MULTIPLOS DE UN NÚMERO Los múltiplos de un número son todos aquellos números que se obtienen al multiplicarlo por otro número 1 = 3 2 = 6 3 × 3 = 9 SON MULTIPLOS DE 3 4 = 12 5 = 15
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando el número por cada uno de los números naturales. MULTIPLOS DE 3 = {3, 6, 9, 12, 15, 1, 21!" ACTIVIDAD 1. #ncuentra #ncuentra los los die$ die$ primer primeros os múltipl múltiplos os de cada numero numero
%& 5 ' = { 5,1(,
"
%& 6 ' = { 6,12
"
%& ' = { ,
"
%& 11 ' = { 11,
"
%&12 ' = { 12,
"
%& 15 ' = { 15,
"
2. #scribe #scribe cada uno uno de los múltiplos múltiplos dados dados en un un con)unto con)unto que le le corresponda corresponda
MULTIPLOS DE 4
2 32
2( 2*
21 16
MULTIPLOS DE 7
1
15 49
MULTIPLOS DE 9
35 56 3( 12 45 14 42 54 1 144 5(
24
*2
3. #+plica -or que 56 es múltiplo se !!!!!!!!!!!!!!!!!!!... !!!!!!!!!!!!!!!!!!!... • -or que 4 no es múltiplo de 5 !!!!!!!!!!!!!!!!!!.. !!!!!!!!!!!!!!!!!!.. • -or que *2 es múltiplo de de 9 !!!!!!!!!!!!!!!!... • -or que 36 es múltiplo de 3, 6 9 !!!!!!!!!!!!!!!!! • 4. #n cada caso, caso, prueba prueba con /arios /arios números números lue0o lue0o comprueba, comprueba, en tu tu cuaderno, cuaderno, si cumplen las condiciones dadas uan a/id quiere a/eri0uar la edad de su proesora. l pre0untarle, ella le • contestomi edad es un múltiplo de * dentro de dos aos ser7 múltiplo de 1(. 8u: edad tiene la proesora de uan a/id; Luisa pens< en un número lo multiplico por 5. #l número que le resulto no es múltiplo de 1(. i el número es maor que 4( menor que 45, 8u: numero pens< Luisa; 5. #ncierra #ncierra con ro)o ro)o los múltip múltiplos los de 4> con a$ul, a$ul, los múltip múltiplos los de * , , con /erde /erde los múltiplos de 1(. •
6. 4 ? 14 ? 3( ? 4( ? 9( ? 36 ? 42 ? * ? 1( ? 22 ? 35 ? 21 ? *5 ? 49 ? 2( ? 2 @21 ? 3 ? 5( ? *( ? 25 ? 55 ? 6( ? 12 ? 51 ? 16 ? 9( ? 13. 8Au7les números est7n encerrados /arias /eces;BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB • BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBB 8Au7les números est7n sin encerrar;BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB • BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBB #scriba los números que est7n encerrados una sola /e$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB • BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBB
#scriba los números que son múltiplos de 4 de *, pero que no son múltiplos de 1(BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
•
DIVISORES DE UN NÚMERO Los di/isores o actores de un número son aquellos que lo di/iden e+actamente
CONJUNTO DE DIVISORES DE 6
6 = &1, 2, 3,6'
DIVISION EXACTA
* #s di/isor de 42 porque 42 C* = 6> el residuo es D #l * esta contenido en el 42, 6 /eces e+actamente.
