AL-1°SEC-2012

Sistema Humanístico

R  Sec 2 x  Tg2 x

3 3 2

3 10

E

Sen  Cos Csc

1 3

ÁLGEBRA

 1 

1er AÑO DE SECUNDARIA

TEMA 1 TEMA 2

INTRODUCCIÓN

TEORÍA DE EXPONENTES Definición:

EJERCICIOS Nº 1 Halla la suma de:

Son definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a través de las operaciones de POTENCIACIÓN y RADICACIÓN.

1. 3a + 2b – c; 3a + 3b - c

(A) POTENCIACIÓN:

P = bn

2. a + b – c ; 2a + 2b – 3c; -3a – b + 3c

Donde: n: es el exponente; n �IN

3. x + y + 2 ; 2x – 2y + z; -4z + 5y – 2z

b: es la base; b �IR 4.

p: es la potencia; p �IR

(x2 + y2 – 3xy) – ( -y2 + 3x2 – 4xy)

Principales exponentes: 1. Exponente Natural:

5. x2 -5x +8; -x2+10x-30; -6x2+ 5x - 50

�x; n = 1 � n x =� � x444 .x.x4.2444 x L xx 1 43, n �2 � � �n - veces

6. x3y - xy3 + 5; x4 – x2y2 + 5x3y - 6; 6xy3 + x2y2 + 2

Ejemplos: Efectuar:

1.

25 =2.2.2.2.2 144424443=32 5- veces

7. (2x + 3y – 4z)(2x – 3y + 4z)

2.

34 = 3.3.3.3 1442443 =81 4- veces

8.

(x+1)(x-2) + (4x-1)(3x+5) + 11(x-3)(x+7)

9.

(3x+1)2 - 3(2x+3)2 - 2x(-x+5+(x-1)2

De los dos ejemplos podemos concluir que en una potencia; “El exponente indica cuantas veces se debe multiplicar a la base”. 2. Exponente Cero:

2

2

10. 5(1-x) - 6(x - 3x - 7) - x(x - 3) + 2x(x+5)

x0 = 1, " x �0 Ejemplos: 100=1;

p0 =1 ;

0 3 =1

Nota: 00 no está definida.

ÁLGEBRA

 2 


3. Exponente Negativo:

EJERCICIOS Nº 2

-n n 1 �x � � �y � x- n = � � También � � = � � � � �x � � � � xn �y � �

1. Efectuar: 21 1 � 1 2 � 21 � � 1 2 16 � � � � 4 � � 3 � � �� � � 9 � � � � 3� 7� � � � � � �

Ejemplos: 1.

1 1 2- 3 = = 23 8

2.

- 3 �� 3 53 125 �� 2� 5� � � =� = = � � � � � � � �� 5 2 23 8

A) 3 D) 27

Si ( x ; y ) �� ; ( m ; n ) �� tales que: xm; yn; xn existen, entonces se cumplen los siguientes teoremas: (1) Multiplicación de Bases Iguales:

1  1 1 � 1 � 2 �1 � �1 � 0 � �  � �  6. � �  [ 6.(5)] 11 � �625 � � �5 �

B) 5-1 E) 7

A) 0 D) 5

x n .x m = x n + m (2) División de Bases Iguales:

3. Obtener:

xn = x n - m ; x �0 m x

( )

B) 2/3 6

C) 3/2

6 6

E)

= x n.m

p �n � � � x � (4) � = � � � � m � � �y � (5)

D)

C) -6

6 9 4 �2 � �9 � �8 � � � .� �.� � �3 � �4 � �27 �

A) 1

(3) Potencia a Potencia:

m

C) 5

2. Al efectuar se obtiene:

TEOREMAS:

xn

B) 4 E) 81

-4 4. Efectuar: E = 8-9

np x ; y �0 mp y

A) 1 D) 2

-2-1

B) 1/2 E) 3 2

C) 2

p np mp ( xn . y m ) = x . y 5. Simplificar: Nota: Si x ��,

(m; n; p) ��:

A) 27 D) 15

6. Simplificar: Ejemplo: A) 1 D) 4

7. Si: ÁLGEBRA

 3 

(100)3 (21)4 (27)3 2.(6)5 .(15)2.(35)4

B) 81 E) 21

C) 729

32n  1  9n  1 9n  1  32n  1

B) 2 E) 5

55n  1  54n Mn  53n  1  52n

; halle

C) 3

4M


A) 4 5 D) 25

B) 5 E) 1/5

202.32.(213 )2 45.123.982.49

C) 5

A) 120 D) 40 8. Efectuar:

K4

a) 1 D) 4

B) 2 E) 1/4

9. Resolver:

A)

2a  3  2a  2  2a  1 2a  3  2a  2  2a  1

26

27

B)

D) X

x 26

4 1 5  1 3 1 �1 � � 1 � � 1�     � � � � � � 16 � � � 32 � � 8�

C) 1/2

A) 0 D) 3 C)

1

11. Simplifique:

C) 200

A) 3 D) 27

B) 1 E) 2n

C) 2

7n  3  7n  1 ; n �� 3.24.7n  1

A) -4 D) 2

B) 4 E) 8

B) 5 E) 7

C) -6

6 9 4 3 � �9 � �27 � 18. Obtener: a  � � � . � � .� � �2 � �4 � �8 � C) 1 A) 1 D)

13. Simplifique:

C) 5

1  1 1 �1 � 2 �1 � 2 �3 � 0 � �  � �  6. � �  [ 2.(5)] 25 121 5 � � � � ��

A) 0 D) 5 12. Reduzca:

B) 4 E) 81

17. Al efectuar se obtiene:

23n  8n  4 ; n �� 22  n

A) 0 D) n

C) -2

2 1 1 1 � � 1 2 � 16 � 2 1 2 � � � � � � �  24 �� � � � � � 9 � � �2 � �3 � � � � � � �

10. Si aa = 5; halle 4a2a B) 24 E) 75

B) 1 E) -3

16. Efectuar:

x3

E) 8

A) 4 D) 100

C) 50

15. Efectúe:

3 23 23 2 x . x . x

x 27

B) 10 E) 30

B) 2/3 6

C) 3/2

E)

6 6

55.15.486.352 210.66.107.49

-4-2-1

A) 5 D) 40

B) 10 E) 50

19. Efectuar: E = 649

C) 30

A) 4 D) 2

B) 1/2 E) 3 2

C) 2

14. Simplifique : ÁLGEBRA

 4 


(32)2 (21)3 (27)2 20. Simplificar: (6)5 .(14)3 .22

A) 27 D) 15

B) 71 E) 81

6. Simplifique:

C) 3

Tarea Tarea Domiciliaria Domiciliaria Nº Nº 02 02

53n  125n  25 ; n �� 52  n

A) 0 D) 5n

B) 1 E) 2n

7. Reduzca:

5n  3  5n  1 ; n �� 3.24.5n  1

A) -4 D) 2

B) 4 E) 8

8. Simplifique: a  1. Simplificar:

22n  1  4n  1 4n  1  22n  1

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

A) 5 D) 4

35n  1  34n Mn  33n  1  32n

A) 4 5 D) 25

; halle

B) 3 E) 1/5

m4

A) 1 D) 4

m

4M

A) 120 D) 40

C) 5

2  3  2  2  2  1 2  3  2  2  2  1

B) 2 E) 1/4

4. Resolver:

C) 3

C) 3

10. Efectúe: 3. Efectuar:

C) 1/2

5.216.353.803 154.149.302

B) 10 E) 2

9. Simplifique 2. Si:

C) 5

A) 10 D) 13

C) 1/2

B) 81 E) 36

94  454 34  154

C) 50

4 1 51 3 1 �1 � � 1� � 1 � �  � �  � � � �256 � � 32 � � 27 �

B) 11 E) -1

C) -12

3 33 24 3 x . x . x

26

A) x 27 D) x

B)

47

x 36 E) 8

45

C) x 37

5. Si aa = 3; halle 4a2a A) 4 D) 16

ÁLGEBRA

B) 24 E) 75

C) 36

 5 


TEMA 3

Si

TEORÍA DE EXPONENTES II

n �2; m �2; p �0; q �0 �x �R .

Se cumple:

nmpq � n am b p cq d q +d ( am + b) p + c� � x x x x = x�

(B) RADICACIÓN: n r = na � r = a

Donde: EJERCICIOS Nº 03

: Símbolo del radical n : índice;

nγ N ; n 2

a: Cantidad Radical 1. Reducir:

r: Raíz enésima Nota:

n 0 =0

10 VECES 7 VECES 5 G5555555 H G5555555555 H 5.5. ... .5.5 15.15.15. ... 15 812.515

A) 25/3 D) 3

B) 25 E) 4

C) 1/3

Ejemplos: 5 - 32 =- 2 ; 4 - 16 � R

;

3 27 =3

;

5 0 =0

2. Reducir :

TEOREMAS: Si

n � 2,

( x; y ) ��/ n x �n y

entonces se igualdades: (1)

cumplen

las

25.45.65.85 ...(2n)5 25.35.45...n5

existen, siguientes

n x n = n xn = x

( )

A) 25n D) 3n

B) 16n E) 32n

3. Si la expresión

C) 32

 a 0

x = n ; y �0 (2) ny y

0 3 �4 � n � � � 2 � � � a ��

(3) Raíz de raíz:

Sea igual a la unidad. Hallar “a”.

nx

nm p

(4)

x =

nmp

( )

x

� � 2011 � � 3 � a � 990 � �a ... a �a.a.a. 14 2 43 � � n veces � �

A) 25/3 D) 3

x; n - impar n n � x =� � � �x ; n - par

4. Al reducir: Exponente Racional: Si: x ��,

x  3  2 y

A) 22 D) 36

1 m También n xn =n x x n = xm

5. Simplificar:

B) -4/5 C) 1/3 E) no existe tal n

3 4 3 (x 2 )3.x 2 .x( 2) .x( 2) 0 0 2 0 x 2 x( 2) .x2 .x 2

B) x25 E) 4n

C) x1/3

72n  1  49n  1 ; n� � 49n  1  72n  1

Nota: ÁLGEBRA

 6 


A) 2 D) 3/4

B) 5 E) 4/3

C) 1/3

D) 12

B) 25 E) 45

indique el exponente final de x. A) 21 D) 24

C) 13

13. Halle

7. Efectúe:

( )

B) x4 E) 4x

8. Operar:

C) 3x 14. Efectúe:

B) 2 E) 2

A) 2 D) 3

15. Efectúe:

A) x40 D) x30

B) 2

D) 3ab

E)

A) x1 D) x8

C) 1

80

A) x5 D) x4

C) 5 (ab)141

exponente final de “x” B) 16 ÁLGEBRA

B) 122 E) 115

“x”:

C) 220

M  ( x 2 )4 .( x3 ) 2 .( x3 )3 B) x50 E) x40

C) x24

2 0 2 3 3 M  ( x 2 )4 .( x3 ) 2 .( x 2 ) 2 B) x120 E) x86

C) x89

B) x6 E) x2

C) x9

( x 2 )3 .( x5 ) 4 C 17. Efectúe: 3 � ( x 2 )4 � � �

A  x. x 2 .x3 .x 4 e indique el

A) 8

de

2 64 0 23 P  ( x 2 ) 4 .( x0 ) 2 .( x 21 )0

6 45 6 6 a .b

A) 23

final

16. Efectúe:

4 a3 .b3 . a2.b2 a.b

10. Simplificar:

exponente

C) 34

C) 3

B) n E) 4

11. Efectúe:

A) x23 D) x30

1 n 3 3 3 31. 31 1 n n2 3 3

9. Efectúe:

el

A) 210 D) 214

1 1 1�6 � 2  2  1 � � � � � �1 � �5 � � �3 � ��  � � �  �2  � � � � � � � � 5 2 5 � � � � � � ��

A) 5 D) 4

B) 28 E) 25

C  x. x 2 . x3 .L x19 . x 20

4 � �3 8 � � 642 � 164 � � .x �218 � x 4 � ; x >0 � � � � � � � � � � � �

A) -x D) 2x

B  x. x 2 . x 3 . x 4 . x 5 . x 6 . x 7 ,

12. Efectúe:

(225)2n  3 .225 6. Simplificar: 2n  3 52n  3.52.4  52n  3.53

A) 23 D) 33

E) 4

 7 

C) x3

3 4 ( x 2 )3 .( x3 )2 18. Efectúe: E  5 ( x 2 )5 A) x-1 D) x-26

C) 10

B) x7 E) x2

B) x8 E) x-2

C) x

-8


4. Efectúe:

( x 2 )5 ( x3 )6 ( x1 )7 2 0 ( x3 )2 ( x 2 )4 ( x3 )12

19. Efectúe: C 

A) x3 D) x6

B) x4 E) x5

A) 1230 D) 1730

B) 237 E) 1430

(

N

5. Efectúe:

)

B) x3 E) x2

A) 1 D) 4

2n  3  2n  2 2n  2

B) 2 E) 5

6. Efectúe:

A) 2 D) 8

B) 1 E) 3

A) 122 D) 216

2. Efectúe:

B) 148 E) 141

B

A) 11 D) 24

B) -23 E) -25

8. Efectúe:

B) 322 E) 295

A) 12 D) 14

C) -64

9. Efectúe:

C) 19

q3

 8 

q2

7

q2

7

q 1

B) 7 E) 5

C) 3

2  10  2  8 I 2  8  2  6

A) 4 D) 2

C) 43

10. Efectúe: ÁLGEBRA

R

7

7

2 3 3 �1 � �1 � �1 � 3. Efectúe: Q  � � � � � � �5 � �3 � �7 � A) 510 D) 395

B) 12 E) 20

C) 122

65 32 4   65 3 2 4 1

A) -5 D) -59

C) 4

5n  4  5n  3 Q 5n  2

7. Simplificar:

23 52 35 N   2 2 5 1 33

C) 3

3x  4  3 x  3 W 3x  3

C) x5


1. Efectúe:

C) 1240

C) x7

2 0 ( x 2 )20 ( x5 )2 ( x  9 )11 L 3 20. Efectúe: � 3 3 3� �( x ) � � � A) x D) 1

4 4  10 �1 � �1 � �1 � P � � � � � � �2 � �3 � �5 �

B) 5 E) 3

N

C) 6

6t  3  6t  2 6t  2  6t  1 1er AÑO DE SECUNDARIA

A) 2 D) 7

B) 5 E) 6

C) 3 EJERCICIOS Nº 4

TEMA 4

ECUACIÓN EXPONENCIAL

x 1. Hallar “x” en 42 =216

Definición Es aquella igualdad en la cual la variable aparece en el exponente.,

ax  b

2. Hallar “x” en:

Donde: a, b

A) 2 D) 5

A) 3 D) 5

 R ; x R

B) 3 E) N.A.

C) 4

(33)x =(32)3 B) 4 E) N.A.

C) 2

x: es la variable 3. Resolver: 2x + 2x+1 = 24

Para poder resolver la ecuación anterior se deben considerar los siguientes criterios.

A) 1 D) 4

CRITERIOS: (1) En una igualdad de bases iguale, sus exponentes también deben ser iguales, así:

Ejemplo1:

C) 3

4. Resolver: 2.3y+1 + 3y = 189 A) 6 D) 3

a N  aM � N  M

B) 2 E) N.A.

B) 5 E) N.A.

C) 4

5. Resolver: 5x + 1 + 5x + 2 = 150

Si: 23x = 8, hallar x. Resolución: Para aplicar el 1er criterio debemos escribir al 8 como 23, así: 23x = 23



3x = 3

A) 1 D) 4

B) 2 E) N.A.

C) 3

6. Resolver: 2x . 22X – 9 = 29

x = 1

x = 1

A) 1 D) 7

B) 2 E) 6

C) 3

Ejemplo2: 7. Hallar “x” en: 125x – 3 = 625x + 1

Si 253x = 512, hallar xx Resolución: Sabemos que 25 = 52, reemplazando en el 1er. Miembro de la ecuación y aplicando el 1er. criterio, tenemos:

 2.(3x) = 12  6x = 12  x = 2

8. Hallar “x” en :

(52)3x = 512

A) -17 D) -14

 xx = 22 = 4 ÁLGEBRA

A) -13 D) -11

 9 

B) 10 E) -18

C) -10

625x – 3 = 3125x + 1 B) -16 E) -18

C) -15


9. Resolver: 2x - 1.4x - 5 = 321 - x 17. Resolver: A) 4 D) 4

B) 5 E) 2

C) 3 A) 4 D) 1

10. Resolver: 2x + 2 . 4x = 16x A) 2 D) 5

B) 3 E) 1

C) 4

22

11. Resolver: A) -2 D) -5

3x  1 �32x  1 � �32x 2 � 2 � � � � � � � �

X–1

18. Resolver:

� 2x �4 � �

A) 4 D) 7

2X + 1

= 162

B) -3 E) 4

B) 3 E) 5

C) -4

3 � � � �

C) 2

4 x3 � �  22 � �

B) 5 C) 4 E) indeterminado

19. Resolver: 2x + 1. 23x - 5. 28x - 16 = 216

3X – 1

12. Resolver: 22 A) 1 D) 4

X+5

= 162

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

B) 2 E) 5

C) 3

C) 3 X+5 X+3 20. Resolver: 327 = 279

2X + 1

13. Resolver: 32 A) 2 D) 5

B) 3 E) 4

2X + 4

14. Resolver: 34 A) 4 D) 13/2

15. Resolver: 273 A) 1/3 D) -2/3

16. Resolver: 813 A) 2-1 D) 4 ÁLGEBRA

C) 3

2X - 5

= 8116

C) 6

X+1 = 381

B) 1/2 E) -1/5 2X

B) 4 E) -8

C) 1

B) 5/2 E) 8 2X

A) 5 D) 2

X-1 = 98


C) –3/2

2X

= 274

1. Hallar “x” en

B) 2-2 C) 2 E) Indeterminado  10 

x x  27 1er AÑO DE SECUNDARIA

A) 2 D) 5

B) 3 E) 6


xx 4

A) 3 D) 5

C) 4

 43

B) 4 E) 6

3. Resolver:

xx

x

A) 1 D) 4

 16

 27

 162

B) 2 E) 6

6. Resolver: A) 12 D) 17

3 x x  2  64

A) 2 D) 5

B) 3 E) 4

12. Resolver:

2 m 2 m  44

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

 644

B) 12 E) 11

A) 4 D) -11

( x  2) ( x  2) B) 10 E) -18

x6

:

x xx

A) 2 D) 5

C) 4

C) 6

c) 3

6 6

B) 3 E) 4

C) 6

C) 13

14. Halle 7. Hallar “x” en:

x x  3  25

11. Resolver:

13. Halle

 327 C) 3

B) 3 E) 1

C) 3

( a  3) ( a  3)

( x  1)

A) 2 D) 5

C) 4

( x  2) ( x  2)

A) 1 D) 4

B) 5 E) 2

C) 3

B) 5 E) 2

5. Resolver:

A) 4 D) 4

10. Resolver:

( x  2) ( x  2)

A) 6 D) 3

( x  1) ( x  1)

C) 2

B) 2 E) 5

4. Resolver:

9. Resolver:

 2162

x6

:

A) 4 D) 27

x

x xx

3 3

B) 9 E) 8

C) 6

C) 5 15. Resolver:

8. Hallar “x” en :

A) 3 D) 4

( x  1) B) 6 E) 8

ÁLGEBRA

( x  1) ( x  1)

( x  2 )N x  2 ( ) ( x  2)

 24

C) -15

A)  11 

2 2

( x  2) 2

B) 1/2

2 C) –3/2


D)

semejantes y tienen la propiedad de ser SUMADOS O RESTADOS.

E) -1/5

2 2

POLINOMIO

TEMA 5

Definición:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Son aquellas expresiones algebraicas donde los exponentes de las variables son números enteros positivos.

Definición: Son aquellas expresiones que sólo admiten las operaciones: +; -; x;  ; potenciación y radicación entre sus variables ‫ ٹ‬en un  número   limitado de veces.

La forma general de un polinomio de grado “n” es:  P (x ) a 0

a x a x2 1 2

a x3 L 3

a xn n

a

n

0

Ejemplos: Los ejemplos dados a continuación son

Ejemplos:

Expresiones Algebraicas:

Son polinomios:

(1) P(x) = 3x + 4

(1) P(x) = 3x2 + 5x - 3

(2) Q(x, y) = 4x – y +

(2) Q(x; y) = -4x3 + 7y2 – 8

xy

No so polinomios:

x y (3) R(x, y) = xy

(3) S(x) = 4x-3 + 2x + 5

Los siguientes ejemplos No son expresiones Algebraicas, son expresiones trascendentales: (1) R(x) = xx – 1

Existen:

(3) P(x) = 1 + x + x2 + x3 + ...

a.Grados Relativos (GR).- Es el exponente de cada variable.

2

b. Grado Absoluto (GA).- Es la suma de exponentes de las variables de un término.

TÉRMINOS ALGEBRAICOS Son aquellas expresiones en la que las variables no se enlazan mediante la adición y la sustracción. Presenta dos partes que son el COEFICIENTE y la parte LITERAL.

R ( x; y ) 

� . { x 2 y3 {4 coeficiente parte

Ejemplos: 1. Sea el polinomio: P(x; y) = -4x4y2 Entonces: GR(x) = 4; GR(y) = 2, GA(p) = 4 + 2 = 6

literal

2. Sea el polinomio:

TÉRMINOS SEMEJANTES: Dos o más términos son semejantes, cuando los términos tienen las mismas variables y dichas variables están elevadas al mismo exponente. Ejemplos:

P(x; y) = -3x2y + 5x3y4 + xy2 Hallar sus grados relativos y el grado absoluto. Resolución: Grados Relativos (GR):

(1) R(x; y) = 3xy; Q(x; y) = 7xy. Las expresiones R(x; y) y Q(x; y) son ÁLGEBRA

GRADO DE UN POLINOMIO Es la característica que distingue a una familia de polinomios.

(2) Q(x) = 2x + logx (4) S(x) = Sen(x) + x

(4) R(x) = 1 + x + x2 + x3 +...

 12 

GR(x) = máximo {2, 3, 1} = 3 1er AÑO DE SECUNDARIA

1. Si: H(x) = 5.x2006 – x2007 + 4x + 2

GR(y) = máximo {1, 4, 2} = 4 Grado Absoluto (GA):

Calcule H(5)

GA(P) = máximo { 2+1, 3+4, 1+2 } A) 22 D) 20

= máximo de { 3, 7, 3 } = 7, Para obtener el grado absoluto del polinomio se halla el grado absoluto de cada término, luego se escoge el mayor. IGUALDAD DE POLINOMIOS

C) 14

2. Si: F(x) = 8x2002 – 128x1998 + 5x + 1 Hallar F(2)

Dos polinomios son iguales o idénticos si cumple dos condiciones: 1. Son del mismo grado. 2. Poseen el mismo valor; para cualquier valor asignado a su variable. Sean los polinomios idénticos: P(x) = a + b x + cx

B) 15 E) 40

A) 5442 D) 104

B) 0 E) 11

C) 1

3. Si el grado con respecto a “x” es 6 y con respecto a “y” es 2; en el polinomio: H(x,y) = 8xn + m + xmy + 7yn - m

2

Calcule su grado.

Q(x) = m + nx + px2

A) -5 D) 6

Notación:

P ( x ) �Q ( x ) � a  m �b  n �c  p

B) 0 E) 10

C) 3

4. Halle el grado del monomio: F(x3,y) = 7x6y5z2

Ejemplo: A) 23 D) 11

Sean los polinomios idénticos: P(x) = 3 + a + 8x + (c + 2)x

2

B) 1 E) 13

C) 7

Q(x) = 10 + 2bx + 3x2 Hallar “a + b + c” Resolución.

