KETAKSAMAAN CAUCHY
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz (Cauchy-Sch ( Cauchy-Schwarz warz Inequality Inequality)) merupakan salah satu ketaksamaan yang *paling* terkenal. Teorema ini sangat berguna untuk memecahkan berbagai masalah dalam soal olimpiade. Inequality ini lebih ampuh dibandingkan jika kita menggunakan teorema AM-GM-HM AM-GM-HM..
Berikut adalah teorema Cauchy-Schwarz: Terdapat dua buah vektor
dan
di
, maka:
Lambang bulatan hitam merepresentasikan dot vektor. Maksud dari tanda "|............|" adalah nilai mutlak, sedangkan maksud dari tanda "||......||" adalah panjang dari vektor. Di berbagai sumber lain, penulisannya dot vektornya sedikit berbeda, yaitu sebagai berikut.
Kalian jangan bingung...
hanyalah bentuk lain dari
. Nah, bagaimana jika kita ingin
menguraikan bentuk vektor tersebut?
Jika
dan
, maka bentuk di atas dapat ditulis ulang sbb.
Jika kita mengkuadratkan kedua ruas, lalu kita tulis dalam notasi sigma, maka ketaksamaan tersebut dapat ditulis sbb.
Banyak yang lebih mengetahui bentuk Cauchy-Schwarz dalam bentuk notasi sigma daripada bentuk vektor. ========================================================================
BUKTI I Ingat formula dot vektor, yang bunyinya sebagai berikut.
Karena nilai dari
dan
akan didapat jika nilai dari dari
selalu positif, dan
, maka nilai terendah dari
adalah -1, sedangkan nilai tertinggi dari
akan didapat jika nilai
adalah 1.
Maka, kita akan mendapatkan dua persamaan berikut. ...(i) ... (iia) Persamaan (iia) dapat kita ubah dengan mengalikan (-1) menjadi: ... (iib) Persamaan (i) dan (iib) sesungguhnya mengisyaratkan nilai mutlak, yang artinya teorema Cauchy pun langsung didapatkan.
Terbukti Note: di sini, secara inplisit, kita tahu bahwa kesamaan akan berlaku jika nilai kata lain, kesamaan akan berlaku jika kedua vektor berlaku jika
atau
dan
itu 1 atau -1. Dengan
itu sejajar atau berhimpit. Kesamaan juga
bernilai nol.
========================================================================
BUKTI II Perhatikan bentuk berikut. Bilangan yang dikuadratkan selalu menghasilkan nilai positif.
Dijabarkan menjadi:
Karena bentuk persamaan kuadrat dalam x di atas selalu bernilai positif atau nol, maka diskriminannya haruslah lebih kecil atau sama dengan nol.
sehingga ketika disusun ulang, menjadi:
Terbukti ========================================================================
BUKTI III Pembuktian ini sedikit rumit. Pertama, kita anggap bahwa
dan
bukan vektor nol, karena jika nol,
maka kesamaan akan berlaku. Pertama-tama kita cari vektor satuan dari
Vektor satuan dari
=
=
Vektor satuan dari
=
=
dan
.
Kemudian, perhatikan langkah-langkah berikut. Panjang vektor selalu lebih besar atau sama dengan nol. Kuadratkan.
Ubah bentuk di atas menjadi formula dot vektor.
Sesuai dengan sifat distributif dot vektor, maka:
Seterusnya:
Ingat bahwa panjang vektor satuan adalah 1, maka:
Ingat bahwa
=
dan
=
.
... (i)
Dari persamaan (i), kita substitusikan
menjadi
, sehingga menjadi
... (ii)
Persaman (i) dan ke (ii), keduanya mengindikasikan nilai mutlak, sehingga:
Terbukti
Ini adalah lanjutan dari post Cauchy-Schwarz...(i). Di post ini akan diberikan contoh-contoh soal yang *basic*
mengenai
Cauchy-Schwarz
dan
bentuk
lain
Cauchy-Schwarz
( Engel
Form).
Teorema Cauchy-Schwarz dalam bentuk Engel:
di mana
Note:
maksud
dari
adalah
Atau jika dijabarkan menjadi:
.
