Mod Mat 2do Sec III Bim 2018

“Los caminos de la lealtad son siempre rectos”

2 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

TERCER BIMESTRE 2º año 2018 FACTORIZACIÓN       

Factor común. Diferencia de cuadrados Trinomio cuadrado perfecto. Suma de cubos Diferencia de cubos Trinomio de la forma x 2 + B x + C Trinomio de la forma Ax2 + B x + C

ESTADÍSTICA    

. 4

………………………………………………………….

…………………………………………………………..

Tabla de distribución de frecuencia Gráfico de barras Polígono de frecuencias f recuencias Gráfico de sectores

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

……………………………..

20

……………………………………………………….

22



Media aritmética Mediana



Moda



PROBABILIDAD      

Experimento aleatorio Espacio muestral Propiedades de la frecuencia y la probabilidad pr obabilidad Probabilidad de un suceso Sucesos Equiprobables - ley de Laplace Diagrama de árbol

REGLA DE TRES   

16

……………………………………………………….

27

Regla de tres simple directa e inversa. inversa. Regla de tres compuesta. Tanto por ciento


FACTORIZACIÓN En el proceso de transformación de un polinomio en una multiplicación indicada de factores:

Ej. Factorizar: x2 – 3 x – 10 = ( x – 5) ( x + 2) Polinomio

multiplicación indicada de factores.

Estos factores deben ser factores primos

Factor primo, es aquel polinomio divisible por si mismo y la unidad Ejemplo: (1) (x + 2) es un factor primo porque es divisible por si mismo y por la unidad. (2) (x2 + 1) es factor primo, porque es divisible por si mismo y por la unidad (esta unidad es un polinomio de grado cero es decir una constante).

Métodos de Factorizacion: I.

Factor Común: monomio E jemplos:

1) Factorizar el polinomio 5 x3 – 10 x2 + 20 x.

Solución:

 El mcd. de los coeficientes es 5.  La variable x con su menor exponente es x por lo tanto, el factor común es 5 x.  Dividir cada término de la expresión entre el factor común. Luego:

5 x3 – 10 x2 + 20 x = 5 x ( x2 – 2 x + 4)

2) Factorizar el polinomio 6 x2 y – 12 x2 y2 – 24 x4 y4

Solución:

 mcd (6, 12, 24) = 6  La variable x con su menor exponente es x2  Factor común: 6x 2 y Luego:

6 x2 y – 12 x2 y2 – 24 x4 y4 = 6 x 2 y (1 – 2 y – 4 x2 y3)


3) Factorizar 16 x3 y2 z 5 + 18 x2 y3 z 2 – 24 x4 y5

Solución:

 Hallar el MCD (16, 18, 24) = 2  Los factores literales comunes con su menor exponente: x 2 y2  Dividir cada término de la expresión entre el factor común. Luego: 16 x3 y2 z 5 + 18 x2 y3 z 2 – 24 x4 y5 = 2 x 2 y 2 (8 xz 5 + 9 yz 2 – 12 x2 y3)

II. Factor Común Polinomio. Ejemplos:

1. Factorizar el polinomio ( x – 3) 6 + ( x – 3)x.

Solución: El polinomio tiene en sus dos términos ( x – 3) 6 ( x – 3)x el factor común ( x – 3).

y

Considerando al binomio ( x – 3) como un solo número, lo escribimos como primer factor y a continuación el otro factor formado por los cocientes que resultan de dividir cada término del polinomio dado por el factor común ( x –3 ); así:

( x – 3)6 + ( x – 3) x = ( x – 3) (6 + x ) 2.

Factorizar el polinomio 3 x (m + n) – 2 (m + n).

Solución: 3 x (m + n) – 2(m + n) = (m + n) (3 x – 2)

3. Factorizar el polinomio (x – y) + (x – y)m

Solución: (x – y) + (x – y)m = (x – y) (1 + m)

4. Factorizar el polinomio 4 t ( x – y + z ) – 4( x – y + z ) 4 t ( x – y + z ) – 4( x – y + z ) = ( x – y + z ) (4 t - 4 ) 5 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

5. Factorizar: (m + 2) x 2 – (m + 2) x + (m + 2) = ( x 2+ x +1) (m + 2)

III. Por Agrupación de Términos. Consiste en agrupar convenientemente los términos de un polinomio, a fin de obtener en cada grupo, un factor que sea común a todos los términos.