5. Si F(x) = 8x5 + 9xm - 5 + 7xn+2; se reduce a un monomio.

Por definición deben cumplirse:

3  a 10  8  2b  c2  3 I

II

Calcule F(1) + m + n A) 20 D) 50

III

B) 37 E) 60

C) 40

En la ecuación (I) se obtiene: a = 7, En (II) se obtiene: b = 4,

6. En el polinomio completo y ordenado en forma descendente:

En (III) se obtiene: c =1,



P(x) = xa + b – 6 + (a + b)x + 3xa - b

a + b + c = 12

Calcular “a.b” A) 16 D) 10 EJERCICIOS Nº 5 ÁLGEBRA

B) 8 E) 4

C) 12

b a 7. Si el polinomio: xa + x7yb + (y2z2)8  13 


D) 104

Es homogéneo; calcular: a2  b2  6 ab A) 71/9 D) 14

E) 11

13. Si el grado con respecto a “x” es 10 y con respecto a “y” es 4; en el polinomio: B) 55 E) 8

H(x,y) = 8xn + m + xm.y + 7yn - m

C) 5

Calcule “m2 + n2”. A) 52 D) 36

B) 20 E) 10

C) 58

8. En la siguiente adición de monomios:

c a c 6a x  x  bxb  2 3 2

14. Halle el grado del monomio: F(x3,y) = 7x9y5z2

Calcular a + b + c A) 3 D) 9

B) 5 E) 14

A) 23 D) 11

C) 6

B) 8 E) 13

C) 7

15. Si F(x) = 8x4 + 9xm - 4 - 17xn - 2; se reduce a un monomio. Calcule F(1) + m + n

x. xm  2 9. Si el monomio: 3 m2 x Es de tercer grado, entonces el valor de “m” es: A) 12 D) 20

10. Si

(xn  2 )3.xn  4 (x 2 )n

B) 15 E) 25

C) 40


; es de 4to grado.

P(x) = xa + b – 8 + (a + b)x + 3xa – b-4 Calcular “a.b”

B) -4 E) 2

C) 4

A) 16 D) 10

11. Si: H(x) = 2.x2008 – x2009 + 4x + 2

B) 18 E) 21

17. Si el polinomio:

Calcule H(2) A) 22 D) 20

B) 37 E) 14

C) 22

Hallar “n” A) 6 D) 3

A) 20 D) 15

C) 12

xmn + x7ynm + (y2z2)8

Es homogéneo; calcular: B) 15 E) 10

mn3 a.b

C) 14

A) 1 D) 4

12. Si F(x) = 8x2009 – 128x2005 + 5x + 1

B) 3 E) 2

C) 5

Hallar F(2) 18. En la siguiente adición de monomios: A) 5442 ÁLGEBRA

B) 0

C) 1  14 


c a c 8a x  x  bxb  2 3 3

A) 13 D) 16

Calcular a + b + c A) 13 D) 19

B) 15 E) 14

19. Si el monomio:

F(x,y) = 7x6y5z2

x. xm  2 3 m2 x

20. Si

B) 15 E) 25

(xn  3 )4.xn  5 (x3 )n

C) 3

4. Halle el grado del monomio:

C) 16

A) 23 D) 11

Es de tercer grado, entonces el valor de “m” es: A) 12 D) 20

B) 10 E) 10

C) 22

B) 12 E) 13

C) 7

5. Si F(x) = 2x4 + 3xm - 5 + 4xn+2; se reduce a un monomio. Calcule F(1) + m + n A) 20 D) 50

; es de 9no grado.

Hallar “n”

B) 37 E) 60

C) 40


A) 6 D) 3

B) 8 E) 2

C) 4

P(x) = xa + b – 7 + (a + b)x + 3xa - 2b Calcular “a.b” A) 16 D) 10

B) 18 E) 14

C) 12

b a 7. Si el polinomio: xa + x7yb + (y2z2)8


Es homogéneo; calcular:

ab7 ab 1. Si: H(x) = 2.x2008 – x2009 + 4x + 2 Calcule H(2) A) 22 D) 20

B) 15 E) 10

A) 9 D) 7

C) 14

B) 2 E) 8

C) 5

8. En la siguiente adición de monomios: 2. Si: F(x) = 27x2002 – 37x1998 + 5x + 1

c a c 8a x  x  bxb  2 3 2

Hallar F(3) A) 16 D) 14

Calcular a + b + c B) 0 E) 11

C) 1

A) 33,2 D) 17,2

3. Si el grado con respecto a “x” es 13 y con respecto a “y” es 3; en el polinomio: H(x,y) = 8xn + m + xmy + 7yn - m

9. Si el monomio:

Calcule su grado ABSOLUTO. ÁLGEBRA

 15 

B) 35,2 E) 14,3

C) 36

x. xp  2 3 p2 x 1er AÑO DE SECUNDARIA

Es de tercer grado, entonces el valor de “p+3” es: A) 12 D) 20

B) 15 E) 25

Resolución Coeficientes: 3; -4; 2; -7 Grado del polinomio: n = 3

C) 22

Coeficiente Principal: an = -7 Término Independiente: a0 = 3

(xn  3 )3.xn  4 (x)n

10. Si

; es de 4to grado.

Nota:

Hallar “n” A) 6 D) 3

B) -4 E) 2

Si en caso de que el polinomio está desordenado, antes de proceder se debe ordenar.

C) 4

VALOR NUMÉRICO Es el resultado que se obtiene al reemplazar el valor de una variable por una constante. Ejemplos: (1) Sea el polinomio: P(x) = 4x + 7. Halle el valor numérico de P cuando x=3. Resolución: Reemplazando en el segundo miembro del polinomio, tenemos: P(3) = 4.3 + 7 = 19,

 P(3) = 19 TEMA 6

(2) Si H(2x - 1) = 4 x + 8x - 5, halle el valor numérico de H(2).

NOTACIÓN POLINÓMICA

Resolución. Nos pide hallar H(2) = H(2x - 1); luego:

POLINOMIO DE UNA VARIABLE Es aquella expresión algebraica que tiene la forma general:

P( x)  a  a x  a x 2  L  a xn  1  a xn 0 1 2 n 1 n Donde:

a , a ,L , a � Coeficientes 0 1 n x

�

Variable

n

�

Grado del polinomio

�

3 3 H (2)  4 2  8.  5  15 2

TEOREMAS: Sea el polinomio P(x), siguientes teoremas:

Término independiente (T.I.)

Ejemplo:

se

cumplen

1. Suma de Coeficientes:

Sea el polinomio: P(x) = 3 - 4x + 2x 2 - 7x3, reconocer sus elementos: ÁLGEBRA

Despejando “x”, se obtiene que x = 3/2; luego se reemplaza el valor de x = 3/2 en el polinomio H:

 H(2) = 15

an � Coeficiente principal (C. P.) a0

2 = 2x – 1

 16 

�coef .P ( x )  P (1) 2. Término Independiente (T. ind): 1er AÑO DE SECUNDARIA

los

T .IndP ( x )  P (0)

a) x + 1 d) x - 1

b) 9x - 2 e) 3x - 1

c) 9x + 2

Ejemplos. (1) Sea: P(x) = 6x5 + 3x - 2:  Coef . P ( x )  T . IndP ( x )

2. Si F(x) = 3x + 1; calcule:

P(1) = 6.15 +3.1– 2 = 7

F(x + 1) + F(F(x))

5

= P(0) = 6.0 +3.0 – 2 = -2 a) x - 3 d) 2x + 1

(2) Sea H(5x - 3) = 4x + 5:  coef . H ( x )

4

= H(1) = 4. 5 + 5 =

T. Ind. H(x) = H(0) =

41 5

37 4. 3  5  5 5

b) x + 1 e) 12x + 8

c) 12z - 8

3. Si F(x + 1) = F(x) + 2x + 4 y F(0) = 2 Calcular F(1)

CAMBIO DE VARIABLE Llamado composición de una función dentro de c.v.a. consiste en reemplazar una o más variables por otra. Ejemplos:

a) 2 d) 8

b) 4 e) 7

c) 6

4. Si G(2x – 1) = 4x – 5; Hallar G(1) + G(3)

(1) Sea f(x) = 4x + 3, hallar f(2x + 5) Resolución: Reemplazando tenemos:

“x” por “2x + 5” en f(x),

f(2x + 5) = 4.(2x + 5) + 3,

a) 16 d) 5

b) 10 e) 8

c) 13

5. Si H(x; y – 1; z + 3) = 4x – 3y + yz Hallar H(1 ; 3 ; 5) a) 0 b) 1 d) 3 e) 4

Efectuando se tienen que: f(2x + 5) = 8x + 23

c) 2

POLINOMIOS ESPECIALES (1) Polinomio Ordenado y Completo.

6. Sea f(x) = 4x + 3; Hallar f(3x - 5)

P(x) = 4x3 - 2x2 + 6x - 4: El polinomio es completo y ordenado en forma descendente; porque tiene su grado 3°, 2°, 1° y 0 (2) Polinomios Idénticos: ax2 + bx + c a=m





mx2 + nx + p

b=n



b) x - 17 e) x + 17

c) 12x - 3

7. Sea f(x - 1) = 19x + 1; Hallar f(x)



a) 19x d) 19x - 20

c=p

(3) Polinomios idénticamente Nulos: Sea P(x) = ax2 + bx + c Es idénticamente nulo, si todos sus coeficientes son CEROS, así: a=b=c=0

b) 18x e) x - 20

c) 19x + 20

8. Si f(x - 1) = 19x + 1; Halle f(3) a) 48 d) 60

b) 67 e) 77

c) 57

9. Sea f(x – 5) = 4x + 9; Halle la suma de coeficientes de f(2x + 1)

EJERCICIOS Nº 6

a) 39 d) 42

1. Si F(2x + 1) = 6x + 1. Halle F(3x)

ÁLGEBRA

a) 12x - 17 d) x + 14

 17 

b) 40 e) 43

c) 41


d) 3 10. Sea

e) 13

P  45x 4 y5  2xy7  px10 y (x;y)

17. Si el polinomio es ordenado y completo en forma descendente.

Halle GRx + GRy a) 8 d) 10

b) 16 e) 17

P(x) = 3x3 + +5xa-3-4xb-2 + 1; calcule “a+b”

c) 7

a) 3 d) 5

b) 1 e) 8

c) 4

11. Si el polinomio P(x) = x + xn+1 + 2xn-2 + 3xn + 2

18. Si el polinomio es ordenado y completo en forma descendente.

Es de grado 8; halle 2n + 1

P(x) = 5xn - 3 - 4xm - 3 + 1; a) 6 d) -12

b) 12 e) 14

c) 13

Calcule “n - m” a) 2 d) -1

12. Si los polinomios:

b) -4 e) -7

c) 1

P(x) = 3x2 + (a – 1)x + c Q(x) = (b + 1)x2 + 7x - 4

19. Si G(2x – 1) = 4x – 5; Hallar G(0) + G(1)

Son idénticos. Hallar “a + b - c” a) 6 d) 4

b) 5 e) 8

a) 16 d) -5

c) 14

a) 6 d) 12

H(x) = (a - b)x2 – (a - 5)x + c - 1

axa  1y9 �bx5 yb  3

b) 10 e) 8

Hallar “a + b + c” c) 13

a) 10 d) 13

14. Si f(x) = x + 1; Halle f(x – 1) + f(f(x)) a) 2x + 2 d) 3x - 2

b) x - 2 e) x + 2

c) -4

20. Si el polinomio es nulo:

13. Si los monomios son semejantes. Hallar a + b;

b) 10 e) -8

b) 11 e) 14

c) 21


c) 2x - 3

1. Sea f(2x) = 4x + 3; Hallar f(20) 15. Sea G(x + 2) = x + 8; Hallar G(x + 1) a) x - 2 d) x - 7

b) x + 8 e) x + 7

a) 14 d) 43

c) x + 6

b) 17 e) 40

c) 63

2. Sea f(x + 1) = 19x + 1; Hallar f(x) 16. Sea el polinomio F(x) = (a-6)x + 1-b ; idénticamente nulo. Halle el valor de “a + b”. a) 1

b) 9 ÁLGEBRA

a) 19x d) 19x - 8

b) 18x e) x - 20

c) 19x + 20

c) 7  18 


3. Si f(x2 - 1) = 9x + 1; Halle f(3) a) 48 d) 60

b) 20 e) 19

10. Sea G(x + 3) = x + 8; Hallar G(x + 1) c) 17

a) x - 2 d) x - 7

b) x + 8 e) x + 7

c) x + 6

4. Sea f(x - 1) = 2x + 19; Halle la suma de coeficientes de f(x) a) 39 d) 23

5. Sea

b) 40 e) 43

c) 41

P(x;y)  45x 4 y 5  3,14xy 7  px10 y

Halle la suma de coeficientes de P(x;y) a) 8 d) 42,86

b) 16 e) 30

c) 45

6. Si el polinomio P(x) = x + xn+1 + 2xn+2 + 3xn + 5 Es de grado 18; halle 2n + 1 a) 27 d) 26

b) 32 e) 14

c) 13 TEMA 7

7. Si los polinomios:

PRODUCTOS NOTABLES I

P(x) = 2x2 + (a + 1)x + c Q(x) = (b - 1)x2 + 6x + 3

PRODUCTOS NOTABLES

Son idénticos. Hallar “a + b + c” a) 16 d) 14

b) 15 e) 18

Son resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa; sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva.

c) 11

a (b �c )  ab �ac

8. Si los monomios son semejantes.

Los Principales productos Notables son:

Hallar a + b; ax a 1y 9 �bx 5 yb  3 a) 16 d) 12

b) 10 e) 18

1) Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP): c) 13



(a + b)2 = a2 + 2ab + b2



(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Identidades de LEGENDRE:

9. Si f(x) = x - 1; Halle f(x + 1) + f(f(x)) a) 2x + 2 d) 3x - 3

b) x - 2 e) x + 2

c) 2x - 2



(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)



(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

2) Diferencia de Cuadrados (DC):  (a + b)(a - b) = a2 - b2

ÁLGEBRA

 19 


Multiplicando miembro a miembro identidades de LEGENDRE tenemos:

las

 (a + b)4 - (a - b)4 = 8ab(a2 + b2)

6. Hallar

(

3) Identidad de STEVIN

el

resultado

) (

)

2

3 1 

3 1

a) 4 14 d) 14

 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + a.b

de

efectuar:

2

b) 4 e) 18

c) 8

7. Hallar el resultado de efectuar:

(

EJERCICIOS Nº 7 1. Reducir a equivalente:

su

mínima

expresión

7 2

) ( 2

7 2

a) 5 d) -5

)

2

b) 4 e) N.A.

c)

4 14

(x + 8)(x + 2) – (x + 3)(x + 7) a) 4x d) -5

b) x e) -1

8. Efectuar

c) 2x

a) 16 d) 8

2. Si la suma de dos números es 7 y su producto es 10; calcular la suma de sus cuadrados.

b) 12 e) 24

9. Efectuar a) 29 d) 109

b) 49 e) 69

b) 75 e) 36

b) -2 e) 2

15

ÁLGEBRA

b) 5 e) N.A.

b) 12 e) 24

7 3

) ( 2

5  20

a) 40 d) 60

) ( 2

7 3

) ( 2

b) 20 e) 10

11. Reducir a equivalente:

c) 1

c) 48

10. Efectuar:

(

c) 41

su

20  5

)

a) -1 d) 1/8

c) 7

mínima

b) 1/2 e) 1/4

( 2m5  3)  ( 2m5  3) 2

12. Simplifica:

 20 

2

c) 30

expresión

(2x  y)2  (2x  y)2 8xy

5. Si la suma de dos números es 15 y su producto es 6; calcular la suma de sus cuadrados por. a) 3 d) -9

2 2 �5  7 �  � 7  5 � � � � �

a) 16 d) 8

4. El cuadrado de su suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 6; calcular el producto de dichos números. a) 4 d) 3

c) 48

c) 39

3. Si la suma de dos números es 5 3 y su producto es 16. Hallar la suma de sus cuadrados. a) 43 d) 72

2 2 �5  7 �  � 5  7 � � � � �

c) 1

2

4m10  9


a) 6 d) 8

b) 5 e) 2

c) 4 a) 24 d) 26

13. Si: a – b = 8 y ab = 120 a) 240 d) 244 14. Reducir

su

a) 5 d) 8

20. Si la diferencia de dos números es 19 y su producto es 6; calcular la suma de sus cuadrados.

c) 304

mínima

a) 3 d) -9

expresión

(5x  2y)2  (5x  2y)2 10xy

equivalente:

b) 2 e) 4

b) 52 e) 31

b) 35 e) 22



su

c) 24 1. Hallar el resultado de efectuar: mínima

expresión

N

-(x - 8)(x + 2) + (x + 3)(x - 7) a) 4x d) 2x - 5

b) x e) -1

7  11

b) 8 e) 6

de:

x2 

c) 39

c) 1

1 x

 5 . Halle el valor

1 x2

ÁLGEBRA

11  7

b) 56 e) 18

(

7 2

) ( 2

a) 5 d) -5

3. Efectuar

a) 4 d) 8

4. Efectuar

x

2

)

2

c) 36

2. Hallar el resultado de efectuar:

18. Si la suma de dos números es 2 3 y su producto es 2. Hallar la suma de sus cuadrados.

19. Sabiendo que:

) (

c) 2x

b) 49 e) 26

a) 4 d) 7

(

a) 2 d) 14

17. Si la suma de dos números es 5 y su producto es 6; calcular la suma de sus cuadrados. a) 29 d) 13

c) 37

c) 1

15. Sean: m+n=10 y m-n=2. Hallar “mn” a) 26 d) 18

c) 21

Hallar a2 + b2

b) 320 e) 210 a

b) 72 e) 23

a) 16 d) 108

7 2

)

2

b) 4 e) 18

c)

4 14

2 2 �5  7 �  �5  7 � � � � � 35

b) 6 e) 2

c) 5

2 2 � 5  7�  � 7  7� � � � �

b) 112 e) 24

c) 148

5. Efectuar:  21 


(

7 2

) ( 2

5  20

a) 40 d) 60

) ( 2

7 2

) ( 2

b) 58 e) 48

20  5

)

 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

2

Identidades de CAUCHI:  (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

c) 30

 (a + b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b) Relaciones Particulares:

6. Reducir

a

su

mínima

expresión

(4x  y)2  (4x  y)2 4xy

equivalente: a) -1 d) 1/8

b) 1/2 e) 1/4

 (a + b)3 + (a - b)3 = 2a(a2 + 3b2)  (a + b)3 - (a - b)3 = 2b(b2 + 3a2) 5) Suma y Diferencia de Cubos

c) 4

 a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)  a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

( 2m3  5)  ( 2m3  5) 2

7. Simplifica:

2

6) Identidades de STEVIN:

4m6  25

a) 6 d) 8

b) 5 e) 2

8. Si: a – a-1 = 8 ; a) 24 d) 44

 (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc

c) 4

Hallar a2 + a-2 b) 32 e) 64


 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

su

c) 66

mínima

expresión EJERCICIOS Nº 8

(5x  3y)2  (5x  3y)2 15xy

a) 5 d) 8

1. Sea:

b) 2 e) 4

x y   2 Hallar y x

c) 1 a) -1 d) 8

3 �2x � � �y � � � �

b) 125 e) 27

c) 64

10. Sean: m + n = 5 y m – n = 2. Hallar “mn” a) 23 d) 18

b) 35/4 e) 21/4

2. Si:

c) 4

2x y  2; y 2x

Hallar

a) 100 d) 4501

10 �y � �� x �

b) 1005 e) 2002

c) 1024

TEMA 8

3. Sabiendo que:

PRODUCTOS NOTABLES II

Calcule

4) Desarrollo de un Binomio al Cubo:  (a + b) = a + 3a b + 3ab + b 3

3

ÁLGEBRA

2

2

a 2  b2 7; ab

ab ab

3

 22 


a) 6 d) 2

4. Si:

b) 1 e) 5

n



m

m n

b) 3 e) 5

n m



m

n 2 �m  n � � � �2 mn �

 66 ;

el

a) 2x8 d) 4x8

a)

F

11 ;

de

2

12. Calcular m3 + m-3; si m-1 + m = 2

11 3

+ 32x4 -

14. Sea:

11 3

8. Si : x + x = 6; calcular : b) 17 e) 36

9. Si : x + x-1 = 2; calcular : b) 216 e) 32

c) 2

11 3

15. Si:

11 3

-1

a) 2 d) 4

a) 7 d) 10

c) 2

3 �2x � � �y � � � �

b) 125 e) 27

3x y  2; y 3x

Hallar

c) 64

5 �y � �� x �

b) 32 e) 243

c) 1/64

2 2 16. Sabiendo que: a  b  14 ;

1 x2

ab

Calcule

c) 34

a b ab

a) 4 d) 2

1 x16  x16

17. Si:

c) 1024

n m

a) 2 ÁLGEBRA

x 2y   2 Hallar 2y x

a) 1/32 d) 1/243 x2 

c) 0

b) 4 e) 8

a) -1 d) 8

e) -2

a) 32 d) 28

b) -2 e) 8

ab = 4;

b) -

c) 60

13. Si x + x-1 =3; calculare el valor positivo de x2 + x-2

a3  b3 a2  b2

11 3

d) 3

valor

b) 66 e) 62

c) x8

b) 128 e) x4

c) 140

11. Calcular a-2 + a2; si a-1 + a = 8

c) 64

6. Efectúe: (x - 2)2(x + 2)2 (x2 + 4) 256

1 x6

b) 320 e) 70

a) 64 d) 58 Halle

x6 

mn

c) 1

b) 9 e) 16

Calcule

a) 160 d) 322

a) 6 d) 2

a) 49 d) 25

7. Si a + b =

10. Si : x + x-1 = 3; calcular :

mn

 6 ; Halle el valor de

a) 2 d) 4

5. Si:

c) 3

 23 

b) 1 e) 5



m n

c) 3

 11 ; Halle el valor de b) 3

mn mn

c) 1


d) 4

e) 5 x6 

3. Si : x + x-1 = 2; calcular : 18. Si:

n m



m n

1 x6

 27 ;

Halle el valor de

a) 49 d) 25

a) 16 d) 32

2 �m  n � � � �5 mn �

b) 2 e) 4

a-2 + a2; si a-1 + a = 7

4. Calcular

b) 9 e) 1

c) 64

a) 64 d) 58

19. Efectúe:

c) 10

b) 66 e) 62

c) 47

m3 + m-3; si m-1 + m = 3

5. Calcular

(x - 1)2(x + 1)2 (x2 + 1) 2 + 2x4 - 1 8

a) 2x d) 4x8

b) 128 e) x4

c) x

a) 6 d) 2

8

b) -2 e) 8

c) 18

6. Si x - x-1 = 13; calculare el valor positivo de x2 + x-2 a) 171 d) 107

b) 194 e) 167

c) 212

20. Si a + b =6; ab = 2; Calcule

a)

F

a3  b3 a2  b2

11 3

b) -

d) 2,5

7. Sea:

11 3

c) 2

11 3

8. Si:


a) 2 d) 8

x2 

b) 216 e) 32

a) 2 d) 4 ÁLGEBRA

�y � ��

b) 125 e) 27

7x y  2; y 7x

Hallar

1

9. Sabiendo que:

c) 3

x32 

Calcule

10. Si:

c) 1024  24 

n m

a 2  b2  23 ab

c) 75

;

ab b) 1 e) 5



5 �y � �� x �

ab

a) 4 d) 2

1 32 x

c) 64

b) 55 e) 243

a) 132 d) 343

x2

b) 7 e) 6

2. Si : x + x-1 = 2; calcular :

Hallar �x �

a) 343 d) 8

e) 5,625

1. Si : x + x-1 = 2; calcular :

3 ��

x 5y  2 5y x

m n

c) 3

 102 ; Halle el valor de

mn mn


a) 2 d) 4

b) 3 e) 5

a) 1 d) -2

c) 10

b) 2 e) 3

6. Reducir:

TEMA 9

c) -1

(2m5  3)2  (2m5  3)2 4m10  9

PRODUCTOS NOTABLES III a) 1 d) 4

7) Identidades de STEVIN:

b) 2 e) 5

c) 3

 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab  (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc

7. Si a + b =

a) EJERCICIOS Nº 9 1. Reducir:

11

11

d) 2

11

y ab = 4,Calcular:

b) -

11

e)

11 3

b) -2 e) 2

8. Si

c) -3

a) 129 d) 130

b) 127 e) 126

x

1 4; x

calcular

a) 40 d) 52

2. La suma de dos números es 7 y su producto es 10. Calcular la suma de sus cubos.

9. Si

x

1 3; x

calcular

a) 322 d) 69

c) 133

3. Si la suma de dos números es 5 3 y su producto es 16. Hallar el cuadrado de su suma. a) 43 d) 80

b) 70 e) 90

c) 75

a) 1 d) 4

( x  2y ) 2  ( x  2y ) 2  ( x  y ) 2  ( x  y ) 2

a) 2 d) 3

11 3

c) 5

13. Efectuar

(2x  y)2  (2x  y)2 8xy

ÁLGEBRA

1 x3

c) 30

1 x6

c) 222

Hallar a-2 + a2 b) 25 e) 62

b) 2 e) 5

c) 18

si m + m-1 = 2 c) 3

12. Efectuar (x + 1)(x - 1)(x2 + 1)(x4 + 1) + 1 a) 0 b) 1 c) x8 d) -x8 e) x4

2xy

b) 6 e) 4

x6 

b) 47 e) N.A.

