IV CONCURSO NAC. DE MATEMÁTICA
5.o Año de Secundaria
PROLOGMÁTICA PROLOGMÁ TICA 2012
QUINTO A ÑO DE S S ECUNDARIA ECUNDARIA 1.
A) S/. 250 D) S/. 500 2.
B) 21
C) 26 E) 35
B) 0,2
C) 0,333… E) 0,8
Indique la secuencia secuencia correcta de verdadero verdadero (V) o falso (F) luego de analizar la validez de las siguientes proposiciones: www.prolog.edu.pe | ): 283 3615
Según la tabla de frecuencias frecuencias de una una variable estadística X , la mediana y la moda son números consecutivos. xi
10
12
14
16
18
fi
12
13
15
6
4
II. La varianza varianza de {1; 2; 3; … ; 2012} es igual a la varianza de { − 2013; −2014; − 2015;…; − 4024}. III. Si la desviación estándar de los números x 1, x 2, …, x n es S, entonces existen constantes reales no nulas a y b tales que la desviación
estándar de los números ax 1 + b ; ax 2 + b ; …; ax n + b es es S .
C) S/. 350 E) S/. 450
Consideremos el conjunto A = {1; 2; 3; …; 10}. Un experimento consiste en seleccionar aleatoriamente dos elementos p y y q de de dicho conjunto para formar p ! el número racional n = . ¿Cuál es la probabilidad de q ! que la representación decimal del número n resulte resulte un periódico mixto? A) 0,1666… D) 0,4
4.
B) S/. 300
Un grupo grupo de personas han sido divididos en dos bandos A y B. Si en cada bando se quisiera formar comisiones de tres personas, en A se podría hacer de 35 maneras y en B de 20 maneras. En B hay igual número de varones que de mujeres y el número total de mujeres es igual al número de personas del bando B. ¿Cuántas parejas compuestas por un varón y una mujer se pueden formar formar si ninguna pareja debe contener ambas personas de un mismo bando? A) 42 D) 78
3.
I.
Para la última fecha del concurso YO SOY se se propone la siguiente regla: pasarán a la final solo si el jurado, que consta de 3 personas, la mayoría votan a favor. Se desea implementar un circuito lógico de tal manera que se active una alarma si el concursante pasa a la final. El costo del material a implementar por cada interruptor es S/. 50 soles (incluido la alarma) y de la mano de obra es S/. 200 si existen menos de 4 interruptores, S/. 250 si existen 4 o 5 interruptores y S/. 300 si existen más de 5 interruptores. Halle el costo mínimo para implementar dicho circuito lógico.
A) VVV D) FVF 5.
B) FVV
C) VFV E) FFF
Sean los experimentos aleatorios aleatorios y las variables variables aleatorias siguientes: a. Lanzar un dado y la la variable aleatoria X definida definida como la cantidad de números naturales que dividen exactamente al puntaje obtenido. b. Seleccionar al azar 5 artículos artículos de un un lote que que contiene 3 artículos defectuosos y 7 buenos, y la variable aleatoria Y definida definida como el número de artículos defectu defectuosos. osos. c. Lanzar 4 monedas y la variable aleatoria Z definida como la diferencia el número de caras menos el número de sellos. Si Rx , Ry , Rz denotan denotan a los rangos respectivos de las variables aleatorias definidas, indique el número de proposiciones incorrectas I. Rx y y Ry tienen tienen solo 3 elementos comunes. II. Ry es es un subconjunto de Rz . ∪ Ry posee III. Rx Rx ∪ posee igual cardinal que Rz IV. Hay dos conjuntos entre Rx , Ry , Rz que son disjuntos. V. Hay dos conjuntos entre Rx , Ry , Rz que son comparables. A) 1 D) 4
B) 2
C) 3 E) 5
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1
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PROLOGMÁTICA 2012
Si se cumple que x 3 + y 2 ≥ M ( 3x + y − 5 ) ; ∀ x , y ∈ R+ Halle el máximo valor de M .
6.
A) 4 D) 2 3
B) 3
Sabiendo que
7.
12.
a
+b
2
C) 2 5 E) 15
+
c
2
B
A) 45º B) 37º
D
C) 53º E
D) 30º
a + b − c = 3 2
Si BD = DE , calcule x .
E) 26,5º
− 2c = 5
x
A
C
Halle el valor de (a + 1)(b + 1) − ac − bc A) 3 D) 6
B) 4
13.
C) 5 E) 7
CD y se traza BH perpendicular a AM (H en AM ). Si el
lado del cuadrado mide 10, calcule el área de la región
Se define la siguiente sucesión por recurrencia
8.
a n an + 1 =
2
−
1 2
; a1 n
triangular AHD .
=2
Halle el valor de la serie S = a1 + a2 + a3 + a4 +.... (infinitos sumandos ) A) 19/8 D) 3/2 9.
B) 2
A) 12
Si x , y ∈ A entonces
C) 7/4 E) 1
14.
A) 120
AB
1
= c
a
11.
2
4 6 10 12 15
En el plano cartesiano los puntos A(3; 7), B(9; 1),
longitud de uno de los lados del cuadrado.
B) 4
A) 2 2
C) 5 E) 7
B) 3 2
D) 7 2
En el gráfico mostrado AC y BD son diámetros, además, BC = 6 y CD = 4. Calcule AB. A) B) C) D) E)
E) 160
de un cuadrado, o en sus extensiones. Determine la
0
Halle el valor de a + c . A) 3 D) 6
C) 150
C (11; 13) y D (8; 14) están sobre los lados consecutivos
2 2
y BA = 2
B) 240
D) 180
C) 3 E) 5
Sean A y B dos matrices cuadradas de 2 × 2 tales que a
Se tiene un prisma recto ABCD - EFGH de base
AM = EH , calcule el volumen de dicho prisma .