Ejemplo 1. Factorizar: x 2 + 3 x + 7 x + 21. Se observa que los dos primeros términos de este polinomio tienen el factor común x , y los dos últimos tienen el factor común 7. Luego, podemos escribir el polinomio dado como un asuma de dos términos cada uno de los cuales tiene un factor común, agrupándolos en la forma siguiente: x 2 + 3 x + 7 x + 21 = ( x 2 + 3 x ) + (7 x + 21) Ahora sacamos el factor común monomio de cada grupo y se tiene: x 2 + 3 x + 7 x + 21 = x ( x + 3) + 7( x + 3) Resulta así que los dos términos del polinomio tienen el factor común binomio ( x + 3). Por consiguiente, aplicando como antes la propiedad distributiva, se obtiene: x 2 + 3 x + 7 x + 21 = ( x + 3) (x + 7) Quedando así factorizado el polinomio propuesto. Generalmente no hay una sola forma de agrupar los términos de un polinomio. Así, por ejemplo, en el polinomio anterior podemos agrupar el primero y tercer término, los cuales tienen el factor común x , y el segundo y cuarto que tienen el factor común 3, y tenemos: x2 + 3 x + 7 x +

21 = ( x2 + 7 x) + (3 x + 21) = x ( x + 7) + 3 ( x + 7) = ( x + 7) ( x + 3)

Este resultado equivale al anterior, puesto que el orden de los factores no altera el producto. 6 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

Ejemplo 2. Factoriza sobre el conjunto de los enteros el polinomio x 2 + 4 x + 3 x + 12

Solución: x 2 + 4 x + 3 x + 12

= (x 2 + 4 x ) + (3 x + 12) = x ( x + 4) + 3( x + 4) = ( x + 4) ( x + 3)

Ejemplo 3. Factorizar ax – ay + bx – by sobre el conjunto de los enteros. Solución: ax – ay + bx – by = (ax – ay ) + (bx – by ) = a( x – y ) + b( x – y ) = ( x y ) (a + b) –

Ejemplo 4.Factorizar completamente el polinomio 2mx – m – 2 x + 1 Solución: 2mx – m 2x + 1 = (2mx – m) + ( –2 x + 1) = m (2 x 1) – (2 x 1) –

–

= (2 x – 1) (m – 1)

 

= 2  x 

1 

 m  1

2 


FACTORIZACION DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS a2 – b2 = (a + b ) (a – b ) La expresión factorizada, se lee así: “Suma de las raíces cuadradas





a

b

multiplicada por la diferencia de las mismas”.

Ejemplos: (1)

x 4 – y 2

Factorizar:

Solución: 

Extraemos la raíz cuadrada de ambos términos: y



(2)

2 

y

4

2

4 



x

y

1

2





x

2

y

Escribimos la expresión factorizada como la suma por la diferencia de las raíces cuadradas halladas: x 4 – y 2 = ( x 2 + y ) ( x 2 – y ).

Factorizar:

(x + 2y)2 – (2a + b)2

Solución:

(3)

2

x



 x + 2y

2a + b



Luego la expresión factorizada será la multiplicación indicada de la suma por la diferencia de las raíces cuadradas: [( x + 2y ) + (2a + b)] [( x + 2y ) – (2a + b)]



Suprimiendo paréntesis:



Luego: ( x + 2y )2 – (2a + b)2 = ( x + 2y + 2a + b) ( x + 2y – 2a – b)

[x + 2y + 2a + b] [x + 2y – 2a – b]. Respuesta.

Factorizar: x4 – 1 x4 – 1 (x2)2 – 1 (x2 – 1) (x2 + 1) Se puede seguir factorizando (x – 1) (x + 1) (x2 + 1) Luego: x4 – 1 = (x – 1) (x + 1) (x2 + 1)


FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP)

a2 + 2a b + b2 = (a + b)2

 a

 b 2a b

Si el doble producto de las raíces de los términos extremos del trinomio coincide con el término central, entonces se trata de un TCP. Si ya hicimos la comprobación respectiva, entonces la expresión factorizada se escribe como EL CUADRADO DE LA SUMA DE AMBAS RAÍCES . E jemplos:

(1) Factorizar: 4y2 + 20y + 25

Solución:



Comprobamos: 4 y2 + 20 y + 25 4 x

2

25

2y

5 2(2y)(5) 





El polinomio factorizado se escribe como el cuadrado de la suma de las raíces: 4 y2 + 20 y + 25 = (2y + 5)2

(2) Factorizar:

9 x2 y4 + 42 xy2 + 49 3 xy2 

7

2(3 x y2)(7) 

9 x 2y 4 + 42 xy 2 + 49 = (3 xy 2 + 7)2 9 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

(3) Factorizar:

16 x4 + 24 x2 y3 + 9 y6 16 x4 + 24 x2 y3 + 9 y6 4 x2

3 y2 2 3  2(4x ) (3y ) 

16 x 4 + 24 x 2 y 3 + 9y 6 = (4 x 2 + 3y 3)2

(4) Factorizar: x2 y6 – 8 xy3 + 16 xy3 

4 2( xy3)(4) 

Como el término central es el signo negativo, la expresión factorizada es: x 2 y 6 – 8 xy 3 + 16 = ( xy 3 – 4)2

(5) Factorizar: 0,09x2 – 1,8 y + 9 y2

Solución:



Comprobamos: 0,09x 2 – 1,8x y + 9 y2

0,09 x

0,3x

2

9 y

2

3y



2(0,3)(3y) 

Comprobamos que es un T.C.P. Luego: 0,09x2 – 1,8y + 9y 2 = (0,3x - 3y)2


FACTORIZACION DE UNA SUMA DE CUBOS a3

+

3

b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

3





a

b

Aquí notamos lo siguiente:



Los términos del factor binomio son las raíces cúbicas de los términos del polinomio original.



Elevando al cuadrado el 1° término del 1° factor obtenemos el 1° término del 2° factor.



Si multiplicamos (sin considerar el signo) los dos términos del primer, f actor, obtenemos el término central del 2° factor.



Elevando al cuadrado el 2° término del 1° factor, obtenemos el 3° término del 2° factor.

Ejemplos: (1)

Recuerda: Exponente fraccionario:

Factorizar: a9 + 8

n

Solución:

3 3

9

9

3

a

m

m

a



n

a 9

9 

a

3



a

3



Raíz cúbica del 1° término:






La suma de estas dos raíces cúbicas constituyen el primer factor buscado:

3

a 8





a

3



a

x

3

2

a9 + 8 = (a3 + 2) (



3

18

18

y



x

3



x

6

21

21 

y

3



y

7

)

El factor trinomio que falta se calcula así:

-

Los términos extremos son los cuadrados de los términos del factor binomio: a9 + 8 = (a3 + 2) (a6

-

+ 4)

El término central es el producto de los términos del factor binomio con el signo cambiado: a9 + 8 = (a3 +2) (a6 2a3 + 4) –


(2)

Factorizar:

x 12 + 27y 3

Solución: 3

12









La expresión factorial quedará así:

x

3



27 y

x

3 

12 3



x

4

3 y

x 12 + 27y 3 = ( x 4 + 3y ) ( x 8 – 3 x 4y + 9y 2)

FACTORIZACION DE UNA DIFERENCIA DE CUBOS

a3 – b3 = (a – b ) (a2 + a b + b2 ) 3

/ n  

3





a

b

Procedemos como en suma de Cubos, variando únicamente los signos. En el factor binomio hay una diferencia y todos los signos del factor trinomio son positivos.

Ejemplos: (1) Factorizar: 8y 18 – 125

Solución:  Raíz cúbica del 1° término:

3

 Raíz cúbica del 2° término:

3

8 y

18 

125



2y

6

5

 La expresión factorizada quedará así: 8y 18 – 125 = (2 y 6 5) (4 y 12 + 10 y 6 + 25) –

(2) Factorizar: 64x6 – 27

Solución:  Raíz cúbica del 1° término:  Raíz cúbica del 2° término:  Polinomio factorizado:

3 3

64 x 27

6





4x

2

3

64 x 6 – 27 = (4 x 2 3) (16 x 4 + 12 x 2 + 9) –


FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA X 2 + B X + C Los trinomios x 2 + B x + C se pueden expresar como ( x + ) ( x + ) donde:

+ =B =C Este trinomio resulta del producto de dos binomios que tienen un término común. Para factorizar se procede así:

