Parrilla Ejercicios y Teoria

ANALISIS MATRICIAL DE ELEMENTOS TIPO PARRILLA

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO TIPO PARRILLA Las parrillas son estructuras reticulares sometidas a cargas que actúan perpendicularmente a su plano. Ejemplos de ellas se encuentran en muchas estructuras industriales, industriales, en losas de entrepiso con viguetas en dos direcciones, en tableros de puentes y en culatas de bodegas y fabricas sometidas a la acción del viento. Los nudos se suponen rígidos y en consecuencia las acciones principales sobre sobre sus miembros miembros son torsión, torsión, flexión flexión y corte. corte.

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE PARRILLA Las parrillas son estructuras reticulares sometidas a cargas que actúan perpendicularmente a su plano. Ejemplo de ellas se encuentran en muchas estructuras industriales, industriales, en losas de entrepisos con viguetas en dos direcciones, en tableros de puentes, en culatas de bodegas y fabricas sometidas a la acción del viento. Los nudos se suponen rígidos y en consecuencia las acciones principales sobre sobre los miembros miembros son torsión, flexión y corte. corte. En la deducción de la matriz de rigidez de sus miembros se utilizara el principio de superposición. superposición. En la siguiente figura se muestra una parrilla típica:

(b)

(a) (c)


a) b)

c)

Esquema de una parrilla típica

Fuerzas que actúan sobre un elemento orientado en la dirección del eje X

Desplazamientos Desplazamientos originados por el sistema de fuerzas mencionados en el eje X

Como podemos notar en este sistema las fuerzas axiales se despreciaran ya que los elementos están empotrados en ambos extremos y en cambio ahora tomaremos otro elemento de mucha mayor importancia para este tipo de estructuras que es el momento torsor debido a ciertas cargas. Veamos un diagrama de dicho elemento. GRAFICO DE GRADOS DE LIBERTAD:

Donde:

Desplazamientos:

1 – 4 Dirección x

giro

2 – 5 Dirección z

desplazamiento desplazamiento v

3 – 6 Dirección y

giro

Fuerzas:

1 – 4 Momento torsor 2 – 5

Cortante

3 – 6 Momento

N


a) b)

c)

Esquema de una parrilla típica

Fuerzas que actúan sobre un elemento orientado en la dirección del eje X

Desplazamientos Desplazamientos originados por el sistema de fuerzas mencionados en el eje X

Como podemos notar en este sistema las fuerzas axiales se despreciaran ya que los elementos están empotrados en ambos extremos y en cambio ahora tomaremos otro elemento de mucha mayor importancia para este tipo de estructuras que es el momento torsor debido a ciertas cargas. Veamos un diagrama de dicho elemento. GRAFICO DE GRADOS DE LIBERTAD:

Donde:

Desplazamientos:

1 – 4 Dirección x

giro

2 – 5 Dirección z

desplazamiento desplazamiento v

3 – 6 Dirección y

giro

Fuerzas:

1 – 4 Momento torsor 2 – 5

Cortante

3 – 6 Momento

N

ANALISIS MATRICIAL DE ELEMENTOS TIPO PARRILLA En dicha figura el sistema de ejes globales se ha rotado 90°, en tal forma que la parrilla queda contenida en el plano horizontal X-Y y las cargas quedan actuando verticalmente en la dirección del eje Z. Esto permite el empleo de las matrices de transformación deducidas antes, como se verá más adelante. Deasarrollaremos Deasarrollaremos la matriz general para las estructuras tipo parrillas la cual la aremos en los dos sentidos fundamentales fundamentales en que van las estructuras (x & y). Dicha ecuación resulta entonces así: Si se realiza un análisis estatico lineal es suficiente considerar las fuerzas externas aplicadas iguales a las fuerzas de reacción elásticas de la estructura “

”.Entonces:

Donde: : Vector de fuerzas externas de la estructura. : Matriz de rigidez de la estructura. : Vector de desplazamiento de la estructura.

….. (10)

MATRIZ DE COORDENADA LOCALES 1. Matriz De Rigidez Para Elementos Orientados En La Dirección Del Eje X La matriz de rigidez se obtiene por el método de los desplazamientos desplazamientos unitarios, resolviendo los los seis problemas problemas siguientes:


a) ESTADO 1: Se impone un valor unitario al giro de torsión del elemento. Los resultados se indican en las siguientes figuras, siendo G el módulo de elasticidad en cortadura y J la constante de rigidez a la torsión de la sección recta de la viga, de tal forma que el producto GJ sea la rigidez a torsión. Para secciones Circulares, J es el momento de inercia polar de la sección, y para otros tipos de sección se debe aplicar la teoría de la torsión correspondiente.

Demostración:

pero entonces por lo tanto: Ahora como solo hay torsión se entiende que las demás fuerzas aplicadas son igual a cero ya que no generan ningún tipo de cambio en la estructura. Entonces la primera columna será:


b) ESTADO 2:

=1

Se impone un valor unitario al giro, como se muestra en la figura, en la que se representa el elemento en su plano X y Z. Este problema corresponde al elemento de viga plana en dos dimensiones.