11. Calcular m3 + m-3;

4. Hallar el resultado de efectuar: x 2  4y2

a) 72 d) 40

x3 

b) 25 e) 51

10. Si a-1 + a = 8;

5. Reducir:

c)

a3  b3 a2  b2

(x + 3)(x + 2) - (x + 1)(x + 4)

a) -1 d) 3

N



F

a) x2 d) x6

 25 

5 (x  2)3 (x  2)3 (x2  4)2  4

b) x e) x8

c) x4


14. Efectuar


(x+1)(x2 –x+1)(x6 – x3+1)(x18-x9+1)-x27 a) 3 d) 0

b) 2 e) 1

c) -1 1. Reducir:

15. Efectuar

E

a) 25 d) 4

16. Efectuar

b) 16 e) 20

a) -1 d) 3

a) 129 d) 130

b) 407 e) 307

3. Si la suma de dos números es 7 3 y su producto es 55. Halle la suma de sus cuadrados.

4 4 99(102  1)(104  1)(108  1)  1

c) 10

a) 43 d) 37

b) 70 e) 90

c) 75

4. Hallar el resultado de efectuar: N

( x  3y ) 2  ( x  3y ) 2  ( x  2y ) 2  ( x  2y ) 2 x2  9y2

2xy

4 1  (x  1)(x  1)(x 2  1)(x 4  1)

a) x d) -x

b) x e) 1

2

19. Calcular el V.N. de E para

c) x

x

16

3

a) 2 d) 8

b) 2 e) 4

a) 2 d) 3

b) 6 e) 4

5. Reducir:

(10x  y)2  (10x  y)2 8xy

a) 1 d) 4

b) 2 e) 3

2

E= (x-2)2(x+2)2(x2 +4)2 + 32x4 -256 c) -

E

a) 10 d) 13

( 50 ) . ( 48 )  1 b) 14 e) 49

c) 5

(7m5  3)2  (7m5  3)2 49m10  9

a) 1 d) 4

c) 7

7. Si:  26 

b) 2 e) 5

ab  7

Calcular: ÁLGEBRA

c) 5

2

6. Reducir: 20. Calcular:

c) 128

c) 25

b) 7 e) 6

18. Reducir

c) -3

2. La suma de dos números es 11 y su producto es 28. Calcular la suma de sus cubos.

b) 4 e) 36

a) 5 d) 4

b) -2 e) 2

c) 36

N  4 48  (5  4)(52  42 )(54  44 )

a) 5 d) 16

17. Hallar:

1  24.(52  1)(54  1)

(x + 3)(x - 2) - (x - 1)(x + 4) + 2x

c) 3

y ab = 2

F  a2  b 2 1er AÑO DE SECUNDARIA

a) 2 d) 3

8. Si

b) -5 e) 4

x

1 6; x

calcular

a) 140 d) 152

9. Si

x

1 3; x

x3 

c) 7

1 x3

b) 125 e) 198

calcular

a) 322 d) 69

x6 

c) 130

1 x6

b) 47 e) 18

c) 222

10. Si a-1 + a = 5; Hallar a-2 + a2 a) 72 d) 40

b) 25 e) 62

c) 23

TEMA 10 DIVISIÓN ALGEBRAICA Definición: Dividir dos expresiones algebraicas llamados DIVIDENDO D(x) y DIVISOR d(x) consiste en hallar otras expresiones algebraicas llamados Cociente q(x) y Residuo R(x). IDENTIDAD FUNDAMENTAL: D ( x ) = d ( x).q ( x ) + R ( x)

ÁLGEBRA

 27 


MÉTODOS SUGERIDOS A)

B)

MÉTODO DE HORNER:

METODO DE RUFFINI

Es un caso particular del método de HORNER y se emplean en las divisiones de un polinomio de una sola variable entre un binomio de la forma:

Se aplica para dividir polinomios con una sola variable y polinomios homogéneos de dos variables.

d(x) = ax + b.

PASOS: p1>

Se escriben ambos polinomios en forma decreciente respecto a una misma variable, llamado variable ordinatriz.

p2>

Se escriben los coeficientes del dividendo en fila, poniendo cero como coeficiente de las potencias que faltaran.

p3>

Se escriben los coeficientes del polinomio divisor en columna, el primero con su propio signa y los demás con signo cambiado. Poniendo cero como coeficiente de las potencias que faltaran.

p4>

Para hallar el primer coeficiente se divide el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficiente del divisor.

p5>

A continuación se multiplica el primer coeficiente del cociente por los coeficientes del divisor que han cambiado de signo y los resultados se escriben en una segunda fila dejando un espacio en blanco.

p6>

Para hallar el segundo coeficiente del cociente, se suman los coeficientes de dicha columna y el resultado se le divide entre el primer coeficiente del divisor y así sucesivamente hasta completar los coeficiente del cociente.

p7>

Una vez que se tiene todo los coeficientes del cociente, para obtener los coeficientes del residuo se suman los coeficientes de la columna siguiente, colocándose dichas sumas en su columna respectiva, siendo esto los coeficientes del residuo.

ESQUEMA:

ESQUEMA: Coeficientes de D(x)

-

b a

Coeficientes de q(x)

R(x)

EJERCICIOS Nº 10 1. Indicar el residuo de la siguiente división: 2x7 - 4x6 + 2x + 3 x-2

a) 3 d) 5

b) 6 e) 13

c) 7

2. Indicar el residuo de la división. 6x3 - 5x2 - 4x + 4 x -1

a) 1 d) 9

b) 5 e) 11

c) 7

3. Indicar el T.I. del residuo en: 6x3  x 2  2x  6 3x 2  2x  1

a) 4 d) 7

ÁLGEBRA

 28 

b) 5 e) 9

c) 6


4. Reducir:

( 4x

a) 0 d) x + 5

2

)

de residuo, en:

2

 6x  1  x 2

5x 4 +3x3 - 8x 2 + 7x + 6 5x 2 - 2x + 4

4x 2  7x  1 b) 1 c) x e) 4x2 + 5x + 1

5. Indicar la suma cociente luego de:

de

coeficientes

a) 13 d) -22 del

c) -11

11. Al dividir : M(x) = 2x 3 + 3x 2 + 5x + 6 Entre

2x 4 - x3 + 3x 2 + 20x -10 2x 2 + 3x - 1

a) 2 d) 4

b) 18 e) 24

obtiene 3.Q(2).

b) -7 e) 1

c) 0

como

a) -3 d) -6

N(x) = x 2 + 3x + 4 .

cociente

a

b) 3 e) 0

Q(x).

Se Halle

c) 6

6. Calcular “n” si el resto de la división: 2x3 + nx2 - 4x + n 2x + n

a) -5 d) 0

12. Indique la suma de coeficientes del ; es (-15).

b) 3 e) 8

cociente en:

c) -4

a) 3 d) -5

7. Halle la suma de coeficientes del cociente en la siguiente división:

b) 5 e) 0

c) -3

13. Dado el esquema de Horner:

x3 + 3x 2 - 7x + 3 x -1

a) 0 d) 3

10x3 + 3x2 - 6x - 4 5x2 - x - 3

4 2 2 3 -7 b) 1 e) 4

-1

c) 2

1 a b

8. Halle el polinomio cociente en: Indique “a – b”

6x3 - 7x 2 -4x +1 3x - 2

a) -2 d) 5 a) 6x2 - 3x - 6

b) -3

d) 2x2 - x - 2

e) 6x2 + 3x + 6

9. Halle el residuo de dividir: b) 1 e) 2x +2

c) 7

c) 2x2 - x - 2 14. Si la siguiente división es exacta: x3 - x2 + 5x - m x2 + x + 7

a) x d) x2

b) 2 e) 12

x4 + 4 x 2 + 2x + 2

a) 14 d) -7

; hallar “m”

b) -14 e) 1

c) 7

c) 0 15. Si la siguiente división es exacta:

10. Efectúe e indique el coeficiente principal ÁLGEBRA

 29 


2x3 + 5x 2 + mx + n 2x 2 + x + 3

; indique m + n

a) 5 d) 6

b) 11 e) 12


c) 13

16. Si la siguiente división es exacta: x3 + 4x 2 + 2x - b x +1

1. Reducir:

; Halle b2b

(

)

x3  5 x  1

100

1

x3  5 x  2

a) 1 d) 1/2

b) 2 e) 2

c) 4 a) 0 d) 5

17. Dado el esquema de Ruffini:

2. Indicar la suma cociente luego de:

2 -1 -2 -1

c

b) 16 e) 12

de

coeficientes

d a) 2 d) 4

Halle (a + b + c + d) a) 15 d) 11

c) 2

2x 4 - x3 + 3x2 + 20x -10 2x 2 + 3x -1

2 a b

b) 1 e) 4

b) -7 e) 1

c) 0

c) 10 3. Calcular “a” si el resto de la división:

18. Indicar el residuo de la siguiente división:

2x3 + ax 2 - 4x + a ; es (-15). 2x + a

2x7 - 4x6 + 4x3 + 2x + 3 x -1

a) 3 d) 5

b) 6 e) 13

c) 7

a) -5 d) 0

19. Indicar el residuo de la división.

30x 25 y16 5x 20 y15

b) 15 e) 11

c)-17

(x 2  5x  2)10  3 x2  5x  4

b) 7 e) 4

c) 5

5. Halle A+B, si: A

b) 1027 e) 1009

c)1006

8 3 x6 y 3 , 12 x 4 y 2

a) 6x2 y d) 2x2y ÁLGEBRA

; indique el grado del cociente:

a) 6 d) 3

20. Indicar el residuo de la división:

a) 1024 d) 1026

c) -4

4. De la siguiente división:

6x 3 - 5x 2 - 4x - 4 x +1

a) -11 d) 9

b) 3 e) 8

 30 

B

10 2 x 2 y 2

b) -3 e) 0

50 y c) 2x2


del

6. Al dividir: a) -72 d) 75

3m6n7 p  km5n -0,5mn2

Calcular “k + p” a) -1 d) -2

c) 74

12. Si la siguiente división es exacta:

b) 1 e) 2

x3 - x2 + 5x - p x2 + x + 7

c) 0

7. Efectúe e indique el coeficiente principal de residuo, en: 5x 4 +3x3 - 8x 2 + 7x + 6 5x 2 - 2x + 4

a) 1 d) -2

b) 72 e) 12

; hallar “p”

a) 14 d) -7

b) -14 e) 1

c) 7

13. Si la siguiente división es exacta:

b) 8 e) 2

x3 + 4x2 + 2x - b x +1

c) -1

a) 1 d) 1/2

8. Si la siguiente división es exacta: 2x3 + 5x 2 + px + q ; 2x2 + x + 3

indique p - q

a) 5 d) -5

b) -11 e) -1

; Halle b2b

b) 2 e) 2

c) 4

c) -3

9. Halle el residuo de la división:

14. Dado el esquema de Ruffini:

x10 - 2x5 + 3 x5  2

2 -3 -1 -1 a) -3 d) -6 10. Indique división:

b) 3 e) 0 el

c) 6

1 a b

residuo

de

la

siguiente

10x18 + 3x12 - 6x 6 + 80 x6 + 2

a) 3 d) -5

b) 9 e) 6

c

d

Halle (a + b + c + d) a) 15 d) -11

b) -6 e) 12

c) -3

c) -4

TEMA 11 COCIENTES NOTABLES

11. Dado el esquema de Horner:

Definición:

-1

Llamaremos Cocientes Notables (C.N.) a los coeficientes que se obtienen en forma directa, es decir sin necesidad de efectuar la operación de División.

1

Su Forma General es:

2 4 2 3 -7

a b 2

x n �y n , n‫� ٳ‬ N x �y

2

Indique “a + b ” ÁLGEBRA

 31 

n

2


Siendo su Cociente de la forma: x n- 1 + yx n- 2 + y 2 xn- 3 +L + y n- 1

En general el cociente se obtendrá de la siguiente manera: xn - yn =x n- 1 +x n- 2 y +x n- 3 y 2 +L + y n- 1 x- y

Halle el término de lugar 15. Del C.N. obtenemos n = 60, k = 15; reemplazando en la fórmula (*), tenemos:

x3 - y 3 =x 2 + xy + y 2 x- y

t15 = x60-15y15-1 = x45y14 Ejemplo 2:

x4 - y 4 =x3 +x 2 y +xy 2 + y 3 x- y

De

x5 - y 5 =x 4 +x3 y +x 2 y 2 +xy3 + y 4 x- y

x 40 - y80 x - y2

Hallar el término de lugar 21.

Nota:

Resolución:

Así mismo

x- 7 - y- 7 no genera un x- y

cociente notable, porque: - 7�N

x60 - y 60 x- y

Resolución:

Ejemplo 1:

n=

Sea el C.N. de

Dando forma al C.N.: x 40 -

( y2 )

40

x - y2

.

;

Luego n = 40 y k = 21, reemplazando en la fórmula (*), se tiene: t21 = x40 - 21(y2)21 – 1 = x19y40. Ejemplo 3:

Ejemplo 2:

¿x5y10 es un término del C.N.

Hallar el C.N. generado por:

x16 - y16 ? x- y

( 3 x) 5 - 1 3 x- 1

Respuesta:

Su cociente notable es:

Como x5y10 es un término de grado 15 y el C.N. tiene de grado (16 – 1 = 15), por tanto x5y10 si es un término del C.N. dado.

= (3x)4 + (3x)3 + (3x)2 + (3x) + (3x)0 = 81x4 + 27x3 + 9x2 + 3x + 1

Ejemplo 4:

TEOREMA DEL TÉRMINO GENERAL Tiene la finalidad de calcular un término cualquiera (tk) del cociente, sin necesidad de efectuar la división. xn - y n Dado el C.N. x- y

¿x5y11 es un término del C.N.

x19 - y19 ? x- y

Respuesta: Como x5y11 es un término de grado 16 y cada término del C.N. dado es (19 – 1 = 18), por tanto x5y11 no es un término del C.N. dado.

Un término cualquiera tk es igual:

NOTA:

t = x n - k . y k - 1; k = 1, 2,3, L , n ...........(*) k

x n �y m Genera C.N. siendo la condición x a �yb

necesaria y suficiente: Ejemplo 1: ÁLGEBRA

 32 


n m = = r ; r �N a b Donde “r” representa el número de términos del Cociente Notable.

EJERCICIOS Nº 11

Ejemplo 1: 1. Calcular el 2do. Término en el desarrollo

x 40 - y30 ¿ 40 3 Genera Cociente Notable? x - y

del C.N.: a) x3 y2 d) x y2

Respuesta: 40 30 = =10 , 4 3

Veamos

entonces

si

genera

cociente notable y tendrá 10 términos.

del C.N.: no, porque 15/2 no es un

número entero, por tanto no genera un Cociente Notable. Ejemplo 3:

x 40 - y 20 el Cociente Notable generado por x2 - y ?

c) 5to.

xn - y 6 x - y2

b) x3 e) –x y

a) x y d) y4

c) y2

x2n - y 4 ; es notable. x 2 - yn

a) 1 d) 4

Resolución: Sea el término de lugar k, el C.N. dado es equivalente a:

( )

b) 4to. e) 7mo.

4. Calcular “n”, si el cociente obtenido de:

¿Qué lugar ocupa el término de grado 34 en

20

x 6 - y12 x - y2

3. Hallar el tercer término en el desarrollo

Respuesta:

x2

c) x3y

2. ¿Qué lugar ocupa el término de grado 10

a) 3ro. d) 6to.

x30 - y 30 ¿ Genera Cociente Notable? x4 + y 4 30 30 15 = = 4 40 2

b) x y3 e) x2 y2

en el C.N.:

Ejemplo 2:

Veamos:

x 5 + y5 x-y

- y 20

b) 2 e) 5

5. Si el cociente notable:

c) 3

xn  1 x3  1

Tiene 6 términos. Hallar “2n”.

x2 - y

a) 18 d) 36

20- k k - 1 Entonces tk = x 2 y

( )

b) 20 e) 40

c) 6

6. ¿Cuántos términos tiene el desarrollo de

Por dato el grado del término “k” será:

C.N. de:

2.(20 - k) + (k - 1) = 34

x3 -1 xn -1

Resolviendo se obtiene: k=5

a) 1 d) 4

Luego:

b) 2 e) 5

c) 3

El término en mención ocupa el quinto lugar. ÁLGEBRA

 33 


7. Hallar la suma de todos los exponentes de los términos del desarrollo del C.N.:

x8 + y8 x2 + y2

d) 4

e) 5

14. Calcular “n”, si el cociente obtenido de:

a) 10 d) 13

b) 24 e) 14

x 2n - y16 x 2 - yn

c) 12

; es notable.

a) 1 d) 4

xm - yn x2 - y

8. Hallar “m + n” del C.N.: 6

Sabiendo que: t3 = x y a) 12 d) 15


2

b) 13 e) 16

c) 18

c) 3

xn  1 x4  1

Tiene 16 términos. Hallar “3n”.

9. Hallar el 4to término en el desarrollo del C.N.:

b) 2 e) 5

a) 182 d) 136

b) 120 e) 240

c) 192

xn - yn +1 x2 - y3

16. Halle el valor de “n” en el C.N.: a) x6 y9 d) x-6 y9

b) x6y5 e) x7 y9

a) 11 d) 14

c) 0

10. Calcular “n” si el cociente obtenido de:

b) 7 e) 5

x18 + y18 x2 + y2

c) 8 a) 101 d) 132

11. Calcular el 2do. Término en el desarrollo del C.N.: 3

x 6 + y6

b) 114 e) 144

c) 124

18. Hallar “a2 + b2” del C.N.:

x-y

2

b) x y3 e) x2 y2

a) x y d) x y2

Sabiendo que: t3 = x6 y

c) x4y

12. ¿Qué lugar ocupa el término de grado 8 en el C.N.:

c) 13


x 2n +1 - yn + 3 ; es notable: xn - 4 - yn - 5

a) 6 d) 9

b) 12 e) 15

x5 - y10 x - y2

a) 3ro. d) 6to.

b) 4to. e) 7mo.

b) 6 ÁLGEBRA

a) 120 d) 150

b) 130 e) 160

x a - yb x2 - y

2

c) 180

19. Hallar el valor de “n” en el C.N.:

xn - yn +1 x3 - y 4

c) 5to. a) 3 d) 4

13. Hallar el valor de “n” en el C.N.: a) 3

x13 -1 xn -1

xn - y8 x - y2

b) 6 e) 5

c) 7

20. Calcular “n” si el cociente obtenido de:

c) 2  34 


xn + 5 - y 5 x15 - yn - 5

; es notable:

a) 6 d) 9

6. Halle el valor de “n” en el C.N. de:

b) 7 e) 10

c) 8

a) 1 d) 4


x4 + y4 x 2 + y2

x3 + 23

a) 2 d) 3

b) 5 e) 4

x-2

8. Hallar “m - n” del C.N.: a) x3 y2 d) x y2

b) x y3 e) 2x2

c) 2x Sabiendo que: t3 = x6 y

2. ¿Qué lugar ocupa el término de grado 15 en el C.N.:

x 6 - y18 x - y3

a) 3ro. d) 6to.

b) 4to. e) 7mo.

xn - y12 x - y2

c) y2

; es notable.

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5


ÁLGEBRA

b) 20 e) 40

c) 18

xn - yn +1 x3 - y 4

b) x6y5 e) 0

c) –x6 y9

10. Calcular “n” si el cociente obtenido de: xn - yn +1 x7 - y 8

a) 6 d) 9

c) 3

; es notable:

b) 7 e) 5

c) 8

xn  1 x5  1

Tiene 6 términos. Hallar “2n”. a) 18 d) 36

2

b) 13 e) 16

a) x6 y9 d) x-6 y9

4. Calcular “n”, si el cociente obtenido de: x 4n - y36 x - yn

xm - yn x2 - y

9. Hallar el 5to término en el desarrollo del C.N.:

b) x3y4 e) –x y

a) x y d) y4

a) 12 d) 15

c) 12

c) 5to.

3. Hallar el tercer término en el desarrollo del C.N.:

c) 3


1. Calcular el 2do. Término en el desarrollo del C.N.:

b) 2 e) 10

x30 -1 x3n -1

TEMA 12 FACTORIZACIÓN I

c) 60

(Método del Factor Común e Identidades)

 35 


POLINOMIO IRREDUCTIBLE

Es polinomio mónico.

Un polinomio es irreducible sobre un determinado campo numérico, si no admite ser expresado como una multiplicación de dos o más factores sobre el mismo campo.

P(x) = 2x2 + x + 1 No es polinomio mónico, coeficiente principal es 2.

porque

su

TEOREMA: MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

Todo polinomio de 1er. Grado es irreducible en todo campo numérico. Factor Primo.- Es un factor irreducible de un polinomio sobre un determinado campo.

1. Método de Agrupación:

Factor

Común

Consiste en aplicar la distributiva en forma inversa:

Ejemplo 1:

y

propiedad

a. ( b  c )  a.b  a.c

P(x) = 3(x - 2)2(x2 + 3x + 1) Sus factores primos son: (x - 2); (x2 + 3x + 1)

Ejemplo 1:

En cambio (x - 2)2 no es primo puesto que es divisible entre (x - 2).

Factorizar: P(x; y; z) = x4 + x3y + x2z

Es decir:

Dando forma:

2

(x - 2) = (x - 2)(x - 2)

Resolución. P(x; y; z) = x2.x2 + x2.xy +x2.z Observamos que el F.C. en los 3 términos es x2, extrayendo el F.C. al exterior del paréntesis, resulta: P(x; y; z) = x2(x2 + y + z)

Ejemplo 2:

(

)(

)(

)

P( x; y ) = x 2 + y . x + y 2 . x 2 - y 2 144424443 144424443 14442444 43 f . p. f . p. (14 x4+ ) 24y43 f . p.

