Teorema integral de Cauchy Si f Si f (( z z ) es analítica con derivada continua en todos los puntos dentro y sobre un contorno cerrado C, entonces:
C
f ( z )dz 0 C
Ejemplos:
C
C
e dz 0 z
d z 0 z C
C
f ( f ( z z ) es analítica en todo punto
f ( f ( z z ) es analítica en todo punto excepto en z en z = =0
Demostración Demostración del teorema integral de Cauchy: Como suponemos u(x,y), v(x,y) y sus derivadas parciales continuas en todos los puntos dentro y sobre C:
f ( z )dz u( x, y)dx v( x, y)dy i v( x, y)dx i u( x, y)dy C
C
C
C
C
P ( x, y ) : u ( x, y )
P ( x, y ) : v( x, y )
Q( x, y ) : v( x, y )
Q( x, y ) : u ( x, y )
D
v u u v dxdy i dxdy 0 D x y x y 0 (Como f(z) (Como f(z) es analítica cumple las ECR)
Demostración Demostración del teorema integral de Cauchy: Como suponemos u(x,y), v(x,y) y sus derivadas parciales continuas en todos los puntos dentro y sobre C:
f ( z )dz u( x, y)dx v( x, y)dy i v( x, y)dx i u( x, y)dy C
C
C
C
C
P ( x, y ) : u ( x, y )
P ( x, y ) : v( x, y )
Q( x, y ) : v( x, y )
Q( x, y ) : u ( x, y )
D
v u u v dxdy i dxdy 0 D x y x y 0 (Como f(z) (Como f(z) es analítica cumple las ECR)
Teorema integral de Cauchy-Goursat Si f Si f (( z z ) es analítica en todos los puntos dentro y sobre un contorno cerrado C, entonces:
C
f ( z )dz 0
Es menos restrictivo que el teorema integral de Cauchy. Cauchy. Goursat Gour sat demostró el teorema integral de Cauchy sin imponer la restricción alguna sobre la derivada de f(z). de f(z).
Edouard Jean-Baptiste Goursat (1838 – 1936)
Ejemplos
1
cos z dz 0
C 1
C 1
C 1
1
cos z dz ?
C 2
C 2
C 2
f ( z ) es no analítica en z = /2, 3/2, ...
1
sin(
C
z
)
dz
0
C 1
2i
No es analítica en los puntos z = 0, 1, 2,...
C
C 2
3e z sin z 3 z 3e z sin z 3 z
dz 0
dz ?
f ( z ) es no analítica en z = 3 -2 -1
0
1
2
Ejemplo
3i
Evaluar la integral
dz
z ( z 2
C
2
9)
C
dz
donde C es un círculo de radio 2, centrado en 0, descrito en sentido positivo y un círculo de radio 1, centrado en 0, descrito en sentido negativo.
0
1
2
-3i
f ( z ) presenta singularidades en z = 0 y z = 3i. Esos puntos están fuera de la región sombreada como muestra la figura. Así:
dz
z ( z 2
2
9)
dz 0
Más sobre integración en contornos cerrados... Podemos usar el teorema Integral de Cauchy para integrar funciones en contornos cerrados siempre que éstas sean: (a) analíticas, o (b) analíticas en ciertas regiones Por ejemplo, C
C
dz z
0
f ( z ) es analítica en todo punto excepto en z = 0
Pero, ¿qué sucede si el contorno encierra un punto singular? C
dz ? z C
Fórmula Integral de Cauchy Sea f ( z ) analítica en un dominio simplemente conexo D. Para cualquier punto z 0 en D y cualquier contorno cerrado C en D que incluya z 0:
f ( z )
z z
C
C
dz 2 i f ( z 0 )
0
z 0 D
Ejemplo Ilustremos la fórmula integral de Cauchy para el caso de f ( z ) = 1 y z 0 = 0 La fórmula integral de Cauchy
C
D
f ( z )
z z dz 2 i f ( z ) 0
C
0
z 0 0
se convierte en
1
z dz 2 i 1 2 i
C
f ( z ) es una función constante, es entera, así que C puede ser cualquier contorno cerrado en el plano complejo conteniendo z = 0.
Ejemplo 2
Evaluar la integral
z
2 z dz
donde C es
z 1 2
C
z = 2 es un punto singular en el interior a C. La fórmula integral de Cauchy
f ( z )
z z
dz 2 i f ( z 0 )
0
C
se convierte en: 2
z 0 2
z
z 2
dz
2 i 4 i8
f ( z ) es analítica en todo punto de modo que C puede ser cualquier contorno en el plano complejo conteniendo el punto z = 2.
