III CONCURSO NAC. DE MATEMÁTICA
3.er Año de Secundaria
PROLOGMÁTICA 2011
Tercer Año de Secundaria 1. Sea N el menor entero positivo que multiplicado por
Calcule m + n + x + y
33 resulta un número cuyos dígitos son todos iguales a 7. Determine el valor de la suma de los dígitos de N.
A) 20
C) 23
D) 25
A) 148
B) 150
C) 152
B) 18
D) 154
E) 27
4. Los nueve primeros números naturales 3º, se escriben
E) 160
en el siguiente "cuadrado mágico" en el cual la suma
2. De los alumnos que estudian en una universidad se
de los números en cada fila, en cada columna y en
observó que la probabilidad que tiene un alumno para
cada diagonal es la misma. Halle M + N + P, si además
estudiar los cursos A, B y C son 8/25, 11/50 y 9/20
a < b.
respectivamente. Además, la probabilidad de que estudie los tres cursos es 0,1. ¿Cuál es la probabilidad de estudiar solamente dos cursos, si la probabilidad de
N
estudiar por lo menos un curso es 0,55?
A) 0,20
C) 0,32
D) 0,44
B) 0,24 E) 0,40
3. Sean A, B y C tres magnitudes. Cuando C es constante, A y B están relacionados según la siguiente tabla:
A
24
36
48
60
72
m
B
4
9
16
25
36
64
M
ba
ab
P
A) 15
C) 36
D) 45
B) 18 E) 27
5. Las notas de seis alumnos de PROLOG en el curso de Aritmética constituyen una muestra unimodal, la moda es 12 y la mediana es 14. La calificación se realizó en la escala vigesimal (de 0 a 20), siendo la nota
cuando B es constante se tiene
mínima para aprobar 10. Se sabe además que dos
A
36
16
9
4
1
alumnos tienen notas que están en la relación de 2 a 1,
C
2
3
4
6
n
el producto de las notas de un par de alumnos es 180 y todos aprobaron. Determine el valor de la varianza
de dicha muestra de datos.
para las 3 magnitudes se tiene A
9
2
y
A) 6,75
B
x
2
32
C) 9,15
C
4
6
3
D) 11,73
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B) 7,64 E) 12,89
Departamento de Publicaciones
1
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6. Indique la suma de los valores enteros que satisfacen 2 x - 1 7 < < 3 x + 3 9
A) 46
C) 60
D) 68
11. Halle el número real k de modo que la solución de la 2x -1 inecuación: > k, sea el intervalo x+2
〈- ∞; - 2〉 ∪ 〈3; + ∞〉
A) 1
C) - 1
D) -3
B) 52 E) 75
B) 2 E) 5
7. La ecuación polinomial
x4 - 2x3 - 3x2 + 2x + 1=0
presenta una raíz de la forma
1− a + b − c ; 2
calcule el valor de a + b - c.
A) -2
C) 1
D) 2
12. Si a < b < 0 y S es el conjunto de solución de la ecuación: |x - a| + b = |x + a|- b;
B) 0 E) 5
entonces el conjunto S es
A) {a}
C) {a; b}
D) {a; - b}
13. Sean las matrices A=
8. Dado el polinomio P( )=x3 + 3x2 - 3x - 9 halle P
(
3
4
+ 3 2 −1
)
A) 27
C) 17
D) 7
B) 23 E) 2
C) 12
D) 15
B) 10 E) 24
10. Sea z un complejo tal que
z + 2= 10
z - i= 13
halle el menor valor de Re(z) + Im(z)
A) -12/5
C) -5/6
D) 0 2
Departamento de Publicaciones
A) -1
C) 4
D) 0
B) 6 E) - 4
1 14. Si y = x + ; entonces la expresión x x4 + x3 - 4x2 + x + 1=0 se convierte en:
calcule P (2 + 3 ) + P (2 − 3 ) . A) 7
x 1 4 x y B = donde x, y, -1 y z y
el valor de (x + y + z) es
9. Sea P (x)=x4 - 5x3 + 4x2 + 3x + 4
E) {a + b; a - b}
z no son todos cero. Si AB es la matriz nula, entonces
.
B) {- b}
A) y2 - 2y + 6=0
B) y2 - y - 6=0
C) x2 (y2+ 2y - 6)=0
D) x2 (y2+ y - 6)=0
E) x2 (y2- y + 6)=0
15. En una circunferencia de radio la unidad se inscribe un heptágono regular ABCDEFG. Halle el valor de
B) -14/5 E) 13/5
(AB)(AC)(AD)(AE)(AF)(AG).
