Más P ROBLEMAS DE VARI ABLE COMP COMP LEJA (I ntegración : Fórmu la de Cauchy Cauchy y Fórmula de Cauchy para las Derivadas)
Resultados teóricos: 1) Teorema de Cauchy Si f(z) es analítica sobre un contorno cerrado C y su interior, entonces
f ( z ) dz 0
C
2. FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY “Sea f(z) analítica sobre un contorno cerrado C y su interior D. Entonces f ( z ) 1 z0 D es : f ( z 0 ) dz donde C se recorre en sentido positivo”. 2 i C z z 0
a) Teorema (Fórmula (Fórmula de Cauchy para para las derivadas) Sea f(z) analítica en un contorno cerrado C y su interior D. Entonces: i) ii)
z D es
f ' ( z )
1 2 i C
f ( ) z
2
d
(C en sentido positivo)
Además f(z) es indefinidamente derivable en D y n N y z D es: n! f ( ) f ( n ) ( z ) d donde C se recorre en sentido positivo. n 1 2 i C z
Ejercicios: 1 .- Calcular
I =
sen(π z )
∫ z C
2
+4
dz , siendo C el contorno z
= 1 recorrido en sentido
dz , siendo C el contorno z
= 3 recorrido en sentido
antihorario.
2 .- Calcular
I =
sen(π z )
∫ ( z − 1) C
2
antihorario.
3 .- Calcular I = ∫ C z dz donde C es el arco de la circuferencia z
= −2i .
z
= 2 desde z = −2 hasta
4.- Calcular I = ∫ z − 2 =3 5.- Calcular I = ∫ z −1 =1 6.- Calcular I = ∫ z
cos z z
1 − z 4 z
z =5
dz
5
z − 2 =1
z −i
9.- Calcular I = ∫ z
10.- Calcular
∫ z C
z
=1 z 2
dz
( z
2
2
+ 9)
− 6 z + 8
recorrido el contorno en sentido positivo.
dz
2
cos(π z )
recorrido el contorno en sentido positivo.
dz
+1
2 z + 5i =4
recorrido el contorno en sentido positivo.
recorrido el contorno en sentido positivo.
z + 1
8.- Calcular I = ∫
recorrido el contorno en sentido positivo.
dz
+1
2
cos z
7.- Calcular I = ∫
dz
2
recorrido el contorno en sentido antihorario.
dz
siendo C los contornos siguientes, recorridos en
sentido antihorario:
a)
z
=1
b)
z − 2
=1
c)
Chz
11.- Calcular Ii
Ci
2
z (z
2
dz
12.- Calcular I = ∫
e 2z
C 4
z − 16
−3 = 2
(Ci en sentido positivo) i=1,2,3,4, siendo:
4)
b) C2 : |z − 2i| = 1
a) C1 : |z| =1
z
c) C3 : |z - i| =2
dz , siendo C la elipse
x
2
1
+
y
d) C4 : |z - i| = 2
16
1 2
= 1 , recorrida en sentido
antihorario.
13.- Por medio de la fórmula de la integral de Cauchy y sus aplicaciones, calcular I=
ez
2
∫ C z 3 − iz 2 dz , siendo C: |z-i| = 3, recorrida C en sentido antihorario.
14.- Aplicando la fórmula de la integral de Cauchy y sus aplicaciones, calcular I=
cos z
∫ C z 2 (z 2 + 1)
dz , siendo C: z =
1 (C recorrida en sentido antihorario). 2
Soluciones: 1. I=0, 2. I= −2π 2i ; 3. I =-4, 4. I =0, 5. I=0 , 6. I = 10π i , 7. I=0, 8. I = π (1 + i ) , 9. I = I=
−π cos2 8
14. I=0
10π i
, c) I =
27
10. a) I=0, b) I= −π i , c) I=0, 11. a) I=0, b)
−π sen2 4
, d) I =0, 12. I=
−π sen4 8
, 13. I = 2π i (1 − e−1 ) ,