Ejemplo 1: Factorizar: x 2 + 7 x – 18 1° Se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x : ( x ( x )

)

2° El signo del primer factor es el signo del segundo término del trinomio y el signo del segundo factor resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercero: (x + ) (x – ) 3° Luego se buscan dos números cuya suma algebraica sea el segundo término del trinomio y cuyo producto sea el tercer termino:

Ejemplo 1: x2 + 7 x – 18

= ( x + 9) ( x – 2)

9 – 2 = 7 (9) ( – 2) = – 18

Ejemplo 2: x4 + 4 x2 + 3 = ( x 2 + 3) ( x 2 + 1)

Ejemplo 3:

x6 – 8 x3 – 20 = ( x 3 – 10) ( x 3 + 2)

3 +1 = 4 (3) (1) = 3

– 10 + 2 = – 8 ( – 10) (2) = – 20


FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA: AX2 + BX + C FACTORIZACIÓN POR ASPA SIMPLE. Ejemplos 1.

Factorizar:

10 x 2 + 23 x + 12



Descomponemos el término 10 x 2 en dos factores que multiplicados nos permitan volver a obtener 10x2.



Descomponemos el término 12 en dos factores que multiplicados nos permitan volver a obtener 12. Es decir:

10 x2  5x 2x



23 x

+

12  +4 +3

Enseguida hallamos la suma de los productos en aspa de los cuatro términos hallados. Así:

10 x2  5 x 2 x

+

23 x

+

12  +4  + 8 x +3  + 15 x  + 23 x



Si esta suma de productos en aspa hallados coinciden con el término central del trinomio, como en este caso, entonces habremos pasado la prueba del aspa. Si no se da esta coincidencia, descomponemos los extremos de otra manera.



Dada la coincidencia con el término central, el polinomio factorizado se escribe como la multiplicación indicada de dos binomios que se toman en forma horizontal de los 4 términos con los que hicimos la prueba del aspa.

Luego: 2.

+

10 x2 + 23 x + 12 = (5 x + 4) (2 x + 3)

Factorizar: 2 x2 – +7x + 3 Solución:





2 x2 + 7x + 3   Aplicando la prueba del aspa: 2 x +1 = + x x +3 = + 6x 7x Escribimos el polinomio factorizado: 2 x2 + 7x + 3 = (2 x + 1) ( x + 3)


3.

Factorizar:

14 x4 – 15 – 29 x2

Solución: El polinomio debe estar ordenado en cuanto a los exponentes de dicha variable, en este caso para que el orden sea descendente intercambiaremos la ubicación del tercer término y del término central.

 



4.

14 x4 – 29 x2 – 15   2 7 x +3 - 35x2 – 5 2 x2 + 6x2 - - - 29x2 Escribimos el polinomio factorizado: 14 x4 – 29 x2 – 15 = (7 x 2 + 3) (2 x 2 – 5) Ordenando el polinomio: Aplicando la prueba del aspa:

Descomponer en sus factores primos el siguiente polinomio: 6 – 25 x5 + 4 x10

Solución: Este polinomio está ordenado en forma ascendente.



Aplicamos la prueba del aspa: 6

–

25 x5

+

– 4 x5 – x5

1 6



5.

4 x10

¡IMPORTANTE¡ Factorizar un polinomio o descomponerlo en sus factores rimos es lo mismo.

- 24x5 - x5 - 25x5

Escribimos el polinomio factorizado: 6 – 25 x5 + 4 x10 = (1 – 4 x 5) (6 – x 5)

Factorizar: 3a2 b4 – 8ab2c + 5c2

Solución:



Aplicamos la prueba del aspa: 3a2 b4 – 6ab2c + 5c2 3ab2 ab2



– 5c – c

- 5ab2c - ab2c - 6ab2c

Escribimos el polinomio factorizado: 3a2 b4 – 8ab2c + 5c2 = (3ab2 – 5c) (ab2 – c)


ESTADÍSTICA La estadística es un conjunto de procedimiento y técnicas para recoger, organizar y presentar información acerca de un problema determinado, que sirven de base para tomar decisiones

Población muestra y variable Población, conjunto de individuos u objetos que poseen una característica común. Muestra, subconjunto de la población. Variable, es una característica de la población y se llama variable estadística