A) 6
C) 8
D) 14
B) 7 E) 49
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16. En el gráfico mostrado se tiene que AB=AC; BD=DE y
20. Si A, B y C son puntos de tangencia y m MN=q; calcule
m S NDE=m S MDE. Calcule el valor de x.
el valor de x.
M D
E
x
B
N
A
20º
C
A) 20º
C) 30º
D) 35º
B) 25º
A)
q 4
C
M
x
q B) 45º - 4 q C) 8 q D) 45º - 8 q E) 90º - 8
B A N
21. Desde la parte superior de una torre cuya altura es de 5 m, se observa al NE la parte superior de otra
E) 40º
torre cuya altura es 10 m con un ángulo de elevación a y la parte superior de una tercera torre que está
17. Si los polígonos mostrados son regulares y el lado
en la dirección S75ºE y de altura 2 m con un ángulo
del hexágono mide ( 6 – 2 ); calcule el perímetro del cuadrado.
de depresión b. Además desde la parte superior de
A) 6 3
superior de la torre de mayor altura con un ángulo de
B) 8 2
elevación q. Halle el valor de
C) 4 6
D) 4 2
E) 8
la torre de menor altura se observa al NO la parte
8 3cotq(tana + 2tanb) 3tana · cotb
A) 1/5
ABCD
C) 6/5
(m S A=m S B=90º). En CD se ubica su punto medio
D) 9/5
18. Se
tiene
un
trapecio
rectángulo
B) 4/5 E) 12/5
M, tal que AM y BD se cortan perpendicularmente en el punto T. Si AT=8 y TM=1, calcule AB.
22. Del gráfico, halle tana. Y
A) 12
C) 5 7
D)
65
B) 11
(− 3; 4)
E) 5 13 α
19. Se tiene un triángulo equilátero ABC, M es punto
O
medio de AB y P es un punto de la región interior
X
del triángulo, tal que: m S MPB=m S APC=90º. Si AC=4 7; calcule el área del triángulo BPC.
A) 4 3
C) 4 5
D) 6
B) 8 E) 3 6
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A) - 7/12
B) - 12/7
D) - 12/5
C) - 5/12 E) - 12/13
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3
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26. Sea abcde un número de cinco dígitos no nulos tal
23. Si
f (x)=asenx + bcosx+c;
que es múltiplo de 11 y, además se cumple que edcba
halle el valor de
es múltiplo de 8. Halle el mayor valor que puede tomar la suma de sus dígitos.
π f (π − x ) − f + x 2 3π f (π + x ) − f − x 2
en términos de a y b.
A)
a - b a + b
C)
a + 2b b + a
D)
2a + b a - b
a + b b - a
B)
A) 38
C) 40
D) 41
B) 39 E) 42
27. Se disponen de S/.100 para comprar 40 sellos de S/.1; S/.4 y S/.12; ¿cuántos sellos de S/.12 deberán comprarse; si por lo menos se debe comprar un sello de cada clase?
a b
E)
24. En el gráfico, AB=BC; halle el valor de q, para que la
A) 10
C) 8
D) 3
B) 6 E) 9
tanq sea mínima. 28. La fecha del último lunes del mes pasado sumada a la del primer jueves del mes que viene da 38. Sabiendo que
A
todas las fechas mencionadas corresponden a un mismo
θ
año; ¿qué día cae el 4 de septiembre de dicho año? D H
B
C
A) lunes
C) jueves
D) domingo
B) sábado E) viernes
29. Se sabe que x + 3 =x2 + x + 2; además x =3x + 2; calcule n; si n + 2 =2.
A) 37º
C) 60º
D) 23º
B) 53º E) 30º
A) -1
C) 1
D) 2
B) 10 E) 3
25. Se han escrito nueve enteros positivos diferentes en
30. Los 2/3 de los profesores del Colegio PROLOG son
un tablero de 3 × 3, de modo que la suma de los tres
mujeres, 14 de los varones son solteros, mientras
números escritos en una misma fila o columna es un
que los 3/5 de los profesores varones son casados.
cuadrado perfecto. Si n es el mayor número en el
¿Cuál es el número total de profesores del Colegio
tablero, encontrar el menor valor posible de n.
PROLOG?
A) 9
C) 12
D) 15 4
Departamento de Publicaciones
B) 10 E) 19
A) 110
C) 100
D) 95
B) 105 E) 70
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