Ejemplo 2: Factorizar: R(x; y) = x(a - b) - y(b - a) Resolución:

({ x - y) f . p.

Es conveniente conocer algunos polinomios particulares como:

Primero factorizamos el signo en el 2do término de R(x; y): R(x; y) = x.(a - b) + y.(a - b) Observamos que el factor común de R(x; y) es (a - b). Luego el polinomio factorizado es:

Polinomio Primitivo: Es aquel polinomio cuyos coeficientes admiten como divisor común a la unidad.

R(x; y) = (a - b)(x + y)

Ejemplos:

2.

2

P(x) = 3x + 5x + 7 es polinomio primitivo

Método de las Identidades: Consiste en utilizar a las identidades notables para estructuras conocidas.

P(x) = 2x4 + 6x3 + 8 no es primitivo porque sus coeficientes tienen como divisores al 1 y 2.

Ejemplo:

Polinomio Mónico:

Factorizar: R = (x + y)4 - (x - y)4

Es cuando su coeficiente principal (C.P.) es la unidad.

Resolución:

Ejemplos:

R = [(x + y)2 + (x - y)2][(x + y)2 - (x - y)2]

P(x) = x3 + 2x + 7 ÁLGEBRA

Aplicando diferencia de cuadrados:

 36 


Aplicando identidad e Legendre en cada factor tenemos: R = [2(x2 + y2)][4xy] \

4x2 – (x + y)2 a) 2x - y d) 3x - y

R = 8xy[x2 + y2]

b) 3x + y e) x + y

c) x - y

7. Indique el factor primo de mayor suma de coeficientes en: P(x) = (x – 1)(x – 2) – (x – n)(x-1)

EJERCICIOS Nº 12 1. Factorice el polinomio: A(x, y, z) = 2xy + 2xz + 2x e indique uno de los factores primos. a) x - 1 d) y + x - 1

b) x +1 e) y + z + 1

c) y + z

a) x-5 d) x+1

b) x+7 e) x+3

x 2 (x  1)  x(x  1) 1 x2  1

8. Simplificar: a) –x - 1 d) –x + 1

2. Sea el polinomio

c) x-1

b) 2x e) x + 1

c) x - 1

P(x, y) = 3(x + y) - xz - yz Al factorizar indique factores primos.

el

número

de

9. Indique un factorizar:

factor

primo,

luego

de

P(a, b) = a3 + 3a2b – ab2 – 3b3 a) 1 + x d) 4

b) 2 e) 5

c) 3x a) a + 3b d) b - a

b) a + 2b e) a - 1

c) 2b - a

3. Al factorizar el polinomio: 10. Indique el factor primo de mayor suma de coeficientes de: a4b2 – a2b4

(x + 2) + yx2 – 4y Se obtiene un factor de la forma:

a) a-b d) a+b

(a + bxy – cy). Hallar “a + b + c” a) 0 d) 3

b) 4 e) -1

b) 2+b e) b-a

c) a-3

c) 2 11. Indique la suma de factores primos de: 8x3 – 12x2 – 2x + 3

4. Indique el número de factores primos de: a2b + ab2 + 3ab a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

a) 6x d) 6x - 1

b) 9x - 1 e) 8x +1

c) 6x - 3

c) 3 12. Cuántos factores primos tiene:

5. Al factorizar: 16y2 – 9z2; se obtiene un factor de la forma: (ay + bz).

a) 1 d) 4

Halle a2 - b2 a) 5 d) 8

P(x) = x4 - 16

b) 6 e) 9

b) 2 e) 5

c) 3

c) 7 13. Indicar el número de factores primos: (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2

6. Indique uno de los factores de: ÁLGEBRA

 37 


a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

20. Al factorizar: 4y2 – 9z2; se obtiene un factor de la forma: (ay + bz).

c) 2

Halle a2 - b2 14. Sea el polinomio a) -5 d) -8

P(x, y) = 4(x + y) – 2xz – 2yz.

b) -6 e) -9

c) -7

Halle uno de los factores primos: a) 2 - z d) 2x - y

b) x - y e) 2z - x

c) y - x


15. Factorizar: (x – 2)2 – (x + 2)2 a) –8x d) x + 1

b) x - 2 e) x + 3

c) x - 3

16. Factorice el polinomio:

1. Indique uno de los factores de:

A(x, y, z) = 5xy + 10xz + 15x e indique uno de los factores primos. a) x - 1 d) y + x - 1

b) x +1 e) y + 2z + 3

9x2 – (x + y)2 a) 2x - y d) 3x - y

c) y + 3z

b) 3x + y e) x + y

c) x - y

2. Indique el factor primo de mayor suma de coeficientes en:

17. Sea el polinomio P(x, y) = 3(2x + y) - 2xz - yz

P(x) = (x – 1)(x – 2) – (x – 4)(x-1)

Al factorizar indique un factor primo. a) 1 + x d) 3 - z

b) 2x - y e) 5 - z

a) x+2 d) x+3

c) 3x

3. Simplificar:

18. Al factorizar el polinomio

a) –x - 1 d) –x + 1

(x + 3) + yx2 – 9y Se obtiene un factor de la forma: (a + bxy – cy). Hallar “a + b + c” a) 5 d) 3

b) 4 e) 6

4. Indique un factorizar:

c) 2

b) 2 e) 5

c) x-1

x 2 (x  2)  2x(x  2) 1 x2  4

b) 2x e) x + 1 factor

c) x - 1

primo,

luego

a) a + 3b d) b - a

b) a + 2b e) a - 1

c) 2b - a

5. Indique el factor primo de mayor suma de coeficientes de:

c) 3

8a4b2 – 2a2b4 ÁLGEBRA

de

P(a, b) = a3 + 3a2b – ab2 – 3b3

19. Indique el número de factores primos de: x2y + xy2 + 3xy a) 1 d) 4

b) x+4 e) x-3

 38 


a) 2a-b d) 2a+b

b) 2+b e) 2b-a

c) a-3

6. Indique el término independiente del factor primo cuadrático: 6x3 – 2x2 + 3x - 1

Donde: B = a1c2 + a2c1 ; A = a1a2; C = c1c2

a) 6 d) 1

b) -1 e) 2

El polinomio factorizado es:

c) 3

(a1xm + c1yn)(a2xm + c2yn) Ejemplo:

7. Cuántos factores primos tiene:

Factorizar:

P(x) = x2 - 16

R = 6x2 + 17xy + 12y2

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

Resolución:

c) 3

8. Indique un factor primo: x2 – y 2 + x + y a) x+y+3 d) x-y+3

b) x+y+1 e) x+y-4

c) x-y+1 El polinomio factorizado es: \

9. Sea el polinomio

R = (3x + 4y)(2x + 3y)

P(x, y) = 4(x + y) – 3xz – 3yz. Halle uno de los factores primos: a) 2 - z d) 2x - y

b) x - y e) 2z - x

EJERCICIOS Nº 13

c) 4 – 3z

1. Factorice: 6x2 - x - 2; e indique uno de sus factores primos:

10. Factorizar: (x – 3)2 – (x + 3)2 a) –8x d) x + 1

b) x - 2 e) -12x

a) 3x - 2 d) x - 1

b) 3x + 2 e) 2x - 1

c) x + 1

c) x - 3 2. Indique el factor primo de mayor suma de coeficientes: P(x) = 2x2 + 5x - 12

TEMA 13

a) x + 4 d) x - 3

FACTORIZACIÓN II

b) 2x - 3 e) x - 4

c) 2x + 3

(Método del Aspa Simple) 3. Al factorizar:

Se obtiene un factor primo de la forma (ax + b); halla “a + b”

3. Método de Aspa Simple: Cuya forma General es: Ax2m + Bxmyn + Cy2n

ÁLGEBRA

P(x) = 3x2 – 7x – 6

a) 2 d) 5  39 

b) 3 e) 6

c) 4


10. Halle (a + m + d) según al esquema: 4. Uno de los factores primos de: d2 + (b + c)d + bc es: a) d + b b) d - c d) d - b e) c - d

c) –d - b

5. Si el polinomio: P(x) = ax2 – 26x + a ; se factoriza así: P(x) = (ax – 1)(x – a) 2

Halle el valor de (a + 3) a) 24 d) 27

b) 25 e) 28

c) 26

a) 5 d) 4

b) 7 e) 0

c) 2

11. Factorizar: x4 + 5x2 + 6 Halle un factor primo:

6. Al factorizar un polinomio M(x) mediante el criterio de aspa simple se obtuvo el siguiente esquema:

a) x2 - 7 d) x2 + 7

b) x2 - 2 e) x2 + 2

c) x + 1

12. Halle la suma de factores primos de: x8 – 7x4 + 12 a) 3x2 + 2x + 2 b) 2x2 - 3 c) 2x2 + 3x - 2

Halle (a + b + m) a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

d) 2x2 +4 x + 5 e) N.A.

c) 12

7. Indique un factor primo de: 13. Halle la suma de factores primos de :

x2 + 2xy + y2 - 1

3w4 + 8w2 + 5 a) x + y + 2 d) x + y + 1

b) x + y - 3 e) x – y + 1

c) x + y - 2 a) 2w2 - 3 d) 3w2 + 6

b) 2w - 6 e) 4w2 + 6

c) 5w

8. Factorice los polinomios: Q(x) = x2 – x – 2;

14. Halle la suma de coeficientes de los factores primos de: 18p4 – 13p2 - 5

P(x) = x2 + 3x + 2

e indique un factor común: a) x -2 d) x + 3

b) x + 2 e) x - 1

a) 21 d) 24

c) x + 1

9. Obtenga la suma de los factores primos de :

a 2 - 2a -

5 4

a) 2a - 5 d) 4a - 4

c) 23

15. Factorice: 2x2 + 11x + 14; e indique uno de sus factores primos: a) 3x - 2 d) x - 1

b) 2a + 1 e) 3a - 4

b) 22 e) 25

b) 3x + 2 e) 2x - 1

c) x + 2

c) a + 1 16. Indique el factor primo de mayor suma de coeficientes: P(x) = 9x2 + 9x + 2

ÁLGEBRA

 40 


a) 3x + 2 d) x - 3

b) 2x - 3 e) x - 4

c) 2x + 3

1. Indique un factor primo de: x2 + 4xy + 4y2 - 1

P(x) = 2x2 + 7x – 15

17. Al factorizar:

Se obtiene un factor primo de la forma (ax + b); halla “a + b” a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

a) x + y + 2 d) x + 2y + 1

b) x + y - 3 e) x – y + 1

c) x + y - 2

2. Factorice los polinomios:

c) 4

Q(x) = x2 + x – 6;

P(x) = x2 + 3x - 10

e indique un factor común: 18. Uno de los factores primos de: a) x -2 d) x + 3

d2 - (b + c)d + bc es: a) d + b d) d - b

b) d + c e) c - d

b) x + 2 e) x - 1

c) x + 1

c) –d - b 3. Obtenga la suma de los factores primos de : 3a2 - 2a - 1

19. Si el polinomio: a) 2a - 5 d) 4a

P(x) = ax2 – 10x + a ; se factoriza así: P(x) = (ax – 1)(x – a)

b) 2a + 1 e) 3a

c) a + 1

Halle el valor de (a2 + 3) a) 24 d) 27

b) 14 e) 12

c) 26 4. Halle (da + m) según al esquema:

20. Al factorizar un polinomio M(x) mediante el criterio de aspa simple se obtuvo el siguiente esquema:

a) 15 d) 14 Halle (a - b + m) a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

b) 17 e) 18

c) 10

5. Factorizar: x4 - 3x2 - 10 Halle un factor primo:

c) 12

a) x3 - 7 d) x3 + 7

b) x3 - 2 e) x2 + 2

c) x + 1

6. Halle la suma de factores primos de: 6x8 – 7x4 - 3

Tarea Tarea Domiciliaria Domiciliaria Nº Nº 13 13 ÁLGEBRA

a) 3x2 + 2x + 2 b) 2x2 - 3 c) 2x2 + 3x - 2  41 

d) 2x2 +4 x + 5 e) 5x4 - 2 1er AÑO DE SECUNDARIA

d) 5x - 4

e) 5x + 2

7. Halle la suma de factores primos de : 2w8 - 7w4 - 15

4. Si el polinomio: P(x) = x2 + mx + 3n Se factoriza así: P(x) = (x + 7)(x - 3)

a) 3w4 - 2 d) 3w2 + 6

b) 2w - 6 e) 2w4 + 6

c) 5w

Halle (m + n)

8. Halle la suma de coeficientes de los factores primos de: 2p2 – 17p + 30 a) -21 d) -4

b) 12 e) -8

a) 11 d) -3

b) -11 e) -7

c) 3

5. Dado el polinomio: P(x) = x4 – 13x2 + 36

c) -10

Indique el factor primo de mayor suma de coeficientes: a) x + 3 d) x - 3

b) x + 2 e) x - 2

c) x2 + 9

6. Si el polinomio: P(x) = ax2 – 26x + a Se factoriza así: P(x) = (ax –1)(x-a) Calcule el valor de: a2 + 1 a) 5 d) -5

b) 25 e) 26

c) 10

TEMA 14 FACTORIZACIÓN III

7. Luego de factorizar: P(x) = 2x2 + 7x + 6; Q(x) = 3x2 + 2x – 8 Indique un factor en común.

(Método del Aspa Simple) EJERCICIOS Nº 14 1. Indicar el factor primo cuadrático de mayor suma de coeficientes, después de factorizar: M(x) = x4 + 4x2 + 16

a) x - 2y d) x - 3y

2. Señalar el factor primo de mayor suma de coeficientes: x2 - 4x - 21 b) x + 2 e) x + 5

c) x – 7

ÁLGEBRA

b) 2y + x e) x + 3y

c) x2

P(a¸ b) = a2 – 2ab + b2 - 1 b) a + b + 1 e) a + b

c) a - b

10. Al factorizar: x4 + 2x2 – 35

Halle la suma de sus factores primos: b) 5x - 2

c) 5x + 1

9. Indique un factor primo de:

a) a - b + 1 d) a + b - 1

3. Dado el polinomio: P(x) = 6x2 - 7x - 3

a) 5x + 4

b) 2x + 3 e) 3x - 4

8. Indique uno de los factores primos en: 3x4y – 3x3y2 – 18x2y3

a) x2 + x - 2 b) x2 + 2x - 4 c) x2 + x - 8 d) x3 + 8 2 e) x + 2x + 4

a) 3x + 2 d) x + 3

a) x + 4 d) x + 2

Se obtiene una expresión de la forma (ax + b)(cx - d).

c) 5x - 6

Hallar a2 + b2 + c2 + d2  42 


6x2 - 20xy + 6y2 + 25x – 11y + 4 a) 47 d) 38

b) 86 e) 76

c) 68

Indique el menor valor de los coeficientes de sus factores primos.

TEMA 15

a) -2 d) 1

FACTORIZACIÓN IV (Método del Aspa Doble)

b) -3 e) 6

c) -4

2. Indicar la cantidad de factores primos en: w2 – 2wa + a2 + 2w – 2a + 1

4. Método de Aspa Doble: Se usa para estructuras que se pueden factorizar parcialmente por aspa simple.

a) w – a + 1 d) 2

b) w + a + 1 e) 3

c) 1

Forma General: 3. Factorizar: 15x2 + 14xy +3y2+ 41x + 23y + 14 Y dar uno de los factores primos: a) 3x – y + 7 c) 3x + y + 7 e) x + y + 7

b) x + 3y d) 3x + y - 7

Se cumple que: B = a1c2 + a2c1; E = c1f2 + c2f1; 4. Al factorizar :

D = a 1f 2 + a 2f 1

12x2 – 7xy – 10y2 + 59y – 15x - 63

Ejemplo:

Se obtiene un factor de la forma

Factorizar: E = 6x2 + 5xy + y2 – yz - 4xy - 2z2

(ax + by – c); Hallar “a + b + c”

Resolución: Factorizando parcialmente por aspa simple, tenemos:

a) -3 d) -5

b) -4 e) 5

c) 14

5. Al factorizar el polinomio P(x) mediante el criterio de aspa simple se realizó lo siguiente:

Los factores son: \

E = (3x + y + z)(2x + y - 2z) Hallar a + m + d a) 2 d) 5

EJERCICIOS Nº 15

c) 8

6. Factorice:

1. Al factorizar : ÁLGEBRA

b) 7 e) 4

 43 


M(x) = mnx2 + (m +n)x + 1 ; e indique la suma de coeficientes de uno de sus factores primos: a) m + n d) m

b) n e) m + 1

c) m + n + 2

7. Factorizar:

12. Indicar la suma de factores primos en: x2 + 3xy + 2y2 – y - 1 a) 3x-2y d) 2x+y

b) 2x+3y e) 3x+2y

c) x+y

13. Factorizar: x2 + 3xy +2y2+ 6x + 11y + 5

2

2

18x – 9xy – 20y + 46y + 24x – 24 e indicar un factor primo a) 2x + 3y - 4 b) 3x + 4y - 6 c) 6x + 5y - 4

Y dar uno de los factores primos: a) 3x – y + 7 c) 3x + y + 7 e) x + y + 5

d) 6x – 5y + 4 e) 2x – 3y + 6

8. Factorizar: 6x2 + 3xy - 9y2 - 10x + 15y – 4

b) x + 3y d) 3x + y - 7

14. Al factorizar : 3x2 – 5xy – 2y2 + 10x – 13y + 7

y dar la suma de sus factores primos:

Se obtiene un factor de la forma a) 4x + 2y -1 b) x – 3y + 2 c) 3x + 1

d) 5x - 3 e) 6x + 1

(ax + by + c); Hallar “a + b + c” a) 13 d) 10

9. Factorizar: 2

c) 14

15. Al factorizar el polinomio P(x;y) mediante el criterio de aspa doble:

2

15x –xy – 6y + 34x + 28y – 16

P(x;y)=x2 + 2xy + y2 + 5x + 5y

e indicar un factor primo a) 5x +3y -2 b) x + y - 2 c) 5x – 2y + 4

b) 11 e) 5

Se obtiene un factor primo de la forma: (ax+by+c). Hallar a + b + c

d) x – 3y + 2 e) 5x – 5y + 2

a) 2 d) 5

b) 7 e) 4

c) 8

10. Factorizar: F(m,n) = m8 – 16n8 E indicar el número de factores primos: a) 2 d) 5

b) 3 e) 8


c) 4

1. Factorice:

11. Al factorizar : 2x2 - xy - y2 + 5x – 2y + 3 Indique el menor valor de los coeficientes de sus factores primos. a) -2 d) -1 ÁLGEBRA

b) -3 e) 6

M(x) = x2 + (a +b)x + ab ; e indique la suma de coeficientes de uno de sus factores primos: a) a + b d) b

c) -4

 44 

b) a e) a + 1

c) a + b + 2


Factor Común de dos o más Polinomios:

2. Factorizar: 2

2

x + 2xy + y + y + x – 42 e indicar un factor primo a) 2x + 3y - 4 d) 6x – 5y + 4 b) 3x + 4y - 6 e) x – y + 6 c) x + y - 6

P ( x )  M ( x ). f ( x ) Q ( x )  M ( x ). g ( x )

3. Factorizar:

Ejemplo:

6x2 + 5xy + y2 - x – 1

Sean:

y dar la suma de sus factores primos: a) 4x + 2y -1 b) x – 3y + 2 c) 3x + 1

Diremos que M(x) será un factor común a dos polinomios P(x) y Q(x) si existen otros polinomios f(x) y g(x) no nulos de tal manera que sea posible expresarlos como:

P(x) = (2x - 1)2(x - 3)3(5x - 2) Q(x) = (x - 2)(2x - 1)(5x + 2)5

d) 5x - 3 e) 6x + 2y

Sus factores comunes son: (2x - 1); (5x + 2) y (2x - 1)(5x + 2)

4. Factorizar:

1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR

8x2 – 2xy – y2 + 16x + y + 6

(MCD)

e indicar un factor primo a) 5x +3y -2 b) x + y - 2 c) 2x – y + 3

Dos o más polinomios no constantes, llamaremos como Máximo Común Divisor al factor común de menor grado.

d) x – 3y + 2 e) 5x – 5y + 2

2. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

5. Factorizar: F(m,n) = m4 – 16n4

(MCM)

E indicar el número de factores primos: a) 2 d) 5

b) 3 e) 8

El m.c.m. de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de contener a cada uno de los polinomios. Se obtiene factorizando los polinomios y viene dado por la multiplicación de factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

c) 4

TEMA 16

Teorema:

M.C.D. Y M.C.M.

Dados los polinomios P(x) y Q(x) se cumple que:

De Expresiones Algebraicas

P(x).Q(x) = MCD(P; Q).MCM(P; Q) Factor de un Polinomio: Dados dos polinomios P(x) y Q(x), se dice que Q(x) es un factor de P(x); sí solo sí: que la división P(x):Q(x) es exacta. En tal caso es posible expresarlo como:

P ( x ) Q ( x ). H ( x )

EJERCICIOS Nº 16 1. Sean los polinomios:

Donde:

P(x) = x2 + 6x + 8;

H(x): es un polinomio no nulo.

Halle el MCD de P y Q

ÁLGEBRA

 45 

Q(x) = x2 – x - 6


8. Si: Q(x)= x2 – 3x – 28; es equivalente a: a) x+2 e) x+5

d) x-3 c) x-2

b) x+3

P(x) = (x + a)(x + b); Halle a + b a) 1 d) 4

2. Sean los polinomios: P(x) = x2 – 7x + 10;

c) 3

Q(x) = (x - 5)(x + 1)

Indique el MCD de P y Q a) x + 3 d) x + 5

b) 2 e) 5

b) x - 5 e) x - 1

9. Si el MCD de los polinomios A (x) y B(x) es (x + 2) y su MCM es (x - 3). Halle la suma de coeficientes de A(x).B(x)

c) x - 3

a) 5 d) -3

b) 6 e) -6

c) -5

3. Halle el MCD de P(x) y Q(x): Q(x) = x4 - 3x2 + 2 ; P(x) = x2 - 1: a) x2 - 2 d) x2 - 3

b) x2 + 1 e) x2 - 1

10. Si (x + 3) es el MCD de los polinomios: A(x) = x3 - 3x2 – 13x + B’

c) x2 + 2

B(x) = x2 - 4x + A’ Halle A’ - B’

4. Sean los polinomios: Q(x) = x2 + 4x – A y otro P (x) cuyo MCD(R; A Q) es (x - 3). Halle 3 a) -3 d) -6

b) -4 e) -7

a) 18 d) -6

b) 21 e) -36

c) 36

c) -5

5. Sean Los polinomios: A(x) = x(x + 1) + 1 + x ;

B(x) = x2 - 1

Hallar MCD (A; B) a) x - 1 d) x - 3

b) x + 1 e) x + 2

c) x + 4

6. Halle el MCD de P(x) y Q(x): P(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6 ; Q(x) = x2 + x - 12 a) x+2 d) x-5

b) x-3 e) x+6

TEMA 17

c) x+4

FRACCIONES ALGEBRAICAS Fracción Algebraica:

7. Un posible cero racional de:

Llamamos así a la división indicada de 2 expresiones algebraicas en donde por lo menos el denominador es diferente de una constante numérica.

P(x) = 2x3 - 5x2 - 23x – 10; es: a) -2 d) 2

ÁLGEBRA

b) 1/2 e) 1

c) -5

Ejemplos:

 46 


En este caso se multiplican numeradores entre sí y lo mismo se hace con los denominadores:

x2  1 x2  1 x2  2 x  8 ; ; x 1 x 1 x4

a c e acd . .  b d f bdf

Signos de una Fracción: En una fracción existen: a) Signo del numerador.