15. 10.
E) 12,5
M en AE y N en EH . Si OM = 7, MN = NG = 5, EN = NH y
x − y ∈A 1 + 3xy
B) 2
C) 15
rectangular. Se ubica los puntos O, centro de ABCD ,
Halle el valor de a2 + b 2 + c 2. A) 1 D) 4
B) 20
D) 10
Sea A = {a, b , c } un conjunto ternario (tres elementos), cuyos elementos son números reales (R). Y se cumple la condición siguiente: •
En un cuadrado ABCD , se toma M punto medio de
16.
Si
C) 5 2 E) 9 2
2sen2x − cos2x − 1 = M (N + P tanx )Q sen(2x − 53º)
Calcule el valor de E=M + N + P + Q 60º A
B
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A) 3 C
D
D) 6
B) 3
C) 5 E) 7
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5.o Año de Secundaria 17.
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En el gráfico AB= c y BC = a, AC= b ; además G es baricentro y S es superficie de TABC . Calcule cotα + cotθ+ cotβ. A)
a2 + b 2 + c 2 4S 2
B)
2
tan Calcule a − c
2
a + c
A − C , 2
B
A) 1
α
D)
G
a2 + b 2 + c 2 D) S
18.
2
3 a2 + b 2 + c 2 C) 4 S
E)
Si acotA = (2c − a)cotB, se cumple para el TABC .
donde a, b y c son lados y A; B y C son ángulos.
a + b + c 2S
2
22.
θ
β
23.
A
2
a + b + c 3S
3 2
B)
C)
3 3
3
E) 2
En el gráfico el triángulo TABD es equilátero.
C
CD = 3 (BC ) y la mSBCD = 150º. 2
Si la ecuación de la parábola es (x − 2) = 4P ( y + 1),
Calcule
1 3 × cosq - cosa
determine la ecuación de la recta tangente a la parábola en el extremo del lado recto. La recta tiene
B
pendiente positiva y pasa por (1; 0) A) 2 y = 3 x + 1
B) 2 y = x + 1 C) y = 2x − 1
D) 2 y + x − 1 = 0
A)
3
B)
7
β
C) 2 3
E) 2 y − x + 1 = 0
D) 2 7 E)
19.
A
21
A)
B)
11
13
D) 2 5
C)
15
E)
12
En el gráfico se tiene que AB= cos3θ ∧ AD = cos2θ B
6π 10π –1 20. Evalúe 2 cos ; FT (x ) = arctanFT (x ) + cos 17 17
A)
tan
C)
tan
D)
D
Determine el valor de M = cot12º − 4sen12º 24.
21.
C
α
1
− tan 4 ) ( 4 1
B)
tan
1
− tan 2) ( 2 1
− 1
4θ
4
(
tan tan
−1
θ
A 4
)
E)
tan
1 8
cosx + 7cos y − 4cosz = 8cosw cos(x – w ) calcule M = cos( y – z ) 7 4
D) 1
B)
7 2
D
(tan 8)
Si senx + 7sen y − 4senz = 8senw
A)
C
7 8 2 E) 5 C)
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−1
Determine (AC )2 − (BD )2 en términos de θ. A) cos6θ × cos4θ B) cos5θ × cos3θ C) sen4θ × cos2θ D) sen7θ × senθ E) sen6θ × cos4θ
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3
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PROLOGMÁTICA 2012 25.
Usando los dígitos 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y sin repetirlos,
28.
se forman 4 números de dos dígitos cada uno. Se
uno de los números 1; 2; 3; 4 o 5 de modo que en
suman entre sí los 4 números de dos dígitos que se
cada fila figuren los cinco números, en cada columna
formaron. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden
figuren los cinco números y en cada diagonal figuren los cinco números. La suma de los tres números que
obtener mediante este procedimiento? A) 15
B) 17
D) 26
26.
En cada casilla de un tablero de 5 × 5 se debe colocar
quedan colocados en las tres casillas sombreadas es el puntaje final del juego.
C) 21 E) 36
Los números 1; 2; 3; 4; 5 y 6 se deben escribir en los vértices de un hexágono regular de tal forma que la suma de los números en dos vértices adyacentes sea un número primo.
Determina cuál es el máximo puntaje que se puede obtener. A) 15
B) 14
D) 12 29.
C) 13 E) 11
¿Cuáles son los vecinos del 1?
Gabriel escribe tres números (no necesariamente distintos) en la pizarra y se da cuenta de que son capicúas y que además suman 2012. Halla la menor diferencia posible entre el mayor y el menor número que escribió Gabriel.
A) 2 y 4
A) 991
B) 2 y 6
D) 945
C) 4 y 6 30.
D) 2 y 5
B) 1997
C) 979 E) 955
Una hormiga camina por las líneas de la siguiente figura B
E) No es posible tal configuración
27.
El número N = abcdef de seis dígitos, todos distintos de cero, es múltiplo de a × c × e. Halle el mayor valor que puede tomar N . De como respuesta la suma de los dígitos de N . A) 54
B) 45
D) 36
4
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A
¿De cuántas maneras diferentes puede ir desde A hasta B, si su camino no puede pasar dos veces por el mismo punto?
C) 42
A) 52
E) 27
D) 64
B) 76
C) 36 E) 32
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