RA,ONA%IENTO %ATE%-TICO MATEMATICA RECREATIVA 1. SITUACIONE SITUACIONES S CON CON PALITO PALITOS S DE DE FÓSFORO FÓSFORO
E!em"#o $ En la siguiente igualdad incorrecta mover solamente un palito de fósforo & transformarlo en una igualdad correcta.
Esta parte de la matemática recreativa trata de resolver situaciones en los cuales intervienen palitos de fósforo o cerillas. Las situaciones problemáticas se dividen en tres tipos de análisis: a. Resolv Resolver er las situac situacion iones es quitando palitos. quitando palitos. b. Resolv Resolver er las situac situacion iones es moviendo palitos. moviendo palitos. agregando palitos. c. Resolv Resolver er las situac situacion iones es agregando palitos.
Resoluc Reso lución ión 'odos nosotros sabemos $ue * es igual a + & no a como aparece en la igualdad propuesta! por lo tanto para lograr lograr transf transform ormarl arla a en una igualda igualdad d correc correcta ta ,a& $ue mover un palito de la siguiente manera:
Esti Estima mado do alum alumno no para para el anál anális isis is de las las situ situaci acion ones es anteri anteriorm orment ente e descrit descritas as debes debes de tener tener en cuenta cuenta las siguientes consideraciones: • No es válid válido o doblar doblar o romp romper er los los palito palitos. s. • En las las figura figurass confo conform rmad adas as por por ceril cerilla lass no es válido válido dejar palitos libres (cabos sueltos) sueltos) es decir! decir! es incorrecto incorrecto dejar una figura de la siguiente manera:
P a l i t o l ibi b r e o c a b o s u e lt o P a l iti t o l ibi b r e
$. TRANS% TRANS%ISI ISIONE ONES S & EN'RA EN'RANA( NA(ES ES En esta segunda parte anali-aremos la transmisión del movimiento $ue van a ad$uirir los engranajes & las ruedas propuestas. N'%: N'%: No olvidar $ue e/isten dos tipos de giros:
"eamos a continuación unos ejemplos
E!em"#o 1 #uit #uitar ar dos dos pali palito toss de fósf fósfor oro o para para $ue $ue $ued $ueden en solamente cuatro cuadrados iguales.
Giro horario
Giro antihorario
0ara 0ara una mejor mejor compre comprensi nsión ón del tema tema anali-a anali-arem remos os & completaremos las siguientes situaciones: a. Sit Situa)i ua)i*n *n 1 A
Resolución
B
1i la rueda 2%2 gira en sentido ,orario entonces la rueda 232 girará en sentido anti,orario. 4onclusión: 5os ruedas en contacto girarán en sentidos opuestos. +. Sit Situa)i ua)i*n *n $
%l eliminar los palitos indicados! $uedarán cuatro cuadrados iguales de la siguiente manera:
A
B
1i la rueda 2%2 gira en sentido ,orario entonces la rueda 232 girará en sentido ,orario.
4onclusión: 5os ruedas unidas por una faja abierta girarán en sentidos iguales. ). Sit Situa)i ua)i*n *n 'ra-ar dos l;neas rectas & lograr dividir la figura adjunta en cuatro partes. A
B
Resoluc Reso lución ión
1i la rueda 2%2 gira en sentido ,orario entonces la rueda 232 girará en sentido anti,orario.
Reali-amos los dos tra-os de la siguiente forma:
4onclu 4onclusió sión: n: 5os ruedas ruedas unidas unidas por una faja faja cru-ad cru-ada a girarán en sentidos opuestos. d. Situ Situa) a)i* i*n n/ A B
1i la rueda 2%2 gira en sentido ,orario entonces la rueda 232 girará en sentido ,orario. 4onclusión: 5os ruedas unidas por el mismo eje girarán en sentidos iguales. % continuación resolveremos dos ejercicios con lo anteriormente deducido: E!er)i)io 1
TALLER *. % continu continuaci ación ón se muestr muestra a una operaci operación ón incorrec incorrecta ta formada por palitos de fósforo:
1e le pide a
1i la rueda 2%2 gira en el sentido $ue indica la flec,a! 6en $u7 sentidos giran las ruedas 232 & 242 respectivamente8 A
C
B
3. 999999 999999999 999999 999999 999999 99999 99
+. bser bserve ve la siguie siguiente nte figura figura confor conformad mada a por palitos palitos de fósforo:
4. 999999 999999999 999999 999999 999999 99999 99 E!er)i)io $ 1i la rueda 2%2 gira en sentido anti,orario! 6en $u7 sentido giran las ruedas 232 & 242 respectivamente8 A
1e le pide a
B
C
3. 999999 999999999 999999 999999 999999 99999 99 4. 999999 999999999 999999 999999 999999 99999 99 . DI0I DI0ISI SIÓN ÓN DE DE FI'UR FI'URAS AS En esta esta lti ltima ma part parte e de mate matemá máti tica ca recr recrea eati tiva va anali-aremos la división de figuras en función de diversas situaciones ra-onadas. 0ara ello estimado alumno 'rilce tendrás $ue utili-ar toda tu agude-a e ingenio matemático para sus respectivas resoluciones. "eamos a continuación algunos ejemplos:
E!em"#o 1
. En la igualdad incorrecta $ue se propone a cont contin inua uaci ción ón!! 6cuá 6cuánt ntos os palit palitos os ,a& ,a& $ue $ue move moverr como como m;nimo para lograr convertirla en una i gualdad correcta8
=. En la siguiente figura! 6cuántos palitos ,a& $ue $uitar como m;nimo para obtener tres triángulos iguales8 . 64uál será la menor cantidad de palitos a mover para $ue el perrito mire para el otro sentido8 bservación: el perrito debe estar siempre con la cola ,acia arriba.
>. En la figura adjunta! 6cuántos palitos ,a& $ue agregar como m;nimo para lograr obtener dos triángulos iguales & un rombo8
a) * d) =
b) + e) >
c)
=. 64uántos palitos de fósforo como m;nimo debes agregar para formar oc,o cuadrados8
?. En los engranajes $ue se proponen a continuación! la rueda 2%2 gira en sentido ,orario. 5eterminar en $u7 sentido gira las ruedas 232 & 242 respectivamente.