Demostración:

pero ya que no hay giro en el sentido x, en otras palabras no hay torsión en ese eje. entonces por lo tanto: Ahora de la ecuación de Maney

Convención de signos: Todo efecto horario positivo Donde:

Aplicando Maney:

Entonces:

ANALISIS MATRICIAL DE ELEMENTOS TIPO PARRILLA Ahora:

Donde:

Entonces:

Por superposición de fuerzas:

Además

Por lo tanto la segunda columna quedaría:


c) ESTADO 3: vzi=1 Se impone un desplazamiento unitario a viz. Este problema corresponde al elemento de viga plana en dos dimensiones.

-

Como podemos ver no se presenta giro en la dirección x por lo serán cero cono en la columna anterior por ende los casilleros 1 y 4 de la columna número 3 serán cero.

Ahora aplicando Maney: Para i será: donde Para j será:

Donde:

Por lo tanto los momentos en i y j será:

Por equilibrio de fuerzas:

ANALISIS MATRICIAL DE ELEMENTOS TIPO PARRILLA Por lo tanto la matriz resultante de la columna numero 3 sera:

d) ESTADO 4:

Pero Entonces Por lo tanto: Entonces la matriz resultante de la columna numero 4 sera:


e) ESTADO 5:

pero

ya que no hay giro en el sentido x

entonces por lo tanto: Ahora por Maney:

Donde:

Entonces: por lo tanto:


Donde:

Entonces: por lo tanto

Por superposición de fuerzas:

Además

Por lo tanto la segunda columna quedaría:


f) ESTADO 6 : v jz=1

Como podemos ver no se presenta giro en la dirección x por lo serán cero cono en la columna anterior por ende los casilleros 1 y 4 de la columna número 3 serán cero. Ahora aplicando Maney: pero Para j será:

Donde:

Por lo tanto los momentos en i y j será:

Como salen negativos entonces en nuesrta convención de signos saldrán positivos por lo tanto:

Por equilibrio de fuerzas:


Y

sera:

Por lo tanto la matriz resultante de la columna numero 3 sera:

Ahora los momentos en sentido horario resultan positivos, contrario a lo que se tenia para elementos de pórticos. En cuanto al segundo caso, o sea la parte de torsión, la ecuación básica es la (9). Ampliando ahora las ecuaciones (9) y (10) para poderlas sumar, teniendo en cuenta en ambos casos los momentos de empotramiento que reemplazan las cargas intermedias, se obtiene la ecuación definitiva del elemento de parilla, referida a coordenadas locales, que se muestra a continuación. Es obvia que dicha ecuación es también valida en el sistema de coordenadas generales para aquellos elementos orientados en la dirección del eje X.

….(11)


2. Matriz De Rigidez Para Elementos Orientados En La Dirección Del Eje Y: Un caso frecuente es el de parrilla con miembros dispuestos perpendicularmente entre sí; ejemplo de ello son el sistema conocido como reticular celulado, algunas superestructuras de puentes y cierto tipo de cimentaciones. Para un elemento orientado en la dirección del eje "y", el significado físico de la matriz de rigidez y las figuras mostradas a continuación conducen a la ecuación de matriz de rigidez orientado al eje "y".

La demostración de las ecuaciones se realizaran como en el desarrollo de la matriz de rigidez orientada en el eje x por esta razón solo se pasaran a nombrarlas ya que el cálculo se dejara como ejercicio para el alumno.

a) ESTADO 1 :


b) ESTADO 2:

c) ESTADO 3 : viz=1

d) ESTADO 4 :

xj=1


e) ESTADO 5 :

yj=1

f) ESTADO 6: v jz=1

ANALISIS MATRICIAL DE ELEMENTOS TIPO PARRILLA Superponiendo todas las columnas obtenemos la matriz de rigidez con dirección en Y:

… (12)

Esta es la ecuación básica de un elemento de parrilla orientado en la dirección del eje y del sistema de coordenadas locales.

MATRIZ DE COORDENADA GENERALES Se representa el caso general de un elemento de parrilla arbitrariamente orientado en el plano de la misma:

Comparando la figura visto en plano con la figura de un pórtico girado arbitrariamente, se ve que gracias a la rotación de ejes los dos casos son completamente análogas y, por consiguiente, la matriz de transformación

resulta definida así:


Hallando la matriz de transformación: En el extremo “i” del elemento estructural los vectores a rotar son los correspondientes a los grados de libertad 1 y 2 es decir “x” y “y”.

De la grafica: : Vectores sistema Coordenada Local : Vectores sistema Coordenada Global

De (1) y (2):

ANALISIS MATRICIAL DE ELEMENTOS TIPO PARRILLA Expresamos matricialmente:

Ahora aplicando el tercer grado de libertad: Resultaría una matriz

Para simplificar las formulas vamos a tomar como:

Y la matriz de transformación seria:

Y la matriz transpuesta seria:

Por consiguiente la matriz quedará como sigue: La rotación del sistema de ejes generales tubo por objeto lograr esta concordancia para beneficiarse de ella, en especial al resolver los problemas mediante computadora, pero naturalmente, podrían haberse dejado los mismos ejes y haber localizado la parrilla en los planos XY, XZ o YZ, según prefiriera el calculista.

