Teoría de Números, Lógica, Inducción Matemática ´ Laime Zanga Hernan
Bibliografía 1. José Plínio de Oliveira Santos, Introdução Santos, Introdução à Teoria dos Números 2. Anthony J. Pettofrezzo, Introducción Pettofrezzo, Introducción a la Teoría de Números
Introducción 1. Muestre que si n es impar, entonces n2 divisible por 8.
− 1 es
2. Sean x, y, z enteros tales que x3 + y 3 z 3 es múltiplo de 7. Muestre que uno de estos números es múltiplo de 7.
−
Teoría de Números Def. 1. Un n ´ umero entero n (n > 1) que posee solamente dos divisores positivos n y 1 es llamado primo . Si n > 1 no es primo, decimos que n es compuesto.
Ejemplo
Los primeros primos son:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,....} Ejemplo
N = p1 p2
Sea pi el i-ésimo primo. El número
· ··· p
n
+ 1 puede ser o no ser primo.
Teoría de Números Prop 1. Si p Prueba .
|ab, p primo, entonces p|a o p|b.
Ejemplo ¿Cuántos cuadrados perfectos existen entre 40000 y 640000 que son múltiplos simultáneamente de 3, 4 y 5? Teorema 1. Todo entero mayor que 1 puede ser representado de manera unica (salvo el orden) como un ´ producto de factores primos. Prueba .
Teoría de Números ¿Como decidir si n es primo? N, a > 1, b > 1 y n > 1. Teorema 2. Sean a, b, n
∈ √ √ a). Si n = ab, entonces a ≤ n ∨ b ≤ n √ b). Si n no tiene divisores primos ≤ n, entonces n es primo.
Ejemplo
¿n = 103 es compuesto o no?.
Ejemplo
¿n = 2311 es primo o no?.
Teoría de Números ¿Cuántos primos hay? Teorema 3. (Euclides) Hay un n ´ umero infinito de primos. Prueba .
¿Cuántos primos hay x? π (x) denota la cantidad de primos inferiores o iguales x. Por ejemplo π (5) = π (6) = 3. Hasta el 2008, se conocen todos los primos inferiores a x = 1023 . se tiene
≤
π (1023 ) = 1925320391606803968923
Teoría de Números Teorema 4. (Formula de Legendre). Sean p1 , p2 ,...,ps los primos n, entonces
√ ≤
√ n n + π (n) =n − 1 + π ( n) − p p ≤ ≤ p n n 1
−
i
pi p j pk
i s
i
+ ... + ( 1)s
−
i
i j
p1 p2 ...ps
Ejemplo Calcular π (100) con la formula de Legendre.
Teoría de Números
√ Solución: Los datos son: n = 100, √ 100 = 10, los primos ≤ 10 son {2, 3, 5, 7} y π ( 100) = 4.
100 100 + ... + π (100) =100 − 1 + 4 − 2 7 100 100 100 + + + ... + 2·3 2·5 5·7 100 100 100 − 2 · 3 · 5 + 2 · 3 · 7 + ... + 3 · 5 · 7 100 +
2 3 5 7
= 25
Teoría de Números Def. 2. (M ´ınimo Com ´ un M ´ ultiplo) El m ´ınimo com ´ un m ´ ultiplo de dos enteros positivos a y b es el menor entero positivo que es divisible por a y b. Vamos a denotar por [a, b].
Ejemplo Encontrar [936, 588] usando el teorema fundamental de la aritmética.
Teoría de Números = pa1 pa2 ...pan
b
b
y b = p11 p22 ...pbn donde p1 , p2 ,...,pn son los primos que ocurren en las factorizaciones de a y b, entonces
Prop 2. Si a
1
2
{
max a1 ,b1
[a, b] = p1
n
n
}pmax{a ,b }...pmax{a 2
2
n
n
2
Prueba .
Prop 3. Si x e y son n ´ umeros reales entonces
max x, y + min x, y = x + y
{ }
Prueba .
{ }
,b
n
}
Teoría de Números Teorema 5. Para a y b enteros positivos tenemos,
[a, b] (a, b) = a b
·
·
Prueba .