A
B
a) b) = c) > d) ? e) @ >. 64uántos palitos de fósforo debes retirar como m;nimo para $ue $uede uno8
C
La rueda 232 gira en sentido: 999999999999999 La rueda 242 gira en sentido: 999999999999999
a) ? d) A
b) @ e) =
c) >
?. 6En $u7 sentido giran 232 & 242! si el engranaje 2%2 gira en el sentido $ue indica la flec,a8
PRACTIQUEMOS
B
*. La siguiente figura representa un recogedor! dentro del cual se encuentra un papel. 4ambiando de posición dos palitos del recogedor! el papel debe $uedar afuera 6$u7 palitos tendr;an $ue moverse8
C
A
3.9999999999
4. 9999999999
@. 1i el engranaje 2*2 se mueve como indica la flec,a! decir cuántos se mueven en sentido ,orario. 1
+. 4ambiando la posición de dos palitos de fósforo ,a& $ue reducir de > a =! el nmero de cuadrados. 64ómo lo ,ar;as8 a) + d) >
b) e) ?
c) =
>. 1e ,a construido una casa utili-ando die- palitos de fósforo. 4ambiar en ella la posición de dos palitos de fósforo! de tal forma $ue la casa apare-ca de otro costado.
A. 5ividir la figura en cuatro partes e/actamente iguales en forma & tamaBo. ?. 1e tienen doce palitos de fósforos dispuestos como muestra el gráfico adjunto! usted debe retirar dos palitos de fósforo & lograr $ue $ueden solo dos cuadrados.
C. 5ividir la figura en cuatro partes e/actamente iguales en forma & tamaBo. @. 1i la rueda 2%2 gira en sentido ,orario! 6en $u7 sentido giran las ruedas 232 & 2428
B
C
*D. 6En $u7 sentido giran 232 & 242 respectivamente! si 2%2 gira en el sentido $ue indica la flec,a8
A
32 gira en sentido 9999999999 242 gira en sentido9999999999
B A
A. 6En $u7 sentido giran los engranajes 2%2 & 252! si 242 gira en el sentido $ue indica la flec,a8 A
B
C
C
TAREA DOMICILIARIA En los problemas $ue se proponen a continuación las igualdades son incorrectas! en cada uno de ellos mueva
D E
2%2 gira en sentido9999999999 252 gira en sentido9999999999
*. C. 1i el engranaje 2%2 se mueve como indica la flec,a! indicar en $u7 sentidos giran 242! 252 & 2E2. A
+. B
C
.
D
E
242 gira en sentido 9999999999 252 gira en sentido9999999999 2E2 gira en sentido9999999999 =. 4ambiando de posición un palito de fósforo ,acer $ue el animal representado mire al otro lado.
*D. 1i el engranaje 2E2 gira tal & como indica la flec,a! mencione $u7 engranajes giran en sentido anti,orario.
9 B
5 C
E
3
0ara un mejor entendimiento completaremos paso a paso los casilleros en blanco.
A D
9
**. ndicar cuántos giran en sentido ,orario! si el engranaje 2%2 gira en el sentido $ue indica la flec ,a.
9
5
A
2
5 3
2
9 4
5
3
2
4 3
1
. SITUACIONES RA,ONADAS DI0ERSAS Esta ltima parte tratará de ciertas situaciones problemáticas donde su resolución re$uiere de la aplicación del ra-onamiento e ingenio matemático. Esperamos $ue este subcap;tulo sea tan interesante como los anteriores. a) > d) =
b) ? e) A
c) @
MATEMÁTICA RECREATIVA II 1. FOR%ACIÓN DE N%EROS En este subcap;tulo el objetivo principal va a ser formar nmeros dadas cierta cantidad de cifras! para ello utili-arás las cuatro operaciones fundamentales como base para la resolución de los problemas. Recuerda $ue a$u; pondrás a prueba toda tu ,abilidad num7rica & operativa.
E!em"#o 1 La siguiente figura representa seis copas! las tres primeras están llenas con vino & las tres ltimas están vac;as. Foviendo una sola copa lograr $ue 7stas $ueden alternadas es decir! una llena & una vac;a! 6$u7 copa mover;as & cómo8
1 2 3 4 5 6 Resolución Fover;amos la copa + & vaciamos su contenido en la copa >.
"eamos a continuación dos ejemplos: E!em"#o 1 4on tres cifras 2=2 & utili-ando las operaciones fundamentales (adición! sustracción! multiplicación & división) formar el nmero >.
1
3
4
5
6
Luego de ello $uedar;a as;:
Resolución 0ara formar el nmero > ,a& $ue emplear las tres cifras 2=2 de la siguiente forma: 4
4
1 4
1
5
4
$. CONSTRUCCIONES NU%2RICAS En esta parte de la matemática recreativa deberás colocar en los c;rculos o recuadros en blanco ciertas cifras! con el objetivo de obtener construcciones num7ricas en las figuras propuestas.
2
3
4
5
6
PRACTIQUEMOS *. 4on cinco cifras 2>2 & utili-ando las operaciones fundamentales (adición! sustracción! multiplicación & división) formar el nmero >.
N'%: 4uando colo$ues las cifras propuestas en las figuras adjuntas no es válido repetir las cifras. 0ara un mejor entendimiento resolveremos dos ejemplos: E!em"#o 1 4ompletar los nmeros $ue faltan en los casilleros en blanco de la torre mostrada! con la condición $ue el casillero superior sea la suma de los dos inferiores & ad&acentes a 7l.
+. 4on cinco cifras 2C2 & utili-ando las cuatro operaciones básicas obtener el nmero *+.
. 4on siete cifras 2@2 & utili-ando las cuatro operaciones fundamentales formar el nmero *@.
=. 4olocar las cifras del * al @! una en cada c;rculo! de tal manera $ue la suma en cada l;nea de tres c;rculos sea *D.
>. 4omplete los nmeros $ue faltan en los casilleros! teniendo en cuenta $ue la suma de dos nmeros de casilleros consecutivos de cual$uier fila debe dar el nmero en el nivel inmediato superior.
5
8
C. 4olocar los nmeros del * al @ sin repetir! de tal manera $ue los nmeros de arriba sean el resultado de la suma de los dos de abajo ad&acentes a 7l.