Tablas y Gráficos: Después de obtener los datos la tarea de las estadísticas es coleccionar o tabular sus datos (tablas de frecuencia) y representarlos en gráficos adecuadas de comprensión inmediata. Estos gráficos son:  Diagrama de barra  Histogramas  Polígono de frecuencias  Grafico de sectores

Tabla de distribución de frecuencia. Frecuenta absoluta (fi) o simplemente frecuencia es el número de elementos de la muestra

Frecuencia relativa (hi) Es el cociente de la frecuencia absoluta entre el numero total de datos. Sus valores son números reales que oscilan de 0 a1 que suman 1. Es decir de 300 personas 85 personas tienen preferencia por la marca

A


Ejemplo: Al averiguar entre 300 personas la preferencia por marcas de jabón, se obtuvieron los siguientes datos:

A

Frecuencia absoluta fi 85

Frecuencia relativa hi 85/300

28%

B

125

125/300

42%

C

35

35/300

12%

D

55

55/300

18%

Total

300

1

100%

Marcas de jabón

%

Gráfico de barras Llevemos los datos de este cuadro a un gráfico de barras.

150 125 100 75 50 25 0 A

B

C

D

MARCAS DE JABÓN

En el eje horizontal colocamos la variable estadística marcas de jabón y en eje vertical colocamos las frecuencias absolutas.


Polígono de frecuencias Si unimos los extremos superiores de las barras del grafico anterior obtenemos un polígono de frecuencia.

150

125

100

75

50

25

0 A

B

C

D

MARCAS DE JABÓN


Gráfico de sectores Es un grafico de forma circular subdivido en sectores. El área de cada sector indica la proporción de cada componente respecto al todo. En el grafico cada sector se pinta de diferente color para lograr una información rápida acerca de la población en el estudio En este caso hemos dividido 360°: 300, porque la suma total de frecuencias absolutas es 300ª Para hallar los ángulos de cada sector procedemos así: 360°: 300 = 1,2° Luego multiplicamos cada frecuencia por este resultado.

Jabón

D 18%

A 28%

C 12%

B 42%

Jabón A: 85 x 1,2° = 102° Jabón C: 35 x 1.2° = 42° Jabón B: 125 x 1,2° = 150° Jabón D: 55 x 1,2° = 66°


MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MEDIA ARITMÉTICA Es un conjunto de valores dividida por el numero total de ellos. a1 ; a 2 ; a 3 ....; a n

Valores de la variable n

   nvalores



x

a  a 1

2

 a3 .. .  an

n Luego: La media aritmética es el mismo concepto que conocemos como promedio

Ejemplo: Calcular la media aritmética de las notas obtenidas por un alumno en la asignatura de matemática. Valores de la variable: 12; 14: 12 ; 15; 12; 11; 10; 11; 12; 14 y 14

n = 11

(n es igual al numero de notas)

Luego: 

x 

12  14  12  15  12  11  10  11  12  14  14 11



137 11



12,45



x



12,45

(Media aritmética las notas del alumno)

MEDIANA La mediana es el valor central de los datos una vez que los ordenamos de menor a mayor Ejemplo:

Datos: 7 5 9 3 1 6 4 Ordenamos: 1 3 4 5 6 7 9 3 datos antes 3 datos después Entonces: la mediana es 5 Si el número de datos es par, se toma el valor medio de los dos datos centrales Ejemplo: Dato: 12 15 13 20 Ordenamos: 12 13 15 20 Mediana = (13 + 15): 2 = 14 20 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

MODA Es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia absoluta: Ejemplo: La altura en centímetros de 30 alumnos de una clase es:

160 154 158 168 154 158 160 162 165 162 162 166 154 162 160 160 158 158 160 165 154 162 168 160 162 158 160 154 154 160

Variable (altura)

xi

154

158

160

162

165

166

168

Frecuencia

Fi

6

5



6

2

1

2

Mayor frecuencia = 8 Entonces Moda es igual 160cm.


PROBABILIDAD EXPERIMENTO ALEATORIO: Es un experimento en el que no se puede predecir el resultado. Decimos entonces que el experimento esta sujeto al azar.

Ejemplo 

Lanzar una moneda al aire



Tirar un dado



Extraer al azar una bola de una urna donde hay bolas de igual tamaño pero de distinto colores.