Teorema 6. Sea b un entero positivo mayor que 1. Entonces todo entero positivo n puede ser representado de manera unica de la siguiente forma: ´
n = ak bk + ak−1 bk−1 + ... + a1 b + a0 donde k
≥ 0, a = 0 y 0 ≤ a
Prueba . Un
k
i
< b, i = 0, 1, 2,...,k
ejemplo para entender la prueba. Se quiere
Introducción Ejemplo Sea n un número entero mayor que 1. Muestre que 4n + n4 no es primo. Obs. 1. (Hechos que ayudan) Un n ´ umero entero diferente de 0 y compuesto.
±1 es primo o
Ser ´ a compuesto si es el producto de dos enteros, ninguno de los cuales es igual 1.
±
Introducción Ejemplo
En cuantos ceros termina 1000!?
Obs. 2. (Hechos que ayudan) Es lo mismo preguntar cuantas veces el factor 10 aparece en 1000!.
Congruencia Def. 3. Si a y b son enteros, diremos que a es congruente a b m ´ odulo m ( m > 1 ) si m (a b). Denotamos esto por a b(mod m). Si m ∤ (a b) diremos que a es incongruente a b m ´ odulo m y denotamos a b(mod m).
≡
| − −
≡ Ejemplo 11 ≡ 3(mod 2) pues 2|(11 − 3). Como ≡ 11(mod 5). 5 ∤ 6 y 6=17-11 tenemos que 17 Prop 4. Si a y b son enteros, tenemos que a ≡ b(mod m) si y solo si, existe un entero k tal que a Prueba .
= b + km.
Congruencia Prop 5. Si a, b, m y d son enteros, m afirmaciones son verdaderas:
≡ a(mod m) 2. a ≡ b(mod m) entonces b ≡ a(mod m) 3. a ≡ b(mod m) y b ≡ d(mod m) entonces a ≡ d(mod m) 1.
a
> 0, las siguientes
Prueba .
Congruencia Teorema 7. Si a, b, c y m son enteros tales que a b(mod m), entonces
≡
≡ b + c(mod m) 2. a − c ≡ b − c(mod m) 3. ac ≡ bc(mod m) 1.
a + c
Prueba .
Congruencia Teorema 8. Si a, b, c, d y m son enteros tales que a b(mod m) y c d(mod m), entonces
≡
≡ b + d(mod m) 2. a − c ≡ b − d(mod m) 3. ac ≡ bd(mod m) 1.
a + c
≡
Prueba .
Prop 6. Si a, b, k y m son enteros con k
a
k
≡ b(mod m), entonces a ≡
Prueba . Por
Inducci ´ on
> 0 y bk (mod m).
Congruencia Teorema 9. Si a, b, c y m son enteros y ac bc(mod m), entonces a b(mod
≡
≡
d = (c, m). Ejemplo
21x
≡ 15(mod 39).
m d
) donde
Def. 4. Si h y k son dos enteros con h diremos que k es un residuo m ´ odulo m.
Ejemplo 15.
≡ k(mod m),
Encontrar el resto de dividir 230 por
Congruencia Def. 5. El conjunto de los enteros r1 , r2 ,...,rs es un sistema completo de residuos modulo m si
{
1.
ri
}
≡ r (mod m) para i = j j
2. para todo entero n existe un ri tal que n ri (mod m).
≡
Ejemplo Determinar cuáles de los siguientes son sistemas completos de residuos módulo 4. a). 0, 1, 2, 3 c). 0, 4, 8, 12 e). 5, 0, 6, 22 b). 2, 1, 0, 1 d). 13, 4, 17, 18
{ } {− − }
{ {−
}
}
{−
}
Congruencia Teorema 10. si a b(mod m1 ), a b(mod m2 ),...,a b(mod mk ), donde a,b,m1 , m2 ,...,mk son enteros con mi positivos, i = 1, 2,...,k, entonces
≡
≡
a
≡
≡ b(mod [m , m ,...,m ]) 1
2
k
donde [m1 , m2 ,...,mk ] es el m ´ınimo com ´ un m ´ ultiplo de m1 , m2 ,...,mk . Prueba .