*D. 5os adultos & dos niBos deben cru-ar un r;o empleando para ello una canoa $ue soporta como má/imo AD Gg. 1i cada niBo pesa =D Gg & cada adulto AD Gg! 6cómo deben ,acer para cru-ar todos en la menor cantidad de viajes8 **. 4olocar las cifras del * al @ en cada espacio de los c;rculos para $ue la suma de los nmeros de cada c;rculo sea *.
10 6
1
?. 1e colocan nueve monedas tal como indica la figura! dibujando solamente dos cuadrados deberás ubicarlos en regiones $ue contengan solamente una moneda.
*+. % 4o$uito se le cae su reloj! $uedando este partido en tres! & observa curiosamente $ue en cada región la suma de sus valores es la misma. ndicar cómo $uedó dividido dic,o reloj. 11
12
1
10
2
8
4
9
3 7
6
5
TALLER @. 64uántas monedas se deben cambiar de lugar como m;nimo para pasar de la posición 2%2 a la posición 2328
A a) d) ?
*. 1e tienen las siguientes cifras: 1e le pide a
B b) = e) @
c) >
A. 1e desea dividir una torta en oc,o partes utili-ando nicamente tres cortes! 6cómo deberá reali-ar dic,os cortes8
+. 1e proponen las siguientes cifras: > > >. 1e le pide a
. 4on solamente cuatro cifras 2+2 & utili-ando correctamente uno o más signos aritm7ticos obtenga como resultado >.
PROBLEMAS PARA LA CLASE *. 4on tres cifras 2+2 & utili-ando las operaciones fundamentales (adición! sustracción! multiplicación & división) formar el nmero . =. 4on solamente cuatro cifras 2?2 & empleando convenientemente uno o más signos aritm7ticos obtenga como resultado @.
>. En los c;rculos vac;os del triángulo mostrado colo$ue con la condición $ue cada uno de sus lados siempre sumen C.
+. 4on tres cifras 2?2 & utili-ando las cuatro operaciones básicas obtener el nmero D. . 4on cuatro cifras 2>2 & utili-ando las cuatro operaciones fundamentales formar el nmero @. =. 1olamente con cuatro cifras 2=2 & utili-ando las operaciones fundamentales obtener los nmeros del * al *D inclusive. *I +I I =I >I
?. 4olo$ue & ? (sin repetir) en los c;rculos vac;os de la siguiente figura! con la condición $ue la suma de cada lado del triángulo sea igual a **.
?I @I AI CI *D I >. 4olocar los nmeros del * al ? (sin repetir) en los c;rculos del triángulo! de manera $ue la suma por lado sea igual a *+.
@. 4omplete los nmeros $ue faltan en los casilleros de la siguiente pirámide! teniendo en cuenta $ue la suma de los nmeros de dos casilleros ad&acentes resulte el casillero inmediato superior. ?. 4olocar los nmeros del * al A! de tal forma $ue en cada fic,a la suma sea la misma.
5
2
4
A. 4omplete los nmeros $ue faltan en los casilleros de la pirámide adjunta! con la condición $ue la suma de los nmeros de dos casilleros ad&acentes den como resultado el casillero inmediato superior.
28 12 8 1
@. 4omplete los nmeros $ue faltan en los casilleros! teniendo en cuenta $ue la suma de dos nmeros consecutivos de cual$uier fila! debe dar el nmero superior.
29
problema & no pretender llevar todas las relaciones utili-ando solamente la lógica.
8
Esta primera parte tratará e/clusivamente del R5EN%FEN' LNE%L! para lo cual anali-aremos los tres casos $ue presenta este ordenamiento! $ue son:
15
A. 4omplete los nmeros $ue faltan en los casilleros! teniendo en cuenta $ue la suma de dos nmeros consecutivos de cual$uier fila debe dar el nmero superior.
7
6 5
4
C. 5isponer los nmeros del al A (sin repetir) en los c;rculos del triángulo! de manera $ue la suma por lado sea igual a *A.
*. rdenamiento creciente & decreciente +. rdenamiento lateral . rdenamiento por posición de datos 1. ORDENA%IENTO CRECIENTE & DECRECIENTE Este caso se reconoce por$ue los datos $ue se presentan son susceptibles a ser ordenados de ma&or a menor & viceversa (en forma creciente o decreciente)! por ejemplo nuestras edades! estaturas! pesos! puntajes $ue obtenemos en un e/amen! etc. 0ara una mejor comprensión de este ordenamiento resolvamos a continuación dos ejemplos:
E!em"#o 1 Jos7 es más alto $ue Eduardo pero más bajo $ue Kildder! Rommel es más alto $ue Kildder pero más bajo $ue %le/. 6#ui7n es el más alto de todos8 6#ui7n es el más bajo de todos8 Re3o#u)i*n
*D. 4olocar los nmeros del * al C (sin repetir) en los c;rculos de la cru-! de manera $ue la suma por cada fila (vertical & ,ori-ontal) sea igual a +@.
A le #
**. En los c;rculos de la rueda disponer los nmeros del * al C (sin repetir) de modo $ue la suma por cada diámetro sea igual a *>.
$o%%el Giler 0or lo tanto el ordenamiento $uedar;a as;: A le # $o%%el Giler !os"
ORDEN DE INFORMACIÓN 1 Estos problemas se caracteri-an por presentar un conjunto de datos desordenados $ue necesariamente contienen toda la información $ue se re$uiere para dar la solución & su respectiva respuesta a dic,os problemas.
Euaro
Luego el más alto de todos es %le/ & el más bajo de todos es Eduardo. $. ORDENA%IENTO LATERAL En este caso el ordenamiento de los datos se reali-a lateralmente (en forma ,ori-ontal)! por ejemplo cierta cantidad de personas sentadas en una banca (cada una se encuentra al lado de otra) o un conjunto de casas construidas en una avenida una a continuación de otra.
%ntes de resolver los ejercicios estimado alumno debes de saber $ue en un ordenamiento lateral se cumple lo siguiente: #<ER5% 44 5ERE4M% 44 E1'E E1'E 44 445EN'E REN'E N'%: Es frecuente $ue en este tipo de ordenamiento encuentres la palabra %5%4EN'E! la cual $uiere decir 2junto a2 o 2al lado de2.
