b)
Razonamiento Matemático 2do de Secundaria Noción de sucesión: Se tiene como idea o noción de sucesión, sucesión, a todo conjunto conjunto ordenado ordenado de elementos elementos (números, (números, letras o figuras), tal que cada uno ocupa un lugar estableci establecido, do, por tanto, se puede distinguir distinguir el primero, el segundo, el tercero, etc; acorde con una ley de formación, criterio de ordenamiento o fórmula de recurrencia. A los elemento elementoss de dicho dicho conjun conjunto to se les denomina términos de sucesión
3.
Por suma suma o resta resta de de cantida cantidades des que que no forman una sucesión simple. Ej:
a)
4, 8, 15, 26,. 26,... ....
Tipos de sucesiones
•
Sucesiones gráficas
b)
*)
+2 x2 +2 x2
+3 +4 +5
**) 2, 6, 4, 12, 10, ......
99, 91, 91, 80, 64, ..... .....
***) ***) C , M , C , M , S , J , ... ... , ... ... U A T R O
x3 -2 x3 -2 x3
x
+4 -8 +16 x x(-2) x(-2) x(-2)
•
Sucesiones aritmética Son aquellas cuya regla de formación formación se obtiene por sumas o restas de cantidades constantes constantes o variable variables. s. Se presenta presenta los siguientes casos. 1. Por Por suma suma o Rest Restaa de una una canti cantida dad d constante. Ejm. a)
4.
Por Por mult multip ipli lica caci ción ón de una cant cantid idad ad constante. Ejemplo:
*)
2, 6, 18, 54,....
•
-3
1, 5, 9, 13,. 13,... .... .. x3 x3 x3 x3
•
+4 +4 +4 +4 **) 48, 24, 12, 6,..... b)
15, 15, 12, 12, 9, 6,.. 6,.... .... ÷
-3 -3 -3 -3 2.
a)
Por Por sumas sumas o rest restas as de canti cantida dade dess variable variabless que forman forman otra sucesión. Ejm: 4, 5, 7, 7, 10,. 10,... .... +1 +2 +3 +4
5.
2
÷
2
÷
2
÷
2
Por Por mult multip ipli lica caci ción ón o divi divisi sión ón cantidades variables. Ejm. 4, 8, 24, 96,.... 96,.... x2 x3 x4 x5
**) 360, 72, 18, 6,.... ÷
5
÷
4
÷
3
÷
E I S
U E V E S
-3
Métodos Métodos para encont encontrar rar el término término general de una sucesión aritmética: Sucesi Sucesión ón Lineal Lineal o de 1er
Tn = An + B
-3
T n = Térm Términ inos os gene genera rall que que perm permit itee encontrar cualquier término de la sucesión
-7 , ... ...
+4 +4 +4 Sucesiones exponenciales: Son aquellas cuya regla de formación se obtiene obtiene por potenciaci potenciación ón de cantidade cantidadess constantes o variables. 1; 3; 16; 125 2° 31 42
I E R C O L E S
grado.
n = Lugar que ocupa el término enésimo A, B = constantes de la ley de formación (L.F.) de la sucesión Ejemplo: dada la serie 5, 9, 13, 17, .... Hallar: T 220 220 Solución
de •
*)
•
Sucesiones alternadas Son aquellas cuya regla de formación se obtien obtienee por la combin combinaci ación ón de dos sucesiones numéricas diferentes en una misma sucesión. Ejm.:
*) 2, -1, 6, - 4, 10 ,
I N C O
Nota: Las letras compuestas CH, LL y RR no se consideran en las sucesiones literales, literales, a menos que se indique lo contrario
Sucesiones geométricas
Son aquellas cuya regla de formación formación se obtiene obtiene por multiplicaci multiplicación ón o división división de cantid cantidade adess consta constante ntess o variab variables les.. Se presentan los siguientes casos:
A R T E S
* * A, I, M, E, D, A, C, C, .... * *)
***)1, 5, -3, 13, ......
-3 -5 -7 •
**) A; C; I;.....
3, 5, 10, 12, 24, ....
+4 +7 +11 +x
-8 -11 -16
* ) A; C; F; J;....
Sucesiones combinadas: Son aquellas cuya regla de formación se obti obtien enee por por la comb combin inac ació iónn de las las o pe pe ra rac io io ne ne s de su ma ma , re st st a, a, multiplic multiplicación ación y división división en una misma sucesión. Ejm:
-1 -2 -3 -4 -4
Sucesiones
12, 12, 11, 11, 9, 6,... 6,..... ..
53
Sucesiones literales Las sucesiones literales pueden tener una ley de formación formación de tipo aritmética, aritmética, geométrica geométrica,, alternada, alternada, combinada combinada o iniciales iniciales de palabras palabras populares populares de uso cotidiano. Ejemplos:
⇒B=
1, 5, 9, 13,....