Notasi
ini
akan
terus
dipakai
selama
post
ini.
======================================================================== BUKTI Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dalam bentuk Engel Perhatikan bentuk ketaksamaan Cauchy-Schwarz sebelumnya, yaitu sbb:
Perhatikan
bahwa
di
sini,
Jika kita mentransformasikan
Perhatikan kalau di sini
dan
nilai
dan
dan
tidak
dibatasi
(boleh
positif,
nol,
atau
negatif)
, maka ketaksamaan menjadi:
berada di bawah akar, maka
dan
merupakan syarat
. Keduanya mengisyaratkan bahwa nilai
( tidak boleh nol,
yang harus terpenuhi pada ketaksamaan di atas.
Selanjutnya, coba substitusikan
dan
.
Oleh karena itu sekarang ketaksamaan menjadi:
Lihat batasan
dan
karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi). Setela h disusun ulang, ketaksamaan menjadi:
di mana TERBUKTI
Note: simbol
,
,
,
, dan seterusnya itu hanyalah simbol yang tujuannya supaya kita tahu
batasan untuk tiap sukunya. Lagi-lagi, pembuktian ini sebenarnya hanya penyusunan ulang dari bentuk sebelumnya.
Bentuk ini telah dikenal di Rusia jauh sebelum Engel maupun Andreescu. Tetapi istilah "Cauchy-Schwarz dalam bentuk Engel" dan "Lemma Andreescu" lebih sering dipakai di berbagai tempat. Arthur Engel mempopulerkan bentuk ini di Jerman, sedangkan Titu Andreescu membahas bentuk ini di bukunya Mathematical Olympiad Treasures. Untuk mempersingkat pengucapan, kita akan menyebutnya CS Engel. ======================================================================== Soal-Soal *Basic* Cauchy-Schwarz
Ada banyak sekali soal yang dapat diselesaikan dengan CS Engel. Namun, kebanyakan, penyelesaiannya tidak semudah yang kita kira. CS Engel kadang digunakan setelah kita menyederhanakan bentuk soal. Kadang CS Engel juga harus dipakai dengan teorema lainnya seperti AM -GM-HM agar inequality menjadi terbukti. Di post ini hanya akan dibahas sebagian kecil dari soal-soal Cauchy-Schwarz yang ada.
1. Jika
,
,
dan
merupakan
dengan
suku-suku
Real
positif
yang
berjumlah
, buktikan bahwa:
Jawab: Dengan CS Engel, maka:
= 8. TERBUKTI. ################################################################# 2. Misalkan
dan
bilangan Real positif, buktikan bahwa:
Jawab: Lakukan CS Engel 2 kali:
n
TERBUKTI.
#################################################################
3. Misalkan
,
,
adalah bilangan Real positif dengan
.
Buktikan bahwa
Jawab: Gunakan CS biasa.
Jika diuraikan, maka hasilnya:
TERBUKTI
################################################################# 4. Jika
,
, dan
bilangan Real positif, buktikan bahwa:
Jawab: Dengan CS Engel, maka:
Sekarang kita tinggal membuktikan
Jika
persamaan
di
atas
diuraikan,
maka
akan
ekuivalen
dengan:
yang bernilai benar untuk semua nilai
,
, dan .
Maka, ketaksamaan pada soal TERBUKTI. ################################################################# 5. Jika
,
, dan
bilangan Real positif sehingga
, buktikan bahwa:
Jawab: Bentuk ketaksamaan di atas dapat dibentuk dalam notasi sigma siklik (untuk menyingkat),
yaitu sbb: Soal
. ini
dapat
dikerjakan
dengan
berbagai
alternatif.
(karena
)
Alternatif 1:
Substitusikan
,
, dan
.
Dengan demikian, ketaksamaan menjadi:
Lalu, gunakan CS Engel.
.
Kemudian, kita tahu dengan AM-GM, bahwa:
.
Jadi:
Maka, bentuk ini merupakan bentuk yang sesuai dengan soal. TERBUKTI.
Alternatif 2 (tanpa substitusi):
(dengan CS Engel)
Karena
, maka:
Kita kembali ke ketaksamaan sebelumnya, maka:
TERBUKTI