=. % una fiesta asisten cinco amigos & respecto a ellos se tiene la siguiente información: P %ntonio es más alto $ue 3ernardo. P 4arlos es el más alto de todos. P 5avid es más alto $ue %ntonio. P Eduardo es más bajo $ue %ntonio. 1i Eduardo no es el menor de todos! 6$ui7n lo es8
. ORDENA%IENTO POR POSICIÓN DE ELE%ENTOS Es a$uel ordenamiento donde los datos ocupan posiciones determinadas o fijas! como los pisos ubicados en un edificio o los puestos $ue e/isten en una competencia deportiva (primer puesto! segundo! tercero! etc.).
TALLER *. 1e sabe $ue %rturo es menor $ue Jorge & $ue Oernando! pero Jorge es ma&or $ue Oernando. 6#ui7n es el menor de todos ellos8
>. 'res amigos viven en casas ad&acentes. 1i Kildder vive a la i-$uierda de Rommel pero a la derec,a de Jos7! 6$ui7n vive a la i-$uierda de los demás8
?. 4uatro seBoritas viven en casas contiguas & se sabe $ue: P La casa de 5ora $ueda junto & a la derec,a de la casa de %manda. P 4armen vive a la i-$uierda de la casa de 5ora. P 3eatri- vive a la derec,a de la casa de %manda. 6#ui7n vive a la derec,a de las demás8
+. 5e tres amigas se sabe lo siguiente: P P P
%ndrea es menor $ue Kabriela. "ania es ma&or $ue %ndrea. Kabriela es menor $ue "ania.
5e todas ellas! 6$ui7n es la menor8
PRACTIQUEMOS *. 5e un grupo de personas se sabe lo siguiente: Eduardo tiene aBos más $ue Rub7n! 7ste tiene + aBos más $ue 5ann&! Fanuel > aBos más $ue Eduardo & Jo,n tiene = aBos más $ue Fanuel. 6#ui7n es la persona $ue tiene más edad8 a) Rub7n d) Eduardo
b) 5ann& e) Jo,n
c) Fanuel
+. En una reunión un caballero comenta lo siguiente: 2Fariela pesa = Gg menos $ue 1of;a! "anessa pesa Gg más $ue 1of;a! Ro/ana pesa + Gg menos $ue 0aola & 7sta pesa * Gg menos $ue Fariela2. 6#ui7n es la seBorita $ue pesa menos8 . 1i se sabe $ue: P 1ergio es más alto $ue Far;a pero más bajo $ue Luis. P 'ania es más baja $ue Far;a. 6#ui7n es el ma&or & la menor respectivamente8
a) 1of;a d) 0aola
b) "anessa e) Ro/ana
c) Fariela
. En un e/amen de Ra-onamiento Fatemático se obtiene la siguiente información: 'iburcio obtuvo > puntos más $ue Olorencio! $ui7n a su ve- obtuvo puntos menos $ue 4lodomiro! 0ancracio sacó ? puntos más $ue Eucalipta! 7sta sacó @ puntos menos $ue 'iburcio & %nacleta + puntos más $ue 0ancracio. 6#ui7n obtuvo el segundo mejor puntaje8
a) Olorencio d) 'iburcio
b) 4lodomiro e) %nacleta
=. 5e un plano vial se sabe $ue: la carretera 2%2 mide +D Gm más $ue la carretera 252! la carretera 242 mide D Gm menos $ue la 2E2! 7sta mide =D Gm más $ue la carretera 2%2 & la carretera 232 mide *D Gm menos $ue la 242. 64uáles son las carreteras $ue tienen igual longitud8 a) 2%2 & 232 b) 242 & 252 c) 232 & 252 d) 252 & 2E2 e) 2%2 & 2E2 >. 1i se sabe $ue: Qatt& es la ma&or. 0amela es menor $ue 'elma. Moracio es ma&or $ue 1ergio & 'elma. Kildder es ma&or $ue Moracio. 1ergio es menor $ue 'elma. 1i 0amela no es la menor de todos! 6$ui7n es el menor8 a) Moracio b) Kildder c) 'elma d) 1ergio e) 0amela ?. En un castillo de cuatro pisos se sabe $ue viven cuatro familias! cada familia en un piso diferente & se sabe $ue la familia 0icapiedra vive un piso más arriba $ue la familia 1upersónico! la familia Fármol ,abita más arriba $ue la familia Neutrón & los 0icapiedra viven más abajo $ue los Neutrón. 6En $u7 piso ,abitan los 0icapiedra8 a) 0rimero d) 4uarto
b) 1egundo e) #uinto
c) 'ercero
@. 4inco personas 2L2! 2F2! 2N2! 202 & 2#2 se sientan en una banca. 1e sabe $ue: 2L2 se sienta junto & a la derec,a de 2N2 & ad&acente a 202. 2F2 se sienta a la i-$uierda de 2N2 & 2#2 se sienta a la derec,a de 202. 6#ui7n se sienta al centro8 a) 2L2 d) 202
b) 2F2 e) 2#2
c) 2N2
A. 5e los seis participantes de una carrera de *DD metros planos se supo $ue: 22 llegó en cuarto lugar e inmediatamente detrás de 22! $uien a su ve- llegó antes $ue 2S2 pero despu7s $ue 2<2 además se sabe $ue 22 no ganó la carrera & 2"2 llegó despu7s $ue 2S2. 6#ui7n $uedó en primer lugar en dic,a carrera8 a) 22 d) 2S2
b) 22 e) 22
c) 2<2
C. 4inco familias: los ábar! los Navarro! los 4a$ui! los 0e-o & los Kon-áles viven en cinco casas contiguas & de ellos se conoce $ue: Los Navarro viven a la i-$uierda de los 0e-o. La casa de los 0e-o $ueda junto & a la derec,a de la casa de los 4a$ui. La casa de los ábar está a la derec,a de los demás. Los 4a$ui viven a la i-$uierda de los Kon-áles. 6#u7 familia vive a la i-$uierda de los demás8 a) Navarro d) Kon-áles
b) 0e-o e) ábar
TAREA DOMICILIARIA
c) Eucalipta
c) 4a$ui
*. Far;a es menor $ue Jos7 & Rosa es ma&or $ue Far;a pero Jos7 es menor $ue Rosa. 5e todos ellos! 6$ui7n es el ma&or8 a) Far;a d) Julio
