01 TEORIA DE NUMEROS

Universidad Católica San Pablo Programa de Ciencia de la Computación

ESTRUCTURAS DISCRETAS III

Ana Maria Maria Cuadros Cuadros Valdi Valdivia via

1

OBJETIVO 

Conocer las técnicas y métodos de encriptación de datos aplicando conceptos de teoría de números y álgebra abstracta cta.



2

Aplica icar con conceptos de álgebra relacio cional. P r o .f M g . A n a M a r i a C u a d r o s

OBJETIVO 

Conocer las técnicas y métodos de encriptación de datos aplicando conceptos de teoría de números y álgebra abstracta cta.



2

Aplica icar con conceptos de álgebra relacio cional. P r o .f M g . A n a M a r i a C u a d r o s

CONTENIDO 

Teoría de números 

3

An Intro troduct ductiion to math mathem emaatic tical Cryp ryptograp grap h y, y, Hoffstein, Hoffstein, Jeffrey; Jeffrey; Pip h er, er, Jill; Silverman, Ed. Ed. 2008 , . . 1997. P r o .f M g . A n a M a r i a C u a d r o s

UNIDAD UNID AD 2 TEORIA DE NÚMEROS Cap.. 4 (4.3,4.4, Cap (4.3,4.4,4.5) 4.5) - Grim Grimald aldii

4

TEORIA DE NÚMEROS 

Divisibilidad Divisibilidad y m.c.d. m.c.d. (algoritmo (algoritmo de Euclides) Euclides).. 1. 2. 3. . 5. 6.

5

Divisibilidad División de los enteros Máximo común divisor. divisor. . Teorema fundamental de la aritmética. Aplicaciones: Ecuación Linear Diofántica. P r o .f M g . A n a M a r i a C u a d r o s

Introducción TEORIA DE NUMEROS 



6

Criptografía moderna construida por: algebra y teoría de números. La teoría de números es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los números enteros y sus propiedades.

P r o .f M g . A n a M a r i a C u a d r o s

Introducción Conjunto de enteros



7

, , comutativa, asociativa, distributiva). Z bajo la suma y multiplicación : ANILLOS P r o .f M g . A n a M a r i a C u a d r o s

Introducción OPERACIONES BINARIAS  

8

Operaciones binarias: dos entradas, una salida Criptografía: suma, resta y multiplicación


Introducción OPERACIONES BINARIAS

9


1. CONCEPTO DE DIVISIBILIDAD

10


Definiciones: DIVISIBILIDAD Sean a y b enteros, b ≠ 0. Se dice que “b divide a a” si existe un entero n que satisface

a=b×n b es un divisor de a, o a es múltiplo de b. Notación: b|a “b divide a a” si el resto es cero de lo contrario a ł b 11


Ejemplo : DIVISI B ILIDAD: a = b.n 



12

El entero 4 divide al entero 32 porque 32= 4 x 8

El número 8 no divide al número 42 porque 42=8x5+2. .


Ejemplos : DIVISI B ILIDAD: a = b.n 

21 = 3.7 3 divide a 21 => 3|21. El cociente “n” es 7 3 es un divisor o factor de 21.





13

-3|18 18 = (-3)(-6) a|0 0 = (a)(0)


Propiedades DIVISIBILIDAD 

Para todo a, b, c, ∈ Z, se cumple lo siguiente:

Propiedad 1: if a|1, then a = ±1. Propiedad 2: if a|b and b|a, then a = ±b. Propiedad 3: if a|b and b|c, then a|c. Propiedad 4: if a|b and a|c, then a|(m × b + n × c), donde m y n son enteros arbitrarios. 14


Propiedades DIVISIBILIDAD a. 13|78, 7|98, -6|24, 4|44 y 11|(-33) b. 13ł27, 7ł50, -6ł23, 4ł41 y 11ł(-32) c. Desde que 3|15 y 15|45→3|45 (iii

prop). d. Desde que 3|15 y 3|9 (vi prop) 3|(15x2 + 9x4), que significa 3|66

15


Propiedades DIVISIBILIDAD Hecho 1: El entero 1 tiene un solo divisor, el mismo Hecho 2: Cualquier entero positivo tiene al menos 2 divisores, 1 y el mismo (puede tener más). 