A=4 4
4
Tn = 4n + 1
2 1
4
Como la razón la encontramos enseguida enseguida es una sucesión sucesión lineal lineal a continuación retrocedemos
⇒
T 220 220 4(220) + 1 T 220 220 = 881
6A=
2A = 2 ⇒ Tn
2
2
1.
Nombre S U C E S I O N E S
10
2
=n +n+2
2 T 100 100 = 100 + 100 + 2 = 10102
Sucesi Sucesión ón cúbica cúbica o de 3er
Tn = An3 + Bn2 + Cn + D
Ejm: Hallar T 20 20 en: -1, 1, 11, 35, 79, 149 Solución: D = -1; -1 , 1, 11, 35, 79, 149, ... A+B+C=0
2
10
De los númer números os natura naturales les
S U C E S I O N E S
Regla de formación o término enésimo
De lo los nú núme ro ros pa pa re res
2 ,4 ,4,6 ,8 ,8, 10 10 ,. ,. .. .. .. ..
tn = 2n
De los los núm númer eros os impa impare res s
1,3, 1,3,5, 5,7, 7,9, 9,.. .... .... ....
tn = 2n - 1
1,3,6,10 1,3,6,10,15,2 ,15,21,... 1,..... .. tn = 1,4,10,2 1,4,10,20,35 0,35,..... ,....... ..
tn
=
2.
(
)
n n +1 2
3.
6 n(3n + 1)
1,5, 1,5,12 12,2 ,22, 2,.. .... .... .... .... ....
tn
Núm er eros h ex exa go gona le le s
1 ,6 ,6,1 5, 5, 28 28 ,. ,.. .. .. .. .. .
tn = n(2n-1)
a) 5
De los númer números os cuadra cuadrados dos
1,4,9, 1,4,9,16 16,25 ,25,.. ,..... ...... ...
tn = n2
4.
De los los cubo cubos s per per fec fecto tos s
1,8, 1,8,27 27,6 ,64, 4,12 125, 5,.. .... .... .. tn = n3
De los los núme número ros s prim primos os
2,3, 2,3,5, 5,7, 7,11 11,1 ,13, 3,.. .... .... ..
No se tiene tiene térmi no g término enés enésim imo o pero pero si el criterio
De Fibonacci
1,1,2,3,5,8,13,.....
t1 = 1; t2 = 1
De Lucas
2
8
b) 16
c) 32
x
d) 9
e) 5
Calcul Calcular ar la suma suma de cifras cifras del sigui siguient entee término: 1, 3, 7, 15, 31, __
tn=tn–1+tn-2
∀
a) 5.
≥
a) P
3
c) 6
d) 9
e) 3
¿Qué ¿Qué letr letras as contin continúan úan?? A
n≥ 3
1,1,2, 1,1,2,4,7 4,7,13 ,13,24 ,24,.. ,.... .. tn=tn–1+tn-2 + tn-3 ∀ n ≥ 4 t1 = 1; t2 = 3 1,3,4,7,11,.......... tn=tn–1 + tn-2 ∀ n
b) 10
B
E M
;
b)
E B
;
F N
C H
c)
K
;
D
E N
; __ __
d)
G T
e)
H S
¿ Qué Qué letr letraa sig sigue? ue? O, S, E, R, G, N, _____ b) T
c) A
d) I
e) O
24 44 70 6.
6A+2B=
Ha lllla r " x" x" 15, 16, 11, 20, 7, 24,
c) 214
2
t1 = 1; t2 = 1 t 3=2 De Feinberg1 (“Tri (“Tribon bonacc acci”) i”)
b) 193 e) 929
a) 3
n(n + 1) (n + 2)
Núme Número ros s pent pentag agon onal ales es
=
Nivel I ¿Qué ¿Qué núme número ro sigu sigue? e? 4, 7, 13, 25, 49, 97, ____
a) 136 d) 307
tn = n
De los números números tetraédrico tetraédricos s
E S P E C I A L E S
Sucesión 1,2,3, 1,2,3,4,5 4,5,.. ,..... ..... ..
De los números números triangular triangulares es
N O T A B L E S
2
grado:
Problemas
SUCESIONES NUMÉRICAS NOTABLES Y ESPECIALES
C = 2, 4, 8, 14, 22, 32, .... 8
6
A continuación mostraremos, en el siguiente cuadro, algunas sucesiones importantes
Ejemplo: Hallar T 100 100 en: 4, 8, 14, 22, 32 Solución:
A + B= 2 +4 6
6
⇒ T 20 20
Tn = An2 + Bn + C
T n = término general n = lugar enésimo de un término A, B, C = constantes de la L.F.