#ntonces 6 * son di/isores de 42
ACTIVIDAD 1. #scribe los di/isores de cada numero
#
# 1(
#12
# 1
NOTA: -ara encontrar todos los di/isores de un número, se buscan todos los actores cuo producto sea el número 2. EacFa en cada dia0rama los números que no pertenecen a cada con)unto de di/isores 16 2(
1
2 9
12
32 4
1
1( 2 4 6(
4(
5
6 15 3( 6( 1(
24 4
5
3(
5 3( 3
9
45
1 1
15
DIVISORES DE 18
B1BB × B16BB B2BB ×BBB B4BB × B4BB •
16 = &B1, 2, 4, , 16'
DIVISORES DE 24 BBB × BBB BBB × BBB BBB × BBB BBB × BBB •
24 = &BBBBBBBBBBBBBBB'
DIVISORES DE 36
BBB × BBB BBB × BBB BBB × BBB 36 = &BBBBBBBBBBBBBBBBBB' BBB × BBB
16 2 9
15
3. Galla el con)unto de di/isores •
9 3 1
2 2* 6
BBB × BBB
DIVISIBILIDAD CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD: on ciertas re0las de los números que nos permiten conocer en orma r7pida cuando un numero es di/isible por otro numero
UN NÚMERO ES DIVISIBLE POR: 2 i el número termina en cero o cira par 4( ? 5 @ 326 3 i la suma de sus ciras dan 3 o múltiplos de 3 12 ? 1(5 ? 39 4 i sus dos ultimas ciras son ceros o múltiplos de 4 16 ? 4(( @ 36 5 i termina en cero o en cinco 2( ? 15 ? *65 6 i es di/isible por 2 por 3 a la /e$ 1 ? 21 ? 246 9 i la suma de las ciras da un múltiplo de 9 1 ? 2*( ? 639 1( i termina en cero 2( ? 5( ? 39(
ACTIVIDAD 1. Aompleta el cuadro teniendo en cuenta los criterios de di/isibilidad
NUMERO
PAR H
88 324 60 402 720 813 678 100
SUMA DE CIFRAS I = 16
MULTIPLO DE
DIVISIBLE POR: 3 4 5 6 9 1
2 2@4
H
H
2. #ncierra en un circulo los números di/isibles por 5 con un rect7n0ulo los que sean di/isibles por 5 1(
45 520
6
8.120
38
605
860
1.005
810
1.265 85
526
594
535
70
3.680
310
3. Jusca el numero que sea di/isible por lo indicado subr7alo
#s di/isible por 2
2.64(
#s di/isible por 3
5.5((
1.(4
**(
#s di/isible por 5
.*51
3*63
4.**5
#s di/isible por 1(
25(
1.*64
9.424
1.245
500
593
605
NUMEROS PRIMOS ! COMPUESTOS NUMERO PRIMO #s el numero que solo es di/isible por si mismo por la unidad 5
#s un numero primo porque 5C1= 5 5C5 = 1
5= & 1,5 '
NUMERO COMPUESTO #s el numero que tiene mas de dos di/isores 16
#s un número compuesto porque 16C1= 16 16C2= 16C4= 4 16C= 2
16C16= 1
16= &1,2,4,,16'
ACTIVIDAD 1. escribe los 5 primeros di/isores de cada numero encierra los números primos 3= & ' o o = & ' o 11= & ' o 1(= & ' o 1*= & ' 23= & ' o 13=& ' o 29=& ' o 12=& ' o 2. #+presa los números compuestos como un producto de números
21 =
×
35 =
×
3 =
×
33 = ×
26 = ×
3. Lee comprensi/amente rist
LOS NUMEROS "UE NO SE PINTARON SON LOS NUMEROS PRIMOS 1
2
3
4
5
6
*
9
1(
11
12
13
14
15
16
1*
1
19
2(
21
22
23
24
25
26
2*
2
29
3(
31
32
33
34
35
36
3*
3
39
4(
41
42
43
44
45
46
4*
4
49
5(
51
52
53
54
55
56
5*
5
59
6(
61
62
63
64
65
66
6*
6
69
*(
*1
*2
*3
*4
*5
*6
**
*
*9
(
1
2
3
4
5
6
*
9
9(
91
92
93
94
95
96
9*
9
99
1((
#scribe los números primos encontrados BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
DESCOMPOSICION DE NUMEROS EN FACTORES PRIMOS escomponer un numero en actores primos, es con/ertirlo en un producto de actores primos
DESCOMPONER EL 54 EN FACTORES PRIMOS o o o o o
Juscamos los números primos #l 54 al terminar en cira par , di/idimos por 2 l sumar las ciras del 2* da un múltiplo de 3 2I*= 9 9 es un múltiplo de 3 3 ×3 = 9 3 es un múltiplo de 3 3×1= 3
54 2* 9 3 1
2 3 3 3
ENTONCES: 54 = 2×3×3×3 54= 2× 3N
