UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DEPARTAMENTO DEPARTAMENTO DE HIDRÁULICA E HIDROLOGÍA
ECUACIÓN ECUA CIÓN DE D E NA NAVIER VIER-STOKES -STOKES
Mecánica de Fluidos I TAPIA VASQUEZ, Jimmy Johan
INTRODUCCIÓN El matemático y físico suizo Leonhard Euler (1707-1783) se le concoce como el primer verdadero fluido-dinamicista, puesto que, dio las formas actuales de la ecuación de continuidad (analizando la conservación de la masa) y la del momento lineal (analizando las fuerzas y el movimiento que causan), dando lugar a las Ecuaciones de Euler . La cumbre del desarrollo fluido-dinámico fue la elaboración de las Ecuaciones de Navier-Stokes , que incorporaban la viscosidad a las ecuaciones de Euler creando un modelo que explicaba el comportamiento de cualquier fluido newtoniano. Fueron desarrolladas independientemente por el matemático y físico irlandés George Gabriel Stokes (1819- 1903) y por el ingeniero y físico francés Claude-Louis Navier (1785-1836).
Y ESTA ES LA FAMOSA ECUACIÓN…
A CONTINUACIÓN SU DEDUCCIÓN… Partamos de la 2° Ley de Newton:
→ . → + = . = = + = . +
+
+
Desarrollemos las fuerzas superficiales, según una sugerencia de Lev Landau en su libro Mecánica de Fluidos:
= , + , + , = ′ . + ′ . + ′ .
Se observa debido al Teorema de Gauss:
.′ .′ .′ =
=
=
Se concluye que:
=.′
Donde se le conoce como el tensor de tensiones, este es un tensor de 2° orden (una matriz) y es simétrico:
′ ′ ′ ′ = ′ ′ ′ ′ ′ ′ La ecuación que daría de la siguiente forma:
.′+ = . +
Existe una propiedad que cumple el tensor de tensiones, en punto su traza es constante independientemente de la orientación del sistema coordenado, y se le conoce como esfuerzo normal o volumétrico:
′ = ′ + ′ + ′ =
Si se considera que los esfuerzos son la superposición de una deformación de dilatación asociada con un campo de presión escalar “ p” más una deformación distorsional asociada con un campo de esfuerzo conocido como campo de esfuerzo deviatórico.
= ′ − 13 (′+′ +′ )=′ − = ′ − 13 (′ +′ + ′)=′ − = ′ − 13 (′ +′ + ′)=′ −
= ′ = ′ = ′
Como en un fluido son solo posibles los esfuerzos normales de compresión:
=−
Haciendo los cambios necesarios tenemos:
− 0 0 ′ = + 0 − 0 0 0 −
Con lo cual tendríamos:
. =.−. Finalmente obtenemos la Ecuación de Navier-Stokes:
. = −.+.+ En componentes cartesianos:
+ + + , + + = − + + + + , + + = − + + + + , + + = − + +
+
+
¿QUÉ DICE? Es la segunda ley de movimiento de Newton disfrazada. La parte izquierda es la aceleración de una región pequeña de un fluido. La parte derecha son las fuerzas que actúan en ella: presión, tensión y las fuerzas internas de los cuerpos.
¿POR QUÉ ES IMPORTANTE? Proporciona un modo realmente preciso de calcular cómo los fluidos se mueven. Esto es una característica clave en innumerables problemas científicos y tecnológicos.
¿QUÉ PROVOCÓ? Aviones de pasajeros modernos, submarinos rápidos y silenciosos, coches de Fórmula 1 que se mantienen en la pista a velocidades altas y avances médicos en el flujo sanguíneo en venas y arterias. Métodos computacionales para resolver ecuaciones, conocidos como mecánica de fluidos computacional o CFD (por su nombre en inglés computational fluid dynamics), son muy usados por ingenieros para mejorar la tecnología en sus áreas.
Contornos de presión y los vectores de velocidad para el flujo a través de álabes.
PROBLEMA DEL MILENIO
Formulación sencilla del problema: Esta es la ecuación que gobierna el flujo de fluidos: como el agua y el aire. Sin embargo, no hay pruebas para las preguntas más básicas que uno puede hacerse: ¿Las soluciones existen, y son únicas? ¿Por qué pedir una prueba? Debido a que una prueba no sólo da certeza, sino también la comprensión.
Formulación Formal: http://www.claymath.org/sites/default/files/navierstokes.pdf
Premio ¡Se ha destinado $ 1 millón por la resolución de este problema físico-matemático!
¿POR QUÉ ES TAN DIFÍCIL? La razón es la supercriticidad (brusca transición del comportamiento de una ecuación respecto de una regularidad de una cantidad conservada) de todas las cantidades de origen físico asociadas al problema. Las ecuaciones de Navier-Stokes se cree que describen la transición de flujo laminar a flujo turbulento (hay indicios numéricos, pero el problema del milenio exige una demostración matemática) …
¡UNA POSIBLE SOLUCIÓN! El matemático de Kazajstán (última república soviética en separarse), Mujtarbai Otelbaev, ha encontrado una solución parcial para este problema, su solución fue publicada el 21 de diciembre del 2013, en la revista del Institute of Mathematics and Mathematical Modeling .
http://www.math.kz/images/journal/2013-4/Otelbaev_N-S_21_12_2013.pdf
¿QUÉ CONCLUSIÓN SE OBTENDRÍA DE ESTA SOLUCIÓN? Si la demostración de Otelbaev es correcta, la turbulencia no está descrita por las ecuaciones de Navier-Stokes. Esto no afecta en nada a sus aplicaciones en física e ingeniería. Incluso podría ocurrir que la turbulencia tuviera su origen en las paredes u obstáculos en el fluido, pero cuya inclusión no forma parte del problema del milenio. Las ecuaciones de Navier-Stokes son parabólicas e incluyen disipación de la energía (término viscoso), pero aunque la energía decrece globalmente puede crecer localmente (en ciertos puntos, decreciendo más rápido en otros lugares), debido a efectos no lineales, hasta producir una singularidad (explosión de la solución en tiempo finito). Solo en este último caso estas Ecuaciones describen la turbulencia que se observa en los experimentos físicos.
BIBLIOGRAFÍA Libros: Landau,
L. y Lifshitz, E. M., L., 2° Ed., Mecánica de Fluidos, Reverté, Barcelona, 1985.
Shames,
I., Mecánica de Fluidos, 3° Ed., Mc Graw Hill, Santafé, 1995.
Stewart,
I., 17 ecuaciones que cambiaron el mundo, 1° Ed., Crítica, Barcelona, 2013. Páginas web:
http://francis.naukas.com/2014/01/18/la-demostracion-de-otelbaev-del-
problema-del-milenio-de-navier-stokes/
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Navier-Stokes https://es.wikipedia.org/wiki/Usuario:FAR/Mec%C3%A1nica_de_Fluidos#
Las_ecuaciones_de_Navier-Stokes:_la_madurez_de_la_fluidodin.C3.A1mica