3. La división:

b) Signo del denominador

Para efectuar la operación se invierta la segunda fracción y luego se efectúa como una multiplicación:

c) Signo de la fracción propiamente dicha.

f 

x y

a c a d ad �  .  b d b c bc

Si intercambiamos un par de signos por un mismo signo, el valor de la fracción no se altera:

f 

Ejemplos: 1. Reducir:

�" menor  o  igual  que "� �NoEstricto �" mayor  o  igual  que "�

x x x x    y y y y

Regla Para Simplificar Fracciones:

Resolución:

Debemos factorizar el numerador y el denominador, para luego eliminar los factores comunes:

Factorizando todos los términos, tenemos:

Ejemplo: Simplificar:

f 

( x 2  9)( x  1) x3  6 x 2  11x  6

2.

Resolución: Factorizando y simplificando; tenemos:

f 

A

b ( a  b ) b( a  b )  ab a( a  b )

A

a b b a  1 a a

Efectuar:



A=1

x 2  x  2 x 2  7 x  12 A  x2  2x  3 x2  6x  9

Resolución:

( x  3) ( x  3) ( x  1)

Factorizando por aspa simple a todos los términos y simplificando, tenemos:

( x  3) ( x  2) ( x  1)

x3 f  x2

A

( x  2)( x  1 ) ( x  3 )( x  4)  ( x  3)( x  1 ) ( x  3)( x  3 )

A

x  2 x  4 2( x  3 )   2 x3 x3 x3



OPERACIONES CON FRACCONES

A=2

1. La Adición o Sustracción: Se debe obtener denominadores:

el

mcm

de

los EJERCICIOS Nº 17

a c e adf  cbf  ebd    b d f bdf 1. Reducir:

2. La Multiplicación:

ÁLGEBRA

 47 


(a 2  1)(a 2  a  1)

a2  1 a2  4  a 1 a2 a) 1 d) a

a3  1

7. Reducir

b) 2 e) a +1

c) 3

a) -4 d) -1

b) -3 e) 1

2. Simplificar: 2

2

2

8. Reducir:

2

(a  1)(a  a  1) (a  1)(a  a  1)  a1 a1

a) a3 d) 3a3

b) -a3 e) -2a3

N

x2  x x 1

a) 3 d) 7

c) 2a3

a

c) -2



x2  4 x2

b) 5 e) 6

c) 8

9. Reducir 3. Efectúe:

� � � 1 + (a + x)- 1 � � ��a + x - 1 � .4 - 1� � 1- (a + x) �� 2a + 2x + 2 � � � �

  1  1    ( x  y )1  ( x  y )1 x  y x  y     a) y d) x

b) 2y e) –y

a) 1 d) 4

c) -x

b) 2 e) 5

c) 3

10. Simplificar: 4. Efectúe:

2

x 2  2x x2  4  2x  4 x2 a) d)

x 4 2  x4 4

b)

x 4 2

c)

 x4 2

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

e) 1

5. Reducir:

11. Reducir:

1 1   xy     .   . 10 y   2x  2y  x a) 1 d) 4

2

3 3   a    a    3 2 2    2 (a  2)  (a  1)2

b) 2 e) 5

ab  b2 ab  b2 E  ab ab  a 2 c) 3 a) –a/b d) b/a

b) –b/a e) 1

c) a/b

6. Simplificar:

n2 + 2n + 1 n2 - 6n + 9 n +1 n- 3 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5 ÁLGEBRA

12. Efectuar: A

x2  x  2 2

x  2x  3



x 2  7x  12 x 2  6x  9

c) 3 a) -2 d) 1  48 

b) -1 e) 2

c) 0


13. Efectuar: B

x2  3 x

19. Efectúe:

2x 2  x  3



x 2  3x  4

a) -3 d) 2

x 2  10x  9 x 2  5x  4

a) x d) 2

b) -2 e) 3

x 2  5x  4 2 14. Simplificar: x  8x  7

Halle la suma numerador



de

x 2  8x  12

b) 3x e) 2x

coeficientes

del

a) 6 d) 4

b) 7 e) 5

c) 8

b) 8 e) -8

c) 0

x2 2. Reducir b) 2 e) x +1

c) 3 a) -4 d) -1

x2  1

17. Simplificar:

x 1

1 3. Reducir:

a) x3 d) 3x

b) -x e) -2x

c) x a) 4 d) 7

18. Efectúe:

N

a) y d) x

�1 1 � .�  � ( x  y ) �y x �

b) 2 e) 5

A

c) 3

3ab �1 1 � .�  � a  b �a b � b) -3 e) 3

(

c) -2

)

�6 xy � M  x1  y1 � � �x  y � b) 5 e) 6

c) 8

xy

b) 2y e) 1

4. Reducir:

c) -1 a) 1 d) 4

ÁLGEBRA

x2  2 x  1 x2  5 x  x 1 x

a) 6 d) 4

x2  2 x

a) 1 d) x

c) 3


1. Simplificar:

16. Reducir:

c) x+1

�1 1 � � xy � .18 � � � � �x y � �3 y  3 x � � � � �

x 2  9 x 2  49  x3 x 7

a) -10 d) 10

x 1

x 2  9x  14

b) 12 e) 7

15. Reducir:



c) 1 20. Reducir:

a) 10 d) 14

x3

x2  x

 49 

x3  2 x 2  ( x  2) x2 b) 2 e) 5

c) 3


TEMA 18 1 �1 1 � �7 x  7 y � 5. Simplificar: �  � . � � �x y � � xy � � � � � a) 1 d) 4

b) 2 e) 7

6. Reducir:

BINOMIO DE NEWTON FACTORIAL: Factorial de un número entero y positivo es:

c) 6

n !1.2.3.L .( n 1).n ;n�

Ejemplos:

mn  n 2 mn  n2 E  nm mn  m 2

2! = 1.2 = 2

5! = 4!.5 = 120

3! = 1.2.3 = 6 6! = 5!.6 = 720 4! = 1.2.3.4 = 24

a) –m/n d) n/m

b) –n/m e) 1

c) m/n

7! = 6!.7 = 5040

Pos convención: 0! = 1; 1! = 1 Propiedades:

x2  4 x2  9 7. Efectuar:  x2 x3 a) -2 d) 1

1. n! = (n-1)!.n 2. Si a! = b!

b) -1 e) 2

3. si a! = 1

c) 0



a=0





0

a=1

COMBINATORIOS

8. Efectuar:

B

a = b y ab



Una combinación de un número de elementos es una disposición de una parte de ellos prescindiendo del orden

x2  3 x  4 x2  x  6  x2  2 x  3 x2  9

a) -3 d) 2

b) -2 e) 3

Definición:

n! Cn  ; n �k ; n �� k k !( n  k ) !

c) 1

Donde se lee: “combinación de n elementos tomados en grupos de k en k” 9. Simplificar:

a) 10 d) 14

10. Reducir:

x x2 b) 12 e) 1



2 Ejemplo:

x2

C24 

c) 8

�1 � � 1 �  1� 1 � � � �x  2 � � x3�

4! 1.2.3.4  6 2!.(4  2)! (1.2)(1.2)

PROPIEDADES: <1>.

a) -1 d) 1

ÁLGEBRA

b) 2 e) -2

c) 0

Combinatorios Complementarios:

Cn  Cn k nk  50 


Ejemplos: C35  C25

n P( x; a)  ( x  a) n  � C n x n  k a k k k 0

Porque 3 + 2 = 5

20 C 20 C18 2

Porque 18 + 2 = 20

Donde:

Para el alumno:

x: primer base

a: segunda base

21  C13

Ejemplo

C12 5 =

Desarrollar en forma de polinomio a: (x + 2)4:

TEOREMA

=

n n Si: C  C � k  p �n  k  p k p

4 4 0 4 3 1 4 2 2 4 1 3 4 0 4 C0 x 2  C1 x 2  C 2 x 2  C3 x 2  C 4 x 2

= x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16

Ejemplo:

Propiedades: C426y 1 C 26 y 2

Resolución:

P(x; a) es un polinomio completo y homogéneo cuyo Número de términos es (n +1).

Aplicando el teorema:

Los

Hallar “y”, si:

k = 4y-1; p = y + 2; n = 26

Término General:

Luego: 4y – 1 = y + 2 o 26 = (4y -1) +(y+2) y=1  cs

o

Contado e izquierda a derecha:

y=5

t k 1  Ckn x n  k a k uuuu u x

= {1; 5}

<2>.

coeficientes de los términos equidistantes de P(x; a) son iguales.

Suma de Combinatorios:

C n  C n  C n  1 ; n>k k k 1 k 1 Ejemplos: 

C25  C35 C36



C47  C57  C58

<3>.

Degradación de Índices:

EJERCICIOS Nº 18

Ambos índices:

n C n  .C n  1; n > k k k k 1

1. Hallar el término de lugar 7 en la expansión de (x2 + 2)8

BINOMIO DE NEWTON:

a) 3584x4 d) 84x8

Sirve para desarrollar a una potencia de la forma (x+a)n

b) 584x5 e) 1792x4

c) 3584x6

Forma Reducida: ÁLGEBRA

 51 


2. Halle el coeficiente del término 3, en: 1  3  2x   2  

Hallar “n”

5

a) 5 d) 9

a) 60 d) 40

b) 120 e) 20

b) 6 e) 11

c) 10

c) 300 9. Halle el término independiente de “x” en: 9

3. Halle el tercer término del desarrollo de: (x + a)6 a) x6 d) 15a4

b) 15x4 e) 15x4a2

a) 164 d) 42

c) a4

4. Halle el quinto coeficiente del desarrollo de:

x    4 2 

� 1 � �x  2 � � x � b) 64 e) 120

10. Calcular “n” en

n

5

12

C

9



13

C

11

a) 55 d) 455

a) 640 d) 1280

b) 645 e) 120

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5



12

14

10

12

C C

b) 340 e) 745

c) 620

c) 320 11. Calcular: 2

2

3

C0  C1  C 2

(n  3)! (n  1)!  (n  2)! n!

5. Simplificar:

c) 84

a) 6 d) 8

c) 3

b) 3 e) 12

c) 4

12. Si:

6. Hallar n2

Si:

a) 6 d) 8

(n  2)!  10 (n  1)!

b) 7 e) 2

2

a) 20 d) 12

c) 64

(n  1)!  12 7. Si: (n  1)! ; Hallar “n”

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

2

3

4

N  C 0  C1  C 2  C 3 b) 6 e) 8

c) 10

13. Efectuar: 1! 2! 3! 10!    ...  0! 1! 2! 9!

c) 3

a) 65 d) 10

b) 100 e) 55

c) 30

8. Si:

(n  1)!. n!  120.(n  2)! (n  1)!  n! ÁLGEBRA

14. Hallar el cuarto término en el desarrollo de:  52 


( x  2) !  1

(x 5  2y)6 a) 160x3y15 c) 160x15y3 e) N.A.

a) 15 d) 14

15. Calcular el mayor valor de “m + n”, sabiendo que:

C

n 3

n 4

n 5

b) 30 e) 34

x

b) 12 e) 17

2

c) 13


18 m

 2C  C  C

a) 29 d) 28

x 1

Indique el valor de: x 2  x 1

b) 120x15y3 d) 80x2y15

c) 20 1. Hallar x2 Si:

16. Hallar el término de lugar 4 en la expansión de (x3 + 2)5 a) 84x6 d) 80x6

b) 584x6 e) 1792x6

c) 3584x6

a) 36 d) 25

17. Halle el coeficiente del término 3, en:

b) 20 e) 64

c) 30

a) 1 d) 4

b) 60x4 e) 30x4

c) 40x4

b) 2 e) 5

c) 3

�x � !  120 , Hallar “x” �  1� �2 � b) 16 e) 11

c) 12

4. Halle el término independiente de “x” en:

4 � 1 � �x � x� �

6 �x � �  3� �3 � b) 135 e) 136

a) 16 d) 4

c) 320

b) 6 e) 12

c) 8

5. Calcular “n” en

20. Sean x1; x2 raíces de la ecuación: ÁLGEBRA

3. Si:

a) 15 d) 19

19. Halle el quinto coeficiente del desarrollo de:

a) 640 d) 123

c) 64

( x  3) !  2 ; Hallar “x” ( x  4) !

18. Halle el tercer término del desarrollo de: (x - 2)6 a) 60x6 d) 60x5

b) 49 e) 16

2. Si:

5 � 2 1� �2 x  � � 2� a) 60 d) 24

( x  4) !  10 ( x  3) !

 53 


n  C 4  C4  C5  C6  C7 1 2 3 4 5 a) 55 d) 45

b) 40 e) 75

6. Calcular:

C5  C 6  C5 1 2 0

a) 16 d) 21

RADICACIÓN I c) 56

RACIONALIZACIÓN DE RADICALES Racionalizar un número Irracional, consiste en transformar al número en racional.

b) 31 e) 12

Ejemplo de números Irracionales:

1 2

c) 41 1.

3

3

b) 60x e) 80x3

7 3 1

3

;

c) 40x

Expres ión Irracio nal

3

8. Halle el término central de:

6 �2 1 � x  � � x� � a) 20x3 d) -10x3

;

3 2

Se debe buscar el factor racionalizante F.R., a continuación se da una tabla de factores racionalizantes:

( x  2) 5 a) 20x d) 12x3

2

Procedimientos:

7. Halle el término central del desarrollo de:

3

;

b) -20x3 e) 55x3

c) -30x3

Factor Racional izante

Expresión racionaliza da

a

a

A

a b

a b

a–b

2.

Se multiplica por FR tanto al numerador y el denominador del número irracional.

3.

se efectúa la multiplicación.

Ejemplo1: 9. Hallar el cuarto término en el desarrollo de:

( 2x  3y ) 6

Racionalizar:

2 3

Resolución: a) 160x3y15 c) 160x15y3 e) 4320x3y3

b) 4120x15y3 d) 800x2y15

El factor racionalizante es 3 , porque es el único número que multiplicado por 3 le convierte en 3:

2.FR 10. Calcular la suma de coeficientes del desarrollo de:

3.FR



2. 3 3. 3

Efectuando queda:

( x1) 6

2. 3 3

a) 32 d) 256

b) 64 e) 512

c) 128

La última expresión es un número racional. Ejemplo2:

TEMA 19 ÁLGEBRA

Racionalizar:  54 

3 5 2 1er AÑO DE SECUNDARIA

Resolución:

EJERCICIOS Nº 19

Según a la tabla el FR es

3. ( FR ) 5  2. ( FR )



(

5 2

, luego:

3.( 5  2) 5 2

)(

5 2

1.

8  3 32  5 2

)

a) 3 d) 6

Efectuando queda:

(

3.

5 2 5 2

)

Efectúe:

b) 9 e) 7

2 2

2

2

c) 5

5

5 2

2 20  3 45

2. Reducir:

REDUCCIÓN DE RADICALES Consiste en extraer un factor dentro del radical.

a) 7 d) 8

b) 10 e) 13

5 5

Número Cuadrado Perfecto: Son aquellos números que tienen raíz cuadrada exacta, ejemplo el {1; 4; 9; 16; … ; n2} Número Cubo Perfecto: Son aquellos números que tienen raíz cúbica exacta, ejemplos {1; 8; 27; 64; … ; n3} Números Primos: Son aquellos números que sólo tienen 2 divisores, que son el 1 y el número mismo, ejemplos {2; 3; 5; 7; 11; 13; …}

5 5

3 16  3 54 32

3. Reducir: a) 6 d) 5

b) 7 e) 4

4. Simplificar: a) 30 d) 45

c) 8

200  8  288 b) 35 e) 0

c) 40

Ejemplo1: Reducir:

c) 4

2

5. Factor racionalizante de

M  8  32

3 7

Es:

Resolución: La expresión que se da no se pueden sumar así tal como está, pero podemos extraer factores del interior de los radicales, para ello se debe descomponer 8 = 4.2 y al 32 = 16.2 siempre debe se un número cuadrado perfecto multiplicado por un número primo. M  4.2  16.2

Por la propiedad: a .b  a . ingresa a cada factor, así:

b

la raíz cuadrada

a) 3 d) 3

b) 7 e) 2 5

5

2 6. El factor racionalizante es: a) 7  d) 7

b) e)

3

7 3

M  2 2  4 2 6 2

Por lo tanto

7. Racionalizar: a) 7  3 d) 2 7 

M 6 2

ÁLGEBRA

A

 55 

3

7  3 c)

7 3

5

M  4 . 2  16 . 2

Efectuando la raíz cuadrada y términos semejantes queda:

c)

4 7 3

b) 4 e) Na.

c) 1


8. Racionalizar:

1 32


a)

5 3

b)

5 2

d)

3 2

e)

 32

9. Racionalizar:

a) d)

c)

3

a) 3 d) 3

b) 7 e) 2 5

5

7  3

c) 2

3

a) 7  d) 7

b) e)

3

17. Racionalizar:

b)2 e) 1

a) 3 2 d) 16

a) 7 d) 8

a) 7  3 d) 2( 5 

2

)

N  50  2 200 b) 25 e) 27

2

12. Reducir:

c) 6

c) 4

2

18. Racionalizar: 2

5

7 3

A

6 5 2

b) 4 e) 2( 5 

2

)

c) 1

1 5 2

2

2 20  3 80  500

5

c)

7 3 5

32

11. Efectúe:

c)1

4

5 3

3

a) 3 d) 4

Es:

16. El factor racionalizante es:

10. Racionalizar e indicar el denominador: 4

7

2 2

2

b) 5  e) Na.

5 3

7

b) 10 e) 6 5

c) 5

5

a)

5 3

b)

52

d)

3 2

e)

 32

5

19. Racionalizar:

13. Reducir:

c)

2 2

4 7 3

3 24  3 81 33

a) 6 d) 5

b) 7 e) 4

a) d)

c) 8

5 3 3

b) e)

5 2

c) 2

7 3

20. Racionalizar e indicar el denominador: 14. Simplificar:

a) 30 d) 45 ÁLGEBRA

b) 35 e) 22

28  2 700

5

7

11  6 c) 40

a) 3 d) 4  56 

b)2 e) 1

c) 0


7. Racionalizar:


a) 7  3 d) 2 7 

3

8. Racionalizar:

a) 3 d) 6

b) 9 e) 7

2 2

2. Reducir: a) 7 d) -

b) 10 e) 13

5

N

a) 6 d) 5

c) 5

5

c) 1 3

1 52

2

2

a)

5 3

b)

5 2

d)

3 2

e)

 32

N  7 5  2 20  4 45

5

3. Reducir:

c) 22

2

10  3

b) 4 e) 10 

1. Efectúe: 8  7 32  8 2

7

P

5

9. Racionalizar:

5

a) d)

3 8  18

3

2 2

5 7 2 b) e)

5 3

c)

5 2

c) 2

7 2

2 b) 7 e) 9

10. Racionalizar e indicar el denominador:

c) 8

3 7 2

4. Simplificar:

2 28  3 63

a) 30 d) 45

b) 35 e) 13


a) 3 d) 3

a) 1 d) 4

7

b) 7 e) 2 5

5

6. El factor racionalizante es:

a) 5  d) 7

3

ÁLGEBRA

b) e)

7 3

b)2 e) 5

c) 6

c) 40

7 7

TEMA 20 Es:

RADICALES DOBLES

c) 1

Son aquellos que se caracterizan porque dentro de un radical, se encuentra otras radicales relacionadas con las operaciones de adición y sustracción. Así:

2 5 3 c)

n

A �m B

Transformación de un Radical doble en Simple:

7 3

5

 57 


Los radicales dobles de la forma A B se pueden transformar a radicales simples de la forma: m  n de dos formas diferentes:

Aquí debemos extraer el número “2”, mediante el procedimiento que se muestra: 24  4.6  2 6

A� B  m � n

Luego reemplazamos en (**):

A. 1ra FORMA:

5  24  5  2 6  3  2

Utilizando la siguiente fórmula:

A� B  Donde:

AC AC ……(*) � 2 2

C  A2  B

……(1)

EJERCICIOS Nº 20

Ejemplo 1: Transformar a radicales simples: Resolución: Tenemos que hallar el valor de C; para ello debemos identificar A = 5; B = 24, luego reemplazando en (1):

a) 1 d) 5

Reemplazando en la fórmula (*), tenemos que:

2

c) 3

)

3  2 .  5  2 6   

b) 3 e) 0

c) 4

3. Efectúe:

Ejemplo 2: Transformar a radicales simples:

2. Efectúe:

(

a) 2 d) 1

5 1 5 1   3 2 2 2



b) 2 e) 4

C  52  24 1

5  24 

62 8

1. Efectúe:

5  24

(

7  2 12 . 3  2

11 6 2

)

Resolución: para el alumno. a) -2 d) 1

b) 2 e) -1

c) 3

4. Efectúe:

3 2

B. 2da. FORMA:

9  72

Utilizamos la forma general:

{

}

� �;L ;  2; 1;0;1; 3; p ;L  �

a) 2 d) 3

……(**)

3 6

b) 2 3  e) N.A.

6

c) 2

3 6

Donde: M = a + b y N = ab; a>b

5. Efectúe:

Ejemplo 3:

 5  2 6 .  5  2 6         

Transformar a radicales simples: 5  24

. a) 5

Resolución: ÁLGEBRA

 58 

b) 0

c) 1


d)

e)

3

2

12. Efectúe:

( 5  2 ). 

6. Efectúe:

13  2 12  a) 3 1 d) 1

7  2 12 b) 3 1 e) N.A.

a) 2 d) 1 c)

7  2 10 

b) 3 e) 0

c) 4

3

13. Efectúe:

(

9  2 20 . 5  2

)

7. Reducir: a) -2 d) 1

6  32 . (2  2 )

b) 2 e) -1

c) 3

( 3  2 )( 5  24 a) 5 d) 2

b) 6 e) 3

8. Efectúe:

b) 1 e) 4

9. Efectúe: a) d)

15. Efectúe:

c) 2

b) 2 e) 3

2

b) 2 e) 1

c) 3

      3 2 2 .  3  2 2     

a) 5 d) 2

 5  9  80

3

9  72

a) 5 d) 4

5  24  ( 2  3 )

a) 0 d) 3

6 3

14. Efectúe:

c) 1

b) 0 e) 3

c) 1

c) -3

10. Señale el denominador de la fracción racionalizado: 2


13  7

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

1. Efectúe: 11. Efectúe:

7  2 12  3

a) 1 d) 5

b) 2 e) 4 ÁLGEBRA

13  2 12 

c) 3

a) 3 1 d) 1  59 

7  2 12

b) e)

3 1

c)

3

3 3


Donde: El número “a” se llama la parte Real” de Z:

2. Reducir:

a  Re( z )

4  12 . (1  3 ) ( 5  2 )( 7  40 )

a) 5/3 d) 2/3

El número “b” se llama la parte Imaginaria” de z: b) 6 e) 3/2

b  Im( z )

c) 1/2

Igualdad de dos Números Complejos: 3. Efectúe:

10  84 

a) 0 d) 3

b) 2 e) 4

3

(

7 3

7

Dados dos números complejos:

)

c) 2

z1 = (a; b) y z2 = (c; d), se cumple:

z1  z2  a  c  b  d

3

Representación Gráfica

3

(En el Plano de Gauss) 4. Efectúe: a) d)

Consiste en representar en el plano cartesiano, donde el eje “x” representa al “eje real” y el eje “y” representa al “eje imaginario”, así:

 3  7  48 b) 2 e) 3

3 2

c) -3

5. Señale el denominador de la fracción racionalizado:

a) 1 d) 4

2 19  11

b) 2 e) 5

c) 3

Donde: uuur OZ :

es el radio vector del número complejo z = (a; b)

TEMA 21

Unidad Imaginaria: El número complejo (1; 0) es la unidad imaginaria; tiene la particular notación de:

NÚMEROS COMPLEJOS

i = (1; 0) Definición: Se llama número complejo a todo par ordenado de la forma (a;b) de componentes reales.

