III CONCURSO NAC. DE MATEMÁTICA
2.o Año de Secundaria
PROLOGMÁTICA 2011
Segundo Año de Secundaria 1. Sea n un número de 6 cifras, cuadrado perfecto y
5. Una urna contiene 3 bolas rojas y n blancas. Se extrae
cubo perfecto, si n - 6 no es par, ni múltiplo de 3.
una bola de la urna y se reemplaza por una del otro
Halle el valor de la suma de los dígitos de n.
color. A continuación, se saca de la urna una segunda bola. Sabiendo que la probabilidad de que la segunda
A) 28
C) 30
D) 31
E) 32
2. Sean A, B y C tres conjuntos tales que:
A ∩ B=D; B ∩ C=E y F ⊂ (A ∩ C)
halle el equivalente de
{[(D - A) ∪ E] ∩ (F - C)} ∪ {(D ∪ E) ∪ (B - A)}
A) B
C) D
D) A ∩ B
bola sea roja es 17/50, determine el valor de n.
B) 29
B) C E) ∅
3. Un barril contiene “x” litros de vino y otro contiene “y” litros de agua, se toma “z” litros de cada barril para llevarlos al otro; esta operación se repite cualquier número de veces. La cantidad de vino de cada barril permanecerá siempre constante después de la
A) 4
C) 6
D) 7
B) 5 E) 8
6. Los números reales x; y son tales que (x+3i)(5 - yi)=19 + 9i
halle el valor de y - x.
A) 23/15
C) 17/21
D) 19/20
B) 24/15 E) 13/15
7. Sea z un complejo tal que |z + 2|= 10... (1) |z - 2i|= 10... (2) Re(z)
halle el valor de (Im(z))
A) 1
C) 1/9
D) 1/27
primera operación si
A) (x - y)z=xy
C) z (x + y)=xy
D) y (x + z)=xz
B) x (y + z)=yz
B) 1/3 E) Hay 2 correctas.
E) x=yz 8. Siendo x1, x2 las raíces de la ecuación
4. Sean m y n enteros positivos tales que
1 3 1 1 + - = m n mn2 4
indique el número de soluciones.
A) 1
C) Ninguna solución.
D) Infinitas soluciones.
B) 2 E) 3
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x2 + ax + a=0 ; a < 0
calcule el valor de a, si
x1 3x2 x2 3x1 + + =52 x2 x1 x1 x2
A) - 6
C) - 4
D) - 3
B) - 5 E) - 2
Departamento de Publicaciones
1
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Colegios PROLOG
PROLOGMÁTICA 2011
9. Sabiendo que
f (x)=
2x ; x ≠ 3; x - 3
obtenemos A= f ( f ( f ( x ) ) ); x ≠ a; x ≠ b; x ≠ c
13. Se definen
f, g: R → R
f (x)=mx + n
g (x)=ax2 + bx + c
cuya gráficas mostradas son
ab halle c
Y
A) 4
C) 9
D) 18
B) 7
f (x)=
x2 - 6 - x
–3
4
X
P
halle am + bn + cp
; x ∈ R - A
halle n (A).
A) 1
C) 3
D) 4
B) 2 E) 5
f : A → Z ; A ⊂ Z;
f (x)=
C) 18
D) 19
C) 1
D) 4
x = x−
calcule el valor de x0 + 1
A) 2
B) 11
C)
E) 23
D) 3/2
halle el valor de
x=ay + b cy 2 + y
p - n + m
halle a + b - c
A) 11
C) 13
D) 14
lo cual nos permite obtener
a =m + n p - b
Departamento de Publicaciones
B) 12 E) 15
E)
1+ 3
15. Siendo x; y números reales que verifican
b =- a2 + 4a + 7; -1 < a < 1
B) 5/4
3 2
x2 ;x≥0 x+1 podemos obtener
E) 7
1 1 + 1− x x
12. Dados a; b números reales tal que
B) - 3
14. Si el número real x0 satisface la ecuación
halle n (A). A) 9
A) - 5
12 ; 12 - |x|
11. Se define la función
2
1
–1
E) 27
10. Se define la función de máximo dominio 4
3
y=
A) - 3/4
C) 3/2
D) - 1/4
B) 5/4 E) Hay 2 correctas.