16

32 tiene 6 divisores: 1, 2, 4,8 ,16 y 32


2. DIVISIÓN DE LOS ENTEROS

17


Definición: ALGORITMO DE LA DIVISION 

Si a,b Є Z, con b > 0, entonces existen q, r Є Z únicos tales que:

a = q × b + r con 0 ≤ r < b 



18

El residuo de una división se denota como “a mod b”, mientras el cociente se denota como a div b. Si a=16 y b=3 => 16 = 3.5 + 1, por tanto q=5, r=1


Definición: ALGORITMO DE LA DIVISION Dos restricciones:

 



19

Divisor un entero positivo (b>0) Resto un entero no negativo (r≥0)


Ejemplos: Algoritmo de la división: a = qb + r , con 0 ≤ r < b 



a=98 y b = 7



a=-45 y b = 8



20

a=170 y b = 11 170 = 15.11 + 5 donde 0 ≤ 5 < 11

a=20 y b = 3


Ejemplos: Algoritmo de la división: a = qb + r , con 0 ≤ r < b Convertir un número decimal a base b

 

21

Ex presar el decimal 91 en base 2


Ejemplos: Algoritmo de la división: a = qb + r , con 0 ≤ r < b Convertir un número decimal a base b

 

22

Ex presar el decimal 6137 en base octal


4. M XIMO COM N DIVISOR

23


DIVISOR COMÚN 

24

.


Definiciones: DIVISOR COMÚN Para a, b  Z, un entero positivo c es un divisor común de a y b si c|a y c|b.





25

Los divisores comunes de 42 y 70 son: 1, 2, 7 y 14.


Ejemplo: Divisor Común 



Los divisores positivos de 30 son: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 Los divisores positivos de 105 son: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105

Entonces los divisores comúnes de 30 y 105 son: 1, 3, 5, 15 => mcd(30,105) = 15 26


Definiciones: MÁXIMO COMÚN DIVISOR mcd(a,b)=d Se dice que un entero no negativo d es el máximo común divisor de los enteros a y b,



 





El entero más grande d tal que d|a y d|b d es divisor común de a y b; y

Para cualquier a,b  Z+, existe un único d  Z+ que es el máximo común divisor de a, b. Ejemplo: Los divisores comunes de 12 y 18 son {1,2,3,6} y mcd(12,18) = 6

27


Definiciones: MÁXIMO COMÚN DIVISOR 

Si mcd(a,b) es 1 => a|b está simplificada. Se dice que a y b son primos relativos o co-primos. Ejemplo: 3 |8 es simplificada porque mcd(3,8) es 1.

28


Definiciones: ALGORITMO DE EUCLIDES 

Basado en los siguientes hechos:

Hecho 1 : mcd(a, 0) = a Hecho 2: mcd (a, b) = mcd (b, r), donde r

29


Definiciones: ALGORITMO DE EUCLIDES 

Si a, b  Z+ aplicamos el algoritmo de la división como sigue: 0 < r1 < b 0 < r2 < r1 0 < r3 < r2

a = q1b + r1, b = q2r1,+r2, r1 = q3r2,+r3,

… i

i+2 i+1,

i+2,

…. rk-2 = qkrk -1,+rk rk -1 = qk+1 rk

i+2

i+1

0 < rk < r k

-1

Entonces, r k , el último resto distinto de cero, es igual a mcd(a,b ) Si a, b  Z+ con a > b, entonces el mcd(a,b) = mcd(b, a mod b) 30


Ejemplo: ALGORITMO DE EUCLIDES 

Determinar el m.c.d. de 250 y 111, expresado como combinación lineal de los enteros. a=q b

+ r

250 = 2 (111) + 28 0 < 2 8 < 111 = 2 8 = 1 (27) + 1 0 < 1 < 27 27 = 27 (1) + 0 mcd(250,111) = 1 31



32

mcd(4864,3458)



mcd(4864,3458) a

= q

b

+ r

4864 = 1 (3458) + 1406 3458 = 2 (1406 ) + 646 = 646 = 5 ( 114) + 76 114 = 1 ( 76) + 38 76 = 2 ( 38) + 0 mcd(4864,3458) = 38 33


ALGORITMO DE EUCLIDES

34


ALGORITMO DE EUCLIDES 



35

Encontrar el mcd de 2740 y 1760

Mcd (2740,1760) = 20


ALGORITMO DE EUCLIDES Cuando mcd (a, b) = 1, decimos que a y b son relativamente primos.