Congruencia Lineal Def. 6. Llamamos congruencia lineal en una variable a una b(mod m) donde x es la congruencia de la forma ax inc ´ ognita.
≡
Hay dos tipos de soluciones: Solución Incongruente Def. 7. Los enteros que satisfacen una determinada congruencia lineal y pertenecen a diferentes clase residuales m ´ odulo m.
Ejemplo Hallar la solución incongruente de la congruencia lineal 5x 2(mod 6)
≡
Congruencia Lineal Solución Congruente Def. 8. Los enteros que satisfacen una determinada congruencia lineal modulo m y pertenecen a la misma clase residual.
Ejemplo Hallar la solución congruente de la congruencia lineal 5x 2(mod 6). La única solución incongruente es 4 = 4 y
≡
4= b
{ ∈ Z : 4 ≡ b(mod 6)} = {−14, −8, −2, 4, 10, 14, 18,...} { }
Congruencia Lineal ¿Cuántas soluciones incongruente hay? Antes veremos la existencia de soluciones para una ecuación diofantina lineal. Def. 9. Una ecuaci ´ on de la forma ax + by = c donde a, b y c son enteros, es llamada ecuaci ´ on diofantina lineal . Teorema 11. Sean a y b enteros y d = (a, b). Si d ∤ c entonces la ecuaci ´ on ax + by = c no tiene ninguna ´ tiene infinitas soluci ´ on entera. Si d c, la ecuaci on soluciones y si x = x0 e y = y0 es una soluci ´ on particular,
|
entonces todas las soluciones son dadas por
x = x0 + (b/d)k
y = y0 + (a/d)k
k
∈Z
Congruencia Lineal Con el teorema mencionado podemos ahora decir cuantas son las soluciones incongruente (caso exista alguna) que la congruencia lineal ax b(mod m) tiene. Teorema 12. Sean a, b y m enteros tales que m > 0 y (a, m) = d. En el caso que d ∤ b la congruencia ax b(mod m) no tiene ninguna soluci ´ on y cuando d b, tiene exactamente d soluciones incongruentes m ´ odulo m.
≡ ≡
Ejemplo
|
Encontrar las soluciones incongruentes de
la congruencia lineal 21x
≡ 15(mod 39)
El Teorema Chino del resto Teorema 13. Si (ai , mi ) = 1, (mi , m j ) ci entero, entonces el sistema
a1 x
1
1
2
2
2
2
3
3
r
r
r
= 1 para i = j y
≡ c (mod m ) a x ≡ c (mod m ) a x ≡ c (mod m ) ··· a x ≡ c (mod m ) tiene una soluci ´ on y la soluci ´ on es unica m ´ odulo m, donde ´ m = m1 m2 ... mr .
· · ·
El Teorema Chino del resto Ejemplo lineales.
Resolver el sistema de congruencias
x
≡ 8(mod 5) x ≡ 5(mod 3) x ≡ 11(mod 7) x ≡ 2(mod 4)
Aplicación de la congruencia lineal k
i a la representaci ´ on de Comentario 1. Sea 10 i i=0 un entero positivo n en base 10. Entonces n es divisible por 7, 11 o 13.
n =
Prueba . Observamos
103 = 1000
que 7
· 11 · 13 = 1001 y
≡ −1(mod 1001) tenemos
(ak ak−1 ...a0 )10 =ak 10k + ak−1 10k−1 + ... + a1 10 + a0 =(102 a2 + 10a1 + a0 ) + 103 (102 a5 + 10a4 + a3 ) + (103 )2 (102 a8 + 10a7 + a6 ) + ...
≡(a a a ) − (a a a ) 2
´
1001
1
0 10
5
4
3 10
+ (a8 a7 a6 )10
− ...
Aplicación de la congruencia lineal Ejemplo Probar si los números 465647 y 2210000 son divisibles por 7, 11 u 13.
