Rumus Integral Cauchy

MAKALAH ANALISA VARIABEL KOMPLEKS
Rumus Integral Cauchy


Kelas B




Kelompok 12 :
Silvia Umala (120210101114)
Afi Latul Laili (120210101115)
Ayu Zulfia Hasan (120210101124)



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENGETAHUAN
UNIVERSITAS JEMBER
2014


Jika fungsi analitik di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C, z0 dalam C maka:
fz0=12πiCf(z)z-z0dz
Bukti:

Perhatikan gambar tersebut di atas
Fungsi analitik di dalam dan pada C kecuali di titik z = z0 , maka kita mempunyai :

Dimana kita dapat memilih sebagai suatu lingkaran , berjari-jari є dan berpusat di z0. Maka suatu persamaan untuk adalah , ,pada integral di ruas kanan maka
...............(1)

Jadi dari (1) kita mempunyai
...............(2)

Ambillah limit kedua ruas dari (2) dan gunakan kekontinuan f(z), maka kita mempunyai

Sehingga kita peroleh yang kita inginkan


fz0=12πiCf(z)z-z0dz
f'(z0)=12πiCf(z)z-z02dz
Bukti:
Dari rumus 1 yaitu fz0=12πiCf(z)z-z0dz
Jika z0 dan z0+h terletak pada R, maka kita mempunyai

Hasil yang diinginkan akan tercapai dengan mengambil limitnya untuk h0, sehingga didapatkan:

Jadi terbukti bahwa
f'(z0)=12πiCf(z)z-z02dz

fn(z0)=n!2πiCf(z)z-z0n+1dz
Bukti:
Pembuktian rumus fn(z0)=n!2πiCf(z)z-z0n+1dz untuk n=0,1,2,....
Kasus untuk n=0 dan 1 berturut-turut langsung diperoleh dari pembuktian rumus 1 dan 2 di atas, asalkan kita mendefinisikan f0z0=fz0 dan 0!=1.
Untuk membuktikan kasus dimana n=2, kita menggunakan pembuktian rumus 2 dimana a dan a+h terletak di dalam R untuk memperoleh

Langkah yang kita lakukan yaitu mengambil z0 dan z0+h terletak di R sehingga




Hasil yang diinginkan tercapai dengan mengambil limitnya untuk h0, sehingga didapatkan:

Jadi dari pembuktian rumus 2 dan 3 didapatkan

Secara umum ditulis:



Contoh :
Tentukan czz-1(z-3)2dz jika lintasan C
Lingkaran C1 berarah positif dengan persamaan z=2
Lingkaran C2 berarah positif dengan persamaan z-4=2
Jawab :
Fungsi fz=z(z-3)2 analitik di dalam dan pada C1 dan 1 di dalam C1
f1=z(z-3)2=1(1-3)2=14
Maka menurut rumus integral Cauchy
f1=12πic1f(z)z-1dz
14= 12πic1z(z-3)2z-1dz
πi2=c1z(z-3)2z-1dz=c1f(z)z-1dz
Jadi, c1fzz-1dz=πi2
Fungsi gz=zz-1 analitik di dalam dan pada C2, dan 3 di dalam C2
g'z=dzz-1
g'z=u'v-uv'v2
g'z=1z-1-z1z-12
g'z=z-1-zz-12
g'z=-1z-12
g'3=-13-12
g'3=-14
Sehingga menurut rumus Integral Cauchy :
g'(3)=12πic2gzz-32dz
-14= 12πic2zz-1z-32dz
-14= 12πic2g(z)z-32dz
-πi2=c2gzz-32dz
Jadi c2gzz-32dz=-πi2


DAFTAR PUSTAKA

Pambudi, Didik Sugeng dan Toto' Bara Setiawan. 2004. Analisa Variabel Kompleks. Jember : Unej
Spiegel, Murray R. 1964. Teori dan Soal-Soal Peubah Kompleks. Jakarta : Penerbit Erlangga