Teorema1: i2 = -1; i = (1; 0)

Notación:

z  ( a; b )  a  bi ; a , b �� ÁLGEBRA

1. Adición de Números Complejos:  60 


Sean los complejos: z1 = (a; b) y z2 = (c; d), además {a; b; c; d} �, se define:

( a ; b )  ( c; d )  ( a  c ; b  d )  ( a  c )  (b  d )i 2. Multiplicación de Números Complejos:

3. (1 - i)2 = -2i 4. (1 + i)4 = (1 - i)4 = -4 5.

1 i  2i 1 i

;

1 i 2 i 1 i

Sean los complejos: z1 = (a; b), z2 = (c; d). Se define:

z .z  (a; b).(c; d )  ( ac  bd ; ad  bc) 1 2

EJERCICIOS Nº 21 1. Calcular: M = (1 + i)4 + (1 – i)4

Ejemplo: Sean dos números complejos:

a) 0 d) –4i

z1 = (2; 3), z2 = (4; 5)

b) -8 e) 8

c) 4i

Entonces: La suma:

2. Calcular:

z1 + z2 = (2; 3) + (4; 5) = (6; 8)

2

 1 i   1 i  R      1 i   1 i 

La multiplicación:

2

z1.z2 = (2;3).(4;5) = (2.4 - 3.5; 2.5 + 3.4) 

a) 3 d) 0

z1.z2 = (-7; 22)

3. Potencia Entera Imaginaria: 1

de

la

unidad

c) 2i

 1  i5 1  i5    1  i 5 1  i5 

   

2

5

i =i

i =i

i2 = 1

i6 = -1

i3 = -i

i7 = -i

i4 = 1

i8 = 1

a) 0 d) –4i

o i4

a) 0 d) i

=1

Esto implica que la unidad imaginaria elevada a un número múltiplo de 4 es igual a la unidad y se representa así:

b) 1 e) -i

c) -1

5. Efectúe: B = i + i2 + i3 + i4 + … + i2007

i 4k  1; k ��

a) -i d) i

Generalizando:

i 4n  k  i k ; k �� 3

c) 4i

A = i + i2 + i3 + i4 + … + i203

Se observa principalmente que: i4 = 1, i8 = 1; i12 = 1; ... ;

b) -8 e) N.A.

4. Efectúe:

PROPIEDADES:

2

3. Calcular:

b) -2 e) 4i

b) 1 e) 0

c) -1

6. Halle el módulo de: Z = 3 + 4i

4n

1. i + i + i + ... + i = 0 a) 8 d) 4

2. (1 + i)2 = 2i ÁLGEBRA

 61 

b) 6 e) 7

c) 5


a) 1 d) –i

7. Encuentre el módulo de Z

1 i 1i  1i 1 i

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

8. Reducir:

c) 2

a) i d) -1

a) 20 d) 29

10. Calcular:

11. Calcular: i

1   1 E    1 i 1 i 

c) 2

a) i2 d) 2

a  bi  2  25i

b) 25 e) 26

a) 0 d) 2i

1314

i

b) 1 e) 3

c) -i

2

16. Calcular: E = (1 + i)10 – (1 – i)10

b) 4 e) 4i

910

c) -i

c) 39

a) 64 d) 64i

3  4i  3  4i

a) 3 d) 3i

b) 1 e) o

15. Reducir:

b) 1 e)

9. Hallar: a2 + b2; si

c) i

1 i 1 i  14. Reducir : 1  i 1  i

1 i 1 i  1 i 1 i

a) 0 d) 3

b) 1 - i e) 1 + i

c) 5

b) i e) -64i

c) 0

17. Sean: z1 = (4; y + 1) y z2 =(x – 3; 5 – y) Además z1 = z2 Calcular “x + y”

17 18

i

b) 2 e) 3i

a) 7 d) 10

c) 3

b) 8 e) 11

c) 9

18. Calcular: E = i4683 + i-527 a) 0 d) –2i

b) 1 e) 2i

c) i

12. Indicar el módulo de: 19. Hallar el valor de:

50 1 1 R   4  3i 1  i 1  i

a) d)

b) 15 e) 12

3 13 91

c)

a) 0 d) -i

23

2 E  i2

b) 1 e) -1

2

c) i

20. Hallar el valor de: 13. Reducir

25 i

ÁLGEBRA

 62 


6. Halle el módulo de: Z = 2 + 4i

55 5 E  i5

a) 8 d) 4

a) 1 d) i

b) 0 e) – i

b) 6 e) 2

5 5

c) 5

5

5

c) -1 7. Encuentre el módulo de

Z


1 i 1 i  1 i 1 i

a) 0 d) 3

1. Calcular: M = (1 + i)2 - (1 – i)2 8. Reducir: a) 0 d) –4i

b) -8 e) 8

b) 1 e) 4

c) 2

1 i 1 i  1 i 1 i

c) 4i a) 0 d) 3

b) 1 e)

c) 2

2. Calcular: 2

 1 i   1 i     R   1 i   1 i 

a) 3 d) 0

9. Hallar: a2 + b2; si

2

a  bi  2  (4  b)i b) -2 e) 4i

c) 2i

a) 10 d) 9

3. Calcular:  1  i9 1  i9    1  i9 1  i9 

10. Calcular:    

2

a) 0 d) –4i

4. Efectúe:

b) 2 e) 3i

c) 3

c) 4i 11. Indicar el módulo de:

z   (  2  3i )  2(1  2i )

A = i + i2 + i3 + i4 + … + i113 b) 1 e) -i

c) 8

2008 212009 i13 i

a) 0 d) 2i b) -8 e) N.A.

a) 0 d) i

b) 25 e) 16

a) d)

c) -1

3 13 17

b) 5 e) 1

c)

b) 1 - i e) 1 + i

c) i

3

12. Reducir

5. Efectúe:

29 i

B = i + i2 + i3 + i4 + … + i2010 a) –i+1 d) i-1

ÁLGEBRA

b) 1 e) 0

a) 1 d) –i

c) -1

 63 


13. Reducir :

5x-4x=8+3

i125  i121

a) i + 1 d) i -1

b) 1-i e) o

x = 11 Discusión de la Raíz:

c) -i

Sea la ecuación lineal: ax + b = 0, entonces la raíz de la ecuación dada es x = -b/a.

14. Calcular: E = (1 + i)20 + (1 – i)20 a) 2048 d) 64i

b) 1048 e) -1048

1. Si a  0 �b  0 , entonces la ecuación es Indeterminada.

c) -2048

2. Si a = 0, b  0, entonces la ecuación es incompatible.

15. Hallar el valor de:

3. Si a  0;b  0 , entonces la ecuación es determinada.

E  i 4  8  12  16  L a) 0 d) -i

b) 1 e) -1

Ejemplos:

c) i

1. Hallar el valor de “x”, en: x 20 10  x  3 3

Resolución:

TEMA 22

Multiplicando ambos miembros por 3:

ECUACIÓN DE PRIMER

x   20  3 10   3 x   3  3  

GRADO

x + 30 = 3x + 20 10 = 2x

Ecuación de Primer Grado o Lineal:



x=5

La ecuación lineal con una incógnita tiene la forma:

ax  b  0; a �0 Tiene solución única: EJERCICIOS Nº 22

b x  a Por tanto, para resolver una ecuación de primer grado con una variable se transpone todo los términos que contienen a la variable a un miembro de la ecuación y todos los términos que no contienen al otro miembro de la ecuación, y se realizan las operaciones para despejar a la incógnita.

1. Resolver:

a) 1 d) 4

3x  5 2

 x

9 2

b) 2 e) 5

c) 3

Ejemplo: 2. La ecuación lineal en “x”:

Resolver: 5x-3=4x+8

(a – 7)x3 + (b+3)x2 + (c - 2)x = c

Resolución:

Tiene como solución a “2”.

ÁLGEBRA

 64 


Calcular: a + b + c a) 8 d) 7

b) 6 e) 9

a) 5/3 d) 2/3

c) 5

b) 7/3 e) 3/7

c) 3/5

9. Resolver: 4x + 2(57 – x) = 178 3. Resolver:

x

a) 1 d) 4

x x x 1 1 1  L    L  1 2 3 20 20 19 2

a) 3 d) 1/2

4. Resolver:

b) 2 e) N.A.

x 1 x 1

a) 1 d) 0



c) 32

10. Resolver:

c) 1

x x  4   16 2 4

3 2

a) 11 d) 14

b) 2 e) 5

5. Resolver la ecuación:

a) 24 d) 26

b) 2 e) 5

b) 21 e) 80

c) 32

c) -2 11. Resolver:

x2 x2



b) 2 e) 22

xa a  x 7a 6  2 5 10

6 5 a) 10 d) 40

c) 3

b) 20 e) 60

c) 30

12. Resolver: 6. Resolver:

2( x  1) 3( x  1) 7 x  1   5 10 10

x 1 x 1 8   2 x 1 x 1 x 1 a) 1 d) 2

b) 0 e) 3

a) 1 d) 4

c) 4

b) 2 e) 5

c) 3

13. Resolver:

x4 x  14 3x  1   2 3 5 15

7. Resolver:

3x  1 x  1 1   1 2 3 5 a) 3 d) 1/2

b) 35/61 e) 55/61

a) 31 d) 41

c) 19

b) 23 e) 25

c) 33

8. Resolver: 14. Resolver:

x x x x x x      2 2 6 12 20 30 42 ÁLGEBRA

5x 7 x 4x  5 8x  5 11x  3    4  2 5 2 5 2  65 


a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3


x  (2 x  1)  8  (3 x  3)

15. Resolver: a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

1. Luego d resolver la ecuación, indique e valor de 11x:

3� 1� 3 1� 5�  �x  �  �x  � 4 4 � 3� 5 5� 4� 3

16. La ecuación lineal en “x”:

x2 3



1 2



x 1 4

a) 8 d) 7

a) 3 d) 1/2 b) 16 e) 19

17. Resolver:

x 2

 2

a) 3 d) 12

18. Resolver:

x 12

c) 1

c) 11

x  3 ( x  1)  6  4 ( 2 x  3 )

2. Resolver:



x 6



b) 2 e) -13

5

a) 1/3 d) -1/4

4 c) 13

c) 3/5

5 ( x  1)  16 ( 2 x  3 )  3 ( 2 x  7 )  x

1 5 3x   2x   4 5 4 20 b) 0,2 e) 0,3

b) 1/4 e) 3/7

3. Resolver:

3x

a) 1,5 d) 0,5

b) 3/7 e) 5/6

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) -0,2

x

4. Resolver:

2

2

c) -2

x 12



x 6



5 4

19. Indique el valor de 13x, en:

3 ( x  1) 

4. ( x  1)

a) 13 d) 12

3

a) 11 d) 14

1

b) 8 e) 43

c) 53

2

2� 1� 3� 1� 20. Resolver: �x  � �x  � 3� 2� 4 � 3� b) 7 e) 8

ÁLGEBRA

c) 13

5. Indique el valor de 7x:

x 1

a) 1 d) 2

b) -21 e) -13

a) 15 d) 40



x2 3



x3 4



b) 17 e) 5

x5 5 c) 7

c) 4

 66 


6. Halle 2x:

3x

1 5 3x   2x   4 5 4 20

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

7. Resolver: 3x + 101 - 4x – 33 = 108 - 16x -100 a) 4 d) -4

8. Resolver:

b) -2 e) -5

c) -3

TEMA 23 SISTEMA DE ECUACIONES

8  ( 3 x  3 )  x  ( 2 x  1)

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

Una Ecuación Lineal con dos Incógnitas:

c) 3

De variables x e y tiene la forma de:

ax  by  c En donde {a, b, c} son constantes diferentes cero. Dos ecuaciones de este tipo: a1 x  b1 y  c1 a 2 x  b2 y  c 2

Constituyen un sistema de ecuaciones lineales. Los valores de “x” e “y” que satisfacen ambas ecuaciones, simultáneamente, recibe el nombre de solución del sistema.

Ejemplo: Sean las ecuaciones: x + y = 13 x–y=7 La solución del sistema es: x = 10, y = 3 A continuación se detallan 3 métodos para resolver sistema de ecuaciones lineales: A. Método de Reducción: Cuando sea necesario, se puede multiplicar las ecuaciones dadas por un número, de manera que los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ÁLGEBRA

 67 


2 (1 + y) + 3y = 12

ecuaciones sean iguales y con signos diferentes. Nota: 



Si los signos de los términos de igual coeficiente son distintos, se suman las ecuaciones miembro a miembro. En caso contrario se restan

Efectuando se deduce que la solución para y = 2, sustituyendo y = 2 en la ecuación (2) o en (1), se obtiene x = 3. 

C. Método de Igualación:

Ejemplo

Consiste en despejar una de las incógnitas en cada ecuación para luego igualarlas.

Sean las ecuaciones: 3x – y = 4

........(1)

Ejemplo:

x + 2y = -3 ........(2)

Consideremos:

Resolución:

2x – y = 4 ......(1)

Para eliminar la variable “y”, se multiplica a la ecuación (1) por 2 y se suman con la ecuación (2):

x + 2y = -3 ......(2) Resolución:

2 x (1) : 4x - 2y = 8

En la ecuación (1), despejamos “x”:

(2) : x + 2y = -3

x

Sumando m.a.m se obtiene:

......(4)

Luego se igualan las ecuaciones (3) y (4), así: (3) = (4)

2.(1) – y = 4



.......(3)

x 3 2 y

x=1

Reemplazando x =1 en la ecuación (1), se obtiene: 

y 4 2

En la ecuación (2) despejemos “x”

5x = 5 

La solución del sistema es x = 3; y = 2



y = -2

y4 3 2 y 2

Resolviendo y + 4 = -6 - 4y, se obtiene y = -2, reemplazando en (3) se obtiene: x = 1

La solución del sistema formado por las ecuaciones (1) y (2) es x =1; y = -2

 La

solución del sistema es: x = 1, y = 2

B. Método de Sustitución: Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra. EJERCICIOS Nº 23 Ejemplo: 1. Resolver: 5x + 2y = 3 ……(1)

Sean las ecuaciones:

2x + 3y = -1 …… (2)

2x + 3y = 12 ........ (1) x–y=1

Hallar “xy”

........ (2)

Resolución:

a) 1 d) 3

En (2) se despeja “x”, entonces:

b) 2 e) 4

c) -1

x=1+y Sustituyendo este valor en la ecuación (1), tenemos: ÁLGEBRA

 68 


2. Hallar “6y” ; 2(x – y) – 2x = 5

8. Hallar “x + y + z” Si: xy = 6; xz = 8; yz = 12

a) -15 d) 4

b) 8 e) 9

c) 12 a) 9 d) 8

b) 7 e) 6

c) 10

3. Hallar x2 + y2, en: 9. Luego de resolver:

2x + 3y – 12 = 0 …… (1)

x + y = 5 …… (1)

2x - 3y – 4 = 0 …… (2)

2x + y = 7 …… (2) a) 9 d) 13

b) 10 e) 16

c) 20

Hallar y2 – x2 a) 6 d) 7

4. Resolver:

b) 9 e) 4

c) 5

2x - y = 4 …… (1) x + 2y = - 3 …… (2)

10. luego de efectuar:

Hallar y3 + x2

3x + 4y = 18 …… (1) 4x - 3y = -1 …… (2)

a) -5 d) -3

b) 6 e) -7

c) -8

Indique el valor de “x + y”.

5. ¿Cuál es el valor de “y” en el sistema de ecuaciones simultáneas? 2x + 3

y

= 16 …… (1)

8x - 2

y

= 36 …… (2)

a) 4 d) 36

b) 16 e) 64

a) 7 d) 8

b) 2 e) 5

c) 3

11. Hallar el valor de “xyz”, si la siguiente figura representa un cuadrado:

c) 25

6. Hallar x2 + y2 Si: xy = 6; x + y = 5 a) 16 d) 14

b) 9 e) 13

c) 4

a) 48 d) 72

7. Dado el sistema:

2x + 7y = 25

5x + 3y = 26 …… (2)

3y - 4y = -6

Calcule (x + y)2

ÁLGEBRA

b) 25 e) 49

c) 60

12. Resolver:

x + 4y = 12 …… (1)

a) 81 d) 64

b) 36 e) 108

…… (1) …… (2)

Hallar x2 - y2 c) 36

a) 9 d) 4

 69 

b) -5 e) 6

c) 7


13. Resolver: 5x - 2y = 5 ……(1)

19. Dado el sistema:

2x + 3y = 21 …… (2) Hallar “xy” a) 15 d) 30

b) 21 e) 40

x + 4y = -3

…… (1)

5x + 3y = 2

…… (2)

Calcule (x + y)2

c) -1

a) 9 d) 64

b) 25 e) 0

c) 36

14. Hallar “6x” ; 2(x – y) + 2y = 5 a) 15 d) 24

b) 8 e) 9

20. Hallar “x + y + z”

c) 12

Si: xy = 15; xz = 12; yz = 20 a) 19 d) 18

15. Hallar x2 + y2, en:

b) 12 e) 16

c) 10

2x + 3y – 18 = 0 …… (1) 2x - 3y – 6 = 0 a) 40 d) 135

…… (2) b) 250 e) 265


c) 145

16. Resolver: 2x - y = 8 …… (1)

1. Luego de resolver:

x + 2y = 19 …… (2)

x + y = 0 …… (1)

Hallar y3 + x2 a) 265 d) 234

2x + y = 7 …… (2) b) 226 e) 1081

Hallar y2 – x2

c) -228

a) 1 d) 0

17. ¿Cuál es el valor de “x” en el sistema de ecuaciones simultáneas? 2x + 3

y

= 19 …… (1)

8x - 2

y

= 34 …… (2)

a) 9 d) 36

b) 16 e) 64

b) 9 e) 4

c) 5

2. luego de efectuar: 3x + 4y = 7 …… (1) 3x - 4y = -1 …… (2) Indique el valor de “x + y”.

c) 5

a) 7 d) 8

b) 2 e) 5

c) 3

18. Hallar x2 + y2 Si: xy = 21;

3. Hallar el valor de “x+y+z”, si la siguiente figura representa un cuadrado:

x + y = 10

xy =15; xz = 3; yz = 5 a) 16 d) 14

ÁLGEBRA

b) 59 e) 13

c) 58 a) 9 d) 12

 70 

b) 6 e) 18

c) 60


4. Resolver:

10. Hallar x2 + y2

2x + 7y = 33 …… (1)

Si: xy = 21; x + y = 10

3x - 4y = -8 …… (2) a) 46 d) 58

Hallar x2 + y2 a) 29 d) 41

b) 25 e) 65

b) 39 e) 33

c) 24

c) 27

TEMA 24 ECUACIÓN DE SEGUNDO

5. Resolver: 5x + y = 37 ……(1)

GRADO

2x - y = 12 …… (2)

(Propiedades de Raíces)

Hallar “xy” a) 14 d) 32

b) 24 e) 42

c) -1

Son aquellas ecuaciones que presentan la siguiente forma general:

ax 2  bx  c  0; a �0; { a , b, c} ��

6. Hallar “6y” ; 3(x – y) – 3x = -5

Llamado también Forma Canónica. a) 15 d) 4

b) 8 e) 10

c) 12 RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO:

7. Hallar x2 + y2, en: 2x + 3y – 22 = 0 …… (1)

Estas ecuaciones presentan 2 raíces que se pueden obtener utilizando cualquiera de los dos métodos:

2x - 3y + 2 = 0 …… (2)

1. 1er. Método:

a) 41 d) 13

b) 10 e) 16

En la ecuación: ax2 + bx + c = 0. Se factoriza por el método de aspa simple y luego cada factor se iguala a cero; con lo que se obtiene las dos soluciones.

c) 20

TEOREMA:

8. Resolver: 2x - 2y = 10 …… (1)

Si se tienen una expresión de la forma:

x + 2y = 11 …… (2)

a.b = 0 entonces a = 0

�

b=0

Hallar y3 + x2 a) 346 d) 347

b) 346 e) 57

Ejemplo:

c) 245

Resolver: 3x2 + 8x + 4 = 0 Resolución:

9. ¿Cuál es el valor de “y” en el sistema de ecuaciones simultáneas? 2x + 3

y

= 13 …… (1)

4x - 2

y

= 2 …… (2)

a) 4 d) 3

b) 5 e) 9 ÁLGEBRA

Factorizando por aspa simple: (3x + 2) (x + 2) = 0 Aplicando el teorema se iguala a cero a cada factor primo, así: 3x + 2 = 0 x+2=0

c) 2



 71 

 

x = -2/3 x = -2

CS = {-2; -2/3} 1er AÑO DE SECUNDARIA

3. Si V< 0 ,  las raíces son complejas y conjugadas.

2. 2do Método: Se aplica la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado. Así tendremos que: En ax2 + bx + c = 0

Ejemplo: Calcular “m”, si mx2-5x+2=0 Resolución:

Las dos raíces son:

Para que las raíces sean iguales, entonces a = m; b = -5; c = 2

b  b 2  4ac ……(1) x  1 2a

V 0 ,

Entonces el discriminante es:

V = (-5)2 - 4.m.2 = 0 V = 25 - 8m = 0

b  b 2  4ac …… (2) x  2 2a

m

= 25/8

Ejemplo: Resolver: 3x2+5x-7=0

PROPIEDAD DE LAS RAÍCES

Resolución:

TEOREMA DE CARDANO:

Comparando con la ecuación de forma general obtenemos: a = 3; b = 5; c = -7 Reemplazando en la fórmula general (1), tenemos:

x  1, 2

5 � 524.3( 7) 2.3

Suma de Raíces:

b S x x  1 2 a Producto de Raíces:

Luego las soluciones son:

x  1

Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación: ax2+ bx + c = 0 con a 0 , luego tenemos las siguientes propiedades:

c P  x .x  1 2 a

5  109 5  109 ;x  2 6 6

DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES: En la ecuación ax2 + bx + c = 0. se denomina discriminante ( V ) a la expresión:

Identidad de Legendre:

( x  x )2  ( x  x ) 2  4 x x 1 2 1 2 1 2

V b 2  4ac El cual nos permite utilizar ciertas características de las raíces. Así tendremos:

( x  x ) 2  ( x  x ) 2  2( x 2  x 2 ) 1 2 1 2 1 2

1. si V> 0 ,  las raíces son reales y diferentes. 2. Si V x2)