b) Jos7 c) Rosa e) Oalta información
+. 1e sabe $ue Juan es ma&or $ue 4arlos & 4arlos es ma&or $ue Enri$ue. 6#ui7n es el menor de todos! si 0edro & %ntonio son ma&ores $ue Juan8 a) Juan d) %ntonio
b) 4arlos e) Enri$ue
c) 0edro
. 1e sabe $ue: %lberto es ma&or $ue 3eatri- pero menor $ue 4at,erine. 4at,erine es ma&or $ue 5avid pero menor $ue Elena. 5avid es ma&or $ue %lberto. 6#ui7n es el ma&or de todos8 a) 3eatrid) 4at,erine
b) 5avid e) %lberto
c) Elena
=. 1egn el problema anterior! 6cuántas personas son ma&ores $ue %lberto8 a) * b) + c) d) = e) no se puede determinar >. 4uatro amigas viven en la misma calle! si sabemos $ue: Janisse vive a la i-$uierda de Trsula La casa de Trsula $ueda junto & a la derec,a de la de end&. end& vive a la i-$uierda de Noem;. 6#ui7n vive a la i-$uierda de las demás8 a) Trsula d) end&
b) Noem; e) Oaltan datos
c) Janisse
?. %ngela! 3rescia! 4arolina & 5iana viven en cuatro casas contiguas. 1i %ngela vive a la derec,a de 4arolina! 3rescia no vive a la i-$uierda de 5iana & %ngela vive entre 5iana & 4arolina podemos afirmar $ue: a) b) c) d) e)
5iana vive a la derec,a de las demás %ngela vive a la i-$uierda de las demás. 4arolina vive a la derec,a de 5iana %ngela vive a la derec,a de 3rescia. 4arolina vive a la i-$uierda de las demás.
@. 1e tiene la siguiente información: La ciudad 2%2 se encuentra al este de la ciudad 232. La ciudad 242 se encuentra al oeste de la ciudad 252. La ciudad 232 se encuentra al este de la ciudad 252. 64uál de las ciudades anteriormente descritas se encuentra al este de las demás8 a) % b) 3 c) 4 d) 5 e) E A. El volcán 'emboro está ubicado al este del volcán 1umatra. El volcán Etna está al oeste del QraGatoa & este ltimo está ubicado al oeste del 1umatra. 64uál es el volcán ubicado más al oeste8 a) QraGatoa d) Etna
b) 1umatra c) 'emboro e) No se puede determinar
C. 4uatro personas 202! 2#2! 2R2 & 212 viven en un edificio de cuatro pisos! cada una en un piso diferente. 1i se sabe $ue 2R2 vive un piso más arriba $ue 202 2#2 vive más arriba $ue 212 & 2R2 vive más abajo $ue 212. 6En $u7 piso vive 2R28 a) *U d) =U
b) +U e) 1ótano
c) U
*D. 1e tiene un edificio de cuatro pisos & se sabe $ue en cada piso vive una familia. La familia 4astro vive ad&acente a la familia Fac,ado & a la familia 'ello la familia Oarfán vive más abajo $ue los 4astro. 1i la familia Fac,ado no vive en el cuarto piso! entonces 6$ui7n vive en dic,o pis o8 a) 'ello c) 4astro e) Oalta información
b) Oarfán d) Fac,ado
6#ui7n se sienta junto & a la derec,a de 2%28 9999999999999999999999999999
6#ui7n se sienta junto & a la i-$uierda de 2O28
9999999999999999999999999999 6#ui7n se sienta frente a 2528 9999999999999999999999999999
6#ui7nes se sientan ad&acentes a 2328 9999999999999999999999999999
**. 4inco personas 252! 2E2! 2O2! 2K2 & 2M2 viven en un edificio de cinco pisos! cada uno en un piso diferente. 1e sabe además $ue 252 vive en el segundo piso! 2O2 vive ad&acente a 2M2 & 252 & 2E2 vive más arriba $ue 2K2. 6#ui7n vive en el primer piso8 a) O d) E
%corde al gráfico! responder las siguientes preguntas:
b) 5 e) M
c) K
ORDEN DE INFORMACION II En este cap;tulo seguiremos ordenando un conjunto de elementos en forma gráfica pero esta ve- anali-aremos los datos mediante un R5EN%FEN' 4R4
E!er)i)io 1 En una mesa circular con cuatro sillas distribuidas sim7tricamente se sientan cuatro personas se sabe $ue: Kildder se sienta frente a Jorge. Jorge se sienta a la derec,a de Oernando. Rommel observa entretenidamente la conversación de los demás. 6#ui7n se sienta a la i-$uierda de Kildder8 Resolución 5enotemos los nombres de la s iguiente manera: Kildder I K Jorge I J Oernando I O Rommel I R para un mejor entendimiento resolveremos paso a paso: * o o l+ i e s , u e e l ) r i% e r a t o lo ) u e e s c o lo c a r e n c u a l, u ie r a e l a s s i l la s -
$ G
E!em"#o 1eis personas 2%2! 232! 242! 252! 2E2 & 2O2 se sientan en seis sillas distribuidas sim7tricamente alrededor de una mesa redonda. Entonces dibujaremos dic,a mesa de la siguiente manera:
!
D E
C
&
B A
G
! &
G il e r s e s ie n t a 'r e n t e a ! o r ( e
! o r ( e s e s ie n t a a l a e re c h a e &ernano
G
! &
$ o % % e l e s la cuarta )erson a
E!er)i)io $ 1eis amigas se sientan alrededor de una mesa redonda con seis asientos distribuidos sim7tricamente. 1i se sabe $ue:
%na se sienta junto & a la derec,a de 3ets& & frente a 4ecilia. 5aniela no se sienta junto a 3ets&. EriGa no se sienta junto a 4ecilia. Oabiola es la más animada de la reunión.