ANALISIS MATRICIAL DE ELEMENTOS TIPO PARRILLA Recordando que la matriz de rigidez, referida a coordenadas generales se puede obtener mediante el triple producto:

Y reemplazando en esta fórmula las matrices definidas por las ecuaciones se llega a la siguiente ecuación general aplicada al elemento de parrilla arbitrariamente orientado en el plano de esta, con esta ecuación es posible resolver toda clase de ecuaciones planas; la utilización se explicara con los siguientes ejercicios.

Con la ecuación de matriz de rigidez orientado en la dirección "x" y con la matriz de rigidez orientado en la dirección "y", es posible analizar todo tipo de parrillas ortogonales presentados en estructuras de este tipo.


UNCP - FIC

Una vez demostrado todas las formulas presentes en el análisis matricial de estructuras tipo parrillas vamos a desarrollar un ejercicio de aplicación de cada uno de los casos tanto en eje local como el eje general usando las formulas demostradas en este texto.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJEMPLO 1: Resuelva matricialmente la estructura descrita a continuación:

Ambos elementos tienen una sección de 300mm x 400mm (b x h), el modulo de elasticidad vale 19KN/mm2 y la relación de Poisson 0.20.

Una vez demostrado todas las formulas presentes en el análisis matricial de estructuras tipo parrillas vamos a desarrollar un ejercicio de aplicación de cada uno de los casos tanto en eje local como el eje general usando las formulas demostradas en este texto.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJEMPLO 1: Resuelva matricialmente la estructura descrita a continuación:

Ambos elementos tienen una sección de 300mm x 400mm (b x h), el modulo de elasticidad vale 19KN/mm2 y la relación de Poisson 0.20.

SOLUCIÓN: Se numeran los nudos y se orientan los elementos de la siguiente manera:

Calculando las propiedades:

Las propiedades auxiliares resultan así: ELEMENTO

L

GJ/L

2EI/L

4EI/L

6EI/L2

12EI/L3

1_2

2.4

6410

25330

50670

31670

26390

1_3

3

5130

20270

40530

20270

13510

Las fuerzas de empotramiento son:

Al reemplazar en la ecuación (11), aplicable al elemento 1 -2 se obtiene:

Para el elemento 1 -3, se utiliza la ecuación (12):

Ensamblando las partes correspondientes al nudo libre, resulta:

Resolviendo el sistema:

Las fuerzas internas se calculan reemplazando estos valores en ecuaciones individuales:

Verificando el equilibrio:

DFC (KN)

DMF (KN.m)

TORSION (KN.m)

ELÁSTICA

EJEMPLO 2: DE LA MATRIZ EN CUALQUIER DIRECCION Analice completamente la estructura de la figura, ambos elementos tienen una sección DE 300x350mm. E=19KN/mm2, G=7.5KN/mm2

SOLUCIÓN: Se enumeran los nudos y se escoge la orientación de los elementos:

Calculando las propiedades:

Para el elemento 1-2:

Fuerzas de empotramiento:

La transformación a coordenadas generales se puede hacer utilizando la ecuación (13), o directamente por trigonometría:

Las fuerzas en Z, por ser normales al plano, no sufren ningun cambio:

Quedando:

Ensamblando los términos correspondientes al nudo libre:

Resolviendo el sistema se obtienen los desplazamientos desconocidos:

Para hallar las fuerzas internas y las reacciones se reemplazan estos valores en las ecuaciones individuales. Al hacerlo se obtiene:

Para convertir estos valores a coordenadas locales se emplea la ecuación (13):

Para el elemento 3 – 1:

Verificando el equilibrio:

CONCLUSIONES

Al observar que tipo de estructura se va analizar, el analista puede ver cuales son los esfuerzos predominantes en la estructura, con lo que se puede definir la cantidad de desplazamientos o grados de libertad que existen y con ello saber de antemano cuantas filas y columnas tendrá la matriz de rigidez fundamental en el método de rigidez. El método de rigidez básico no se adapta para el análisis de estructuras de gran envergadura para elaborarlo a mano, tanto en teoría como en aplicación; sin embargo el método directo de las rigideces es posible formularlo en términos de algoritmos sencillos, aplicables a la gran variedad de estructuras, requiriéndose para el mismo la disponibilidad de una computadora. Se concluye que una de las ventajas que presenta el planteamiento matricial, es que cualquier número de cargas se pueden considerar fácilmente, una vez calculada la matriz de rigidez. Con la llegada de las computadoras, el método de la rigidez se adapta mucho mejor que cualquier otro método de análisis al uso de la computadora, de ahí que sea el método mas usado en la actualidad.

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