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2.o Año de Secundaria 16. Del gráfico, calcule si AD=DC=HC
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AH BD
20. Del gráfico, calcule x; si I es incentro del T ABC; m S B=120º.
B
B
D F
x
E
I
A
C
H
A) 2
C)
3
D)
3
2 + 1 2 - 1
B) 1 E) 3/2
BD AF 1 17. En el triángulo equilátero, calcule x; si = = . DA FC 2 B A) 50º
B) 60º
C) 90º
D) 40º
E) 70º
A
C
P
A) 10º
B) 15º
D) 25º
C) 20º E) 30º
RP RB = y m S APB=74º; halle el 3 7 valor de tana · cotb. (A y B son puntos de tangencia.)
21. Del gráfico, RQ=
D x A
A C
F
α
18. En un triángulo rectángulo ABC recto en B sea I el incentro. Además AI, CI y BF intersecan BC, AB y AC AF 4 en D, E y F respectivamente; = ; FC 3 AI 2 + ID 2
calcule el valor de
A) 3/4
C) 9/16
D) 16/9
O
CI 2 + IE 2
β
R
Q
P
B
A) 4/7
D) 7/6
B) 5/7
C) 6/7 E) 7/5
22. Del gráfico, BE=EC; halle el mínimo valor de cotb.
B) 4/3
B
E) 1/3
19. En un triángulo ABC en AB y BC se toman los puntos M y N respectivamente; si AN es bisectriz del S MNC, y AM=AC=7; MN=3 y NC=5. Calcule
S1: Área triángulo MBN
S2: Área triángulo ABC
A) 2/3
C) 1/7
D) 3/7
E
S1 S2
β A
B) 4/9 E) 4/3
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D
C
A)
C) 3 2
D) 2 3
2
B) 2 2 E) 3 3
Departamento de Publicaciones
3
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Colegios PROLOG
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27. ¿Cuántos triángulos hay en total?
23. Si
1 1 senq 1 1 = + + + ... + 525 4 5 45 117
halle el valor de
25cosq - 7tanq.
A) - 17
C) 19
D) - 19
1 B) 17 E) 21
24. Se define
2x = x + x – 1
x – 1 =2 x + 5 – x + 3
A) 2
C) 0
D) –1
A) 476
C) 398
D) 496
D) 121 s
E) 110 s
III. 1 canica de cada color.
B) 1
Dé como respuesta la suma de los tres resultados.
E) –2
A) 11
C) 85
D) 38
solución y se sustituye por ron. ¿Cuál es la fracción de gaseosa en la nueva mezcla?
A) 5/3
C) 7/36
D) 5/36
D) 23 4
Departamento de Publicaciones
B) 1/8 E) 3/35
30. El primer día de clases en el Colegio PROLOG, Lucero observa al retirarse que el reloj del colegio marca las 7:25 p.m. Al llegar a su casa observa que su reloj indica las 8:45 p.m., luego se entera de que el reloj del colegio está atrasado 12 minutos y su reloj está adelantado en 10 min. ¿Cuánto tiempo demoró del
días ahorré? (Solo hay mañanas frías o soleadas.)
C) 21
E) 82
como la mezcla era muy suave, se consume 2 L de la
café. Si ya tengo ahorrado S/.258; ¿durante cuántos
B) 87
29. Se ha mezclado 10 L de ron con 2 de gaseosa, pero
gasto S/.9 en helados y cada mañana fría gasto S/.6 en
A) 17
E) 480
II. 5 canicas de un solo color.
26. Podría ahorrar S/.20 diarios, pero cada mañana de sol
B) 488
tiempo entre campanada y campanada se duplicara?
C) 112 s
41
I. 3 canicas de diferentes colores.
este campanario para tocar 8 campanadas, si el
40
campanada y campanada. ¿Cuánto tiempo emplearía
B) 128 s
39
obtener:
triple de la raíz cúbica del tiempo que hay entre
38
se deben extraer al azar para tener la certeza de
40 s y se escucharon tantas campanadas como el
A) 56 s
4
10 azules y 9 verdes. Cuántas canicas como mínimo
25. El campanario de una iglesia estuvo tocando durante
3
28. Una caja contiene 13 canicas rojas, 15 blancas,
calcule 12 .
2
B) 19 E) 18
colegio a su casa?
A) 1 h 23 min
C) 1 h 2 min
D) 58 min
B) 1 h 12 min E) 53 min
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