6Junto a $ui7nes se sienta Oabiola8
TALLER DE APRENDIZAJE Enun)iado 1 En la mesa $ue se propone a continuación están sentadas cuatro personas de la siguiente manera:
B
A
@. En una mesa circular con cuatro sillas distribuidas sim7tricamente están sentadas cuatro amigas de la siguiente manera: FilusGa se sienta frente a Noem; & a la i-$uierda de Liliana! además Qatt& está conversando entretenidamente con FilusGa. 6#ui7n se sienta a la derec,a de Liliana8
C
D Responda
A. En una mesa redonda se encuentran sentados en forma sim7trica cuatro alumnos del si guiente modo: Luis está a la derec,a de %lfredo pero a la i-$uierda de 5aniel! además Fanuel está observando como discuten acaloradamente %lfredo & Luis. 6#ui7n se sienta frente a 5aniel8
+. 6#ui7n se siente junto & a la i-$uierda de la persona 2528 9999999999999999999999999999999999999999 Enun)iado $ En la mesa circular adjunta se sientan: Kildder! Rommel! Jos7! Eduardo! 4arlos & %le/! tal & como se muestra a continuación:
G !
E
C
$ A
PROBLEMAS PARA LA CLASE Enun)iado5 1 En la mesa circular adjunta se ,an sentado oc,o personas tal & como se muestra a continuación: . 0 1 3
4
Responder: . 6#ui7nes se sientan ad&acentes a Eduardo8 9999999999999999999999999999999999999999 =. 6#ui7n o $ui7nes se sientan a la derec,a de %le/8 9999999999999999999999999999999999999999 >. 6#ui7n se sienta a la i-$uierda de 4arlos & a la derec,a de Kildder8 9999999999999999999999999999999999999999 9999999999999999999999999999999999999999 ?. En una mesa redonda se encuentran sentados sim7tricamente tres niBos: Oernando! Jorge & Roberto. 1i Roberto está a la i-$uierda de Oernando! 6cuál es el orden en $ue se sientan dic,os niBos empe-ando por Jorge & siguiendo el sentido ,orario8
2
$
/ Entonces de acuerdo al dibujo propuesto! responda
*. 6#ui7n se sienta junto & a la i-$uierda de 2128 99999999999999999999 +. 6#ui7n se sienta a la derec,a de 2'2 & ad&acente a 2S28 99999999999999999999 . % la derec,a de 22 & a la i-$uierda de 22 se sientan: 99999999999999999999 Enun)iado5 $ En una mesa redonda con seis asientos distribuidos sim7tricamente se sientan seis personas del modo siguiente: Kildder se sienta junto & a la derec,a de Rommel & frente a Jos7 además Jos7 se sienta a la i-$uierda de Eduardo & junto a %le/. 1i Luis es el más callado de los $ue están sentados en dic,a mesa! responder:
=. 6Orente a $ui7n se sienta Luis8 a)
Rommel Eduardo Jos7
d)
b) Kildder
c)
e) %le/
b) c) d) 0rincesa e)
Rommel & Jos7 %le/ & Eduardo Jos7 & Luis Luis & Rommel Eduardo & Luis
Enun)iado5 En una mesa circular seis super,7roes: 3atman! Rob;n! 1uperman! %cuaman! Olas, & la Fujer Faravilla se ubican sim7tricamente & se sabe $ue: 1uperman está junto & a la i-$uierda de la Fujer Faravilla & frente a %cuaman. Robin está frente a 3atman & no está al lado de %cuaman. 5e acuerdo al ordenamiento del enunciado! responder: ?. 6#ui7n se sienta junto & a la derec,a de 1uperman8 a) Robin b) Olas, c) %cuaman d) 3atman e) Fujer Faravilla @. 6#ui7nes se sientan a la i-$uierda de Olas,8 a) 1uperman & Robin b) 3atman & %cuaman c) Fujer Faravilla & 1uperman d) Robin & 3atman e) %cuaman & Fujer Faravilla Enun)iado5 / 1e reali-a una reunión en la casa de las 4,icas 1uperpoderosas & se sabe además $ue ellas disponen de una mesa circular con oc,o sillas distribuidas sim7tricamente. Ellas con sus invitados se acomodan del modo siguiente: 3ombón se sienta frente a 3ellota. La seBorita 3eloV se sienta frente al 0rofesor
La 1rta. 3eloV! 3ellota & 3urbuja TAREA DOMICILIARIA
>. Kildder se sienta ad&acente a: a) b) c) d) e)
La 0rincesa! 3ellota & Fojo Jojo 3urbuja! El 0rofesor
Enun)iado5 1 En la mesa $ue se propone a continuación están sentadas cuatro personas de la siguiente manera: Responder: *. 6#ui7n se sienta frente a la persona 2%28 999999999999999999999999999 +. 6#ui7n se sienta junto & a la derec,a de la persona 2428 999999999999999999999999999 Enun)iado5 $ En la mesa circular adjunta se sientan: Erdmann! Kregorio! Josep,! Leonardo! Fanuel & Ric,ard tal & como se muestra a continuación:
!