0 ,

las raíces son iguales (x1 =

ÁLGEBRA

 72 


7. Si una de las raíces de: x2 – (m2 – 5)x – 8m + 3 = 0 es –1, indique la suma de raíces de “m”:

EJERCICIOS Nº 24 1. Hallar “n” si la ecuación:

a) 7 d) –8

x2 – nx + 9 = 0 tiene solución único. a) 3 d) 4

b) -3 e) 6

c) -4

E = mm+n. nm.n

b) 25 e) 27

x2 

3. Resolver:

a) {-7;3} d) {-7;2}

5x 4



c) 14

x2 

7x 12

5. Resolver:

3 8

0



1 8

x3



a) 11 d) 54 c) {-2;3/7}

c) -30

( x1  x2 ) 1

x .x 2

halle la suma de a) 4 d) 1

b) -4 e) 0

c) -8

c) 10 11. Sean x1, x2 las raíces de la ecuación: x2 – (2m – 1)x + 2m +1 = 0. Calcular el valor de “m”, Sabiendo que:

x2 x 1

b) -7 e) -4

b) 30 e) 72

10. Sean x1, x2 las raíces de la ecuación:

1 1 2   x1 x 2 3

Indique la suma de sus raíces. a) 4 d) 5

c) 21

Hallar: (x1 + x2) . x1x2

x2 – 9 = 0, Hallar:

b) 5 e) 3/8

2x  3

b) 64 e) 49


sus raíces. a) -7/12 d) -7

a) 27 d) 8

x2 – 9x + 6 = 0

b) {-3;2} e) {3/4;1/2}

4. Resolver:

c) 3

8. Si m, n son las dos raíces de la ecuación: x2 – 3x + 3 = 0; calcular:

2. Hallar el valor de “m” si la ecuación: x 2 – 10x + m = 0 tiene raíces iguales. a) 12 d) 23

b) 6 e) 8

a) 3,5 d) 2,5

c) -9

b) 4 e) 3

c) 1,5

12. Sean x1, x2 las raíces de la ecuación: 6. Resolver:

( x  6 ) 2  5 ( x  6 )  14

x2 – 7x + 3 = 0 x 2  x 1 x1  x 2  x1 x2

Halle el producto de sus raíces. a) 5 d) -9 ÁLGEBRA

b) 6 e) -8

Calcular el valor de:

c) -6 a) 49/3  73 

b) 16/5

c) 7/3


d) 8/3

e) 25/3

a) 2 d) 2

13. Resolver: x2 – 2x – 15 = 0 a) {3;5} d) {2;5}

b) {-3;5} e) {3;7}

c) 1

c) {3;-5}


14. Resolver: x2 – 5x + 4 = 0 a) 1 y 3 d) 2 y -3

b) -4 e) 4

b) 1 y 5 e) 2 y 3

c) 1 y 4 1. Sean x1, x2 las raíces de la ecuación: x2 – 5x + 6 = 0, Hallar: (x1 + x2) . x1x2

2

4x  3 x  5

15. Resolver:

x 2  2x  13

a) {-7;3} d) {-7;2}

2

b) {-3;2} e) {3;-7/2}

a) 11 d) -11

b) {-1;-2} e) {3;4}

c) -30

c) {-2;3/7} 2. Sean x1, x2 las raíces de la ecuación: x2 – 4 = 0 Hallar:

16. Resolver: x2 + 3x + 2 = 0 a) {1;2} d) {1;-1}

b) 30 e) 12

a) 17/4 d) -16

c) {2;-3}

x1x 2  x 2 x 1

b) -17/4 e) 17

c) -8


17. Resolver: x2 – 13x + 40 = 0

x2 – (m – 1)x + m +1 = 0 a) {3;8} d) {-8;5}

b) {-8;-5} e) {8;5}

c) {4;7}

Calcular el valor de “m”, Si: 1 1 2   x1 x 2 3

18. Resolver: x2 – 13x + 36 = 0 a) {4;9} d) {-2;7}

b) {3;10} e) {3;12}

a) 3 d) 6

c) {5;7}

c) 5


19. Si una de las raíces de: x2 – (m2 – 5)x – 8m + 3 = 0 es –3, indique la otra raíz: a) 7 d) –17/9

b) 4 e) 7

x2 – 5x + 3 = 0 Calcular el valor de:

x 2  x1 x1  x 2  x1 x2

b) 6 c) 7/3 e) hay 2 correctas

20. Si m, n son las dos raíces de la ecuación: x2 – 2x + 2 = 0; calcular:

a) 9/5 d) 8/3

b) 16/5 e) 25/3

c) 7/3

E = mm+n. nm.n ÁLGEBRA

 74 


TEMA 25

5. Sean x1, x2 las raíces de la ecuación: x2 – 7x + 3 = 0

INECUACIÓN DE SEGUNDO

Hallar: (x1 + x2) . x1x2 a) 11 d) 21

b) 30 e) 12

GRADO Son aquellas expresiones de forma general:

c) -30

ax 2  bx  c > 0 ; a �0

6. Sean x1, x2 las raíces de la ecuación: x2 – 9x + 5 = 0 Hallar: (x1+x2) (x1.x2)

Donde: { a; b; c}

�

RESOLUCIÓN a) 45 d) 16

b) 34 e) 28

c) 54

EL MÉTODO DE PUNTOS CRÍTICOS:

7. Sean x1, x2 las raíces de la ecuación: x2 – (a – 1)x + a +1 = 0

(P2) Se halla a continuación los puntos críticos; igualando a cada factor a cero y estos se ubican en la recta numérica. Guardando su relación de orden.

Calcular el valor de “a”, Si: 1 1 2   x1 x 2 3

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

(P3) Se forman así intervalos; en los cuales se asignan signos de derecha a izquierda comenzando con el signo “+” y alternando con el signo “ - “.

c) 5

(P4) Si el P ( x ) 0 ó P(x )> 0 se toman los intervalos que tienen signo positivo; si el P ( x )  0 ó P(x) < 0 se toman los intervalos que tienen signo negativo. Obteniéndose así el intervalo solución.

8. Sean x1, x2 las raíces de la ecuación: x2 – 7x + 7 = 0 Calcular el valor de:

Ejemplo 1:

x 2  x 1 x1  x 2  x1 x2 a) 9 d) 8

b) 5 e) 2

(P1) Se factoriza el polinomio teniendo en cuenta que todos los factores primos tengan el Coeficiente Principal positiva.

Resolver:

x 2  5 x  6 0

Resolución: Factorizando por aspa simple, se tiene:

c) 7

P(x) = (x - 3)(x - 2) Reemplazando en la ecuación inicial: ( x  3)( x  2)  0

Para Hallar los puntos críticos igualamos cada factor primo a cero y obtenemos: PC = { 2; 3 } Los puntos críticos encontrados se ubican en la recta numérica, así: ÁLGEBRA

 75 


__

+

+

Para determinar a la región que representa a la solución consideramos P ( x ) 0 ; tenemos a la región que tiene signo “+” los positivos x(  ;2] [ 3; )

3. Resolver:

3x  4  5x  2   x  8 a) 1  x < 0 c) x  1 e) x  - 3

NOTA: A veces se encuentran trinomios de la forma y = ax2 + bx + c, que no son factorizables, entonces se calcula su discriminante. Si V< 0  a > 0 entonces el trinomio es (+) x�por ello se descarta la inecuación o simplemente pasa a dividir. Esto no altera el sentido de la inecuación.

4. Hallar la suma de todos los valores enteros que satisfacen al sistema:

2 x 1 7 < < 3 x3 9 a) 30 d) 55

INECUACIONES FRACCIONARIAS:

b) -3  x  -1 d) -3  x  1

b) 50 e) 60

c) 40

Tiene la siguiente forma general:

P( x) �0; ( <; >; �) ; Q( x) �0 Q( x )

5. Resolver :

Como regla práctica Q(x) pasa a multiplicar al numerador y se procede como se fuera una inecuación de grado superior.

x 1 >3 x a) x < 1/2 b) x > 0 d) 0 < x < 1/2e) N.A.

c) x < 0

6. Resolver :

x2 >2 x 1

EJERCICIOS Nº 25 1. Resolver:

a) -1
x x x x   < 5 2 3 4 6 Indique el mayor valor entero que la verifica. a) 0 d) 2

b) 5 e) no existe

7. Resolver: x2 + 2x – 35 < 0:

8. Resolver y dar el complemento de:

4  5x 1 <  7 3

x2 - 3x - 4  0

y determine el mayor valor de:.

ÁLGEBRA

c) 1< x <2

a) -7 < x < 5 b) –3 < x < 4 c) -7 < x < 2 d) -2 < x < 8 e) –2 < x < 5

c) 3

2. Resolver:

a) 1 d) 3

b) 3
b) -1 e) 4

a) 11< x <5 d) -1 x 4

b) –1< x <4 c) -1< x <3 e) 1< x <4

c) 2

 76 


9. Indicar la suma de valores enteros que lo verifican en: (x – 2) ( x + 3)  0 a) -2 d) -4

b) -3 e) -5

b) 17 e) 12

c) 21

17. Hallar la suma de todos los valores enteros que satisfacen al sistema:

x 1 2 � � 2 x 1 3

1

d) -2  x  2 e) 2  x  5

a) 3 d) 9

11. Resolver: x2 – 4x + 4 < 0 b) x�{ 3} c) x<2 e) N.A.

a) x� d) x = 2

x  16 < 2 x  4 < x  23 a) 20 d) 15

c) -1

10. Resolver: (2x + 3) ( x - 7)  0 a) -3/2  x  7 b) 1  x  4 c) -3  x  4

16. Indique el menor valor de la solución:

b) 12 e) 10

18. Luego de Resolver :

c) 14

x2 3

>2

Indique la menor solución. 12. Resolver: (x + 2)2  16 a) x  -7 d) x > 6

b) x  3 e) x > 3

a) 3 d) 4

c) x  -6

c) 7

19. Halle la suma de valores enteros positivos de la solución:

13. Resolver: (x –2)2  49 a) x  7 y x  -7 b) x  9 y x  -5 c) x  9 y x  -4

b) 6 e) 5

x2 x 3

d) x  9 e) N.A.

�2

a) 36 d) 40

b) 25 e) 30

c) 18

14. Resolver: 5x – 12 > 3x - 4 Indique el menor valor entero que la verifica. a) 0 d) 2

15. Resolver:

b) 5 e) 7

20. Resolver: x2 + 4x – 45 < 0: a) -7 < x < 5 b) –3 < x < 4 c) -9 < x < 5 d) -2 < x < 8 e) –2 < x < 5

c) 3

12 �2 x  2 �x  10

Halle la suma de valores de la solución: a) 26 d) 36

ÁLGEBRA

b) 12 e) 13

c) 27

 77 


7. Resolver y dar el mayor valor de “x”, en:


x2 - 7x + 10 � 0 a) 11 d) 5

b) 2 e) 4

c) 6

8. Indicar la suma de valores enteros que lo verifican en: (x – 9) ( x + 7)  0

1. Resolver y dar el mayor valor de “x”, en: x2 - 6x + 8 � 0 a) 11 d) -1

a) 12 d) 17 b) 2 e) 4

c) 6 9. Resolver:

2. Indicar la suma de valores enteros que lo verifican en: (x – 7) ( x + 5)  0 a) -12 d) -14

3. Resolver:

b) 13 e) -15

x2 x 1

x3 x3

a) x� d) x = 2

a) x� d) x = 2 d) -2  x  2 e) 2  x  5

x2

c) 11

�0

x4 x4

d) -2  x  2 e) 2  x  5

<0

b) x�{ 3} e) -4
c) x<2

11. Resolver: (x -3)2 � 0 a) x  -7 d) x > 6

b) x  3 e) �

c) x  -6

<0 b) x�{ 3} e) -3
12. Resolver: (x –7)2  0 c) x<2 a) x  7 y x  -7 b) x  9 y x  -5 c) x  9 y x  -4

5. Resolver: (x -3)2 < 4 a) x  -7 d) x > 6

x 3

a) -3/2  x  7 b) -1  x  2 c) -2< x  3 10. Resolver:

�0

a) -3/2  x  7 b) -1  x  2 c) -1< x  2

4. Resolver:

c) -11

b) 18 e) 15

b) x  3 e) 1
d) x  9 e) �

c) x  -6

6. Resolver: (x –2)2  0 a) x  7 y x  -7 b) x  9 y x  -5 c) x  9 y x  -4

ÁLGEBRA

d) x  9 e) �

 78 


RELACIÓN:

TEMA 26

Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Un conjunto R de pares ordenados se llama una “relación de A en B ” si R es subconjunto del producto cartesiano A x B.

RELACIONES PARES ORDENADOS; PRODUCTOS NOTABLES:

R es relación de A en B

Un par ordenado tienen la forma:

� R �AxB

Una relación de A en B también es llamado una Relación Binaria

a; b)

Ejemplo 1:

Primer componente

Sean: A = {3; 4; 5} ; B = { 1; 2 }

Segundo componente TEOREMA:

Los siguientes conjuntos de pares ordenados son algunas relaciones: de A en B:

Si: ( a; b )  (c; d ) � a  c �b  d

R1 = { (3; 1) }, R2 = { (5; 2) }, R3 = { (3; 1),(4; 2),(5; 2) } Mientras que:

Ejemplo:

R4 = { (3; 2)(4; 1)(2; 1)}

Si (2x + 1; 10) = (11; 4y - 2)

No es una relación porque el par ordenado (2;1) AxB , ya que 2 A

Hallar “x + y” Resolución:

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN:

Aplicando el teorema, tenemos: 2x + 1 = 11 y 10 = 4y-2

Sea R una relación de A en B; es decir entonces:

x=5

Dom( R )  { x /( x; y ) �R} �A



y=3



x+y=8

Rang ( R )  { y /( x; y ) �R} �B Representación gráfica:

PRODUCTO CARTESIANO: Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano AxB como:

AxB  { (a; b) / a �A �b �B} NOTA: 



R  AxB ,

A

R

x

B

y

Dom(R)

Ran(R)

Si los conjuntos A y B son finitos y tienen “m” y “n” elementos respectivamente, entonces el producto cartesiano AxB tiene “n.m” elementos.

El conjunto A se llama “conjunto de Partida” y el conjunto B se llama “conjunto de Llegada”

El producto cartesiano conmutativo; es decir:

Sea la Relación:

no

es

Ejemplo: R = { (1;1)(2;1)(2;3)(3;1)

AxB  BxA

(3;2)(4;1)(4;2)(5;3) }

Al menos sea A = B 

El producto cartesiano A x A = A2.

Entonces: Dom ( R ) = {1; 2; 3; 4; 5} Ran ( R ) = {1; 2; 3}

ÁLGEBRA

 79 


6. Sean los conjuntos: A = { 1, 2, 3 } ; B = { 4, 5, 7 }; donde

R  { ( x : y ) �AxB / y  2 x  1}

EJERCICIOS Nº 26

Halle la suma de elementos del Conjunto Dominio de R.

1. Calcule (x + y), si se cumple que: (3x – 3 ; 5) = (18 ; y – 3) a) 14 d) 16

a) 5 d) 4

b) 13 e) 15

b) 6 e) 7

c) 8

c) 18 7. Dado el conjunto:

2. Sea el producto cartesiano:

B  { 1; 2; 3}

¿Cuántos elementos tiene B2?

AxB = {(2,6)(2,7)(3,6)(3,7)(4,6)(4,7)} a) 4 d) 9

Halle la suma de elementos de (A � B) a) 18 d) 12

b) 22 e) 15

b) 16 e) 12

c) 8

c) 19 8. Sean las relaciones: A = { (1,3), (2,5), (3,5), (4,7) }

3. Calcule el número de elemento de A x B, si:

A  { x / x  3 �2 x  2 �10}

B = { (3,9), (5,7) }, Hallar BoA a) { (1,3), (2,1), (2,7) }

B  { x / x ��x  2  2}

b) { (1,9), (2,7), (3,7) } c) { (1,1), (1,5), (2,3) }

a) 12 d) 22

b) 4 e) 10

d) { (1,1), (2,1), (2,7) }

c) 27

e) N.A.

4. Calcular (x + y)2, sabiendo que:

9. Sean las relaciones: R = { (1,2), (3,4), (2,5), (1,3), (2,0) } S = { (-1,2), (2,3), (5,1), (0,7) } Hallar SoR

(x – y ; xy) = (0 ; 36) a) 100 d) 81

b) 49 e) 25

c) 144

a) { (-1,5), (-1,3) } 5. Sea R la relación de: A = { 1, 2, 3, 4 } en B = { 1, 3, 5} Definida

R  { ( x; y ) �AxB / y  x  2}

Hallar la suma Conjunto Rango. a) 3 d) 7

b) 5 e) 8

de

elementos

b) { (1,3), (2,1), (2,7) } por: del

c) { (-1,5), (5,3), (5,2) } d) { (-1,5), (-1,0), (2,4), (5,2), (5,3) } e) N.A. 10. Sean las relaciones: P = { (1,0), (2,3), (3,8), (9,4) } Q = { (1,3), (2,5), (3,7), (4,9) }

c) 6

Hallar PoQ a) { (2,7) } b) { (3,7) } c) { (1,3) } d) { (2,7), (3,7) }e) { (1,8), (4,4)} ÁLGEBRA

 80 


11. Calcule (x + y), si se cumple que:

17. Dado los conjuntos:

{

(2x – 3 ; 7) = (5 ; y – 3) a) 14 d) 16

b) 13 e) 15

} . B  { x  �/ x  1  1}

A  x  �/ x 2  1 0

c) 12

¿Cuántos elementos tiene AxB? a) 4 d) 10

12. Sea el producto cartesiano:

b) 6 e) 12

c) 8

AxB = {(1,4)(1,5)(1,6)(3,4)3,5)(3,6)} 18. Sean las relaciones:

Halle la suma de elementos de (AB)

A = { (1,2), (3,4), (2,5), (1,3), (2,0) } a) 18 d) 12

b) 4 e) 15

B = { (-1,2), (2,3), (5,1), (0,7) }

c) 19

Hallar BoA


A  { x  �/10 < x  2 < 20} B  { x  �/ x  5 < 3}

a) 40 d) 42

b) 45 e) 50

a) b) c) d)

{ (1,3), (2,1), (2,7) } { (1,4), (2,3), (2,7) } { (1,1), (1,5), (2,3) } { (1,1), (2,1), (2,7) }

e) N.A. 19. Sean las relaciones:

c) 27

R = { (1,2), (3,4), (2,5), (1,3), (2,0) } S = { (-1,2), (2,3), (5,1), (0,7) } Hallar RoS

14. Calcular (x + y)2, sabiendo que: (x – y ; xy) = (0 ; 25)

a) { (-1,5), (-1,3) } a) 100 d) 81

b) 49 e) 25

c) 9

b) { (1,2), (2,3), (2,4), (1,4) } c) { (-1,5), (5,3), (5,2) } d) { (-1,5), (-1,0), (2,4), (5,2), (5,3) }

15. Sea R la relación de:

e) N.A.

A = { 1, 2, 3, 4 } en B = { 1, 3, 5} donde R = {(x,y)/ x < y} Hallar la suma de elementos del rango de R.

20. Sean las relaciones: R = { (1,0), (2,3), (3,8), (4,15) }

a) 3 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

S = { (1,3), (2,5), (3,7), (4,9) } Hallar SoR

16. Sean los conjuntos:

a) { (2,7) } b) { (3,7) }

A = { 1, 2, 3 } ; B = { 4, 6, 8 }; donde

R  { (x,y)  �/ y  2x}

Halle la suma elementos del dominio de R.

a) 5 d) 4 ÁLGEBRA

b) 6 e) 7

c) { (5,3) }d) { (2,7), (3,7) } de

e) N.A.

c) 8

 81 


6. Sean los conjuntos:


A = { 1, 2, 3 } ; B = { 4, 5, 7 }; donde

R  { ( x : y ) �AxB / y  2 x  3} Halle la suma de elementos del Conjunto Dominio de R. a) 5 d) 4

1. Calcule (x + y), si se cumple que:

b) 6 e) 3

c) 8

(3x – 3 ; 4) = (12 ; y – 3) a) 14 d) 16

b) 13 e) 15

7. Dado el conjunto:

c) 12

B  { 1; 2; 3; 4} ¿Cuántos elementos tiene B2?

2. Sea el producto cartesiano: AxB = {(2,6)(2,7)(3,6)(3,7)(4,6)(4,7)} Halle la suma de elementos del conjunto (A I B)

a) 4 d) 9

b) 16 e) 12

c) 8

8. Sean las relaciones: a) 18 d) 12

b) 22 e) 0

c) 19

A = { (1,3), (2,5), (3,5), (4,7) } B = { (3,9), (5,7) }


Hallar AoB

A  { 1; 2; 3; 5; 2; 4} , B  { 7; 3; 7; 3; 7}

a) { (1,3), (2,1), (2,7) }

a) 12 d) 22

c) { (1,1), (1,5), (2,3) }

b) 4 e) 10

b) { (1,9), (2,7), (3,7) }

c) 27

d) { (1,1), (2,1), (2,7) } e) ϕ

4. Calcular (x + y)2, sabiendo que: (x – y ; xy) = (0 ; 49) 9. Sean las relaciones: a) 100 d) 81

b) 49 e) 196

c) 144

R = { (1,2), (3,4), (2,5), (1,3), (2,0) } S = { (-1,2), (2,3), (5,1), (0,7) } Hallar RoS

5. Sea R la relación de: A = { 1, 2, 3, 4 } en B = { 1, 3, 5} Definida por: R 

a) { (-1,5), (-1,3) }

{ ( x; y ) �AxB / y  x  1}

b) { (1,3), (2,1), (2,7) }

Hallar la suma de elementos del Conjunto Rango. a) 3 d) 7

ÁLGEBRA

b) 5 e) 8

c) { (-1,5), (5,3), (5,2) } d) { (-1,5), (-1,0), (2,4), (5,2), (5,3) } e) N.A.

c) 6

 82 


TEMA 27

10. Sean las relaciones: P = { (1,0), (2,3), (3,8), (9,4) }

FUNCIONES I

Q = { (1,3), (2,5), (3,7), (4,9) } Definición:

Hallar QoR

Dados los conjuntos A y B no vacío llamamos función definida en “y” con valores en B o simplemente “función de A en B” a toda correspondencia “f” que asocia a cada elemento de x�A un único elemento de y�B .

a) { (2,7) } b) { (3,7) } c) { (1,3) } d) { (2,7), (3,7) }e) { (1,8), (4,4)}

NOTACIÓN:

11. Calcule (x + y), si se cumple que: (2x – 3 ; 7) = (5 ; y – 3) a) 14 d) 16

b) 13 e) 15

f f : A � B �Aur B c) 12

Se lee: “ f es función de A en B” Ejemplos: Diga: ¿Cuál de los gráficos son funciones? f 1 32 3 4

g a b c d

a

5 6 10

b c

(I)

(II)

La gráfica que representa a (I): si es una función porque a cada elemento del conjunto de partida tiene un único elemento de llegada. En cambio el (II) no es una función porque el elemento “6” tiene dos imágenes que son “b” y “c” y no está permitido en una función. REGLA DE CORRESPONDENCIA: Es la relación que existe entre los primeros y segundos componentes de una función. Donde: x: indica a la variable independiente. y: indica a la variable dependiente. Ejemplo: Sea la función dada: f = { (0;0)(1;1)(2;4)(3;9)…(x; x2)} Luego la relación de correspondencia es: f(0) = 0; f(1) = 1; f(2) = 4; f(3) = 9, … En general podemos expresarla: f ( x )  x 2 ; x��

PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL: ÁLGEBRA

 83 


Se utiliza para verificar si una gráfica que se presenta en el plano xy es función o no. EJERCICIOS Nº 27

Ejemplos: Sea f(x) una función, si toda recta trazada en forma de paralela al eje “y” corta al gráfico de f(x) en un sólo punto, entonces f(x) será una función, vea los siguientes gráficos:

1. Sea:

Donde f(x) = x2 – 6x + 9 Hallar “a + b + c + d” a) 40 d) 15

b) 44 e) 30

c) 51

2. Sea “f” una función tal que: f : {3; 4; 5; 9 }  B x  f(x) Donde f(x) = 2x - 3 Hallar el rango de f. Fig 2 y fig 3, No son funciones, porque hay una recta vertical que corta al gráfico en más de un punto.

a) {3, 5, 6, 9} b) {3, 5, 7, 15} c) {3, 4, 5, 9}

d) {-1, 1, 3, 6} e) N.A.

