Navier Cauchy

La ecuación de Cauchy-Navier Las ecuaciones que describen el equilibrio mecánico de un sólido elástico son: Las ecuaciones de movimiento Este conjunto de ecuaciones se deriva teniendo en cuenta las tracciones a través tr avés de las superficies de un elemento de volumen, que corresponden a l as componentes del tensor de tensión y las fuerzas del cuerpo que son proporcionales a la masa en el elemento de volumen. Las ecuaciones de movimiento (Ecuaciones 1 ) se obtienen sumando todas las

fuerzas y términos de inercia para cada componente de desplazamiento:

donde

está la densidad,

son las componentes de desplazamiento en las

direcciones, respectivamente, es la componente del tensor de tensión, para (donde el primer subíndice representa un eje de coordenadas normal a un plano dado y el segundo subíndice representa el eje al que está la tracción paralela).

La ecuación de continuidad c ontinuidad Esta ecuación expresa la condición de que la masa de una porción dada de la materia se conserva. La salida total de masa del volumen elemental durante el tiempo es , ¿dónde está la velocidad? (Los caracteres en negrita en las ecuac iones representan cantidades vectoriales). La pérdida de masa durante el mismo tiempo es . Igualar estas dos últimas

expresiones da ( 2 ):

Las relaciones constitutivas elásticas Usamos las relaciones constitutivas para materiales elásticos e isotrópicos. Como isotrópico, isotrópico, entendemos un material cuyas propiedades son invariables por rotaciones, entonces, la energía de deformación puede depender de la deformación solo por cantidades escalares. También suponen que para pequeñas deformaciones, las variaciones en la

densidad

no son importantes y, a continuación, los coeficientes elásticos (isotérmicos) se

reducen a dos constantes: y , por lo general, se denominan parámetros de isotermas de Lamè . Suponiendo además que no se produce deformación termoelástica, las relaciones constitutivas para materiales isotrópicos ( 3 ) pueden expresarse como:

donde está el tensor de deformación infinitesimal (para ), y es la dilatación cúbica , definida como el límite abordado por la relación entre el aumento del volumen y el volumen inicial cuando las variaciones de desplazamiento en el acercamiento a cero:

Utilizando la ecuación de movimiento (Ecuación 1 ) y las relaciones constitutivas (Ec. 3 ), podemos escribir las ecuaciones de movimiento en términos de los desplazamientos de un punto en un sólido elástico, obteniendo la ecuación de Cauchy-Navier  conocida :

que también se puede escribir en formalismo vectorial como: