMÁTICA 2012
Segundo Año de Secundaria 1. La suma de los n primeros términos de una sucesión 2
se calcula mediante Sn=an + bn + 5;
∀ a ∈Z+0 ;
5. En un recipiente se tienen 60 L de vino y agua donde
si
el volumen del vino es 2 veces más del agua. Si se
las sumas de los 7 y 9 primeros términos de dicha
extraen 12 L de la mezcla y se agregan 20 L de otra
sucesión son 187 y 293 respectivamente, calcule el
mezcla, donde la cantidad de vino y el total es de 2 a 5,
término de lugar 24 de dicha sucesión
A) 152
B) 134
C) 140
D) 146
E) 145
2n + n (5n + 3) 2. Si a n = n (n + 1) 3
que hay al final.
A) 14
B) 18
D) 20
C) 24 E) 12
2000
6. Se tienen cierto número de bolas blancas, rojas y
n= 1
azules, donde se cumple que por cada 3 blancas hay 2
calcule ∑ an
calcule la razón aritmética del volumen de vino y agua
rojas y por cada 4 azules hay 5 rojas. Si la cantidad de
De como respuesta la suma de sus cifras
azules excede a la tercera parte de las blancas en 12,
A) 13
B) 19
D) 20
C) 12
calcule la razón aritmética de la cantidad de bolas rojas
E) 17
y blancas.
3. Determine a + b + c del menor número de la forma abcabc, sabiendo que tiene 16 divisores y que a, b y c son cifras diferentes.
A) 4
B) 3
C) 5
D) 6
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
a
*
*
*
*
*
*
105
*
b
c
*
*
*
A) 2 345
B) 3 450
D) 1 345
B) 10
D) 15
C) 20 E) 24
7. Sea A=[a; b] y x ∈R, se define
a − x.........si: x < a d ( x ; A) = x − b.........si: x > b 0..............si: x ∈ A
Establezca el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. d (x; A) ≥ 0 ∀x ∈R II. Si x =
a +b entonces d (x; A) ≠ 0 2
III. Si a = b y x =
Entonces a + b + c es:
A) 30
E) 7
4. La siguiente es la tabla de divisores de un número.
a +b entonces d (a; A) > 0 2
C) 1 340
A) VFV
B) VFF
C) VVF
E) 1 351
D) FVV
E) VVV
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8. Sabiendo que
13. Se define la función
I. a + b = 2
1− x
− 1 + 2; x ∈R
determine su rango.
II. a >0 ∧ b < 0
f( x ) = 2
III. El conjunto solución de
2; + ∞
A) 2; +∞
2 2 ax + b − bx − a > a + b es 〈– ∞; 4〉 b a ab
D) 2; 3
14. Los complejos z que satisfacen |z +1| = |z – i| describen
determine a · b
B)
C) [2; 3] E ) 1; 3
en el plano una gráfica, determine su nombre.
A) – 18
B) – 15
D) – 24
C) – 12 E) – 36
9. Luego de resolver el sistema de ecuaciones x2 y2 16 + 16 = 26 81 81 27 2 2 x + y = 1
A) punto
B) recta
C) circunferencia
D) parábola
E) No existen tales complejos
15. Determine el rango de la función f definida en su
Calcule x2 – y2
dominio máximo
A) 1
B) 7/25 C) 1/2
D) -1 E) -7/25
10. El dominio máximo de la función f definida por 2012 es −∞; a − {b}. Determine a · b 12 − x + x
f (x ) =
A) 36
D) 48
B) – 36
C) 12 E) – 48
11 Si antilogx2 + cologx2 = 0 calcule el valor de x6
A) 6
B) 4
D) 64
1 f(x ) = 2
A) 2−6 ; 214 B)
D) 2−14 ; 2−6
E) 27
1; + ∞
C) 2−4 ; 218 E)
0; + ∞
16. A partir del siguiente sistema
x sen2 a + y cos2 b = 3 − 1 2 2 x cos a + y sen b = 2 − 3
Determine
C) 8
16 − x2 +2 − x2
x2 + y
; ∀ a; b ∈R y2 + x B) 1/4
A) - 1
D) 1
C) 1/2 E) 2 3 − 1
12. Sea f : 1; + ∞ → R una función tal que:
f( x ) = log
Determine Ran(f).
A)
D) 4; +∞ 2
17. Se tiene el cuadrado ABCD y el rombo AEFD, tal que
x + 4logx 2 − 1 2
1; + ∞
B) 3; + ∞
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CD ∩ EF = {G}. Si GD=4(CG)=8, calcule la distancia entre los centros de dichos paralelogramos 2; + ∞
A) 2 10
E) 3; + ∞
5 D) 2 5 E)
C)
B)
10
C) 2 2
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18. Dado un cubo ABCD–EFGH, P es punto medio de EH y
22. En el gráfico, AOB es un cuadrante, T es punto de tangencia, halle el valor de cot2q.
Q es punto medio de HG. Halle el volumen del cubo si el volumen de la pirámide A – PHQ es V
O
A) 30V
B) 48V
D) 6V
C) 12V E) 24V
19. Halle el área de la región sombreada, si el área de la
A
región FHC es 10 u2 B
30º T
C
2θ M
θ
A)
3 4
D)
5 4
H A
D
F
B
θ
E
A) 25 u2
B) 15 u2
D) 20 u2
B)
4 3
C)
4 5
E)
1 3
23. En el gráfico, halle el mínimo valor de tana + tanq, siendo O centro de la semicircunferencia, además AB = 1; BC = 3 y CD = 2
C) 40 u2 E) 30 u2
θ
α
20. En un cuadrado ABCD, en los lados AB, BC y CD se ubican los puntos P y Q y R, respectivamente, de modo que APQR es un trapecio isósceles y AQ = AR, PB + RD calcule CR
A) 1
B) 2
D) 3/4
A
O
C
D
C) 1/2 E) 3
21. Se tiene un prisma triangular recto, cuya altura es igual al radio R de la circunferencia circunscrita a su base. Calcule la razón entre volumen y el producto de
A)
0,1
D)
0,4
B)
0,2
C)
0,3
E)
0,5
24. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana AD, tal que se cumple AD = CD, mBAD = a,
las áreas de las caras laterales.
A)
1 6R3
1 2R3
C)
1 5R3
D)
1 4R3
E)
1 8R3
B)
B
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mCAD = q, halle el valor de
A) 2
B) 1
D) 4
cos2a + 2sena. cos2q C) 3 E) 6
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25. ¿Cuántos rectángulos (incluidos los cuadrados) cuyos
28. Halle la suma de todos los números naturales de 4
lados tengan valores enteros y un área igual a 2012
cifras que son iguales al cubo de la suma de sus cifras.
existen?
(No se cuentan los giros ni reflexiones del rectángulo)
A) 1
B) 2
D) 503
A) 10 845
B) 10 748
D) 10 848
C) 10 745 E) 10 755
C) 3 E) 2012
29 En la sucesión: 2005, 2004, 2004, 2003, 2003, 2003, 2002,… el término uno es 2005, los términos dos y
26. Si un cubo se pinta de azul y este se divide en
tres son 2004, los términos cuatro, cinco y seis son
1000 cubitos iguales. ¿Cuántos cubitos tendrán
2003 y así sucesivamente. ¿Cuál es el término que
exactamente dos caras azules?
está en el lugar 2005?
A) 96
B) 100
C) 120
A) 1940
D) 64
E) 80
B) 1942
C) 1943
27. Si n es un entero positivo de 2 cifras, halle la cantidad
D) 1950
de valores que toma n para los cuales es posible
E) Ninguna de las anteriores.
construir un cuadrado de n × n ensamblando piezas del tipo
30. Sea A una matriz de orden 5, cuyo grado de nilpotencia es p. Se define la matriz AB=1 + A +A2+ A3 + ... + A2012;
A) 20
determine el mayor valor de p tal que B es
B) 22
idempotente.
C) 24
D) 25
A) 1
E) 26
D) 4
4
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