III CONCURSO NAC. DE MATEMÁTICA
4.o Año de Secundaria
PROLOGMÁTICA 2011
Cuarto Año de Secundaria 1. Cuatro enteros positivos a < b < c < d son tales que
5. La potencia que desarrolla el motor de un buque varía
al máximo común divisor entre cualesquiera dos de
proporcionalmente con el cubo de la velocidad de la
ellos es mayor que 1; además el MCD(a, b, c, d)=1.
embarcación. A su vez el consumo de combustible
Halle el menor valor que puede tomar d.
por hora es DP a la potencia desarrollada por el motor. Si el capitán decide ahorrar 75% del combustible
A) 10
B) 12
D) 30
total que gastaría en cierto viaje, la velocidad que
C) 15
desarrollará, respecto a la velocidad que desarrolla
E) 105
2. Indique el número de permutaciones diferentes de la palabra PROLOGMATICA tales que no contengan vocales adyacentes (dos letras consecutivas no deben ser ambas vocales).
normalmente disminuirá en porcentaje en
A) 25
B) 37
D) 75
C) 50 E) 80
6. ¿Para cuántos valores de a es cierto que la línea y=x + a pasa por el vértice de la parábola: y=x2 + a2?
A) 8 467 200
B) 9 547 200
A) 0
B) 1
C) 6 360 900
D) 10
E) infinitos valores
D) 2 822 400
E) 4 233 600
C) 2
7. ¿Para qué valor de n se verifica
i + 2i 2 + 3i 3 + ... + ni n=48 + 49i ; donde i= - 1 ?
crédito, pagando $500 como cuota inicial y firmando
A) 24
cuatro letras de $360 descontables al 10%. Si hubiera
D) 97
3. El profesor Willy compró una computadora para al
comprado al contado le descontaban el 10%. Indique el precio de lista del artefacto.
A) 1719
B) 1810
D) 1910
φ(x)=16; siendo x un número natural.
Nota: φ (x) denota el indicador o función Euler de x.
A) 4
B) 5
D) 7
E) 98
x4 - 4x3 + 6x2 - 4x=2011; es k. Determine el valor de k; donde a denota la parte entera de a.
C) 1859,66
4. Halle el número de soluciones de la ecuación:
C) 49
8. El producto de las raíces no reales de
E) 2122,22
B) 40
A) 43
B) 44
D) 46
C) 45 E) 48
9. Encuentra el mínimo valor de la función
f (x)= 4x2 - 12x + 13 + 4x2 - 28x + 53
C) 6
A) 5,2
B) 3 3
C) 3 2
E) 8
D) 4 3
E) 4 2
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1
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Colegios PROLOG
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10. Dados x, y, z ∈R+ tales que 2 xy + xz =1 3yz 4zx 5xy encuentre el mínimo valor de: + + x y z A) 2 3 B) 3 2 D) 3
A) 2 u2
10 − 2 5 2 D) u 2
B)
3 u2
en el punto P. Si AB=3; BC=5 y CD=4; calcule DE. P
C) 4 E) 2 6
11. Desde un punto P exterior a una circunferencia, se trazan las tangentes PA y PB (A y B puntos de tangencia), luego, se ubican los puntos medios M y N de AP y BP respectivamente, tal que BM interseca a la circunferencia en el punto Q. Si m S APB=36º y (QM) (QN)=4 u2; calcule el área de la región triangular MQN.
15. En el gráfico se muestran 3 circunferencias tangentes
5 + 1 2 C) u 2 5 − 1 2 E) u 2
A
A) 75º
B) 45º
2 D) arcsen 5
A) 21/8
A) q/2 B) q D) q/5
3 E) arctan 7
C) 3q/2 E) 4q/3
7 14. Se tiene el cuadrado ABCD de lado igual a u, 22 tomando como diámetro a AD se traza interiormente una semicircunferencia, en la cual se ubica el punto P; luego se traza el cuadrado DPQR. Si el punto P se desplaza en la semicircunferencia de A hasta D, al trazar el cuadrado DPQR, R en su desplazamiento describe una línea. Calcule aproximadamente la longitud de dicha línea. A) 0,5 u B) 1 u D) 1,5 u
2
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B) 28/13
D) 12/7
C) 14/5 E) 16/9
16. En el gráfico los trapecios isósceles ABCD y BPQD son congruentes. Halle x. (BC // AD y PQ // BD) P 217 2
B
Q
C
x
C) 60º
13. En un triángulo ABC, de incentro I, circuncentro O y baricentro G, la m S BCA=q y IG ∩ BC={T}. Si m S BIO=90º; calcule m S BTG.