ESPACIO MUESTRAL Es el conjunto de todos los resultados que se obtiene la realizar un experimento. Cada subconjunto del espacio muestral se llama suceso si éste último consta de un sólo elemento se llama suceso

elemental. Ejemplo Cuando lanzamos un dado el espacio muestral E es:

E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Este espacio muestral tiene seis sucesos elementales . “Obtener

par” es un suceso cuyo resultado es el subconjunto: {2; 4; 6}


PROPIEDADES DE LA FRECUENCIA Y LA PROBABILIDAD 

FRECUENCIA ABSOLUTA (FA) Y FRECUENCIA RELATIVA (f A) DE UN SUCESO. Digamos que tenemos un experimento aleatorio realizado N veces. Si el suceso A aparece n veces, decimos que: FA = frecuencia absoluta de A = n f A = frecuencia relativa de A = n/N



PROPIEDAD FUNDAMENTAL Si f (s) es la frecuencia relativa de un suceso s, se comprueba que: 0 ≤ f (s) ≤ 1



PROBABILIDAD DE UN SUCESO (P) El lanzamiento de un dado. El suceso “salir impar” se verifica al

obtener 1 ó 3 ó 5.

Resultados favorables = 3

Resultados posibles = 6

Entonces esperamos que salga impar 3 de cada 6 veces, es decir: Probabilidad de que salga impar

= 3/6 = 0.5

También: P {1; 3; 5} = 0.5




SUCESOS EQUIPROBABLES Son aquellos que tiene la misma probabilidad de ocurrencia. Al tirar el dado existen 6 posibilidades de resultado; cada una con p = 1/6



LEY DE LAPLACE Cuando los resultados son equiprobables.

P(A)



probabilidad de un suceso A

N ª de resultados favorables a A 

N ª de resultados posibles

Ejemplo 1: En una urna se tienen 8 bolas numeradas del 1 al 8. Todas del mismo peso, tamaño y color. ¿Cuál es la probabilidad de extraer al azar bolas numeradas menores que 6? Suceso: “menor que 6”

ó

{1; 2; 3; 4; 5}

Nº de resultados favorables = 5 Nº de resultados posibles = 8 Probabilidad = p = 5/8 o

p = 0.625

La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre cero y uno.

Si p = 0 es suceso imposible Si p = 1 es suceso seguro


DIAGRAMA DE ÁRBOL Ejemplo: Lanzamos dos monedas al aire. Se nos pide calcular la probabilidad de obtener alguna cara. MONEDA 2 C

MONEDA 1

C

CS SC SS

C

S

CC

S

“alguna cara”

Nº de casos favorables = 3 Nº de casos posibles = 4 Entonces p (alguna cara) =

¾

Ejercicio.1 1. De un grupo de 38 alumnos, de los cuales 21 son mujeres y 17 son hombres, se desea elegir al azar a uno. ¿Cual es la probabilidad de que el elegido sea hombre? ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? Solución:

 Probabilidad de que sea hombre: P (H)=

17 38



0,447

 Probabilidad de que sea mujer: P (M)=

21 38



0,553

Es más probable elegir a una mujer que a un hombre.


Ejercicio. 2 En una bolsa hay 5 fichas verdes y 3 rojas. Calcula la probabilidad (sin reposición) de que al extraer 2 fichas, estas sean verdes. Solución: 

Si construimos el diagrama, el total de pares de fichas, es 8 x 7 = 56.

El segundo factor es 8 – 1 = 7 ya que al extraer la segunda ficha hay una menos en la bolsa.



Casos favorables del suceso A: extraer dos fichas verdes: C f



5

x4



20 pares

de ficha verdes.

El segundo factor es 5 – 1 = 4 porque ya se extrajo una ficha verde.

Luego P(A)=

casos posibles casos favorables

20 

5 

56

14

P(A)= 0,357


REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA Razón La razón se entiende como la relación entre dos términos consecutivos de la sucesión, denominados antecedente y consecuente, siendo esta relación la diferencia en el caso de las progresiones aritméticas y el cociente en el caso de las progresiones geométricas.

Proporción La relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa, será directa cuando a un mayor valor de A habrá un mayor valor de B, y será inversa, cuando se dé que, a un mayor valor de A corresponda un menor valor de B.