Demostración no rigurosa de la fórmula integral de Cauchy:
z
r 0 e
i
Por el principio de deformación de contornos:
C
z 0
C 0
f ( z )
z z
0
C
f ( z )
z z
C 0
dz
0
Cambio de variable:
2
0
i f ( z 0 r 0 e )
dz
r 0 ei
z z 0 r 0e ; i
dz d
ir 0e
z z
C 0
ir 0e d i i
f ( z )
i
2
0
dz
0
f ( z 0 r 0 ei )d
Hemos tomado un r 0 arbitrario. Hagámoslo infinitamente pequeño:
lim i
r 0 0
if ( z 0 )
2
0
f ( z 0 r 0 e )d i
2
0
i
2
0
f ( z 0 )d
d 2 if ( z 0 )
f ( z )
z z dz 2 i f ( z ) 0
C
0
¿Qué no es riguroso aquí?
z
r 0 e
Demostración de la fórmula integral de Cauchy. Por el principio de deformación de contornos:
i
C
z 0
f ( z )
z z dz z z dz
C 0
C
z z dz
f ( z 0 )
C 0
1
z z 0
0
C 0
z z 0
C 0
0
0
f ( z 0 ) f ( z ) f ( z 0 )
f ( z )
C
f ( z )
dz
C 0
f ( z ) f ( z 0 ) z z 0
dz
dz
I 1
1
z z dz
C 0
2
0
0
1
r 0e
i
ir 0e d i i
Vamos a encontrar una cota ML para I 2 Tenemos: L
2 r 0
Y necesitamos M tal que: Para todo z en C0 :
z z 0
C 0
Si tomamos r 0
z z 0
f ( z ) f ( z 0 ) z z 0
z z 0 r 0
Como f(z) es continua en z 0: f ( z ) f ( z ) 0
0
d 2 i
f ( z ) f ( z 0 )
f ( z ) f ( z 0 )
2
dz
M
si z z 0
f ( z ) f ( z 0 )
f ( z ) f ( z 0 ) z z 0
f ( z ) f ( z 0 ) r 0
M r 0 L 2 r 0
Ya podemos aplicar la desigualdad ML: para
I 2
C 0
f ( z ) f ( z 0 ) z z 0
dz ML
r 0
2 r 0 2
Epsilon puede ser tan pequeño como queramos (de hecho reducirlo es reducir el radio r 0. Así que: I 2 0 I 2 0
f ( z )
z z dz f ( z ) 0
C
0
C 0
1 z z 0
dz
I 1 2 i
C 0
f ( z ) f ( z 0 ) z z 0
dz 2 if ( z 0 )
I 2 0
Ejemplos Evaluar las siguientes integrales: (1)
dz z i C
C donde C es el círculo |z |=2
f ( z )
z z
C
i
dz 2 i f ( z 0 )
D
0
z 0 i
f ( z 0 ) 1
f ( z ) 1
f ( z ) es analítica en D y C incluye z 0
dz 2 i i
(2)
z
dz
2
C
1
donde C es el círculo |z+i |=1
En primer lugar, notemos que 1/( z 2+1) presenta puntos singulares en z = i. El contorno C incluye uno de esos puntos, z = -i. Ese es nuestro punto z 0 en la fórmula
i
i C
D
f ( z )
z z dz 2 i f ( z ) 0
0
C
Necesitamos un término en la forma 1/( z- z 0) así que rescribimos la integral como: 1
dz
dz
z i dz C z 2 1 C ( z i)( z i) C z i
1
dz
dz
z i dz C z 2 1 C ( z i)( z i) C z i
f ( z )
z z
C
dz 2 i f ( z 0 )
i C
0
z 0 i
i
D f ( z )
f ( z 0 ) i / 2
1 z i
dz
z
2
C
1
Evaluar
z C
z
2
9
d z
donde C es el círculo |z – 2i | = 4. Solución Solo z = 3i está dentro de C , y z z z 3i 2 z 9 z 3i z Sea f ( z ) , entonces: z 3i z 3i z 3 z i C 2 9 d z C 3i d z 2 i f (3i) 2 i 6i i
Otro ejemplo z
e
z i dz
Evaluar
C
donde C es cualquier contorno cerrado conteniendo z = -i
Fórmula integral de Cauchy :
f ( z )
z z
dz 2 i f ( z 0 )
C
D
0
C
se convierte en z
e
z i dz 2 ie
z 0 i i
C
f ( z ) es analítica en todo punto
dz donde C es el círculo |z+i |=1 4 z 1 C
i
C
Tenemos que
z
dz
4
C
1
C
1
dz
1
( z 1)( z 1)( z i )( z i )
i
El contorno C incluye uno de esos puntos, z = +i. Ese es nuestro punto z 0 en la fórmula
z
dz
4
C
1
C