$
E G
Responda . 6#ui7n se sienta frente a Ric,ard8 9999999999999999999999999999999999 ?. 6#ui7n o $ui7nes se sientan a la derec,a de Erdmann & a la i-$uierda de Leonardo8 9999999999999999999999999999999999
La 0rincesa b) El 0rofesor
C. %d&acente a la 1rta. 3eloV se sientan: a) 3urbuja & el %lcalde de 1altadilla b) La 0rincesa & el %lcalde c) 3ellota & Fojo Jojo d) El 0rofesor
@. En una mesa redonda se encuentran sentados sim7tricamente tres niBos: Kabriel! 47sar & Oredd&. 1i Oredd& está a la i-$uierda de 47sar 6cuál es el orden en $ue se sientan dic,os niBos empe-ando por Kabriel & siguiendo el sentido anti,orario8 a) b) c) d) e)
Kabriel! Oredd&! 47sar Oredd&! 47sar! Kabriel Kabriel! 47sar! Oredd& 47sar! Kabriel! Oredd& 47sar! Oredd&! Kabriel
A. En una mesa circular con cuatro sillas distribuidas
sim7tricamente están sentadas cuatro personas de la siguiente manera: %ndrea se sienta frente a Natalia & a la i-$uierda de Lad&! además Elissa está conversando entretenidamente con Natalia. 6#ui7n se sienta frente a Lad&8 a) b) c) d) e)
%ndrea Elissa Natalia Janisse No se puede precisar
Resolución
C. En una mesa redonda con cuatro sillas distribuidas sim7tricamente se encuentran sentados cuatro siniestros monstruos del siguiente modo: La Fomia está a la i-$uierda del Mombre Lobo & a la derec,a del 4onde 5rácula! además OranGenstein está durmiendo. 6#ui7n se sienta junto & a la i-$uierda del 4onde 5rácula8 a)
OranGenstein Fomia Mombre Lobo ombie Oaltan datos
c) e)
b) d)
*D. En una mesa cuadrada están sentadas cuatro personas (202! 2#2! 2R2 & 212) una por lado! & se sabe $ue: 202 está sentado a la i-$uierda de 212. 2R2 está sentado frente a 202. 6#ui7n se sienta frente a 2128 a) b) c) d) e)
202 2R2 2#2 2'2 No se puede determinar
**. En una mesa cuadrada se sientan cuatro personas (2J2! 2Q2! 2L2 & 2F2)! una por lado! & de ellos se sabe $ue: 2J2 está frente a 2L2 2Q2 está a la i-$uierda de 2L2. 6#ui7n se sienta a la derec,a de 2F28 a) c) e) Oalta información
2J2 b) 2Q2 d)
2
1
4
3 Luego contamos as;:
/ r i7 n ( u l o s / r i7 n ( u l o s / r i7 n ( u l o s / r i7 n ( u l o s
co% co% co% co%
)u estos )uestos )uestos )uestos
)or )or )or )or
u n a s o l a re ( i n 9 1 : 2 : 3 o s r e ( io n e s 9 1 2 : 1 3 : 2 4 : 3 4 t r e s r e ( io n e s 9 * o h a ; c u a t ro r e ( io n e s 9 1 2 3 4
3 < 4 1 8 tri7n(ulos
E!er)i)io $ 64uántos triángulos e/isten en total en la figura propuesta8
Resolución 4omo en el ejercicio anterior procederemos a enumerar las regiones (llamadas tambi7n figuras simples) $ue componen la figura principal:
6 1
2L2 2N2
2
3
4
5
Luego contamos de la siguiente manera:
CONTEO DE FIGURAS En este cap;tulo reali-aremos el conteo de dos tipos de figuras geom7tricas: triángulos & cuadrados.
/ r i7 n ( u lo s / r i7 n ( u lo s / r i7 n ( u lo s / r i7 n ( u lo s
co% co% co% co%
)uestos )uestos )uestos )uestos
) o r u n a s o l a r e ( i8 n 9 1 : 2 : 3 : 4 : 5 )or os re(iones9 12 : 23 : 26 : 34 : 45 : 46 ) o r tr e s r e ( io n e s 9 1 2 3 : 3 4 5 ) o r c u a t ro r e ( i o n e s 9 2 3 4 6
5 < 6 2 1 14 tri7n(ulos
1. CONTEO DE TRI-N'ULOS
E!er)i)io
E!er)i)io 1
En la figura propuesta a continuación! 6cuántos triángulos tienen solamente un asterisco en su interior8
64uántos triángulos ,a& en total en la siguiente figura8
Resolución Enumeramos cada una de las regiones $ue aparecen:
2
1 4
3 5
6
Enun)iado $
Luego contamos los triángulos $ue tengan un solo asterisco en su interior:
/ r i n ( u l o s c o n u n a s t e r is c o c o % ) u e s t o ) o r u n a r e ( i8 n 9 2 /ri n( u lo s c on un a ste risc o c o % ) u e s t o ) o r o s re ( io n es 9 1 2 : 1 4 : 2 3 : 2 5 : 3 6 / r i n ( u l o s c o n u n a s t e ri sc o c o % ) u e s t o ) o r t r e s re ( i o n e s 9 1 2 3
1< 5 1 7 trin(
En las siguientes figuras ,alle
A.
TALLER DE APRENDIZAJE Enun)iado 1 En las figuras $ue se proponen a continuación ,alle
C.
*.
+. *D.
PROBLEMAS PARA CLASE
.
En las figuras $ue se proponen a continuación! ,allar el nmero de triángulos $ue tienen solamente un asterisco (P) en su interior. =.
>.
?.
*.
a) d)
* b) = e)
+ c) >
a)
* b)
+ c)
+.
d)
= e)
>
.
a) d)
> b) A e)
? c) C
@
a) d)
C b) *+ e)
*D c) *
**
a) d)
C b) *+ e)
*D c) *
**
a) d) *
*D b) e) *=
** c)
*+
*D.
=.
>.
TAREA DOMICILIARIA 64uántos triángulos como má/imo ,a& en las siguientes figuras8 *.
a) d) *+
C b) e) *
*D c)
**
Mallar el má/imo nmero de triángulos. ?.
a) d)
b) ? e)
= c) @
>
a) d)
? b) C e)
@ c) *D
A
a) d)
= b) @ e)
> c) A
?
a) d)
@ b) *D e)
A c) **
C
+.
a) d)
b) @ e)
= c) A
? .
@.
a) d)
* b) *? e)
*= c) *@
*> =.
A.
a) d) C.
b) ** e)
> c) *=
A
>.
En el presente cap;tulo nos ocuparemos de las sucesiones num7ricas & literales. SUCESIONES NU%2RICAS a) d)
@ b) *D e)
A c) **
C
En cada uno de los siguientes ejemplos nos ocuparemos de encontrar la le& de formación & el elemento $ue sigue. a. = ? A *D *+ W
?.
Resolución:
4 : 6 : 8 : 1 0 : 1 2 : -- <2
a) d) *=
** b) e) *>
*+ c)
*
<2 <2
<2
<2
El nmero $ue sigue es: *+H+I*= b. + > C *= +D W
@.
Resolución:
2 : 5 : 9 : 1 4 : 2 0 : - -<3
<4
<5
<6
<7
El nmero $ue sigue es: +D H @ I +@ a) d)
*+ b) *D e)
? c) =
A
c. > *D +D =D AD W Resolución:
5 : 1 0 : 2 0 : 4 0 : 8 0 : - --
A.