Regla de tres simple directa La regla de tres simple directa se fundamenta en una relación de proporcionalidad, por lo que rápidamente se observa que:

Ejemplo: Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones. ¿cuántos litros necesito para pintar 5 habitaciones? Este problema se interpreta de la siguiente manera: la relación es directa, dado que, a mayor número de habitaciones hará falta más pintura, y lo representamos así:


Regla de tres simple inversa

En la regla de tres simple inversa, en la relación entre los valores se cumple que:

Ejemplo: Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto tardarán 5 trabajadores en levantar el mismo muro?

Si se observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos más obreros trabajen, menos horas necesitarán para levantar el mismo muro (suponiendo que todos trabajen al mismo ritmo) El total de horas de trabajo necesarias para levantar el muro son 120 horas, que pueden ser aportadas por un solo trabajador que emplee 120 horas, 2 trabajadores en 60 horas, 3 trabajadores lo harán en 40 horas, etc. En todos los casos el número total de horas permanece constante.


Regla de tres compuesta Plantear problemas que involucran más de tres cantidades conocidas, además de la desconocida.

Ejemplo: Si 12 trabajadores construyen un muro de 100 metros en 15 horas, ¿cuántos trabajadores se necesitarán para levantar un muro de 75 metros en 26 horas?

En el anterior problema aparecen dos relaciones de proporcionalidad, se ha incluido una relación inversa y otra directa. En efecto, si un muro de 100 metros lo construyen 12 trabajadores, es evidente que para construir un muro de 75 metros se necesitarán menos trabajadores. Cuanto más pequeño es el muro, menos número de obreros precisamos: se trata de una relación de proporcionalidad directa. Por otro lado, si disponemos de 15 horas para que trabajen 12 obreros, es evidente que disponiendo de 26 horas necesitaremos menos obreros. Al aumentar una cantidad, disminuye la otra: se trata de una relación de proporcionalidad inversa. El problema se enunciaría así:

Respuesta: Levantarán un muro de 7m en 26 hrs, 5 trabajadores


EJEMPLOS 1. Por preparar un campo de 7 ha de superficie, un labrador cobra 21.315 € ¿Cuánto cobraría si la superficie del campo midiera 12 ha?

SOLUCION: Por 7 Ha.

Cobra 21.315 €.

Por 12 Ha.

Cobrará X €.

Analizando: a) A más Ha. ,se cobra más 1.Tipo de Proporcionalidad Directa: b)Al doble de Ha, doble paga

2. Cálculo: 7

21315 

12

X

X

12 x 21315 

7



36.540 €.

2. Los soldados de un cuartel se colocan formando 9 filas de 40 reclutas cada una. ¿Cuántas filas de 30 hombres cada una se pueden formar?

SOLUCION: A 9 filas.

40 reclutas.

A X filas

30 reclutas

Pasos a dar: A más filas, menos reclutas por fila 1. Tipo de proporcionalidad Inversa

2. Cálculo

9

30 

X

40

X

Al doble de filas, mitad de reclutas

9 x 40 

30



12 filas.

Observar el cambio de lugar que debe producirse en la disposición de los datos cuando la proporcionalidad es inversa. 30 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

3. Un barco lleva 30 tripulantes y tiene víveres para 18 días. Si al iniciar la travesía se unen 6 tripulantes, ¿cuántos días antes se acabarán los víveres?

SOLUCION:

4. Para pintar una mesa circular de 2 m de radio, Carlos empleó 3 horas, ¿cuánto se demorará en pintar otra mesa de 3 m de radio?

SOLUCION:

5. Si compro 15 rosas me obsequian 3, ¿cuántas rosas debo comprar si necesito 420 rosas?

SOLUCION:


EL TANTO POR CIENTO Se denomina tanto por ciento al número de partes que se consideran de las 100 partes iguales en que se ha dividido una determinada cantidad.

Luego, se tiene que:

Ejemplos: Calcula los siguientes porcentajes:

Halle el número en cada caso:




Relación parte - todo aplicado al tanto por ciento La relación parte - todo es una comparación por cociente (Razón Geométrica) de una cantidad (a la cual la llamamos parte) respecto de otra cantidad (a la cual la llamamos todo). ¿Qué tanto por ciento es 3 respecto de 12?

Resolución: Si comparamos 3 respecto de 12, notamos que el primero es la cuarta parte del segundo.


Mod Mat 2do Sec III Bim 2018

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