ACTIVIDAD 1. escomponer en actores primos los números dados 14 92 46 23 1
2 2 2 23
25 14 = 2×2×2×23 14= 2N×23
25 = 25 =
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB 69
3(
69= 69=
1((
3(= 3(=
1((= 1((=
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
34
316
34= 34=
5*2
316= 316=
5*2= 5*2=
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
64
99
64= 64=
12(
99= 99=
12(= 12(=
MINIMO COMUN MULTIPLO #$%$& M'()*+(,- %,$./0- 0 ,- , $- /'$0,- es todo número que contiene e+actamente a cada uno de ellos. 36 es múltiplo de 9 porque 36C4 = 9> el 36 contiene e+actamente al 9 4 /eces 36 es múltiplo de 6 porque 36C6 = 6> el 36 contiene e+actamente al 6 6 /eces
ENTONCES 36 ES MULTIPLO DE 6 ! DE 9 MINIMO COMUN MULTIPLO de dos o mas números es el mas pequeo de los múltiplos comunes a dicFos números. e representa por m.c.m &mOnimo común múltiplo'
CUAL ES EL MINIMO COMUN MULTIPLO DE 4 ! 8 1. Gallamos los múltiplos de 4
% 4= & 4, , 12, 16, 2(, 24, 2, 32, 36, 4(, 44, 4' % = &, 16, 24, 32, 4(, 4, 46, 64, *2, ('
3. Los múltiplos comunes de 4 = & , 16, 24, 4(, 4' 4. esco0emos el menor de los múltiplos comunes &'
ENTONCES: E( $/*$, %,$'/ $'()*+(, 0 4 8 # 8 & OTRA FORMA CUAL ES EL MINIMO COMUN MULTIPLO DE 6 ! 12 1. escomponemos los dos números simult7neamente por el menor número primo 6 @
12
2
3 @
6
2
3 @
3
3
1 @
1
@ a los dos números se les puede di/idir por 2 a que mbos son números pares @ el 6 se di/ide por 2 a que es numero par, el 3 como no #s di/isible por dos, se ba)a a la si0uiente lOnea @ ambos números son di/isibles por 3
PARA ALLAR EL MINIMO COMUN MULTIPLO SE MULTIPLICAN LOS FACTORES PRIMOS 2 X 2 X 3 12 MCM #12& ACTIVIDAD 1. Aomplete el si0uiente cuadro con los números correctos PQ%#D D 6 9 2 5 1( 3 6 12 16 24
ADPQPED # LD 12 %QLEM-LD # A PQ%#D 6,12,1,24,3(,36,42,4,54,6(,66,*2! 9, 1, 2*, 36, 45, 54, 63, *2,1.9(.99.1(!
%QLEM-LD AD%QP#
2. #ncuentra el mOnimo común múltiplo &m. c. m' de los si0uientes números a. m.c.m & 2, 3, 9 ' b. m.c.m & , 1( ' c. m.c.m & 9, 15 ' c. m.c.m & 4, 5, ' d. m.c.m & 6, 9 ' e. m.c.m & 4, 6 ' . m.c.m & 1, 24 ' 0. m.c.m & 1(, 2( '
%A%
F. m.c.m & 2, 3( ' ). m.c.m & 12, 24, 36 '
i. m.c.m &1(, 14. * ' R. m.c.m & 1(, 3(, 5( '
MAXIMO COMUN DIVISOR #l m7+imo común di/isor de dos o m7s números es el maor de los di/isores que son comunes a los números dados. e representa por m.c.d & m7+imo común di/isor' 8AQL # #L %HM%D AD%QP MSMD # 6 T 12; 1. Gallamos los di/isores de 6 12 6 = & 1, 2, 3, 6 ' 12= & 1, 2, 3, 4, 6, 12 ' 2. Los di/isores comunes de 6 12 = & 1, 2, 3, 6' 3. #sco0emos el maor di/isor común de 6 12, es & 6' #PEDPA# #l m7+imo común di/isor m.c.d.&6, 12' = & 6 ' DE UD% 8AQL # %HM%D AD%QP MSMD # 9 T 1; 1. e descomponen los números simult7neamente por el menor de /.$0, +*$, %,$'/ 9
@
1
3
3 @ di/isibilidad
6
3
@ a ambos números se les puede di/idir por 3, a que ambos cumplen la di/isibilidad del 3 son múltiplos de 3 @ el 3 el 6 son di/isibles por 3, cumplen la el 3
1
@
2
@ como ambos & 1 2 ' no tienen un di/isor común #l e)ercicio a Fa terminado
PARA ALLAR EL MAXIMO COMUN DIVISOR SE MULTIPLICAN LOS FACTORES PRIMOS 3X 3 9 MCD# 9 & AEMSM 1. Aompleta el cuadro con los números correctos PQ%#D D 6 15 24 1( 14 12 4 2( 3(
ADPQPED # MSMD#
MSMD# AD%QP#
1, 2, 3, 6 1, 3, 5, 15
2. #scribe H si la e+presi
%.A.
b. %.A. & * ? 14 ? 21 ' c. %.A. & 2( ? 16 ' d. %.A. & 33 ? 44 ? 22 '