3. Dada las funciones f  g definida en los diagramas mostrados

Calcular:

f(1)  g(3) f(g(3))  f(g(2)) Fig. 1 y fig. 4, Si son funciones, porque cualquier recta vertical corta al gráfico en un sólo punto.

ÁLGEBRA

 84 

a) 5/9 d) 3/8

b) 7/4 e) 9/8

c) 1/8


4. Sea f una función correspondencia es:

cuya

regla

de

9. Hallar el dominio de la función

f(x)  x  4

3x  2; x  2   2  f(x)   x  14;  2  x < 2   x  3 ; x 2   

a) x > 4 d) x < 4

b) x  -4 e) N.A.

c) x  4

Calcule: f(f(4)) + f(f(1)) 10. Hallar el rango de la siguiente función: a) -24 d) 60

b) 16 e) 0

c) 8

f(x) 

5. Sea la función tal que

x4 x6

a) R-{6} d) R

f = { (2; 5)(3;a2) (2;a + b) (3;4)(b;5) }

b) R-{1} e) N.A.

c) 

Hallar “ab” 11. Sea el gráfico: a) -14 d) -6

b) 14 e) 18

c) 6

6. Hallar el dominio de la función:

f(x) 

5x x5

a) [-5:0> d) R-<-5;0]

b) [0;5> e) R-[-5;0>

c) R

Donde f(x) = x2 – 2x + 1 Hallar “a + b + c + d”

7. Si F(x+1) = (F(x) + 2x + 4  F(0) = 2 a) 77 d) 78

Calcular F(1) a) 0 d) 2

b) 4 e) 5

b) 76 e) 79

c) 80

c) 6 12. Sea “f” una función tal que: g : {1; 2; 3 }  B

8. Si f es una función definida por:

x  g(x)

; x < 2  1  2 f(x)   x ; 2  x <1   x  1; x > 1

Donde g(x) = 2x - 3 Hallar el rango de f.

Hallar f(-3) + 2.f(o) + f(f(5)) a) 0 d) 4

ÁLGEBRA

b) 1 e) 3

c) 2

a) {3, 5, 6, 9}

d) {-1, 1, 3, 6}

b) {3, 5, 7, 15}

e) {-1; 1; 3)}

c) {3, 4, 5, 9}

 85 


13. Dada las funciones f  g definida en los diagramas mostrados

2. Si F(x+1) = F(x) + 3x + 1  F(0) = 2 Calcular F(2) a) 7 d) 8

b) 4 e) 5

c) 6

3. Si f es una función definida por:

Calcular:

; x < 2 1  2 f(x)   x ; 2 x <1   x  1; x > 1

f ( g (3))  g ( f (3)) g ( f (1))  f ( g (2))

a) 5/9 d) 3/8

b) 5/4 e) 9/8

14. Sea f una función correspondencia es:

c) 1/8

cuya

regla

Hallar f(-3) + 2.f(-2) + f(f(26))

de

�2; x > 1 � f ( x )  �0; x  1 � 2; x < 1 �

b) -4 e) 0

Halle el valor de 3f(3) + 4f(4) a) 91 d) 89

c) 8

b) 90 e) 92

c) 93

5. Hallar la suma de elementos de rango en la siguiente función:

f = { (2; 6)(7;a2) (2;a + b) (7;9)(b;5) }

f ( x) 

Hallar “ab” b) 14 e) 9

c) 12

f  { (1;1), (2; 4), (3; 9), (4;16)}

15. Sea la función tal que a > 0

a) -14 d) -6

b) 11 e) 8

4. Sea la función

Calcule: f(f(1)) + f(f(-1)) a) -2 d) 6

a) 10 d) 9

a) 11 d) 12

c) 6

x 2  1 , x={2;3;4;5} x 1

b) 8 e) 10

c) 


1. Sea la función definida por: F(x)=1+2+3+ …+x Halle: F(3) + F(2) + F(1) a) 12 d) 15] ÁLGEBRA

b) 10 e) 14

c) 8

 86 


TEMA 28

y  k  a ( x  h )2

FUNCIONES II

Representación Geométrica:

FUNCIONES ESPECIALES: Sea una función de la forma general:

y  f ( x )  ax 2  bx  c ……(*) Según el valor que pueden coeficientes a, b y c pueden ser:

tomar

los

1. Función Constante: Es cuando a = b = 0 entonces la función queda definida por:

y  f ( x )  c; c ��. Donde: Dom(f) = IR; Ran(f) = { c } Representación Gráfica:

De la última expresión se obtiene el vértice del gráfico:

v ( x ; y )  ( h; k )

2. Función de Identidad: En (*) asignamos a = 0, c = 0 y b = 1: luego se obtiene la siguiente función:

y  f ( x)  x

El valor de la constante “a” es muy importante porque nos permite determinar el sentido del gráfico, así:

Donde:

a. Si a > 0, entonces el gráfico tiene la forma de una “ U ” hacia arriba.

Dom(f) = IR; Rang(f) = IR

b.

Representación gráfica:

Si a < 0, entonces el gráfico tiene la forma de una “u” invertida, así “ I ” hacia abajo.

4. Función Valor Absoluto: Su regla de correspondencia tiene la forma:

�x; x �0 y  f ( x)  x  �  x; x < 0 �

3. Función Cuadrática:

La forma más general de la función es:

Es de la forma:

yk  a xh

y  f ( x)  ax 2  bx  c { a ,b ,c} �� Toda función cuadrática se le puede llevar a la forma:

ÁLGEBRA

 87 

De la última expresión se determina el punto de ubicación del vértice en el plano x ^ y: 1er AÑO DE SECUNDARIA

V ( x; y )  ( h; k ) El signo de la constante “a” nos sugiere el sentido del gráfico, si: a > 0 es una “V” hacia arriba o si a < 0 es una “V” hacia abajo. Representación Geométrica:

EJERCICIOS Nº 28 1. Hallar el valor de m, en la siguiente función: F = { (5;3), (2m+3;1), (6;3m-1), (6;8)} a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

2. Halle la suma de elementos del dominio de la función: R = { (7;3), (5;2), (7;4), (7;1)} Función Raíz Cuadrada:

a) 12 d) 5

Tiene la forma general:

b) 3 e) 6

c) 4

yk  a xh Donde el punto de origen del gráfico es: (h; k) Domino: Rango:

x �h

P ={ x�Z / - 2
y �k

Q ={ x�Z / - 3�x�- 1}

El signo de la constante “a” indica el sentido del gráfico, si a>o el gráfico es hacia arriba y si es a<0 el gráfico es hacia abajo.

a>0

a<0

y

y x o

a) 2 d) 5

c) {1}

b) 3 e) 6

c) 4

5. Calcular la ordenada Y del punto P(4; y) si se sabe que el rectángulo formado por la unión mediante segmentos de recta de los puntos (0;0), (4;0), (0;5), (4;y) tiene por área 20 u2.

f ( x )  x

a) 2 d) 5

ÁLGEBRA

b) {-1} e) {-2; -1}

R={( 5;- 1) ,( 6;5)( 3;5 r +7 )( 3;13+3 r ) }

x

f ( x ) x

a) {-2} d) {4}

4. Calcular el valor de “r”, para que la siguiente relación sea una función:

Representación gráfico:

o

3. Hallar el Rango de la relación R de P en Q, definida por a = b + 1. si se sabe que los conjuntos P y Q son:

 88 

b) 3 e) 6

c)4


6. Cuáles son las coordenadas de los puntos de intersección de las rectas que pasan por los puntos A y B y los puntos C y D. Si A(1;7), B(8;1), C(9;5), D(2;3)? a) (19/4;53/14) b) (3,2) d) (5,.2) e) N.A.

c) (4;2)

a) 2 d) 5

7. Calcular la pendiente de la recta que pasan por los puntos A(-1;1) y B(-2;-3). a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

b) 3 e) 6

b) 3 e) 6

c) 4

13. Hallar la suma de las abscisas de los puntos de intersección de las gráficas de las funciones h(x) = 9 y f(x) = x2

c) 4 a) 2 d) 5

8. Dada la función f(x) = 2x2 + 3, calcular la ordenada de uno de los puntos cuya abscisa es –1 a) 2 d) 5

12. P es el punto de intersección entre las gráficas de las funciones f(x) = -2 y f(x) = x - 1. Halle la distancia del punto P a la gráfica de la función h(x) = 2

c) 4

b) 3 e) 6

c) 0

14. Calcular el área del triángulo que resulta al unir el origen de coordenadas con las intersecciones de las funciones f(x) = 6 con el eje “y” y con g(x) = x a) 2 d) 5

b) 3 e) 18

c) 4

9. Cuál es la distancia entre el vértice de la gráfica de la función 15. En el plano cartesiano, ocurre que P y Q coinciden en un mismo punto. Calcular a+b, si P(3+a; 7) y Q(5-a; 3+b)

f(x) = x2 +2x +1 y el punto T(-1;-8). a) 2 d) 5

b) 3 e) 8

c) 4 a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

10. Un punto P pertenece a la gráfica de la función cuadrática: f(x) = x2 + 18x + 15 Si dicho punto P tiene por abscisa –2. Hallar su ordenada. a) 2 d) 5

b) -17 e) 6

c) 4

11. Cuál es la distancia entre el punto P(-1;10) y el vértice de la gráfica de la función F(x) = 2x2 + 4x + 1? a) 2 d) 9

b) 3 e) 6

ÁLGEBRA


c) 4

1. Hallar el valor de b2, en la siguiente función: F = { (5;3), (2b+3;1), (7;3b-1), (7;5)} a) 2 d) 5

 89 

b) 3 e) 6

c) 4


2. Halle la suma de elementos del dominio de la función: R = { (1;3), (2;2), (3;4), (4;1)} a) 12 d) 5

b) 3 e) 6

a) 12 d) 11

c) 10

3. Hallar el Rango de la relación R de P en Q, definida por a = b + 2. si se sabe que los conjuntos P y Q son:

P ={ x�Z / - 2
b) {-1;-2;-3} e) {-2,-4;-5}

c) {1,2,3}

R { (5; 1)( 6;5)(3;5 r  9)(3;5 3 r )}

b) -3 e) 6

b) 3 e) 6

c)4

y

G(x)=-x+13

a) (19/4;53/14) b) (3,2) d) (5,.2) e) (8;5)

c) (4;2)

ÁLGEBRA

b) 3 e) -2

c) 4

f(x) = x2 + 18x + 5 Si dicho punto P tiene por abscisa 1. Hallar su ordenada. b) -17 e) 6

c) 24

11. Cuál es la distancia entre el punto P(2;10) y el vértice de la gráfica de la función F(x) = (x - 2)2 + 1? a) 12 d) 9

b) 13 e) 11

c) 14

a) 2 d) 5,5

b) 3 e) 6

c) 4,5

13. Hallar la suma de las abscisas de los puntos de intersección de las gráficas de las funciones h(x) = 50 y f(x) = 2x2

7. Calcular la pendiente de la recta que pasan por los puntos A(-6;1) y B(-2;-3). a) 2 d) -1

b) 3 e) 1

12. Halle el área que determinan la gráfica de la función f(x) = x – 3 con los ejes del plano cartesiano.

6. Halle el punto de intersección de las funciones: F(x)=x-3

f(x) = x2 +mx +1

a) 23 d) 15

c) 4

5. Calcular la abscisa x del punto P(x; 6) si se sabe que el rectángulo formado por la unión mediante segmentos de recta de los puntos (0;0), (0;6), (x;0), (x;6) tiene por área 42 u2. a) 7 d) 5

c) 14

10. Un punto P pertenece a la gráfica de la función cuadrática:

4. Calcular el valor de “r”, para que la siguiente relación sea una función:

a) -2 d) 5

b) 13 e) 16

9. Cuál es el valor de “m”, si el punto (2;9) pertenece a la función:

a) 2 d) 5

Q={ x�Z / - 3�x�- 1} a) {-2} d) {4;3;2}

8. Dada la función f(x) = 3x2 - 1, calcular la ordenada de uno de los puntos cuya abscisa es –2

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 0

c) 4

 90 


14. Calcular el área del triángulo que resulta al unir el origen de coordenadas con las intersecciones de las funciones f(x) = 4 con el eje “y” y con g(x) = x

TEOREMA FUNDAMENTAL Si b>1 y N>0, entonces se cumple:

b a) 8 d) 9

b) 6 e) 18

c) 4 Ejemplos:

15. En el plano cartesiano, ocurre que P y Q coinciden en un mismo punto. Calcular a+b, si P(9+a; 1) y Q(5-a; 3+b) a) -2 d) 5

b) -3 e) 6

Log N b N

c) -4

1.

2

Log 2 5

2.

4

log 2 7

5

( )

log 2 7 2.log 7 2  49  22 2

TEOREMAS Sen: b�� tal que b>0, siguientes teoremas:

TEMA 29

1. Sean

LOGARITMOS, COLOGARITMOS

A , B��/ A . B>0

se

cumplen

los

se cumple que:

Log ( A.B )  Log A  Log B b b b

ANTILOGARITMOS

Ejemplo: Sea

log 2  a �log 3 b

.Halle

A Log 36

Definición:

Resolución:

Sean los números “b”, “N”, b>0 y N>1, el número real “x” se denomina “logaritmo del número N en base b”.

Luego de descomponer al número 6 se escribe como 2.3, reemplazando tenemos:

Se denota por:

Aplicando el teorema 1:

Log N  x � b x  N b

A = log 2 + log 3 Reemplazando los datos:

Ejemplos: 1.

Log5 25  2 � 52  25

2.

Log3 81 4 � 34 81

3.

1 1 Log5 3 5  � 5 3  3 5 3

4. Hallar “x”, en:

A

�A � A , B��/ � � >0 �B �

se cumple que:

�A � Log � � Log A  Log B b �B � b b Log 1 81 x 3

Ejemplo: Sea

x �1 � � � 81 �3 �

Log 2  a

obtenga el valor de

Log 5

Resolución: Como la base de logaritmo es 10, es decir que al 5 podemos escribirla como 10/2, así:

3-x = 34

x

=a+b

2. Sean:

Por definición:

�

Log 6 = Log (2.3)

= -4 Nota: Logb 1  0; Log a a  1

� 10 � � � Log 5  log � � �2 �

Aplicando el teorema 2, tenemos: Log 5 = log 10 – log 2 ……(*) ÁLGEBRA

 91 


Como: log 10 = 1

DEFINICIONES:

Reemplazando en (*)

1. COLOGARITMOS:

Obtenemos que: log5 =1 – a 3. Sean:

Se define como el logaritmo en base “b” del inverso de “x”.

A ��, n ��/ An > 0 , se cumple

�1 � Colog x  log � �  log x b b �x � b

que:

Log An  n.Log A b b

Ejemplo:

Ejemplo:

Reducir:

M = Log21024 + Log5125

A = Colog 3 5 + log 9 25 + Colog 2 512

Resolución:

Resolución:

Podemos descomponer: 1024 = 210 y 125 = 53; reemplazando se tiene:

Dando forma para aplicar los teoremas correspondientes, tenemos:

M = Log2 210 + log 5 53

A = Colog 3 5 + log 9 25 + Colog 2 512

Aplicando el teorema 3:

A = -log 3 5 + log 3 5 + -log 2 29

M = 10.log2 2 + 3.log5 5 ……(**)

A = -9.log22 = -9

Sabemos que: log2 2 = 1; log33 = 1



2. ANTILOGARITMOS:

Reemplazando en (**):

Se define como el operador inverso del logaritmo y se denomina también como exponencial:

M = 10.(1) + 3.(1) M

A = -9

= 13

Anti log bx  bx; b > 0, b �1

4. Sea A��,n��/ A > 0,n �2 , se cumple que:

Log

n m m A  .Log A b b n

Ejemplo: N  log 3

EJERCICIOS Nº 29

7 5 3  log 2 7 1024

Resolución:

1. Resolver :

Descomponiendo a 1024=210; tenemos: 5 10 N  .log3 3 .log 2 2 7 7 N

5. Sea

a) 14 d) 10

b) 3 e) 15

c) 2

= 15/7 A ��, m ��, n �� / b > 0

se cumple que:

2. Determinar el valor de “x”, en:

m Log Am  .Log A b n bn 6. Sea

log 2 x 10  x  10

A��, B��/ A > 0, B > 0

7

log

7

( x2 1)  x2  x  2

se cumple que: a) 5 d) 1

Log A  Log B � A  B b b

3. Resolver: ÁLGEBRA

 92 

b) 3 e) 8

c) 7

log 9 x8 4 1er AÑO DE SECUNDARIA

a) 12 d) 23

b) 32 e) 14

log

c) 27

3x

x3 .log

a) 5 d) 1/4

n4

m2 .log

4 3 x

x9 .log

5 3 z

b) -1 e) 32

�x � log x5  log 81  3.log � � b b b �3 � a) 2 d) 1

log

2

(

)

a)

2

b) 3 e) 5

c) 4

12. Hallar logaritmo de a3.b5

c) 2

1 3 log a  .log b 2

b) Loga + Logb

7. Calcular la suma de las soluciones:

x 2  4 x  32  log

c) 2/5

11. Indique el valor de x2, en:

c) 12

b) 4 e) -2

b) 3/5 e) 2/3

5 2 z

log ( x  2 )  log ( x  5 )  1

a) 4 d) 0

c) 2

1 log 5 9 x  log 5 3  2 2 5

c) 6

a) 1/5 d) 1

a) -22 d) 22

6. Hallar:

b) 8 e) 1

10. Efectúe:

b) 2 e) 9/2

m

n

3 2 n

5. Determinar

N  log

( 5 x  2 )  log 1 ( 3 x  4 )  0

a) 4 d) 5

4. Hallar E, en:

E  log

n

c) 3Loga + 5Logb

( 3x  4 )  2

d) aLog3 - b e) N.A.

a) 7 d) 10

b) 8 e) 16

c) 12 13. Indique la solución entera positiva:

1 8. Halle la suma de soluciones:

log

(

(

x  20  2

log 5 x  18 a) 45 d) 48

)

log

) 5

b) 46 e) 41

a) 1 d) 4 c) 4 7

1 log

( x  1)

n

b) 2 e) 5

 log 14 n

c) 3


anti log .anti log .anti log 22 x 3 31 5 a) 34 d) 64

9. Efectúe:

ÁLGEBRA

( 2 x  1)

n



b) 28 c) 12 e) 32

15. Hallar “x” en:  93 


1 2

log 27.log x  5  co log anti log . log 4 2 33 9 3 2

a) 32 d) 33

b) 64 e) 25


c) 16

16. Efectúe:

( (

E  anti log log n n a) -3 d) 3

))

(

(

2  1  log anti log 1  2 n n b) 2 e) -2

))

1. Calcular:

c) 4

a) 1/2 d) 2/3

17. Resolver:

co log

2

( 2 x  3)  log

a) 13 d) 14

18. Resolver:

b) 12 e) 11

2

b) 7 e) 6

b) 3 e) 5

c) 15

b) 3 9

5  30

c) 2

b) 2 e) 3/2

a) -2 d) 1/2

c) 6

b) -1 e) 3

c) 2

4. Hallar:

c) 3

E

a) 4 d) 0

c) 2

Log2 4  Log1/ 2 4 Log3 243  Log1/ 3 81

b) 4/9 e) -2/3

c) 2

5. Calcular: Log6216 + log864 + Log13169 a) 7 d) 10

c) 7 e) 8

6. Efectúe: a) 5 d) 8

7. Efectúe: a) 49 d) 50

ÁLGEBRA

5

3. Determinar Log0,1100

20. Determinar: N = Log3243 + log6216 a) 5 d)

3  Log

b) 3 e) 4

a) 5 d) 1/4

19. Hallar : E = Log100 + Log216 - 2 a) 4 d) 1

3

2. Hallar el logaritmo de 125 en base 25

( 7x  2)  4

anti log 532 x 3

a) 4 d) 5

N  Log

 94 

b) 8 e) N.A.

c) 9

E  3Log3 15  4Log2 3 b) 6 e) 4

Log3 7

N9

b) 48 e) 51

c) 7

Log2 2

4

c) 47


8. Efectúe: 5


5

Log3 3  Log2 4 a) 1/5 d) 1

b) 3/5 e) 4/5

Log(2x – 3) + Colg x = Log 1 c) 2/5

a) 2 d) 3

9. Resolver: 2x = 3 a)

log 2 log 3

d) 1

b)

b) 4 e) 2,5

c) 1,5

14. Efectúe: x = Colog525 log 3 log 2

a) -3 d) 3

c) Log3

e) Log2

b) 2 e) -2

c) 4

15. Resolver:

10. Hallar logaritmo de a3.b2

Colog3(3x – 5) + Log3(5x – 1) = 2 a)

1 3 log a  .log b 2

a) 3 d) 4

b) Loga + Logb c) 3Loga + 2Logb

c) 5

16. Resolver:

d) aLog3 - b

Logx(x2 – 5x + 15) = 2.Logx3

e) N.A.

a) { 3 ;1 } d) { 2 }

11. Resolver: Log3x + Log33 = 2 a) 1 d) 4

b) 2 e) 1

b) 2 e) 5

b) { 3 ;4 } e) { -1 ;6 }

c) { 3 }

c) 3

12. Hallar “x” en: Log2(x + 2) + Colog23 = 2 a) 4 d) 6

ÁLGEBRA

b) 8 e) 10

c) 12

 95 


CONTENIDO Página TEMA 1:

INTRODUCIÓN

…………………………….

01

TEMA 2:

TEORÍA DE EXPONENTES I…………………………….

01

TEMA 3:

LEYES DE EXPONENTES II …………………………….

05

TEMA 4:

ECUACIÓN EXPONENCIAL …………………………….

08

TEMA 5:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

………………….

11

TEMA 6:

NOTACIÓN POLINÓMICA

…………………………….

15

TEMA 7:

PRODUCTOS NOATABLES I…………………………….

18

TEMA 8:

PRODUCTOS NOTABLES II …………………………….

21

TEMA 9:

PRODUCTOS NOTABLES III …………………………….

23

TEMA 10:

DIVISIÓN ALGEBRAICA

…………………………….

26

TEMA 11:

COCIENTES NOTABLES

…………………………….

30

TEMA 12:

FACTORIZACIÓN I Factor Común e Identidades …………………………….

TEMA 13:

FACTORIZACIÓN II Método de Aspa Simple

TEMA 14:

34

…………………………….

37

…………………………….

40

FACTORIZACIÓN III Método de Aspa simple

TEMA 15:

FACTORIZACIÓN IV: Aspa Doble……………………………. 41

TEMA 16:

MCD y MCM

…………………………….

43

TEMA 17:

FRACCIÓN ALGEBRAICA

……………….…………….

45

TEMA 18:

BINOMIO DE NEWTON

….………………………….

48

TEMA 19:

RADICACIÓN I

………………………..…….

52

TEMA 20:

RADICALES DOBLES

……………..……………….

56

TEMA 21:

NÚMEROS COMPLEJOS

…………..………………….

58

TEMA 22:

ECUACIÓN DE 1er GRADO …………………………….

62

TEMA 23:

SISTEMA DE ECUACIONES …………….……………….

65

TEMA 24:

ECUACIÓN DE 2do GRADO …………………………….

69

TEMA 25:

INECUACIÓN DE S 2do GRADO…………………………….

73

ÁLGEBRA

 96 


TEMA 26:

RELACIONES

…………. ………….…….

76

TEMA 27:

FUNCIONES I

…………..…..…………….

81

TEMA 28:

FUNCIONES II

…………………………….

84

TEMA 29:

LOGARITMO, COLOG Y ANTI…………………………….

88

INDICE

94

ÁLGEBRA

…………………………….

 97 


AL-1°SEC-2012

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