f ( z ) z i
Ahora f ( z 0 ) f (i )
dz 4
1
dz donde f ( z ) 1 (i 1)( i 1)( 2i )
f ( z )
1 ( z 1)( z 1)( z i ) i 4
dz 2 i f ( z 0 )
2
C
tan z dz
z 1 2
donde C es el círculo | z |=3/2
tan z es no analítica en /2, 3/2, , pero esos puntos están fuera de nuestro contorno de integración 3 / 2
1
C incluye dos puntos singulares, z = 1. Para poder usar la fórmula integral de Cauchy, debemos tener sólo un punto singular z 0 dentro de C . Usaremos fracciones parciales:
1 z 1 2
A
B
z 1 z 1
( A B) z 0 A B 1
A( z 1) B( z 1) ( z 1)( z 1)
A 1 / 2, B 1 / 2
1
C
/ 2
Generalización de la fórmula integral de Cauchy Se pueden tratar funciones más complicadas con potencias de z-z 0, con la fórmula:
f ( z )
z z
n 1
C
dz
2 i d n f
0
n! dz n
f analítica en y dentro de C , z 0 dentro de C
z 0
Por ejemplo, z 2 3 z
z 1
2
C
dz 2 i
d z 2 3 z dz
, z 0 1
cos z
z 2
3
dz i
C
d 2 cos z dz 2
Esta fórmula también es conocida como la “formula para las derivadas de una función analítica.” Nota: cuando n=0 tenemos la Fórmula Integral de Cauchy:
f ( z )
dz 2 i f ( z ) z
0
z 0 2
Demostración de la generalización de la fórmula integral de Cauchy Partamos de la fórmula integral de Cauchy:
f ( z 0 )
f ( z )
1
2 i z z C
dz
0
Tomando f(z 0 ) como una función de variable z 0. Derivando con respecto a z 0 y aplicando la regla de Leibnitz:
d 1
f ( z 0 ) dz dz 0 dz 0 2 i C z z 0 Usar el mismo procedimiento para 1 d 1 dz f ( z ) demostrar por inducción: 2 i C dz 0 z z 0 d
f ( z )
1
2 i z z
2
C
0
f ( z )
f ( z )
dz
z z
n 1
C
0
dz
2 i d n f n! dz n
z 0
La generalización de la fórmula integral de Cauchy nos muestra algo excepcional: Si una función f(z) es analítica en cierto dominio, entonces posee derivadas de todos los órdenes en dicho dominio. Y estas derivadas son a su vez también analíticas en el dominio. Sea f(z) una función definida en todo punto de un entorno de z 0. Si f(z) no es analítica en z 0 es imposible encontrar una función F(z) tal que dF/dz = f(z) en todo punto del entorno. De existir F(z) sería analítica y por la fórmula generalizada de Cauchy, su segunda derivada df/dz existiría en todo punto del entorno considerado. Y entonces f(z) sería analítica en z0: una contradicción.
Ejemplo Evaluar la integral
C
z
e
z
2
dz donde C es el círculo |z |=2
C
f ( z )
( z z )
C
2
dz 2 i f ( z 0 )
D
0
f ( z ) e z sea f ( z ) e sea z 0
0
f ( z ) es analítica en D, y C incluye z 0
z
f ( z 0 ) e 0
z
e dz 2
2 2i
Ejemplo Evaluar la integral
C
2
z
z i
3
dz donde C es el círculo |z |=2
C
f ( z )
( z z )
C
3
dz
0
2 i 2
f ( z 0 )
D
f ( z ) 2 sea z 0
i
2 f ( z ) z sea
f ( z ) es analítica in D, y C incluye z 0
f ( z 0 ) 2
(
2
z dz )
3
2 i
e z
z 2i
Calcular
3
dz
C
donde C es la circunferencia
e z
I
z 2i
3
z 3 con sentido positivo.
dz
C
f
(n)
n! f ( z ) z 0 dz , n 1 2 i C z z 0
siendo : z 0 2i; f ( z ) e z f ( z 0 ) e 2i e
2i
2!
e z
2 i C z 2i 3
I dz I ie 2 i i
