PERSAMAAN CAUCHY RIEMANN (PCR)
Ada cara yang lebih mudah untuk menentukan turunan dari suatu fungsi yaitu dengan menggunakan Persamaan Cauchy Riemann ( PCR ). Persamaan Cauchy Riemann merupakan persamaan yang sangat penting pada analisis kompleks. Karena persamaan ini digunakan untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks. w = f (z) = u (x,y) + i v (x,y)
Fungsi f dikatakan analitik pada domain D jika dan hanya jika turunan parsial pertama dari u dan v memenuhi Persamaan Cauchy Reimann, yaitu : berlaku PCR jika :
Dengan u x Sehingga :
u u v v ; uy ; vx ; v y ; x y x y
′
Contoh Soal :
Tentukan dari Penyelesaian Penyelesaian :
= = karena dan , maka berlaku PCR sehingga analitik dan = =
Jika = , apakah analitik? Jika ya, tentukan turunannya! Penyelesaiaan : =
= 3y = karena dan , maka tidak berlaku PCR sehingga tidak analitik dan tidak mempunyai turunan.
Jika apakah analitik? Jika ya, tentukan turunannya! Penyelesaiaan : =
) u = x3 – 3 xy2 v = 3 x2 y – y3 u x = 3 x2 – 3 y2 v x = 6 xy = -6 xy = 3 x2 – 3 y2 karena maemenuhi PRC atau dan , berlaku PCR maka analitik untuk semua z sehingga analitik & ′ ′ –
Tentukan f ’ dari Penyelesaian :
= karena dan , berlaku PCR sehingga analitik dan =
Contoh Soal :
_ 2 z , z 0 z Diberikan fungsi f z 0 , z 0 Tunjukkan bahwa persamaan Cauchy Reimann dipenuhi di z 0, tetapi f ' 0 tidak ada. Penyelesaian:
_ 3 z , z 0 z 2 f z 0 , z 0
x 3 3 xy 2 y 3 3 x 2 y , x, y 0,0 2 2 2 2 x y x y = 0, x, y 0,0
Diperoleh: x 3 3 xy 2 , x, y 0,0 2 2 x y u x, y 0 , x, y 0,0
dan y 3 3 x 2 y , x, y 0,0 2 2 x y v x, y 0 , x, y 0,0
Oleh karena itu, diperoleh x
3
0 2 u u x,0 u 0,0 x 0,0 lim lim lim 1 1 x 0 x 0 x 0 x x 0 x u u 0, y u 0,0 0 0,0 lim lim 0 y 0 y 0 y y y 0
v v x,0 v0,0 0 0,0 lim lim 0 x 0 x 0 x x x 0 y
3
0 2 v v0, y v 0,0 y 0,0 lim lim lim 1 1 y 0 y 0 y 0 y y 0 y
u v u v 0,0 1 0,0 dan 0,0 0 0,0 , x y y x
Karena
maka persamaan C-R dipenuhi di (0, 0), tetapi _
z f 0 lim '
f z f 0
z 0
z 0
x iy z lim z lim 2 lim x , y 0 , 0 x iy 2 z 0 z z 0 z
Sepanjang kurva y = 0,
Sepanjang kurva y = x,
_ 2
2
lim
x iy 2 lim 2 x iy x0
lim
x iy 2 2ix 2 lim 1 x iy 2 x0 2ix 2
x , y 0, 0
x , y 0, 0
x 2 x 2
1
Karena sepanjang kurva y = 0 dan y = x nilai limitnya berbeda, maka 2
lim
x , y 0,0
x iy 2 x iy tidak ada. Jadi, f’ (0) tidak ada.
Bentuk Polar Persamaan Cauchy Reimann
Misalkan terdapat suatu fungsi kompleks
f z u r iv r dengan
z re i r cos i sin , dimana u r , r cos
,
,
dan v r sin
.
Sehingga
u cos r v sin r
v r cos u 1 v v 1 u maka dan r r r r u dan r sin Untuk setiap titik D dan turunannya adalah ( . dan
Contoh Soal :
Jika 1 + r , apakah analitik? Jika ya, tentukan turunannya! Penyelesaiaan :
1 + r = =
1 + r cos
r sin
dan , maka tidak berlaku PCR sehingga tidak analitik dan tidak mempunyai turunan.
LATIHAN SOAL (Latihan 4.5 Halaman 96 No 1a, 1b, 2a, 2c, 4a, & 4b)
DAFTAR PUSTAKA
Dedy, Endang dan Encum Sumiaty.2001. Fungsi Variabel Kompleks (JICA).Bandung:Universitas Pendidikan Indonesia. Kakak-Kakak Tingkat.____. Portofolio Analisis Kompleks.Jakarta:UHAMKA.