# 2
# 2
# 2
# 2
# 2
El nmero $ue sigue es: AD / + I *?D SUCESIONES LITERALES a) d)
*D b) *? e)
*+ c) *A
*=
C.
1on un conjunto ordenado de letras de acuerdo a los siguientes criterios: • Lugar que o)u"a #a #etra en e# a+e)edario (no consideraremos 24M2 ni 2LL2)
A 1
B 2
C 3
D 4
E 5
F 6
G 7
H 8
I 9
J K L M N Ñ O P Q 10 11 12 13 14 15 16 17 18 a) d)
*+ b) *> e)
* c) *?
*=
SUCESIONES
R S 19 20
Ejemplos: ndicar la letra $ue sigue en las siguientes sucesiones: a. % 4 O J X W Resolución:
A : C : & : ! : = : - - 1
Ejemplos de sucesiones: Num7rica :
= ? C * *A +=
•
Literal
%4EK Q
•
5e figuras :
•
4ombinada: 4= 5@ E*D O* K*? M*C
:
3 <2
•
! " # $ % & 21 22 23 24 25 26 27
6 <3
10 <4
15 <5
<6
La letra $ue sigue está asociada con el nmero: *> H ? I +* . La letra es la Y'Z. •
Ini)ia#e3 de "a#a+ra3 )ono)ida3 Ejemplos:
ndicar la letra $ue sigue en las siguientes sucesiones: a. L F F J " W Resolución:
A. S < R ...
L ' M ' M ' J ' " ' (( ( L ) * + ,
M . / + ,
M J ) + + . + , + , La letra $ue sigue es: Y1Z (sábado)
" + . * + ,
C. 5 E K J N .....
*D. R F M 5 ....
TALLER DE APRENDIZAJE **. ! #! F! ! O! ... Su)e3ione3 num6ri)a3 En cada una de las sucesiones propuestas ,alle
PROBLEMAS PARA LA CLASE
*. + > A ** ....
I. Su)e3ione3 num6ri)a3 En cada caso! encontrar el nmero $ue contina +. +C +> +* *@ ...
*.
= @ *+ +D + ... a) d)
+. . ? *+ += ..... .
d) =.
@. % 4 E K ....
C
+> +>+ +>D
b) +>=
c)
e) +>>
@ b) c) > e) C D = *+ +* C >A ...
+
a)
*DD C+ C= e)
c)
d)
b) CA C?
= ? ** +* = ... a) d)
En las siguientes sucesiones ,alle
= c) =*
a) d)
?.
Su)e3ione3 a#7a+6ti)a3
=D b) A e)
=D = =* *A ...
>
?. = ? D +> +* .....
C
+ > +D >? *D= *@ ... a)
>. A C ** *= *A ...
=C c) =A
* > *+ +* * ... a) d)
=. ?+> *+> +> > ...
=? b) @ e)
@.
>A b) ?D e)
>? c) ?+
?=
@ C * ** +> ... a) d)
*+ b) * e)
+C c) +
*@
A.
* + = *? *C+ ... a) d)
C. a) d) *D.
C +*A b) C +*D C +*? C ++= e) C **? = ? ** +D > >C ...
c)
C? b) C@ e)
C=
C> c) CC
TAREA DOMICILIARIA I. Su)e3ione3 num6ri)a3 En cada caso! encontrar el nmero $ue contina *. a) d)
*C +A *? ** =A C* ... a) d)
*= *? *@
b) *>
c)
+.
.
a) d) *+.
b) X e)
d) N c) #
0
S c) "
c) M
J
N c) 0
X
" c)
<
=.
a) d) *.
b) e)
>.
a) d) *=.
Q b) L e)
?.
a) d) *>.
F b) e)
@.
a) d)
b) S e)
*?. a) # d)
% E K Q F ... b) 0 c) 1 R e) '
*@.
% 5 M F R ... a) d)
" b) e)
c)
*A.
# F O ...
a) d) 3
E b) e) %
*C.
1 N E ... a) d)
+D.
% b) 5 e)
4 c)
A.
C.
*D. a)
4
d) **.
*+.
a) d)
L b) e)
' c) S
<
e) *?+
* b) *[+ e)
+ c) *[+>
*[>
*A b) +C e)
+ c) ?
+>
C= b) *+>
*D? c) e) *=+
**@
*> b) *= e)
* c) *+
*?
D b) e)
* c) =
+
? b) =D e)
= c) +
A
C+> b) C> C=> C>> e) C?> +=D =A *+ = ...
c)
*[? b) * e)
*[+
*[= c) +
? @ *= *> ... a) d)
% 5 ...
c)
* * *> *D> ...
a) d) 3 c) E
b) *A=
@D ?D >+ =? =+ ... a) d)
5
*@+ +*? *CA
*@ *A +D + +@ ... a) d)
S
+*
>D =* +? +D ... a) d)
3 O Q 0 ...
+D c) +
* A +@ ?= ... a) d)
% 4 O J ...
*C b) ++ e)
* = C *? ... a) d)
" R X ...
D
?+> *+> +> > ... a) d)
E J X 1 ...
+C c) +
+ ? *A >= ... a)
4 O L ...
+A b) * e)
A = D +? ... a) d)
e) *A
II. Su)e3ione3 #itera#e3 o a#7a+6ti)a3 En cada caso! encontrar la letra (o par de letras) $ue contina. **.
> ** *@ + ...
*.
* b) =D e)
D c) +@
+?
?D CD AA ++ +D > ... a)
* b)
= c)
+
d) *=.
e)
>
* > *> *+ ? =D ... a) d)
*>.
**Ab) *+D *+=
*+A c) e) *==
= > C *? +? ... a) d)
C b) > e)
A c) =D
=*
II. Su)e3ione3 #itera#e3 o a#7a+6ti)a3 En cada caso! encontrar la letra (o par de letras) $ue contina. *?. 3 4 E K Q ... a) d) *@.
N b) < e)
0 c) X
F
43 O4 E LK ... a) d)
*A.
X# b) NL e)
XQ c) XL
NR
%L ON J0 FR X< ... a) d)
*C.
# " 0" e)
b) 0
c)
%E 5K KJ JN ... a) d)
+D.
F' b) FRe)
N' c) F1
NR
%5 3O 5J M ... a) d)
S 0e)
b) " 0"
c)