B
E
12. Por el punto M del lado AB de un cuadrado ABCD se traza MQ perpendicular al plano que contiene a dicho cuadrado, tal que MQ=(MB) 3; en el lado AD se ubica el punto T, tal que MT ⊥ MC. Si m S AMT= m S MCT, calcule la medida del ángulo formado por QD y BC.
D
C
C) 0,4 u E) 0,75 u
A
A) 28º
D) 74º
D B) 30º
C) 45º E) 53º
17. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Si el número de lados de un polígono es n, entonces la suma de las medidas de sus ángulos internos es 180º (n - 2).
II. Si un cuadrilátero es equilátero y sus diagonales congruentes, entonces dicho cuadrilátero es regular.
III. Para todo polígono convexo de n lados la suma de las medidas de los ángulos externos es 360º.
IV. El polígono regular cuyo ángulo central tiene máxima medida no tiene diagonales.
A) VVVV
B) VFVV
D) FFFF
C) VVFF E) FVFV
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18. Si CT=TO y BP=PD; calcule el valor de x. C
Q
3 21. En el gráfico, tanq= y S representa el área de la 5 S región sombreada. Halle M= ; senq × cos(45º + q)
T O
A
(P, Q y R son puntos de tangencia).
x B
B Q
P
P
D
A) 4º
D) 16º
3
B) 14º
C) 8º E) 15
19. En el gráfico I y J son incentros de los triángulos ABC y PBQ. Si JI=a y DI=b; calcule BJ. B
α
Q
I α
A
D B)
A
A) 20 2
D) 50 2
R
C
B) 30 2
C) 40 2 E) 60 2
22. En el gráfico
J P
2θ
C
a2 + b2
A) a + b
D) b - a
•
BP es la bisectriz del ángulo ABC.
•
CP es la bisectriz del ángulo BCD.
•
MN es paralelo a AD
•
BM=a
•
CN=b
halle MN en función de a y b. a b
C)
ab
A)
E)
a2 b - a
B) ab
C) a + b
D)
E) 2ab
20. Según el gráfico, A es punto de tangencia. Si mAM=m NB y CM=1; calcule MD.
a + b 2
C B M
N
P
A
D
A
C
23. Halle el valor de x, tal que tanx sea mínimo. Además,
M
se cumple AB=BC=DE. D
N
B
A) 1
B) 1,5
D) 2
D
C) 1,8 E) 3
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A) 15º
B) 30º
C) 45º
D) 60º
E) 26,5º
x
A
B
Departamento de Publicaciones
E
C 3
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24. Del gráfico, halle el valor de
9 · tanb tanφ
27. En una urna hay 18 bolas, de las cuales 12 son de color verde y el resto de color azul. Se extraen dos bolas, una por una son reposición. Halle la probabilidad de
Y (0; 7)
que ambas sean de color azul.
φ α
α
α
(3; 0)
X
β
A) 0,09901
B) 0,08710
C) 0,08722
D) 0,09803
E) 0,08903
28. La red ferroviaria de una ciudad tiene a la venta boletas para viajar de una estación a otra. Cada boleto
A) - 49
B) - 9
D) 9
C) 1
especifica la estación de origen y la del destino.
E) 49
Cuando se va añadiendo varias estaciones nuevas a la red se tuvo que imprimir 76 nuevas clases de boletas.
25. ¿Cuántas ternas (a, b, c), siendo a, b y c enteros
¿Cuántas estaciones nuevas se sumaron a la red?
positivos, cumplen las siguientes condiciones?
•
a divide a b;
A) 4
•
b divide a 2c;
D) 8
•
c divide a 4a;
• (a + b + c) divide a 100.
A) 15
D) 20
B) 2
C) 19 E) 6
29. Alberto tienen una retícula de 4 × 4 cuadrados en las cuales está tratando de colocar tantas fichas como
B) 17
C) 18
le sea posible. No se puede colocar más de una ficha
E) 21
en cada cuadrado y no se pueden colocar más de tres fichas en cada fila, columna o diagonal. ¿Cuál
26. En la figura de abajo se van pintando de negro, en cada
es el máximo número de fichas que Alberto puede
paso, tres puntos que son los vértices de un triángulo
colocar?
equilátero. Si después de algunos pasos solo queda un punto sin pintar, ¿en cuántas posiciones diferentes
A) 9
puede estar dicho punto?
D) 12
B) 10
C) 11 E) 13
30. Al contar n bolas de colores, algunas rojas y el resto negras, se encontró que 49 de las primeras 50 contadas eran rojas. De ahí en adelante, 7 de cada 8 contadas eran rojas. Si en total el 90% o más de las bolas contadas eran rojas, el valor máximo de n es
A) 6
D) 13 4
B) 7
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C) 12
A) 225
B) 210
E) 25
D) 180
C) 200 E) 175
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