36


Definiciones: ALGORITMO EXTENDIDO DE EUCLIDES 

El algoritmo extendido de Euclides puede ser fácilmente extendido para que aunado a la obtención del m.c.d.(a,b) = d, encuentre además la solución:

a x + by = d como una combinación lineal de a y b

37


Ejemplo: ALGORIT MO EXTENDIDO DE EUCLIDES Mcd(250,111) 250 = 2 (111) + 28 111 = 3 (28 ) + 27 28 = 1 (27) + 1

mcd(250,111) = 1



38

ax + by =d 250(4) + 111(-9) = 1

1 = 28 - 1 (2 7) 1 = 28 - 1 (111 – 3 (28)) 1 = -1(111) + 4 (28) – 1 = -1(111) + 4(250) – 8(111) 1 = -9(111) + 4(250) P r o .f M g . A n a M a r i a C u a d r o s

ALGORITMO EXTENDIDO DE EUCLIDES

a x + by = d Casos bases:

 



39

Paso 1: lo =a y l1 = b, lo= 1*a + 0*b

1

0

l1= 1*a + 0*b

0

1

Paso 2: Encontrar los valores para xi+1, yi + 1 - xi+1 = xi -1 – qi.x - yi+1 = yi -1 – qi.y


ALGORIT MO EXTENDIDO DE EUCLIDES

40



41


ALGORIT MO EXTENDIDO DE EUCLIDES 



42

Dados a=161 y b =28, encontrar el mcd(a,b) y los valores de x, y Mcd(161,28)=7, x=-1, y =6



43


ALGORIT MO EXTENDIDO DE EUCLIDES 

Colorario: 

 

44

Siendo d el mcd(a,b). Entonces d es el entero positivo más pequeño tal que para algunos enteros x e y : d= ax + by Lema: Si a, b y c son enteros positivos tal que mcd(a,b) =1 y a|bc entonces a|c P r o .f M g . A n a M a r i a C u a d r o s

5. ECUACIONES DIOFANTICAS

45


Pasos: Ec. Diafantica a x + by = c 



Calcular d=mcd(a,b) por el algoritmo de Euclides. Comprobar si d|c,  





46

si no divide, no existen soluciones enteras, termina. De lo contrario c=d.e

El par x0, y0 = (xe,ye) es una solución particular de ax+by=c Se usa el concepto de la ec. Diofántica para encontrar la solución general.


Ejemplo: Ec. Diafóntica 

47

Consideremos la ecuación 1492x + 1066y = -4


Ejemplo: Ec. Diafóntica 

48

Al ayudar a los estudiantes en sus cursos de programación, Juan observa que en promedio puede ayudar a un estudiante a depurar un programa en Pascal en 6 minutos, pero tarda 10 . Si trabajó en forma continua durante 104 minutos y no desperdició tiempo, ¿Cuántos programas depuró en cada lenguaje?


2. N MEROS PRIMOS

49


Definiciones: NÚMEROS PRIMOS 

Para todo n  Z+, n tiene al menos dos divisores positivos: 1 y el mismo n. 



Todos los demás enteros positivos (mayores que 1 y que no sean rimos se llaman com uestos. 





50

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …

4,10,16 y 21

Si n  Z+ y n es compuesto, entonces existe un primo tal que p|n. Existe una infinidad de primos.


5. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA

51


Teorema fundamental de la Aritmética 



52

Cada entero n>1 puede escribirse como un producto de sus primos de forma única, excepto por el orden de estos.

Donde todos los pt son primos distintos, mientras que los kt son enteros positivos mayores o iguales a 0.


Ejemplo: Teorema fundamental de la Aritmética 

Para el entero 980220, podemos determinar la factorización como producto de primos 980220 = 21(490110)=22(245055)=2231(81685) 2 1 1

2 1 1

1

= 22.31 .51 .171.312

53


Teorema Sean m y n enteros mayores que 1, con factorizaciones primas: m = p a p a ...pka 1

1

2

2

j

Y n = p b p b ...pkb 1

1

2

2

j

=> mcd(m,n) = p min(a ,b ) p min(a ,b ) ...pkmin(a , b ) 1

54

1

1

2

2

2

j

j


01 TEORIA DE NUMEROS

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