6
Tn = n3 – 2n2 + n-1 = 203 – 2(202) + 20 – 1 = 7219
∴
Sucesi Sucesión ón cuadrát cuadrática ica o de 2do grado
6
14 20
26
2
Tenemo Tenemoss una progres progresión ión geomét geométri rica ca cuyo primer término es 2, y el 6to término es 64. Calcule el octavo término.
a) 124
b) 64
c) 256
d) 512
e) 1024
12.Hallar el valor de ? 1, 2, 9, 121,
7.
a) 260 d) 1300
Hallar Hallar el el término término 80 en en la sucesión: sucesión:
?
a)
b) 629 e) 2500
c) 16900
n(n
a) 174 d) 181 8.
b) 156 e) 174
13.La 13.La ley de formación formación que correspon corresponde de a la sucesión es: c) 160
?
1, 4, 13, 40, 121, a) 186 9.
b) 264
c) 292
d) 306
e) 364
2
,
1 5
1
,
10
,
1 17
x
14.Hallar
2
b) 2n 2 + 4n + 2 d) 3(n+3) (n-1)
1 24
b)
1 26
c)
1
d)
1 27
a) 20
e)
2 a)
,
7 6
,
17 12
127 127
,
b)
72 d)
31 20
b) 10
c) 6
d) 7
e) 3
129 129
a) 72
c)
a) 89
b) 72
c) 81
b) 90
72
127 127 56
a) 27
d)
Hall Hallar ar:: 2(x 2(x + y) y)
b) 64
c) 92
d) 70
8
e) 99
4 , 3 2 , 3
9 , 4 3 , 4
6
;
35 5
b) e)
51
; ____ c)
2 10
6 17
123
5 6 8 11 ; ; ; ; 17 16 14 11 a) 35
Ha llll ar ar x:
b) 54
c) 48
d) 81
b) 22
c) 9
x y
. Hallar x +y
d) 40
e) 57
12. 8; 4, 6; 7; 3; 5; 12; 20; 16; 7; 23; a
e) 14 a) 15
b) 12
c) 21
d) 34
e) 51
13. 2 ; 2;
12 ; 4
3
b) 29
c) 9
d) 3
a)
e) 16
b) 3 29
71
d)
c) e) 4
15
15
20; 8; 8; 26; 68; x.
c) 57997
Dadas Dadas las suce sucesio siones nes::
1 , 2 1 , 2
4 15
1; 2; 5; 10; 13; 26; x.
e) 100
4, 9, 18, 37, 72, ...... b) 59878 e) 64000
;
63 7
5. d) 84
e) O
11.
e) 28
En los siguientes problemas, hallar el valor del término que continúa
a) 15
a) 58997 d) 50000 2.
?
d) 96
a)
?
c) 102
d) K
3; 4; 7; 7; 11; 11; 15; x; y
Hallar Hallar el términ términoo 40 40 en: en:
128
11.¿Qué número sigue? 2, 3, 4, 9, 16, 29, 54,
1 1)
6. 1.
e)
79
-11, - 4, 6, 6, 22, 50,
, : ____
56
n n(n
3; 8; 6; 35; 8; 63; 7; x
Nivel II
129 129
e)
en la sucesión:
1 30
10. El octavo término de la sucesión sucesión es:
1
3 1 1)
c) M
10.
2
5, x , 32, 68, 140, 284
, ____
21
3.
a) 8
15.En la sucesión el término siguiente es: a)
n n(n
4.
En la la sucesión sucesión el número número siguiente siguiente es:
1
1
0, 10, 24, 42, 64, 90, ..... a) n2 + 4n + 6 c) 2n2 + 4n – 6 e) 2(n+3) (n+2)
¿Qué ¿Qué sigu siguee en? en?
d)
n
b) U
c)
1
n
23, 25, 27, 29, ........
b)
1 1)
n
n(n
a) P
n
1)
16 ,......... 5 4 ,......... 5
la diferencia diferencia de los términos términos n - ésimos es:
a) 10
b) 325
c) 176
d) 140
e) 125
14. 12; 23; 1; 45; ____
7. G, R, P, N, ___ a) A
b) E
c) I
d) O
a) –15 e) U
c) S
d) Y
d) 48
e) 71
d) 17
e) 18
2, 3, 5, 7, 11, 13, x
M, M, J, ____ b) Q
c) 24
15. 15. Hall Hallar ar “x” “x”
8. a) P
b) –43
e) V
a) 15
9.
b) 14
c) 16
16. ¿Qué letra continúa: continúa: B, D, H, N, ____ 3
28
a) V
U, T, C, S; ______ b) N c) O
d) X
e) D
17. 17. ¿Qué ¿Qué letra letra continúa continúa?? U, S, O, D, V; ____ a) U b) B c) Z d) X
e) V
18. 18. Qué letra letra sigu sigue: e: a) N
G; H; I; G; I; K; G; J; ______ b) P c) R d) M e) S
Lic. Omar Cruzado Cruzado Quiroz Quiroz
4
